Chuyen de Ham So Mu Va Logarit

Më ®Çu

Trong ch¬ng tr×nh m«n to¸n THPT, ®Æc biÖt trong ch-¬ng tr×nh ®æi míi s¸ch gi¸o khoa th× ph¬ng tr×nh, bÊt ph-¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit ®îc ®a vµo s¸ch gi¸o khoa líp 12. Do vËy, nã ®ãng mét tÇm kh¸ quan träng trong c¸c ®Ò thi tèt nghiÖp vµ ®Ò thi vµo c¸c trêng trung cÊp, cao ®¼ng hay ®¹i häc. Tríc ®©y, ta thêng sö dông §Þnh lÝ ®¶o vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai ®Ó so s¸nh mét sè víi c¸c nghiÖm cña tam thøc bËc hai. HiÖn nay trong ch¬ng tr×nh THPT kh«ng ®a §Þnh lÝ ®¶o vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai vµo n÷a. Trong chuyªn ®Ò phÇn ph¬ng tr×nh, bÊt ph-¬ng tr×nh vµ hÖ cã chøa tham sè t«i cã ®Ò cËp ®Õn c¸ch gi¶i quyÕt bµi to¸n trªn mµ kh«ng sö dông §Þnh lÝ ®¶o vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai. Bµi viÕt gåm c¸c phÇn A. KiÕn thøc c¬ b¶n. B. Ph¬ng tr×nh mò vµ l«garitI. Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh mòII. Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh l«garitIII. Ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit cã chøa tham sèC. BÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garitI. Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garitII. BÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit cã chøa tham sèD. HÖ ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit Víi kinh nghiÖm cßn cha nhiÒu ch¾c ch¾n bµi viÕt sÏ cã Ýt nhiÒu sai sãt, mong c¸c b¹n bæ sung vµ söa ch÷a gióp.

B¾c Ninh th¸ng 2 n¨m 2009 Ngêi viÕt

NguyÔn LÖ Hoµi Trêng THPT Hµn Thuyªn §iÖn tho¹i: 01687020334.

PhÇn A. KiÕn thøc c¬ b¶n

I. §Þnh nghÜa luü thõa vµ c¨n. Víi n nguyªn d¬ng, c¨n bËc n cña sè thùc a lµ sè thùc b sao cho bn = a.. Víi n nguyªn d¬ng lÎ vµ a lµ sè thùc bÊt k×, chØ cã mét c¨n bËc n cña a, kÝ hiÖu lµ . Víi n nguyªn d¬ng ch½n vµ a lµ sè thùc d¬ng, cã ®óng hai c¨n bËc n cña a lµ hai sè ®èi nhau; c¨n cã gi¸ trÞ d¬ng kÝ hiÖu lµ , c¨n cã gi¸ trÞ ©m kÝ hiÖu lµ - .. Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n.

Sè mò C¬ sè a Luü thõa a

= a0=1

a > 0

a > 0

II. TÝnh chÊt cña luü thõa.Gi¶ thiÕt r»ng mçi biÓu thøc ®îc xÐt ®Òu cã nghÜa.

am.an = am+n; ; (am)n = amn

(a.b)n = an.bn;

III. TÝnh chÊt cña l«garit Gi¶ thiÕt mçi biÓu thøc ®îc xÐt ®Òu cã nghÜa.. loga1 = 0; logaa = 1; ; logaab = b.

. loga(bc) = logab + logac; ; logabn =

nlogab.

. hay logab.logbc=logac.

IV. Hµm sè mò y=ax(a>0,a≠1)

a>1 0<a<1

. y’>0 víi mäi x

. Hµm sè ®ång biÕn trªn R

. ;

. B¶ng biÕn thiªn

. §å thÞ

. y’>0 víi mäi x

. Hµm sè nghÞch biÕn trªn R

. ;

. B¶ng biÕn thiªn

V. Hµm sè logarit y = logax (a > 0 vµ a ≠ 1)

a>1 0<a<1. y’>0 víi mäi . Hs ®ång biÕn trªn

.

. B¶ng biÕn thiªn

. y’<0 víi mäi

. Hs nghÞch biÕn trªn

.

. B¶ng biÕn thiªn

y=ax

+

x -

1

y

x

0

-

1

y

x

0

+

x

y=ax

0

0

+

. §å thÞ

. §å thÞ

PhÇn B. Ph¬ng tr×nh mò vµ l«garitI. Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh mò vµ pt logarit

. Ph¬ng tr×nh mò c¬ b¶n ax = m (0 < a ≠ 1)

. NÕu th× ph¬ng tr×nh ax = m v« nghiÖm

. NÕu m > 0 th× ph¬ng tr×nh ax = m cã mét nghiÖm duy nhÊtNÕu m 1. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ cïng c¬ sè Ta cã tÝnh chÊt: ;C¸c tÝnh chÊt ®ã cho phÐp ta gi¶i mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh mò b»ng c¸ch ®a c¸c luü thõa trong ph¬ng tr×nh vÒ luü thõa víi cïng mét c¬ sè.

VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh (0,75)2x-3 =

(1)Lêi gi¶i.

Ph¬ng tr×nh (1)

2x-3=x-5 x =-2.VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = -2VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3x +1 + 3x +2 + 3x +3 = 9.5x + 5x+1 + 5x+2 (2).Lêi gi¶i:

x 0 +y=logax

+

-

x

y

0 1

x 0 +y=logax

-+

x

y

01

Ph¬ng tr×nh (2) 3x .39 = 5x .39 x = 0.

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 0. Bµi tËp t¬ng tù: 1) 2x.3x-1.5x-2=12; 2) 5x+5x+1+5x+3=3x+3x+3-3x+1.

2. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô Môc ®Ých cña ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô lµ chuyÓn c¸c bµi to¸n ®· cho vÒ PT h÷u tØ ®· biÕt c¸ch gi¶i.VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1)Lêi gi¶i. §iÒu kiÖn cosx ≠ 0. NhËn xÐt . §Æt t = th× ph¬ng

tr×nh (1) cã d¹ng t = vµ t = .

. Víi t = th× tanx =1 (t/m®k).

. Víi t = th× (t/m®k).

VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm vµ ( )

VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3.49x + 2.14x - 4x = 0 (4)Lêi gi¶i: Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho 4x > 0, ta ®îc

(4)

(*)

§Æt , ph¬ng tr×nh (*) cã d¹ng 3.t2 + 2.t – 1 = 0

t = -1(lo¹i) vµ t = 1/3.

Víi t = 1/3 th× .

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

VÝ dô 3: T×m nghiÖm x < 1 cña ph¬ng tr×nh 32 x - 2 + 3x -1 (3x - 7) – x + 2 = 0Lêi gi¶i.§Æt t = 3x-1 (t > 0), ph¬ng tr×nh cã d¹ng 3t2 + (3x - 7).t + 2 – x = 0.Coi ph¬ng tr×nh trªn lµ ph¬ng tr×nh Èn t vµ tham sè x. Khi ®ã biÖt sè . Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm t = 1/3 vµ t = -x + 2Víi t = 1/3 th× 3x -1 = 1/3 x = 0

Víi t = -x + 2 th× 3x -1 = 2 - x. Ta thÊy x < 1 th× 3x-1 < 1, cßn 2 – x > 1 suy ra ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.VËy ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 0.VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh Lêi gi¶i. §Æt u = , v = (u > 0, v > 0). Khi ®ã u.v = 27- 5x = 2.26-5x Ph¬ng tr×nh trë thµnh u + v = u.v + 1 (u - 1)(v - 1) = 0 u =1 hoÆc v = 1.. Víi u =1 th× =1 x2 - 5x + 6 = 0 x = 2 hoÆc x = 3. Víi v =1 th× =1 1 – x2 = 0 x = 1 hoÆc x = -1.VËy ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm x = -1, x = 1, x = 2, x = 3.Lu ý: 1. PT cã d¹ng víi , ta th-êng ®Æt (xem vÝ dô 1).2. PT cã d¹ng , ta thêng chia c¶ hai vÕ cho v2.f(x)

Råi ®Æt (xem vÝ dô 2).

3.Nh÷ng PT sau khi ®Æt Èn phô cho mét biÓu thøc th× c¸c biÓu thøc cßn l¹i kh«ng biÓu diÔn ®îc triÖt ®Ó hoÆc biÓu diÔn qu¸ phøc t¹p. Khi ®ã ta thêng ®îc mét ph¬ng tr×nh bËc hai theo Èn phô cã biÖt sè chÝnh ph¬ng (xem vÝ dô 3).4. §èi víi mét sè bµi to¸n ta lùa chän Èn phô vµ ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch (xem vÝ dô 4)Bµi tËp t¬ng tù: 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x ; 2)

; 3) ; 4)

5) ; 6)

3. Ph¬ng ph¸p logarit ho¸ Ph¬ng ph¸p l«garit ho¸ rÊt cã hiÖu lùc khi hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cã d¹ng tÝch c¸c luü thõa nh»m chuyÓn Èn sè khái sè mò.VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh Lêi gi¶i. Hai vÕ cña ph¬ng tr×nh ®Òu d¬ng, lÊy l«garit c¬

sè 5 c¶ hai vÕ ta ®îc ph¬ng tr×nh 7x = 5x .log57

VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §K x ≠ - 2. L«garit c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh theo c¬ sè 3, ta ®îc

x = 1 hoÆc x = 2(1 + log32).Lu ý: Khi lÊy l«garit ho¸ hai vÕ, ta thêng l«garit theo c¬ sè ®· cã s½n trong bµi Bµi tËp t¬ng tù: 1) ; 2)

;

3) ; 4)

4. Ph¬ng ph¸p hµm sè C¸c bµi to¸n d¹ng nµy thêng ®îc sö dông mét trong ba tÝnh chÊt sau( chó ý hµm sè f(x) liªn tôc trong tËp c¸c ®Þnh)TÝnh chÊt 1: NÕu hµm y = f(x) t¨ng hoÆc gi¶m trong kho¶ng (a; b) th× ph¬ng tr×nh f(x) = k ( ) cã kh«ng qu¸ mét nghiÖm trong kho¶ng (a; b).TÝnh chÊt 2: NÕu hµm y = f(x) t¨ng trªn kho¶ng (a;b) vµ y = g(x) lµ hµm gi¶m trªn (a;b). Do ®ã nÕu tån t¹i ®Ó f(x0) = g(x0) th× ®ã lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh.TÝnh chÊt 3: NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc, t¨ng hoÆc gi¶m trªn (a;b) th× víi mäi u,v (a; b).VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3x+1 = 3 - x Lêi gi¶i. §K x < 3. NhËn xÐt: . VÕ tr¸i f(x) = 3x +1 lµ hµm ®ång biÕn trªn R. VÕ ph¶i g(x) = 3 - x lµ hµm nghÞch biÕn trªn R.. x = 0 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh ThËt vËy: Víi x > 0 th× 3x+1 > 3; 3 – x < 3

Víi x < 0 th× 3x+1 < 3; 3 – x > 3.VËy x = 0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh .

Lêi gi¶i. Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho 3x , ta ®îc

NhËn xÐt vÕ tr¸i f(x) = lµ hµm nghÞch biÕn trªn R.

x = 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

Víi x > 2 th× <1

Víi x < 2 th× >1.

VËy x = 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh Lêi gi¶i. Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi §Æt u = x - 1; v = x2 - x. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng 2u + u = 2v + v (2)XÐt hµm sè f(t) = 2t + t ®ång biÕn vµ liªn tôc trªn R.Ph¬ng tr×nh (2) f(u) = f(v) u = v x2 – x = x – 1 x2 - 2x + 1 = 0 x = 1.VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1.VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1)Lêi gi¶i. §k x > 0. ¸p dông c«ng thøc . Khi ®ã

(1) (2).§Æt t = log2x suy ra x = 2t . Khi ®ã ph¬ng tr×nh (2) 32t = 4t .3t - 3t 9t + 3t = 12t . Chia c¶ hai vÕ cho 12t vµ ¸p dông c¸ch gi¶i cña vÝ dô 2.Bµi tËp t¬ng tù: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh1) 22x-1 + 32x + 52x+1 = 2x + 3x+1 + 5x+2 ; 2)

5. Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh Lêi gi¶i. Ta cã x2 ≥ 0 suy ra

Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi hÖ

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 0.Lu ý: Ngoµi ph¬ng ph¸p nhËn xÐt ®¸nh gi¸ nh trªn, ta cã thÓ sö dông §Þnh lÝ R«n: NÕu hµm sè y = f(x) låi hoÆc lâm trªn kho¶ng (a;b) th× PT f(x) = 0 cã kh«ng qu¸ hai nghiÖm thuéc (a;b).VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3x + 5x = 6x + 2Lêi gi¶i. Ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng víi 3x + 5x - 6x – 2 = 0.XÐt hµm sè f(x) = 3x + 5x - 6x - 2, víi x R.Ta cã f’ (x) = 3x .ln3 + 5x .ln5 - 6, f’’ (x) = 3x .ln2 3 + 5x .ln2 5 > 0 víi mäi x R.

Nh vËy, hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ cã ®å thÞ lâm trªn R nªn theo §Þnh lÝ R«n ph¬ng tr×nh cã tèi ®a 2 nghiÖm trªn R. NhËn thÊy f(0) = f(1) = 0. VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 0, x = 1.VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2003x + 2005x = 2.2004x

Lêi gi¶i. Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi 2003x - 2004x = 2004x - 2005x.Gäi a lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, khi ®ã ta cã 2003a - 2004a = 2004a - 2005a

(2).XÐt hµm sè f(t) = ta - (t + 1)a, víi t > 0. DÔ thÊy hµm sè f(t) liªn tôc vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (2003; 2005). Do ®ã, theo §Þnh lÝ Lagrange tån t¹i c (2003; 2005) sao cho f’(c) = 0

a[ca-1 - (c + 1)a-1] = 0

Thö l¹i ta thÊy x = 0, x =1 ®Òu tho¶ m·n.Lu ý: Bµi to¸n trªn ta sö dông §Þnh lÝ Lagrange: NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a;b] vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng

(a;b) th× tån t¹i mét ®iÓm sao cho

Bµi tËp t¬ng tù: 1) ; 2) 6x + 2x = 5x + 3x; 3) 9x+3x=10x+2;

II. Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh Logarit Ph¬ng tr×nh logarit c¬ b¶n cã d¹ng logax = m. Víi mçi gi¸ trÞ tuú ý cña m, ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = am.

1. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ cïng c¬ sèNÕu th×

VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh

(1)

Lêi gi¶i. Ph¬ng tr×nh (1)

(2)

NÕu x ≥ 1 th× hÖ (2)

. Gi¶i hÖ t×m ®îc nghiÖm

NÕu x < 1 th× hÖ (2) t¬ng ®¬ng víi

. Gi¶i hÖ t×m ®îc nghiÖm .

VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm vµ .

VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh log3[1 + log3(2x - 7)] = 1 (1)Lêi gi¶i. (1) 1 + log3(2x - 7) = 3 log3(2x - 7) = 2 2x-7 = 9 2x = 16 x = 4.VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh log2x + log3x + log4x = log20x.Lêi gi¶i. §k: x > 0.Dïng c«ng thøc ®æi c¬ sè, ta ®îc

log2x + log2x.log32 + log2x.log42 = log2x.log202. (1 +log32 + log42 - log202).log2x = 0 log2x = 0 x = 1(t/m®k).

Lu ý:1. PT logf(x)g(x)=b (xem vÝ dô 1)2. NÕu PT cã d¹ng logax + logbx + logcx + logdx = 0, c¸c c¬ sè a, b, c, d kh«ng biÓu diÔn luü thõa qua nhau. Khi ®ã ta dïng c«ng thøc ®æi c¬ sè ®Ó ®a chóng vÒ cïng mét c¬ sè vµ ¸p dông c¸c phÐp to¸n trªn logarit (xem vÝ dô 3)VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §k:

Víi ®iÒu kiÖn trªn ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi (2).

. NÕu x ≥ -1 th× (2) x2 + 4x – 12 = 0 x = 2 hoÆc x = -6.KÕt hîp ®k ta ®îc x = 2.. NÕu x < -1 th× (2) x2 - 4x – 20 = 0 .KÕt hîp ®iÒu kiÖn ta ®îc .VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x =2 vµ .Lu ý: §iÒu kiÖn cña PT cha ®¶m b¶o x > 0 th× logax2 = 2.

Bµi tËp t¬ng tù: 1)

2) ; 3) log3x + log4x = log12x2. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phôVÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh log2(2x - 1).log1/2(2x+1 - 2) = -2.Lêi gi¶i. §k: x > 0.

Víi ®Òu kiÖn trªn ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi log2(2x - 1).[- log22.(2x - 1)] = -2

log2(2x - 1).[- 1 - log2(2x - 1)] = -2 (1)§Æt t = log2(2x - 1). Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh t2 + t – 2 = 0 t = 1 hoÆc t = -2.. Víi t = 1 th× log2(2x - 1) = 1 2x – 1 = 2 2x = 3 x = log23(tm®k). Víi t = -2 th× log2(2x - 1) = -2 2x – 1 = 1/4 2x = 5/4 x = log25/4(tm®k).VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = log23 vµ x = log25/4.VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Lêi gi¶i. §k:x > 0.§Æt t = , t ≥ 1. Ph¬ng tr×nh trë thµnh t2 + t – 6 = 0 t = 2 hoÆc t = 3 < 0 (lo¹i).

. Víi t = 2 th× =2 log32x = 3

(tm®k).VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm vµ VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh log2x-1(2x2 + x - 1) + logx+1(2x - 1)2

= 4Lêi gi¶i. Ph¬ng tr×nh ®· cho viÕt ®îc thµnh log2x-1(2x - 1).(x + 1) + logx+1(2x -1)2 = 4 (1)

§k: (*) .

Víi ®iÒu kiÖn (*), ph¬ng tr×nh (1) log2x-1(x + 1) + 2logx+1(2x - 1) – 3 = 0.§Æt t = log2x-1(x + 1), do ®iÒu kiÖn (*) nªn t ≠ 0.

Ph¬ng tr×nh trë thµnh t2 - 3t + 2 = 0 t = 1 hoÆc t

= 2.. Víi t = 1 th× log2x-1(x + 1) = 1 x + 1 = 2x - 1 x = 2 (tm®k).. Víi t = 2 th× log2x-1(x + 1) = 2 x + 1 = (2x - 1)2 4x2 - 5x = 0 x = 0(lo¹i) hoÆcx = 5/4(tm®k).VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 2 vµ x =5/4.Lu ý: 1. Trong ph¬ng tr×nh cã chøa c¨n th× c¸ch ®Æt Èn phô cÇn khÐo lÐo ®Æt ®Ó pt cña Èn phô kh«ng cßn chøa c¨n. §èi víi vÝ dô 2 nÕu ta ®Æt t=log3x th× pt vÉn chøa c¨n, nhng nÕu ®Æt t= ,th× PT cña Èn phô rÊt ®¬n gi¶n.

2. NÕu PT cã chøa logab vµ logba th× ta ®Æt logab=t th× logba =1/t. (xem vÝ dô 3).VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1)Lêi gi¶i. §k x > 0. §Æt t = log2x suy ra x = 2t.Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh (2)NhËn xÐt: , nªn pt (2) t¬ng ®¬ng víi

Víi t = 0 th× x = 1. VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1.

VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh

(1)Lêi gi¶i. §k: x > 0, x ≠ 1/4, x ≠ 1/16, x ≠ 2(*)Víi ®iÒu kiÖn trªn ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi

(2)NhËn thÊy x =1 lu«n lµ nghiÖm cña pt.

Víi 0 < x ≠ 1, pt (2)

§Æt t = logx2, ph¬ng tr×nh trªn trë thµnh

(3) Do ®iÒu kiÖn (*) nªn pt lu«n cã nghÜa.(3) 2t2 + 3t – 2 = 0 t = 1/2 hoÆc t = -2(tm®k)

. Víi t = -2 th× logx2 = -2

. Víi t = 1/2 th× logx2 = 1/2 x = 4.

KÕt hîp ®k ta ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = 4, x =

Bµi tËp t¬ng tù:

1) ; 2)

3) 3. Ph¬ng ph¸p hµm sè VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh log5x = log7(x + 2)Lêi gi¶i. §k x > 0. §Æt t = log5x = log7(x + 2)

Suy ra

XÐt ph¬ng tr×nh 5t + 2 = 7t. Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng

tr×nh cho 7t , ta ®îc .

f(t)= lµ hµm nghÞch biÕn trªn R, t = 1 lµ nghiÖm cña

ph¬ng tr×nh Víi t > 1 th× f(t) < 1. Víi t < 1 th× f(t) > 1.VËy t = 1 th× x = 5.VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Lêi gi¶i. §k x > 0. §Æt t = , suy ra

chia c¶ hai vÕ cña (2) cho ta ®îc .

VÕ tr¸i lµ hµm nghÞch biÕn vµ t = 12 lµ nghiÖm.Víi t = 12 th× x = 212 Lu ý: 1. Víi PT d¹ng logau = logbv, ta thêng gi¶i nh sau:

§Æt t = logau = logbv ; sö dông ph¬ng ph¸p thÕ ®Ó ®-

a vÒ mét ph¬ng tr×nh mò; t×m t (th«ng thêng PT cã nghiÖm duy nhÊt); suy ra x.2. §èi víi vÝ dô 2 h/s cÇn chó ý c¸ch nhÈm nghiÖm: VÕ tr¸i cña PT cã chøa c¨n bËc 3 vµ c¨n bËc 2, vÕ ph¶i lµ mét sè nguyªn. Do ®ã khi t×m nghiÖm ph¶i t×m t lµ béi cña 6.

VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §Æt u = x2 + x + 1; v = 2x 2- 2x + 3 (u > 0, v > 0) suy ra v – u = x2 - 3x + 2.

PT ®· cho trë thµnh log3u - log3v = v-u

log3u + u = log3v + v (1). XÐt hµm sè f(t) = log3t + t, ta cã

nªn hµm sè ®ång biÕn khi t > 0.

Tõ (1) ta cã f(u) = f(v), suy ra u = v hay v-u=0, tøc lµ x2-3x+2=0.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1,x = 2.

Lu ý: Víi ph¬ng tr×nh d¹ng víi u > 0, v > 0 vµ 1 < a,

ta thêng biÕn ®æi logau - logav = v – u logau + u = logav. V× hµm sè f(t) = logat + t ®ång biÕn khi t > 0, suy ra u = v.Bµi tËp t¬ng tù: 1) ; 2) log5x + log3x = log53.log9225

3) ; 4)

4. Ph¬ng ph¸p kh¸c VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 6x = 1 + 2x + 3log6(1 + 5x).Lêi gi¶i. §k x > -1/5. §Æt a = log6(5x + 1), suy ra 5x + 1 = 6a.

Ta cã hÖ

Trõ vÕ víi vÕ cña hai ph¬ng tr×nh, ta ®îc 6a - 6x = 3x - 3 a 6a + 3a = 6x + 3x (2). XÐt hµm sè f(t) = 6t + 3t liªn tôc vµ ®ång biÕn víi mäi t.Ph¬ng tr×nh (2) ®îc viÕt díi d¹ng f(a) = f(x) a = x log6(5x + 1) = x 5x + 1 = 6x 6x - 5x – 1 = 0.XÐt hµm g(x) = 6x - 5x - 1, víi x > -1/5. Ta cã g’(x) =6x.ln6-5, g’’(x)=6x .ln2 6> 0 víi mäi x. Theo ®Þnh lÝ R«n ph¬ng tr×nh cã

tèi ®a hai nghiÖm trªn . NhËn xÐt r»ng g(0) = g(1)

= 0.VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 0, x = 1.VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Lêi gi¶i. §k -5 ≤ x ≤ 4. Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki ta cã:

.

Do ®ã ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi

.

VËy x = -1/2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.Bµi tËp t¬ng tù: 1) log2[3log2(3x - 1) - 1] = x; 2) 7x-1 = 6log7(6x - 5) + 1III. Ph¬ng tr×nh mò vµ ph¬ng tr×nh logarit cã chøa tham sè VÝ dô 1: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 4sinx + 21+sinx – m = 0 cã nghiÖm

Lêi gi¶i. §Æt t = 2sinx ,

Ph¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng t2 + 2t – m = 0 t2 + 2t = m.

XÐt f(t) = t2 + 2t, f’(t) = 2t + 2 > 0 víi mäi , do ®ã hµm

sè ®ång biÕn víi

Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

.

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi

VÝ dô 2: T×m a ®Ó 3/4ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm (1)

Lêi gi¶i. §Æt x = . V× nªn 3 ≤ x ≤ 9.Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng x2 - (a + 2).x + 2a + 1 = 0

do x nªn x ≠ 2.

XÐt f(x) = víi x , ,

Ta cã b¶ng biÕn thiªn

Tõ b¶ng biÕn thiªn ta ®îc

Lu ý: 1. Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a;b). Khi ®ã Pt f(x) = m cã nghiÖm 2. Víi vÝ dô 1 chóng ta c« lËp ®îc tham sè m ngay vµ sö dông lu ý 1. §èi víi vÝ dô 2 sè mò cña tham sè a lµ gièng nhau, do ®ã ta rót a qua x ®îc a = f(x). LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè y = f(x), tõ ®ã suy ra ®¸p sè. §èi víi ph¬ng tr×nh kh«ng c« lËp ®îc tham sè m vµ kh«ng cã c«ng cô §Þnh lÝ ®¶o ta sÏ sö lÝ ra sao?Chóng ta cïng xem vÝ dô 3.VÝ dô 3: Cho ph¬ng tr×nh

.

47

64

f’(x)

+x

f(x)

- 1 2 3 9

- - + ++ 0 0

T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt tho¶ m·n 4 < x 1< x2 < 6.

Lêi gi¶i. §Æt t = , ph¬ng tr×nh cã d¹ng

m.t2 - 2(m2 + 1).t + m3 + m + 2 = 0 (1)

Yªu cÇu bµi to¸n t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt tho¶ m·n -1 < t1 < t2(*)C1: m ≠ 0, ta cã =(m - 1)2 ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm

vµ . Khi ®ã (*)

VËy 0 < m ≠ 1 tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n C2: Ta chuyÓn vÒ bµi to¸n so s¸nh víi sè 0.§Æt X = t + 1 suy ra t = X - 1, ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh

m.X2 - 2(m2 + m + 1).X + m3 + 2m2 + 2m + 4 = 0 (2)

(*) t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt

C3:(*)

Gi¶i hÖ trªn ta ®îc kÕt qu¶ 0 < m ≠ 1.Lu ý: §èi víi PT trªn c¸c luü thõa cña tham sè m kh«ng gièng nhau nªn ta kh«ng thÓ c« lËp ®îc tham sè. V× vËy ta cã thÓ cã c¸c híng sau:Híng 1: TÝnh trùc tiÕp c¸c nghiÖm vµ so s¸nh nã víi 1

Híng 2: §Æt X = t + 1 vµ chuyÓn vÒ bµi to¸n so s¸nh víi sè 0.PT cã nghiÖm -1< t1 < t2 khi vµ chØ khi PT Èn X cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt.PT cã nghiÖm t1 < t2 < 0 khi vµ chØ khi PT Èn X cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt.PT cã nghiÖm t1 < 0 < t2 khi vµ chØ khi PT Èn X cã hai nghiÖm tr¸i dÊuHíng 3: Ta sö dông kÕt qu¶

<t1<t2

-

VÝ dô 4: Cho ph¬ng tr×nh (m - 4).9x - 2(m - 2).3x + m – 1 = 0 (1)

a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt tho¶

m·n x1 + x2 = 3Lêi gi¶i. §Æt t = 3x, (t > 0)Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh (m - 4).t2 - 2(m - 2).t + m – 1 = 0 (2)a) Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu khi vµ chØ khi ph-

¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm ph©n biÖt tho¶ m·n 0 < t1 < 1 < t2 (*)

C1: Víi m ≠ 4, . §Ó tho¶ m·n (*) th× m > 0. Khi ®ã ph-

¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm lµ

vµ

Ta nhËn thÊy 0 < t2 < 1 víi mäi m > 0. VËy ®Ó tho¶ m·n (*) ta

cÇn cã t1 > 1

VËy m > 4 tho¶ m·n bµi C2: (*) t¬ng ®¬ng víi

VËy m>4 tho¶ m·n bµiC3: C« lËp tham sè m Phong tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi m(t2 - 2t + 1) = 4t2 - 4t + 1, do

t = 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm nªn . XÐt hµm sè f(t) =

víi t > 0.

Ta cã , f’(t) = 0 khi t = 1/2. Do ®ã cã b¶ng biÕn

thiªn

Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra m > 4.b) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt vµ tho¶ m·n

t1.t2 = 27 .

VÝ dô 5: T×m a ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt log5(ax) = 2.log5(x + 1) (1) Lêi gi¶i. Ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng víi

Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (*) cã ®óng mét nghiÖm lín h¬n -1. Ta cã NÕu = 0 th× a = 0 hoÆc a = 4.

+11/2t - 0

f’(t)

f(t)

0

+

10

+

4

+

Víi a = 0 pt cã mét nghiÖm x = -1(lo¹i). Víi a = 4 pt cã mét nghiÖm x = 1(tm).NÕu > 0 th× a < 0 hoÆc a > 4. Khi ®ã pt cã hai nghiÖm ph©n biÖt

x1=

x2=

NhËn xÐt: . NÕu a < 0 th× x2 < -1, do ®ã ®Ó tho¶ m·n bµi th× x1 > - 1

(lu«n ®óng do a < 0).. NÕu a > 4 th× x1 > -1, do ®ã ®Ó tho¶ m·n bµi th× x2 < -1

(v« lÝ do a > 4)VËy a = 4 hoÆc a < 0 tho¶ m·n bµi

C2: (*) , do x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña pt.

XÐt hµm sè f(x) =

Chóng ta cã thÓ gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p lËp b¶ng biÕn thiªn.C3: TH1: ta t×m thÊy a=4 tho¶ m·n.TH2: , pt cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ ®Ó tho¶ m·n bµi ta cÇn cã .NÕu pt cã nghiÖm x = -1 th× a = 0. Víi a = 0 thay vµo ta ®îc pt x2 + 2x +1 = 0 suy ra x = -1 (lo¹i)NÕu .VËy a < 0 hoÆc a = 4.

VÝ dô 6: T×m m ph¬ng tr×nh cã 3

nghiÖm ph©n biÖt Lêi gi¶i. §k m < 0 hoÆc m > 2.

L«garit ho¸ hai vÕ theo c¬ sè , ta ®îc ph¬ng tr×nh t¬ng

®¬ng víi

XÐt hµm sè g(x) = , ta cã

Do ®ã ta cã ®å thÞ sau

Tõ ®å thÞ suy ra ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm ph©n biÖt

Tm®k

Lu ý: PT d¹ng af(x)=m, ®Ó biÖn luËn nã ta sña dông ph¬ng ph¸p lÊy l«garit ho¸ hai vÕ theo c¬ sè a vµ ®a vÒ Pt ®¹i sè.VÝ dô 7: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm

Lêi gi¶i. Ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng víi

(1)XÐt f(t) = 5t + t, f’(t) = 5t.ln5 + 1 > 0 víi mäi t. Do ®ã f(t) lµ hµm liªn tôc vµ ®ång biÕn víi mäi t.Ph¬ng tr×nh (1) f(x2 + 2mx + 2) = f(2x2 + 4mx + m + 2)

x2 + 2mx +2 = 2x2 + 4mx + m + 2 x2 + 2mx + m = 0 (2)

Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi pt (2) cã nghiÖm = m2 – m > 0 m < 0 hoÆc m > 1.VÝ dô 8: T×m x ®Ó ph¬ng tr×nh sau nghiÖm ®óng víi mäi a (1)Lêi gi¶i. . §iÒu kiÖn cÇn Gi¶ sö (1) nghiÖm ®óng víi mäi a suy ra còng ®óng víi a = 0.Víi a = 0, ta ®îc: (1)

x1 5

4

y

0

VËy x =1 lµ ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi a.. §iÒu kiÖn ®ñ Víi x =1, ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng (lu«n ®óng)VËy x = 1 lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi aLu ý: Ngoµi c¸c ph¬ng ph¸p trªn, th× ®èi víi c¸c bµi to¸n cÇn t×m ®k cña x ®Ó bµi to¸n ®óng víi mäi tham sè , ta th-êng sö dông ph¬ng ph¸p ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ.Bµi tËp t¬ng tù: 1) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh

cã nghiÖm

2) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt 3) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm

4) T×m x ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm ®óng víi mäi a. PhÇn C. BÊt ph¬ng tr×nh mò vµ logaritI. Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garitCòng gièng nh ph¬ng tr×nh mò vµ PT l«garit, bÊt PT mò vµ l«garit còng cã c¸ch gi¶i t¬ng tù. Chóng ta cã lu ý sau:. BÊt ph¬ng tr×nh mò NÕu a >1 th× .NÕu 0 < a < 1 th× .. BÊt ph¬ng tr×nh l«garit

NÕu a > 1 th×

NÕu 0 < a < 1 th×

1. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ cïng c¬ sè

VÝ dô 1: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §k: x ≤ 0 hoÆc x ≥ 2. Khi ®ã bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi

(1)NÕu x ≤ 0 th× , khi ®ã pt (1) (l®óng v× x ≤ 0)NÕu x ≥ 2 th× , khi ®ã pt(1)

x2 - 2x – 1 ≥ 0

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta ®îc .VÝ dô 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh logx(5x2 - 8x + 3) > 2 Lêi gi¶i. BÊt ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng víi

Lu ý: Víi bÊt pt d¹ng logf(x)g(x)>a, ta xÐt hai trêng hîp cña c¬ sè 0<f(x)<1 vµ 1<f(x).VÝ dô 3: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh Lêi gi¶i. §k x > 0.Ta sö dông phÐp biÕn ®æi . Khi ®ã bÊt ph-¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi . LÊy l«garit c¬ sè 3 hai vÕ, ta ®îc:

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

VÝ dô 4: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. BÊt ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng víi

VËy x > 0 lµ nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh.

VÝ dô 5: T×m k ®Ó hµm sè cã tËp x¸c

®Þnh lµ mäi x

Lêi gi¶i. Hµm sè cã nghÜa (1)

NhËn xÐt x2 + x +1 > 0 víi mäi x . Do ®ã (1)

Yªu cÇu bµi to¸n t¬ng ®¬ng víi hÖ trªn cã nghiÖm víi mäi x

VËy -5 < k < 1 tho¶ m·n yªu cÇu cña bµi

Bµi tËp t¬ng tù: 1) 2)

3)

2. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô

VÝ dô 1: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

(1)Lêi gi¶i. §K x ≠ 0. Chia c¶ tö vµ mÉu cho 2x, ta ®îc

(1)

(2)

§Æt t = , 0 < t ≠ 1. Khi ®ã bÊt ph¬ng tr×nh (2) t¬ng ®-

¬ng víi

VËy bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

VÝ dô 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §iÒu kiÖn x > 0.BÊt ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng víi

§Æt t = log2(x), bÊt ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng víi

t4 - 13t2 + 36 < 0

VËy bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

VÝ dô 3: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh Lêi gi¶i. §Æt X = 5x-5 > 0, Y = > 0, khi ®ã bÊt ph¬ng tr×nh cã d¹ng

(1),

Do Y > 0 nªn (1) X2 - 4XY < 5Y2 X2 - 4XY - 5Y2 < 0 (X + Y)(X - 5Y) < 0

BÊt ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng víi hai hÖ sau

(I)

(II)

VËy bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ

Bµi tËp t¬ng tù: 1) ; 2)

; 3)

3. Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè

VÝ dô 1: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh Lêi gi¶i. §K x > 0.§Æt t = log4x x = 4t, bÊt ph¬ng tr×nh trë thµnh log5(3+2t) > t

3 + 2t > 5t

Hµm sè nghÞch biÕn trªn R vµ f(1) = 1.

BÊt ph¬ng tr×nh trë f(t) > f(1) t < 1, ta ®îc log4x < 1 0 < x < 4.

VÝ dô 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §Æt u = x2 + x + 1; v = 2x2 - 2x + 3 (u > 0,v > 0) suy ra v-u=x2-3x + 2BÊt ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi

log3u + u > log3v + v (1)

XÐt hµm sè f(t) = log3t + t, cã

Nªn h/s ®ång biÕn khi t > 0. Tõ (1) ta cã f(u) > f(v) u > v x2 + x + 1 > 2x2 - 2x + 3 x2 - 3x + 2 < 0 1 < x < 2.Lu ý: 1. Víi bÊt ph¬ng tr×nh d¹ng logau<logbv, ta thêng gi¶i nh sau:§Æt t=logau (hoÆc t=logbv); ®a vÒ bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ sö dông chiÒu biÕn thiªn cña hµm sè.

2. Víi bÊt ph¬ng tr×nh d¹ng . Ta xÐt

hµm sè f(t)=logat+t ®ång biÕn khi t>0, suy ra f(u)<f(v) u<v.Bµi tËp t¬ng tù: 1. ; 2) 2.2x + 3.3x > 6x - 1.3) 16x - 3x < 4x + 9x. 4. Ph¬ng ph¸p vÏ ®å thÞ

VÝ dô: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. BÊt ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng víi hai hÖ

(I) vµ (II)

Gi¶i hÖ (I)

+)

+) 2x < 3x - 1, ta vÏ ®å thÞ cña hai hµm sè y = 2x vµ y = 3x - 1 trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é. Khi ®ã ta ®îc nghiÖm lµ 1 < x < 3.Do ®ã hÖ (I) cã nghiÖm 1 < x < 3.Gi¶i hÖ (II)

+)

+) 2x > 3x - 1 x < 1 hoÆc x > 3 Do ®ã hÖ (II) cã nghiÖm -5 < x < 0.

VËy bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

Bµi tËp t¬ng tù:

3. Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c

VÝ dô 1: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §iÒu kiÖn x ≥ 2.Ta cã nhËn xÐt sau:. VT≥2.

. x 2 x-1≥1

VP≤2VËy bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi

VËy bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2. Nh chóng ta ®· biÕt viÖc ®Æt ®iÒu kiÖn ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh cã nghÜa lµ cÇn thiÕt, v× ®ã lµ bíc ®Çu tiªn khi gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh. Tõ ®/k ®ã ®Ó lo¹i ®i c¸c gi¸ trÞ kh«ng tho¶ m·n bÊt ph¬ng tr×nh ®· cho. §ã lµ ý nghÜa chung cña viÖc ®Æt ®iÒu kiÖn ®èi víi mét bÊt ph¬ng tr×nh. H¬n n÷a trong nhiÒu trêng hîp, chÝnh tõ bíc nµy cho phÐp ta ®¬n gi¶n ho¸ phÐp gi¶i tiÕp theo. Sau ®©y ta xÐt mét sè vÝ dô.VÝ dô 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh logx[log9(3x-9)] < 1Lêi gi¶i. §Ó log9(3x-9) cã nghÜa, ta cÇn cã 3x > 9 3x > 9 x > 2.Víi ®iÒu kiÖn trªn bÊt ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi

§Æt 3x = t, (t > 0), ta cã hÖ

VÝ dô 3: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh (1)

Lêi gi¶i: §/k: .

BÊt ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi Do . VËy khi th× xlog2x-5<0, do ®ã

(1) .

VËy nghiÖm

VÝ dô 4: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §k (1)BÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi (2).

Tõ (1) ta cã . Do ®ã (2) t¬ng ®¬ng víi

(3)

(3) t¬ng ®¬ng víi hai hÖ sau

(I)

(II)

VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ

VÝ dô 5: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §k

. log2(x + 1) > 0 x + 1 > 1 x > 0

. log2(3 - 2x) > 0 3 - 2x > 1 x < 1Ta cã b¶ng xÐt dÊu

Tõ ®ã ta cã c¸c trêng hîp sauTH1: Víi -1 < x < 0 th× VT < 0, VP > 0 suy ra bÊt ph¬ng tr×nh v« nghiÖm TH2: Víi 0 < x < 1 th× VT > 0, VP > 0. Khi ®ã bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi log2(x + 1) < log2(3 - 2x) 3 - 2x > x + 1 0 < x < 1.TH3: Víi 1 < x < 3/2 th× VT > 0, VP < 0, bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi 1 < x < 3/2.

VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ .

log2(3-2x)

x -1 0 1

- + +

+ + -

log2(x+1)

Lu ý: Víi bÊt ph¬ng tr×nh d¹ng , ta thêng gi¶i nh

sau:+)LËp b¶ng xÐt dÊu cña logau vµ logbv trong tËp x¸c ®Þnh cña bÊt ph¬ng tr×nh.+)trong tËp x¸c ®Þnh ®ã nÕu logau vµ logbv cïng dÊu th× bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi logau<logbv.VÝ dô 6: Trong c¸c nghiÖm (x; y) cña bÊt ph¬ng tr×nh

, chØ ra c¸c nghiÖm cã tæng 2x + y lín nhÊt.Lêi gi¶i. BÊt ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng víi hai hÖ sau

(I) vµ (II)

Râ rµng nÕu (x; y) lµ nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh th× tæng 2x +y lín nhÊt chØ x¶y ra khi nã lµ nghiÖm cña hÖ (II).

(II)

Ta cã

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho hai bé sè

vµ , ta ®îc

.

Víi x = 2 vµ y = 1/2 tho¨ m·n bÊt ph¬ng tr×nh x2 + 2y2 > 1.VËy trong c¸c nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh th× nghiÖm (2; 1/2) lµ nghiÖm cã tæng 2x + y lín nhÊt b»ng 9/2.

Bµi tËp t¬ng tù: 1) ; 2) víi

.3) Trong c¸c nghiÖm (x; y) cña bÊt ph¬ng tr×nh . T×m nghiÖm cã tæng x + 2y lín nhÊt.

4)

II. BÊt ph¬ng tr×nh mò vµ logarit cã chøa tham sè VÝ dô 1: Cho bÊt ph¬ng tr×nh 4x - 3.2x + m ≥ 0 (1)a) T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi x 1b) T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x 1

Lêi gi¶i.§Æt t = 2x (t > 0)BÊt ph¬ng tr×nh cã d¹ng t2 - 3t + m ≥ 0 t2 - 3t ≥ - m (2)a) BÊt ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm víi mäi x 1 bÊt ph¬ng

tr×nh (2) cã nghiÖm víi mäi t tho¶ m·n 0 < t ≤ 2

XÐt f(t) = t2 - 3t, t . Ta cã b¶ng biÕn thiªn

Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra -9/4 ≥ -m m ≥ 9/4b) BÊt ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x 1 bÊt ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm

t .Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra 0 > -m m

> 0.Lu ý: Cho bÊt ph¬ng tr×nh f(x) > m. Hµm sè f(x) liªn tôc vµ x¸c ®Þnh trªnD

1) BÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi

2) BÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm VÝ dô 2:T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi x ≥ 1

(1)

Lêi gi¶i. §K:

-9/4

+2t - 0 2

3

f(t) 0 -2

®Æt t = , v× x ≥ 1 nªn t ≥ 1. Khi ®ã bÊt ph¬ng

tr×nh (1) cã d¹ng mt + m < 2.t2 m(t + 1) < 2t2 m < (2)

( v× t ≥ 1 nªn t+1>0)BÊt ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm víi mäi x ≥ 1 bÊt ph¬ng

tr×nh (2) cã nghiÖm víi mäi t ≥ 1 (3). §Æt ,

víi t≥1. Ta cã víi mäi t ≥ 1, suy ra f(t) lu«n ®ång

biÕn víi mäi t ≥ 1.Do ®ã (3) .VËy m < 1.VÝ dô 3: Cho bÊt ph¬ng (1). T×m k ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi .Lêi gi¶i. §k x > 0.§Æt t = log2x, v× nªn .BÊt ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng (2)NhËn xÐt: k2 – 1 = (k2 - k) + (k - 1) k3 - 2k2 + k = (k2 - k).(k - 1)Do ®ã f(t) = cã hai nghiÖm t1 = k2 - k vµ t2

= k - 1.XÐt hiÖu t1 - t2 = (k - 1)2 ≥ 0 suy ra t1 ≥ t2. Do ®ã bÊt ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm BÊt ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm víi mäi bÊt ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm víi mäi

.

VËy k = 2 hoÆc k ≤ - 1.Lu ý: Víi bµi to¸n t×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh f(x, m) > 0 cã nghiÖm víi mäi , trong trêng hîp kh«ng c« lËp ®îc tham sè m, ta thêng lµm nh sau:+) Gi¶i bÊt ph¬ng f(x, m) > 0 ®îc tËp nghiÖm .+) BÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi khi vµ chØ khi

VÝ dô 4: T×m m ®Ó mäi tho¶ m·n bÊt ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §K:

§Æt , t ≥ 0BÊt ph¬ngtr×nh cã d¹ng t2 + 4t – 5 ≤ 0 -5 ≤ t ≤ 1, v× t ≥ 0 nªn ta ®îc 0 ≤ t ≤ 1 hay 0 ≤ log4(x2 - 2x + m) ≤ 1VËy bÊt ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng víi hÖ

(I)

BÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi t¬ng ®¬ng víi hÖ (I) cã nghiÖm víi mäi mçi bÊt ph¬ng tr×nh trong hÖ (I) cã nghiÖm víi mäi .XÐt hµm sè f(x) = x2 - 2x, ta cã b¶ng biÕn thiªn

Tõ b¶ng biÕn thiªn ta suy ra 2 ≤ m ≤ 4.VÝ dô 5: X¸c ®Þnh a ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt

Lêi gi¶i. §k: 0 < a ≠ 1; ax2 - 2x + 1 ≥ 0.Víi ®iÒu kiÖn ®ã, ®Æt , t ≥ 0 ta cã thÓ viÕt bÊt ph¬ng tr×nh ®· cho díi d¹ng: (1). NÕu a > 1 th× lµ hµm ®ång biÕn khi t ≥ 0 vµ

. Do vËy (1) hay ax2 - 2x + 1 ≥ 9. BÊt ph¬ng tr×nh nµy kh«ng thÓ cã nghiÖm duy nhÊt.. NÕu 0 < a < 1. Khi ®ã f(t) lµ hµm nghÞch biÕn víi t ≥ 0. Do vËy (1) hay

(3)CÇn x¸c ®Þnh a (0 < a < 1) ®Ó (3) cã nghiÖm duy nhÊt.NhËn xÐt r»ng víi mäi a (0 < a < 1) hÖ (3) ®Òu cã nghiÖm x = 0 vµ x = 1/2 tho¶ m·n. Suy ra (3) kh«ng thÓ cã nghiÖm duy nhÊt.

-1

x -∞ 0 1 2

f(x)+∞

0 0

KÕt luËn: Kh«ng tån t¹i a ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt.

VÝ dô 6: Cho c¸c bÊt ph¬ng tr×nh víi 0 < a ≠ 1.

(1) vµ 1 + log5(x2 + 1) - log5(x2 + 4x + m) > 0 (2)T×m m ®Ó mäi nghiÖm cña (1) ®Òu lµ nghiÖm cña (2)Lêi gi¶i.

Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh (1), ®k:

V× nªn 5 – x > 1. Do ®ã (1)

BÊt ph¬ng tr×nh (2) t¬ng ®¬ng víi hÖ sau

§Ó bÊt ph¬ng tr×nh (2) nghiÖm ®óng víi mäi x tho¶ m·n 2< x <3 t¬ng ®¬ng víi mçi bÊt ph¬ng tr×nh (3) vµ (4) cã nghiÖm víi mäi

VÝ dô 7: T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm ®óng víi mäi (1)

Lêi gi¶i. §k

BÊt ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi (2)

XÐt hµm sè f(x) = 2x + log(x) ®ång biÕn víi x > 0BÊt ph¬ng tr×nh (2)®îc viÕt díi d¹ng

(3)VËy bÊt ph¬ng tr×nh (1) nghiÖm ®óng víi mäi

VËy víi th× bÊt ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi .

Lu ý: g(x) = ax + b > 0 víi mäi

VÝ dô 8: T×m a ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt

Lêi gi¶i. §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt x = x0. Khi ®ã x0 ph¶i thuéc miÒn x¸c ®Þnh cña bÊt ph-¬ng tr×nh, tøc ta ph¶i cã

hoÆc x0 =104

VËy ®iÒu kiÖn cÇn lµ nghiÖm nguyªn duy nhÊt x0 ph¶i lµ 102 hoÆc 104.§iÒu kiÖn ®ñ. . x = 102 lµ nghiÖm duy nhÊt, ta ph¶i cã

,

trêng hîp nµy lo¹i do log23 > 1. x =104 lµ nghiÖm duy nhÊt ta ph¶i cã

VËy c¸c gi¸ trÞ ph¶i t×m cña tham sè a lµ: 0 ≤ a < log23.Bµi tËp t¬ng tù: 1)T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh

cã nghiÖm, vµ mäi nghiÖm cña nã kh«ng

ph¶i lµ nghiÖm cña bÊt pt .2.T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau nghiÖm ®óng víi mäi x

tho¶ m·n:

3.T×m c¸c gi¸ trÞ nghiÖm ®óng bÊt ph¬ng tr×nh

víi mäi a mµ 0 < a < 2.PhÇn D. HÖ ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ logarit.1. Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng+) §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa+) Sö dông c¸c phÐp thÕ ®Ó nhËn ®îc tõ hÖ mét ph¬ng tr×nh theo Èn x hoÆc y(®«i khi lµ theo c¶ hai Èn x vµ y)+) Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè ph¬ng tr×nh nhËn ®îc b»ng c¸c ph¬ng ph¸p ®· biÕt ®èi víi ph¬ng tr×nh ®· biÕt.

VÝ dô 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §k:

Víi ®iÒu kiÖn trªn hÖ t¬ng ®¬ng víi

Víi x = 3 suy ra y = 4 (tm®k)Víi x = - 3 suy ra y = - 4 (kh«ng tm®k)VËy hÖ cã nghiÖm (x; y) = (3; 4)

VÝ dô 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i.L«garit c¬ sè 2 c¶ hai vÕ cña hai ph¬ng tr×nh trong hÖ

, ®©y lµ hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt

hai Èn

Ta cã , ,

Suy ra hÖ cã nghiÖm

VÝ dô 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §k x > 0, y > 0.

HÖ ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng víi

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x; y) = (9,8)VÝ dô 4: T×m k ®Ó hÖ bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm

Lêi gi¶i. Tõ bÊt ph¬ng tr×nh (2) trong hÖ suy ra (x-1)3 > 0 .

Víi th× (1) . XÐt hµm sè f(x) = (x - 1)3 - 3x víi . f’(x) = 3x2 - 6x; f’(x) = 0 .Ta cã b¶ng biÕn thiªn

Tõ b¶ng biÕn thiªn ta suy ra

Bµi tËp t¬ng tù: 1) ; 2)

3) T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm

2. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô+) §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa+) Lùa chän Èn phô ®Ó biÕn ®æi hÖ ban ®Çu vÒ c¸c hÖ ®¹i sè ®· biÕt c¸ch gi¶i.

VÝ dô 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

-3

x - 0 1 2 +y’ + - - 0 +0

y

-5

-+

Lêi gi¶i. §k

HÖ trªn t¬ng ®¬ng víi .

§Æt t = , suy ra

Thay vµo ph¬ng tr×nh (1) trong hÖ ta ®îc 5t.3t-1 = 5 t =1

Do ®ã ta cã hÖ (tm®k)

Lu ý: Víi hÖ ph¬ng tr×nh d¹ng ,

th«ng thêng ta gi¶i theo híng : §Æt , suy ra

f(x) + g(x) = at vµ f(x) - g(x) = at. Thay vµo ph¬ng tr×nh ®Çu trong hÖ ta t×m ®îc t.

VÝ dô 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §k: x > 0, y > 0LÊy logarit theo c¬ sè 10 c¶ hai vÕ ta ®îc

§Æt u = logx, v = logy. Khi ®ã hÖ cã d¹ng

,

DÔ thÊy D ≠ 0 nªn hÖ cã nghiÖm duy nhÊt , suy ra

VËy hÖ cã mét nghiÖm (1/7; 1/5)

VÝ dô 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §k xy > 0NhËn xÐt , ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi .§Æt t = (t > 0) ta cã t2 = 2 + t t2 – t – 2 = 0 t = - 1(lo¹i) hoÆc t = 2.Víi t = 2 th× log3xy = 1 hay xy = 3BiÕn ®æi pt thø hai thµnh (x + y)2 - 3(x + y) – 18 = 0Gi¶i ra, ta ®îc x + y = 6 vµ x + y = - 3

Nh vËy, ta cã hai hÖ vµ

VËy hÖ cã hai nghiÖm vµ

Bµi tËp t¬ng tù: 1) ; 2)

3) ; 4)

3. Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè

VÝ dô 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §k: x, y > 0. Ph¬ng tr×nh (1) ex – x = ey – y (3) XÐt hµm sè f(t) = et - t liªn tôc víi mäi t > 0. MÆt kh¸c f’(t) = et – 1 > 0 víi mäi t > 0, do ®ã h/s f(t) ®ång biÕn khi t > 0.Ph¬ng tr×nh (3) viÕt díi d¹ng f(x) = f(y) x = y.

ThÕ x = y vµo ph¬ng tr×nh (2) ®îc .

, hay log2x = 1.VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) = (2; 2).

VÝ dô 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §k x > - 1, y > - 1. PT (1) cña hÖ ®îc viÕt l¹i díi d¹ng ln(1 + x) – x = ln(1 + y) - y (3)

XÐt hµm sè f(t) = ln(1 + t) - t, víi cã

Ta thÊy f’(t) = 0 t = 0.

Hµm sè f(t) ®ång biÕn trong (-1; 0) vµ nghÞch biÕn trong

Ta cã (3) f(x) = f(y). Lóc ®ã x = y hoÆc xy < 0.NÕu xy < 0 th× vÕ tr¸i cña (2) lu«n d¬ng. Ph¬ng tr×nh kh«ng tho¶ m·n.NÕu x = y, thay vµo PT (2), ta ®îc nghiÖm cña hÖ lµ x = y = 0.

Lu ý: Khi gÆp hÖ ph¬ng tr×nh d¹ng

Ta cã thÓ t×m lêi gi¶i theo mét trong hai híng sau Híng1: PT (1) f(x) - f(y) = 0 vµ t×m c¸ch ®a vÒ PT tÝch.Híng 2: XÐt hµm sè y = f(t). ta thêng gÆp trêng hîp HS liªn tôc trong tËp x¸c ®Þnh cña nã.NÕu hµm sè y = f(t) ®¬n ®iÖu, th× tõ (1), suy ra x = y. NÕu hµm sè y = f(t) cã mét cùc trÞ t¹i t = a th× nã thay ®æi chiÒu biÕn thiªn mét lÇn khi qua a. Tõ (1) suy ra x = y hoÆc x, y n»m vÒ hai phÝa cña aVÝ dô 3: Chøng minh r»ng víi mäi a > 0, hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt

Lêi gi¶i. §iÒu kiÖn x > -1, y > - 1. Rót y tõ ph¬ng tr×nh (2) thay vµo ph¬ng tr×nh (1), ta ®îc pt

khi a > 0 vµ x > -1.

VËy f(x) lµ hµm sè liªn tôc, ®ång biÕn trong (-1; + ). MÆt kh¸c ; nªn pt f(x) = 0 cã mét nghiÖm trong (-1; + ). VËy hÖ PT ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt víi mäi a > 0.Lu ý: Häc sinh dÔ m¾c sai lÇm khi thÊy HS ®ång biÕn ®· kÕt luËn PT f(x) = 0 cã nghiÖm duy nhÊt. Ta chØ cã thÓ kÕt luËn PT cã nghiÖm duy nhÊt khi hµm sè ®¬n ®iÖu, liªn tôc vµ trong tËp gi¸ trÞ cã c¶ gi¸ trÞ ©m vµ d¬ng.

VÝ dô 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §k: x, y > 0.

HÖ trªn t¬ng ®¬ng víi

Ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi (3)

XÐt hµm sè liªn tôc víi mäi t > 0. MÆt kh¸c

do ®ã f(t) ®ång biÕn víi mäi t > 0.

Ph¬ng tr×nh (3) viÕt díi d¹ng f(x) = f(y) x = y. Khi ®ã hÖ t-

¬ng ®¬ng víi

Gi¶i (4): §Æt u =

Suy ra

Ph¬ng tr×nh 3u + 9 = 3.4u .

NhËn thÊy hµm sè lµ hµm liªn tôc, nghÞch biÕn

víi mäi vµ f(1) = 3. Víi u > 1 th× f(u) < 3. Víi u < 1 th× f(u) > 3.VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt u = 1, suy ra x = 1 vµ y = 1VËy hÖ cã mét nghiÖm (x; y) = (1;1).

VÝ dô 5: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §k: x, y, z < 6.HÖ ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng víi

NhËn xÐt lµ hµm ®ång biÕn

( v× víi x < 6) cßn g(x) = log3(6 - x)

lµ hµm nghÞch biÕn víi x < 6.NÕu (x, y, z) lµ mét nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh ta chøng minh x = y = z. Kh«ng mÊt tæng qu¸t gi¶ sö x = max(x, y, z) th× cã hai trêng hîp:1) x ≥ y ≥ z suy ra f(x) ≥ f(y) ≥ f(z) nªn log3(6 - y) ≥ log3(6 - z) ≥

log3(6 - x). MÆt kh¸c g(x) lµ hµm gi¶m nªn x ≥ z ≥ y. Do y ≥ z nªn z = y.Tõ (1) vµ (2) ta cã x = y = z.

2) x ≥ z ≥ y. T¬ng tù log3(6 - y) ≥ log3(6 - x) ≥ log3(6 - z) z ≥ x ≥ y.

Do x ≥ z nªn z = x. Tõ (1) vµ (3) ta l¹i cã x = y = z.Ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) cã nghiÖm duy nhÊt x = 3. VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt (x, y, z) = (3, 3, 3).Lu ý: NÕu hÖ ph¬ng tr×nh ba Èn x, y, z kh«ng thay ®æi khi ho¸n vÞ vßng quanh ®èi víi x, y, z th× kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t cã thÓ gi¶ thiÕt x = max(x, y, z). NghÜa lµ x ≥ y ≥ zVÝ dô 6: H·y x¸c ®Þnh sè nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh (Èn x, y) sau:

(I)

Lêi gi¶i. DÔ thÊy, nÕu (x; y) lµ nghiÖm cña hÖ trªn th× x > 1, y > 1 (*).§Æt log3x = t, t > 0 (do (*). Khi ®ã, x = 3t vµ tõ ph¬ng tr×nh

(2) cã . V× thÕ, tõ ph¬ng tr×nh (1) ta cã ph¬ng tr×nh Èn

t sau:

(3).DÔ thÊy sè nghiÖm cña hÖ (I) b»ng sè nghiÖm d¬ng cña ph-¬ng tr×nh (3).

XÐt hµm sè trªn (0; + ). Ta cã .

Trªn (0; + ), vµ y= lµ c¸c hµm nghÞch biÕn vµ chØ

nhËn gi¸ trÞ d¬ng. V× thÕ, trªn kho¶ng ®ã, lµ hµm

®ång biÕn trªn (0; + ). Suy ra f’(t) lµ hµm ®ång biÕn trªn (0;

+ ). H¬n n÷a, do nªn tån t¹i

sao cho f’(t0) = 0. Do ®ã, ta cã b¶ng biÕn thiªn sau cña hµm f(t) trªn kho¶ng (0; + ).

Tõ ®ã, víi lu ý r»ng f(1) = -12 ≤ 0, suy ra pt (3) cã ®óng 2 nghiÖm d¬ng. V× vËy, hÖ (I) cã tÊt c¶ 2 nghiÖm.

Bµi tËp t¬ng tù: 1) ;

2)

4. Ph¬ng ph¸p kh¸c Ngoµi c¸ch gi¶i nãi trªn, còng gièng nh ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit ta cã thÓ ®¸nh gi¸ hai vÕ, sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc, dïng ®å thÞ ®Ó gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh, ph¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ..

VÝ dô 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

Lêi gi¶i. §k: x > 0, y > 0.XÐt ph¬ng tr×nh thø nhÊt trong hÖ. NÕu x > y th× log2y < log2x suy ra VP < 0, VT > 0. Do ®ã hÖ v« nghiÖm. NÕu x < y th× log2y > log2x suy ra VP > 0, VT < 0. Do ®ã hÖ v« nghiÖmVËy x = y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)Khi ®ã hÖ t¬ng ®¬ng víi

VËy hÖ cã hai nghiÖm (1;1) vµ (2;2).

VÝ dô 2: T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm

Lêi gi¶i. Tríc hÕt ta biÓu diÔn trªn mÆt ph¼ng täa ®é c¸c ®iÓm M(x, y) tho¶ m·n (1). Ta thÊy (1) t¬ng ®¬ng víi hai hÖ sau:

f(1)

t 0 t0 1 +f’(t) - 0 +

f(t)

+

f(t0)

+

(I)

(II)

Tõ ®ã suy ra chóng ®îc biÓu diÔn b»ng miÒn g¹ch trong h×nh bªn (trong ®ã lÊy biªn cña ®êng trßn

t©m O1 b¸n kÝnh vµ

kh«ng lÊy biªn cña ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh 1)

§iÓm A lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng x + y = 0 víi ®êng trßn x2 + y2 = 1 vµ chó ý r»ng A lµ giao ®iÓm phÝa díi nªn suy

ra to¹ ®é cña nã lµ x = ,

y = . §êng th¼ng x + 2y = m ®i qua ®iÓm A khi m = .

¸p dông ®iÒu kiÖn ®Ó ®êng th¼ng tiÕp xóc víi ®êng trßn ta ph¶i cã

. Do tiÕp tuyÕn phÝa trªn, nªn ta lÊy . Tõ

®ã suy ra ®Ó ®êng th¼ng x + 2y = m c¾t miÒn g¹ch ta

ph¶i cã

VÝ dô 3: T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt

Lêi gi¶i. §iÒu kiÖn cÇnNÕu hÖ cã nghiÖm (x0; y0) th× (-x0; y0) còng lµ nghiÖm. Cho nªn hÖ cã nghiÖm duy nhÊt th× x0 = - x0 hay x0 = 0.

Khi ®ã hÖ t¬ng ®¬ng víi

Tõ ph¬ng tr×nh (4) suy ra y ≥ 0. Do ®ã 1 - 2y 0 .

Víi y = 0 th× m = 0. §ã chÝnh lµ ®iÒu kiÖn cÇn.§iÒu kiÖn ®ñ

x+2y=

x+y=0

x+2y=

x

y

Gi¶ sö m = 0, khi dã hÖ cã d¹ng:

Gi¶i (5) xÐt hµm sè f(t) = 2t + t ®ång biÕn vµ liªn tôc trªn R. Do ®ã ph¬ng tr×nh (5) viÕt lµ

Khi ®ã hÖ cã d¹ng lµ nghiÖm duy nhÊt cña

hÖ.VËy víi m = 0 th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.

Bµi tËp t¬ng tù: 1) ;

2) T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm

3)

Tµi liÖu tham kh¶o

1.TuyÓn tËp c¸c chuyªn ®Ò luyÖn thi m«n to¸n §¹i sè s¬ cÊp - TrÇn Ph¬ng , Lª hång §øc - Nhµ xuÊt b¶n Hµ néi - N¨m 2002.2. To¸n n©ng cao §¹i sè 11 - Phan Huy Kh¶i - Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc Quèc gia Hµ néi - N¨m 1998.3. B¸o To¸n häc tuæi trÎ ph¸t hµnh c¸c th¸ng.4. §Ò thi vµo §¹i häc cña c¸c n¨m.

`