Régime sinusoïdal - Introduction 18/05/2014 UFHB – UFR SSMT - L1 Tronc commun 1 Circuits électriques-Régime sinusoïdal • Objectifs : Fournir aux étudiants les outils de base nécessaires à la résolution des problèmes relatifs aux circuits fonctionnant en régime sinusoïdal permanent; • Pré-requis : Bac scientifique (C,D,E) • Modes d’évaluation : examen final (écrit ) • Débouchés de ce cours : Fait partie des pré-requis pour les cours relatifs à l’électronique et à l'électrotechnique • Volume horaire : 9h CM, 9h TD • Enseignant : Dr N’GUESSAN Alexandre • Bibliographie : – Fundamentals of electric circuits (Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku) 1 Résultats attendus A la fin de ce cours, l’étudiant devrait, au moins, savoir : • Passer du sinusoïdal temporel permanent au phasoriel et inversement • Utiliser les lois de base de l’électrocinétique pour déterminer les grandeurs d’un circuit fonctionnant en régime sinusoïdal permanent • Effectuer le bilan de puissance d’une installation électrique • Améliorer le facteur de puissance d’une installation électrique • Déterminer la fréquence de résonance d’un circuit • Fournir la fonction de transfert et tracer le diagramme de Bode d’un circuit à fréquence variable 2 Circuits électriques-Régime sinusoïdal
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Circuits électriques-Régime sinusoïdal · des problèmes relatifs aux circuits fonctionnant en régime sinusoïdal permanent; • Pré-requis : Bac scientifique (C,D,E) ... A la
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Régime sinusoïdal - Introduction 18/05/2014
UFHB – UFR SSMT - L1 Tronc commun
1
Circuits électriques-Régime sinusoïdal• Objectifs : Fournir aux étudiants les outils de base nécessaires à la résolution
des problèmes relatifs aux circuits fonctionnant en régime sinusoïdal permanent;
• Pré-requis : Bac scientifique (C,D,E)
• Modes d’évaluation : examen final (écrit )
• Débouchés de ce cours : Fait partie des pré-requis pour les cours relatifs à l’électronique et à l'électrotechnique
• Volume horaire : 9h CM, 9h TD
• Enseignant : Dr N’GUESSAN Alexandre
• Bibliographie : – Fundamentals of electric circuits (Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku)
1
Résultats attendus
A la fin de ce cours, l’étudiant devrait, au moins, savoir :
• Passer du sinusoïdal temporel permanent au phasoriel et
inversement
• Utiliser les lois de base de l’électrocinétique pour déterminer
les grandeurs d’un circuit fonctionnant en régime sinusoïdal
permanent
• Effectuer le bilan de puissance d’une installation électrique
• Améliorer le facteur de puissance d’une installation électrique
• Déterminer la fréquence de résonance d’un circuit
• Fournir la fonction de transfert et tracer le diagramme de
Bode d’un circuit à fréquence variable2
Circuits électriques-Régime sinusoïdal
Régime sinusoïdal - Introduction 18/05/2014
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Programme
• Chapitre 1 : Sinusoïdes et phaseurs
• Chapitre 2 : Puissance électrique
• Chapitre 3 : Réponse fréquentielle
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Circuits électriques-Régime sinusoïdal
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.1 Sinusoïde
- : l’amplitude de la sinusoïde
- : la pulsation (en radians/seconde)
- : l’argument
- : la période de la sinusoïde (en sec)-->
- f : la fréquence (en Hertz)
( ) ( )tsinVt m w=v
wP
=2
T ( ) ( )tTt vv =+
Tf
1=
mV
wtw
1
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.1 Sinusoïde
Soit :
est l’argument (radians ou degrés)
est la phase (radians ou degrés)
Soient
--> et sont en phase
--> et ne sont pas en phase
( ) ( )f+w= tsinVt mv
( )f+wt
f
( ) ( )1m tsinVt f+w=1v ( ) ( )2m tsinVt f+w=2v
0=f 1v 2v
0¹f 1v 2v
2
12 f-f=f
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
Comparaison :
•Même fréquence.
• Pas obligation de même amplitude
• Il vaut mieux exprimer les sinusoïdes sous la même forme (sinus ou cosinus)
1.1 Sinusoïde
3
1 . Sinusoïdes et phaseurs
( ) tsin180tsin w-=°±w
( ) tcos180tcos w-=°±w
( ) tcos90tsin w±=°±w
( ) tsin90tcos w=°±w m
Passage sinus-cosinus
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Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
Addition graphique de deux sinusoïdes de même fréquence
( )q-w=w+w tcosCtsinBtcosA
( )°+w=w-w 1.53tcos5tsin4tcos3
Important : ne pas confondre les axes des sinus et cosinus avec ceux des
angles complexes 5
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Soit
ou
D’où
Avec
est la représentation phasorielle de la sinusoïde
( ) ( )f+w= tcosVt mv
( ) ( ) ( )( )f+w=f+w= tj
mm eVRetcosVtv
( ) ( )tjj
m eeVRet wf=v
( ) ( )tjeVRet w=v
fÐ== fm
j
m VeVV
V
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Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Les formes sinusoïdales peuvent être facilement exprimées sous forme
des phaseurs qui sont plus aisées à utiliser que les sinus et les cosinus.
Un Phaseur est un nombre complexe représentant l’amplitude
et la phase d’une sinusoïde
Les phaseurs fournissent des outils simples pour l’analyse des circuits
linéaires excités par des sources sinusoïdales ; les solutions de tels
circuits seraient très difficiles à obtenir autrement.
(représentation (représentation
Temporelle) phasorielle)
( ) ( )f+w= tcosVt mv fÐ= mVVÛ
7
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Un phaseur est une représentation complexe de l’amplitude et de la phase
d’une sinusoïde
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Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
•Comme dans le cas d’une grandeur complexe, le phaseur peut être
exprimé sous forme cartésienne, polaire ou exponentielle.
•Le phaseur ayant une amplitude et une phase (direction), il se comporte
donc comme un vecteur.
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Expression d’un nombre complexe :
• Forme rectangulaire
• Forme polaire
• Forme exponentielle
Relation entre forme rectangulaire et forme polaire :
jyxz +=
fÐ= rzf= jrez
( )f+f=fÐ=+= sinjcosrrjyxz
22 yxr +=x
ytan 1-=f
f= cosrx f= sinry
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Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.2 Les Phaseurs
Opérations sur les nombres complexes :
•Addition :
•Soustraction :
•Multiplication :
•Division :
11111 rjyxz fÐ=+= 22222 rjyxz fÐ=+=
( ) ( )212121 yyjxxzz +++=+
( ) ( )212121 yyjxxzz -+-=-
212121 rrzz f+fÐ=
21
2
1
2
1
r
r
z
zf-fÐ=
11
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
Résistance R
•Forme temporelle :
•Forme phasorielle
La relation tension-courant du domaine temporel continue d’exister dans le domaine phasoriel
( )f+w= tcosImi ( )φωtcosRIR m +== iv
fÐ= mII IRV =
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Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
•Résistance R
Le courant et la tension sont
en phase
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
Inductance L
•Forme temporelle :
•Forme phasorielle
( )f+w= tcosIi m
fÐ= mII
( )f+ww-== tsinLIdt
diL mv
( )°+=- 90cossin AA ( )°+f+ww= 90tcosLImv
( )φωLIeeeωLIeωLIV m
j90j90jφ
m
90φj
m Ð×=== °°°+
je 90j =° ILjV w=
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Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
•Inductance L
Diagramme phasoriel d’une
inductance : le courant I est en retard
de phase sur V
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique
•Condensateur C
•Forme temporelle :
•Forme phasorielle
je 90j =°
( )f+w= tcosVmv ( )f+ww-== tsinCVdt
dvCi
( )°+f+ww= 90tcosCVisoit
fÐ= mVV ( ) fÐw×=w=w= °°f°+fm
90j90jj
m
90j
m CVeeeCVeCVI
VCjI w=
Cj
IV
w=
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Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
•Condensateur C
Diagramme phasoriel d’un
condensateur : le courant I est en
avance de phase sur V
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.3 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit
électrique
Tableau récapitulatif
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Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Impédance et admittance
L’impédance d’un circuit est le rapport entre le phaseur et le
phaseur , mesuré en ohms (Ω)
ou (L’admittance Y est l’inverse
de l’impédance)
Z V
I
IZV =I
VZ =
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Impédance et admittance
On a : l’impédance (en Ohms)
Avec
: la résistance (en Ohms)
: la réactance (en Ohms)
X positif Impédance inductive
X négatif Impédance capacitive
X nulle Impédance résistive
Forme phasorielle :
Avec et
jXRZ +=
( )ZReR =( )ZImX =
qÐ= ZZ
22 XRZ +=R
Xtan 1-=q
20
w-w=
C
1LX
( )ww C1L f
( )ww C1L p
( )w=w C1L
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Impédance et admittance
On a : l’admittance (Siemens)
Avec
: la conductance (en Siemens)
: la susceptance (en Siemens)
Passage Impédance – Admittance
Remarque : si alors
jBGY +=
( )YReG =( )YImB =
V
I
Z
1Y ==
22 XR
RG
+= 22 XR
XB
+-=
0X ¹R
1G ¹
21
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Impédances en série
Impédances en parallèle
pour n=2
n21eq Z...ZZZ +++=
21
21
21 /1/1
1
ZZ
ZZ
ZZZ eq +
×=
+=
n21
n21
eq
eq
Y...YY
Z
1...
Z
1
Z
1
V
IY
Z
1
+++=
+++===
22
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Loi des mailles
La somme algébrique des tensions rencontrées en parcourant la maille
dans le sens prédéfini est nulle.
Exemple :
( )îíì
-
+=±å
contraire sens le dansest si
parcours de sens le dansest si 0
k
k
kV
VV
0EUUE 2211 =-+-
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Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de superposition
L’intensité du courant circulant dans une branche (resp. la tension de branche) d’un réseau contenant plusieurs branches est égale à la somme algébrique des intensités (resp. tensions) créées dans cette branche par chaque générateur supposé seul (les autres étant éteints).
Remarque : Il y a autant de cas à superposer que de générateurs intervenant dans le réseau.
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de superposition
Exemple :
Montage global Montage 1 Montage 2
( )2121
21a
ZZZZZZ
ZZEI
+++
=
2121
1221
ba1
ZZZZZZ
EZEZ
III
×+×++
=
+=
2121
21b
ZZZZZZ
EZI
++=
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Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Thevenin
Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à un
générateur indépendant de tension parfait en série avec le dipôle
composé
représente la tension lorsque la portion de réseau débite dans un
circuit ouvert (tension à vide).
est l’impédance entre les points A et B lorsque toutes les sources
indépendantes sont éteintes.
0E
0Z
0E
0Z
29
1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Thevenin
Exemple :
Lorsqu’on éteint les sources :
Sans charge, on a une tension :
21
210
ZZ
ZZZ
+=
21
12210
ZZ
EZEZE
++
=30
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Norton
Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à une source
indépendante de courant réelle en parallèle avec un dipôle composé
d’admittance .
est le courant électromoteur, c’est à dire lorsque la portion de réseau
débite dans un court-circuit.
est obtenue lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes
(comme pour Thévenin).
0I
0Y
0I
0Y
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Norton
Exemple :
Lorsqu’on éteint les sources :
Sans charge, on a un générateur de courant :
21
210
ZZ
ZZZ
+=
21
210
ZZ
EEI
+-
=32
Chapitre 1 – Sinusoides et phaseurs
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Equivalent Norton-Thevenin
On peut passer de Thevenin à Norton et inversement
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1 . Sinusoïdes et phaseurs
1.4 Utilisation des lois relatives à la théorie des circuits
Théorème de Millman
Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune
un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la
tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces
électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la
branche, le tout divisé par la somme des admittances