Clase 12 ondas electromagneticas TE

Ondas ElectromagnéticasClase 12

18-Julio-2014

Ondas Electromagnéticas

Se estableció que un campo eléctrico que varía con el tiempo 𝐸(𝑡)

produce un campo magnético que varía con el tiempo 𝐻(𝑡) y, a la

inversa, un campo magnético que varía con el tiempo produce un campo

eléctrico. Este patrón cíclico genera ondas electromagnéticas (EM)

capaces de propagarse a través del espacio libre y en medios materiales.

Cuando su propagación sigue el curso de una estructura material, como

una línea de transmisión, se dice que la onda EM viaja en un medio

guiado.


La superficie terrestre y la ionosfera constituyen límites paralelos de una

estructura natural de guía para la propagación de transmisiones de radio

de onda corta en la banda 𝐻𝐹 (3 𝑎 30 𝑀𝐻𝑧) ; la ionosfera es un buen

reflector a estas frecuencias, lo que permite que las ondas vayan en

zigzag entre los dos límites.



Las ondas EM también pueden viajar en medios sin fronteras; las ondas

luminosas que emite el sol y las transmisiones de radio emitidas por antenas

son ejemplos típicos


La atención se enfocará en la propagación de ondas en un medio sin

fronteras. Se considerarán tanto medios con pérdidas como sin ellas. La

propagación de ondas en un medio sin pérdidas (dieléctrico perfecto,

como el aire) es similar a aquella a través de una línea de transmisión sin

pérdidas. En un medio con pérdidas caracterizado por una conductividad

diferente de cero, como el agua, una parte de la potencia transportada

por la onda electromagnética se convierte en calor, exactamente como

lo que le sucede a una onda que se propaga a través de una línea de

transmisión con pérdidas.


Cuando una fuente (como una antena) emite energía, ésta se expande

hacia fuera de la fuente en la forma de ondas esféricas, como se ilustra en

la figura.

Aun cuando la antena puede irradiar más energía a lo largo de algunas

direcciones que a lo largo de otras, las ondas esféricas viajan con la misma

rapidez en todas las direcciones y, por lo tanto, se expanden a la misma

tasa


Ondas irradiadas por una fuente EM, como una

bombilla de luz o una antena, tienen frentes de

onda esféricos


Para un observador alejado de la fuente, el frente de las ondas esféricas

aparece aproximadamente plano, como si fuera una parte de una onda

plana uniforme con propiedades uniformes en todos los puntos del plano

tangente al frente de ondas. La propagación de ondas planas puede

describirse mediante coordenadas cartesianas con las que es más fácil

trabajar matemáticamente que con las coordenadas esféricas requeridas

para describir la propagación de una onda esférica


Sin embargo, para un observador distante, el frente

de onda que atraviesa la abertura del observador

parece aproximadamente plano


Campos armónicos

En el caso de variación con el tiempo, los campos eléctricos y magnéticos

E, D, B y H, y sus fuentes, la densidad de carga 𝜌𝑣 y la densidad de

corriente 𝐽, son (cada uno y en general) una función de las coordenadas

espaciales (𝑥, 𝑦, 𝑧) y la variable de tiempo 𝑡.

Si su variación con el tiempo es una función sinusoidal con frecuencia

angular 𝜔 , cada una de estas cantidades se representa por un fasor

independiente del tiempo que depende sólo de (𝑥, 𝑦, 𝑧).


Por lo tanto, el fasor vectorial 𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧 correspondiente al campo

instantáneo 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧; 𝑡) se define de acuerdo con

𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧: 𝑡 = 𝑅𝑒 𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑒𝑗𝜔𝑡

Y definiciones similares son aplicables a los demás campos y a 𝜌𝑉 y 𝐽. Para

un medio lineal, isotrópico y homogéneo caracterizado por la permitividad

eléctrica𝜀, permeabilidad magnética 𝜇 y conductividad 𝜎, se recuerda

que la diferenciación en el dominio del tiempo corresponde a multiplicar

por 𝑗𝜔 en el dominio fasorial.


Como la mayoría de las regiones de interés son libres de carga, se supone

que 𝜌 = 0. Por otro lado, hay que suponer, materiales lineales isotrópicos de

tal manera que 𝐷 = 𝜖𝐸, 𝐵 = 𝜇𝐻 𝑦 𝐽𝐶 = 𝜎𝐸.

Isotrópico quiere decir que no depende de la elección de los ejes. no

importa para que lado estés midiendo cierta propiedad o magnitud física

siempre va a medir lo mismo.

Un ejemplo sencillo, se asume al espacio isotrópico, es decir, medir un

metro hacia arriba, es lo mismo que medirlo de lado, diagonal, etc. Un

ejemplo en donde no se cumple la isotropía, si tu tienes un material, y es

mas difícil estirarlo de izquierda a derecha que de arriba abajo, pues se

dice que dicha propiedad de estirarlo (rigidez) es anisotropía.


En electromagnetismo algunas de las propiedades que puedes medir son:

conductividad, susceptibilidad magnética, susceptibilidad eléctrica,

resistividad, etc. Si esas propiedades no dependen de la dirección (u

orientación de los ejes) se dice que el cuerpo es isotrópico.

Por ejemplo si tu cuerpo tiene igual valor de conductividad cuando la

corriente lo atraviesa de arriba a abajo, que de izquierda a derecha (y en

general de todas las posibles direcciones) se dice que ese es un cuerpo

isotrópico con respecto a la conductividad.

Ecuaciones de Onda

Con base en los principios anteriores y suponiendo que tanto 𝐸 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐻 son

dependientes del tiempo 𝑒𝑗𝜔𝑡, las ecuaciones de Maxwell se transforman

en:

Ahora aplicamos la identidad vectorial

𝛻 × 𝐻 = 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 𝐸 1𝛻 × 𝐸 = −𝑗𝜔𝜇𝐻 2𝛻 ∙ 𝐸 = 0 3𝛻 ∙ 𝐻 = 0 (4)

𝛻 × 𝛻 × 𝐴 ≡ 𝛻 𝛻 ∙ 𝐴 − 𝛻2𝐴

Ecuaciones de Onda

Donde, tan solo en coordenadas cartesianas

Tomando el rotacional de (1) y (2), y utilizando (3) y (4)

Ahora sustituyendo 𝛻 × 𝐸 𝑦 𝛻 × 𝐻 de (2) y (1), se obtienen las ecuaciones

vectoriales

𝛻2𝐴 = 𝛻2𝐴𝑥 𝑎𝑥 + 𝛻2𝐴𝑦 𝑎𝑦+ 𝛻2𝐴𝑧 𝑎𝑧

𝛻2𝐻 = 𝛾2𝐻 𝛻2𝐸 = 𝛾2𝐸

−𝛻2𝐻 = 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 𝛻 × 𝐸−𝛻2𝐸 = −𝑗𝜔𝜇 𝛻 × 𝐻

Ecuaciones de Onda

Donde 𝛾2 = 𝑗𝜔𝜇 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 . La constante de propagación, 𝛾 , es la raíz

cuadrada de 𝛾2 cuyas partes real e imaginaria son positivas:

con

γ = 𝛼 + 𝑗𝐵

𝛼 = 𝜔𝜇𝜖

21 +

𝜎

𝜔𝜖

2

− 1

𝛽 = 𝜔𝜇𝜖

21 +

𝜎

𝜔𝜖

2

+ 1

Ecuaciones de Onda

La constante 𝛼 se llama factor de atenuación y 𝛽 se llama constante de

crecimiento de fase. 𝛾 (Gamma) tiene unidades 𝑚−1 , sin embargo, es

costumbre dar 𝛼 𝑦 𝛽 𝑒𝑛𝑁𝑝

𝑚𝑦

𝑟𝑎𝑑

𝑚, respectivamente, donde el neper (Np) es

una unidad adimensional como el radián.

Soluciones en Coordenadas

Cartesianas

La familiar ecuación escalar de onda en una dimensión

Tiene soluciones de la forma 𝐹 = 𝑓 𝑧 − 𝑈𝑡 𝑦 𝐹 = 𝑔 𝑧 + 𝑈𝑡 , donde 𝑓 𝑦 𝑔 son

funciones arbitrarias. Estas representan ondas que viajan con velocidad 𝑈

en las direcciones +𝑧 𝑦 − 𝑧, respectivamente, de acuerdo a la siguiente

figura.

𝜕2𝐹

𝜕𝑧2 =1

𝑈2

𝜕2𝐹

𝜕𝑡2


Cartesianas

𝑓 𝑧𝑜

𝑈𝑡1

𝑓 𝑧1 − 𝑈1𝑡1

𝑡 = 𝑡1𝑡 = 0


Cartesianas

En particular, si se supone una variación armónica de tiempo 𝑒𝑗𝜔𝑡 , la

ecuación de onda se convierte en

Con soluciones (incluyendo el factor temporal) de la forma

O en las partes real o imaginaria de estas.

𝜕2𝐹

𝜕𝑧2 = −𝛽2𝐹 𝛽 =𝜔

𝑈

𝐹 = 𝐶𝑒𝑗 𝜔𝑡−𝛽𝑧 𝐹 = 𝐷𝑒𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧


Cartesianas

𝐶𝑡 = 0

𝑡 =𝜋

2𝜔

𝑑

𝐹

𝑧

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2


Cartesianas

La figura 2 muestra una de estas soluciones, 𝐹 = 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 , 𝑒𝑛 𝑡 = 0 𝑦 𝑒𝑛 𝑡 =𝜋

2𝜔;

durante este intervalo de tiempo la onda se ha movido una distancia 𝑑 =𝑈𝜋

2𝜔

=

𝜋/2𝛽 a la derecha. Para cualquier 𝑡 fijo, la forma de onda se repite cuando 𝑧cambia a 2𝜋/𝛽. La distancia

Se llama longitud de onda. De esta manera en la figura 2, la onda avanzadoun cuarto de longitud de onda a la derecha. La longitud de onda y lafrecuencia 𝑓 = 𝜔/2𝜋, guardan entre si la relación conocida

También, 𝜆 = 𝑇𝑈 donde 𝑇 =1

𝑓= 2𝜋/𝜔 es el periodo

𝜆 =2𝜋

𝛽

𝜆𝑓 = 𝑈


Cartesianas

Las ecuaciones vectoriales de onda tienen soluciones similares a las yadiscutidas anteriormente. Como los vectores unidad 𝑎𝑥, 𝑎𝑦 𝑦 𝑎𝑧 en

coordenadas cartesianas tienen direcciones fijas, la ecuación de onda

para 𝐻 puede reescribirse bajo la forma

De especial interés son las soluciones (ondas planas) que dependen solo

de una coordenada espacial, digamos 𝑧.

𝜕2𝐻

𝜕𝑥2 +𝜕2𝐻

𝜕𝑦2 +𝜕2𝐻

𝜕𝑧2 = 𝛾2𝐻


Cartesianas

La ecuación se convierte entonces en

Dando

Las soluciones correspondientes para el campo eléctrico son

𝑑2𝐻

𝑑𝑧2 = 𝛾2𝐻

𝐻 = 𝐻𝑜𝑒±𝑦𝑧𝑎𝐻 ó 𝐻 𝑧, 𝑡 = 𝐻𝑜𝑒

±𝑦𝑧𝑒𝑗𝜔𝑡𝑎𝐻

𝐸 = 𝐸𝑜𝑒±𝑦𝑧𝑎𝐸 ó 𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸𝑜𝑒

±𝑦𝑧𝑒𝑗𝜔𝑡𝑎𝐸


Cartesianas

Aquí 𝑎𝐻 𝑦 𝑎𝐸 son vectores unitarios. La cantidad compleja 𝛾 se definióanteriormente

Se demuestra que

Es decir que ningún campo tienen componente en la dirección depropagación.

Siendo esto así se pueden rotar siempre los ejes para colocar uno de loscampos, digamos 𝐸 a lo largo del eje 𝑥. Entonces se demuestra que 𝐻 yace alo largo del eje 𝑦.

La solución de onda plana que se acaba de obtener depende, vía 𝛾, de laspropiedades del medio 𝜇, 𝜖 𝑦 𝜎

𝑎𝐻 ∙ 𝑎𝑧 = 𝑎𝐸 ∙ 𝑎𝑧 = 0

Soluciones para medios parcialmente

conductores

Para una región de poca conductividad (ej.: suelo húmedo, agua de

mar), la solución de la ecuación de onda E es

La razón 𝐸/𝐻 es característica del medio (también dependen de lafrecuencia). Mas específicamente, para ondas 𝐸 = 𝐸𝑥𝑎𝑥 , 𝐻 = 𝐻𝑦𝑎𝑦 que se

propaga en la dirección +𝑧, la impedancia intrínseca, 𝜂, del medio se

define por:

De esta manera

𝐸 = 𝐸𝑜𝑒−𝛾𝑧𝑎𝑥

𝜂 =𝐸𝑥

𝐻𝑦

𝜂 =𝑗𝜔𝜇

𝜎 + 𝑗𝜔𝜖


conductores

Donde la raíz cuadrada puede escribirse en forma polar 𝜂 ∠𝜃 con

(Si la onda se propaga en la dirección −𝑧,𝐸𝑥

𝐻𝑦= −𝜂 . En efecto, 𝛾 se

reemplaza por −𝛾 y se usa la otra raíz cuadrada).

𝜂 =𝜇/𝜖

4

1 +𝜎𝜔𝜖

2𝑡𝑎𝑛2𝜃 =

𝜎

𝜔𝜖𝑦 0𝑜 < 𝜃 < 45𝑜


conductores

Al introducer el factor tiempo 𝑒𝑗𝜔𝑡 y al escribir 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 se obtiene lassiguientes ecuaciones para campos en una región parcialmente conductora:

El factor 𝑒−𝛼𝑧 atenúa las magnitudes de 𝐸 𝑦 𝐻 cuando se propagan endirección +𝑧. La expresión para 𝛼,esto demuestra que existe atenuación amenos que la conductividad 𝜎 sea cero, lo que solo es el caso de dieléctricosperfectos o de espacio vacío.

𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸𝑜𝑒−𝛼𝑧𝑒𝑗 𝜔𝑡−𝛽𝑧+𝜃 𝑎𝑥 o 𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸𝑜𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎𝑥

𝐻 𝑧, 𝑡 =𝐸𝑜

𝜂𝑒−𝛼𝑧𝑒𝑗 𝜔𝑡−𝛽𝑧+𝜃 𝑎𝑦 o 𝐻 𝑧, 𝑡 =

𝐸𝑜

𝜂𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎𝑦


conductores

De la misma manera, la diferencia de fase temporal 𝜃, 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐸 𝑧, 𝑡 𝑦 𝐻(𝑧, 𝑡)desaparece solo cuando 𝜎 es cero. La velocidad de propagación y lalongitud de onda están dadas por:

Si se conoce la velocidad de propagación 𝜆𝑓 = 𝑈 puede usarse paradeterminar la longitud de onda 𝜆.

𝑈 =𝜔

𝛽=

1

𝜇𝜖2 1 +

𝜎𝜔𝜖

2+ 1

𝜆 =2𝜋

𝛽=

2𝜋

𝜔 1 +𝜎𝜔𝜖

2+ 1


conductores

El termino 𝜎/𝜔𝜖 2 reduce tanto el valor de la velocidad como el de la

longitud de onda, de lo que serían en el espacio vacío o dieléctricos

perfectos, donde 𝜎 = 0. Obsérvese que el medio es dispersivo, es decir,

ondas con frecuencias diferentes 𝜔 tienen diferentes velocidades 𝑈.

Problemas

Problema 1

Una onda viajera está descrita por 𝑦 = 10𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑧 − 𝜔𝑡 . Dibuje en 𝑡 =

0 𝑦 𝑒𝑛 𝑡 = 𝑡1 cuando ha avanzado𝜆

8, si la velocidad es de 3 × 108 𝑚/𝑠 y la

frecuencia angular es 𝜔 = 106 𝑟𝑎𝑑

𝑠, 𝑏)𝜔 = 2 × 106 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y el mismo 𝑡1

Problemas

Solución Inciso a

La onda avanza 𝜆 en un periodo, 𝑇 = 2𝜋/𝜔. Por tanto tenemos que

𝑡1 =𝑇

8=

2𝜋/𝜔

8=

𝜋

4𝜔

𝜆

8= 𝑐𝑡1 = 3 × 108 𝜋

4 106 = 236m

𝑡 = 0

𝑡 = 𝑡110

𝜔 = 106

𝑧

𝑦

𝜆/2 𝜆

236𝑚

Problemas

Solución inciso b

La onda avanza 𝜆 en un periodo, 𝑇 = 2𝜋/𝜔. Por tanto tenemos que

𝑡1 =𝑇

8=

2𝜋/𝜔

8=

𝜋

4𝜔

𝜆

8= 𝑐𝑡1 = 3 × 108 𝜋

4 2×106 = 118m

𝑡 = 0

𝑡 = 𝑡110

𝜔 = 2 × 106

𝑧

𝑦

𝜆/2 𝜆

118𝑚

Soluciones para dieléctricos perfectos

Para un dieléctrico perfecto, 𝜎 = 0 y así

Como ∝= 0 no hay atenuación de las ondas 𝐸 𝑦 𝐻. El angula cero sobre 𝜂produce un 𝐻 que esta en fase temporal con 𝐸 en cada localización fija.

Suponiendo 𝐸 en 𝑎𝑥 y la propagación en 𝑎𝑧, las ecuaciones de campo

pueden obtenerse como limites, como se denota a continuación:

𝛼 = 0 𝛽 = 𝜔 𝜇𝜖 𝜂 =𝜇

𝜖∠00

𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸𝑜𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝛽𝑧)𝑎𝑥


𝜂𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝛽𝑧)𝑎𝑦

Soluciones para dieléctricos perfectos

La velocidad de la onda y la longitud de la onda son:

Para espacio vacío

𝑈 =𝜔

𝛽= 4𝜋 × 10−7

𝐻

𝑚𝜖 = 𝜖𝑜 = 8.854 ×

10−12𝐹

𝑚≈

10−9

36𝜋𝐹/𝑚

𝜂 = 𝜂𝑜 ≈ 120𝜋 Ω 𝑦 𝑈 = 𝑐 ≈ 3 × 108 𝑚/𝑠

Problemas

Problema 2

En el espacio vacío, 𝐸 𝑧, 𝑡 = 103𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑦 (𝑉/𝑚). Obtenga 𝐻(𝑧, 𝑡)

Problemas

Solución

Un examen de la fase, 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧, revela que la dirección de la propagación

es +𝑧, 𝐻 debe tener dirección −𝑎𝑥. Por tanto

𝐸𝑦

−𝐻𝑧= 𝜂𝑜 = 120𝜋 Ω ó 𝐻𝑥 = −

103

120𝜋𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑥 𝐴/𝑚

𝑦 𝐻𝑧 𝑧, 𝑡 = −103

120𝜋𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑥 𝐴/𝑚

Problemas

Problema 3

Sea la onda, en el espacio vacío, 𝐸 𝑧, 𝑡 = 103𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎𝑦 (𝑉/𝑚) .

Determine la constante de propagación 𝛾 sabiendo que la frecuencia es

que la frecuencia es 𝑓 = 95.5𝑀ℎ𝑧

Problemas

Solucion

En general, 𝛾 = 𝑗𝜔𝜇 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 En el espacio vacío, 𝜎 = 0, así que:

𝛾 = 𝑗𝜔 𝜇0𝜖0 = 𝑗 2𝜋𝑓/𝑐 = 𝑗2𝜋 95.5×106

3×108 = −𝑗2𝑚−1

Obsérvese que este resultado demuestra que el factor de atenuación es

𝛼 = 0 y la constante de defasaje es 𝛽 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑚

Problemas

Problema 4

El campo eléctrico de una onda plana de 1MHz que viaja en la dirección

+ 𝑧 en aire apunta en la dirección 𝑥. Si el valor pico de 𝐸 es de 1.2𝜋𝑚𝑉

𝑚y

𝐸 es máximo cuando 𝑡 = 0 𝑦 𝑧 = 50𝑚 , obtenga expresiones para

𝐸 𝑧, 𝑡 𝑦 𝐻 𝑧, 𝑡 y luego trace una grafica de estas variaciones en función

de 𝑧 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = 0.

Problemas

Solución

Con 𝑓 = 1𝑀𝐻𝑧, la longitud de onda en el aire es:

𝜆 =𝑐

𝑓=

3×108

1×106 = 300 𝑚

Y el numero de onda correspondiente es 𝛽 =2𝜋

𝜆=

2𝜋

300𝑟𝑎𝑑/𝑚. La expresión

general para un campo eléctrico dirigido hacia 𝑥 que viaja en la dirección

de +𝑧 aparece en la ecuación como

𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸𝑜𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎𝑥 ⇒ 𝐸 𝑧, 𝑡 = 1.2𝜋𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106𝑡 −2𝜋

300𝑧 + 𝜃 𝑎𝑥

𝑚𝑉

𝑚

El campo 𝐸 𝑧, 𝑡 es máximo cuando el argumento de la función coseno es

igual a cero o a múltiplos de 2𝜋. Con 𝑡 = 0 𝑦 𝑧 = 50𝑚, esta condición es

Problemas

Solución

−2𝜋×50

300+ 𝜃 = 0 𝑜 𝜃 =

𝜋

3

𝐸 𝑧, 𝑡 = 1.2𝜋𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106𝑡 −2𝜋

300𝑧 +

𝜋

3𝑎𝑥

𝑚𝑉

𝑚

Y de acuerdo con


𝜂𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎𝑦 ⟹

𝐻 𝑧, 𝑡 =1.2𝜋×10−3

120𝜋𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106𝑡 −

2𝜋𝑧

300−

𝜋

3𝑎𝑦 𝜇𝐴/𝑚

𝐻 𝑧, 𝑡 = 10𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106𝑡 −2𝜋𝑧

300−

𝜋

3𝑎𝑦 𝜇𝐴/𝑚

Donde se utilizo la aproximación 𝜂𝑜 ≈ 120𝜋 Ω 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = 0 tenemos que

Problemas

Solución

𝐸 𝑧, 0 = 1.2𝜋𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑧

300−

𝜋

3𝑎𝑥 𝑚𝑉/𝑚

𝐸 𝑧, 0 = 10𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑧

300−

𝜋

3𝑎𝑦 𝑚𝑉/𝑚

Variaciones espaciales de

𝐸 𝑦 𝐻 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = 0 para la onda

Plana del ejemplo

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