Conf #1 Asignatura: Análisis numérico Horario y frecuencia: jueves III y viernes II-III Horario de consulta: Viernes 02:20-04:00 pm Evaluación: 30% laboratorios (9) y 70% tareas (7) Objetivos Generales: Adecuar la formulación matemática de un problema para ser tratado numéricamente. Aplicar algoritmos conocidos a la solución de un problema numérico. UNIDADES I Introducción a los métodos numéricos II Errores. III Sistemas de ecuaciones lineales IV Ecuaciones no lineales V Interpolación y aproximación de funciones VI Diferenciación e integración numéricas VII Ecuaciones diferenciales VIII Optimización Unidad I: Introducción a los Métodos Numéricos Objetivos de la Unidad. A. Conocer algunos conceptos e ideas básicas utilizadas en el análisis numérico. 1.1 Conceptos e ideas básicos: análisis numérico, método numérico, iteración, aproximación local de una función. Uso de los métodos numéricos en Ingeniería química Área Ejemplo de problemas Balance de materia y energía Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales Transferencia de calor Problemas de valores de frontera Transferencia de masa Problemas de valores de frontera Diseño de reactores Optimización Tarea: Investigar aplicaciones (Asignatura y en que problemas) del método numérico en la carrera
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Conf #1
Asignatura: Análisis numérico
Horario y frecuencia: jueves III y viernes II-III Horario de consulta: Viernes 02:20-04:00 pm
Evaluación: 30% laboratorios (9) y 70% tareas (7)
Objetivos Generales:
Adecuar la formulación matemática de un problema para ser tratado numéricamente.
Aplicar algoritmos conocidos a la solución de un problema numérico.
UNIDADES
I Introducción a los métodos numéricos
II Errores.
III Sistemas de ecuaciones lineales
IV Ecuaciones no lineales
V Interpolación y aproximación de funciones
VI Diferenciación e integración numéricas
VII Ecuaciones diferenciales
VIII Optimización
Unidad I: Introducción a los Métodos Numéricos
Objetivos de la Unidad.
A. Conocer algunos conceptos e ideas básicas utilizadas en el análisis numérico.
1.1 Conceptos e ideas básicos: análisis numérico, método numérico, iteración, aproximación local de
una función.
Uso de los métodos numéricos en Ingeniería química
Área Ejemplo de problemas
Balance de materia y energía Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
Transferencia de calor Problemas de valores de frontera
Transferencia de masa Problemas de valores de frontera
Diseño de reactores Optimización
Tarea: Investigar aplicaciones (Asignatura y en que problemas) del método numérico en la carrera
Modelo matemático: Es una formulación o una ecuación que expresa las características, esenciales de
un sistema físico o proceso en términos matemáticos.
Vd = f (vi, p , f )
Vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema.
Vi = variables independientes como tiempo o espacio a través de las cuales el comportamiento del
sistema será determinado.
P = parámetros , son reflejos de las propiedades o la composición del sistema.
f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre el sistema.
Ejemplos: Ley de Newton F=ma
Pasos del modelo matemático
Los métodos numéricos son aquellos en los que se formula el problema matemático para que se pueda
resolver mediante operaciones aritméticas. La descripción completa de las operaciones (aritméticas y
lógicas) utilizadas por un método numérico, se le llama algoritmo.
Iteración o aproximación sucesiva: Es la repetición de un patrón de acción o proceso.
X=F(X), X1=F(X0), X2=F(X1), …
Conf #2
Unidad II: Errores
Objetivos de la Unidad.
a. Conocer las fuentes de error en los métodos numéricos, las diferentes formas de expresar errores y algunos conceptos relacionados con los errores.
Las soluciones numéricas son, en su mayoría, aproximaciones de las soluciones exactas.
Cálculo del valor de la integral por aproximación:
( )
b
a
f x dx
Si utilizamos un número infinito de rectángulos, cada uno con largo y=f(x) para cada valor de x en el
intervalo [a,b] y ancho delta de x, nuestra área no será más una aproximación:
Error= Valor verdadero – Valor aproximado (calculado)
Fuentes de error:
Datos de entrada: Inadecuada mediciones o por truncamiento de los datos.
Redondeo durante el cálculo: se da durante los cálculos intermedios.
a) 42.37834 = 42.38
b) 382.154 = 382.2
c) 545.21 = 545.2
Truncamiento del método empleado: Se da cuando se realizan un número infinito de pasos se detiene
en un número finito de pasos.
Función en serie infinita 2 3 4
1 ...2! 3! 4!
x x x xe x
Una aproximación sería 2 3
12! 3!
x x xe x
Ejercicio Para estos casos las series de Taylor, en los métodos numéricos, expresan las funciones en
forma polinomial:
Use términos en la serie de Taylor de cero a 4to orden para aproximar la función f(x) = -0.1x4 –0.15x3-
0.5x2-0.25x +1.2, desde xi = 0 con h =1 para predecir el valor de la función en x1 +1 = 1.
Ubicación de las fuentes de error en un proceso numérico
Tipos de errores:
Error absoluto: Es igual a la diferencia entre el valor verdadero (Vv) y el valor aproximado (Vc):
Ea Vv Vc
Error Relativo: Es el cociente del error absoluto respecto al valor verdadero:
Vv VcEaEr
Vv Vv
actual- previa
actual
Aprox AproxEr
Aprox Cuando no se conoce la respuesta verdadera
Error Relativo Porcentual: 100Ea
Er xVv
Ejemplo
Suponga que el valor para un cálculo debería ser Vv = 0.10 x 102 pero se obtuvo el resultado de Va = 0.08
x 102. Determine el error absoluto y el error relativo porcentual:
EA = [0.10 x 102 – 0.08 x 102]= 2 = 0.2 x 101
ERP = 0.2 x 101 x 100 = 20%
0.10 x 102
Cifras significativas.- Es el conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el valor de una
magnitud independientemente de las unidades de medidas utilizadas.
40072 ( 5 c.s. )
3.001 ( 4 c.s. )
0.000203 ( 3. c.s. )
Ejercicio: Redondear a 4 cifras significativas:
42.37834 = 42.38
382.154 = 382.2
545.21 = 545.2
Exactitud.- Lo que está más cerca del valor verdadero.
Precisión.- Se refiere a
que tan cercano esta un
valor individual medido
o calculado con respecto
a los otros.
Conf #3
Unidad III: Sistemas de ecuaciones lineales
Objetivos de la Unidad.
a. Aplicar métodos directos e iterativos a la solución de sistemas de ecuaciones lineales, calcular el error en la solución y explicar las ventajas y desventajas del uso de estos métodos.
Para un sistema de ecuaciones algebraicas lineales
a11 x1 + a12 x2 + **** a1n xn = b1 E1
a12 x2 + a21 x2 + **** a2n xn = b2 E2
*
am1 x1 + am2 x2 + **** ann xn = bn En
En forma matricial Ax=b. La matriz aumentada A es :
a11 a12 ***** a1n X1 b1
A = a21 a22 ***** a2n X2 = b2
a31 a32 ***** a3n xn bn
La solución se da cuando det (A) es diferente a cero. Es un sistema no singular. Si es igual a cero, el
sistema tiene infinitas soluciones.
La solución es: X=A-1b
Métodos directos
Se da cuando después de cierto número finito de pasos da la solución del problema.
A. Eliminación Gaussiana
Es el método de mayor uso para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Se aplica cuando el
sistema es no homogéneo (Al menos uno de los términos independientes tiene que ser diferente de cero).
Si el sistema es homogéneo, brinda una respuesta trivial (igual a cero).
Procedimiento:
Transformar una matriz A en un sistema triangular superior: eliminación hacia adelante. El procedimiento
para encontrar la solución: sustitución hacia atrás.
Ejercicios
Reducir el sistema de ecuaciones:
X1 +X2 +X3 +3X4 = 4
2 X1 +X2 -X3 +X4 = 1
3X1 -X2 -X3 +2X4 = -3
-X1 +2X2 +3X3 -X4 = 4
Use la eliminación de Gauss para resolver:
Efectuando los cálculos con 6 cifras significativas
Conf #4
Tema: Eliminación Gaussiana con pivoteo parcial
Cuando algunos elementos de la diagonal principal se hacen cero durante el proceso de eliminación hacia
adelante, es necesario aplicar la técnica llamada PIVOTEO: Consiste intercambiar las filas en la matriz
ampliada Ab. Tienen la siguiente ventaja:
Evita que los elementos de la diagonal principal sean ceros.
Disminuye el error de redondeo. Aplicando que el coeficiente de la diagonal principal tenga la
mayor magnitud en valor absoluto que los coeficientes por debajo de él.
El intercambio de filas se realiza entre la fila de referencia y alguna de las filas que están por debajo de