Universidad Galileo Ing. Michaelle Perez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias CIRCUITOS RLC Kenny Adolfo Alvizuris Chavarría – 12002096 Jorge Adolfo Gonzalez Caravantes – 12002034 Cristhian Luis Morales Perez 12003604
Universidad Galileo
Ing. Michaelle Perez
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
CIRCUITOS RLC
Kenny Adolfo Alvizuris Chavarría – 12002096
Jorge Adolfo Gonzalez Caravantes – 12002034
Cristhian Luis Morales Perez -‐ 12003604
Circuitos RLC Un circuito RLC es un circuito lineal que contiene un resistor (resistencia eléctrica), una bobina o inductor y un capacitor.
Existen dos tipos de configuraciones sobre estos circuitos, en serie y paralelo, el comportamiento de estos circuitos se describen generalmente por una ecuación diferencial de segundo orden, que explicaremos más adelante.
Aquí podemos ver un diagrama de un circuito donde tenemos los 3 componentes, un resistor R1 de valor 1kΩ, el inductor de o bobina L 150uH, el capacitor C1 de 1µF y una fuente de voltaje V1.
En las siguientes páginas les mostraremos lo fácil que puede ser entender el comportamiento de este tipo de circuitos mediante un laboratorio y una explicación matemática.
Ecuaciones Diferenciales Lineales con Coeficientes Constantes
Trabajaremos con el siguiente circuito, en tiempo 0 no existe corriente en nuestro circuito. Definimos el sentido de la corriente que será a favor de las manecillas del reloj, y definimos la polaridad de nuestros componentes.
Con esto podemos aplicar la Ley de Voltaje para Kirchhoff, que nos dice que la suma de voltajes en una malla o trayectoria cerrada debe ser 0. Utilizando signos salientes nuestra ecuación diferencial queda de la siguiente forma.
𝑉! − 𝑖𝑅! − 1𝐶𝑞 − 𝐿
𝑑𝑖𝑑𝑡= 0
Como bien sabemos la corriente es el flujo de electrones, por lo que podemos establecer que es el cambio de la carga con respecto al tiempo.
𝑖 =𝑑𝑞𝑑𝑡
Sustituyendo en la ecuación original
𝑠𝑒𝑛 𝑤! 𝑡 = 𝐿𝑑2𝑞𝑑𝑡2
+𝑑𝑞𝑑𝑡𝑅1 +
1𝐶𝑞
𝑖 0 = 0
𝑞 0 = 0 𝑉! = 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜 𝑡 𝑤! = 120𝜋
Encontramos el Kernel de nuestra función al igualarla a 0
𝐿𝑑!𝑞𝑑𝑡!
+𝑑𝑞𝑑𝑡𝑅! +
1𝐶𝑞 = 0
Encontramos nuestra ecuación característica sustituyendo las derivadas según su orden por la letra P de la siguiente manera
𝐿𝑃! + 𝑃𝑅! + 1𝐶= 0
Resolvemos mediante la ecuación cuadrática.
−𝑅! ± 𝑅!! −4𝐿𝐶
2𝐿
Sustituyendo los valores de nuestro circuito podemos encontrar las dos soluciones a nuestra ecuación.
𝑦! =−1000+ 1000! − 4 ∗ 150𝑥10
!!
1𝑥10!!2 ∗ 1𝑥10!! =
−0.3000452𝑥10!! = −150,022
𝑦! =−1000 − 1000! − 4 ∗ 150𝑥10−6
1𝑥10!!2 ∗ 1𝑥10!!
=−1999.6992𝑥10!!
= −999.84𝑥10!
Con esto encontramos nuestra solución transitoria
𝑦!"#$% = 𝐴𝑒!!!!.!"!!"!! + 𝐵𝑒!150,022!
Este modelo satisface la propiedad de sobre amortiguación.
Ya que encontramos el kernel de nuestra función, ahora resolvemos para
𝑠𝑒𝑛 𝑤! 𝑡 = 𝐿𝑑2𝑞𝑑𝑡2
+𝑑𝑞𝑑𝑡𝑅1 +
1𝐶𝑞
Calculamos las derivadas de 𝑞 para poder resolverla ecuación
𝑞 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜 𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑜 𝑡 𝑑𝑞𝑑𝑡
= 𝐴𝑤𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑜 𝑡 − 𝐵𝑤𝑜𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜 𝑡
𝑑!𝑞𝑑𝑡!
= −𝐴𝑤𝑜2𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜 𝑡 − 𝐵𝑤𝑜2𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑜 𝑡
𝑞 La tenemos que multiplicar por !! ese resultado sumarla con la
multiplicación de 𝑅! con !"!" este resultado lo sumamos con 𝐿 ∗ !
!!!!!
+𝐴𝐶𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜 𝑡 +
𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑜 𝑡
+𝑅1𝐴𝑤!𝑐𝑜𝑠 𝑤! 𝑡 − 𝑅1𝐵𝑤!𝑠𝑒𝑛 𝑤! 𝑡
−𝐿𝐴𝑤!!𝑠𝑒𝑛 𝑤! 𝑡 − 𝐿𝐵𝑤!!𝑐𝑜𝑠 𝑤! 𝑡
= 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑤! 𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑤! 𝑡 Sacando factor común podemos agrupar de la siguiente manera
1𝐶𝐴 − 𝑤𝑜𝑅!𝐵 −𝑤𝑜2𝐿𝐴 = 1
1𝐶𝐵 + 𝑤𝑜𝑅!𝐴 −𝑤𝑜2𝐿𝐴 = 0
Este sistema de ecuaciones lo podemos resolver mediante el método llamado Eliminación de Gauss Jordan.
!!− 𝑤!!𝐿 − 𝑤!𝑅1𝑤!𝑅1
1
𝐶− 𝑤!!𝐿
𝐴𝐵 = 01
Resolviendo para A
𝑨 =
1 − 𝑤𝑜𝑅1
0 1𝐶 − 𝑤𝑜
2𝐿
1𝐶 − 𝑤𝑜2𝐿 − 𝑤𝑜𝑅1
𝑤𝑜𝑅11𝐶 − 𝑤𝑜
2𝐿
=1𝐶 − 𝑤𝑜
2𝐿
1𝐶 − 𝑤𝑜2𝐿
!+ 𝑤𝑜2𝑅12
= 𝟔.𝟗𝟖𝟔𝟖𝒙𝟏𝟎!𝟑
Resolviendo para B
𝑩 =
1𝐶−𝑤𝑜
2𝐿 1
𝑤𝑜𝑅1 01𝐶 − 𝑤𝑜2𝐿 − 𝑤𝑜𝑅1
𝑤𝑜𝑅11𝐶 − 𝑤𝑜
2𝐿
=𝑤𝑜𝑅1
1𝐶 − 𝑤𝑜2𝐿
!+ ( 𝑤𝑜2𝑅12)
= 𝟐.𝟔𝟑𝟒𝒙𝟏𝟎!𝟑
Encontrando A y B podemos establecer nuestra solución particular
𝑦!"#$%&'("# = 6.9868𝑥10!!𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜 𝑡 + 2.634𝑥10!!𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑜 𝑡 Y nuestra solución general estaría dada por
𝑦!"#"$%& = 𝑦!"#$%&!'"&# + 𝑦!"#$%&'("#
𝒚𝒈 = 𝑨𝒆!𝟗𝟗𝟗.𝟖𝟒𝒙𝟏𝟎𝟔𝒕 + 𝑩𝒆!𝟏𝟓𝟎,𝟎𝟐𝟐𝒕 + 𝟔.𝟗𝟖𝟕𝒙𝟏𝟎!𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒘𝒐 𝒕 + 𝟐.𝟔𝟑𝟒𝒙𝟏𝟎!𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒐 𝒕
Laboratorio Estos componentes son muy fáciles de encontrar en una tienda de electrónica, para construir este circuito, como material de apoyo pueden ingresar al siguiente video, para mayor explicación acerca de la construcción de este circuito y analizar su comportamiento
Materiales: 1 Breadboard o Protoboard
1 Resistor 1kΩ
1 Inductor de 150µH
1 Capacitor de 1µF
1 Señal AC de 10mV