Cinemática de Máquinas

Órgãos de Máquinas I

ORGÃOS DE MÁQUINAS I

ANO LECTIVO 2009/2010

DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial


ORGÃOS DE MÁQUINAS I

Obj ti G i

Os conteúdos programáticos da unidade curricular de Órgãos Máquinas I objectivam conferirl fil d f ã t d i i it tê i

Objectivos Gerais

ao aluno um perfil de formação, que assenta em adquirir conceitos e competências queconduzam a actos de engenharia nas áreas da manutenção/projecto de máquinas eequipamentos industriais.

Os alunos deverão ser capazes de aplicar os princípios:

d i áti di â i d l t d á i áli d ida cinemática e dinâmica de elementos de máquinas na análise de mecanismos;

d ib õ â i á i i t

do balanceamento de máquinas e equipamentos.

das vibrações mecânicas em máquinas e equipamentos;


PROGRAMA DE ORGÃOS MÁQUINAS I


PROGRAMA DE ORGÃOS MÁQUINAS I

1. Cinemática de um corpo rígido no plano1.1. Movimento do corpo rígidop g1.2. Análise dos movimentos absoluto e relativo

2. Dinâmica de um corpo rígido 2.1. Momento de inércia de massa2.2. Equações do movimento para um corpo rígido: movimento plano geral2.3. Movimento de um corpo rígido: métodos da energia 2.4. Análise de mecanismos

3. Vibrações Mecânicas3.1. Conceitos de frequência, período e amplitude3.2. Classificação das vibrações3.3. Vibrações livres: amortecidas e não amortecidas 3.4. Vibrações forçadas: amortecidas e não amortecidas

4. Balanceamento de máquinas4.1. Desbalanceamento estático4.2. Balanceamento estático 4.3. Desbalanceamento dinâmico4.4. Balanceamento dinâmico



BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

Hibbeler R C : Mecânica Dinâmica LTC EditoraHibbeler, R.C.: Mecânica , Dinâmica, LTC Editora.

Beer, F.; Johnston, E.: Mecânica Vectorial para Engenheiros - Dinâmica. 7ª Edição, Editora McGraw Hill.

Beer, F.; Johnston, E.: Mecânica Vectorial para Engenheiros - Cinemática e Dinâmica. 6ª Edição, Editora McGraw Hill de Portugal, Ltda., 1998.

Graham Kelly, Fundamentals of Mechanical Vibrations, 2ª Edição, Editora McGraw Hill, Ltda, 2000.

Meriam, J.L. ; Kraige, L.G.: Engineering Mechanics -Dynamics, John Wiley & Sons, Inc.

Serway R : Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 3rd editionSerway, R.: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. 3rd edition, Saunders Golden Sunburst Series, Philadelphia, London, Tokyo, 1992.



CAPITULO I

CINEMÁTICA DE MÁQUINASQ


Á


Objectivos

SUMÁRIO DO CAPITULO 1

Introdução

Translação

Rotação em torno de um eixo fixo: Velocidade

Rotação em torno de um eixo fixo: Aceleração

Equações que definem a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo

Movimento Plano GeralMovimento Plano Geral

Velocidade absoluta e relativa no movimento plano

Centro instantâneo de rotação no movimento plano

Aceleração absoluta e relativa no movimento plano



CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO

OBJECTIVOS:

- Classificar os vários tipos de movimento.

A áli d i t l ã i t d i fi- Análise de movimentos em relação a um sistema de eixos fixos.

A áli d i t l ti tili d i t f i l i t d- Análise de movimento relativo utilizando um sistema referencial com movimento de translação.

- Análise de movimento relativo utilizando referencial com movimento de rotação.



INTRODUÇÃO

RELAÇÃO ENTRE CINEMÁTICA/DINÂMICA DAS MÁQUINAS E A MANUTENÇÃO

Conhecimento do correcto funcionamento das máquinas (prática de operação).

O engenheiro de manutenção deve conhecer os fundamentos matemáticos de projecto e operação das máquinas.

Dependendo da necessidade, o engenheiro de manutenção deve propor melhorias no projectoDependendo da necessidade, o engenheiro de manutenção deve propor melhorias no projecto das máquinas.



INTRODUÇÃO

• Cinemática de corpos rígidos: relações entre o tempo e as posições, as

• Classificação do movimento dos corpos rígidos:

velocidades, e as acelerações das partículas que dão forma a um corpo rígido.

Classificação do movimento dos corpos rígidos:

- Translação:

• Translação Rectilinea

• Translação Curvilinea Exemplo



Rotação em torno de um eixo fixo Exemplo

Movimento Plano Geral Exemplo

M i t t d t fiMovimento em torno de um ponto fixo

cremalheira 1 cremalheira 2



EXEMPLO DOS TIPOS MOVIMENTOS NUM MECANISMO

O i t d fi é d l id li d d i bi l i lO mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado do eixo biela, manivela e pistão de um motor de combustão.

Movimento plano geralTranslação curvilínea

p g

Translação rectilínea Rotação em torno de um eixo fixo

DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão IndustrialFord


TIPOS MOVIMENTOS NUM MECANISMO



Motor a explosão de 4 tempos



F i t d M t W k lMotor a dois tempos Funcionamento do Motor Wankel


Ã Á Ã


FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO

Translação curvilínea: o veículo move-se numa trajectória circular mantendo sempre sua posição na horizontal.

Estas equações mostram que todos os pontos de um corpo rígido sujeito a um movimento de translação se movem com as mesmas velocidades e acelerações.



Demonstração:B B

AArB

yz

ABr /r

AarAvr

x

y rA

Translação: desloca-se paralelamente a si próprioABr /r

ABAB rrr /rrr

+= ⇔+=⇒dtrd

dtrd

dtrd B/AAB

rrr

pois é constanteABr /r

AB vv rr=

⇔=dtvd

dtvd AB

rr

AB aa rr=



MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO DO CORPO RIGIDO

kzjx Aˆˆy+i(t)r AAA +=

r Posição do corpo

Posicionando x paralelamente à direcção do movimento, yA e zA são constantes, pelo que:Posicionando x paralelamente à direcção do movimento, yA e zA são constantes, pelo que:

iv=idx

drv A

AAA

dd==

rr Velocidade do corpo

dtdt AA p

ia=idt

xdtv

a AA

2A

Add

==r

r Aceleração do corpo



CASOS PARTICULARES DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO DO CORPO RIGIDO

V = c.te1 - Movimento de translação uniforme

dt

dva 0==Aceleração:)( 00 tt.vxx −+=Posição:

2 - Movimento de translação uniformemente variado a = c.teç a c

210 .tavv AA,A +=Velocidade: 2

00 21 .ta.tvxx AA,A,A ++=Posição:



MOVIMENTO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO

Análise do movimento circularAnálise do movimento circular

Formulação matemática para o movimento circular

Velocidade angular: Aceleração angular:



MOVIMENTO CIRCULAR COM ACELERAÇÃO CONSTANTE

São válidas as equações do movimento uniformemente variadoq ç

VELOCIDADE DE UM PONTO P PERTENCENTE AO CORPO RÍGIDO

Análise de velocidades

Escalar:

Vectorial:



ACELERAÇÃO DE UM PONTO P PERTENCENTE AO CORPO RÍGIDO

Notação Escalar

Aceleração normal:Aceleração normal:

Aceleração tangencial:ç g

Notação Vectorial

) rw(wra PPPrrrrrr

××+×= α

rwra PPrrrr 2−×= α


rwra PP α


PROCEDIMENTO DE ÁNÁLISE DO MOVIMENTO DO CORPO RÍGIDO EM TORNO DE UM EIXO FIXO

A velocidade e a aceleração de um ponto localizado sobre um corpo rígido que gira em torno ç p p g q gde um eixo fixo podem ser determinadas utilizando-se o seguinte procedimento:

I - Movimento AngularI - Movimento Angular

1º Estabeleça o sentido positivo do eixo de rotação e indique-o ao lado de equação cinemática

2º Se for conhecida uma relação entre quaisquer duas das quatro variáveis

equação cinemática.

α, w, θ e t então a terceira variável pode ser obtida utilizando-se umadas seguintes equações cinemáticas:



3º S l ã d é t t tã3º Se a aceleração do corpo é constante, então podem ser utilizadas as seguintes equações:

Uma vez obtida a solução, os sentidos de θ , w e α são dados pelos sinais algébricos dos seus valores numéricos.



II - Movimento do ponto P pertencente ao corpo rígido

1º Em muitos casos a velocidade de P e as duas componentes da sua1 Em muitos casos a velocidade de P e as duas componentes da sua aceleração podem ser determinadas pelas equações escalares:

w r v = α r a t = 2 rwa n =

2º Se a geometria do problema é de difícil visualização, então devem ser utilizadas as seguintes equações vectoriais:

r w r wv Prrrrr

×=×=

r α r αa Ptrrrrr

×=×=2 rw) rw(wa Pnrrrrr 2−=××=

-r P r É direccionado de um ponto qualquer pertencente ao eixo de rotação para o ponto P.

-α e w, r, r Prrrr

Devem ser expressas em função de i, j, k e o produto vectorial é determinado l d l i t d d t i t

- r r Apoia-se no plano do movimento de P.

pelo desenvolvimento do determinante.



EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

I - O cabo C tem uma aceleração constante de 0,5 m/s2 e uma velocidade inicial de1 m/s, ambas dirigidas para a direita. Determinar:

(a) o número de voltas da polia em 2 s.

(b) a velocidade e a mudança de posição da massa B após 2 s.

(c) a aceleração do ponto D localizado na polia interna para t = 0 s.

10 cm

20 cm



• Devido à acção do cabo a velocidade tangencial e aceleração de D são

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA

• Devido à acção do cabo, a velocidade tangencial e aceleração de D são iguais à velocidade e o aceleração de C. Calcular a velocidade angular e a aceleração iniciais.

A li l õ i t d t ã if t l d

Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração do ponto D

Aplicar as relações para o movimento de rotação uniformemente acelerado de modo a determinar a velocidade e a posição angular da polia após 2 s.

Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração do ponto D da polia interna.

• A velocidade e o aceleração tangencial de D são iguais à velocidade e o aceleração de CA velocidade e o aceleração tangencial de D são iguais à velocidade e o aceleração de C.

r)v(

sm)v()v( CD /1 00

=

→==r

rr

ω( )( )

2/5.0 smaa CtD →==rr

srad.r

) v(ω

r)v(

D

D

1010

1

1

00

010

===

=rω ( )

( ) 2

1

1

51050 srad..

ra

ra

tD

tD

===

=

α

α



SOLUÇÃO

• Aplicar as relações para a rotação uniformemente acelerada para• Aplicar as relações para a rotação uniformemente acelerada para determinar a velocidade e posição angular da polia após 2 s.

( )( ) d202d510 2++ t ( )( ) srad20s2srad510 20 =+=+= tαωω

( )( ) ( )( )d30

s 2srad5s 2srad10 22212

21

0 +=+= tt αωθrad30=

( ) voltasrot 1rad30 denúmeroN =⎞⎜⎛= voltas8.4=N( ) voltas

rad2rad30 denúmeroN

⎠⎜⎝ π

voltas8.4N

( )( )srad200.22 == ωrv B ↑= s4 mvBr

( )( )2B

myB 6=∆( )( )rad 300.22 ==∆ θryB

B


Ã


SOLUÇÃO• Avaliação das componentes tangencial e normal da aceleração de D.

( ) →== 2m/s50aa rr( ) →== m/s5.0CtD aa

( ) ( )( ) 2220 m/s 10srad100.1 === ωDnD ra

( ) ( ) ↓=→= 22 m/s 10m/s 5.0 nDtD aa rr

• Valor e direcção do vector aceleração total

( ) ( )222/50)( ( ) ( )22

22

105.0 +=

+= nDtDD aaa

2/01.10 sma D =

2/5.0)( sma tD =

( )( )10

tan

=

=tD

nD

aa

φ

º187=φ

2/10)( sma nD =

5.0 1.87=φ



MOVIMENTO PLANO GERAL

Combinação dos movimentos de translação e rotaçãoQuando o bloco deslizante A se movehorizontalmente para a esquerda com umavelocidade VA , ele transmite á manivela CB

t ã tid ti h á i d f

E1 E2 E3

uma rotação no sentido anti-horário de formaque VB tem uma direcção tangente à trajectóriacircular, isto é , para cima e para a esquerda. Abarra de ligação AB (biela) está sujeita a umbarra de ligação AB (biela) está sujeita a ummovimento plano geral e no instante mostradoela tem uma velocidade angular w

B do ponto velocidadevB =r

A do ponto velocidadevA =r

A barra AB do mecanismo mostrado possui movimento plano geral (translação + rotação)

ão a AB em relaç" de relativavelocidadev AB =/r

O movimento relativo é circular, o módulo dessa velocidade é VB/A= W*rB/A e a sua posição é perpendicular a rB/AO movimento relativo é circular, o módulo dessa velocidade é VB/A W rB/A e a sua posição é perpendicular a rB/A




Análise do Movimento relativo

POSIÇÃO:

Análise do Movimento relativo




ANÁLISE DA VELOCIDADE:

Trajectória do ponto A

Avr

Avr

Bvrr

B/AB/A rwv =

Movimento Plano geral TranslaçãoRotação em torno do ponto de referência A

Trajectória do ponto B

Av

Movimento Plano geral Translação ponto de referência A

EQUAÇÕES DE VELOCIDADE: Cálculo das derivadas temporais da equação de posição.



PROCEDIMENTO DE ANÁLISE DA VELOCIDADE DO CORPO RÍGIDO

A equação da velocidade relativa pode ser aplicada a partir de uma análise vectorial cartesiana ou

I ANÁLISE VECTORIAL

escrevendo-se directamente as equações em componentes escalares nas direcções x e y. Naabordagem dos problemas deve utilizar-se o seguinte procedimento:

I – ANÁLISE VECTORIAL

1º - Construir o Diagrama Cinemático

Estabeleça as direcções das coordenadas fixas x y e construa o diagrama cinemático do corpo Indique neste

Se os módulos de vA ,vB e w são desconhecidos, os sentidos desses vectores podem ser assumidos.

Estabeleça as direcções das coordenadas fixas x, y e construa o diagrama cinemático do corpo. Indique nestediagrama as velocidades vA e vB dos pontos A e B, a velocidade angular w e o vector posição relativa rB/A.

2º - Aplicar a equação da velocidade

• Para aplicar vB = vA+ w x rB/A , os vectores devem ser expressos na sua forma cartesiana e substituídos na equação. Calcule o produto vectorial e iguale as correspondentes componentes i e j de modo a obter duas q ç p g p p jequações escalares.

• Se a solução fornecer um resultado negativo para o módulo de uma incógnita isso indica que o sentido do vector é oposto àquele mostrado no diagrama cinemático.


Á


Ao aplicarmos a equação da velocidade na forma escalar o módulo e o sentido da velocidade relativa v

II – ANÁLISE ESCALAR


Ao aplicarmos a equação da velocidade na forma escalar, o módulo e o sentido da velocidade relativa vB/Adevem se estabelecidos. Construa um digrama cinemático conforme ilustrado na figura 1 , onde é mostradoo movimento relativo. Como o corpo é considerado como momentaneamente “rotulado” ao ponto dereferencia A, o módulo da velocidade relativa é vB/A = w rB/A. O sentido de vB/A é estabelecido a partir do

diagrama de modo que vB/A seja perpendicular rB/A, de acordo com o sentido de rotação w do corpo.

Figura 1

2º - Aplicar a equação da velocidade2 - Aplicar a equação da velocidade

• Escreva a equação da velocidade na forma simbólica, vB = vA+ vB/A e, por baixo de cada um dos termos, represente graficamente os vectores mostrando seus módulos, direcções e sentidos. As equações escalares são determinadas a partir das componentes x e y desses vectoressão determinadas a partir das componentes x e y desses vectores.



EQUAÇÕES DA VELOCIDADE PARA MOVIMENTO PLANO

• Todo o movimento plano pode ser substituído por uma translação de um pontode referência arbitrário A e uma rotação simultânea em torno de A, assim:

ABAB vvv rrr +=

wrvrwv ABABAB =×=rrr

ABAB rkwvv rrrr×+= ABAB


Á S O O O O CO OS ÍG OS


ANÁLISE DO MOVIMENTO PLANO DE CORPOS RÍGIDOS

Movimento Plano = Translação de A + Rotação em torno de A

Movimento Plano = Translação de B + Rotação em torno de B



CENTRO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO NO MOVIMENTO PLANO

Definição: Para um corpo rígido em movimento plano geral, as velocidades das partículas do corpo eml i t t ã bt i l t ã d t d iqualquer instante são as mesmas que se obteriam pela rotação do corpo em torno de um eixo

perpendicular ao plano do corpo, designado por eixo instantâneo de rotação. A intersecção entre esteeixo e o plano do corpo chama-se centro instantâneo de rotação - C.I. ou centro instantâneo develocidade nula (vCI = 0).

A Velocidade do ponto B do corpo rígido mostrado na figura 3, pode ser determinada pela seguinte equação da velocidade:

CI0=CIv

CIBrr

C.I

A

ABAB rwvv rrrr×+=

Se escolhermos o ponto A do corpo, como sendo no instante considerado

Bvr

B

ABrr

CIArr

CIBB rwv rrr×=

um ponto de velocidade nula (vA = 0) a equação da velocidade vem:

Avr

AB

CIBB rwv =

Sendo rB/CI perpendicular a vB , então a equação da velocidade pode escrever-se

na forma escalar como:

Figura 3



Procedimento para Localização do Centro Instantâneo de Rotação

Para localizar o CI, podemos utilizar o facto do vector velocidade de um ponto

C.Iwr

sobre corpo ser perpendicular ao vector posição relativa definido entre o CI e oponto considerado. São apresentados três casos distintos que podem ocorrer:

1º Caso - É conhecida a velocidade vA de um ponto do corpo e a velocidade

wvr A=CIA

r

1 Caso - É conhecida a velocidade vA de um ponto do corpo e a velocidadeangular w do corpo como exemplifica a figura 4: Neste caso o CI localiza-se aolongo da linha perpendicular a vA passando por A de modo que a distância de A aCI é rA/C = vA/w AvrCI é rA/C I vA/w.

Figura 4

C I2º Caso - São conhecidas as linhas de acção de duas velocidades vA e vB nãoparalelas como exemplifica a figura 5: Constroem-se segmentos de linhaperpendiculares a vA e vB passando por A e B, respectivamente. O CI

C.I

CIArr

CIBrr

wr

p p A B p p , pdetermina-se prolongando essas perpendiculares até ao seu ponto deintersecção. Bvv

Figura 5Avv

Figura 5



C.I

rrwr

3º Caso - Dados os módulos e as direcções de duas velocidades paralelas vA e vB,como exemplifica a figura 6: o CI é determinado usando aproporcionalidade de triângulos, em que rA/CI = vA / w e rB/CI = vB / w.

CIBr

BvvCIArr

p p g q A/CI A B/CI B

I - EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Avv

vv AA ( ) v

• O centro instantâneo de rotação encontra-se na intersecção das perpendiculares aos vectores velocidade com os vectores posição e .CI Br

rCI A r

r

• A velocidade de cada uma das partículas da haste apresenta-se como

θω

cos/ lrA

CIA

A ==CI Br

rC.I

( ) θθ

θω tancos

sin / AA

CIBB vl

vlrv ===

A velocidade de cada uma das partículas da haste apresenta se comorodasse em torno de CI.

• A partícula localizada no centro de rotação tem velocidade zero.r

• A velocidade da partícula que coincide com o centro de rotação varia notempo pelo que a sua aceleração no centro instantâneo de rotação não ézero.

CI A rr



Características do Centro Instantâneo de rotação ou Centro de velocidade nula

O conceito de centro instantâneo de rotação só se aplica ao movimento plano.

O centro instantâneo de rotação é um ponto que varia de instante para instante.

O conceito de centro instantâneo de rotação é útil, para calcular velocidades de pontos de corpos rígidos em alguns movimentos planos. Nunca, acelerações.

A utilização do centro instantâneo de rotação nunca é a única forma de resolver exercícios de umA utilização do centro instantâneo de rotação nunca é a única forma de resolver exercícios de um movimento plano.



EXEMPLO DE APLICAÇÃO BARRA DESLIZANTE

A barra mostrada na figura é guiada por dois blocos A e B que se movem ao longo das ranhurasA barra mostrada na figura é guiada por dois blocos A e B que se movem ao longo das ranhuras fixas. Se a velocidade de A é de 3 m/s no sentido descendente. Determine:

(a) a velocidade linear de B no instante em que a barra forma um ângulo de 60º com a vertical;

(b) l id d l d b(b) a velocidade angular w da barra.

A0 5 mvA= 3 m/s

60º

0.5 m

B



RESOLUÇÃO


1º - Diagrama Cinemático

Uma vez que os movimentos de A e B são restritos ao longo das ranhuras fixas e vA é direccionadaverticalmente no sentido descendente, então a velocidade vB deve ser direccionada horizontalmente para a, B pdireita como é ilustrado na figura 2. O movimento origina na barra uma rotação no sentido anti -horário, isto é,pela regra da mão direita o vector velocidade angular w é direccionado para fora e perpendicular ao plano domovimento. Conhecendo-se o módulo de vA e as linhas de acção de vB e w então é possível aplicarmos a

ã d l id d

B (Livre) Bvr

ABAB rwvv rrrr×+=

equação da velocidade:

A (Fixo)B (Livre)

AvrABv /

r60º

30ºA Bv /r

( )

vA= 3 m/s ABrr

wr

60ºi

j

Ax

y

A

ABAB vvv rrr+=

B (Livre) Bvr60º B

ABAB rwvv rrrr×+= Figura 2



RESOLUÇÃO2º - Equação da velocidade

Expressando cada um dos vectores mostrados no diagrama cinemático em função das suas componentes i, j , ke aplicando a equação da velocidade ao ponto de referência A, vem:

ˆˆ [ ]j30º0 5i30º50BAr

rˆr

[rad/s] k ww =r

; [m/s] j0i += BB vvr [m] j30ºsen 0.5-i30ºcos5.0==BA

r AB r; [m/s] j3−=Avr

ˆˆˆ

⇔×+= ABAB rwvv rrrr

00.25-0.43300

kji j -3 j 0i wvB +=+ j 433.0i 25.0 j -3 j i wwvv BB ++=+⇔

{ 25.0 wv B =i →= m/s 725.1 Bv

A (Fixo)

k 9.6=wr{ 433.0 -3 0 w+=j

⇔

rad/s 6.9 =w60ºj 3−=Avr A Bv /

r

60º

B ivBˆ 725.1=

r




II – ANÁLISE ESCALAR

1º - Diagrama Cinemático B (Livre) Bvr

ABv /r

60º

30ºA (Fixo)

yAvr

AB /30

vvv rrr+=

ABvrvA= 3 m/s ABrr

wr

60ºx

y

2º - Equação da velocidade

ABAB vvv +=

ABAB rwvv rrrr×+=B (Livre) Bvr

60º

50 w.w rv B/AAB ==ABAB vvv rrr+=

[ ]w50[ ]v )( [ ]3− [ ] w.50[ ]xBv )(

→ [ ]3−

↓ = +

60º

Igualando-se as componentes x e y, vem:

wwvv BxB 25.0º60 cos 5.0)( ===

ºw sen 605030 +−={ { m/s 725.1=Bv

d/96w sen . 605030 +={ { rad/s.w 96=



II - EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE MECANISMO “MOVIMENTO PLANO GERAL”

O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado de pistão biela e manivela de um motorO mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado de pistão, biela e manivela de um motora combustão. Sabendo-se que LAB =75 mm, LBC = 175 mm e que no instante mostrado θ = 70° e oeixo da manivela AB possui uma velocidade angular wAB = 4800 rpm no sentido anti-horário,determine pelo método do centro instantâneo de rotação:determine pelo método do centro instantâneo de rotação:a) a velocidade angular da biela BC;b) a velocidade do pistão P.

L 175 mm

LBC=175 mm

LBC=175 mm

LAB=75 mmE1

70º

Ф70º

C

º sen sen Φ ºsen sen Φ 7017575

17570

75=⇔= º75.23 =⇔ Φ17517575



RESOLUÇÃO


Movimento da manivela AB - Rotação em torno de um eixo fixo

1º - Diagrama CinemáticoBvr

yj

B /AB vv rr=

20º

B (Livre)

ABwr

20º

ABrr

xA

iB (Livre)

20º

A (Fixo)

70º

2º E ã d l id d2º - Equação da velocidade

[rad/s] ˆ6502ˆ60

2 * 4800 k .kπwBA ==r

Dados apresentados na forma vectorial

6.50200kji

0 +=Bvr⇔×+= ABABAB rwvv rrrr

jº sen .iº .rB/A 700750ˆ70cos0750 +=

r00705.00256.0

j . i .vBˆ8712ˆ435 +−=

r m/s 7.37 =⇒ Bv

[m] j 0.0705 i r ABˆˆ0256.0 +=

r



RESOLUÇÃO

Movimento Plano da biela BC - Translação de B + Rotação em torno de B

1º - Diagrama Cinemático

BCwr

Bvr

20º Bvr

93 75º

x

y

Bi

j

C (Livre)

B (Fixo)BC

r

BCrr

23.75ºc (Livre

20º

B / Cvr

r

66.25º

93.75

( )

C /BvrC vr C vr

2º - Equação da velocidade BCBCBC rwvv rrrr×+=

]/[ ˆ87.12ˆ435 sm j i . vB +−=r


007050160

00

ˆˆˆ

ˆ87.12ˆ 4.35ˆ - .-.

wkji

j i iv BCC −++−=

[rad/s] ˆ kww BCBC −=r

[m] j 23.75ºsen 0.175 - i 23.75º cos 175.0r BC =r

ˆˆ{{ 16.087.120 BCw−=

0705.0 -35.4 BCC wv −=−i

j⇔

←= m/s 41 Cv

rad/s80.4=BCw[m] j 0.0705 - i 16.0r BC =

r{{

BCj rad/s80.4BCw


Ã É


RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PELO MÉTODO CI

Movimento Plano da Biela BC - Translação de B + Rotação em torno de B

m 47.0º66.75 175.0

º20 /

/=⇔= CIB

CIBr

rsensen

CI

m 51.0º93.75 175.0

º20 /

/=⇔= CIC

CICr

rsensen20 º

CI B rr

93.75 ºr

Bvr

20º

B CICrr ⇔= A B ABB rwv m/s73707506502 .. * .vB ==

BCw

66,75º

B

A B rr ⇔= CI B BCB rwv rad/s 2.80

47.07.37===

rvw

CI B

BBC

C vr23.75º70 º

CA ←= m/s 9.40 Cv rad/s 80.2 =BCw

m/s 40.90.51*2.80 r* C/CI ==⇔= CBCC vwv



III - EXEMPLO DE APLICAÇÃO

CENTRO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO NO MOVIMENTO PLANO

A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior que se encontra parada. Sendo a velocidade do centro da engrenagem de 1.2 m/s, ddetermine:

Ç

(a) a velocidade angular da engrenagem(b) a velocidade da cremalheira superior R (c) a velocidade do ponto D da engrenagem. ( ) p g g


Ã


O ponto C está em contacto com a cremalheira inferior estacionária e, instantaneamente, tem velocidade zero. o ponto C deve ser escolhido como posição do centro instantâneo da rotação (CI).

RESOLUÇÃO

• Determine a velocidade angular sobre C baseado na velocidade dada em A.

srad8m0.15sm2.1====

A

AAA r

vrv ωω0. 5A

• Calcule as velocidades em B e em D baseados em sua rotação sobre C.

m/s 28*25.0 ==== ωBBR rvv [m/s] 2 iv R

rr=

m 2121.0215.0 ==Dr

m/s69718*21210 === ωrv [m/s]2121 jivrrr

+=m/s697.18*2121.0 === ωDD rv [m/s] 2.12.1 jivD +=



EXEMPLO DE APLICAÇÃO VELOCIDADE EM MOVIMENTO PLANO

Assumindo que a velocidade vA da extremidade A é conhecida, determine:a) a velocidade v da extremidade Ba) a velocidade vB da extremidade B.b) a velocidade angular w em função de vA, l, e θ.

As direcções de vB e vB/A são conhecidas. Completar o diagrama das velocidades.

θ

θ

tan

tan

AB

A

B

vvvv

=

= θω

cos

v

lv

vv A

AB

A ==

ç B B/A p g

θtanAB vv =θ

ωcoslvA=




ANÁLISE DA ACELERAÇÃO:

Movimento Plano Translação de ARotação em torno do ponto de referência A= +

EQUAÇÕES DA ACELERAÇÃO

ABAB aaa rrr += nABtABAB aaaa )()( rrrr++= ABABAB rwraa /

2/

rrrrr−×+= α



PROCEDIMENTO DE ÁNÁLISE DA ACELERAÇÃO DO CORPO RÍGIDO

A equação da aceleração relativa pode ser aplicada a dois pontos quaisquer A e B de um corpo a partirde uma análise vectorial cartesiana ou escrevendo-se directamente as equações em componentes


de uma análise vectorial cartesiana ou escrevendo se directamente as equações em componentesescalares nas direcções x e y. Na abordagem dos problemas deve utilizar-se o seguinte procedimento:


Estabeleça as direcções e os sentidos das coordenadas fixas x, y e construa o diagrama cinemático doI di t di l id dcorpo. Indique neste diagrama as velocidades aA, aB , w, α e rB/A.

Se os pontos A e B se movem ao longo de trajectórias curvas as suas acelerações devem ser indicadas emfunção das suas componentes tangencial e normal, isto é: e nBtBB aaa )()( rrr

+=nAtAA aaa )()( rrr+=

2º - Aplicar a equação da aceleração

• Para aplicar a equação aB = aA+ α x rB/A - w2 rB , os vectores devem ser expressos na sua forma cartesiana e substituídos na equação Calcule o produto vectorial e iguale as correspondentes componentes i e j de modosubstituídos na equação. Calcule o produto vectorial e iguale as correspondentes componentes i e j de modo a obter duas equações escalares.

• Se a solução fornecer um resultado negativo para o módulo de uma incógnita isso indica que o sentido do vector é oposto àquele mostrado no diagrama cinemático. p q g



I - EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE MECANISMO “MOVIMENTO PLANO GERAL”

O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado Pistão Biela e Manivela de um motorO mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado Pistão, Biela e Manivela, de um motorde combustão. Sabendo-se que LAB =75 mm, LBC = 175 mm e que no instante mostrado θ = 70° oeixo da manivela AB possui uma velocidade angular constante wAB = 4800 rpm no sentido anti-horário determine:horário, determine:a) a aceleração angular biela BC;b) a aceleração do pistão P.

L 175 mm

LBC=175 mm

LBC=175 mm

LAB=75 mm

70º

Ф70º

C

º sen sen Φ ºsen sen Φ 7017575

17570

75=⇔= º75.23 =⇔ Φ17517575



RESOLUÇÃOI – ANÁLISE VECTORIAL

Movimento da manivela AB - Rotação em torno de um eixo fixo

1º - Diagrama CinemáticoB (Livre) B (Livre)

yj ABwr

ABrr

nABB aa )( /rr

= nABB aa )( /rr

=

70º

xA

i

A (Fixo)

70º

2º - Equação da aceleração2*4800


nABtABAB aaaa )()( rrrr++=

ˆˆ22 jº sen .iº .rB/A

ˆ700750ˆ70cos0750 +=r

[rad] ˆ6502ˆ60

2 * 4800 k .kπwAB ==r

)j .i.*(.rwa B/ABˆ07050ˆ02560650200 22 +−=−+=

rr

][m/s ˆ8.17808ˆ 7.6466 2jiaB −−=r

][m/s 5.18946 2=Ba

/

[m] j 0.0705 i BAr ABˆˆ0256.0 +==

rr][B




Movimento Plano da biela BC - Translação de B + Rotação em torno de B

1º - Diagrama CinemáticoB (Fixo)

nB /Aa )( rBCαr

C /Ba )( r

x

y

Bi

j

C (Livre)

nB /A )(

C ar

BCrr

23.75º70º

nC /Ba )(

A

2º E ã d l ã

tC /Ba )( r

2º - Equação da aceleração

nBCtBCBC aaaa )()( rrrr++=


][m/s ˆ8.17808ˆ 7.6466 2jiaB −−=r

BCBCBCBCBC rwraa /2

/rrrrr

−×+= α][rad/s ˆ 2kBCBC αα −=

r

[m] j 0.0705 - i 16.0r BC =r

[ d/ ]k280r


[rad/s] k2.80BC −=w


y

B

j

B (Fixo)

BCαr

rnC /Ba )( rnB /Aa )( rDados apresentados na forma vectorial

][m/s ˆ8.17808ˆ 7.6466 2jiaB −−=r

xB

i

C (Livre)C ar

BCr23.75º70º

A ][rad/s ˆ 2kBCBC αα −=r

[m] j 0.0705 - i 16.0r BC =r

BCBCBCBCBC rwraa /2

/rrrrr

−×+= α

tC /Ba )( r [rad/s] k 2.80BC −=wr

)j 0.0705 - i 16.0(*2.80 007050160

00

ˆˆˆ

)ˆ8.17808ˆ 7.6466( 2−−+−−=.-.

kjijia BCC α

r

007050160 ..

j i j i j i a BCBCCˆ46.453ˆ1029)ˆ16.0ˆ0705.0()ˆ8.17808ˆ7.6466( +−−−+−−= ααr

m/s a 2C 5.151−={ 7.4957 0705.0 −−=− BCCa α

17355.34 BC −−= α16.002

BC rad/s 1 9.08470−=α{i

j



MECANISMO “MOVIMENTO PLANO GERAL”

O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado de pistão biela e manivela de um motorO mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado de pistão, biela e manivela de um motora combustão. Para a manivela de raio R e biela de comprimento L, no instante mostrado θ e o amanivela AB possui uma velocidade angular w no sentido anti-horário, determine:a) A velocidade angular da biela BC;a) A velocidade angular da biela BC;b) A velocidade do pistão P.

LBC=175 mm

L

R

70ºФθ

C



SOLUÇÃO COMPUTACIONAL DO PROBLEMA

Velocidade angular da biela BC

Velocidade do pistão C



ANÁLISE COMPUTACIONAL DO MODELO PROPOSTO



ANÁLISE COMPUTACIONAL DO MODELO PROPOSTO



COMENTÁRIOS SOBRE O ESTUDO REALIZADO

Para um perfeito funcionamento do sistema é importante manter a velocidade l d t ã d i ( t A)angular de rotação do eixo (ponto A).

Não se deve permitir desalinhamento do eixo, pois o mesmo pode ocasionarvibrações que interferem directamente na velocidade angular do sistema e navelocidade linear do pistão, gerando anomalias nas curvas apresentadas.


Cinemática de Máquinas

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