Cintica de las partculas: Compilacin de mtodos.Estrategias para
la solucin de problemas
Si se toma en cuenta que tanto los mtodos de la energa como los
de la cantidad de movimiento, disponibles para la solucin de
problemas en cintica de las partculas, fueron obtenidos a partir de
la segunda ley de Newton del movimiento, se concluye que puede
existir ms de una manera de resolver un problema particular. En
este captulo se repasan y comparan los diferentes mtodos y se
analiza el procedimiento para la seleccin del mejor mtodo para
resolver un problema particular.
GENERALIDADES
En los tres captulos previos todos los problemas al final de una
seccin fueron resueltos utilizando el mtodo presentado en esa
seccin. En este captulo los problemas que requieren la utilizacin
de diferentes mtodos aparecen sin orden determinado a travs del
captulo, de tal manera que el estudiante obtenga un criterio para
seleccionar el mtodo ms eficiente. Muchos problemas comprenden
diferentes pasos para los cuales slo un mtodo de solucin es el
correcto. Entender la mejor estrategia para la solucin de estos
problemas es importante en el desarrollo de ingenieros
calificados.
OBJETIVOS DEL ESTUDIORESUMEN DEL ANLISIS DE LA CINTICA DE
PARTCULAS
Segunda Ley de Newton
El principio fundamental de la cintica es la segunda ley de
Newton del movimiento. Para una partcula;
La segunda ley de Newton se utiliza en todos los problemas donde
se requiera el anlisis de las aceleraciones. Otros mtodos estn
basados en esta ecuacin y son desarrollados por conveniencia en la
solucin de problemas en los cuales otras variables como la
velocidad, el desplazamiento y el tiempo son el punto principal de
inters.
Mtodos de la energa
Los mtodos de la energa son empleados cuando el problema
requiere un anlisis de las fuerzas relacionadas con cambios de
velocidades y desplazamientos, sin una evaluacin de las
aceleraciones. El principio del trabajo y la energa debe ser
utilizado cuando el problema incluye fuerzas no conservativas tal
como la friccin. La ecuacin de la conservacin de la energa es
utilizada frecuentemente cuando las fuerzas que intervienen son
debidas a la gravedad o a resortes.
Mtodos de la cantidad de movimiento
Cuando un problema implica un cambio en velocidad debido a la
aplicacin de fuerzas externas sobre una masa durante un intervalo
de tiempo, la ecuacin del principio del impulso y la cantidad de
movimiento es frecuentemente la ms eficiente. Si ninguna fuerza
externa acta sobre la partcula, o si la nica fuerza que acta sobre
dos partculas es una fuerza mutua entre ellas, la ecuacin de la
conservacin de la cantidad de movimiento lineal es utilizada. La
conservacin de la cantidad de movimiento lineal, conjuntamente con
la ecuacin del coeficiente de restitucin, es el nico mtodo prctico
para emplearse en problemas de impacto en los que interviene una
colisin entre dos cuerpos.
Cuando las nicas fuerzas que actan sobre una partcula
intersec-tan un eje o son paralelas a ese eje, la ecuacin de la
conservacin de la cantidad de movimiento angular con respecto a ese
eje es utilizada. En problemas de movimiento en un plano, el eje es
un punto alrededor de! cual se conserva la cantidad de movimiento
angular. El movimiento baje la accin de una fuerza central, tal
como es el movimiento de los satlites y planetas en rbita, se
analiza ms efectivamente utilizando el principie de la conservacin
de la cantidad de movimiento angular. En la figura 16-1 se resumen
los diferentes mtodos.
FIGURA 16-1 Tabla de ecuaciones para os mtodos de cintica
La rampa de una torre para competencias de esqu tiene la forma
de un arco circular como se muestra en la figura 16-2. Los
competidores inician su movimiento desde el reposo en e! punto A y
se lanzan al aire en el punto B. Calcule la velocidad del salto v
si r = 60 m y 6 = 40 para un competidor de peso W. Suponga que en
la rampa no hay friccin.
MTODOS DE SOLUCIN
La cantidad desconocida en este problema es la velocidad, y las
cantidades conocidas son la fuerza de la gravedad y la distancia
recorrida. Para la solucin dos mtodos estn disponibles: (1) la
velocidad puede calcularse integrando la aceleracin tangencial
obtenida por medio de un anlisis cintico, y (2) la velocidad puede
calcularse directamente por el mtodo del trabajo y la energa. A
continuacin se describen los dos mtodos para fines de
comparacin.
SOLUCIN POR EL MTODO DE CINTICA Y CINEMTICA
El diagrama de cuerpo libre del competidor se muestra en la
figura 16-2b. Sumando fuerzas en la direccin tangencial para una
posicin general se obtiene:
Ntese que esta aceleracin es independiente del peso del
competidor. Utilizando la ecuacin 12-12 se obtiene:
Separando variables, resulta:
Un problema surge aqu debido a que no se conoce cmo 6 vara con
el tiempo, de tal manera que la ecuacin no puede ser integrada. Sin
embargo, ya que la trayectoria es circular, las direcciones
tangencial y transversa] son iguales. Utilizando componentes
transversales de la ecuacin 12-22 se obtiene:
Para tomar en cuenta la separacin de las variables se aplica la
regla de la cadena al lado derecho de esta ecuacin, esto es:
Integrando, resulta:
Las condiciones iniciales requieren que w = O para 6 = 0. Por lo
tanto:
De la ecuacin 12-14 se obtiene:
SOLUCIN POR EL MTODO DEL TRABAJO Y LA ENERGA
Utilizando la figura 16-2c y la ecuacin 14-15, /12 = T2 - 7\.
Puesto que el competidor inicia su movimiento desde el reposo, T\ =
jmv] = 0. El trabajo hecho sobre el competidor es el trabajo
efectuado por la gravedad, U12 = Wh = mgh, el cual es positivo de
acuerdo con el diagrama de cuerpo libre de la figura 14-4. La
energa cintica final es T2 - \mo\. Por lo tanto:
que concuerda con el resultado anterior. Ntese que la ecuacin
14-15 permiti una solucin mucho ms rpida.
CONSIDERACIN DE LOS MTODOS Y SUGERENCIAS
Es obvio del anlisis anterior que el mtodo del trabajo y la
energa es el ms eficiente. Cuando los problemas incluyen un cambio
en velocidad, fuerzas y desplazamientos, el mtodo del trabajo y la
energa deber siempre utilizarse primero. Sin embargo, en casos
donde la fuerza no es constante o no es funcin del desplazamiento,
el mtodo de la cintica y la cinemtica debe ser utilizado. En
general, uno debe empezar leyendo cuidadosamente el enunciado del
problema buscando indicios de estas circunstancias.
EJEMPLO 16-2
Un automvil de peso W desliza hacia abajo en una pendiente,
llegando al reposo en el punto B (Fig. 16-3a). La velocidad del
automvil en el punto A es rfl y el coeficiente de friccin cintica n
es constante en toda la distancia recorrida. Calcule: (a) el tiempo
is requerido para que el automvil deslice hasta el reposo, y (b) la
distancia D recorrida por el automvil antes de detener su
movimiento. (Grficas basadas en esta ecuacin para la distancia D
son tiles para la polica en la investigacin de un accidente).
(a) SOLUCIN POR EL MTODO DE CINTICA Y CINEMTICA: El diagrama de
cuerpo libre del automvil se muestra en la figura 16-3b. Utilizando
la ecuacin 13-5b se obtiene:
MTODO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO: Puesto que est
problema comprende velocidad, fuerzas y tiempo, el mtodo del
impulso y la can tidad de movimiento es tambin vlido. Utilizando el
diagrama de cuerpo libre d la figura 16-3b y la ecuacin 15-23 para
la componente de la velocidad normal a 1 pendiente, se obtiene:
Ntese que la ecuacin Fy = m = O con la que se obtuvo la ecuacin
(a), pe dra haber sido utilizada aqu tambin. Esto implica que en
casos especiales como ste, uno puede mezclar los mtodos para
simplificar la solucin. Para la componente de la velocidadparalela
a la pendiente se obtiene:
Puesto que el integrando es constante:
Por lo tanto:
FIGURA 16-3Anlisis del movimiento de un automvil utilizando
mtodos alternos
Ntese que ts es independiente de W, y que ts es mayor para el
deslizamiento hasta el reposo hacia abajo (sen > 0) que para el
desplazamiento hacia arriba (sen < 0).
(b) SOLUCON POR EL MTODO DE CINTICA Y CINEMTICA: cuando el
automvil se detiene en t = ts = D. Puesto que x = v dt + C2 :
Sustituyendo la ecuacin (d) para t, en la ecuacin (e),
resulta:
Solucin alterna: El enunciado de la parte (b) busca una relacin
entre "cambio en posicin" y "cambio en velocidad" para la cual la
forma a = v(dv/dx) es frecuentemente preferible a la relacin a -
dv/d. Esta ltima es ms adecuada para relacionar un "cambio en
velocidad" con el tiempo. Utilizando la ecuacin (c) anterior se
obtiene:
Ntese que D es tambin independiente del peso W, y que para una
velocidad inicial dada vo el deslizamiento es mayor hacia abajo
(sen > 0) que hacia arriba (sen < 0), como se poda esperar
por experiencia propia.
MTODO DEL TRABAJO Y LA ENERGA: Desde A hasta B el trabajo es
realizado por el peso W y por la friccin F = uN. La fuerza normal N
no realiza trabajo debido a que es perpendicular al desplazamiento.
Utilizando la ecuacin 14-15 se obtiene.
Resolviendo para D se obtiene:
Ntese que la solucin por el mtodo del trabajo y la energa es muy
similar a la "solucin alterna" anterior en la cual se utiliz a = u
(dv/dx) en la integracin. Esto no es casualidad puesto que el mtodo
del trabajo y la energa se obtuvo separando variables de una manera
muy similar.
CONSIDERACIN DE LOS MTODOS
Ninguna de las partes de este problema requiri la determinacin
de la aceleracin, y por esto el mtodo del trabajo y la energa y el
de la cantidad de movimiento son ms directos. Puesto que el
enunciado de la parte (a) del problema claramente pide relacionar
un cambio en velocidad con un intervalo de tiempo, el mtodo del
trabajo y la energa no sera adecuado, mientras que el mtodo del
impulso y la cantidad de movimiento es el ms fcil de utilizar. De
igual manera, el enunciado de la parte (b) pide relacionar un
cambio en velocidad con un cambio en posicin, situacin en la cual
el mtodo del trabajo y la energa es ideal. Ntese una vez ms que,
leyendo cuidadosamente el enunciado del problema, uno puede
rpidamente seleccionar el mtodo de solucin ms eficiente.
EJEMPLO 16-3
Un competidor de esqu de peso W inicia su movimiento desde el
reposo en la cima de una colina y desliza con friccin despreciable
hacia abajo (Fig. 16-4a). La forma de la parte superior de la
colina desde A hasta Ces circular con un radio R (de 8 = 0 a 8 =
60). El competidor deja de hacer contacto con la colina en el punto
B y se estrella en el suelo en el punto D. Despreciando la friccin
y la resistencia del aire calcule: (a) la velocidad del competidor
en una posicin general 9 antes de alcanzar el punto 5; (b) el ngulo
6B en el cual el competidor deja de tener contacto con la colina
(punto B), y (c) la velocidad con la cual el competidor se estrella
en el suelo en el punto D para una altura h - 60 ft.
SOLUCION
Las partes (a) y (c) de este problema piden que se determine la
velocidad para un peso y desplazamiento dados, en consecuencia la
seleccin ms lgica es el mtodo del trabajo y la energa. Del diagrama
de cuerpo libre de la figura 16-4b, la fuerza normal no realiza
trabajo y por lo tanto el principio de la conservacin de la energa
rige. Sin embargo, la parte (b) requiere determinar el punto donde
la fuerza normal vale cero. Puesto que la fuerza normal no est
incluida en el anlisis del trabajo y la energa, en esta parte se
deber utilizar la segunda ley de New-ton, donde la suma de fuerzas
ms conveniente ser en la direccin normal al movimiento circular
descrito. El anlisis del trabajo y la energa se acopla bien a una
suma de fuerzas en la direccin normal, debido a que la aceleracin
normal es funcin de la velocidad (la cual es comn a los dos
mtodos).(a) Sea P la posicin genrica para un ngulo S dado. De la
ecuacin 14-29, con la referencia en el punto A, se obtiene:
FIGURA 16-4
V = 2gR (1 COS ) para una posicin genrica
(b) Utilizando !a ecuacin 13-6a con el diagrama de cuerpo libre
de la figura 16-4b, se obtiene:
Sustituyendo la ecuacin para v2 obtenida en la parte (a),
resulta una expresin general de la magnitud de la fuerza normal N
para cualquier posicin , esto es:
En la posicin S = 6B el competidor se lanza al aire, cesando el
contacto de ste a colina, lo cual se representa con N = O, es
decir:
(c) El principio de la conservacin de la energa tambin puede
aplicarse desde el punto A hasta el punto D, esto es:
SUGERENCIA" 1Ntese que el principio de la conservacin de la
energa podra haberse aplicado primero desde A hasta B para calcular
la velocidad en B, y segundo, desde B hasta D para calcular la
velocidad en D. Sin embargo requiere menos clculos s se trabaja con
una sola etapa, como se hizo aqu, desde A hasta D.
SUGERENCIA* 2Ntese que en la parte (b) la fuerza normal se
iguala a cero para obtener la solucin de la posicin lmite del
contacto entre el competidor y la colina. En problemas de dinmica
frecuentemente se encuentran casos de situaciones lmite como
sta.
EJEMPLO 16-4
Una bala de masa igual a 0.07 kg se dispara a una velocidad n
sobre una bolsa con arena de 10 kg (Fig. 16-5a). La bala se
incrusta en la arena de la bolsa la cual est suspendida por medio
de una cuerda sin masa. Para medir la velocidad de la bala se
utiliza la mxima altura alcanzada hmf. Calcule la velocidad inicial
v de la bala si el ngulo mximo de recorrido de la bolsa es =
25.
FIGURA 16-5
SOLUCIN
Considere este problema en dos fases:
FASE I: Durante el tiempo del impacto (medido desde el instante
en que la bala golpea la bolsa hasta que se aloja en la arena) la
conservacin de la cantidad de movimiento lineal es aplicable en la
direccin horizontal, debido a que en esta direccin no existen
fuerzas externas que acten sobre el "sistema" (Fig. 16-5b). Las
fuerzas de impacto entre A y B son internas al sistema y son
iguales y opuestas, por lo tanto:
En la ecuacin (a), vA2 = vB2 debido a que e = O (impacto
perfectamente plstico para el cual la "velocidad relativa de
separacin" es cero, pues la bala se queda alojada en la arena). De
la ecuacin (a) se obtiene:
FASE II: Despus del impacto, el sistema, compuesto de la masa de
la bolsa con arena ms la masa de la bala (Fig. 16-5b), inicia su
movimiento de oscilacin con una velocidad vB2 hasta llegar al
reposo en una posicin angular = 25 recorriendo un arco circular de
2 m de radio. El principio del trabajo y la energa es ideal para
relacionar este "cambio en velocidad" con un "cambio en posicin".
El nico trabajo realizado es el de los pesos movindose
verticalmente hacia arriba una distancia hmx = 2 (1 cos 25).
Utilizando la ecuacin 14-15 se obtiene:
Sustituyendo este resultado en la ecuacin (b) resulta:
SUGERENCIANtese que en la fase I de este problema, no slo se
conserv la cantidad de movimiento lineal, sino que tambin se
conserv la cantidad de movimiento angular alrededor del punto O. La
cantidad de movimiento angular alrededor del punto O no se conserva
en la fase II, debido a que el peso de la bala y la bolsa crea un
momento alrededor del punto O.
EJEMPLO 16-5
El martillo A de un sistema de forja pesa 1000 Ib y se deja
caer, estando inicial-mente en reposo, desde una altura de 2 ft
sobre un yunque B que pesa 8000 Ib (Fig. 16-6a). El yunque B est
soportado por un sistema de resortes con una rigidez combinada k =
20,000 Ib/ft. El coeficiente de restitucin entre el martillo y el
yunque es e = 0.5. Calcule la altura h a la cual el martillo A
rebota despus del impacto con el yunque B y la mxima deflexin y de
los resortes.
SOLUCIN
Como este problema comprende un impacto entre dos cuerpos, el
nico mtodo prctico para resolverlo es el del impulso y la cantidad
de movimiento, conjuntamente con la ecuacin del coeficiente de
restitucin. Durante la colisin se pierde energa debido a ondas
elsticas y sonoras y al calor generado. Sin embargo, para los
movimientos previo y posterior al impacto, nicamente estn en juego
las fuerzas de la gravedad y de los resortes, y slo se necesita
calcular velocidades, de tal manera que es ideal utilizar el mtodo
del trabajo y la energa con la ecuacin de la conservacin de la
energa. Este problema se analiza ms fcilmente si se identifican
tres fases del movimiento: (I) antes del impacto, (II) durante el
impacto, y (III) despus del impacto, esto es:
FIGURA 16-6
FASE I: Utilizando T1 + V1 = T2 + V2 durante la cada libre del
martillo A, es decir:
FASE II: Utilice (a) la conservacin de la cantidad de movimiento
lineal durante el tiempo de impacto t, con (b) la definicin del
coeficiente de restitucin, esto es:
Resolviendo las ecuaciones (a) y (b) se obtiene:
FASE III: Utilice T1 + V1 = T2 + V2 para calcular la altura h
del rebote de A y la mxima compresin y que ejerce el yunque B sobre
los resortes despus del impacto, es decir:
EJEMPLO 16-6
El acrbata de circo de 96.6 Ib mostrado est colgado de sus
tobillos en el extremo de una cuerda que est soportada por un
eslabn giratorio (puede girar alrededor del eje vertical y) en el
punto O. Inicialmente el acrbata se mueve en una trayectoria
circular de 5 ft de radio y la longitud de la cuerda es de 30 ft
medida desde el punto O, con una velocidad inicial i;, como se
muestra en la figura 16-7a. Cuando esto est sucediendo, el ayudante
del acrbata tira de la parte de la cuerda OP muy gradualmente
provocando que el ngulo aumente desde el valor 1 hasta un nuevo
valor igual a 30, de tal manera que el acrbata se mueve en una
nueva trayectoria circular de radio r2, a una velocidad v2 con un
ngulo de la cuerda de 30. Calcule: (a) la velocidad v1 y la tensin
de la cuerda T1 para el movimiento inicial, y (b) el radio r2, la
velocidad v2 y la tensin de la cuerda T2 para la trayectoria
circular final del acrbata.
SOLUCIN
Por inspeccin del diagrama de cuerpo libre de la figura 16-7b,
las fuerzas sobre el acrbata o intersectan o son paralelas al eje
y. Por lo tanto, en todo el movimiento, la cantidad de movimiento
angular del acrbata alrededor del eje y se conserva. Para la
configuracin 1 y la configuracin 2 se obtiene:
FIGURA 16-7Acrbata de circoEn esta ecuacin se tienen tres
incgnitas, por lo tanto se requieren dos ecuaciones ms para poder
obtener la solucin. Puesto que se puede suponer que el acrbata se
mueve en un movimiento circular en cada configuracin, una suma de
fuerzas en la direccin normal al movimiento involucrar tambin el
radio r y la velocidad v (es decir, no se aaden ms incgnitas). Del
diagrama de cuerpo libre de la figura 16-7b se obtiene:
SUGERENCIA
Esle ejemplo es tpico de los problemas de pndulos cnicos
(movimiento circular en un plano horizontal) para los cuales se
conserva la cantidad de movimiento angular. Ntese que para calcular
las fuerzas en tales problemas, se requiere establecer sumas de
fuerzas en las direcciones normal y vertical.PROBLEMAS
16.1 En el diseo del juego mecnico de la figura, el ingeniero
quiere que la altura h sea lo suficientemente grande para que el
carro ejerza una fuerza hacia arriba sobre los rieles de 5000 N
cuando se encuentre en el punto B en el extremo superior del bucle.
Despreciando la friccin, calcule la altura h requerida si e radio
del bucle es r = 10 m y la masa del carro y los pasajeros es de 500
kg. El carro inicia su movimiento desde el reposo en el punto
A.
16.2 Las cajas A y B pesan cada una 64.4 Ib y el coeficiente de
restitucin entre ellas es e = 0.6, La caja B est en reposo y en
contacto con el resorte mostrado, el cual no est deformado
inicial-mente. La constante del resorte es k = 600 Ib/ft. La caja A
inicia su movimiento desde el reposo y desliza bajando por la rampa
sin friccin hasta golpear la caja B. Calcule la mxima deformacin
del resorte inmediatamente despus del impacto.
16.3 Un dispositivo sencillo para medir la velocidad de
lanzamiento de pelotas u otros proyectiles se conoce como un pndulo
balstico. Este dispositivo captura a pelota u objeto lanzado
estando colgado y en reposo, y oscila junto con la pelota como se
muestra. La masa del pndulo es de 30 kg y la masa de la pelota es
de 0.5 kg. Calcule la velocidad inicial de la pelota si el pndulo
oscila con sta hasta una altura h = 0.15 m. El peso de la barra es
despreciable.
16.4 Se utiliza un sistema de masa y resorte para triturar el
material en C por una carga de impacto en B. El peso de 161 Ib se
libera desde el reposo en el punto A y es tirado por el resorte de
rigidez k = 100 Ib/ft. La longitud sin deformacin del resorte es de
8 ft. Despreciando la friccin, calcule la fuerza normal ejercida
sobre la flecha AB en el punto B justo antes del impacto.
16.5 Para reducir los costos de construccin, un ingeniero civil
decide limpiar el terreno en la cima de una montaa (para evitar
accidentes en la autopista de la figura) empujando las rocas para
que caigan por os lados de la montaa. La mquina niveladora
{bulldozer) que pesa 6440 Ib inicia su movimiento desde el reposo
empujando una roca que pesa 644 Ib una distancia d desde el punto O
hasta el punto A. En el punto A la mquina niveladora se detiene
abruptamente y la roca contina su movimiento deslizando una
distancia de 5 ft desde A hasta B. La mquina niveladora genera con
el suelo una fuerza de traccin constante de 4000 Ib cuando est
empujando la roca. Para la roca que desliza desde O hasta B el
coeficiente de friccin es /t = 0.5. Calcule: (a) la distancia d que
la roca debe ser empujada, y (b) la magnitud de la fuerza F
ejercida por la mquina niveladora sobre la roca segn la mquina
acelera desde O hasta A, para que la roca libre la autopista en el
punto C.
16.6 Un gimnasta de 70 kg que efecta ejercicios en las argollas
puede representarse como una partcula P. En = 60, l = 6 m y P no
tiene velocidad. Suponga que en 6 = O el gimnasta aplica una gran
fuerza para que repentinamente la longitud cambie a l = 5.5 m.
Calcule la velocidad final de P en = 0.
16.7 En la clasificacin de esferas metlicas para rodamientos la
altura de rebote h y la distancia horizontal d de la figura se
miden electrnicamente. Calcule h y d para la colocacin aproximada
de los sensores si la plancha de impacto est fija y el coeficiente
de restitucin es e=0.75.
16.8 Un fabricante de pelotas de tenis las clasifica de acuerdo
con sus caractersticas de rebote, como se muestra. Calcule la
distancia del recorrido horizontal d si el coeficiente de
restitucin con la raqueta fija es e = 0.5. Desprecie la
friccin.
16.9 Resuelva el problema 16-8 utilizando e = 0.4, 0.5 y 0.6.
Grafique d como funcin de e y explique la tendencia general
observada.
16.10 En un parque de diversiones la gente puede saltar en
paracadas el cual es guiado hasta el suelo por medio de unos cables
verticales. Las personas aterrizan a una velocidad de 6 ft/s sobre
una plataforma soportada por cuatro resortes. La rigidez de cada
resorte es k = 7.5 Ib/in y la plataforma pesa 50 Ib. Cunto espacio
deber permitirse para el desplazamiento vertical de la plataforma
suponiendo que una persona de 250 Ib puede aterrizar sobre
ella?
16.11 En un dispositivo mecnico de un parque de diversiones las
personas viajan sentadas en compartimientos montados sobre brazos
de longitud constante r = 6.5 m. Los brazos giran libremente a una
velocidad angular uz = 2 rad/s cuando