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MI68A Clase 4 Modelamiento de variogramaEl variograma
experimental requiere ser modelado: es imperfecto (los puntos
obtenidos estn sujetos a imprecisin) es incompleto (se calcul de
manera discreta a lo largo de algunas direcciones del espacio) Se
ajusta un modelo de variograma, definido en todas las direcciones
del espacio y para todas las distancias, en torno al variograma
experimental obtenido. Se usar este modelo como si fuera el
verdadero variograma de la funcin aleatoria que representa la
variable en estudio.
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Propiedades de un variograma terico funcin positiva: g(h) 0
funcin par: g(h) = g(-h) nulidad en el origen: g(0) = 0 funcin de
tipo negativo condicional para distancias muy grandes, crece menos
rpidamente que una parbolaUn variograma debe satisfacer varias
restricciones matemticas:
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Caractersticas esenciales de un variograma (1)1) Comportamiento
en el origenMientras ms regular el variograma en el origen
(distancias cercanas a 0), ms regular la variable regionalizada en
el espacio. Se distingue tres tipos de comportamiento para el
variograma: derivable: variable regionalizada muy suave
lineal: variable regionalizada continua
discontinuo (efecto pepita): variable regionalizada errtica
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Caractersticas esenciales de un variograma (2)
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Caractersticas esenciales de un variograma (3)2) Comportamiento
para distancias muy grandesFrecuentemente, el variograma se
estabiliza en torno a una meseta cuando la distancia crece
infinitamente.meseta= varianzaalcance
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Caractersticas esenciales de un variograma (4)A veces, el
variograma sigue creciendo infinitamente.
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Caractersticas esenciales de un variograma (5)3) Comportamiento
direccionalEl estudio de los variogramas direccionales o del mapa
variogrfico permite identificar las anisotropas de la variable
regionalizada.
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Caractersticas esenciales de un variograma (6)4) Otras
caractersticasPeriodicidades: frecuente con fenmenos temporales,
menos con fenmenos espacialesEfecto de hoyo: el variograma no es
montono
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Caractersticas no descritas por el variogramaEl variograma slo
proporciona una caracterizacin parcial de la funcin aleatoria;
varias caractersticas de la distribucin espacial no estn descritas
por esta herramienta, como la conectividad espacial de las
leyes.
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Modelos elementales (1)Efecto pepita:Este modelo se traduce en
una ausencia total de correlacin en el espacio: dos datos distintos
tienen valores independientes.
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Modelos elementales (2)Modelo esfrico:alcance = a, meseta =
C
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Modelos elementales (3)Modelo exponencial:El parmetro a es el
alcance prctico: corresponde a la distancia para la cual el
variograma llega al 95% de su meseta C.
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Modelos elementales (4)Modelo gaussiano:alcance prctico = a,
meseta = C
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Modelos elementales (5)Modelo potencia:El exponente q puede
variar entre 0 (variograma peptico) y 2 (variograma parablico).
Este variograma no posee alcance ni meseta
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Modelos elementales (6)Modelo seno cardinal:alcance prctico =
20.4 a, semi-perodo = 4.5 a, meseta = C
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Modelos anidados (1) Para obtener modelos ms complejos, se puede
sumar varios variogramas elementales. En este caso, se habla de
variogramas anidados.El uso de variogramas anidados permite modelar
cambios de pendientes en los variogramas direccionales.
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Modelos anidados (2) El concepto de variogramas anidados permite
explicar una de las causas del efecto pepita: se trata de un modelo
anidado de alcance muy corto con respecto a la escala de observacin
(micro-estructura).
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Modelos anidados (3) Otras causas que generan un efecto pepita
en el variograma experimental: errores de medicin errores en la
ubicacin de los datos muestreo preferencial en zonas de mayor
variabilidad soporte de la medicin demasiado pequeo: la amplitud
del efecto pepita es inversamente proporcional al volumen de la
muestra
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Anisotropa (1) DefinicinUn variograma es istropo si es idntico
en todas las direcciones del espacio. En caso contrario, existe
anisotropa, la cual indica que la variable regionalizada posee
direcciones preferenciales en cuanto a su continuidad
espacial.IdentificacinUna herramienta para detectar las anisotropas
es el mapa variogrfico, o sea el mapa de isovalores del variograma
experimental en funcin de la separacin (distancia y
orientacin).
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Anisotropa (2) Modelamiento: anisotropa geomtricaEl mapa
variogrfico dibuja elipses (2D) o elipsoides (3D). El modelamiento
slo requiere especificar las direcciones principales (ortogonales
entre s) y los alcances correspondientes.
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Anisotropa (3) Modelamiento: anisotropa zonalEl mapa variogrfico
dibuja bandas; se trata de un caso lmite de anisotropa geomtrica,
donde el alcance en una direccin se vuelve muy grande. A la escala
de trabajo, la meseta cambia segn la direccin.
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Anisotropa (4) Modelamiento: anisotropas complejasSe obtiene
formas ms complejas de anisotropa al superponer anisotropas
geomtricas y/o zonales de orientacin y razn diferentes.
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Reglas de ajuste (1) EjercicioProponer un modelo para el
siguiente variograma, suponiendo que las direcciones principales
corresponden a los ejes de coordenada
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Reglas de ajuste (2) Regla: 1) Determinar el efecto pepita2)
Determinar los alcances y mesetas en cada direccin3) Determinar la
cantidad y los tipos de modelos que se anidarn para el ajuste
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Reglas de ajuste (3) Empezamos con un efecto pepita de amplitud
(meseta) 0.1Luego se agrega una estructura (exponencial) que llega
a la primera meseta, con alcances propios a cada direccinLuego se
agrega una segunda estructura para llegar a la segunda meseta,
dejando infinito el alcance en la direccin 1Finalmente se agrega
una tercera estructura para llegar a la meseta total, dejando
infinitos los alcances en las direcciones 1 y 2g(h) = 0.1 pepa +
0.9 exp(200m,120m,50m) + 0.3 exp(,120m,50m) + 0.2 exp(,,50m)
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Reglas de ajuste (4) Verificacing(h) = 0.1 pepa + 0.9
exp(200m,120m,50m) + 0.3 exp(,120m,50m) + 0.2 exp(,,50m)La suma de
las mesetas de los modelos anidados vale:
0.1 + 0.9 + 0.3 + 0.2 = 1.5 = meseta total
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Consideraciones prcticas (1) Generalmente, se busca modelar
anisotropas sencillas, con 2 3 direcciones principales ortogonales
entre s buscar la elipse o el elipsoide que mejor se acerca al mapa
variogrfico El variograma experimental es poco confiable para las
distancias grandes (superiores a la mitad del dimetro del campo).
La meseta del variograma (varianza terica) puede diferir de la
varianza del histograma (varianza emprica).
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Consideraciones prcticas (2) Se debe prestar atencin a la
representatividad de los puntos experimentales, a la informacin
disponible sobre la variable regionalizada y a la escala de
trabajo. Desconfiar de los procedimientos de ajuste automticos el
anlisis variogrfico debe ser un trabajo interactivo, donde el
usuario tiene la palabra final. No existe un modelo nico.
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Aplicacin a los datos de Andina (1)Estudio de anisotropa (mapa
variogrfico)Se destaca la direccin vertical, en oposicin con las
direcciones horizontales.
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Aplicacin a los datos de Andina (2)Variograma
experimentalCalculado cada 20m en el plano horizontal y 12m en la
vertical (con tolerancia angular de 15 )
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Aplicacin a los datos de Andina (3)Variograma modeladoAdicin de
tres modelos (pepita y dos esfricos):g(h) = 0.05 pep + 0.13 esf
(15m,180m) + 0.28 esf(100m,180m)
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Validacin cruzada (1) validar el modelo terico de variograma
comparar la calidad de varios modelos posibles validar los
parmetros del kriging (vecindad...) ObjetivosEl kriging es un mtodo
que permite estimar el valor de una variable con un promedio
ponderado de los valores de los datos vecinos. La ponderacin ptima
depende del modelo de variograma. Como resultado, el kriging tambin
entrega la desviacin estndar del error, que mide la amplitud
potencial de ste.
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Validacin cruzada (2) estimar sucesivamente por kriging cada
dato, considerando solamente los datos restantes calcular el error
de estimacin (valor estimado menos valor real) cometido en cada
sitio con dato estudiar la calidad de los errores de estimacin por
medio de herramientas estadsticas y grficas. Se puede complementar
con el estudio de errores estandarizados (es decir, los errores
divididos por su desviacin estndar calculada por el
kriging).Principio
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Validacin cruzada (3)Ilustracin con los datos de Andina
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Validacin cruzada (4)Ilustracin con los datos de Andina
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Validacin cruzada (5) medias de los errores y de los errores
estandarizados varianza de los errores varianza de los errores
estandarizados nube de dispersin entre valores reales y
estimadosdeben ser cercanas a cero estimador insesgadodebe ser la
ms pequea posible estimador preciso debe ser cercana a 1 el
variograma cuantifica adecuadamente la incertidumbre la regresin
debe acercarse a la diagonal insesgo condicional Factores que
considerar para la validacin del modelo
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Validacin cruzada (6)Qu implica tener sesgo
condicional?Supongamos que se produce sesgo condicional al momento
del control de leyes (seleccin entre mineral y estril)ley de
cortebotaderoCentro de gravedad sobre la diagonal: la ley media
estimada es menor que la ley verdadera.Centro de gravedad de la
nube en la diagonal: la ley media estimada es igual a la ley media
verdadera.
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Validacin cruzada (7)Qu implica tener sesgo
condicional?Supongamos que se produce sesgo condicional al momento
del control de leyes (seleccin entre mineral y estril)ley de
corteplantaCentro de gravedad bajo la diagonal: la ley media
estimada es mayor que la ley verdadera.
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Validacin cruzada (8)Estudio del insesgo condicional Ley de
corte [%Cu] Media efectiva Media estimada 0.00 1.054 1.056 0.20
1.054 1.056 0.40 1.092 1.094 0.60 1.182 1.186 0.80 1.299 1.301 1.00
1.446 1.451 1.20 1.628 1.629 1.40 1.849 1.846 1.60 2.043 2.046 1.80
2.325 2.295 2.00 2.608 2.563 2.20 2.996 2.922 2.40 3.301 3.123 2.60
3.746 3.490 2.80 3.970 3.657Comparar las leyes promedio reales y
estimadas al seleccionar los datos cuyos valores estimados superan
una ley de corte
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Validacin cruzada (9)Estudio del insesgo condicionalEn este
caso, el sesgo condicional es despreciable.