CIRM Luminy « Quest-ce que la géométrie aux époques modernes et contemporaines ?» 16-20 avril 2007 « Die Wahrheit des Bildes ist unabhängig von dem Grade.

CIRM Luminy« Qu’est-ce que la géométrie aux époques modernes et contemporaines ?»

16-20 avril 2007

« Die Wahrheit des Bildes ist unabhängig von dem Grade der Feinheit des Bildes »

or should we construe Riemann’s « Physical Space » as a Mechanical Ether ? 

Ivahn Smadja(Université de Caen)

The close connection between natural philosophy and foundations of geometry in the early thinking of B. Riemann is a well known fact. But it is usually accounted for in terms of transition from a sketchy mechanical ether theory to mature geometrical thought, at the cost of downplaying or even putting aside some unexplained features of Riemann’s approach. Bringing together the unpublished philosophical manuscripts Riemann wrote a few months before the inaugural dissertation on the foundations of geometry might provide a somewhat different view of the process by which geometrization of physical theory led to rethinking geometry.

1. Naturphilosophie1.1. Unification of Natural Phenomena

1.1.1. Physiology, Psychology and Physics1.1.2. Gravity explained by Ether Pressure : Euler [1744]1.1.3. Potential theory : from Mathematical Device to Physical Theory.

1.2. Open questions1.2.1. Mechanical Models : Continuous Ether or Punctiform Ether ?1.2.2. What is Pressure ? Lagrangian Mechanics versus « Mécanique physique »1.2.3. « die kühne Hypothese des Verschwindens der Materie »

2. Molecular Mechanics2.1. Capillarity2.2. « A new fundamental Principle of Mechanics »

2.2.1. Least constraints [Gauss 1829].2.2.2. A Gaussian Analogy

2.3. Riemann’s memoir on Molecular Mechnanics2.4. Riemannian Epistemology

2.4.1. Concept-formation and Hypotheses2.4.2. « Bildtheorie »2.4.3. Antinomies

3. Gravitation and Light3.1. Eulerian hydrodynamics and Physicalization of Vector Fields3.2. Causality3.3. Adding Vector Fields

4. Raumstoff and Intrinsic Geometry4.1. Quadratic Forms and Main Dilatations4.2. « Surfaces are Bodies from which one dimension disappears » 4.3. Riemann’s Hypothesis [1853]

1. Naturphilosophie1.1. Unification of Natural Phenomena

1.1.1. Physiology, Psychology and Physics1.1.2. Gravity explained by Ether Pressure : Euler [1744] 1.1.3. Potential theory : from Mathematical Device to Physical Theory.

1.2. Open Questions1.2.1. Mechanical Models : Continuous Ether or Punctiform Ether ?1.2.2. What is Pressure ? Lagrangian Mechanics versus

« Mécanique physique »1.2.3. « die kühne Hypothese des Verschwindens der Materie »

In the Neue Mathematische Principien der Naturphilosophie (march 1853), Riemann works out a mechanical hypothesis taken from Euler but recasts it by transposition of the concepts of Eulerian hydrodynamics to an upper level of physical reality. Euler explains gravity by the pressure of an infinitely fluid surrounding ether of constant density, but according to his original hypothesis, the fluid is compressible, and there is a longitudinal motion of ether in the direction of the pressure gradient (a longitudinal wave as for sound, Euler says). In the Riemann’s hypothesis on the contrary, the fluid is supposed « incompressible and without inertia ». So there is a clear cut alternative : either ascribing the motion of ether to its elasticity and therefore regarding incompressibility as a limit case of (very little) compressibility, or taking into account different levels of characterization of physical reality.

Gravity explained by Ether Pressure : L. Euler

Anleitung zur NaturlehreChapter 19. Of Gravity and of the Forces which exert themselves

upon Celestial Bodies.

§. 140. « Gravity comes from inequal pressure of the ether, which increases with the distance from Earth; therefore the bodies are, as from themselves, pushed toward the Earth, and the supplement of those pressure forces equals the weight of the body ».

§. 141. « Gravity exert itself on bodies only as far as they are composed of gross matter, and the greater is the space filled with gross matter, the greater is the weight of the Body, that is the weight of the Body behaves as its true magnitude. »

§. 142. « As experience teaches us that the weight of a body decreases with the square of the distance, as it recedes from the center of the Earth, it should be supposed, in order to explain this fact, that the pressure of the ether against the center of the Earth is such that the decrease in pressure is inversely proportional to the distance to this center ».

b

b

a

aEarth

CC

CP=x

r

Pressure on face aa

Pressure on face bb

Force exerted on aa

Force exerted on bb

P

€

aa h −A

x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

aa h −A

x + b

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

h −A

x

€

h −A

x + b

The magnitude h expresses the elastic force of the ether, where it is in equilibrium, and the magnitude

the elastic force which the ether exerts at a distance CP=x of the center of the Earth.

€

h −A

x

C.F. Gauss & W. Weber Allgemeine Lehrsätze

in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadratsder Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskräfte

(1839-40)

Supposing et ’ denote masses, quantities of magnetic or electric fluid, there is one and the same form of law for gravitational, magnetostatic or electrostatic phenomena, The key idea of potential theory is dissociate the two components of the force, that is the mass ’ of the test body, and theaccelerative force [beschleunigende Kraft]

The components of the accelerative force of intensity toward are equal

to

and happen to be partial derivatives of a scalar magnitude, the potential,

The distribution of mass might now be discrete or continuous, and accordingly the potential will be a sum or an integral

Divergence Theorem (cf. Allgemeine Lehrsätze, § XXII.)

in case S is a sphere and then the divergence theorem gives

F’F’

’

€

F ∝ μ '( ) ×μ

r2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

r2

€

ε(x − a)

r3

€

ε(y − b)

r3

€

ε(z − c)

r3

€

V =μ i

ii

∑

€

V =kdt

r∫

€

V =μ

r

r

x

z

y

(a,b,c)

F

€

∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

O(x, y,z)

€

rC .

r n ( )S∫ .da = ∇.

r C ( )V∫ .dv

n

C n

C

S C=V

€

r C =

r P =

∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

∂V

∂pS∫ da = ∇ 2V( )

V∫ .dv = 4kπ( )

V∫ .dv = 4πM

Adhémar de Saint-Venant Mémoire sur la question de savoir s’il existe des masses continues,

et sur la nature probable des dernières Particules des corps.

Société Philomatique de Paris, séance du 20 janvier 1844.

« 1. Une discussion d’un grand intérêt a eu lieu, il y a quelques années, entre deux hommes éminents, Navier, qui avait donnédepuis peu les premières formules de la mécanique moléculaire, et Poisson, qui s’occupait de rendre ces formules plus rigoureuseset plus générales. L’objet était de savoir si les pressions, à l’intérieur des corps, peuvent ou non être représentés par des intégrales .Mais cet énoncé tout géométrique cache une question physique agitée depuis plus de vingt siècles, savoir si la matière est continueou discontinue, ou ce qui revient au même si les dernières particules des corps sont en nombre infini ou en nombre fini.

Les considérations présentées par M. Poisson conduisent à la résoudre.Et l’on va voir que si, par une induction aussi légitime que toutes celles dont on fait usage journellement dans les sciences, on

étend ces considérations jusqu’à l’intérieur des particules elles-mêmes, on peut en tirer des conclusions sur la manière dont cellesci sont probablement constituées, et arriver à donner un haut degré de simplicité et de clarté aux fondements de la philosophieatomistique.

2. On admet généralement, depuis Newton, que les particules des corps exercent les unes sur les autres des actions dont lesintensités sont fonctions de leur distances mutuelles, et qui, répulsives pour les plus petites distances, changent de signe et sontattractives pour les plus grandes, mais qui décroissent rapidement et deviennent relativement insensibles à des distancesperceptibles. Les pressions sont des sommes de pareilles forces estimées dans une même direction. Or, M. Poisson et M. Cauchy(qui arrivait dans le même temps à des résultats semblables) ont démontré que si ces sommes étaient composées d’une infinité determes dont les grandeurs se suivent sans discontinuité : 1°. Les pressions, à l’intérieur des corps, n’auraient aucune composanteparallèle aux faces où elles s’exercent : elles seraient constamment normales à ces faces ; 2° ces pressions ne varieraient que comme le carré de la densité lorsque l’on ferait éprouver un dérangement quelconque aux parties d’un corps. Il suit de là qu’uncorps composé de matière continue se comporterait comme un fluide, et qu’il serait plus analogue aux gaz pour la compressibilité.Ce serait même un fluide sans frottement intérieur, n’opposant aucune résistance, si petite qu’elle soit, au glissement de ses partiesles unes devant les autres, ou un fluide comme la nature n’en offre pas.

3. Donc il n’existe aucun corps continu, parmi ceux du moins, dont l’étendue est perceptible ; et tous sont composés departies disjointes. L’éther lui-même, dont on admet l’existence dans les espaces célestes, est compris dans cette conclusion ; car,Comme l’a observé Ampère, si ce fluide était continu, il ne pourrait avoir d’ondes transversales et il serait incapable de transmettreLa lumière.

Adhémar de Saint-Venant Mémoire sur la question de savoir s’il existe des masses continues,

et sur la nature probable des dernières Particules des corps.

Société Philomatique de Paris, séance du 20 janvier 1844.

7. (…) Mais la nature est une ; elle n’a pas deux poids et deux mesures ; ses lois sont générales. Si donc les points matérielsdes atomes différents s’attirent ou se repoussent, il y a tout lieu de supposer qu’il en est de même des points ou éléments d’un

même atome, et que les actions qu’ils exercent entre eux sont aussi fonction de leurs distances mutuelles. (…)Pour conserver aux atomes étendus ce reste d’existence, il faut donner une forme bien bizarre à la fonction de la distance quiexprime l’action mutuelle des points. Cette action attractive aux distances les plus grandes, et répulsive à des distances plus petitesdoit redevenir attractive à des distances moindres encore pour que l’atome ne se dissipe pas, et répulsive une seconde fois auxdistances les plus petites pour qu’il ne se contracte pas de manière à perdre entièrement son volume ; en sorte que la courbe quiaurait pour abscisses les distances, et pour ordonnées les forces, devrait couper trois fois l’axe des abscisses et une fois l’axe desordonnées. Une loi aussi compliquée est difficile à supposer. (…)

8. Je pense donc qu’il faut renoncer à tout amas de matière continue, et qu’il convient de regarder plutôt les dernièresparticules des corps comme des points sans étendue, non contigus, centres d’action des forces répulsives et attractives parlesquelles seules, après tout, les corps jouent un rôle et manifestent leur existence. (…) Ce système prévient les difficultés offertespar celui des atomes étendus, qui n’est qu’une sorte de prolongement de la physique des Grecs dans la physique moderne. (…)Avec des atomes inétendus, retenus à distance par des forces, on peut constituer, comme nous avons vu, des corps aussi résistantsqu’on veut. On peut aussi, en plaçant les atomes de diverses manières les uns par rapport aux autres, composer toutes les figurespolyédriques qu’offre la cristallographie….

Dans le système des points inétendus, la courbe des actions mutuelles est simple : elle a pour asymptotes l’axe des distanceset l’axe des forces et elle ne coupe que le premier et une seule fois. (…)

[Au moment de mettre sous presse je suis heureux de pouvoir citer comme partisan de l’inétendue des atomes M. Cauchy. Il aprofessé cette doctrine de la manière la plus explicite à Turin dans son cours de physique générale et philosophique (1831-1832). »

Ernst Mach, Compendium der Physik für Mediciner, 1863

Lagrangian Mechanics versus « Mécanique physique »What is pressure?

Binding force or mean molecular repulsion?

a. Lagrangian multipliers and fictitious forcesLet P, Q, R … be forces acting upon a system of material points, and p, q, r, … the distances from the pointsupon which the forces are exerted to the respective centers of forces. The value of p, q, r, … may be regarded asfunctions of the variables . The total differential dp, dq, dr, … as functions of are then substituted in the general formula of equilibrium

The linear equation in thus obtained might then be simplified using the following « equations ofconditions » between the variables

L=0, M=0, N=0, … and a system of independent differentials is obtained after elimination in the system of differential equations

dL=0, dM=0, dN=0, ….But there is another way around, by adding from the very outset the « equations of condition » multiplied byindeterminate quantities to the general formula of equilibrium

Therefore adding to actual forces purely fictitious ones, depending on the nature of binding conditions of themechanical system and on the expression of the Lagrangian multipliers. Either, the only forces considered arethe actual ones, but the restrictions that the binding conditions impose on virtual displacements are taken intoaccount, or those restrictions are removed but some corresponding fictitious forces must come into the picture.

€

ξ,φ,ψ ,...

€

dξ ,dφ,dψ ,...

€

Pdp + Qdq + Rdr + ...= 0

€

dξ ,dφ,dψ ,...

€

ξ,φ,ψ ,...

€

λ,μ,ν ,...

€

Pdp + Qdq + Rdr + ...+ λdL + μdM + νdN = 0

b. Poisson’s Mechanics« Ajoutons qu’il serait à désirer que les géomètres reprissent, sous ce point

de vue physique et conforme à la Nature, les principales questions de Mécanique. Ila fallu les traiter d’une manière tout à fait abstraite pour découvrir les lois générales de l’équilibre et du mouvement ; et, en ce genre d’abstraction, Lagrange est allé aussi loin qu’on puisse le concevoir, lorsqu’il a remplacé les liens physiques des corps par des équations entre les coordonnées de leurs différents points ; c’est là ce qui constitue la Mécanique analytique ; mais, à côté de cette admirable conception, on pourrait maintenant élever la Mécanique physique, dont le principe unique serait de ramener tout aux actions moléculaires, qui transmettent d’un point à l’autre l’action de forces données et sont l’intermédiaire de leur équilibre. De cette manière, on n’aurait plus d’hypothèses spéciales à faire lorsqu’on voudrait appliquer les règles générales de la Mécanique à des questions particulières. Ainsi dans le problème de l’équilibre des corps flexibles, la tension qu’on introduit pour le résoudre sera le résultat immédiat des actions mutuelles des molécules, un tant soit peu écartées de leurs positions naturelles ; dans le cas de la lame élastique, le moment d’élasticité par flexion proviendra de ces mêmes actions considérées dans toute l’épaisseur de la plaque, et son expression sera déterminée sans aucune hypothèse ; enfin les actions exercées par les fluides dans leur intérieur et sur les parois des vases qui les contiennent sont aussi les résultantes des actions de leurs molécules sur les surfaces pressées, ou plutôt sur une couche fluide extrêmement mince en contact avec chaque surface. » S.D. Poisson, Mémoire sur les surfaces élastiques, 1814. Préambule.

c. The abstract Point of View of Geometers: Generalized Forces. « comme on peut regarder une quantité quelconque par une ligne, on pourra regarder p comme une fonction quelconque des coordonnées, et la force P comme tendante à faire varier la valeur de p. Alors Pdp sera également le moment virtuel de la force P (…) Cette manière d’envisager les moments donne à la formule générale de l’équilibre une étendue beaucoup plus grande, et la rend susceptible d’un plus grand nombre d’applications. » Lagrange, Méc. An. 1. II, §9

– The nature of the generalized force A depends on the nature of the variable a with which it is connected, since the product is to denote a work. If a and da are angles, then A is the moment of a couple; if a and da are areas, then A is a superficial tension, if a and da are volumes, then A is a pressure.

2. Molecular Mechanics2.1. Capillarity2.2. « A new fundamental Principle of Mechanics »

2.2.1. Least constraints [Gauss 1829].2.2.2. A Gaussian Analogy

2.3. Riemann’s memoir on Molecular Mechanics2.4. Riemannian Epistemology

2.4.1. Concept-formation and Hypotheses2.4.2. « Bildtheorie »2.4.3. Antinomies

In Molecularmechanik, Riemann presents a conception of mechanics along the lines of the principle of least constraint enunciated by Gauss [1829] who hit upon it in the context of his researches devoted to the theory of capillar action. This gaussian line of thought concerning physical theory allows Riemann to surmount the opposition between continuous medium theory and punctiform ether theory which was a locus classicus of mechanical model building in the 1840’s and the beginning of the 1850’s continental physics. Actually, Riemann hierarchizes the degrees of fine- and coarse-grainedness of the theoretical picture, so that the hypothesis of a continuous medium may not be incompatible with punctiform ether models favored as more explanatory in those years before British ideas penetrated German physics a few decades later. Support for such level-diffentiated pictures may be adduced from epistemological writings where Riemann hints at some sort of « Bildtheorie ».

Theory of capillar ActionI. Newton, P.S. Laplace, Th. Young ,

S.D. Poisson, C.F. Gauss

Capillar phenomena, such as countergravity progression of liquids in narrow tubes, are essentially due to

short range molecular forces. (e.g. according to Laplace’s explanation, the curvature of the menicus

implies a supplement of molecular attractionson the particle E, and therefore its rising up above the level

of D.

E

A

B C

D

Laplace

N

Poisson’s paradox.

Points in the neighbourhood of N cannot be in equilibrium

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(0)air

water

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Gauss [1830] builds the whole

theory of capillar action on the

notion of surface tension

and surface energy as

in the theory of Th. Young,

but gives its full general scope

in formulating it in terms of the

Calculus of variations.

The limiting surface between

different media has a potential

energy of its own which depends

only on the area of the surface,

such that there is equilibrium

when the sum

is minimum,

where is the potential energy

per unit of area, the area

of contact between media i and j,

and potential energy.

€

AijSij∑ + W

€

Aij

€

Sij

€

W

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The principle of least constraint. Gauss (1829)

The principle of least constraint is a least squares principle stating that the true motion of

a mechanical system of N masses is the minimum of the quantity

for all trajectories satisfying any

imposed constraints, where

and represent the mass,

position and applied forces of

the kth mass.

Gauss' principle is equivalent

to D’Alembert principle.

€

Z =def mk

d2rk

dt 2−

Fk

mk

2

k=1

N

∑

€

mk

€

rk

€

Fk

3. Gravitation and Light3.1. Eulerian hydrodynamics and Physicalization of Vector Fields3.2. Causality3.3. Adding Vector Fields

In Gravitation und Licht (december 1853), Riemann assumes that an overall explanation of gravitation and light phenomena should be sought in the « form of motion » of a kind of substance « continuously extended in the infinite space », which he calls Stoff, raumerfüllende Stoff or simply Raumstoff, rather than Aether. But at the same time, he makes a sharp distinction between two superposed though distinct levels of causality. On the one hand, the laws that govern the motions of this substance, the Stoffbewegungen, that one ought to assume in order to explain the phenomena, and on the other hand, the ultimate causes, the Ursache, by which the very motions of this substance could be explained. According to Riemann, the true causes of the propagation of gravitation and light are largely unknown to us, and the question of the actual mechanical constitution of the ether, wether continuous or molecular, is a metaphysical concern, but this theoretical limitation of physical pictures doesn’t prevent us to build a coherent mathematical treatment of the unification of natural phénomena by adequately superposing vectors fields. Construing potential theory in the light of an epistemological theory of causality, Riemann thus endows his Raumstoff with an equivalent of the quasi-corporeity Gauss endowed surfaces when tracing the way to intrinsic geometry.

4. Raumstoff and Intrinsic Geometry4.1. Quadratic Forms and Main Dilatations4.2. « Surfaces are Bodies from which one dimension disappears » 4.3. Riemann’s Hypothesis [1853]4.4. Curvature of Space : « After the manner of a wave » [Clifford 1876]

A. Mechanical EtherSupposing two neighbouring points P(x,y,z) and Q(x+dx,y+dy,z+dz),the extension of a Stofftheilchen might be thought of as element of line dsseparating the two points.If the propagation of gravitation and light is imputable tothe elasticity of a mechanical ether, thenthe dilatation or contraction of the Stofftheilchencorrespond to the passage from ds2 = dx2 + dy2 + dz2

to ds’2 = dx’2 + dy’2 + dz’2

that is from a quadratic form at time t to a quadratic form at time t+dt.According to this mechanical scheme,forces would propagate thanks to the fundamentalelasticty of the medium.

Q(x+dx,y+dy,z+dz) au temps t

ds’

P’(x’,y’,z’) au temps t+dt

y

P(x,y,z) au temps tds

z

x

P’(x’+dx’,y’+dy’,z’+dz’) au temps t+dt

B. Vector Fields

« Man drücke die Lage der Stoffpunkte zu einer bestimmten Zeit t durch ein rechtwinkligesCoordinatensystem aus, und es seien die Coordinaten eines unbestimmten Punktes O,x,,y,z. Ähnlicher Weise seien, ebenfals lin Bezug auf ein rechtwinkliges Coodinatensystem, die Coordinaten des Punktes O’, x’,y’,

z’.Es sind dann x’, y’, z’ Functionen von x, y, z und ds’2 = dx’2 + dy’2 + dz’2 wird gleich einem homogenenAusdruck zweiten Grades von dx, dy, dz. Nach einem bekannten Theorem lassen sich nun die linearenAusdrücke von dx, dy, dz

a1dx+b1dy+c1dz = ds1

a2dx+b2dy+c2dz = ds2

a3dx+b3dy+c3dz = ds3

stets und nur auf Eine Weise so bestimmen, dass dx’2 + dy’2 + dz’2 =

G12 ds1

2 + G22 ds2

2 + G32 ds3

2

wird, während

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = ds12 + ds2

2 + ds32

Die Grössen G1-1, G2-1, G3-1 heissen danndie Hauptdilatationen des Stofftheilchensbeim Übergange von der ersteren Form zur letzteren. »

y’

O’(x’,y’,z’)

y

O(x,y,z)ds

z

xds

O

ds’

z’

v2

x’

v1

ds’

Gauss’s Theory of SurfacesDisquisitiones Generales

circa superficies curvas (1827)

« Surfaces are Bodies from which one dimension disappears » Göttingischen Anzeigen. 1827.

€

ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv 2

Gauss’s application N(P)

Area N(A)

TpM

X2

X1 C’(t)

N(P)

M

u

v

€

U ⊂R2

q

€

V ⊂R2

p

€

du =∂u

∂pdp +

∂u

∂qdq

dv =∂v

∂pdp +

∂v

∂qdq

€

S ⊂R3

Area A

€

κ(P) = limA →0

N(A)

A