Circuit RLC en régime libre Oscillations électriques

Circuit RLC en régime libreOscillations électriques

Analogie électromécanique

Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements

Mécanique Electricité

k

O x

–

M (m)

L R

CuC(t)

Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)

Frottements : α Résistance : R

PFD =⇒ x + α

mx + kmx = 0

Analogie électromécanique

Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements

Mécanique Electricité

k

O x

–

M (m)

L R

CuC(t)

Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)

Frottements : α Résistance : R

PFD =⇒ x + α

mx + kmx = 0

Analogie électromécanique

Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements

Mécanique Electricité

k

O x

–

M (m)

L R

CuC(t)

Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)

Frottements : α Résistance : R

PFD =⇒ x + α

mx + kmx = 0

Analogie électromécanique

Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements

Mécanique Electricité

k

O x

–

M (m)

L R

CuC(t)

Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)

Frottements : α Résistance : R

PFD =⇒ x + α

mx + kmx = 0

Analogie électromécanique

Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements

Mécanique Electricité

k

O x

–

M (m)

L R

CuC(t)

Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)

Frottements : α Résistance : R

PFD =⇒ x + α

mx + kmx = 0

Analogie électromécanique

Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements

Mécanique Electricité

k

O x

–

M (m)

L R

CuC(t)

Etude de la position x(t)

Etude de la tension uC (t)

Frottements : α Résistance : R

PFD =⇒ x + α

mx + kmx = 0

Analogie électromécanique

Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements

Mécanique Electricité

k

O x

–

M (m)

L R

CuC(t)

Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)

Frottements : α Résistance : R

PFD =⇒ x + α

mx + kmx = 0

Analogie électromécanique

Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements

Mécanique Electricité

k

O x

–

M (m)

L R

CuC(t)

Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)

Frottements : α

Résistance : R

PFD =⇒ x + α

mx + kmx = 0

Analogie électromécanique

Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements

Mécanique Electricité

k

O x

–

M (m)

L R

CuC(t)

Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)

Frottements : α Résistance : R

PFD =⇒ x + α

mx + kmx = 0

Analogie électromécanique

Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements

Mécanique Electricité

k

O x

–

M (m)

L R

CuC(t)

Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)

Frottements : α Résistance : R

PFD

=⇒ x + α

mx + kmx = 0

Analogie électromécanique

Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements

Mécanique Electricité

k

O x

–

M (m)

L R

CuC(t)

Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)

Frottements : α Résistance : R

PFD =⇒ x + α

mx + kmx = 0

Analogie électromécanique

Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements

Mécanique Electricité

k

O x

–

M (m)

L R

CuC(t)

Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)

Frottements : α Résistance : R

PFD =⇒ x + α

mx + kmx = 0 ?

Equation différentielle du RLC

L R

Ci(t) uC(t)

R i(t)L di(t)dt

Loi des mailles

uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0

=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d

dt

(C duC (t)

dt

)= 0

=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0

=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1

LC uC (t) = 0

Variables réduites : 2λ = RL et ω2

0 = 1LC

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation du deuxième ordre sans secondmembre

Equation différentielle du RLC

L R

Ci(t) uC(t)

R i(t)L di(t)dt

Loi des mailles

uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0

=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d

dt

(C duC (t)

dt

)= 0

=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0

=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1

LC uC (t) = 0

Variables réduites : 2λ = RL et ω2

0 = 1LC

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation du deuxième ordre sans secondmembre

Equation différentielle du RLC

L R

Ci(t) uC(t)

R i(t)L di(t)dt

Loi des mailles

uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0

=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d

dt

(C duC (t)

dt

)= 0

=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0

=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1

LC uC (t) = 0

Variables réduites : 2λ = RL et ω2

0 = 1LC

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation du deuxième ordre sans secondmembre

Equation différentielle du RLC

L R

Ci(t) uC(t)

R i(t)L di(t)dt

Loi des mailles

uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0

=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d

dt

(C duC (t)

dt

)= 0

=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0

=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1

LC uC (t) = 0

Variables réduites : 2λ = RL et ω2

0 = 1LC

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation du deuxième ordre sans secondmembre

Equation différentielle du RLC

L R

Ci(t) uC(t)

R i(t)L di(t)dt

Loi des mailles

uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0

=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d

dt

(C duC (t)

dt

)= 0

=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0

=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1

LC uC (t) = 0

Variables réduites : 2λ = RL et ω2

0 = 1LC

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation du deuxième ordre sans secondmembre

Equation différentielle du RLC

L R

Ci(t) uC(t)

R i(t)L di(t)dt

Loi des mailles

uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0

=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d

dt

(C duC (t)

dt

)= 0

=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0

=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1

LC uC (t) = 0

Variables réduites : 2λ = RL et ω2

0 = 1LC

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation du deuxième ordre sans secondmembre

Analogie électromécanique

Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements

Mécanique Electricité

k

O x

–

M (m)

L R

CuC(t)

Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)

Frottements : α Résistance : R

PFD =⇒ x + α

mx + kmx = 0 ?

Analogie électromécanique

Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements

Mécanique Electricité

k

O x

–

M (m)

L R

CuC(t)

Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)

Frottements : α Résistance : R

PFD =⇒ x + α

mx + kmx = 0 Mailles =⇒uC (t) + R

L uC (t) + 1LC uC (t) = 0

Equation différentielle du RLC

L R

Ci(t) uC(t)

R i(t)L di(t)dt

Loi des mailles

uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0

=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d

dt

(C duC (t)

dt

)= 0

=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0

=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1

LC uC (t) = 0

Variables réduites : 2λ = RL et ω2

0 = 1LC

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation du deuxième ordre sans secondmembre

Equation différentielle du RLC

L R

Ci(t) uC(t)

R i(t)L di(t)dt

Loi des mailles

uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0

=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d

dt

(C duC (t)

dt

)= 0

=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0

=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1

LC uC (t) = 0

Variables réduites :

2λ = RL et ω2

0 = 1LC

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation du deuxième ordre sans secondmembre

Equation différentielle du RLC

L R

Ci(t) uC(t)

R i(t)L di(t)dt

Loi des mailles

uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0

=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d

dt

(C duC (t)

dt

)= 0

=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0

=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1

LC uC (t) = 0

Variables réduites : 2λ = RL

et ω20 = 1

LC

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation du deuxième ordre sans secondmembre

Equation différentielle du RLC

L R

Ci(t) uC(t)

R i(t)L di(t)dt

Loi des mailles

uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0

=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d

dt

(C duC (t)

dt

)= 0

=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0

=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1

LC uC (t) = 0

Variables réduites : 2λ = RL et

ω20 = 1

LC

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation du deuxième ordre sans secondmembre

Equation différentielle du RLC

L R

Ci(t) uC(t)

R i(t)L di(t)dt

Loi des mailles

uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0

=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d

dt

(C duC (t)

dt

)= 0

=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0

=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1

LC uC (t) = 0

Variables réduites : 2λ = RL et ω2

0 = 1LC

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation du deuxième ordre sans secondmembre

Equation différentielle du RLC

L R

Ci(t) uC(t)

R i(t)L di(t)dt

Loi des mailles

uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0

=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d

dt

(C duC (t)

dt

)= 0

=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0

=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1

LC uC (t) = 0

Variables réduites : 2λ = RL et ω2

0 = 1LC

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation du deuxième ordre sans secondmembre

Equation différentielle du RLC

L R

Ci(t) uC(t)

R i(t)L di(t)dt

Loi des mailles

uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0

=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d

dt

(C duC (t)

dt

)= 0

=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0

=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1

LC uC (t) = 0

Variables réduites : 2λ = RL et ω2

0 = 1LC

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation du deuxième ordre sans secondmembre

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique

=⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒

r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables

(λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0)

⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique

=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques

(λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0)

⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique

=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants

(λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0)

⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Résolution de l’équation différentielle :différents régimes

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

Différents régimes selon le discriminant :

• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques

• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide

• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique

Facteur de qualité et régimes

Q = ω02λ = 1

R

√LC

• Q >12 =⇒ régime pseudo-périodique ;

• Q = 12 =⇒ régime critique ;

• Q <12 =⇒ régime apériodique ;

Facteur de qualité et régimes

Q = ω02λ = 1

R

√LC

• Q >12 =⇒ régime pseudo-périodique ;

• Q = 12 =⇒ régime critique ;

• Q <12 =⇒ régime apériodique ;

Facteur de qualité et régimes

Q = ω02λ = 1

R

√LC

• Q >12 =⇒ régime pseudo-périodique ;

• Q = 12 =⇒ régime critique ;

• Q <12 =⇒ régime apériodique ;

Facteur de qualité et régimes

Q = ω02λ = 1

R

√LC

• Q >12 =⇒ régime pseudo-périodique ;

• Q = 12 =⇒ régime critique ;

• Q <12 =⇒ régime apériodique ;

Facteur de qualité et régimes

Q = ω02λ = 1

R

√LC

• Q >12 =⇒ régime pseudo-périodique ;

• Q = 12 =⇒ régime critique ;

• Q <12 =⇒ régime apériodique ;

Résolution de l’équation différentielle : solutions

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

• Les solutions r1, r2 de l’équation caractéristique permettent d’obtenir les solutionsde l’équation différentielle ;

• Selon le régime (donc le discriminant de l’équation caractéristique), r1,2 peuventêtre réelles ou complexes, ce qui donne différents types de solutions uC (t).

Résolution de l’équation différentielle : solutions

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

• Les solutions r1, r2 de l’équation caractéristique permettent d’obtenir les solutionsde l’équation différentielle ;

• Selon le régime (donc le discriminant de l’équation caractéristique), r1,2 peuventêtre réelles ou complexes, ce qui donne différents types de solutions uC (t).

Résolution de l’équation différentielle : solutions

uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0

Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0

• Les solutions r1, r2 de l’équation caractéristique permettent d’obtenir les solutionsde l’équation différentielle ;

• Selon le régime (donc le discriminant de l’équation caractéristique), r1,2 peuventêtre réelles ou complexes, ce qui donne différents types de solutions uC (t).

Régime pseudo-périodique

t

uC

: λ = 1/4: λ = 1/2: λ = 1

TE

-E

uC (t) = E exp (−λ t) cos (ω t + φ)

avec ω =√ω2

0 − λ2

et E la tension initiale aux bornes ducondensateur.

T = 2πω

= 2π√ω2

0 − λ2

Régime pseudo-périodique

t

uC

: λ = 1/4: λ = 1/2: λ = 1

TE

-E

uC (t) = E exp (−λ t) cos (ω t + φ)

avec ω =√ω2

0 − λ2

et E la tension initiale aux bornes ducondensateur.

T = 2πω

= 2π√ω2

0 − λ2

Régime pseudo-périodique

t

uC

: λ = 1/4: λ = 1/2: λ = 1

TE

-E

uC (t) = E exp (−λ t) cos (ω t + φ)

avec ω =√ω2

0 − λ2

et E la tension initiale aux bornes ducondensateur.

T = 2πω

= 2π√ω2

0 − λ2

Régime pseudo-périodique

t

uC

: λ = 1/4: λ = 1/2: λ = 1

TE

-E

uC (t) = E exp (−λ t) cos (ω t + φ)

avec ω =√ω2

0 − λ2

et E la tension initiale aux bornes ducondensateur.

T = 2πω

= 2π√ω2

0 − λ2

Régime critique

t

uC

2 E e−1

1λ

E

uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)

Régime critique = premier régime apério-dique.

Obtention graphique de λ

D’après l’expression mathématique de la so-lution ci-dessus :

à t = 1λ, uC = 2E e−1

où E est la tension initiale aux bornes ducondensateur.

Régime critique

t

uC

2 E e−1

1λ

E

uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)

Régime critique = premier régime apério-dique.

Obtention graphique de λ

D’après l’expression mathématique de la so-lution ci-dessus :

à t = 1λ, uC = 2E e−1

où E est la tension initiale aux bornes ducondensateur.

Régime critique

t

uC

2 E e−1

1λ

E

uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)

Régime critique = premier régime apério-dique.

Obtention graphique de λ

D’après l’expression mathématique de la so-lution ci-dessus :

à t = 1λ, uC = 2E e−1

où E est la tension initiale aux bornes ducondensateur.

Régime critique

t

uC

2 E e−1

1λ

E

uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)

Régime critique = premier régime apério-dique.

Obtention graphique de λ

D’après l’expression mathématique de la so-lution ci-dessus :

à t = 1λ, uC = 2E e−1

où E est la tension initiale aux bornes ducondensateur.

Régime critique

t

uC

2 E e−1

1λ

E

uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)

Régime critique = premier régime apério-dique.

Obtention graphique de λ

D’après l’expression mathématique de la so-lution ci-dessus :

à t = 1λ, uC = 2E e−1

où E est la tension initiale aux bornes ducondensateur.

Régime critique

t

uC

2 E e−1

1λ

E

uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)

Régime critique = premier régime apério-dique.

Obtention graphique de λ

D’après l’expression mathématique de la so-lution ci-dessus :

à t = 1λ, uC = 2E e−1

où E est la tension initiale aux bornes ducondensateur.

Régimes apériodiques

t

x: λ = 2: λ = 3: λ = 4

xm

uC (t) =A exp((−λ+

√λ2 − ω2

0

)t)

+B exp((−λ−

√λ2 − ω2

0

)t)

Pas d’oscillations électriques

Retour à l’équilibre d’autant plus lentque λ est grand

Régimes apériodiques

t

x: λ = 2: λ = 3: λ = 4

xm

uC (t) =A exp((−λ+

√λ2 − ω2

0

)t)

+B exp((−λ−

√λ2 − ω2

0

)t)

Pas d’oscillations électriques

Retour à l’équilibre d’autant plus lentque λ est grand

Régimes apériodiques

t

x: λ = 2: λ = 3: λ = 4

xm

uC (t) =A exp((−λ+

√λ2 − ω2

0

)t)

+B exp((−λ−

√λ2 − ω2

0

)t)

Pas d’oscillations électriques

Retour à l’équilibre d’autant plus lentque λ est grand

Régimes apériodiques

t

x: λ = 2: λ = 3: λ = 4

xm

uC (t) =A exp((−λ+

√λ2 − ω2

0

)t)

+B exp((−λ−

√λ2 − ω2

0

)t)

Pas d’oscillations électriques

Retour à l’équilibre d’autant plus lentque λ est grand

Régimes apériodiques

t

x: λ = 2: λ = 3: λ = 4

xm

uC (t) =A exp((−λ+

√λ2 − ω2

0

)t)

+B exp((−λ−

√λ2 − ω2

0

)t)

Pas d’oscillations électriques

Retour à l’équilibre d’autant plus lentque λ est grand