TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH 36/73 NGUYỄN HOÀNG TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG SĐT: 01234332133-0978421673 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Hueá, thaùng 7/2012 * GTLN Và GTNN của hàm số * Tiệm cận của đồ thị hàm số * KSHS hàm bậc ba, trùng phương, hửu tỉ
97
Embed
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ 12 · - Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Dạng 2: Một số bài toán liên quan đên hàm trùng phương Vấn đề 2: Hàm bậc
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH 36/73 NGUYỄN HOÀNGTRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG
SĐT: 01234332133-0978421673
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ 12LUYỆN THI
TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Hueá, thaùng 7/2012
* GTLN Và GTNN của hàm số
* Tiệm cận của đồ thị hàm số
* KSHS hàm bậc ba, trùng phương, hửu tỉ
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư1
MỤC LỤC
Bài 3. Giá tị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng đỉnh nghĩa
- Dạng 2: Đặt ẩn phụ tìm GTLL và GTNN
- Dạng 3: Ứng dụng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
- Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN và GTNN trên một miền
Bài 4. Tiệm cận của đồ thị hàm số
- Dạng 1: Tìm tiêm cận ngang và tiệm cận đứng bằng định nghĩa
- Dạng 2: Một số bài toán liên quan đến tiệm cận. Tìm m thỏa điều kiện Kcho trước
Chủ đề: Tiệm cận xiên (Thảo luận)
- Dạng 3: Các bài toán liên quan đến tiệm cận hàm phân thức
Bài 5. Khảo sát hàm số
Vấn đề 1: Hàm trùng phương
- Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
- Dạng 2: Một số bài toán liên quan đên hàm trùng phương
Vấn đề 2: Hàm bậc ba
- Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
- Dạng 2: Một số bài toán liên quan đên hàm bậc ba
Vấn đề 3: Hàm phân thức hữu tỉ
- Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
- Dạng 2: Một số bài toán liên quan đên hàm phân thức hữu tỉ
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư2
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D R).
a) 0 0
( ) ,max ( )
: ( )D
f x M x DM f x
x D f x M
b) 0 0
( ) ,min ( )
: ( )D
f x m x Dm f x
x D f x m
2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì [ ; ][ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )a ba b
f x f b f x f a .
b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì [ ; ][ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )a ba b
f x f a f x f b .
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư3
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
Tính f (x).
Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn
[a; b].
Tính f (x).
Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1, x2, …, xn trên [a; b] (nếucó).
Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.
1 2[ ; ]max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )na b
M f x f a f b f x f x f x
1 2[ ; ]min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )na b
m f x f a f b f x f x f x
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Tìm GTLL và GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
3 1)3
xa yx
trên đoạn [0;2]
b)
2
2
3 11
x xyx x
DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư4
Hướng dẫn:
b) Bảng biến thiên
x 0 2
'y - 0 + 0 +
y3 11
3
Dựa vào bảng biến thiên, học sinh có thể dễ dàng xác đinh GTLL,GTNN
Bài 2. Tìm GTLL và GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
a) 2 4 3y x x b) 4 22y x x c) 4 22 2y x x
Hướng dẫn:
b) Hàm số xác định trên
Bảng biến thiên:
x -1 0 1
'y - 0 + 0 - 0 +
y 0
Dựa vào bảng biến thiên:
Hàm đạt gía trị nhỏ nhất tại 1x ,
1Min y . Hàm không có giá trị lớn nhất
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
1 3
-1 -1
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư5
22x
yx
trên 0;
Hướng dẫn:
Hàm xác định trên tập 0;
2 0;' 0
2
xy
x
Bảng biến thiên
x 0 2
'y - +
y 8
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại
0;
2, 8x Min y
Hàm không có giá trị lớn nhất
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 5 6y x x trên đoạn [-1;6]
Hướng dẫn:
Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1; x=6 và đạt giá trị lớn nhất tại 52
x
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
26 4y x x trên đoạn [0;3]
Hướng dẫn: Hàm đạt giá trị lớn nhất tại x=3, nhỏ nhất tại x=0
Bài 6. (Đề thi TSĐH 2003 khối B) . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
24y x x
Hướng dẫn:
Cách 1: Tập xác định 2;2D ;
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư6
2
21 ; 0 4
4xy y x x
x
2 2
02
4x
xx x
max 2 2min 2
yy
Cách 2: Đặt 2sin , ;
2 2x u u
2 sin cos 2 2 sin 2;2 24
y u u u ; max 2 2 ; min 2y y
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
11
xyx
trên đoạn [-1;2]
Hướng dẫn:
Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1 và đạt giá trị lớn nhất tại 1x
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 3 23 1y x x trên đoạn [-2;1]
Hướng dẫn:
Hàm đã cho xác định trên 2;1
Đặt 3 2( ) 3 1, 2;1g x x x x ,
0'( ) 0
2 2;1x
g xx
Do đó:
2;1 2;1
( ) 1; ( ) 19Max g x Min g x
Ta có: 2;1 ( ) 19;1 ( ) 0;19x g x g x
1 1(0). ( 1) 0 0;1 : ( ) 0g g x g x . Vậy
2;1 2;1
( ) 19; ( ) 0Max f x Min f x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
2
11
x xyx x
b) 3 44 3y x x c)
4 2
3
1 ( 0)x xy xx x
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư7
d) 2 2y x x e) 2
12 2
xyx x
f)
2
2
2 4 51
x xyx
g) 2 1 ( 0)y x xx
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) 3 22 3 12 1y x x x trên [–1; 5] b) 33y x x trên [–2; 3]
c) 4 22 3y x x trên [–3; 2] d) 4 22 5y x x trên [–2; 2]
e)
3 13
xyx
trên [0; 2] f)
11
xyx
trên [0; 4]
g)
24 7 72
x xyx
trên [0; 2] h)
2
2
11
x xyx x
trên [0; 1]
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) 2100y x trên [–6; 8] b) 2 4y x x
c) 22y x x
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 72 90y x x x trên
đoạn [-5;5]
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định trên 5;5
Đặt 3 2( ) 72 90, 5;5g x x x x x
Ta có :
6 5;5'( ) 0
4 5;5
xg x
x
Với (4) 86; ( 5) 400; (5) 70g g g
Do đó: 86 ( ) 400 0 ( ) 400 0 ( ) 400g x g x f x
Vậy
5;5ax ( ) 400 5M f x khi x
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư8
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sin2y x x trên đoạn
;2
Hướng dẫn:
5'( ) 0 ; ;6 6 6
f x x
Vậy:
; ;
2 2
5 3 5( ) ; ( )6 2 6 2 2
Max f x khi x Min f x khi x
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư9
Khi đặt ẩn phụ, cần chú ý một số điều sau:
Nếu đặt 2t x thì 0t và giả sử 1;1 0;1x t
Nếu sin1;1
cost x
tt x
Nếu 2
2
sin0;1
ost x
tt c x
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. (Đề dự bị TSĐH 2003 khối B) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
36 24 1y x x trên đoạn 1;1 .
Hướng dẫn:
Đặt 2 0;1u x . Ta có 33 3 24 1 3 12 12 4y u u u u u
2
239 24 12 02 0;1
uy u u
u
Từ đó ta được 4max 4;min9
y y
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số 6 4 29 134 4
y x x x trên
đoạn [-1;1]
Hướng dẫn:
Đặt 2 0;1 , 1;1t x t x ta có:
3 2 9 1( ) 34 4
f t t t t liên tục trên đoạn [0;1]
DẠNG 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TÌM GTLL VÀ GTNN
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư10
12'( ) 03 0;12
tf t
t
0;1 1;1
[ 1;1]0;1
3 1 3 2( ) ( )4 2 4 21 1( ) 0 ( ) 04 4
Max f t khi t hay Max f x khi x
Min f t khi t hay Min f x khi x
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 4 2sin os 2y x c x
Hướng dẫn:
Hàm đã cho xác định trên
4 2 4 2sin os 2 sin sin 3y x c x x x
Đặt 2sin , 0;1t x t . Xét hàm 2( ) 3, 0,1f t t t t
Vậy
0;1 0;1
11( ) 3; ( )4
Max f x Min f x
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
s inx 1sin s inx 1
yx
Hướng dẫn:
Đặt sin , 1;1t x t
2
1( ) 1;11
tf tt t
, ( )f t liên tục trên 1;1 , '( ) 0 0f t t
1;1
1;1
( ) ( ) 0 sin 1 2 ,2
( ) ( ) 0 sin 0 ,
Max f x Max f t khi x x k k
Min f x Min f t khi x x k k
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2sin os4 4x c xy
Hướng dẫn:
Cách 1:
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư11
2 2 2 2 2
2sin os sin 1 sin sin
sin
44 4 4 4 44
x c x x x x
xy
Đặt 2sin4 , 0;4xt t , xét hàm số
2 4 , 1;4ty tt
Từ đó suy ra được:
1;4 1;1( ) ( ) 5 ; ( ) ( ) 4Max f x Max f t Min f x Min f t
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân ta có:
2 2sin os4 4 2 4 4.x c x Đẳng thức xảy ra khi
2 2sin os4 4 ,2 2
x c x kx k
22 2 2 2
2
sinsin os sin os
os
4 14 1 4 1 0 4 4 5
4 1
xx c x x c x
c x
Đẳng thức xảy ra khi sin 0x hoặc cos 0x
Vậy 4 ; 5
4 2 2k kMiny khi x Maxy khi x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2sin 1sin 2
xyx
b) 2
1cos cos 1
yx x
c) 22sin cos 1y x x d) cos2 2sin 1y x x
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
4 2
11
xyx x
b) 2 24 4 3y x x x x
g) 2 24 2 5 2 3y x x x x e) 3 3sin cosy x x
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư12
Phương pháp:
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min ( ) ; max ( )D D
f x m f x M .
Khi đó:
1) Hệ phương trình
( )f xx D
có nghiệm m M.
2) Hệ bất phương trình
( )f xx D
có nghiệm M .
3) Hệ bất phương trình
( )f xx D
có nghiệm m .
4) Bất phương trình f(x) đúng với mọi x m .
5) Bất phương trình f(x) đúng với mọi x M .
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 0; 1 3 :
2 2 2 1 (2 ) 0 (2)m x x x x
Hướng dẫn:
Đặt 2t x 2x 2 . (2)
2t 2m (1 t 2),do x [0;1 3]t 1
Khảo sát2t 2g(t)t 1
với 1 t 2; '( ) 0g t . Vậy g tăng trên [1,2]
Do đó, ycbt bpt2t 2mt 1
có nghiệm t [1,2] t
m g t g1;2
2max ( ) (2)3
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân b iệt:
2 210 8 4 (2 1). 1x x m x x
Hướng dẫn:
DẠNG 3: ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNGTRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư13
Nhận xét: 2 2 21 0 8 4 2(2 1) 2( 1) x x x x
(pt)2
2 2
2 1 2 12 2 01 1
x xmx x
. Đặt2
2 11
x tx
Điều kiện : –2< t 5 .
Rút m ta có: m=22 2tt
. Lập bảng biên thiên 1245
m hoặc –5 < 4 m
Bài 3.
2 2Tìm tham soá m ñeå baát phöông trình 2 24 2 (1) coù nghieämtreân 4;6
x x x x m
Hướng dẫn:
2
2
2
2 24, 4,6 thì t 0;5
ycbt tìm m ñeå baát phöông trình 24 coù nghieäm thöïc t 0;5
Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng tieäm caän, M laø moät ñieåm tuøy yù treân (C). Tieáp
tuyeán taïi M cuûa ñoà thò (C) caét hai ñöôøng tieäm caän taïi P vaø Q.
a) Chöùng minh raèng M laø trung ñieåm cuûa PQ vaø dieän tích tam giaùc IPQ khoâng
ñoåi
b) Tìm treân ñoà thò (C) ñieåm M sao cho 2 2IP IQ
Höôùng daãn:
00
0
00
0
2 1; ( ). Phöông trình tieáp tuyeán taïi M caét hai ñöôøng tieäm caän laàn
1
2löôït taïi hai ñieâm 1; vaø Q 2 1; 2
1
) Ta coù: 2 . Vaäy M laø trung ñieåm cuûa PQ
S
P Q M
IP
xM x C
x
xP x
x
a x x x
00
1 1 2. . .2 1 22 2 1Q IP IQ x
x
0
0
) Theo keát quaû caâu a) thì M laø trung ñieåm PQ neân 2
02
2
b IP IQ IM
xIM
x
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư47
BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN
Baøi 1. Cho haøm soá 2( ) : x mC yx m
. Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng tieäm caän.
Tìm m ñeå ñöôøng troøn taâm I, baùn kính 2R tieáp xuùc vôùi 2y x m .
Baøi 2. Cho 7( ) :2
xC yx
. Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng tieäm caän. Tìm
( ) : 2 sao cho IM nhoû nhaátM d y x .
Baøi 3. Cho haøm soá 2 1( ) :1xC y
x
. Goïi I laø giao ñieåm hai ñöôøng tieäm caän. Tìm
treân ñoà thò (C) ñieåm M sao cho tieáp tuyeán taïi M vôùi ñoà thò (C) caét hai ñöôøng tieäm
caän taïi A vaø B thoõa maõn 2 10IA IB
Baøi 4 .Cho haøm soá 2 3( ) :2
xC yx
. Goïi I laø giao ñieåm hai ñöôøng tieäm caän. M laø
ñieåm baát kì treân (C), tieáp tuyeán taïi M vôùi ñoà thò (C) caét hai ñöôøng tieäm caän taïi A
vaø B. Tìm toïa ñoä ñieåm M sao cho ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc IAB coù dieän tích
nhoû nhaát.
Baøi 5. Cho haøm soá 2 4( ) :1
xC yx
. Tìm treân ñoà thò (C) ñieåm M sao cho tieáp
tuyeán taïi M vôùi ñoà thò (C) taïo vôùi hai ñöôøng tieäm caän moät tam giaùc coù chu vi nhoû
nhaát
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư48
BÀI 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1 : HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Miền xác định : D=
Đạo hàm:
3 2' 4 2 2 2y ax bx x ax b
Phương trình ' 0y hoặc có một nghiệm ( . 0a b ) hoặc có 3 nghiệm phân
biệt. Do đó hàm số hoặc chỉ có một cực trị hoặc có ba cực trị.
Giới hạn:
42 4
khi 0lim lim 1
ax ax khi 0x x
ab cy axa
Bảng biến thiên:
Dấu của 'y phụ thuộc vào dấu của ( 0 0)a a hay a và dấu của a.b, do đó
ta có bốn trường hợp bảng biến thiên khác nhau.
Đồ thị hàm số: Do đó bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồthị của hàm trùng phương có bốn dạng sau đây:
DẠNG 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sốy=ax4 +bx2+c ( 0)a
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư49
Hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 3 nghiệmphân biệt ab < 0
y’ = 0 chỉ có1 nghiệm ab > 0
y
x0
y
x0
y
x0
y
x0
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư50
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (trường hợp có 3 cực trị):
44 2 23) )
4 2xa y x x b y x
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (trường hợp có 1 cực trị):
44 2 21 3 3) )
2 2 4 2xa y x x b y x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
4 2 4 2
4 2 4 2
1) 1 ) 4 202
) 4 3 ) 2 1
a y x x b y x x
c y x x d y x x
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm
4 2 4 2
4 2 4 2
4 2 4 2
. - 2 b. 21 5. 6 1 . 32 2
. - 2 3 . 2 1
a y x x y x x
c y x x d y x x
e y x x f y x x
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư51
Một số tính chất của hàm trùng phương
1. Hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho 0a
2. Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu (có ba cực trị)
2' 0 2 (2 ) 0y x ax b có ba nghiệm phân biệt 02ba
3. Đồ thị hàm số luôn nhận Oy là trục đối xứng.
4. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu 00
ab
5. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu 00
ab
6. Nếu hàm số có ba cực trị trị chúng tạo thành một tam giác cân.
7. Đồ thị (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng:
22
1 2 2 1 1 22 12 2
4 2( ) Ox , , , : 0 (*) coù 4 nghieäm
taïo thaønh CSC0
, 0. Luùc ñoù: (*)0
0 03
( ) 0 ( ) 0
Giaûi heä p
C A B C D AB BC CD hay ax bx c
tÑaët t x t
at bt c
t t t t t tycbt t t
g t at bt c g t at bt c
2 1
1 2
1 2
9höông trình :
t tS t tP t t
8. Điều kiện cần để từ một điểm trên trục đối xứng kẻ đến đồ thị hàmtrùng phương (C) ba tiếp tuyến là ba tiếp tuyến phải có một tiếptuyến nằm ngang.
DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư52
9. Điều kiện của tham số để đồ thị hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a tiếp
xúc với Ox tại hai điểm phân biệt:0
2
02
ba
bya
10. Phương trình trùng phương 4 2 0 ( 0) (*)ax bx c a
Đặt 2 , 0t x t lúc đó phương trình trở thành 2 0 0at bt c a . Ta
thấy rằng: cứ 1 nghiệm dương của (**) thì sẽ cho ra 2 nghiệm (1 âm, 1dương) của phương trình (*).
Vậy: điều kiện cần và đủ để phương trình(*) có nghiệm là phương trình(**) có ít nhất 1 nghiệm không âm.
Phương trình (*) có 4 nghiệm (**) có 2 nghiệm dương phân
biệt000
PS
Phương trình (*) có 3 nghiệm (**) có 1 nghiệm dương và 1
nghiệm bằng 0 00
PS
Phương trình (*) có 2 nghiệm (**) có 1 nghiệm dương
0P 0
02S
Phương trình (*) có 1 nghiệm (**) có nghiệm thỏa
1 2
1 2
000000
2
PSt t
t tS
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư53
Phương trình (*) vô nghiệm (**) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm
âm
0000
PS
MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Bài 1. Cho hàm số 4 2( ) 2y f x x x
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b . Tìmđiều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
Hướng dẫn:
Ta có 3'( ) 4 4f x x x . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B.
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là3 3'( ) 4 4 , '( ) 4 4A Bk f a a a k f b b b
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
' ' ( ) af' ay f a x a f a f a x f a ;
' ' ( ) f' by f b x b f b f b x f b b
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:
3 3 2 24a 4a = 4b 4 1 0 (1)A Bk k b a b a ab b
Vì A và B phân biệt nên a b , do đó (1) tương đương với phương trình:
2 2 1 0 (2)a ab b
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau
2 2 2 2
4 2 4 2
1 0 1 0' ' 3 2 3 2
a ab b a ab ba b
f a af a f b bf b a a b b
,
Giải hệ này ta được nghiệm là (a;b) = ( -1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này
tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là 1; 1 và 1; 1 .
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư54
2 2 1 01
a ab baa b
Bài 2. Cho hàm số 4 3 2x 2x 3 x 1 (1)y x m m .
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.
2). Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu.
Hướng dẫn:
4 3 2x 2x 2 x 1y x m m (1)
Đạo hàm / 3 2 24 3 4 3 ( 1)[4 (4 3 ) 3 ]y x mx x m x x m x m
/2
10
4 (4 3 ) 3 0 (2)x
yx m x m
Hàm số có 2 cực tiểu y có 3 cực trị y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 12(3 4) 0 4 .
34 4 3 3 0m
mm m
Giả sử: Với 43
m , thì y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt1 2 3, ,x x x
Bảng biến thiên:
x - x1 x2 x3 +
y/ - 0 + 0 - 0 +
y +
CT
CĐ
CT
+
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 cực tiểu.
Kết luận: Vậy, hàm số có 2 cực tiểu khi 4 .3
m
Bài 3.
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 4x2 + 3
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư55
2.Tìm a để phương t rình : 4 234 log 3 0x x a có 4 nghiệm thực phân
biệt
Hướng dẫn:
Theo đồ thị câu 1 bài toán yêu cầu tương đương 1 3log a < 3
3log 1a 31 log 1a
Bài 4. Cho hàm số 4 2 22(1 ) 1y x m x m
1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=0
2: Tìm m để hàm số có cực đại cực,cực tiểu và các điểm cực trị của đồ th ị hàmsố lập thành tam giác có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn:
y'=4x3-4(1-m2)x
Lập luận để hàm số có cực đại,cực tiểu khi và chỉ khi 1m
Tọa độ các điểm cực trị:
A(0;m+1); B( 2 4 21 ; 2m m m m ) ; C(- 2 4 21 ; 2m m m m )
S ABC = 2 4 2 2 51 . ( ; ) 1 2 1 (1 ) 12
BC d A BC m m m m .Dấu bằng xảy ra
khi m=0
Vậy m=0
Bài 5.Cho hàm số 4 25 4,y x x có đồ thị (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm m để phương trình 4 22| 5 4 | logx x m có 6 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn:
944
12
9log 12 144 124
m m
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư56
Bài 6. Cho hàm số: 4 2 2( 10) 9y x m x .
1.Khảo sát sự bthiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0
2)Tìm m để đồ thị của hsố cắt trục hoành tại 4 điểm pbiệt1 2 3 4, , ,x x x x thỏa :
1 2 3 4 8x x x x
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và Ox.
4 2 2( 10) 9 0x m x (1) Đặt 2( 0)t x t Ptrình trở
thành: 2 2( 10) 9 0t m t (2) Ta có đk:
2 2
2
( 10) 36 09 0 ,
10 0,
mP mS m m
=> 0 < t1 < t2 , với 2t x x t
Vì hs đã cho là hs chẵn và theo đề bài ta có : 1 2 1 2 1 24 2 . 16t t t t t t
(3)
Áp dụng Viet : 21 2 1 210 , 9b ct t m t t
a a
.
Ta có pt: m2 + 10 = 10 m = 0.
Bài 7. Cho hàm số 4 23 1 2 11y x m x m . Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng
(d): 2 13y m tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và Ox.
4 23 ( 1) 2 0x m x (1). Đặt 2( 0)t x t . Ptrình đã cho trở thành:
2 ( 1) 2 0t m t (2) Ta có đk:
00 2 6 10
P mS
.
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư57
Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm dương 1 2;t t . Giả sử 1 20 t t , khi đó
phương (1) có 4 nghiệm phân biệt được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là
2 1 1 2, , ,t t t t . Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng nên:
1 2 1 2 1 2 12 3 9 (1)t t t t t t t
Theo định lí vi-ét ta có:1 2
1 2
1 (2)3
2. (3)3
mt t
t t
Từ (1) và (2) ta tìm được : 1 2
9 11;30 30
mmt t
và từ (3) cho ta:
10 61 ( )3
10 613
m loaïi
m
MỘT SỐ BÀI TỰ LUYỆN:
Bài 1 (TNTHPT-2008). Cho hàm số 4 22y x x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2
Bài 2. Cho hàm số 4 3 24 3( 1) 1y x mx m x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =0
b. Với giá trị nào của m hàm số có 3 cực trị
Bài 3 (ĐH Đà Lạt - 2002)
a. Giải phương trình 4 22 1 0x x
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 4 22 1x x
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 22 1 0x x m
Bài 4 (ĐH Thái Nguyên - 2002) Cho hàm số 4 2m2 (C )y x mx
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Hãy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư58
Bài 5. (ĐH Vinh - 2002)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 25 4y x x
2. Xác định m để phương trình 4 2 25 3 0x x m có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 6. Cho hàm số4
2 924 4xy x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số 22y k x
Bài 7. Cho hàm số 4 2 3 22y x mx m m
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b. Xác định m để đồ thị ( )mC của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại 2
điểm
Bài 8. (ĐH Cần thơ - 2002). Cho hàm số 4 22 2y x x m (Cm)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0
b. Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm) của hàm số chỉ có hai điểm chung vớiOx
c. Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giácvuông cân.
Bài 9. Cho hàm số 4 2 22 1y x m x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân.
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định trên
Ta có: 2 2' 4y x x m . Với 0m hàm có ba cực trị. Khi đó tọa độ các điểm cực
trị là 4 40;1 ; ;1 ; ;1A B m m C m m .
Dễ thấy
. 0
AB AC
AC ABnên tam giác ABC vuông cân 2 2 2 1AB AC BC m .
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư59
Vậy, 1m là những giá trị cần tìm
Bài 10. Cho hàm số y = x4 – 2(2m2 – 1)x2 + m (1)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2/ Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hòanh.
Bài 11.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x 4 – 6x2 + 5
2. Tìm m để phương trình: x 4 – 6x2 – log2m = 0 có 4 nghiệm phân biệt trong đó 3nghiệm lớn hơn – 1.
Hướng dẫn:
Pt x4 – 6x2 + 5 = 5 + log2m
Nhìn vào đồ thị ta thấy yêu cầu bài toán
0 < 5 + log2m < 5 1/32 < m < 1
Bài 12. Cho hàm số 4 28 9 1y x x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình:
4 28cos 9cos 0, 0;x x m x
Hướng dẫn:
4 2
4 2
4 21
Ñaët cos , phöông tình ñaõ cho trôû thaønh 8 9 0 (2)Vì x 0; neân t 1;1 .
laø soá giao ñieåm cuûa ñoà thò (C ) vaø (D).Chuù yù raèng: ñoà thò (C ) gioáng vôùi ñoà thò (C) trong mieàn -1 t 1.Döïa vaøo ñoà thò (C) ta ruùt ra ñöôïc keát luaän....
Bài 12. Cho hàm số 4 21 14
y x mx m
a) Khảo sát hàm số khi m=1
..
.
..
xo
y
4
5
1-1 ..
.
..
xo
y
4
5
1-1
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư60
b) Tìm m để hàm số có 3 cực trị và ba cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một
tam giác có diện tích là 2
Bài 13. Cho (Cm): 4 22 3 1 2 1y x m x m . Tìm m sao cho (Cm):
a) Cắt trục hoành tại hai điểm A,B sao cho AB=4
b) Cắt : 2y tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư61
VẤN ĐỀ 2 : HÀM BẬC BA
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Tập xác định: D=
Đạo hàm:
2
2
' 3 2' 0 3 2 0 (1)
y ax bx cy ax bx c
Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, hàm số có cực đại và cực tiểu
Nếu (1) vô nghiệm hay có nghiệm kép, thì hàm số đơn điệu trên TXĐ
Giới hạn:
32 3
0lim lim 1
0x x
khi ab c dy axax ax ax khi a
Bảng biến thiên:
Dấu của 'y phụ thuộc vào dấu của 0 0a a hay a và dấu của 'y , do đó ta có
bốn trường hợp biến thiên khác nhau.
Đồ thị hàm số: Do có bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị củahàm bậc ba có bốn dạng sau đay:
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 2 nghiệmphân biệt
' 0y
( Có hai cực trị)
y’ = 0 vô nghiệm hoặccó nghiệm kép
'
'
0
0y
y
y
x0
I
y
x0
I
y
x0 I
y
x0
I
DẠNG 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư62
( Không có cực trị)
@ Mẹo nhỏ: Đối với trường hợp đồ thị hàm số không có cực trị, để vẽ đồ thị đượcđẹp và chính xác ta nên tìm điểm uốn (điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai bằng 0) đểbiết đồ thị “uốn lượn” ở đâu?
Và ta dễ dàng thấy rằng: đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: (Trường hợp có cực trị)
3 2 3 2) 3 1 ) 2 3 2a y x x b y x x
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: (Trường hợp ' 0y có nghiệm
kép)
3 2 3 21) 3 3 1 ) 13
a y x x x b y x x x
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: (Trường hợp ' 0y vô nghiệm)
3 2 3 2) 3 4 2 )a y x x x b y x x x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
3 2 3 2
3 3 2
1 5) 2 1 ) 33 3
1 2 1) 3 )4 3 3
a y x x x b y x x x
c y x x d y x x
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư63
MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN:
Cho hàm số 3 2ax ( )y bx cx d C
1. Điều kiện cần và đủ để đồ thị (C) có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) là:
' 2( ) 3ax 2 0y g x bx c có hai nghiệm phân biệt
1. Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị. Ba điểm A, I, B thẳng hàng(I là điểm uốn: điểm mà tại đó y’’=0, A và B là hai điểm cực trị)
Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k làhằng số khác 0 thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = r x+ q. Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt chính là
phần dư trong phép chia đa thức ( ) : '( )f x f x
Để chứng minh ba điểm A,I, B thẳng hàng ta chứng minh AB k AI
2. Qũy tích cực trị, điểm uốn hàm bậc ba:
Từ các điểm A,B,I chứa tham số m, ta tìm được quỹ tích của chính các điểm đóbằng cách:
Khử tham số m
Giới hạn khoảng chạy của tọa độ từ điều kiện tồn tại m với moih giá trị
tham số m mD
Qũy tích của A,B, hay I là y = r x + q.
4. Xác định tham số m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành trong từng trường hợpcụ thể:
a) (C) tiếp xúc với Ox thì hệ sau có nghiệm 0
' 0yy
b) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
1 2
1 2
' 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x ,( ). ( ) 0
y xy x y x
x"0
Cx1
(C)
yCĐ
y
Ao
x2
x
(H.3)yCĐ
x0 x'0
B
DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀ M BẬC BA
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư64
c) (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt
1 2
1 2
' 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x ,( ). ( ) 0
y xy x y x
d) (C) cắt Ox ít nhất 1 điểm 3 2ax 0( 0)bx cx d a không thể vô
nghiệm
e) (C) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất
1 2
1 2
phöông trình y'=0 coù nghieäm keùp hoaëc voâ nghieäm' 0 coù hai nghieäm phaân bieät x ,( ) ( ) 0
y xy x y x
f) Phương trình 3 2ax 0( 0)bx cx d a có 3 nghiệm dương
0 0. 0 . 0
hoaëc(0) 0 (0) 0
0 0
CD CT CD CT
CD CT
a ay y y y
f fx x
(C)
Ax0 O x
y
(h.1a)
(C)
Ax0 x
y
(h.1b)x1 o x2
yCT
yCĐ
(C)yCĐ
y
Ax0 o x1
Bx'0
(yCT = f(x0) = 0)
x
(H.2)
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư65
g) Phương trình 3 2ax 0( 0)bx cx d a có 3 nghiệm âm
0 0. 0 . 0
hoaëc(0) 0 (0) 0
0 0
CD CT CD CT
CT CD
a ay y y y
f fx x
h) Phương trình 3 2ax 0( 0)bx cx d a có 2 nghiệm dương:
0 0y'=0 coù hai nghieäm phaân bieät y'=0 coù hai nghieäm phaân bieät
hoaëc. 0 . 0
0 0CD CT CD CT
CT CT
a a
y y y y
x x
i) Phương trình 3 2ax 0( 0)bx cx d a có 2 nghiệm âm:
0 0y'=0 coù hai nghieäm phaân bieät y'=0 coù hai nghieäm phaân bieät
hoaëc. 0 . 0
0 0CD CT CD CT
CD CT
a a
y y y y
x x
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư66
5. Phương trình bậc 3 cắt Ox lập thành cấp số cộng tức (C) cắt Ox tại 3 điểm phânbiệt cách đều nhau.
1 3 2
y'=0 coù hai nghieäm phaân bieät2 hay ( ) Ox , , :
0 : ñieåm uoán IDU
x x x C A B C AB BCf x Ox
6. Biện luận số nghiệm của phương trình : ax 3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a 0) khi x = là 1 nghiệm của (1).
Nếu x = là 1 nghiệm của (1), ta có
ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b1x + c1)
nghiệm của (1) là x = với nghiệm của phương trình ax 2 + b1x + c1 = 0 (2). Tacó các trường hợp sau:
nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x =
nếu (2) có nghiệm kép x = thì (1) có duy nhất nghiệm x =
nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt thì (1) có 3 nghiệm phân biệt
nếu (2) có 1 nghiệm x = và 1 nghiệm khác thì (1) có 2 nghiệm.
nếu (2) có nghiệm kép thì (1) có 2 nghiệm
7. Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn. Cho M (C): 3 2ax ( 0)y bx cx d a .
Nếu M I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
Nếu M khác I và M ( )C thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.
Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N không nằm trên (C) ta có nhiềutrường hợp hơn.
Nếu a>0: hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn bé nhất; a<0: hệ số góccủa tiếp tuyến tại điểm uốn lờn nhất
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư67
BÀI TẬP MẪU:
Cho họ đường cong bậc ba (C m) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phươngtrình là : y = x3 + mx2 m và y = kx + k + 1.
(I) PHẦN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trêncung AB với M khác A , B . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểmtại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C).
2) Gọi là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến v ới (C)vẽ từ E với (C).
3) Tìm E để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông gócvới nhau.
4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này
chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.
5) Tìm M (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).
(II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.
6) Tìm điểm cố định của (C m). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định nàyvuông góc nhau.
7) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểmcực trị.
8) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
9) Định m để :
a) hàm số đồng biến trong (1, 2).
b) hàm số nghịch biến trong (0, +).
10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.
11) Tìm điều kiện giữa k và m để (D k) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (Dk)cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau.
12) Viết phương trình tiếp tuyến với (C m) và đi qua điểm (-1, 1).
13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn cóhệ số góc lớn nhất.
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư68
BÀI GIẢI
PHẦN I : m = 3
Khảo sát và vẽ đồ thị (độc giả tự làm)
1) Gọi n là hoành độ của M. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x =2 nên 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k1 = – 3n2 +6n (0, 3] (vì n (0, 2)). Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại M có hệ số
góc là k2 =1
1k (với 0 < k1 3). Hoành độ của tiếp tuyến vuông góc với tiếp
tuyến M là nghiệm của – 3x2 + 6x =1
1k (= k2) 3x2 – 6x
1
1k = 0. Phương
trình này có a.c < 0, k1 (0, 3] nên có 2 nghiệm phân biệt, k1 (0, 3]. Vậytrên (C) luôn có 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tạiM.
2) E (e, 1) . Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D). (D)
tiếp xúc (C) hệ3 23 3 ( ) 123 6
x n h x e
x x h
có nghiệm.
Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
– x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1)
– x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
(x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)
x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex
x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0 (2)
(2) có = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3)
(2) có nghiệm x = 2 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 e = 2
Ta có > 0 e < – 1 hay e > 53
.
Biện luận :
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư69
i) Nếu e < – 1 hay 53
< e < 2 hay e > 2
(1) có 3 nghiệm phân biệt có 3 tiếp tuyến.
ii) Nếu e = – 1 hay e = 53
hay e = 2
(1) có 2 nghiệm có 2 tiếp tuyến.
iii) Nếu – 1 < e < 53 (1) có 1 nghiệm có 1 tiếp tuyến.
Nhận xét : Từ đồ thị, ta có y = 1 là tiếp tuyến tại (2, 1) nên phương trình (1) chắc
chắn có nghiệm x = 2, e.
3) Vì y = 1 là tiếp tuyến qua E (e, 1), e và đường x = không là tiếp tuyến nênyêu cầu bài toán.
(2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – 1
513
, (2)1 2
2 2( 3 6 )( 3 6 ) 11 1 2 2
e e
x x laø nghieäm cuûa
x x x x
513
3 11 2 2. 1
1 29 . ( 2)( 2) 1
1 2 1 2
e hay e
ex x
x x
x x x x
513
9[1 (3 1) 4] 1
e hay e
e
e = 5527
. Vậy E 55 ,127
4) Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của :
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư70
y' = p 3x2 – 6x + p = 0 (3)
Ta có ' = 9 – 3p > 0 p < 3
Vậy khi p < 3 thì có 2 tiếp tuyến song song và có hệ số góc bằng p.
Gọi x3, x4 là nghiệm của (3).
Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) là 2 tiếp điểm. Ta có :
3 4 12 2
x x ba
3 3 2 23 4 3 4 3 4( ) 3( ) 6
12 2
y y x x x x
Vậy điểm cố định (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm của M 3M4.
5) Cách 1 : Đối với hàm bậc 3 (a 0) ta dễ dàng chứng minh được rằng :
M (C), ta có :
i) Nếu M khác điểm uốn, ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.
ii) Nếu M là điểm uốn, ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
Cách 2 : Gọi M(x0, y0) (C). Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng :
y = k(x – x0) 3 20 03 3x x (D)
Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
3 2 2 3 20 0 03 3 ( 3 6 )( ) 3 3x x x x x x x x ( 5 )
3 3 2 2 20 0 03( ) ( )( 3 6 ) 0x x x x x x x x
2 2 20 0 0 00 3 3 3 6 0x x x xx x x x x x
2 20 0 0 02 (3 ) 3 0x x hay x x x x x
0 0 0( )(2 3) 0x x hay x x x x
00
32
xx x hay x
Do đó, có đúng 1 tiếp tuyến qua M (x0, y0) (C)
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư71
00 0
31
2x
x x
Suy ra, y0 = 1. Vậy M(1, –1) (điểm uốn).
Nhận xét : vì x0 là 1 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn có nghiệm kép làx0
Phần II : Tham số m thay đổi. y' = – 3x2 + 2mx
6) (Cm) qua (x, y), m
y + x3 = m (x2 – 1) , m
2
3
1 0 1 11 10
x x xhay
y yy x
Vậy (Cm) qua 2 điểm cố định là H(1, –1) và K(–1, 1).
Vì y' = – 3x2 + 2mx nên tiếp tuyến với (Cm) tại H và K có hệ số góc lần lượt là
:
a1 = y'(1) = – 3 + 2m và a2 = y'(–1) = –3 – 2m.
2 tiếp tuyến tại H và K vuông góc nhau.
a1.a2 = – 1 9 – 4m2 = – 1 m = 102 .
7) Hàm có cực trị y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
3x2 = 2mx có 2 nghiệm phân biệt.
x = 0 và x = 23m là 2 nghiệm phân biệt.
m 0. Khi đó, ta có :
22 1 1 '9 3 9
y m x m x m y
và phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là :
229
y m x m (với m 0)
8) Khi m 0, gọi x1, x2 là nghiệm của y' = 0, ta có :
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư72
x1.x2 = 0 và x1 + x2 =23m
y(x1).y(x2) = 2 21 2
2 29 9
m x m m x m
= 2 21 2
2 ( )9
m x x m = 4 2427
m m
Với m 0, ta có y(x1).y(x2) < 0
24 1 027
m
2 27 3 34 2
m m
Vậy (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệ t.
1 2
1 2
' 0 2 ,( ). ( ) 0
y coù nghieäm phaân bieät x xy x y x
3 3
2m
Nhận xét :
i) Khi 3 32
m thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương.
ii) Khi 3 32
m thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm.
9) a) Hàm đồng biến trên (1,2) – 3x2 + 2mx 0, x (1,2). Nếu m 0 ta có
hoành độ 2 điểm cực trị là 0 và 23m .
i) Nếu m < 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 2 ,03m
. Vậy loại trường hợp m < 0
ii) Nếu m = 0 hàm luôn nghịch biến (loại).
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư73
iii) Nếu m > 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 20,3m
Do đó, ycbt m > 0 và 2[1,2] 0,3m
2 2 33m m
b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 0.
Khi m 0 ta có hàm số nghịch biến trên 2,3m
và hàm số cũng nghịch biến
trên [0, +).
Vậy để hàm nghịch biến trên [0, +) thì m 0.
Ghi chú : nên lập bảng biến thiên để thấy rõ ràng hơn.
10) y" = – 6x + 2m , y" = 0 x =3m
(Cm) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau.
y = 0 có 3 nghiệm phân biệt và điểm uốn nằm trên trục hoành.
3 2
3 3 3 32 2
0 . 03 27 9
m m
m m my m m
2
3 33 6222 1 0
27
mm
m
11) Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và (Dk) là
– x3 + mx2 – m = kx + k + 1
m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3
x + 1 = 0 m(x – 1) = k + 1 – x + x2
x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11)
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư74
a) Do đó, (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt
(11) có 2 nghiệm phân biệt khác – 1
2
1 1 1 0( 1) 4( 1) 0
m k mm k m
(*) 2
2 32 34
k mm mk
b) Vì (Dk) qua điểm K(–1,1) (Cm) nên ta có :
(Dk) cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau.
(Dk) qua điểm uốn32;
3 27m m m
của (Cm)
32 1 1
27 3m mm k
32 27 279( 3)
m mkm
(**)
Vậy ycbt k thỏa (*) và (**).
12) Phương trình tiếp tuyến với (C m) đi qua (–1,1) có dạng :
y = k(x + 1) + 1 (Dk)
Vậy, phương trình hoành độ tiếp điểm của (D k) và (Cm) là :
– x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 (12)
m(x2 – 1) = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 + x3
x + 1 = 0 m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2
x = – 1 hay 2x2 + (1 – m)x – m – 1 = 0 (13)
x = – 1 12
mx
y' (–1) = – 2m – 3
21 1 1' 3 2
2 2 2m m my m
= 14
(m2 – 2m – 3)
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư75
Vậy phương trình của 2 tiếp tuyến qua (–1, 1) là :
y = – (2m + 3)(x + 1) + 1
y = 14
(m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1
Nhận xét : Có 1 tiếp tuyến tại tiếp điểm (–1, 1) nên phương trình (12) chắc chắn cónghiệm kép là x = – 1 và phương trình (13) chắc chắn có nghiệm là x = – 1.
13) Các tiếp tuyến với (Cm) tại tiếp điểm của hoành độ x có hệ số góc là :
h = – 3x2 + 2mx
Ta có h đạt cực đại và là max khi2 3b mxa
(hoành độ điểm uốn)
Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Nhận xét :2 2 2
2 23 2 33 3 3m m mx mx x
MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH:
Bài 1. Cho hàm số y = 4x3 + mx2 – 3x
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x1 và x2 thỏa x1 = - 4x2
Hướng dẫn:
D = R
y’ = 12x2 + 2mx – 3
Ta có: ’ = m2 + 36 > 0 với mọi m, vậy luôn có cực trị
1 2
1 2
1 2
4
614
x xmx x
x x
92
m
Bài 2. Cho hàm số 3 2( ) 3 1 1y f x mx mx m x , m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư76
2. Xác định các giá trị của m để hàm số ( )y f x không có cực trị.
Hướng dẫn:
+ Khi m = 0 1y x , nên hàm số không có cực trị.
+ Khi 0m 2' 3 6 1y mx mx m
Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi ' 0y không có nghiệm hoặc có nghiệm
kép
2 2' 9 3 1 12 3 0m m m m m 104
m
Bài 3. Cho hàm số : 3 2 33 12 2
y x mx m
1. Khảo sát hàm số với m=1.
2. Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại,cực tiểu đối xứng với nh au qua đt:y=x
Hướng dẫn:
Tacó 2 0' 3 3 3 ( ) 0
xy x mx x x m
x m
ta thấy với 0m thì y’ đổi dấu khi đi qua các nghiệm do vậy hàm số có CĐ,CT
+ Nếu m>0 hàm số có CĐ tại x=0 và 312MAXy m ;có CT tại x=m và 0MINy
+ Nếu m<0 hàm số có CĐ tại x=m và 0MAXy ;có CT tại x=0 và 312MINy m
Gọi A và B là các điểm cực trị của hàm số.Để A và B đối xứng với nhau qua đường
phân giác y=x,điều kiện ắt có và đủ là OA OB tức là:
3 21 2 22
m m m m
Bài 4. Cho hàm số 3 22 ( 3) 4y x mx m x có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư77
2) Cho (d ) có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị củatham số m sao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác
KBC có diện tích bằng 8 2 .
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ điểm chung của (C m) và d là:
3 2 2
2
2 ( 3) 4 4 (1) ( 2 2) 00
( ) 2 2 0 (2)
x mx m x x x x mx mxg x x mx m
(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C phương trình (2) có 2 nghiệmphân biệt khác 0.
/ 2 1 22 0 ( )2(0) 2 0
m mm ma
mg m
.
Mặt khác:1 3 4
( , ) 22
d K d
Do đó:
218 2 . ( , ) 8 2 16 2562KBCS BC d K d BC BC
2 2( ) ( ) 256B C B Cx x y y với ,B Cx x là hai nghiệm của phương trình (2).
2 2 2
2
( ) (( 4) ( 4)) 256 2( ) 256
( ) 4 128B C B C B C
B C B C
x x x x x x
x x x x
2 2 1 1374 4( 2) 128 34 02
m m m m m (thỏa ĐK (a)).
Vậy 1 1372
m
Bài 5. Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ (Cm); (m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2. Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D,E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Hướng dẫn:
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư78
Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và đường thẳng y = 1 là:
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 x(x2 + 3x + m) = 0
2
03 0 (2)
xx x m
* (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0, 1), D, E phân biệt:
Phương trình (2) có 2 nghiệm x D, xE 0.
2
09 4 040 3 0 09
mmmm
Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là :
kD = y’(xD) = 23 6 ( 2 );D D Dx x m x m
kE = y’(xE) = 23 6 ( 2 ).E E Ex x m x m
Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: kDkE = –1.
M,N nằm về ở hai nhánh phân biệt của đồ thị hàm số thì các hoành
độ của xM, xN nằm về hai phía tiệm cận đứng
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Cho hàm số 11
xyx
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
DẠNG 2: Khảo sát và vẽ hàm số nhất biến (htb1/1)
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư84
b) M(x0; y0) là một điểm bất kỳ thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai đườngtiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh diện tích tamgiác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
Hướng dẫn:
1. Tập xác định: D = \ 1
2. Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:
+ 2
2'( 1)
yx
=> ' 0 1y x => HS nghịch biến trên mỗi KXĐ
b) Cực trị: HS không có cực trị
c) Giới hạn và tiệm cận:
+ lim 1; lim 1 1x x
y y y
là TCN
+1 1
lim ; limx x
y y => 1x là TCĐ
d) Bảng biến thiên
3. Đồ thị: Vẽ đúng, đẹp
b) M(x0; y0) là một điểm bất kỳ thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai đườngtiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh diện tích tamgiác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư85
+ 00 0 0 0
0
1; ( ) ( 1)
1x
M x y C y xx
+ PTTT tại M có dạng: 002
00
12 ( )1( 1)
xy x x
xx
()
+ Giao điểm của 2 tiệm cận: (1;1)I
+ A = () TCĐ => A= 0
0
31;
1xx
+ B = () TCN => B = 02 1;1x
+ IA =0
41x
+ IB = 02 1x
+ SIAB = 12
.IA.IB = 4 (đvdt) không phụ thuộc vị trí M
Bài 2. Cho hàm số 2 12
xyx
có đồ thị là (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
2. Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình
2
22 12 (4 ) 1 2 0 (1)
xx x mx x m x m
Do (1) có 2 21 0 ( 2) (4 ).( 2) 1 2 3 0m va m m m nên đường
thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B
Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy
ra AB ngắn nhất AB2 nhỏ nhất m = 0. Khi đó 24AB
Bài 3. Cho hàm số 2 21
xyx
(C)
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư86
1. Khảo sát hàm số.
2. Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B
sao cho AB = 5 .
Hướng dẫn:
2. Phương trình hoành độ giao điểm: 2x 2 + mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1) (1)
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1 m2 - 8m -16 > 0 (2
Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m. Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của PT(1).
Theo ĐL Viét ta có1 2
1 2
22
2
mx x
mx x
.
AB2 = 5 2 21 2 1 2( ) 4( ) 5x x x x 2
1 2 1 2( ) 4x 1x x x m2 - 8m - 20 = 0
m = 10 , m = - 2 ( Thỏa mãn (2))
KL: m = 10, m = - 2.
Bài 4. Cho hàm số: 21
xyx
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
2. Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
Hướng dẫn:
Gọi k là hệ số góc của đt đi qua A(0;a). PT đt d có dạng y= kx+a (d)
d là tiếp tuyến với ( C ) khi và chỉ khi hệ PT
2
21
3
1
x kx ax
kx
có nghiệm
<=> Pt (1-a)x2 +2(a+2)x-(a+2)=0 (1) có nghiệm x ≠ 1
Theo bài ra qua A có 2 tiếp tuyến thì pt (1) có 2 nghiệm x1 ; x2 phân biệt
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư87
12 1 (*)
' 3 6a
aa
. Theo định lý Viet:
1 2
1 2
2 21
21
ax x
aax xa
Suy ra: 1 21 2
3 31 ; 11 1
y yx x
. Để hai tiếp tuyến nằm về hai trục của Ox thì
1 2
2. 03
y y a . Kết hợp với điều kiện (*) ta được 2 13
a
Bài 5. Cho hàm số 2x 3yx 2
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt haitiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất
Hướng dẫn:
0 0 20 0
0200
0
1 1Laáy ñieåm M ;2 . Ta coù: '( )2 2
1 1Tieáp tuyeán (d) taïi M coù phöông trình laø: 222
2Giao ñieåm (d) vôùi tieäm caän ñöùngA 2;22
Giao ñieåm (d) vôùi tieäm c
x C f xx x
y x xxx
x
00
2 220 02 2
0 0
2aän ngang 2 2;22
1 14 2 8. Daáu"=" xaûy ra khi 2 ...2 2
B xx
AB x xx x
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Cho hàm số 2 11
xyx
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt trục Ox, Oy lần l ượt tại A, Bthoả mãn:OA=3OB.
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư88
Hướng dẫn:
2. Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(x 0;y0) cắt Ox, Oy lần lượt tại A,B sao choOA=3OB.
Do tam giác OAB vuông tại O nên tanA=OB/OA=1/3. Vì vậy hệ số góc của đưòng
thẳng d bằng 1/3 hoặc -1/3.
Hệ số góc của d tại M(x0;y0) là:
0 02 2
0 0
0
0
3 3 1' 0 '31 1
2 (2) 14 ( 4) 3
y x y xx x
x yx y
Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả :
1 1 1( 2) 13 3 3
1 1 13( 4) 33 3 3
y x y x
va y x y x
Bài 2. Cho hàm số 2 32
xyx
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đườngtiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìmtoạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏnhất.
Hướng dẫn:
Ta có: 00 0
0
2 3; , 2
2x
M x xx
,
0 2
0
1'( )2
y xx
Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:
002
00
2 31: ( )22
xy x x
xx
Toạ độ giao điểm A, B của và hai tiệm cận là: 00
0
2 22; ; 2 2;2
2x
A B xx
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư89
Ta thấy 00
2 2 22 2
A BM
xx xx x
, 0
0
2 32 2
A BM
xy yy
x
suy ra M là trung
điểm của AB.
Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường trò n ngoại tiếp tam giácIAB có diện tích
S =2
2 2 200 0 2
0 0
2 3 1( 2) 2 ( 2) 22 ( 2)
xIM x x
x x
Dấu “=” xảy ra khi 020 2
0 0
11( 2)( 2) 3
xx
x x
Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
Bài 3. Cho hàm số112
xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ điểm )2;1(I tới tiếp
tuyến của (C) tại M là lớn nhất .
Hướng dẫn:
Nếu )(1
32;0
0 Cx
xM
thì tiếp tuyến tại M có phương trình
)()1(
31
32 0200
xxxx
y
hay 0)1(3)2()1()(3 02
00 xyxxx
Khoảng cách từ )2;1(I tới tiếp tuyến là
202
0
40
0
40
00
)1()1(
96
)1(9
16
19
)1(3)1(3
xx
xx
x
xxd . Theo bất đẳng thức
Côsi 692)1()1(
9 202
0
xx
, vây 6d . Khoảng cách d lớn nhất bằng 6
khi
3131)1()1(
90
20
202
0
xxxx
.
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư90
Vậy có hai điểm M : 32;31 M hoặc 32;31 M
Bài 4. Cho hàm số 2 11
xyx
(1).
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳ ngđi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9.
Hướng dẫn:
Ta có I(- 1; 2). Gọi 0 20 0
3 3( ) ( ;2 )1 ( 1)
M IIM
M I
y yM C M x kx x x x
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: 0 2
0
3'( )1
Mk y xx
. 9M IMycbt k k
Giải được x0 = 0; x0 = -2. Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5)
Bài 5. Cho hàm số122
x
xy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2)
Hướng dẫn:
Pt đường trung trực đọan AB : y = x
Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoàng độ là nghiệm của pt :
xx
x
122
251
251
012
x
x
xx
Hai điểm trên đồ thị thỏa ycbt :
2
51,2
51;2
51,2
51
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư91
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 11
xyx
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến
tiếp tuyến bằng 2 .
Hướng dẫn:
*Tiếp tuyến của (C) tại điểm 0 0( ; ( )) ( )M x f x C có phương trình
0 0 0'( )( ) ( )y f x x x f x
Hay 2 20 0 0( 1) 2 2 1 0x x y x x (*)
*Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2
0
40
2 22
1 ( 1)
x
x
giải được nghiệm 0 0x và 0 2x
*Các tiếp tuyến cần tìm : 1 0x y và 5 0x y
Bài 2. Cho hàm số 2 41
xyx
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M( -3; 0)và
N(-1; -1).
Hướng dẫn:
Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có 6 6;2 ; ;2 ; , 11 1
A a B b a ba b
Trung điểm I của AB: I 2 2;2 1 1
a b a ba b
Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= 0
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư92
Có : . 0AB MNI MN
=>
0 (0; 4)2 (2;0)
a Ab B
Bài 3. Cho hàm số : 1x21xy
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm củađường tiệm cận và trục Ox.
Hướng dẫn:
Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là
0,
21A
Phương trình tiếp tuyến () qua A có dạng
21xky
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số :3x 4yx 2
.
Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm cận .
Hướng dẫn:
Gọi M(x;y) (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3
| x – 2 | = | y – 3 | 3x 4 xx 2 2 x 2x 2 x 2
x 1x x 2x 4x 2
() tiếp xúc với (C) /
x 1 1k x2x 1 2
x 1 k co ù nghieäm2x 1
)2(k
1x23
)1(21xk
1x21x
2
Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư93
2
13 xx 1 2
2x 1 2x 1
1(x 1)(2x 1) 3(x )2
và 1x2
3x 12
5x2
. Do đó121k . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
1 1y x12 2
Bài 5. Giả sử là tiếp tuyến tại điểm 0;1M của đồ thị hàm số 2 11xy
x
(C)
Hãy tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn 1 mà khoảng cách từ đó đến làngắn nhất.
Hướng dẫn:
Khoảng cách từ một điểm trên (C) tới đường thẳng là ngắn nhất khi và chỉ khiđiểm đó là tiếp điểm của đồ thị (C) với tiếp tuyến là song song với đường thẳng .
Ta có:
23' ; ' 0 3
1y y
x
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) là : 3 1y x .
Gọi 0 0 0; ( ), 1N x y C x có khoảng cách tới ngắn nhất, thế thì 0x là nghiệm
của phương trình 0 00
0
2 5'( ) 3
0 (loaïi)x y
y xx
Bài 6. Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số 22
x my mx
có ít nhất một
điểm cách đều hai trục tọa độ, đồng thời hoành độ và tung độ của điểm đó trái dấunhau.
Hướng dẫn: Những điểm cách đều hai trục tọa độ có hoành độ và tung độ trái dấu
nhau sẽ nằm trên đường thẳng y x . Giả sử ;M x y là điểm thõa mãn đề bài thì
TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673 -TP HUẾ
Chuyên đề LTĐH Biên soạn:Trần Đình Cư94
ta có phương trình: 2 0 *2 2
x x mx mxx x
. Phương trình (*) có ít nhất
một nghiệm khác 2 khi và chỉ khi11 4 04
2 0 2
m mm x
Bài 7. Tính khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số 22
xy Cx
Hướng dẫn: Giả sử 1 2;C C là hai nhánh của đồ thị hàm số và