Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ******* I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1)ĐỊNH LÍ MỞ RỘNG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định lí : Cho hàm số () y fx = xác định trên khoảng K . () fx đồng biến trên K '( ) 0, f x x K Û ³ " Î . () fx nghịch biến trên K () ' 0, f x x K Û £ " Î . (chỉ xét trường hợp '( ) 0 f x = tại một số hữu hạn điểm trên khoảng K ) 2) NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TAM THỨC BẬC HAI a) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2 () gx ax bx c = + + : Nếu < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a với mọi x Ρ . Nếu = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a với mọi \ 2 b x a í ü ï ï ï ï Î - ì ý ï ï ï ï î þ ¡ , tại 2 b x a =- thì () 0 gx = . Nếu > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a, (trong trái - ngoài cùng). b) Tam thức 2 () ( 0) gx ax bx ca = + + ¹ không đổi dấu trên ¡ 0 () 0, 0 a gx x R í ï > ï ³ " Î Û ì ïD£ ï î 0 () 0, 0 a gx x R í ï < ï £ " Î Û ì ïD£ ï î c) So sánh các nghiệm 1 2 ; x x của tam thức bậc hai 2 () gx ax bx c = + + với số 0: 1 2 0 0 0 0 x x P S í ï D> ï ï ï < < Û > ì ï ï < ï ï î 1 2 0 0 0 0 x x P S í ï D> ï ï ï < < Û > ì ï ï > ï ï î 1 2 0 0 x x P < < Û < 3) CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau: a) 4 2 1 3 1 4 2 y x x =- + + b) 4 3 1 12 2 y x x x = + - - c) 2 7 12 y x x = - + Lời giải a) 4 2 1 3 1 4 2 y x x =- - + . TXĐ D = ¡ . 3 ' 3 0 0; 3 y x x x x =- + = Û = =± BBT: x -¥ 3 - 0 3 +¥ ' y + 0 - 0 + 0 - y -¥ 13 4 1 13 4 -¥ Vậy hàm số đồng biến trên ( ; 3);(0; 3) -¥ - ; nghịch biến trên ( 3;0);( 3; ) - +¥ b) 4 3 1 12 2 y x x x = + - - Tập xác định: D = ¡ .
44
Embed
CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS...Gia sư Thành Được 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ***** I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1)ĐỊNH
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
1
KHẢO SÁT HÀM SỐ CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN
*******
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1)ĐỊNH LÍ MỞ RỘNG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Định lí : Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng K .
( )f x đồng biến trên K '( ) 0,f x x KÛ ³ " Î .
( )f x nghịch biến trên K ( )' 0,f x x KÛ £ " Î .
(chỉ xét trường hợp '( ) 0f x = tại một số hữu hạn điểm trên khoảng K )
2) NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TAM THỨC BẬC HAI
a) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c= + + :
Nếu < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a với mọi x Î ¡ .
Nếu = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a với mọi \2
bx
a
í üï ïï ïÎ -ì ýï ïï ïî þ
¡ , tại 2
bx
a= - thì ( ) 0g x = .
Nếu > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài
khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a, (trong trái - ngoài cùng).
b) Tam thức 2( ) ( 0)g x ax bx c a= + + ¹ không đổi dấu trên ¡
0
( ) 0,0
ag x x R
íï >ï³ " Î Û ìï D £ïî
0
( ) 0,0
ag x x R
íï <ï£ " Î Û ìï D £ïî
c) So sánh các nghiệm 1 2;x x của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c= + + với số 0:
1 2
0
0 0
0
x x P
S
íïD >ïïï< < Û >ìïï <ïïî
1 2
0
0 0
0
x x P
S
íïD >ïïï< < Û >ìïï >ïïî
1 2
0 0x x P< < Û <
3) CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
a)4 21 3
14 2
y x x= - + + b)4 31
122
y x x x= + - - c) 2 7 12y x x= - +
Lời giải
a)4 21 3
14 2
y x x= - - + .
TXĐ D = ¡ . 3' 3 0 0; 3y x x x x= - + = Û = = ±
BBT:
x - ¥ 3- 0 3 + ¥
'y + 0 - 0 + 0 -
y - ¥
13
4 1
13
4 - ¥
Vậy hàm số đồng biến trên ( ; 3);(0; 3)- ¥ - ; nghịch biến trên ( 3;0);( 3; )- + ¥
b)4 31
122
y x x x= + - -
Tập xác định: D = ¡ .
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
2
Đạo hàm: 3 2 2
1
' 2 3 1 0 ( 1) (2 1) 0 1
2
x
y x x x xx
é = -êê= + - = Û + - = Ûê =êë
Do 1x = - là nghiệm bội 2 nên y' không đổi dấu khi x đi qua 1- .
BBT:
x - ¥ -1
1
2 + ¥
'y - 0 - 0 +
y - ¥ + ¥
Vậy hàm số nghịch biến trên 1
;2
æ ö÷ç ÷- ¥ç ÷ç ÷çè ø
và đồng biến trên 1
;2
æ ö÷ç ÷+ ¥ç ÷ç ÷çè ø
c) 2 7 12y x x= - + .
TXĐ ( ;3] [4; )D = - ¥ È + ¥ . 2
2 7 7' 0
22 7 12
xy x
x x
-= = Û =
- +
Dấu của 'y là dấu của nhị thức 2 7x - . Do đó, ta có bảng biến thiên
x - ¥ 3
7
2 4 + ¥
'y - || ////// 0 /////// || +
y + ¥ | //////////////////| + ¥
0 0
Vậy hàm số nghịch biến trên ( ;3)- ¥ và đồng biến trên (4; )+ ¥
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 3
sin6
xx x x- < < với 0x >
Lời giải
BĐT 3
sin ( )
sin ( )6
x x a
xx x b
íï <ïïïìï - <ïïïî
với 0x >
a) Ta chứng minh sin x x< với 0x >
Xét hàm số ( ) sinf x x x= - . (0) 0f =
Ta có: ( ) cos 1 0f x x¢ = - £ , (0; )x" Î + ¥ ( )f x nghịch biến trong (0; )+ ¥ .
( ) (0)f x f< với 0x > sin 0x x- < với 0x >
b) Ta chứng minh 3
sin6
xx x- < với 0x >
Xét hàm số 3
( ) sin6
xf x x x= - + . Ta có
2
( ) cos 1 ( )2
xf x x g x¢ = - + =
Þ ( ) sin 0g x x x¢ = - + > với x > 0 ( )g x đồng biến ( ) (0) 0g x g> = với 0x >
hay ( ) 0f x¢ > với 0x > ( )f x đồng biến ( ) (0) 0f x f> = với 0x >
3
sin 06
xx x- + > hay
3
6
xx - < sin x với 0x >
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
3
Từ a) và b) Þ 3
sin6
xx x x- < < với 0x >
Ví dụ 3. Cho hàm số 2 3 21
( ) 2 3 13
y m m x mx x= - + + - . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên ¡ .
Lời giải
Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: 2 2' ( ) 4 3y m m x mx= - + +
Hàm số luôn đồng biến trên ¡ Û ' 0y ³ x" Î ¡
Trường hợp 1: Xét 20
01
mm m
m
é =ê- = Û ê =êë
+ Với 0m = , ta có ' 3 0,y x= > " Î ¡ , suy ra 0m = thỏa.
+ Với 1m = , ta có 3
' 4 3 04
y x x= + > Û > - , suy ra 1m = không thỏa.
Trường hợp 2: Xét 20
01
mm m
m
íï ¹ï- ¹ Û ìï ¹ïî
, khi đó:
' 0y ³ x" Î ¡ Û
2
2
' 0 ' 3 0
0 0
m m
a m m
íí ïï D £ D = + £ïï ïÛì ìï ï> - >ï ïî ïî
Û 3 0
0 1
m
m m
íï - £ £ïìï < Ú >ïî
Û 3 0m- £ <
Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là 3 0m- £ £ .
Ví dụ 3: Cho hàm số ( ) ( )3 23 1 3 1 1y x m x m x= - + + + + . Định m để:
a) Hàm số luôn đồng biến trên R.
b) Hàm số luôn đồng biến trên khoảng ( )2;+ ¥ .
Lời giải
a) Tập xác định D = ¡ . 2' 3 6( 1) 3( 1)y x m x m= - + + +
Hàm số luôn đồng biến trên 0
' 0,' 0
ay x
íï >ïÛ ³ " Î Û ìï D £ïî
¡ ¡2
3 0( / )1 0
9 9 0
h nm
m m
íï >ïïÛ Û - £ £ìï + £ïïî
b) Cách 1: Tập xác định D = ¡ . 2' 3 6( 1) 3( 1)y x m x m= - + + +
Hàm số luôn đồng biến trên khoảng ( )2;+ ¥ ' 0, (2; )y xÛ ³ " Î + ¥
2( ) 3 6( 1) 3( 1) 0, (2; )f x x m x m xÛ = - + + + ³ " Î + ¥
TH1: Nếu 0 1 0mD £ Û - £ £ thì hàm số đồng biến trên ¡ nên hàm số đồng biến trên ( )2;+ ¥
TH2: Nếu 0 1; 0m mD > Û < - > (*) thì ( )f x có hai nghiệm 1 2,x x , giả sử
1 2x x<
Vì 3 0a = > nên BXD
x - ¥ 1
x 2
x + ¥
( )f x + 0 - 0 +
2 2
2
1( ) 0, (2; ) 2 1 2 1
3f x x x m m m m m m m³ " Î + ¥ Û £ Û + + + £ Û + £ - Û £
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
4
So với điều kiện (*) ta được 1
1;03
m m< - < £
Kết hợp hai trường hợp:
1 01
13
10
3
m
m m
m
éê- £ £êê
< - Û £êêê< £ê
êë
Cách 2: Hàm số luôn đồng biến trên khoảng ( )2;+ ¥ ' 0, (2; )y xÛ ³ " Î + ¥
2 2( 1) 1 0, (2; )x m x m xÛ - + + + ³ " Î + ¥
2 2 1( ) , (2; )
2 1
x xg x m x
x
- +Û = ³ " Î + ¥
-
Ta có 2
2
2 2'( ) 0 0; 1
(2 1)
x xg x x x
x
-= = Û = =
-
BBT
x - ¥ 0
1
2 1 2 + ¥
'( )g x + 0 - || - 0 + | +
( )g x ///////////////////////////////////| + ¥
///////////////////////////////////|1
3
Dựa vào BBT ta có: 1
3m £
Ví dụ 4. Cho hàm số 7 8mx m
yx m
+ -=
-. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Lời giải
Tập xác định: { }\D m= ¡
Đạo hàm:
( )
2
2
7 8'
m my
x m
- - +=
-
. Dấu của 'y là dấu của biểu thức 2 7 8m m- - + .
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Û ' 0y > , x D" Î (không có dấu bằng)
Û 2 7 8 0m m- - + > Û 8 1m- < <
Vậy giá trị m cần tìm là 8 1m- < < .
Ví dụ 5. Cho hàm số 7 8mx m
yx m
+ -=
-. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( )3;+ ¥ .
Lời giải
Tập xác định: { }\D m= ¡
Đạo hàm:
( )
2
2
7 8'
m my
x m
- - +=
-
. Dấu của 'y là dấu của biểu thức 2 7 8m m- - + .
Hàm số đồng biến trên khoảng ( )3;+ ¥ Û ' 0y > , ( )3;x" Î + ¥
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
5
Û
2 7 8 0
3
m m
m
íï - - + >ïïìï £ïïî
Û8 1
3
m
m
íï - < <ïìï £ïî
Û 8 3m- < £
Vậy giá trị m cần tìm là 8 3m- < £ .
4) BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
a) y x x22 4 5= - + + b) y x x x3 22 2= - + - c) y x x x3 23 4 1= - + -
d) y x x4 212 1
4= - - e) y x x4 22 3= - - + f)
xy
x
2 1
5
-=
+
g) x
yx
1
2
-=
- h)
x xy
x
22 26
2
+ +=
+ k) y x
x
13
1= - + -
-
l) y x x2 1 3= - - - m) y x x 22= - n) y x xsin 22 2
p pæ ö÷ç ÷= - < <ç ÷çè ø
Bài 2. Tìm m để hàm số hàm số 3 21
( 1) (3 2)3
y m x mx m x= - + + - nghịch biến trên tập xác định.
HD: 2m £
Bài 3. Xác định m để hàm số 3 2
2 13 2
x mxy x= - - + .
a) Đồng biến trên R. b) Đồng biến trên ( )1;+ ¥ .
HD: a) m Î Æ b) 1m £ -
Bài 4. Tìm m để hàm số 3 23 4y x x mx= + - - đồng biến trên khoảng ( ;0)- ¥ .
HD: 3m £ -
Bài 5. Tìm m để hàm số 4mx
yx m
+=
+ nghịch biến trên khoảng ( ;1)- ¥ .
HD: 2 1m- < £ - .
Bài 6. Cho hàm số ( ) ( )3 23 2 1 12 5 2y x m x m x= - + + + + .
a) Định m để hàm số đồng biến trên khoảng ( )2;+ ¥ .
b) Định m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ); 1- ¥ - .
HD: a)5
12m £ b)
7
12m ³ -
Bài 7. Tìm m để hàm số 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= - + + + + đồng biến trên khoảng (2; )+ ¥
HD: 1m £
Bài 8. Tìm m để hàm số 3 23y x x mx m= + + + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
HD: 9
4m =
Bài 9. Tìm m để hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + - + - + + đồng biến trên ( )0;+ ¥ .
HD: 5
4m £
Bài 10. Tìm m để hàm số 4 22 3 1y x mx m= - - + đồng biến trên khoảng (1; 2).
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
6
HD: ( ;1m ùÎ - ¥ úû.
Bài 11. Cho hàm số 2
3
mxy
x m
-=
+ -. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
HD: 1m < hoặc 2m > .
Bài 12. Cho hàm số 9mx
yx m
-=
-. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( );2- ¥
HD: 2 3m< < .
Bài 13. Cho hàm số 2
1
mxy
x m
-=
- -. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( )1;+ ¥
HD: 2m < - .
II. CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
Định lí 1: (Bổ đề Fermat)Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm trên khoảng ( , )a b và điểm 0
( , )x a bÎ .
Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm 0
x thì 0
'( ) 0f x =
Chú ý: Điều ngược lại không đúng. Ví dụ hàm số 3
2 13
xy x x= - + + có '(1) 0f = nhưng hàm số không
đạt cực trị tại 1x = .
2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
Định lí 2: Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên khoảng ( , )a b chứa điểm 0
x và có đạo hàm trên các khoảng
0 0( , ); ( , )a x x b . Khi đó:
Nếu 0
0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( , )
f x x a x
f x x x b
íï < " Îïìï > " Îïî
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0
x
Nếu 0
0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( , )
f x x a x
f x x x b
íï > " Îïìï < " Îïî
thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0
x
Hình vẽ minh họa:
BBT
x a 0
x b
'( )f x - +
( )f x
CT
Định lí 3: Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm cấp 1 trên khoảng ( , )a b chứa điểm 0
x và có đạo hàm cấp 2
khác 0 tại điểm 0
x . Khi đó:
Nếu ( )( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
íï =ïïìï >ïïî
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0
x .
Nếu ( )( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
íï =ïïìï <ïïî
thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0
x .
Chú ý: Điều ngược lại không đúng. Ví dụ hàm số 4 1y x= + đạt cực tiểu tại 0x = nhưng ''(0) 0f = .
NHẬN XÉT:
x a 0
x b
'( )f x + -
( )f x CĐ
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
7
a) Hàm số ( ) ( )3 2 0y f x ax bx cx d a= = + + + ¹ có hai điểm cực trị
Û ( ) 2' 3 2 0f x ax bx c= + + = có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số ( ) ( )4 2 0y f x ax bx c a= = + + ¹ có ba điểm cực trị
Û ( ) 3' 4 2 0f x ax bx= + = có ba nghiệm phân biệt.
3. CÁCH VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ.
Dạng 1: Hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + .
Chia y cho y' ta được: ( ). ' .y Q x y Ax B= + +
Khi đó, y Ax B= + là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
Dạng 2 (Nâng cao): Hàm số 2ax bx c
ydx e
+ +=
+
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng ( )
( )
2 ' 2
'
ax bx c a by x
d ddx e
+ += = +
+
4. CÁC VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Cho hàm số 2 3 21
( 1) ( 1) 3 53
y m x m x x= - + + + + . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.
Lời giải
Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: 2 2' ( 1) 2( 1) 3y m x m x= - + + +
' 0y = Û 2 2( 1) 2( 1) 3 0m x m x- + + + =
Hàm số có hai điểm cực trị Û ' 0y = có hai nghiệm phân biệtÛ
2
2 2
1 0
' ( 1) 3( 1) 0
m
m m
íï - ¹ïïìïD = + - - >ïïî
Û 2
1
2 2 4 0
m
m m
íï ¹ ±ïïìï - + + >ïïî
Û 1 1
1 2 1 2
m m
m m
í íï ï¹ ± ¹ï ïÛì ìï ï- < < - < <ï ïî î
Vậy giá trị m cần tìm là 1
1 2
m
m
íï ¹ïìï - < <ïî
.
Ví dụ 2. Cho hàm số 4 2 2( 9) 10y mx m x= + - + . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.
Lời giải
Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: 3 2 2 2' 4 2( 9) 2 .(2 9)y mx m x x mx m= + - = + -
' 0y = Û 2 2
0
2 9 0
x
mx m
é =êê
+ - =êë (1)
Hàm số có ba điểm cực trị Û ' 0y = có ba nghiệm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
Û 2
2
0
' 2 ( 9) 0
9 0
m
m m
m
íï ¹ïïïïD = - - >ìïïï - ¹ïïî
Û
0
3
0 3
3
m
m
m
m
íï ¹ïïï é < -ïï êì êï < <êï ëïï ¹ïïî
Û 3
0 3
m
m
é < -êê < <êë
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
8
Vậy giá trị m cần tìm là 3
0 3
m
m
é < -êê < <êë
.
Ví dụ 3: Cho hàm số ( )3 2 2 212 (3 1) 5
3y x m m x m x m= + - + + + + - . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu
tại 2x = - .
Lời giải
Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: ( )2 2 2' 2 2 3 1y x m m x m= + - + + +
Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại 2x = - Þ '( 2) 0y - = Û 2 4 3 0m m- + - = Û 1
3
m
m
é =êê =êë
Điều kiện đủ:
Với 1m = , ta có: 2' 4 4y x x= + + , ' 0 2y x= Û = -
Bảng biến thiên
x - ¥ 2- + ¥
'y + 0 +
y + ¥
- ¥ Từ BBT ta suy ra 1m = không thỏa.
Với 3m = , ta có: 2' 16 28y x x= + + , 14
' 02
xy
x
é = -ê= Û ê = -êë
Bảng biến thiên
x - ¥ 14- 2- + ¥
'y + 0 - 0 +
y
CĐ + ¥
CT
- ¥ Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại 2x = - .
Vậy giá trị m cần tìm là 3m =
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + - + - + + đạt cực trị tại 1 2,x x sao cho
1 2
1
3x x- > .
Lời giải
TXĐ: D = ¡ . Ta có: 2' 3 ( 2 ( )2 1 ) 2y x m x m= - + -+
Hàm số có CĐ, CT ' 0yÛ = có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x
2 5' 0 4 5 0 1;
4m m m mÛ D > Û - - > Û < - > (*)
Theo định lí Viet: 1 2 1 2
( )
3
2 1 2 2;
3
m mx x x x
- -+ = - =
Theo giả thiết: ( ) ( )2 2
1 2 1 21 2 1 2
14
1
3 9x x x x x x x xÛ = + -- >- >
2 2 3 29 3 294(1 2 ) 4(2 ) 1 16 12 5 0 ;
8 8m m m m m m
- +Û - - - > Û - - > Û < >
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
9
Kết hợp (*), ta suy ra 3 29
1;8
m m+
< - >
Ví dụ 5: Cho hàm số 4 22 1y x mx m= - + - . Tìm m để đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trịA, B,C đồng
thời các điểm A,B,C tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều.
Giải
TXĐ: D = ¡ . Ta có: 2’ 4 ( )y x x m= - .Cho 2' 0 0;y x x m= Û = = .
Hàm số có 3 cực trị Û phương trình ' 0y = có 3 nghiệm phân biệt 0mÛ >
Toạ độ 3 điểm cực trị là (0; 1)A m - , 2 2( ; 1), ( ; 1)B m m m C m m m- - + - - + -
Ta luôn có AB=AC nên tam giác ABC đều khi:
2 2AB BC=34 4 3m m m mÛ + = Û = (vì 0m > )
Ví dụ 6: Cho hàm số 4 2 42 2y x mx m m= - + + (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1)
có ba điểm cực trị , ,A B C đồng thời các điểm , ,A B C tạo thành một tam giác vuông.
Lời giải
Tập xác định: D = ¡ . Đạo hàm: 3 2' 4 4 4 ( )y x mx x x m= - = - . ' 0y = Û 2
0x
x m
é =êê
=êë
Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị , ,A B C Û ' 0y = có ba nghiệm phân biệt Û 0m > (*)
Khi đó ' 0y = có ba nghiệm phân biệt là 0x = , x m= ±
Với 0x = Þ 42y m m= +
Với x m= ± Þ 4 2 2y m m m= - +
Tọa độ các điểm cực trị , ,A B C là
( ) ( ) ( )4 4 2 4 20;2 ; ; 2 ; ; 2A m m B m m m m C m m m m+ - - + - +
Suy ra: ( ) ( )2 2; ; ;AB m m AC m m= - - = -uuur uuur
Tam giác ABC vuông Û Tam giác ABC vuông tại A
Û . 0AB AC =uuur uuur
Û 4
00
1
mm m
m
é =ê- + = Û ê =êë
So với (*) suy ra giá trị m cần tìm là 1m = .
Ví dụ 7: Cho hàm số 3 23 2y x x mx= - - + .
a)Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
b)Tìm m để 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị cách đều đường thẳng : 1d y x= -
Lời giải
a)TXĐ: D = ¡ . Tính 2’ 3 6y x x m= - - .
Hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0yÛ = có hai nghiệm phân biệt 0 3mÛ D > Û > -
Chia đa thức ’y cho y , ta được 1
( ) ' 2( 1) 23 3 3 3
x m my y x= - - + + -
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : 2( 1) 23 3
m my xD = - + + -
b)Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu là ( ) ( )1 1 2 2; , ; .A x y B x y
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
10
TH1: / /dD2( 1) 1 93 3
22 1
3
m
mm
íïï + =ïïïÛ Û = - < -ìïï - ¹ïïïî
(loại)
TH2: Trung điểm của đoạn AB nằm trên d . Toạ độ trung điểm AB là E :1 2 1
2
x xx
y m
íï +ï = =ïïìïï = -ïïî
Vì ( )1;E m d- Î , suy ra 0m =
5) BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau
a) y x x2 33 2= - b) y x x x3 22 2 1= - + - c) y x x x3 214 15
3= - + -
d) x
y x4
2 32
= - + e) y x x4 24 5= - + f) x
y x4
2 3
2 2= - + +
g) x x
yx
2 3 6
2
- + +=
+ h) y x x2 2 5= - + i) y x x x 22= + -
Bài 2. Cho hàm số 3 23 2y x x mx m= + + + - . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.
HD: 3m <
Bài 3. Cho hàm số 2 3 21
( 1) ( 1) 3 53
y m x m x x= - + + + + . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
HD: 1 2m- < < và 1m ¹ .
Bài 4. Xác định m để hàm số 3 23 3 3 4y x x mx m= - + + +
a)Không có cực trị. b)Có cực đại và cực tiểu.
HD: a) 1m ³ b) 1m <
Bài 5. Cho hàm số 4 2( 1) 2 1y x m x m= + + - - . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.
HD: 1m < - .
Bài 6. Tìm m để hàm số 4 2( 1) 2y mx m x m= + - +
a) Có ba điểm cực trị b) Có cực đại mà không có cực tiếu.
HD: a) 0 1m< < b) 0m £
Bài 7. Tìm m để hàm số: ( ) ( )3 2 2 212 3 1 5
3y x m m x m x m= + - + + + + - đạt cực tiểu tại 2x = -
HD: 3m =
Bài 8. Cho hàm số 3 2( 1) (3 4) 5y x m x m x= - + + - + . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại 1x =
HD: 3m = .
Bài 9. Cho hàm số 3 23 9 3 5y x mx x m= - + + - . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.
HD: 2(6 2 ) 6 5y m x m= - + -
Bài 10. Cho hàm số 3 2 22
( 1) ( 4 3) 13
y x m x m m x= + + + + + - . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
HD: 5 3m- < < - .
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
11
Bài 11. Cho hàm số ( ) ( )3 21 2 2 2y x m x m x m= + - + - + + . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị
đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
HD: 5 7
1;4 5
m m< - < <
Bài 12. Cho hàm số 3 21
(2 1) 2 ( )3 m
y x mx m x m C= - + - - + . Định m để hàm số có hai điểm cực trị
cùng dương.
Bài 13. Tìm m để 3 2 7 3y x mx x= + + + có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với đường thẳng d:
3 7.y x= -
HD: 3 10
2m = ±
Bài 14. Tìm m để đồ thị hàm số y x x mx m3 23 2= + + + - có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai
phía đối với trục hoành.
HD: m 3<
Bài 15. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m m x3 2 2(2 1) ( 3 2) 4= - + + - - + - có các điểm cực đại và cực
tiểu nằm về hai phía đối với trục tung.
HD: m1 2< <
Bài 16. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx m x3 21(2 1) 3
3= - + - - có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về
cùng một phía đối với trục tung
HD:m m1
; 12
> ¹
Bài 17. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx m3 23 3 1= - + - - có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau
qua đường thẳng d x y: 8 74 0+ - =
HD: m 2=
Bài 18. Tìm m để đồ thị hàm số y x x mx3 23 2= - - + có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường
thẳng y x 1= -
HD: m m3
0;2
= = -
Bài 19. Tìm m để hàm số ( ) ( )3 21 11 3 2
3 3y mx m x m x= - - + - + đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn
1 22 1.x x+ =
HD:2
2;3
m m= =
Bài 20. Cho hàm số 3 2( 1) (2 1) 2y x m x m x m= + - - + - . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị 1
x và
2x sao cho 2 2
1 2 1 21x x x x+ = + .
HD:
Bài 21. Cho hàm số 3 2( 2) ( 1) 4y mx m x m x= - + + - + . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị 1
x và 2
x
sao cho 2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 116
x x x x+ = + .
HD:
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
12
Bài 22. Cho hàm số ( )3 22 3( 1) 6 2 1y x m x m x= + - + - - . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị 1
x và
2x sao cho
1 22x x+ = .
HD: 1m = - .
Bài 23. Cho hàm số: ( )3 21 1 3sin cos sin 2
3 2 4y x a a x a x
æ ö÷ç ÷= - + + ç ÷ç ÷çè ø
. Tìm a để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
1 2,x x và 2 2
1 2 1 2x x x x+ = + .
HD:
Bài 24. Cho hàm số 3 2 2 23 3( 1) 3 1y x x m x m= - + + - - - . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các
điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O .
HD: 1
2m = ± .
Bài 25. Cho hàm số ( )3 22 3 3 11 3y x m x m= + - + - . Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại hai điểm A, B
sao cho 3 điểm A, B, C(0; -1) thẳng hàng.
HD:
Bài 26. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m3 2 31 4( 1) ( 1)
3 3= - + + + có các điểm cực đại và cực tiểu nằm
về hai phía của đường tròn C x y x2 2( ) : 4 3 0+ - + =
HD: m1
2<
Bài 27. Tìm m để đồ thị hàm số y x x mx3 23 2= - - + có hai điểm cực đại và cực tiểu là A B, và đường
thẳng đi qua hai điểm A B, tạo với đường thẳng d x y: 4 5 0+ - = một góc 045
HD: m1
2= -
Bài 28. Cho hàm số: 4 22 2y x mx m= - + . Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị và các điểm cực trị
này thỏa
a) Lập thành 1 tam giác đều.
b) Lập thành 1 tam giác vuông.
c) Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 32.
HD: a) 33m = b) 1m = c) 4m =
Bài 29. Tìm m để đồ thị hàm số m
y x mx2
4 2 62
= + + - có ba điểm cực trị A B C, , sao cho:
a) ABCD là tam giác vuông
b) Diện tích ABCD bằng 32
c) Tứ giác ABOC là hình bình hành
d) Diện tích tứ giác OABC bằng 52
HD: a) m 2= - ; b) m 8= - ; c)m 6= - d) m 8= -
Bài 30. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx m m4 2 22= + + + có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có
một góc bằng 0120
HD: m3
1
3= -
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
13
Bài 31. Cho hàm số 4 2 22 2y x mx m= - + - . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của
đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông .
HD: 1m =
Bài 32. Tìm m để đồ thị hàm số 4 2(3 1) 3y x m x= + + - có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân có độ
dài cạnh đáy bằng 2
3 lần độ dài cạnh bên.
HD: 5
3m = -
Bài 33. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m4 2 22(1 ) 1= - - + + có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác
có diện tích lớn nhất
HD: m 0=
Bài 34. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx4 22 2= - + có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường
tròn ngoại tiếp đi qua điểm D3 9
;5 5
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
HD: m 1=
Bài 35. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx m4 22 1= - + - có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán
kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
HD: m m1 5
1;2
- += =
Bài 36. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx m4 22= - + có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính
đường tròn nội tiếp bằng 1.
HD: m 2=
Bài 37. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx m4 22 2= - + - có ba điểm cực trị A B C, , và bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.
HD: 3
3
3 2 1min
4 2R m= Û =
Bài 38. Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 23
2y x mx m= - +
tiếp xúc với đường tròn 2 2 1x y+ =
HD: 2m = ±
Bài 39. Cho hàm số ( )3 23 3 3 2m
y x mx x m C= - - + + . Định m để ( )mC có cực đại cực tiểu đồng thời
khoảng cách giữa chúng là bé nhất.
III. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1) CÁC BƢỚC KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Tìm tập xác định của hàm số.
Xét sự biến thiên của hàm số:
Tính y.
Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định.
Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.
Vẽ đồ thị của hàm số:
Tìm điểm đặc biệt của đồ thị (giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ Ox Oy, , các điểm đặc biệt
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
14
khác...).
Vẽ đồ thị: vẽ tiệm cận, các điểm cực trị, các điểm đặc biệt và cuối cùng vẽ đồ thị
Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.
Chú ý: Đối với hàm bậc ba tìm thêm điểm uốn. Cách tìm như sau:
Tính y '' , giải pt y '' 0= tìm x y f x0 0 0
( )Þ = Þ điểm uốn I x y0 0
( ; )
2) CÁC DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
a) Hàm số bậc ba y ax bx cx d a3 2 ( 0)= + + + ¹
Tập xác định D = ¡ .
Đồ thị luôn có một điểm uốn I và nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng
Các dạng đồ thị:
a 0> a 0<
y’ 0= có 2 nghiệm phân biệt
y’ 0= có nghiệm kép
y’ 0= vô nghiệm
b) Hàm số trùng phương y ax bx c a4 2 ( 0)= + + ¹
Tập xác định D = ¡ .
Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Các dạng đồ thị:
y
x 0
I
y
x 0
I
y
x 0 I
y
x 0
I
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
15
d) Hàm số nhất biến ax b
y c ad bccx d
( 0, 0)+
= ¹ - ¹+
Tập xác định \d
Dc
í üï ïï ïì ý= -ï ïï ïî þ
¡ .
Đồ thị có một tiệm cận đứng là d
xc
= - và một tiệm cận ngang là a
yc
= . Giao điểm của hai tiệm
cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Các dạng đồ thị:
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) 3 23 – 4y x x= + b) 4 22 – 3y x x= - c)2
1
xy
x
- +=
+
Giải
a) 3 23 – 4y x x= +
Tập xác định: D = ¡ .
y x x
x yy x x
x y
2
2
’ 3 6
0 4’ 0 3 6 0
2 0
= +
é = Þ = -ê= Û + = Û ê = - Þ =êë
Giới hạn: x
ylim® + ¥
= + ¥ ; x
ylim® - ¥
= - ¥
0
– 0ad bc
x
y
0
– 0ad bc
x
y
0a 0a
’ 0y có 3 nghiệm phân
biệt
’ 0y chỉ có 1 nghiệm
y
x 0
y
x 0
y
x 0
y
x 0
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
16
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên ( ) ( ); 2 ; 0;- ¥ - + ¥ , nghịch biến trên ( )2;0-
Hàm số đạt cực đại tại CD
x y2; 0= - = , đạt cực tiểu tại CT
x y0; 4= = -
Điểm đặc biệt:
Điểm uốn: y x y x x y'' 6 6; '' 0 6 6 0 1 2= + = Û + = Û = - Þ = - Þ ( )I 1; 2- -
x -3 -2 -1 0 1 y -4 0 -2 -4 0
Đồ thị:
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn ( )I 1; 2- - làm tâm đối xứng.
b) y x x4 22 – 3= - .
Tập xác định: D = ¡
( )y x x y x x x x x x x3 3 2’ 4 4 ; ’ 0 4 4 0 4 – 4 0 0; 1; 1= - = Û - = Û = Û = = = -
Giới hạn: x
ylim® + ¥
= + ¥ ; x
ylim® - ¥
= + ¥
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số đồng biến trên ( ) ( )1;0 ; 1;- + ¥ , nghịch biến trên ( ) ( ); 1 ; 0;1- ¥ -
Hàm số đạt cực đại tại CD
x y0; 3= = - , đạt cực tiểu tại CT
x y1; 4= ± = -
Điểm đặc biệt:
Đồ thị
x -2 -1 0 1 -2 y 5 -4 -3 -4 5
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
17
Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
d) x
yx
2
1
- +=
+.
Tập xác định D \ { 1}= -¡
y x Dx 2
3’ 0,
( 1)
-= < " Î
+ .
Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định
Giới hạn: x
y1
lim-® -
= - ¥ ;x
y1
lim+® -
= + ¥ x 1Þ = - là tiệm cận đứng
xylim 1
® - ¥= - ;
xylim 1
® + ¥= - y 1Þ = - là tiệm cận ngang
Bảng biến thiên:
x -∞ -1 +∞
y ' - -
y -1 +∞
-∞ -1
Hàm số không có cực trị
Điểm đặc biệt
x -3 -2 -1 0 1 y -5/2 -4 || 2 1/2
Đồ thị:
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận I ( 1; 1)- - làm tâm đối xứng.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) 3 23 9 1y x x x= - - + b) 3 23 3 5y x x x= + + + c) 3 23 2y x x= - + -
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
18
d) 2( 1) (4 )y x x= - - e) 3
2 1
3 3
xy x= - + f) 3 23 4 2y x x x= - - - +
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) 4 22 1y x x= - - b) 4 24 1y x x= - + c) 4
2 53
2 2
xy x= - +
d) 2 2( 1) ( 1)y x x= - + e) 4 22 2y x x= - + + f) 4 22 4 8y x x= - + +
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) 1
2
xy
x
+=
+ b)
2 1
1
xy
x
+=
- c)
3
4
xy
x
-=
-
d) 1 2
1 2
xy
x
-=
+ e)
3 1
3
xy
x
-=
- f)
2
2 1
xy
x
-=
+
III. SỰ TƢƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
Cho hai đồ thị hàm số: ( ) ( ).y f x và y g x= = (có thể chứa tham số)
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của hệ phương trình ( )
( )
y f x
y g x
íï =ïìï =ïî
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình ( ; ) ( ; ) (1)f x m g x m= .
Do đó, số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Đặc biệt: Để tìm số nghiệm của phương trình bậc ba ngoài cách thông thường là nhẩm nghiệm rồi chia
đa thức (sơ đồ hoocne), ta còn hai cách sau:
Cách 1: Biến đổi PT bậc ba ( , ) 0f x m = về dạng ( ) ( )g x h m= . Khi đó số nghiệm chính là số giao
điểm của đồ thị ( )y g x= và đường thẳng ( )y h m= .
Cách 2: PT bậc ba ( , ) 0f x m = có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số ( , )y f x m= phải có cực đại, cực
tiểu và . 0CD CTf f < .
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): 2 1
2 1
xy
x
+=
- và đường thẳng 2y x= + .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1
22 1
xx
x
+= +
- (1)
Điều kiện: 1
2x ¹ . Khi đó: (1) Û 2 1 (2 1)( 2)x x x+ = - + 22 3 0x xÛ + - =
Û
3 1
2 21 3
x y
x y
éê = - Þ =êê= Þ =êë
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là 3 1
;2 2
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø và ( )1;3
Ví dụ 2. Cho hàm số 2 1
1
xy
x
-=
- có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng (d): y x m= - + cắt đồ thị (C)
tại hai điểm phân biệt.
Lời giải
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
19
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1
1
xx m
x
-= - +
- (1)
Điều kiện: 1x ¹ . Khi đó: (1) Û 2 1 ( )( 1)x x m x- = - + -
Û 2 ( 1) 1 0x m x m- - + - = (2)
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt
Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 Û ( ) ( )
( )
2
1 4 1 0
1 1 .1 1 0
m m
m m
íï é ùïD = - - - - >ï ê úë ûìï - - + - ¹ïïî
Û 2 6 5 0m m- + > 1 5m mÛ < Ú >
Vậy giá trị m cần tìm là 1 5m m< Ú >
Ví dụ 3. Cho hàm số 3 2 2 8y mx x x m= - - + có đồ thị là ( )mC . Tìm m đồ thị ( )m
C cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 2 8 0mx x x m- - + = (1)
Û ( ) 22 (2 1) 4 0x mx m x mé ù+ - + + =ê úë ûÛ
2
2
(2 1) 4 0
x
mx m x m
é = -êê
- + + =êë (2)
( )mC cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Û (1) có ba nghiệm phân biệt
Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2- Û 2
0
12 4 1 0
12 2 0
m
m m
m
íï ¹ïïïïD = - + + >ìïï + ¹ïïïî
Û
0
1 1
6 21
6
m
m
m
íïï ¹ïïïïï - < <ìïïïïï ¹ -ïïî
Û
0
1 1
6 2
m
m
íï ¹ïïïìï - < <ïïïî
Ví dụ 4. Cho hàm số 4 2 2(3 4)y x m x m= - + + có đồ thị là ( )mC . Tìm m đồ thị ( )m
C cắt trục hoành tại
bốn điểm phân biệt.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2 2(3 4) 0x m x m- + + = (1)
Đặt 2t x= ( )0t ³
Phương trình (1) trở thành: 2 2(3 4) 0t m t m- + + = (2)
( )mC cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt Û (1) có bốn nghiệm phân biệt
Û (2) có hai nghiệm dương phân biệt Û
2
2
5 24 16 0
0
3 4 0
m m
P m
S m
íïD = + + >ïïïï = >ìïï = + >ïïïî
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
20
Û
44
50
4
3
m m
m
m
íïï < - Ú > -ïïïï ¹ìïïïï > -ïïî
Û
4
50
m
m
íïï > -ïïìïï ¹ïïî
Ví dụ 5: Cho hàm số 1
2
mxy
x
-=
+ có đồ thị là ( )m
C . Tìm m để đường thẳng (d): 2 1y x= - cắt đồ thị
( )mC tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho 10AB = .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 1
2 12
mxx
x
-= -
+ (1)
Điều kiện: 2x ¹ -
Khi đó: (1) Û 1 (2 1)( 2)mx x x- = - + Û 22 ( 3) 1 0x m x- - - = (2)
(d) cắt ( )mC tại hai điểm phân biệt ,A B Û (1) có hai nghiệm phân biệt
Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2- Û ( )2
3 8 0
8 2 6 1 0
m
m
íï é ùïD = - - + >ï ê úë ûìï + - - ¹ïïî
Û 1
2m ¹ - (*)
Đặt ( ) ( )1 1 2 2;2 1 ; ;2 1A x x B x x- - với
1 2,x x là hai nghiệm của phương trình (2).
Theo định lý Viet ta có: 1 2
1 2
3
21
2
mx x
x x
íï -ï + =ïïïìïï = -ïïïî
Khi đó: ( ) ( )2 2
1 2 1 24 10AB x x x x= - + - = Û ( )
2
1 2 1 25 4 10x x x xé ù
+ - =ê úê úë û
Û
23
2 22
mæ ö- ÷ç ÷ + =ç ÷ç ÷çè ø Û 3m = [thỏa mãn (*)]
Vậy giá trị m cần tìm là 3m =
Ví dụ 6: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm ( 1;0)A - với hệ số góc k ( )k Î ¡ . Tìm k để đường thẳng k
d
cắt đồ thị hàm số 3 23 4y x x= - + (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và tam giác OBC có diện tích bằng
1 (O là gốc tọa độ).
Lời giải
Đường thẳng d đi qua ( 1;0)A - và có hệ số góc k nên có dạng: ( 1)y k x= + 0kx y k- + =
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:
3 2 22
13 4 ( 1) ( 4 4 0
( ) 4 4 0 (*)
xx x kx k x x x k
g x x x k
é = -êé ù- + = + Û + - + - = Ûê ú êë û
= - + - =êë
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệtÛ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1
' 0 0
( 1) 0 9
k
g k
í íï ïD > >ï ïÛ Ûì ìï ï- ¹ ¹ï ïî î
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
21
Khi đó ( ) 0 2 ; 2g x x k x k= Û = - = +
Các giao điểm là ( ) ( )( 1;0), 2 ;3 , 2 ;3A B k k k k C k k k k- - - + + .
2
22 1 , ( , ) ( , )
1
kBC k k d O BC d O d
k
= + = =
+
2 3
2
1. .2 . 1 1 1 1 1
2 1OBC
kS k k k k k k
kD
= + = Û = Û = Û =
+
Ví dụ 7: Cho hàm số 4 2 2(3 4)y x m x m= - + + có đồ thị là ( )mC . Tìm m để đồ thị ( )m
C cắt trục hoành
tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2 2(3 4) 0x m x m- + + = (1)
Đặt 2t x= ( )0t ³ , phương trình (1) trở thành: 2 2(3 4) 0t m t m- + + = (2)
(C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt Û (1) có bốn nghiệm phân biệt
Û (2) có hai nghiệm dương phân biệt Û
2
2
5 24 16 0
0
3 4 0
m m
P m
S m
íïD = + + >ïïïï = >ìïï = + >ïïïî
Û
44
50
4
3
m m
m
m
íïï < - Ú > -ïïïï ¹ìïïïï > -ïïî
Û
4
50
m
m
íïï > -ïïìïï ¹ïïî
(*)
Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm1 2
0 t t< < . Suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm phân
biệt là 1 2 2 1 3 1 4 2
x t x t x t x t= - < = - < = < =
Bốn nghiệm 1 2 3 4, , ,x x x x lập thành cấp số cộng Û
2 1 3 2 4 3x x x x x x- = - = -
Û 1 2 1
2t t t- + =
Û 2 1
3t t= 2 1
9t tÛ = (3)
Theo định lý Viet ta có: 1 2
2
1 2
3 4t t m
t t m
íï + = +ïïìï =ïïî
(4)
(5)
Từ (3) và (4) ta suy ra được 1
2
3 4
109(3 4)
10
mt
mt
íï +ï =ïïïìï +ï =ïïïî
(6).
Thay (6) vào (5) ta được: ( )2 29
3 4100
m m+ = Û ( )( )
123 3 4 1012
3 3 4 1019
mm m
m m m
é =é + = êê êÛê ê+ = - = -ê êë ë
[thỏa (*)]
Vậy giá trị m cần tìm là
12
12
19
m
m
é =êêê = -êë
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
22
Ví dụ8: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2y x mx= + + cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số với trục hoành:
3 2 0x mx+ + =2 2
( 0)m x xx
Û = - - ¹
Xét hàm số: 3
2
2 2
2 2 2 2( ) ; 0 '( ) 2 0 1
xf x x x f x x x
x x x
- += - - " ¹ Þ = - + = = Û =
BBT
x
f x( )
f x( )
0 1
0+ + –
–3
Đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất 3mÛ > - .
Nhận xét: Trong bài toán trên, khi lập phương trình hoành độ giao điểm ta được phương trình bậc ba. Do
không nhẫm nghiệm được nên ta phải chuuyển vế cô lập m và xét hàm số.
3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị sau
a) (C): 2 4y x= - và (C'): 2 2y x x= - - b) (C): 3 21
3y x x= - và
5( ) : 3
3d y x= +
c) (C): 2 1
1
xy
x
-=
+ và ( ) : 3 1d y x= - - d) (C): y x= và ( ) : 2d y x= -
Bài 2. Tìm m để đường thẳng d y x m: = - + cắt đồ thị (C) của hàm số x
yx
2 1
1
-=
- tại hai điểm phân
biệt.
HD: m m1; 5< >
Bài 3. Tìm m để đồ thị (Cm): ( ) ( )3 2 23 1 2 4 1 4 ( 1)y x m x m m x m m= - + + + + - + cắt Ox tại 3
điểm phân biệt
HD: 1m ¹
Bài 4. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx m4 2 1= - + - cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
HD: m m1; 2> ¹
Bài 5. Tìm m để đồ thị hàm số y x x x3 26 9 6= - + - cắt đường thẳng d y mx m: 2 4= - - tại ba điểm
phân biệt.
HD: m 3> -
Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số 1
2 1
xy
x
- +=
+ (C) cắt đường thẳng : 2 1d y mx m= + - tại 2 điểm phân
biệt có hoành độ trái dấu.
HD: 0 1m< <
Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m m x m m3 2 2 2(4 5) (3 12 8) 7 8= - + + + + - - cắt trục hoành
tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
HD: m m m11
1; 5;10
= = - = -
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
23
Bài 8. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m x3 2(3 1) 2(3 1) 8= - + + - + + cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân.
HD: m m5
1;3
< - >
Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m4 22( 1) 2 1= - + + + cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập
thành cấp số cộng.
HD: m m4
4;9
= = -
Bài 10. Tìm m để đồ thị (Cm): ( )3 2 2 22 2 1 (1 )y x mx m x m m= - + - + - cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ đều dương.
HD: 2
13
m< <
Bài 11. Tìm m để đồ thị hàm số y x mx x m3 21 2
3 3= - - + + cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có
hoành độ thỏa x x x2 2 2
1 2 315+ + >
HD: m 1>
Bài 12. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x mx3 22 3( 1) 6 2= - + + - cắt trục hoành tại duy nhất một điểm.
HD: m1 3 1 3- < < +
Bài 13. Tìm m để đồ thị hàm số 3 23 3 3y x x mx m= - - + cắt đường thẳng 3 1y x= - - tại ba điểm
phân biệt.
HD: 1m >
Bài 14. Tìm m để đồ thị hàm số 3y x= cắt đồ thị hàm số 2y mx m= - tại ba điểm phân biệt.
HD: 3 3
2m >
Bài 15. Tìm m để đồ thị hàm số hàm số 3 2 4y x mx= + + cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
HD: 3m > - .
Bài 16. Tìm m để đồ thị hàm số y x x m x m3 23 (2 1) 4 2= - - - + + cắt trục hoành tại đúng hai điểm
phân biệt.
HD: m m5 1
;8 2
= - =
Bài 17. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x mx m3 23( 1) 3 1= - + + - + cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
trong đó ít nhất một điểm có hoành độ âm.
HD: CD CTy y
my
. 01 1
(0) 0
íï <ï Þ - < <ìï >ïî
Bài 18. Cho hàm số (C): 1
2
xy
x
-=
-. Tìm m để đường thẳng :d y x m= + cắt (C) tại hai điểm phân biệt
mà hai tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau.
Bài 19. Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;1) và có hệ số góc k . Tìm k để d cắt đồ thị hàm số x
yx
2 4
1
+=
-
tại hai điểm M N, sao cho MN 3 10=
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
24
HD: k k k3 41 3 41
3; ;16 16
- + - -= - = =
Bài 20. Tìm m để đường thẳng d y x m1
:2
= + cắt đồ thị (C) của hàm số x
yx
2
1=
- tại hai điểm phân biệt
A B, sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên đường thẳng d x y: 2 4 0+ - =
HD: m3
2= -
Bài 21. Tìm m để đường thẳng d y x1
: 22
= - cắt đồ thị (C) của hàm số mx
yx m
2 5+=
+ tại hai điểm phân
biệt A B, có hoành độ x x1 2; thỏa x x x2
1 1 29 8- = .
HD: m m5; 4= - =
Bài 22. Gọi A B, là giao điểm của đường thẳng d y x1
:6
= với đồ thị của hàm số x
yx
1
1
-=
+.Tìm những
điểm M thuộc đường phân giác thứ nhất sao cho MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất
HD: M7 7
;5 5
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
Bài 23. Cho hàm số 3 2
2
xy
x
+=
+ có đồ thị (C). Đường thẳng y x= cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Tìm
m để đường thẳng y x m= + cắt (C) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tứ giác ABCD là hình
bình hành.
HD: 10m =
Bài 24. Tìm m để đường thẳng d y x m: 1= - + - cắt đồ thị (C) của hàm số x
yx 1
=-
tại hai điểm phân
biệt A B, sao cho tam giác OA B nội tiếp đường tròn có bán kính R 2 2=
HD:m m1; 7= - =
Bài 25. Tìm m để đường thẳng d y: 1= cắt đồ thị của hàm số y x x mx3 23 1= + + + (1) tại ba điểm phân
biệt A B C(0;1), , sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B C, vuông góc nhau.
HD: 9 65
8m
±=
Bài 26. Cho hàm số (C): 4 2y x x= - . Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
( )2 24 1 1x x k- = -
Bài 27. Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): 4y x= + cắt đồ thị hàm
số 3 22 ( 3) 4y x mx m x= + + + + (C) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có
diện tích bằng 8 2 với điểm K(1; 3).
HD:1 137
2m
±=
Bài 28. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m4 22( 1) 2 1= - + + + cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có
hoành độ nhỏ hơn 3.
HD: m m1
; 12
= - ³
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
25
Bài 29. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m m x m m3 2 2 2(2 3) (2 9) 2 3 7= - + + - + - + - cắt trục hoành
tại ba điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ lớn hơn 1 và khoảng cách giữa hai điểm này
là lớn nhất
HD: m5
2=
Bài 30. Tìm m để đồ thị hàm số y x m x m4 22( 1) 2 1= - + + + cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
A B C D, , , lần lượt có hoành độ ( )x x x x x x x x1 2 3 4 1 2 3 4, , , < < < sao cho tam giác AKC có diện
tích bằng 4 , biết rằng K (3; 2)-
HD: m 4=
Bài 31. Chứng minh rằng đường thẳng d y x m: = - + luôn cắt đồ thị (C) của hàm số x
yx
2 1
2
+=
+ tại hai
điểm phân biệt A B, . Tìm m để đoạn AB ngắn nhất.
HD: m 0=
Bài 32. Tìm m để đường thẳng 2 2y m= - + cắt đồ thị hàm số 4 22( 1) 3y x m x= - + + tại đúng hai
điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8
HD: 3m = -
Bài 33. Chứng minh rằng đường thẳng : 2 – 0d x y m+ = luôn cắt đồ thị (C): 1
1
xy
x
+=
- tại A, B phân
biệt thuộc 2 nhánh của (C). Tìm m để AB đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 34. Tìm m để đồ thị hàm số 3 22 (3 1) 3y x x m x m= - - - + + cắt đường thẳng
(1 ) 5y m x m= - + - tại ba điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3
1x x x< < <
HD:7
2m >
Bài 35. Tìm m để đường thẳng d y m x: ( 2) 2= - - cắt đồ thị của hàm số y x x3 23 2= - + (1) tại ba
điểm phân biệt A B C(2; 2), ,- sao cho tích các hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B C,
đạt giá trị nhỏ nhất.
HD: m 1= -
IV. TIẾP TUYẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số ( )y f x= tại điểm 0 0
( ; )M x y có dạng:
0 0 0’( )( – )y f x x x y= + với
0’( )f x là hệ số góc của tiếp tuyến.
2. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ
Hai đồ thị (C): ( )y f x= và (D): ( )y g x= tiếp xúc với nhauÛ hệ phương trình ( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
í ¢ ¢ï =ïìï =ïî
có
nghiệm và số nghiệm của hệ phương trình là số hoành độ của điểm tiếp xúc.
3. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của (c) tại 0 0
( ; )M x y
Áp dụng công thức ( )( )0 0 0– ’ –y y f x x x=
Dạng 2: Lập phƣơng trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trƣớc
Ta chọn cách sau:
Tiếp tuyến có hệ số góc ( )0k f x k¢Û = . Giải phương trình tìm ( )0 0 0
x y f xÞ =
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
26
Thế vào phương trình tiếp tuyến ( )( )0 0 0– ’ –y y f x x x=
Chú ý: Tiếp tuyến song song với :d y ax b= + thì 0
'( )f x a=
Tiếp tuyến vuông góc với :d y ax b= + thì 0
'( ). – 1f x a = hay 0
1'( )f x
a= -
Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A(1 1;x y )
Ta chọn cách sau:
Gọi ( )0 0;M x y là tiếp điểm và tính ( )0 0
y f x= và ( )0’f x theo
0x .
Tiếp tuyến đi qua A(1 1;x y ) nên ( )( )1 0 0 1 0
– ’ –y y f x x x=
Giải phương trình tìm 0
x thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho hàm số 2 3
1
xy
x
- +=
- có đồ thị là ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại các giao
điểm của ( )C và đường thẳng 3y x= - .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 3
31
xx
x
- += -
- (1)
Điều kiện: 1x ¹
Khi đó: (1) 2 3 ( 3)( 1)x x xÛ - + = - - Û 2 2 0x x- = Û 0
2
x
x
é =êê =êë
Suy ra tọa độ các giao điểm là ( ) ( )0; 3 , 2; 1A B- -
Ta có:
( )2
1'
1
y
x
-=
-
Phương trình tiếp tuyến tại A là '(0)( 0) 3 3y y x y x= - - Û = - -
Phương trình tiếp tuyến tại B là '(2)( 2) 1y y x= - - 1y xÛ = - +
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là 3y x= - - và 1y x= - +
Ví dụ 2: Cho hàm số 2 1
2
xy
x
+=
- có đồ thị là ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết hệ số góc của
tiếp tuyến bằng 5- .
Lời giải
Gọi 0 0
( ; ) ( )M x y CÎ là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Ta có:
( )2
5'
2
y
x
-=
-
Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5- Û 0
'( ) 5y x = - Û
( )2
0
55
2x
-= -
-
Û 0
0
1
3
x
x
é =êê =êë
Với 0
1x = Þ 0
3y = - : 1(1; 3)M - Þ pttt: 5 2y x= - +
Với 0
3x = Þ 0
7y = : 2(3;7)M Þ pttt: 5 22y x= - +
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
27
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là 5 2y x= - + và 5 22y x= - + .
Ví dụ 3: Cho hàm số 3 23 2y x x= - + có đồ thị là ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng ( ) : 9 2y xD = + .
Lời giải
Ta có: 2' 3 6y x x= -
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng ( )D nên hệ số góc của tiếp tuyến là 9k =
Gọi 0 0
( ; ) ( )M x y CÎ là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Hệ số góc của tiếp tuyến 9k = Û 0
'( ) 9y x = Û 2
0 03 6 9 0x x- - = Û 0
0
1
3
x
x
é = -êê =êë
Với 0
1x = - Þ 0
2y = - : 1( 1; 2)M - - Þ pttt: y 9x 7= +
Với 0
3x = Þ 0
2y = : 2(3;2)M Þ pttt: ( )D (loại)
Vậy tiếp tuyến thỏa đề bài là 9 7y x= +
Ví dụ 4: Cho hàm số 2
2
xy
x
-=
+ có đồ thị là ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng ( ) : 2y xD = - + .
Lời giải
Ta có:
( )2
4'
2
y
x
=
+
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )D nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1k =
Gọi 0 0
( ; ) ( )M x y CÎ là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Hệ số góc của tiếp tuyến 1k = Û 0
'( ) 1y x = Û
( )2
0
41
2x
=
+
Û ( )2
02 4x + =
Û 0 0
0 0
2 2 0
2 2 4
x x
x x
é é+ = =ê êÛê ê+ = - = -ê êë ë
Với 0
0x = Þ 0
1y = - : 1(0; 1)M - Þ pttt: 1y x= +
Với 0
4x = - Þ 0
3y = : 2( 4;3)M - Þ pttt: 7y x= +
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là 1y x= + và 7y x= +
Ví dụ 5: Lập phương trình tiếp tuyến của (C): ( ) 3 – 3 2y f x x x= = + biết rằng tiếp tuyến đi qua (2; –4)A
Lời giải
Gọi 0 0
( ; )M x y là tiếp điểm .
Ta có 3 2
0 0 0 0 0– 3 2 ’( ) 3 – 3y x x à f x x= + =v
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
3 2 2 3
0 0 0 0 0 0– ( – 3 2) (3 – 3)( – ) (3 3) 2 2y x x x x x y x x x+ = Û = - - + (1)
Vì tiếp tuyến đi qua A(2;– 4) , nên 2 3 3 2
0 0 0 0 0 0– 4 (3 – 3).2 – 2 2 3 0 0; 3x x x x x x= + Û - = Û = =
Khi 0
0x = : Phương trình tiếp tuyến là –3 2y x= +
Khi 0
3x = : Phương trình tiếp tuyến là 24 – 52y x=
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
28
Ví dụ 6: Cho hàm số 3 2 1y x mx= + + có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt : – 1d y x= + tại ba điểm phân
biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là:
3 2 22
01 – 1 ( 1) 0
1 0
xx mx x x x mx
x mx
é =ê+ + = + Û + + = Û ê
+ + =êë
Đặt 2( ) 1g x x mx= + + . d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt ( ) 0g xÛ = có hai nghiệm phân biệt
khác 0 ( )
2 24 0
20 1 0
mg m
mg
í éï >D = - >ïï êÛ Ûì êï < -= ¹ êï ëïî
.
Vì ,B C
x x là nghiệm của ( ) 01
B C
B C
S x x mg x
P x x
íï = + = -ï= Þ ìï = =ïî
.
Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: ( ) ( ) 1C B
f x f x¢ ¢ = -
( )( )3 2 3 2 1B C B C
x x x m x mÛ + + = - ( ) 29 6 4 1B C B C B C
x x x x m x x mé ùÛ + + + = -ê úë û
( ) 21 9 6 4 1m m mé ùÛ + - + = -ê úë û 22 10mÛ = 5mÛ = ± (nhận so với điều kiện)
Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
2 3
xy
x
+=
+ biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục
tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.