Cinématique en deux dimensions Étudie la nature de vecteur de position, la vitesse et l'accélération plus en détail Etudier le mouvement des projectiles et le mouvement circulaire uniforme comme des cas particuliers Discutez le mouvement relative
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Cinématique en deux dimensions
Étudie la nature de vecteur de position, la vitesse et l'accélération plus en détail
Etudier le mouvement des projectiles et le mouvement circulaire uniforme comme des cas particuliers
Discutez le mouvement relative
Position et déplacement
La position d'un objet est décrite par son vecteur de position.
Le déplacement de l'objet est défini comme la modification de sa position.
Δ r=rf−ri
Idées générales du mouvement
La cinématique en deux ou troisdimensions est comme la cinématique en une dimension sauf que nous devons maintenant utiliser la notation de vecteur complet.
Les signes positifs et négatifs ne sont plus suffisants pour déterminer la direction.
Vitesse moyenne
La vitesse moyenne est le rapport entre le déplacement de l'intervalle de temps pour le déplacement.
vmoy≡Δ rΔt
La direction de la vitesse moyenne correspond à la direction du vecteur de déplacement.
La vitesse moyenne entre les points est indépendante du chemin parcouru.
C’est parce qu'il dépend du déplacement, qui est également indépendante de lavoie
Vitesse instantanée
La vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne que Δt tend vers zéro
v=limΔt→0
Δ rΔt
=drdt
Comme l'intervalle de temps diminue, la direction du déplacement se rapproche de celle de la ligne tangente à lacourbe.
Vitesse instantanée, suite
La direction du vecteur vitesseinstantanée en tout point de la trajectoire d'une particule est lelong d'une ligne tangente à la trajectoire en ce point et dans ladirection du mouvement.
La magnitude du vecteur de vitesse est la vitesse instantanée.
La vitesse est une grandeur scalaire.
Accélération moyenne
L'accélération moyenne d'une particule lors de son déplacement est définie comme le changement dans le vecteur vitesse instantané, divisé par l'intervalle de temps au cours de laquelle ce changement se produit.
amoy≡ΔvΔt
=vf−vitf−ti
Accélération moyenne, suite
Lorsqu’un mobile se déplace, la direction de la variation de vitesse est obtenue par soustraction vectorielle.
Δ r=rf−ri
L'accélération moyenne est une grandeur vectorielle dirigée suivant Δ r.
Accélération instantanée
L'accélération instantanée est la valeur limite du rapport Δ v
Δt lorsque comme Δt tend vers zéro.
a≡limΔt→0
Δ vΔt
=d vdt
L’accélération instantanée estégale à la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.
Produire une accélération
Divers changements dans le mouvement d'une particule peuventproduire une accélération.
La magnitude du vecteur de vitesse peut être modifiée.
La direction du vecteur de vitesse peut être modifiée.
o Même si l'amplitude resteconstante
Les deux peuvent changer simultanément
Les équations de la cinématique pour le mouvement en deux dimensions (1)
Lorsque le mouvement en deux dimensions a une accélération constante, une série d'équations peut être développé qui décrivent le mouvement.
Ces équations sont semblables àceux de la cinématique unidimensionnels.
Le mouvement à deux dimensions peut être modélisé comme deux mouvements indépendants dans chacune des deux directions perpendiculaires associées aux x et y.
Toute influence dans la direction y n’affecte pas le mouvement dans la direction x.
Les équations de la cinématique pour le mouvement en deux dimensions (2)
Le vecteur position d'une particule en mouvement dans le plan x-y :
r=x i+y j
Le vecteur de vitesse peut êtretrouvé à partir du vecteur de position :
v=drdt
=vxi+vy j
Puisque l'accélération est constante, nous pouvons également trouver une expression pour la vitesse en fonction du temps:
vf=vi+ at
Les équations de la cinématique pour le mouvement en deux dimensions (3)
Le vecteur de position peut également être exprimée en fonction du temps:
rf=ri+vit+12at2
Ceci indique que le vecteur de position est la somme des troisautres vecteurs:o Le vecteur de position initialeo Le déplacement résultant de la vitesse initiale
o Le déplacement résultant de l'accélération
Équations de la cinématique, représentation graphique, vitesse finale
Le vecteur de vitesse peut êtrereprésenté par ses composants. vt n’est généralement pas le long de la direction de vi ni de a
Équations de la cinématique, représentation graphique, vitesse finale
La représentation vectorielle du vecteur de position
r n’est généralement pas le longde la même direction que ri, vi ou et a .
rf et vf ne sont généralement pasdans la même direction.
Résumé graphique de représentation
Différentes positions de départet vitesses initiales peuvent êtrechoisis.
Noter les relations entre les changements effectués dans soit laposition soit la vitesse et l'effet résultant sur l'autre.
Mouvement d'un projectile
Un objet peut se déplacer dans les deux directions x et y simultanément.
La forme du mouvement en deux dimensions que nous allons traiter est appelé mouvement d'un projectile.
Hypothèses de mouvement d'un projectile
Hypothèses faites sur le mouvement d'un projectile
L'accélération de chute libre est constante tout le long de mouvement.
Il est dirigé vers le bas. On fait l'hypothèse d'une terre plate sur la gamme du mouvement.
Il est raisonnable dans la mesure où l'intervalle est petit par rapport au rayon de la Terre.
L'effet du frottement de l'air est négligeable.
Avec ces hypothèses, un objet en mouvement de projectile suivra un trajet parabolique.
Cette trajet est appelée la trajectoire.
Schéma du mouvement de projectile
Accélération au point le plus élevé.
La vitesse verticale est égale à zéro au sommet.
L'accélération n’est nulle enaucun le long de la trajectoire.
Si l’accélération du projectile était zéro au plus point le plus haut point, sa vitesse en ci point ne changerait pas (or elle change).o Le projectile se déplacerait avec une vitesse horizontale constante à partir de ce point.
Analyser le mouvement d'un projectile
Le mouvement est considéré comme la superposition les mouvements dansles directions x et y.
La position réelle à un momentquelconque est donnée par:
rf=ri+vit+12gt2
La vitesse initiale peut être exprimée en termes de ses composants.xxi=vicosθetvyi=visinθ
Le mouvement suivant la direction x est un mouvement aune vitesse constante.
ax = 0
Le mouvement suivant la direction y est la chute libre.
ay = -g
Vecteurs de mouvement de projectile
rf=ri+vit+12gt2
La position finale est la somme vectorielle de la position initiale, la position résultante de la vitesse initiale et la position résultante del'accélération.
La portée et la hauteur maximale d'unprojectile
Lorsque l'on analyse le mouvement des projectiles, deux caractéristiques ont un intérêt particulier
La portée, R, est la distance horizontale du projectile.
La hauteur maximale h atteintepar le projectile.
Hauteur d'un projectile, l'équation
La hauteur maximale du projectile se trouve dans le plan du vecteur de vitesse initiale:
h=vi2sin2 (θi)2g
Cette équation n’est valable que pour un mouvement symétrique.
Portée, l'équation
R=vi2sin (2θi)
g
Ce n'est valable que pour une trajectoire symétrique.
Plus sur la portée d'un projectile
Portée, finale
La portée maximale se produit à θi = 45 °.
Les angles complémentaires vont produire la même portée.
La hauteur maximale sera différente pour les deux angles.
Les temps de vol seront différents pour les deux angles.
Mouvement des projectiles – indications pour la résolution de problèmes(1).
Conceptualiser Établir la représentation mentaledu projectile se déplaçant le long de sa trajectoire.
Catégoriser Confirmez que la résistance de l'air est négligée.
Sélectionner un système de coordonnées avec x dans le sens horizontal et y dans la directionverticale.
Analyser
Si la vitesse initiale est donnée, décomposez-là composantes x et y.
Traiter les mouvements horizontaux et verticaux indépendamment
Mouvement des projectiles – indications pour la résolution de problèmes(2).
Analyse, suite. Analyser le mouvement horizontal avec le modèle de particule se déplaçant à vitesse constante.
Analyser le mouvement vertical avec le modèle de particules sous accélération constante.
Rappelez-vous que les deux directions mouvement partage lemême temps.
Finaliser Vérifiez si vos réponses sont cohérentes avec les représentations mentales et picturales.
Vérifiez si vos résultats sont réalistes.
Mouvement non symétrique d'un projectile
Suivez les règles générales pour le mouvement des projectiles.
Décomposer la direction y en « partie haut » et « partie bas »
Retour symétrique de hauteur initiale, puis le reste de la hauteur
Appliquer le processus de résolution de problèmes afin de déterminer et de résoudre les équations nécessaires.
Le mouvement peut être non symétrique d'autres manières.
Mouvement circulaire uniforme
Mouvement circulaire uniforme se produit quand un objet se déplace selon une trajectoire circulaire avec une vitesse constante.
Le modèle d'analyse associé est une particule en mouvement circulaire uniforme.
Accélération existe puisque la direction du mouvement est en train de changer.
Ce changement de vitesse est lié à l'accélération.
Le vecteur vitesse constante de magnitude est toujours tangente à latrajectoire de l'objet.
Changement de vitesse en mouvement circulaire uniforme
La variation du vecteur vitesse est due au changement de direction. Le sens de la variation de vitesse est vers le centre du cercle.
Le diagramme montre :rf=ri+Δ r
Accélération centripète
L'accélération est toujours perpendiculaire à la trajectoire du mouvement.
L'accélération pointe toujours vers le centre du cercle de mouvement.
Cette accélération est appelé l'accélération centripète.
Accélération centripète, suite
L'amplitude du vecteur d'accélérationcentripète est donnée par
ac=v2
r
La direction du vecteur d'accélération centripète est toujours en évolution, de rester dirigée vers le centre du cercle de mouvement.
Période
La période, T, est le temps nécessaire pour une révolution complète.
La vitesse de la particule serait lacirconférence du cercle de mouvement divisée par la période.
Par conséquent, la période est définie comme :
T=2πrv
Accélération tangentielle
La grandeur de la vitesse peut également changer.
Dans ce cas, il y aurait une accélération tangentielle.
La motion serait sous l'influencede deux accélérations tangentielles et centripètes.
Notez le changement des vecteurs accélérations d'évolution
Accélération totale
L'accélération tangentielle provoque le changement de la vitesse de la particule.
L'accélération radiale vient d'un changement dans la direction du vecteur vitesse.
Accélération totale, équations
L'accélération tangentielle:at=|dvdt|
L'accélération radiale: ar=−ac=−v2r
L'accélération totale :
Ampleur : a=√at2+ar2
Direction : Même en tant que vecteur de vitesse si v est en augmentation, en face si v est en baisse
Vitesse relative
Deux observateurs en mouvement par rapport l’un par rapport à l'autre en général ne sont pas d'accord sur le résultat d'une expérience.
Cependant, les observations faites par les observateurs sont reliées les unes aux autres.
Un cadre de référence peut êtredécrit par un système de coordonnées cartésiennes pour
lequel un observateur est au repospar rapport à l'origine.
Différentes mesures, exemple
L’observateur A mesure que le point P est à 5 m de l'origine
L’observateur B mesure que le point P est à +10 m de l'origine
La différence est due aux différents cadres de référence utilisée
Différentes mesures, un autre exemple
L'homme marche sur le tapis roulant.
La femme sur le tapis roulant voit l'homme qui marche à sa vitesse de marche normale.
La femme stationnaire voit l'homme marcher à une vitesse beaucoup plus élevée.
La combinaison de la vitesse le tapis roulant et de la marche à pied.
La différence est due à la vitesse relative de leurs cadres de référence
Vitesse relative, généralisée
Le cadre de référence SA est stationnaire
Le cadre de référence SB se déplace vers la droite par rapportà SA à la vitesse vAB
Cela signifie également que SA
se déplace à la vitesse -VBA rapport à SB
Définir le temps t = 0 comme letemps où les origines coïncident
Notation
Le premier indice représente cequi est observé.
Le deuxième indice représente qui fait l'observation.
Exemple
La vélocité de B (liée au cadre SB)telle que mesurée par un observateur A : vBA
Vitesse relative, équations
Les positions telles que vues àpartir de deux cadres de référencesont liées par la vitesse
rPA=rPB+ vBAt
La dérivée de l'équation de position donne l'équation de vélocité
uPA=uPB+vBAt
o uPAest la vélocité de la particule P mesurée par l'observateur A
o uPBest la vélocité de la particule P mesurée par observateur B
Accélération dans différents cadres de référence
La dérivée de l'équation de vitesse donne l'équation d'accélération.
L'accélération de la particule mesurée par un observateur à une trame de référence est la même que celle mesurée par tout autre observateur se déplaçant à une vitesse constante par rapport à la première image.
Accélération, suite.
Le calculer de l'accélération donne
duPAdt
=duPBdt
+dvBA
dt
Puisque vBA est constante , dvBAdt
=0
En conséquence : duPAdt
=aPA=aPB=duPB
dt
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