Ecole nationale polytechnique Cycle préparatoire 2 éme année Polycopié de cours : Cinématique du solide indéformable. Dr A. ZEGHLOUL Pages 1 sur 31 CINÉMATIQUE GÉNÉRALITÉS TRAJECTOIRES Objectifs. - Présenter la cinématique. - Définir les notions de solide ou repère de référence, de mouvements absolu et relatif. - Introduire les principaux mouvements de solides, la notion de points coïncidents et de trajectoire. - Définir les principales grandeurs cinématiques : vecteur-position, vecteur-déplacement, vitesse et accélération d’un point. Fournir des éléments concernant le repérage des solides. La cinématique est la partie de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, indépendamment des forces qui les produisent. Les grandeurs étudiées s’appellent mouvement, déplacement, trajectoire, vitesse et accélération. Le mot cinématique dérive du grec kinema, qui signifie mouvement. Remarque : en cinématique, les solides étudiés sont supposés indéformables. Un solide peut être défini comme un ensemble de points dont les distances respectives restent inchangées au cours du temps. 1. Solide ou repère de référence – Référentiel : 1.1. Repère et solide de référence : En cinématique, le mouvement d’un solide peut être défini par rapport à un autre solide choisi comme référence et appelé solide de référence. Un repère de référence est un repère d’espace (exemples : repères cartésiens (0 ; x, y) ou (0 ; x, y, z)) lié ou “collé” au solide de référence, permettant de repérer avec précision la position et le mouvement du solide.
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Cycle préparatoire 2éme année
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CINÉMATIQUE GÉNÉRALITÉS TRAJECTOIRES
Objectifs.
- Présenter la cinématique.
- Définir les notions de solide ou repère de référence, de mouvements absolu et relatif.
- Introduire les principaux mouvements de solides, la notion de points coïncidents et de
trajectoire.
- Définir les principales grandeurs cinématiques : vecteur-position, vecteur-déplacement,
vitesse et accélération d’un point. Fournir des éléments concernant le repérage des
solides.
La cinématique est la partie de la mécanique qui étudie le mouvement des corps,
indépendamment des forces qui les produisent. Les grandeurs étudiées s’appellent mouvement,
déplacement, trajectoire, vitesse et accélération. Le mot cinématique dérive du grec kinema,
qui signifie mouvement.
Remarque : en cinématique, les solides étudiés sont supposés indéformables. Un solide peut
être défini comme un ensemble de points dont les distances respectives restent inchangées au
cours du temps.
1. Solide ou repère de référence – Référentiel :
1.1. Repère et solide de référence :
En cinématique, le mouvement d’un solide peut être défini par rapport à un autre solide choisi
comme référence et appelé solide de référence. Un repère de référence est un repère d’espace
(exemples : repères cartésiens (0 ; x, y) ou (0 ; x, y, z)) lié ou “collé” au solide de référence,
permettant de repérer avec précision la position et le mouvement du solide.
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Exemple :
Si l’on considère le mouvement de l’avion (1) par rapport au
sol (0), noté Mvt1/0, le sol est le solide de référence. Un
observateur, immobile au sol, voyant l’avion évoluer dans le
ciel, peut servir d’origine à un repère de référence lié à (0).
Mvt0/1 définit le mouvement inverse, l’avion est le solide de
référence. Le pilote, immobile dans l’appareil, Figure 1
voit le sol défiler sous ses yeux et peut servir d’origine à un repère de référence lié à (1).
1.2. Repère de temps :
Figure 2
En mécanique classique, le temps est’ considéré comme absolu et uniforme. Chaque moment,
chaque fragment de temps est identique au suivant. Le temps peut être schématisé par une
droite, orientée du passé vers l’avenir, avec au besoin une origine des temps (t = 0). L’image
équivalente de cet espace est une montre ou un chronomètre. La lettre t, appelée date, symbolise
un point de cet espace.
Unité : la seconde, symbole s, est l’unité de base légale (unité SI) du temps. Les autres unités
usuelles sont également utilisables : minute, heure, jour, année, etc.
1.3. Système de référence ou référentiel :
Un système de référence est l’addition ou la combinaison d’un repère de référence et d’un repère
de temps.
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Référentiel ou
Système de référence
=
+
Figure 3
Remarque : en cinématique, le mouvement des solides sera défini par rapport à un système de
référence.
2. Mouvements absolu et relatif :
2.1. Mouvement absolu :
Le mouvement d’un solide est dit absolu s’il est défini ou décrit par rapport à un référentiel
absolu. Un référentiel absolu (ou galiléen) est un référentiel au repos absolu dans l’univers.
En mécanique industrielle, la Terre peut être assimilée, avec une très bonne approximation, à
un référentiel absolu.
Remarque : à la notion de mouvement absolu correspond les notions de vitesses absolues et
d’accélérations absolues.
2.2. Mouvement relatif :
Le mouvement d’un solide est dit relatif s’il est défini par rapport A un référentiel relatif. Un
référentiel en mouvement dans l’univers est un référentiel relatif.
À la notion de mouvement relatif correspond les notions de vitesses relatives et d’accélérations
relatives.
Exemple : prenons le cas d’un voyageur (2) marchant dans un wagon (1) en mouvement par
rapport au sol (0).
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Figure 4
R0 = (0, x0, y0), lié à la terre, est un repère absolu.
R1 = (A, x1, y1), lié au wagon et R2 (G, x2, y2) lié au voyageur sont des repères relatifs.
Les mouvements Mvt2/0 et Mvt
1/0 sont des mouvements absolus.
Mvt2/1 est un mouvement relatif ; même chose pour son mouvement inverse Mvt
1/2.
Remarque : le mouvement Mvt2/0 résulte de la combinaison des deux mouvements Mvt
2/1 et
Mvt1/0.
3. Principaux mouvements plans de solides :
Un solide exécute un mouvement plan lorsque tous les points qui le constituent se déplacent
dans des plans parallèles entre eux. Par commodité, le plan retenu pour définir le mouvement
sera celui qui contient le centre de gravité G et le solide sera assimilé à une fine feuille ou à une
fine lamelle. Cette schématisation permet de rassembler dans une même catégorie la plupart
des mouvements de solides rencontrés en technologie : translations, rotations et mouvements
plans généraux.
Résumé des principaux types de mouvements plans
Mouvements Propriétés Exemple
Translation
rectiligne
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Translation
curviligne
Rotation
(d’axe fixe)
Mouvement
plan général
3.1. Translation :
Un solide se déplace en translation si n’importe quelle ligne (AB) de celui-ci reste constamment
parallèle à sa position initiale au cours du mouvement. À tout instant, il n’y a aucune rotation
de "AB".
Remarque : dans l’espace, deux lignes non parallèles seront nécessaires pour définir une
translation.
Translation rectiligne : tous les points du solide se déplacent suivant des lignes parallèles entre
elles.
Translation curviligne : les points du solide se déplacent suivant des courbes géométriques
identiques ou superposables.
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3.2. Rotation (autour d’un axe fixe) :
Le solide tourne ou est animé d’un mouvement angulaire autour d’un axe fixe perpendiculaire
au plan du mouvement. Les points du solide décrivent des cercles ou des circonférences
centrées sur l’axe. Toutes les lignes ou droites du solide tournent du même angle α à chaque
instant considéré.
3.3. Mouvement plan général :
Un mouvement plan général n’est ni une translation, ni une rotation. Tous les points du solide
se déplacent dans des plans parallèles entre eux aux cours du mouvement.
Remarque : un mouvement plan peut être considéré comme la combinaison d’une translation
et d’une rotation.
Exemple : flèche de pelle hydraulique. On suppose que les trois vérins hydrauliques (10 +
11), (8 + 9) et (6 + 7) sont alimentés.
Mvt1/0 = rotation de centre B ; Mvt
2/1 = rotation de centre F ;
Mvt5/2 = rotation de centre M ; Mvt
3/2 = rotation de centre L ;
Mvt11/10 = translation rectiligne de direction AC ;
Mvt9/8 = translation rectiligne de direction DE ;
Mvt7/6 = translation rectiligne de direction KP.
Les mouvements suivants sont tous des mouvements plans généraux : Mvt2/0 ; Mvt
5/0 ;
Mvt3/0 ; M
vt11/0 ; M
vt4/2 ; M
vt4/1 ; M
vt6/0 ; M
vt6/1 ….etc
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Figure 5
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CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL
1. Vecteur-position OM :
R0 = (0, x0, y0) est un repère de référence lié au solide
de référence S. Le vecteur position OM définit la
position, à l’instant t, du point M dans son mouvement
par rapport au repère de référence R0.
OM = x(t)X + y(t)Y + z(t)Z = {
x(t)
y(t)
z(t)
Figure 6
2. Vecteur déplacement M1M2 :
Si M1 est la position du point M à l’instant t1, et M2 la
position de M à t2, le vecteur M1M2 définit le
déplacement de M entre t1 et t2 pendant la durée (t2 - t1).
M1M2 = M1O + OM2
= OM2 − OM1
Remarque :
le vecteur-déplacement M1M2 mesure la distance entre
M1 et M2.
Figure 7
Exemple :
Considérons un avion (1) en phase ascentionnelle
suivant une trajectoire rectiligne, R0 est un repère lié
au sol.
OM1 [
01] ou OM1
= j 1 (km)
OM2 [
1
4] ou OM2
= 11i + 4j 1 (km) Figure 8
M1M2 = OM2
− OM1
= (11i +4j )-1j = 11i +3j
‖M1M2 ‖= √11
2- 3
2=11.4 km
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3. Vecteur Vitesse V :
La vitesse du point "M" à l’instant "t" noté v dérivé du vecteur position OM .
v =d OM
dt=
d(x(t)X )
dt+
d(y(t)Y )
dt+
d(z(t)Z )
dt
(Équation 1)
4. Vecteur accélération γ :
L’accélération du point "M" est la dérivée du vecteur vitesse v .
𝛾 =d v
dt=
d2(x(t)X )
dt2
+d
2(y(t)Y )
dt2
+d
2(z(t)Z )
dt2
(Équation 2)
5. Notation : Dans ce qui suit nous ajouterons un indice (i), qui est généralement assoeié au
repère fixe ; Ri (Oi, Xi , Yi
, Zi )
• Vecteur position de M/Ri :
OiM = {
𝑥𝑖(t)
𝑦𝑖(t)
𝑧𝑖(t)}
Ri
• Vecteur vitesse de M/Ri :
v i(M) =
di OiM
dt= {
xi(t)
yi(t)
zi(t)
}
Ri
• Vecteur vitesse de M/Ri :
Figure 9
γ i(M) = d
i v
i(M)
dt= {
��𝑖(𝑡)
��𝑖(𝑡)
��𝑖(𝑡)}
Ri
6. Formule de la base mobile :
Soient : (Ri), Repère fixe ou de référence ou absolu.
(Rk), Repère mobile ou de projection ou d'expression.
Le vecteur position de M par rapport à (Ri), projeté ou exprimê dans un repère mobile (Rk)
est :
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OiM = xk(t)X k + yk(t)Y k + zk(t)Z k
Ou bien : OiM = {
𝑥k(t)
𝑦k(t)
𝑧k(t)}
Rk
Figure 10
Remarque : Le vecteur position du point "M" par rapport à (Ri), et exprimé dans (Ri), est le
vecteur OiM = {
𝑥i(t)
𝑦i(t)
𝑧i(t)}
Ri
alors que le vecteur position de "M" par rapport à (Ri), et exprimé dans
(Rk), est le vecteur OiM = {
𝑥k(t)
𝑦k(t)
𝑧k(t)}
Rk
7. Vitesse de "M" par rapport à (Ri) exprimé dans (Rk) :
v i(M) =
di OiM
dt=
di (xk(t)X k + y
k(t)Y k + zk(t)Z k)
dt
(Équation 3)
di xk(t)
dtX k+ xk(t)
di
dtX k+
di y
k(t)
dtY k+ y
k(t)
di
dtY k+
di zk(t)
dtZ k+ zk(t)
di
dtZ k
v i(M) = xk(t)X k+ y
k(t)Y k+ zk(t)Z k+ xk(t)
di
dtX k+ y
k(t)
di
dtY k+ zk(t)
di
dtZ k (Équation 4)
Avec : d
k OiM
dt= xk(t)X k+ y
k(t)Y k+ zk(t)Z k
Les axes du repère (Rk) sont en rotation par rapport aux axes de (Ri).
ll existe un vecteur noté Ωki = {
p
q
r définissant la rotation des axes de (Rk) par rapport à ceux de (Ri)
tel que :
di X k
dt= Ωk
i ∧ X k d
i Y k
dt= Ωk
i ∧ Y k d
i Z k
dt= Ωk
i ∧ Z k
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Donc :
v i(M) =
di OiM
dt=
dk OiM
dt+ Ωk
i ∧ OiM (Équation 5)
v i(M) =
di OiM
dt=
dk OiM
dt+ Ωk
i ∧ ( xk(t)X k+ yk(t)Y k+ zk(t)Z k) (Équation 6)
(Vitesse de M/Ri et exprimée dans Rk).
La formule de la base mobile est applicable à toutes les grandeurs vectorielles, c'est tout
simplement un outil mathématique.
8. Propriétés du vecteur rotation instantanée du repère (Rk) par rapport au
repère (Ri), Ωki :
Ωki = - Ωi
k (Équation 7)
Ωni = Ωi+1
i + Ωi+2i+1 + … + Ωn
n-1 (Équation 8)
di Ωk
i
dt=
dk Ωk
i
dt (Équation 9)
Exemple :
Déterminer les vecteurs position, vitesse et
accélération du point "M" décrivant un
mouvement circulaire uniforme figure ci-
contre, par rapport à (R0) et exprimé dans (R0)
et dans (R1).
R0 (0, X 0, Y 0, Z 0) : repère fixe.
R1 (0, X 1, Y 1, Z 1) : repère d’expression.
Figure 11
Solution :
Vecteur position de M par rapport à (Ro) Vecteur position de M par rapport à (R1)
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OM = {
r cos φ
r sin φ
0
}
R0
OM = {r
0
0}
R1
Vecteur vitesse de M :
- Par rapport à (Ro) et exprimé dans (Ro).
v 0(M) =
d0 OM
dt=
d
dt {
r cos φ
r sin φ
0
}
R0
= { - r φ sin φ
r φ cos φ
0
}
R0
- Par rapport à (Ro) et exprimé dans (R1).
Le vecteur rotation instantané de R1 par rapport à Ro est porté par l'axe OZo êt OZ1 et de sens
positif :
Ω10 = {
0
0
φ}
R0, R0
v 0(M) =
d0 OM
dt=
d1 OM
dt + Ω1
0 ∧ OM =
d
dt{
r
0
0}
R1
+ {0
0
φ}
R1
∧ {r
0
0}
R1
= {0
rφ
0
}
R1
Vecteur accélération de M :
- Par rapport à (Ro) et exprimé dans (Ro).
γ 0(M)=d
0 v
0(M)
dt=
d
dt { - r φ sin φ
r φ cos φ
0
}
R0
= { - r φ sin φ - r φ
2 cos φ
r φ cos φ - r φ2 sin φ
0
}
R0
Comme φ = 0 on aura : γ
0(M) = {
- r φ2 cos φ
- r φ2 sin φ
0
}
R0
- Par rapport à (Ro) et exprimé dans (R1).
𝛾 0(M) = d
0 v
0(M)
dt =
d1 v
0(M)
dt=
d1v
0(M)
dt + Ω1
0 ∧ v
0(M) =
d
dt{
0r ��0
}
R1
+ {0
0
��}
R1
∧ {r
r ��0
}
R1
𝛾 0(M) = {- r φ2
r ��0
}
R1
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CINEMATIQUE DU SOLIDE
1. Cinématique du solide :
Soit un corps solide (S)
(Ri) : repère de référence (absolu)
(Rk) : repère lié au solide (les axes de Rk sont
liés rigidement au solide (S)
Figure 12
a - Gas particuliers
1er cas :
Lors du mouvement les axes de (Rk), restent parallèles à ceux de (Ri), le solide est en translation
par rapport à Ri. Le vecteur de rotation instantanée de (S) par rapport à (Ri) est :
Ωsi = Ωk
i = 0 (Équation 10)
2eme cas :
Lors du mouvement les axes de (Rk) changent d’inclinaison par rapport à ceux du repère (Ri) le
solide est en rotation / Ri, le vecteur de rotation instantanée sera alors :
Ωsi = Ωk
i ≠ 0 (Équation 11)
2. Repérage du solide en mouvement :
Etudier le repérage d'un solide en mouvement revient à repérer le repère (Rk) en mouvement
par rapport à un repère (Ri) ; il faut donc repérer l'origine (Ok) et l'orientation du repère (Rk).
a) pour le repérage de (Ok), il suffit de connaître les coordonnées du vecteur position O i O k sur
(Ri) ou (Rk).
Oi O k = {
Oi O k . 𝑥𝑖
Oi O k . 𝑦𝑖
Oi O k . 𝑧𝑖
}
Rk
Oi O k = {
Oi O k . 𝑥𝑖
Oi O k . 𝑦𝑖
Oi O k . 𝑧𝑖
}
Ri
(Équation 12)
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