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Cimentaciones Ciclo II-2015 CAPITULO No IV, PRESIONES LATERALES
DE TIERRA Y EMPUJES
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PRESIONES LATERALES DE TIERRAS Y EMPUJES.
INTRODUCCIN:
Al proyectar estructuras de sostenimiento, el ingeniero debe
asegurar solamente que no se producir el colapso o falla,
desplazamiento de varios centmetros o incluso decenas de
centmetros, no suele tener importancia siempre que se
asegure, que no se producirn repentinamente desplazamientos, ms
grandes. Por ello, el mtodo para el proyecto de
estructuras de retencin suele consistir en analizar las
condiciones que existan en una condicin de falla, introduciendo
convenientes factores de seguridad para evitar el colapso.
En este captulo se estudiar el tema desde la determinacin de las
presiones que el suelo ejerce sobre elementos de
retencin encargados de soportarla, donde se utilizan para
soportar dichas cargas muros de retencin de tipo rgidos. Los
muros se construyen generalmente de mampostera o de concreto,
simple o reforzado. Un muro diseado con el propsito
de mantener una diferencia en los niveles del suelo de sus dos
lados se llama de retencin. El suelo que produce el mayor
nivel se llama relleno y es el elemento generador de presin.
Como se puede ver en la figura 4.1
Relleno
Relleno Artificial Corte
Relleno natural
Seccin en balcn para un camino o un
ferrocarril
Relleno Estribo de retencin
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Figuras 4.1 Utilidad de los muros de retencin.
Terrapln para un camino o un ferrocarril
Relleno Artificial
Relleno
Lecho de un canal en corte
Relleno Agua
Almacenamiento de materiales granulares
40
40
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Las fuerzas que actan sobre un muro de gravedad son:
La fuerza sustentante: que soporta el peso del muro, ms las
componentes verticales de las dems fuerzas.
El empuje activo: que se desarrolla al colocar el relleno y
cuando actan otras sobrecargas sobre la superficie del terreno,
es el que tiende a empujar el muro hacia el exterior. Este
movimiento hacia afuera es contrarestado por la resistencia al
desplazamiento en la base del muro y por la resistencia pasiva
(denominada generalmente empuje pasivo del suelo
situado por delante del pie del muro) y la componente vertical
del empuje activo. As pues, el peso del muro es importante
por dos conceptos: se opone al vuelco y da lugar a una
resistencia al deslizamiento en la base. Por esta razn un muro
de
este tipo se denomina muro de gravedad (o muro que resiste por
su peso). Ver figura 4.2.
Teoras Clsicas de Empujes de Tierras.
1. Teora de Rankine. En las teoras de Rankine se considera que
el relleno de tierra entra en un estado plstico
generalizado, debido a la falta de confinamiento lateral.
Se dir que un suelo esta en estado plstico cuando se encuentra
en estado de falla incipiente generalizado como se
muestra en la figura 4.3
Ea
Ww Peso del Muro
Fuerza Sustentante
Resistencia al deslizamiento
Empuje Pasivo
Empuje Activo
Ep
Figura 4.2 Fuerzas actuantes sobre un muro de gravedad
Figura 4.3 Estado plstico generalizado
= 45 + /2
Plano de falla
1=H
3
H
H
1=H
3 E
B
W
F
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Hiptesis de Rankine:
Rankine analiz el fenmeno de la presin activa del suelo contra
un muro liso, como un estado de equilibrio plstico
del suelo.
Las hiptesis en que bas su teora para el clculo del empuje de
suelos friccionantes son las siguientes;
1) Que se desarrollan los estados plsticos activo y pasivo por
completo en toda la masa de suelo.
2) El relleno del muro es horizontal (=0) y que el paramento
interno del muro es vertical y de superficie lisa (no se
desarrolla friccin entre suelo y muro.)
3) Cuando la superficie del terreno forma un ngulo con la
horizontal, se asume que el respaldo es rugoso, existiendo un
coeficiente de friccin con el suelo, tal que las presiones sobre
el respaldo son inclinadas en el ngulo con respecto a
la horizontal.
Los estados de activos y pasivos de un relleno contra un muro
podr fsicamente ser llevados a la falla de dos maneras: Una
por empuje del relleno cediendo la estructura hacia su frente;
otra, por accin de algn empuje exterior, incrustndose el
muro en el relleno y deformndose hacia su espalda, Rankine pens
que, bajo el empuje de relleno, el muro cede y se
desplaza, lo que disminuye la presin del relleno a valores a
bajo de los correspondientes al reposo, esto hace que la masa
de suelo desarrolle su capacidad de auto sustentacin, por medio
de los esfuerzos cortantes que se generan. Si el muro
cede lo suficiente, la presin horizontal puede llegar a ser la
activa, valor mnimo que no se puede disminuir aun cuando el
valor ceda ms a partir del instante de su aparicin.
As se podra razonar que, con que se proyectase un muro para
resistir la presin activa, se garantizara su estabilidad,
siempre y cuando el muro pudiese ceder lo suficiente como para
que, en ltima instancia, se desarrolle dicha presin activa.
De manera anloga se podra razonar para el caso en que el muro se
desplace hacia su respaldo bajo una fuerza exterior
suficiente como para que llegue a desarrollarse la presin
pasiva, en cuyo caso se podr disear la estructura contando con
la mxima resistencia del suelo. Ver figura No.
Teora de Rankine para obtener las frmulas que determinan los Ea
y Ep
Los empujes del suelo sobre un muro, se pueden analizar a partir
del comportamiento de un elemento de suelo a una
profundidad dada; el cual se encuentra en equilibrio y sin ningn
desplazamiento, representando as, el estado de reposo.
En la figura 4.4 se representa un elemento de suelo sujeto a las
siguientes presiones:
Bajo la presin vertical actuante el elemento de suelo se
presiona lateralmente originndose as un esfuerzo horizontal,
Ph,
que, con base en la experiencia, se ha aceptado como
directamente proporcional a Pv ; La constante de
proporcionalidad
entre Pv y Ph se denomina coeficiente de presin de tierra en
reposo.
Ko= Ph / Pv Ph = Ko Z
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Estado activo Estado Pasivo
Estado Reposo
SUPERFICIES Y MODOS DE FALLA PARA LOS ESTADOS DE RANKINE
Pv = Z
Ph
Pv Z
Pv
Figura 4.4 Esfuerzos actuantes sobre un elemento de suelo
dz
Donde:
Pv: presin vertical, causada por el peso del suelo sobre el
elemento.
Ph: presin lateral en reposo.
= peso especfico correspondiente al estado en que se encuentre
el medio
Ph
Presiones horizontales de suelos
actuando en una pared, estado activo,
reposo y pasivo
Estado Activo Estado Reposo Estado Pasivo
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Si se analiza el elemento, este se puede deformar verticalmente
por efecto de la presin vertical, pero no se puede expandir
lateralmente por que est confinado por el suelo bajo las mismas
condiciones de carga.
Si se considera el suelo colocado contra un muro esttico y liso
en las mismas condiciones anteriores, el suelo estar en
estado de reposo, equivalente al estado de equilibrio elstico.
Ver figura 4.5
El empuje en reposo se puede definir como la fuerza resultante
de las presiones laterales del suelo en reposo, que actan
contra un muro. Se sabe adems que la presin horizontal a una
profundidad Z es igual a Ko Z, por lo cual, el empuje en
reposo por unidad de longitud, ejercido por un suelo seco sobre
un muro de altura H, estar dado por ( ver figura 4.6):
2
2
1HKE oo
El punto de aplicacin del empuje resultante, estar ubicado a la
profundidad de 2/3 H
El estado de esfuerzos para un suelo friccionante se representa
en la figura 4.7, por medio del circulo de Mohr en donde
0 y C=0. La ley de resistencia de este tipo de suelo, pasa por
el origen. Obsrvese que el crculo de Mohr no es tangente a
la ley de resistencia ya que el estado representado no es de
falla.
En la figura 4.7 , representa la resistencia al corte del suelo
y , el esfuerzo normal total.
KoH
H
Figura 4.6 Punto de aplicacin del Empuje
rea del tringulo
2/3 H
H
2/3 H
Po
Figura 4.5 Diagrama de Presiones para el estado de reposo
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Estado Activo: Si el muro, en las condiciones de reposo se le
permite movimiento lateral, alejndose del suelo detrs de l,
las presiones verticales se mantienen constante, mientras las
presiones laterales disminuyen, llegando hasta un mnimo en
su estado de falla por cortante. Ver figura 4.8
Este estado tambin se conoce como estado de equilibrio plstico
activo y para el caso de suelos friccionantes, dicho
estado de esfuerzos se representa en la figura 4.9
La relacin entre la presin horizontal y la vertical es igual a
KA :
sen
sen
P
PK
V
h
A
1
1
1
3 Ecuacin 1
A
C
C B Figura 4.8 Presin activa de Rankine
Estado en reposo
3 = Ko H (esfuerzo horizontal)
1 = H (esfuerzo vertical)
Figura 4.7 Estado de Reposo
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Calculo del coeficiente de Empuje Activo Ka:
De la figura 4.10 se muestra el circulo de ruptura del suelo en
le estado plstico activo de suelos friccionantes. Partiendo de
esta se tiene que:
sustituyendo en la ecuacin 1 sus equivalentes se tendra CEOC
CEOCKa
si se divide esta ecuacin por OC
senOC
CE
OC
CE
OC
CE
OC
CE
OC
OC
OC
CE
OC
OC
Ka
1
1
; La constante Ka, tambin se puede transformar en la forma
siguiente:
Figura 4.9 Estado de Equilibrio Plstico Activo
3 = KA H (esfuerzo horizontal)
1 = H (esfuerzo vertical)
3 = Ko H (esfuerzo horizontal)
= 45O + /2
Plano de falla
Figura 4.10 Estado de Equilibrio Plstico
Activo
3 = KA H (esfuerzo horizontal)
90O -
A B C
D
E
1 = H (esfuerzo vertical)
-
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Estado activo
Estado Pasivo
Estado Reposo
Cambios en la presin del suelo debido al movimiento de la
pared
ORIENTACIN DE LAS LINEAS DE CORTE PARA LOS ESTADOS DE
RANKINE
a) Activo b) Pasivo
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245tan
245cos2
2452
90cos1
90cos1
1
1 2
2
2
Ka
sen
sen
senKa ecuacin 3
Calculo del empuje activo:
Para este tipo de suelos y en las condiciones de esfuerzos dadas
se tiene:
Para este tipo de suelo y bajo las condiciones de esfuerzos dado
en el esquema 3.11 se tiene:
;;; 31
3
13 HKaKaHPP vh
la presin Horizontal sera igual a :
4;ecuacinHKaPh integrando la ecuacin anterior se tiene:
52
1
2
2
0
2
00
ecuacinHKaHKa
EadHHKadHHKaPEH
HH
ha
sen
senHEa
1
1
2
1 2
245tan
2
1 22 H
Determinacin del coeficiente de movilizacin de tierras en estado
pasivo. Kp
Estado Pasivo: si el muro, se mueve hacia el relleno; las
presiones verticales se mantienen constantes, mientras las
presiones laterales aumentan progresivamente hasta un mximo,
producindose el estado de falla por esfuerzo cortante.
A este estado se le llama Estado de Equilibrio Plstico Pasivo y
se representa grficamente as, ver figuras 4.12 y 4.13:
Figura 4.11 Punto de aplicacin del Empuje Activo.
1/3 H
H
1=H
Ph=3
3
1=Pv=H
Ea
HKa
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Donde 1= 3= H ; 1= Ph Si analizamos la figura 4.13 se tiene:
KaHHKpPpero
KpKpsen
sen
sen
senKa
h
1:
;2
45tan1
1
1
1
111Kp
1
1
3
1
11
3
1
12
1
1
1
3
1
3
1
1
Luego integrando la ecuacin anterior se tiene:
Figura 4.13 Estado Pasivo del suelo. H H
1
3
H Ph
Estado Pasivo
3
1= 3
Estado Activo
A B C D
E
1
F
Figura 4.12 Estado de Equilibrio Plstico Pasivo
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p
H
hph EPEKpHP 0
= H H
HKpHH
KpEpHdhKpKpdhH
0 0
2
0
2
2
1
2
Donde : = peso volumtrico del suelo y H= altura del relleno
)2
45(tan2
1
1
1
2
1 222
H
sen
senHEp
Determinacin de los coeficientes de movilizacin para los estados
plsticos activos y pasivos, as como las ecuaciones de
empujes para suelos cohesivo friccionante ( 0 y C 0)
tanC
En la figura 4.14 se muestra el circulo III, que representa el
estado de esfuerzos plsticos pasivos, la relacin entre 3 y 1
para el estado plstico activo se puede determinar con el proceso
siguiente:
cos2
31 EFsenOCGECGCE
pero se tiene tambin que
2cos
22;cos
2
31313131
OCCsenCsenOCCEF
cos2cos2 31313131 CsensenCsen
cos211cos2 3133111 CsensenCsensen
Estado Pasivo
C
3
1= 3
Estado Activo
A B C D
E
1
D
F
Figura 4.14 Estado de Equilibrio Plstico activo
G
II
III
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sen
C
sen
sen
1
cos2
1
131 , pero se tiene que 1= H; y 3= Presin horizontal
Por identidad trigonomtrica se tiene que:
Ka
1
sen1
sen1
1
sen1
sen1
sen1sen1
sen1sen1
sen1
sen1
sen1
cos2
2
pero se tiene que 1= H 3= Presin horizontal
KaC
Ka
12
131
KaCHKaKa
KaCHKaPH
Ka
CH
Ka
PH
Ka
CH
Ka
PH
Ka
C
KaPHH 22
2221
El empuje activo sera:
KaCHKaHEaHKaCHEadhKaCHKaEaH
H
22
12
2
12 2
0
2
0
La distribucin terica de presiones est representada por la
figura 4.15, en donde, Hc, representa la profundidad hasta
donde se extiende las grietas del relleno, ya que este no
resiste tensiones:
Ka
CHc
2
La formula del empuje nos proporciona la altura crtica para que
un suelo con cohesin y friccin se mantenga en equilibrio
por si solo, para lo que se asume que el empuje activo es
cero:
;44
22
102
2
1 22
Ka
C
Ka
KaCHcrKaCHKaHEasiKaCHKaHEa
.
Hc
Hka-
H
Figura 4.15 Diagrama de presiones para suelo cohesivos-
friccionantes
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En el estado plstico pasivo los esfuerzos principales se
invierten donde:
1= 3= H ; 1= Ph
KaC
sen
senKaC
sen
sen
KaC
Ka
12)
1
1
1(
12)
1
1(
12)
1( 313131
HH
Ka
HC
KaHdh
KaC
KaHEp
KaC
KaHPh
KaC
Ka 00
23
11
1 21
2
112
112
112)
1(
Ka
HC
KaHEp 2
1
2
1 2 ,
Las presiones estaran representadas as ver figura 4.16:
Determinacin del coeficiente de movilizacin de tierras en estado
pasivo y activo para suelos puramente
cohesivos.
H/ka+
Ep=1/2H2/ka
H
Figura 4.16 Diagrama de presiones
2C 3
Figura 4.17 Estados de Equilibrio plstico
activo y pasivo para suelos cohesivos
C
2C
1=13
11
III II
I
-
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De la figura 4.17 se pueden deducir las ecuaciones de los
empujes activos y pasivos para los suelos cohesivos as:
CCHPhHPh 22 1313 ;, Integrando esta ecuacin se tiene
CHH
EaCHH
EaCdhHEaH
H
22
22
22
0
2
0
, para encontrar la profundidad de la excavacin
para la cual no necesita entibados, se procede as:
CHcCH
HEa
42
2
2
El diagrama de presiones se muestra en la figura 4.18.
Para el estado pasivo:
De figura No 4.17 se tiene que
CHPhPhH 2; 11311
131
Limitaciones de la teora de Rankine
La teora de Rankine tiene sus limitaciones en su aplicacin ya
que presenta las hiptesis descritas anteriormente, como lo
son:
La superficie del relleno es horizontal
La cara interna del muro se considera horizontal
No hay friccin entre suelo muro
Se desarrolla completamente el estado plstico antes de la falla
del suelo
La teora de Rankine puede extenderse a rellenos de muros con
superficies inclinadas donde la pendiente del relleno no
debe ser mayor que en suelos no cohesivos, de acuerdo a lo
anterior el empuje activo se calcula de acuerdo a la teora de
Rankine, por la formula:
22
222
coscoscos
coscoscoscos
2
HEa
En el caso que = la expresin de Ea se transforma en Ea=1/2
H2cos
El empuje pasivo para el caso de relleno con superficie
inclinada es:
22
222
coscoscos
coscoscoscos
2
HEp
Figura 4.18 Diagrama de presiones para suelos cohesivos
Hc
H-2C
H
-2C
-
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Otra manera de calcular el empuje de un muro de retencin es
aplicando lo siguiente:
Cuando el respaldo del muro es inclinado, el empuje se calcula
por el procedimiento siguiente:
1. Se calcula el empuje, considerando que este acta sobre un
plano vertical que pasa por la arista posterior de la
base del muro, ver figura 4.19.
2. Se encuentra el peso de la cua limitada por el respaldo y el
plano vertical antes establecido.
3. Se suma vectorialmente el empuje obtenido y el peso de la
cua
Si el respaldo del muro y la superficie del relleno son
inclinados, el empuje resultante se calcula sumando
vectorialmente: el empuje activo para un relleno inclinado, ms
el peso de la cua limitada por el respaldo del muro y el
plano vertical que pasa por el pie del mismo; ver figura
4.20
Efectos de sobrecarga
Toda sobrecarga, accidental o permanente, aplicada sobre el
relleno contiguo a un muro de retencin, incrementa el
empuje lateral sobre el muro.
Los casos que se pueden presentar con ms frecuencia son los
siguientes:
Carga uniformemente distribuida por unidad de superficie.
Carga uniformemente distribuida por unidad de longitud
Carga concentrada.
Carga uniformemente distribuida por unidad de superficie.
Considrese una pared vertical de altura h, como la mostrada en
la figura 4.21 la que sostiene una masa de suelo de
peso volumtrico y carga uniformemente distribuida q/unidad de
rea, que es aplicada en la superficie del muro. La ley
de resistencia del muro es = c+tan
A una profundidad h desde la superficie, el incremento del
esfuerzo vertical es:
W 2/3 H
Ea H
W
Ea
ER
Figura 4.19 Ea para muro con respaldo inclinado
W 2/3 H Ea
H
W
Ea
ER
Figura 4.20 Ea para muro con respaldo inclinado y relleno
inclinado
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Hq 1 y como 333 Ph entonces,131
33
1
3
Kapero
qKa
KaqPhdeciresKaq 33
De la misma forma se puede encontrar el incremento de presin
lateral para el caso pasivo:
KpqPh 1
De acuerdo a lo anterior se puede decir que para encontrar el
incremento de la presin lateral, que ocasiona una carga
uniformemente distribuida, basta multiplicar el coeficiente Ka
Kp por la carga q.
El empuje activo se encuentra de la solucin de la siguiente
integral:
KpqHHKpEp
pasivocasoelparasimilarKaqHHKaEadhqhKadhPEa
HH
2
2
00
2
1
,2
1)(
El punto de aplicacin del empuje, sera el centroide del diagrama
de presiones.
Estas expresiones son vlidas nicamente para rellenos con
superficie horizontal y muros con respaldo vertical.
Cuando el respaldo del muro es inclinado, es necesario
considerar la fuerza W+qb actuando verticalmente, la cual se
suma vectorialmente a la presin del empuje activo con sobrecarga
uniforme. En la figura 4.22, el W es el peso de la
cua limitada por el respaldo del muro, la superficie del relleno
y el plano vertical que pasa por el punto A
H
Kaq
H
q
v H
1
2
Ka(q+H)
Po H/2
H/3
P1
P2
Efecto de Sobrecarga en un muro
h
Figura 4.22 Ea para muro con
respaldo inclinado y Carga
uniformemente distribuida W+qb 2/3 H
Ea H
W+qb
Ea=1/2 KaH2+KaqH
ER
q
b
Ea
-
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Otro caso de inters prctico es aquel que se tiene cuando parte
del relleno horizontal tras el muro se encuentra
sumergido. Si H es la altura total del muro y H1, es la altura
de suelo no sumergido, medida a partir de la corona (ver
figura 4.23) la presin vertical del relleno en un punto bajo el
nivel del agua ser:
hHPv 11 , as la presin que ejerza horizontalmente el suelo bajo
el nivel fretico ser:
hHKaPvKaPh 11 Adems, en este caso, sobre el muro y bajo el nivel
fretico se ejercer la presin
hidrosttica: hPw W por consiguiente, el empuje total activo est
dado por:
qKaHHHKaHHKaHKaEa W 2
2
2
2
1
21
2
12
1
2
1
2
1 y el diagrama de presiones sera el de la
figura 4.23.
Teora de Coulomb
Charles A. Coulomb fundament su teora para el clculo del empuje
del suelo sobre un muro, en las siguientes
hiptesis:
1. El suelo es incompresible.
2. La falla ocurre a lo largo de superficies planas de
deslizamiento.
3. La deformacin del suelo antes de la falla es
despreciable.
4. La cua deslizante se comporta como un elemento rgido.
5. La ley de resistencia esta dada por: = C+tan .
Teora de Coulomb para suelos friccionantes:
El empuje del suelo sobre un muro se debe al deslizamiento, de
una cua de falla, la cual est limitada por:
a) La superficie del relleno
q
H1
H2 H h
H1
H2
Figura 4.23 Presiones activas de un relleno arenoso parcialmente
sumergido y sujeto a sobrecarga uniformemente
distribuida
KaH1
KaH1+ H2Ka
WH2 qKa
Diagrama de Presiones
-
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b) El respaldo del muro
c) La superficie de falla desarrollada en el interior del
relleno.
El procedimiento dado por Coulomb para el anlisis del empuje es
un mtodo de tanteos en el que se suponen diferentes
cuas de deslizamiento. Los pasos a seguir para calcular el
empuje activo son:
1. Considerar una cua de suelo sujeta a tres fuerzas: W (peso
propio de la cua) conocida en magnitud y direccin;
F (fuerza de friccin entre suelo y suelo) conocida en direccin y
E (empuje de la cua sobre el muro), cuya
direccin es conocida no as su magnitud, la cual se calcular por
las condiciones de equilibrio esttico. (Ver figura
4.24)
2. Se considera otra cua, variando el plano de falla,
encontrndose el valor de E para este caso, segn lo explicado
anteriormente.
3. Despus de analizar varias cuas de falla, se grafican los
valores de E y para obtener una curva de empujes,
cuyo punto mximo corresponde al plano de falla crtico y el valor
de E es igual, pero opuesto en direccin al
empuje activo. (Ver figura 4.25).
Para la determinacin de la cua de anlisis debe tomarse en
cuenta:
Que s el plano de falla coincide con el respaldo del muro, el
empuje correspondiente es nulo, y s el plano de falla se
escoge formando un ngulo , con la horizontal, el empuje tambin
es nulo; por lo tanto se escogern superficies de falla
entre el respaldo del muro y una superficie que forme un ngulo
con la horizontal
Polgono de Fuerzas
- F
n
W
E
90- F
E
W
-
=(90--)
Cua Deslizante de Coulomb Suelo Friccionante
H/3
H
A
C
Emax.=Ea
Critico
Figura 4.25 Determinacin de Ea
E
-
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Anlisis de la Cua Deslizante:
En el anlisis de una cua deslizante figura 3.24 intervienen los
siguientes elementos:
W= Peso propio de la cua supuesta
= peso volumtrico del suelo de relleno
E= empuje del suelo debido a la cua
F= fuerza resultante de los esfuerzos tangenciales y normales
sobre el plano de falla.
= ngulo de friccin entresuelo y muro
= ngulo formado por el respaldo del muro y la vertical
=ngulo de inclinacin de la superficie de relleno
H= altura del muro
= ngulo de inclinacin de la superficie de falla supuesta.
= ngulo de friccin interna del suelo.
La cua ABC, tiende a deslizar hacia abajo y hacia fuera, por su
propio peso, producindose por lo tanto, esfuerzos de
friccin en el respaldo, como tambin en el plano o lnea de falla.
Considerando que los esfuerzos de friccin se desarrollan
por completo, la fuerza E resulta inclinada en un ngulo respecto
a la normal al respaldo y F, un ngulo respecto a una
normal al plano de falla.
Si =0, se tiene el caso de un muro liso.
Si la falla se presenta entre suelo y suelo en la superficie
adyacente al muro, que es como si ocurriese la falla entre
muro y suelo, por lo tanto con fines prcticos se toma como valor
mximo de el ngulo . Luego los valores de estan
acotados as: 0
Experimentalmente se ha determinado que vara entre /2 y 2/3 para
muros de concreto liso y para piedra rugosa es
igual a .
Analizando matemticamente las hiptesis de Coulomb, se llega a la
siguiente formula para el clculo del empuje activo
mximo:
2
2
2
2
coscos1cos
2
1H
sensenCos
CosEa
Si el muro es de respaldo vertical, =0, luego:
2
2
2
coscos1
2
1H
sensenCos
CosEa
Si el relleno es horizontal, =0; luego
-
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2
2
2
cos1
2
1H
sensenCos
CosEa
Si no hay friccin entre muro y suelo =0; por lo tanto: 2
1
1
2
1H
sen
senEa
,
La condicin anterior raramente se da en la prctica, ya que
siempre se desarrolla friccin entre el muro y el suelo. En el
caso activo, el valor positivo de y , significa que debido a la
tendencia de la cua a deslizarse hacia abajo, se origina una
fuerza de friccin en la masa de suelo que se opone al
deslizamiento de la cua. Generalmente se considera que y , son
positivos en el estado activo y negativos cuando ocurre el
estado pasivo. Si la influencia de estructuras contiguas o
sobrecargas accidentales produce en el muro un cambio de estado,
consecuentemente cambiaran de signo y , Ver figura
4.26
Aunque Coulomb, no consider el empuje pasivo, su teora se puede
aplicar al estado pasivo, asignndole valores negativos
a y , y cambiando el signo del radical del denominador se
obtiene:
2
2
2
2
coscos1cos
2
1H
sensenCos
CosEp
La formula anterior es aceptable para los casos corrientes de
empuje pasivo, en los cuales la componente de la friccin
entre el muro y el suelo es hacia abajo, y /4. Cuando el valor
de que /4 la superficie de deslizamiento se aleja
demasiado del plano supuesto en la teora de Coulomb y esto
conduce a errores de importancia, al calcular el empuje
pasivo.
Si sobre la coronacin del terreno situado en el trasdos del muro
acta una sobrecarga uniformemente distribuida, p, como
se muestra en la siguiente ecuacin:
W
F
F
Ep
W
+
=(90--)
Figura 4.26 Empuje Pasivo segn la teora de Coulomb
H/3
H
A
C
Ea
-
Ep
+
B
-
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)(
cos
CospKaHKaPa , es decir el empuje con variacin lineal del propio
terreno habra que aadir un
empuje de valor constante, que es funcin de la propia
sobrecarga, de la geometra y del coeficiente de empuje activo.,
ver
figura No 4.27.
Mtodo Grafico para el Clculo del Empuje Activo y Pasivo
Este mtodo Grafico es debido a Culmann y permite llegar
fcilmente al valor del mximo empuje ejercido contra un muro
por un relleno arenoso contra un muro1. Por estar basado en los
principios de Coulomb, es indispensable conocer el ngulo
del relleno y estimar el ngulo de friccin entre suelo y
muro.
Figura No 4.27. Teora de Coulomb cuando existe sobrecarga
distribuida
Procedimiento:
El desarrollo del mtodo grafico se ilustra en la figura 3.28
1. Dibjese a escala conveniente una seccin tentativa del muro
con su relleno
2. Por el punto A de la base del muro trcese la lnea formando un
ngulo con la horizontal; y la lnea a un ngulo
con la lnea
3. Escjanse diferentes planos hipotticos de deslizamiento ( Ab1,
Ab2 , Ab3,. Etc)
4. Encuntrese el peso de cada cua formada, multiplicando el peso
especifico por el rea de la cua correspondiente.
5. Sobre la lnea sern llevados a partir de A, los distintos
pesos obtenidos, a una escala de fuerzas conveniente;
obtenindose as los puntos a1, a2 , a3, ..etc.
6. Por los puntos a1, a2 , a3.etc, trcese paralelas a la lnea
hasta cortar en los puntos C1, C2, etc. a los respectivos
planos de falla supuestos. Los segmentos a1 C1 , a2 C2 , a3 C3.
Etc. representan a la escala de fuerzas empleadas, los
empujes que producen cada una de las cuas asumidas.
En la figura 4.29 el tringulo Ac3a3 es semejante al polgono de
fuerzas ABC. La distancia C3a3 es igual al empuje
correspondiente a la superficie de deslizamiento Ab3
7. Trcese una lnea que contenga los puntos C obtenidos, la curva
que resulta se le llama lnea de empujes o lnea de
Culmann
1 La solucin grafica que se considera es aplicable a la teora de
Coulomb
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8. Trcese una lnea paralela a la lnea y que sea tangente a la
lnea de Culmann determinando as el punto de
tangencia c; el segmento ac representa el empuje E a la escala
de fuerzas usada.
La lnea Ab, determina el plano de falla correspondiente al mximo
empuje.
El punto de aplicacin del empuje se encuentra siguiendo el mtodo
de Terzaghi, trazando por el centro de gravedad de la
cua critica una paralela al plano de falla Ab, la interseccin
con el respaldo del muro dar el punto buscado ver figura 3.29
Mtodo Semiemprico de Terzaghi para el clculo del Empuje Contra
un muro de Retencin.
El Dr. Karl Terzaghi basado en experiencias propias y en las
teoras para el clculo del empuje del relleno sobre los muros
de retencin, propuso un mtodo prctico para la determinacin de
dicho empuje.
Para la aplicacin del mtodo hay que considerar que los modelos
de muros, en que Terzaghi estableci su mtodo no eran
mayores de siete metros de altura.
F
A
B b1 b2
b3 b b4
b5
a6 a5
a1 a2 a3
a a4
Lnea
Lnea
c1
c2 c3
c c4
c5
c6
E
n
F
E
W -
90- -
Figura 4.28 Mtodo Grafico de Culmann
b
A
B
D
E E
Figura 4.29 Punto de aplicacin del Empuje (Terzaghi)
-
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El primer paso consiste en clasificar el material de relleno
dentro de uno de los cinco tipos de suelo, indicados a
continuacin:
1. Suelo Granular Grueso, sin contenido de partculas finas (
arena limpia o gravas).
2. Suelo Granular Grueso de baja permeabilidad, debido a su
contenido de partculas de tamao de limo.
3. Suelo Residual con piedra, arena fina limosa y arcilla.
4. Arcilla blanda o muy blanda, limos orgnicos, arcillas
limosas.
5. Arcilla Compacta o mediamente compacta, depositada en trozos
y protegida de tal forma que la cantidad de agua que
penetre en el espacio entre los fragmentos durante las lluvias o
inundaciones sea despreciable. Si esta condicin no se
cumple, la arcilla no debe usarse para el relleno del terrapln.
Cuanto ms compacta es la arcilla, mayor es el peligro de
una rotura del muro como consecuencia de la infiltracin del
agua.
El mtodo cubre cuatro casos muy frecuentes en la prctica, en
cuanto a la forma de la superficie del relleno y al tipo de
sobrecarga actuando sobre el mismo.
a) La superficie del relleno es plana, inclinada o no lleva
sobrecarga alguna.
b) La superficie del relleno forma un plano inclinado que va,
desde la cresta del muro hasta cierta altura sobre la
cresta, donde se hace horizontal.
c) La superficie del relleno es horizontal y lleva una
sobrecarga uniformemente distribuida.
d) La superficie del relleno es horizontal y lleva una
sobrecarga lineal uniformemente distribuida, paralela a la
cresta
del muro.
Caso a): El empuje puede calcularse utilizando las graficas de
la figura 4.30 y 4.31. Primeramente se dibuja a escala la
seccin tentativa del muro, determinando la altura H del plano
vertical, que pasa por el pie del muro y que corta a la
superficie del relleno. La componente horizontal del empuje
total sobre dicho plano es igual a:2
2
1KhHEh y la
componente vertical es igual a: 2
2
1KvHEv .
Los valores de Kh y Kv se hallan indicados en la figura 4.31
para cada tipo de suelo en funcin del ngulo de
inclinacin de la superficie del relleno. Como el empuje del
relleno aumenta linealmente con la profundidad a partir del
punto a , el punto de aplicacin del empuje total, se halla en el
tercio inferior de H. Si el material del relleno est
constituido por fragmentos de arcilla ( tipo 5), el valor de H a
utilizar en el calculo debe reducirse en 1.20 m y el empuje
resultante se considera actuando a una altura de 1/3 (H-1.20)
por encima de la base del muro.
Caso b) Para esta condicin los valores de Kh y Kv, pueden
obtenerse de las curvas de la figura 4.32 Obsrvese que en
estos grficos, los valores de Kh y Kv estn en funcin del tipo de
relleno y de la relacin H1/H. El punto de aplicacin del
empuje resultante se halla a un tercio de H para rellenos del
tipo 1 al tipo 4: para un material del tipo 5 la altura H se
reduce
en 1.20 m y su punto de aplicacin se toma a 1/3(H-1.20) por
encima de la base.
Caso c: El empuje unitario sobre el plano vertical ab se
incrementa uniformemente en la cantidad Pq=Cq; donde C es un
coeficiente que depende del tipo de suelo y que viene dado en la
tabla 4.1:
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Caso d: Para esta condicin el incremento del empuje horizontal
debido a la sobrecarga, en el plano ab de la figura 3.33, es
Pq1=Cq1 por unidad de longitud de muro. El valor de C se obtiene
de la tabla 3.1. El punto de aplicacin de la fuerza Pq1 se
obtiene, trazando desde el punto C de aplicacin de la fuerza q1
una recta que forme con la horizontal, un ngulo de 45. El
punto d1 de la interseccin de dicha recta con el respaldo del
muro, es el punto de aplicacin de Pq1. Si el punto d1 est
situado por debajo de la base del muro, la influencia de la
carga lineal sobre el empuje puede despreciarse; en cambio, si
el
punto c est situado a la izquierda del plano vertical ab, la
regla continua siendo vlida.
La carga lineal que produce tambin una presin vertical sobre el
taln interior del muro. Se puede suponer que esta presin
p se halla uniformemente distribuida sobre la base ef de un
tringulo equiltero de vrtice c, de manera que tiene el valor
de p=q/ef.
Para el clculo de la estabilidad del muro, se considerar
solamente aquella parte de p que acta directamente sobre el
taln del mundo.
Este mtodo considera que los muros descansan sobre cimentaciones
firmes, de manera que la friccin y la adherencia
entre muro y suelo est dirigida hacia abajo, produciendo un
efecto estabilizante que reduce el empuje. Si el muro est
cimentado en terreno blando, el asentamiento del mismo con
respecto al relleno, tiende a invertir el sentido de estas
fuerzas,
aumentando considerablemente el empuje. Si el muro descansa
sobre un material compresible, como arcilla blanda, los
valores del empuje calculados para los materiales del tipo 1, 2,
3 y 5 deben aumentarse en un cinco por ciento.
Figura 4.30 Punto de aplicacin del Empuje
H
Kv H2 Kv H2
Kh H2
Kv H2 H
Kv H2
Kh H2
H/3 H/3
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Tabla 4.1 Valores de C para los casos donde existe sobrecarga en
el relleno
Tipo de suelo C
1
2
3
4
5
0.27
0.30
0.39
1.00
1.00
Figura No 4.31 Valores de kh y Kv, para el mtodo Semiempirico de
Terzaghi
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Figura No 4.32 Valores de kh y Kv, para el mtodo Semiempirico de
Terzaghi
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En el caso de existir sobrecargas concentradas se pueden usar
las expresiones de la figura No 4.34
P=Cq q
d
q
f b
P
e e
45
60
60
Figura 3.33 Caso D, del Mtodo Semiempirico de Terzagui.
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Figura 4.34 Ecuaciones para calcular empujes cuando se tienen
cargas puntuales o cargas lineales
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Teora de la Presin Lateral de Tierra sobre Muros de Retencin de
Mononobe-Okabe.
La excesiva presin lateral dinmica del suelo sobre estructuras
de retencin, resultante de los movimientos de sismo, han
causado grandes daos en el pasado, sobre todo en terrenos de
topografa de alto riesgo ssmico; ya que este incremento
y/o declive a dichas estructuras.
Seed y Whitman (1970) indican que algunas de estas fallas pueden
ser producidas por muchas causas, entre las cuales
mencionan las siguientes:
a) Incremento de la presin lateral del suelo tras el muro.
b) Reduccin de la presin del agua en el frente del muro ( en
zonas donde el nivel fretico es superficial)
c) Licuefaccin del material de relleno.
Nazarian y Hadjan (1979) realizaron estudios tericos sobre la
presin lateral dinmica de los suelos; en base a las cuales
dichas teoras pueden ser divididas en tres grandes
categoras:
1. Solucin completamente plstica (esttica).
2. Soluciones basadas en la Teora de la onda Elstica.
3. Soluciones basadas en la Teora Elastoplstica y No lineal.
La teora de la presin Lateral Dinmica de la Tierra de
Mononobe-Okabe, est basada en la solucin completamente
plstica, ampliamente utilizada por ingenieros encargados del
diseo de muros de retencin.
PRESION ACTIVA DE TIERRA SOBRE MUROS DE RETENCION.
Coulomb 1776, deriv una ecuacin para la presin activa de la
tierra en un muro de contencin, hecho con relleno seco sin
cohesin, la cual fue analizada anteriormente. La ecuacin para la
presin activa del suelo de Coulomb, puede ser
modificada tomando en cuenta los coeficientes vertical y
horizontal de la aceleracin inducida por un terremoto. Esto
generalmente es referido al anlisis de Mononobe (1929) y Okabe
(1926).
La solucin Mononobe-Okabe, est basada en las siguientes
suposiciones:
La falla en el terreno tiene lugar a lo largo del plano BC tal
como es el mostrado en la figura 4.35.
El movimiento del muro es suficiente para producir un mnimo de
presin activa.
La fuerza de corte de un terreno de relleno seco puede ser dada
por la ecuacin:
tgC
En la falla, toda la fuerza de corte a lo largo del plano de
falla (plano BC, figura 4.35) es movilizada.
El terreno tras el muro de retencin se comportar como un cuerpo
rgido.
En la figura 4.35 se muestran adems las fuerzas consideradas en
la solucin de Mononobe-Okabe. La lnea AB es la cara
posterior de un muro de retencin y ABC es la cua de terreno que
deber fallar. Las fuerzas en la cua de falla por unidad
de longitud del muro son:
W= Peso de la Cua
E= Fuerza activa
F= resultante de las fuerzas de corte y normal a lo largo del
plano de falla.
-
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KhW y KvW, fuerzas de inercia en las direcciones horizontal y
vertical respectivamente, donde:
Kh= Componente horizontal de la aceleracin del terremoto
Kv= Componente vertical de aceleracin del terremoto.
g = Es la aceleracin de la gravedad
La fuerza activa determinada por el anlisis de la cua descrita
anteriormente, puede ser expresada por:
KaeKvHEae 12
1 2
Donde Kae, es el coeficiente de la presin activa del suelo con
efecto de terremoto:
2
2
2
cos
cos cos cos 1cos cos
Kae
sen sen
1tan
1
Kh
Kv
,
La ecuacin de Kae, generalmente es referida como la ecuacin de
la presin activa del suelo de Mononobe-Okabe
En el caso en que -- < 0; se asumira (--) = 0
Efecto de varios parmetros en el valor del Coeficiente de Presin
Activa de Tierra.
1. El efecto del ngulo de friccin del muro () para la mayora de
los casos prcticos de diseo, donde los
valores de () varan de 0 a , el efecto del ngulo de friccin del
muro en el valor de Kae es pequeo.
2. Un pequeo error en la toma del valor del ngulo de friccin
interna del suelo (), puede ser un gran error en la
estimacin del valor de Eae.
F
n
W
Eae
F
Eac
W
Derivacin de la ecuacin de Mononobe-Okabe
Df
H
A
C
Kv W
Kh W
B
Kv W
-
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3. El valor de Kae se incrementa con un incremento de la
inclinacin del relleno.
Punto de aplicacin del Empuje Activo Dinmico.
La solucin original de Mononobe-Okabe para la fuerza activa en
estructuras de retencin implica que la fuerza resultante
puede actuar a una distancia de 1/3H medida desde la base del
muro, similar que en el caso esttico. Sin embargo, pruebas
de laboratorio realizadas indican que la presin resultante Eac
acta a una distancia un poco ms grande de 1/3H.
Prakash y Basavanna (1969), realizaron un anlisis terico para la
determinacin de la ubicacin del punto de aplicacin de
la fuerza resultante basados en un esquema de equilibrio, su
estudio mostr que H variaba para distintas condiciones del
suelo y forma geomtrica del terrapln.
Seed y Whitman 1969, tomando en consideracin factores prcticos
de diseo, propusieron un procedimiento para la
determinacin de la lnea de accin de Eae, en donde se define H
como:
Eae
HEaeHEaH
6.0*3/1*
Donde: Eae= Eae-Ea
Ea= Presin Activa de Tierra de Coulomb.
Algo importante es que las formulas de Mononobe-Okabe no
consideran cohesin y La norma tcnica para Diseo de
cimentaciones y estabilidad de taludes de estructuras de
concreto reforzado de El Salvador (1997) no establece nada con
respecto a esto, entonces segn consulta con personal entendido
en la materia recomendaron emplear frmulas Japonesas
y el empuje seria
La que acta a la misma altura que la de Mononobe-Okabe y q es un
porcentaje de la carga puede estar entre (0.1 a 0.15)
de la carga.
Por el empuje pasivo que es calculado por Mononobe-Okabe se
toman las mismas consideraciones que para el activo por lo
tanto se determina de la siguiente manera:
4.36
-
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donde el coeficiente de empuje pasivo ssmico se expresa como
sigue:
2
2
2
coscos1coscos
sensenCos
CosKpe
Observaciones:
De la ecuacin para calcular el coeficiente Kae, debe cumplir que
el contenido del radical debe ser positivo para que una
solucin real sea posible y, por ello, es necesario:
v
h
K
Karc
1tan ; Esta condicin tambin puede ser til para especificar un
limite al coeficiente ssmico
horizontal; la condicin limite es: tan)1( vh KK