Clase 3 (Progresiones)

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Clase 3: Progresiones aritméticas y geométricas

Álgebra y Trigonometría

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Temas

• Definición de progresión• Progresión aritmética

• Definición de progresión aritmética• n-ésimo término de una progresión aritmética• Suma de los términos de una progresión aritmética• Problemas de aplicación de progresiones aritméticas

• Progresión geométricas• Definición de progresión geométrica• n-ésimo término de una progresión geométrica• Suma de los términos de una progresión geométrica• Problemas de aplicación de progresiones geométricas


Clase 3: Progresiones aritméticas y geométricas Álgebra y Trigonometría

Progresión



Definición de progresión

Toda progresión matemática es una sucesión de números o términos algebraicos entre los cuales hay una ley de formación constante. Se distinguen dos tipos:• Progresión aritmética• Progresión geométrica



Progresión aritmética



Definición de progresión aritmética

Una progresión aritmética es una sucesión de números reales de la forma a1, a2, a3, … , an donde la diferencia entre cualquier par de números consecutivos es siempre constante, es decir, ak+1 − ak = d para 1 ≤ k < n.Donde:● a1 es el primer término de la progresión.● d es la diferencia común.● n es el número de términos.● an es el n-ésimo término de la progresión.



Ejemplo de progresiones aritméticasLas siguientes son ejemplos de progresiones aritméticas.



- 4 , -8 , -12 , -16 , -20

0 , , 1 , , 2 , , 3, , 4

5, 10, 15, 20, 25

n-ésimo término de una progresión aritméticaEl n-ésimo término de una progresión aritmética viene dado por:



an = a1 + (n − 1)d

EjemploCalcular el decimoséptimo término de la siguiente progresión:−7, −5, −3, −1, …



an = a1 + (n − 1)d

EjemploEscribir la progresión aritmética cuyo cuartotérmino es 10 y el sexto es 16.



an = a1 + (n − 1)d

Suma de términos de una progresión Aritmética

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética está dada por:

ó



Sn =

Sn = [1 + n]

Ejemplo



Hallar la suma de los 20 primeros términos de lasiguiente progresión: −7, −5, −3, −1, …

Sn = [2a1 +(n-1)d]

Ejemplo



Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

Sn =

Problemas de aplicación





La dosis de un medicamento es 100 mg el primer día y 5 mg menos cada uno de los siguientes días. El tratamiento dura 12 días, ¿cuánta cantidad de medicamento se tiene que tomar durante todo el tratamiento?, ¿qué cantidad se debe tomar el noveno día?



La dosis de un medicamento es 100 mg el primer día y 5 mg menos cada uno de los siguientes días. El tratamiento dura 12 días, ¿cuánta cantidad de medicamento se tiene que tomar durante todo el tratamiento?, ¿qué cantidad se debe tomar el noveno día?

Sn = [2a1 + (n − 1)d] .n2



La dosis de un medicamento es 100 mg el primer día y 5 mg menos cada uno de los siguientes días. El tratamiento dura 12 días, ¿cuánta cantidad de medicamento se tiene que tomar durante todo el tratamiento?, ¿qué

cantidad se debe tomar el noveno día?

an = a1 + (n − 1)d

Progresión geométrica





Definición de progresión geométricaUna progresión geométrica es una sucesión de números reales de la forma a1, a2, a3, …, an donde el cociente entre dos términos consecutivos cualesquiera es constante, es decir, = r es constante para 1 ≤ k < n.

Donde:a1 es el primer término de la progresión.r es la razón común.n es el número de términos.an es el n-ésimo término de la progresión.

Ejemplo de progresiones geométricas

Las siguientes son ejemplos de progresiones geométricas.

4, 12, 36, 108, 324, 972

−2, −4, −8, −16, −32,

−3, 6, −12, 24, −48



n-ésimo término de una progresión geométricaEl n-ésimo término de una progresión geométrica viene dado por:



an = a1rn − 1

Ejemplo

an = a1rn − 1



Calcular el décimo término de la siguiente progresión:1, 5, 25, 125, …

Ejemplo

an = a1rn − 1



Escribir una progresión geométrica cuyo segundotérmino es 6 y el quinto es 48.

Suma de términos de una progresión geométrica

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica está dada por:



Sn = con r ≠ 1

a1 (1 − rn)1 − r

Ejemplo



Calcular la suma de los 10 primeros términos de la siguiente progresión:

1, 5, 25, 125, …

Sn = con r ≠ 1

a1 (1 − rn)1 − r

Ejemplo



La suma de los 7 primeros términos de una progresióngeométrica de razón común 3 es 7651. Halle el primero y elséptimo término.

Sn = con r ≠ 1

a1 (1 − rn)1 − r

Problemas de aplicación



Un padre proyecta colocar en un baúl $1000 el día que su hijo cumpla un año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en todos los cumpleaños.¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl a los 18 años?






an = a1rn − 1


Sn = con r ≠ 1

a1 (1 − rn)1 − r

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