Chuyen de 7 Pt Luong Giac Va Ung Dung 7472

Ths. Lê Văn ĐoànThs. Lê Văn ĐoànThs. Lê Văn ĐoànThs. Lê Văn Đoàn

MỤC LỤCMỤC LỤCMỤC LỤCMỤC LỤC Trang

Công thức lượng giác cần nắm vững ------------------------------------------------------------------------ 1

A – Phương trình lượng giác cơ bản ------------------------------------------------------------------ 4

Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 4 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 7

B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác --------------------------- 9


C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ---------------------------------------------------------- 15


D – Phương trình lượng giác đẳng cấp --------------------------------------------------------------- 20


E – Phương trình lượng giác đối xứng ---------------------------------------------------------------- 24


F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ----------------------------------- 28


G – Phương trình lượng giác không mẫu mực ----------------------------------------------------- 32


H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương ---------- 37


I – Hệ phương trình lượng giác ------------------------------------------------------------------------- 47

Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 47

J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác --------------------------------------- 52


Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. PPPPhương trñh lượng giŸc vš ứng dụnghương trñh lượng giŸc vš ứng dụnghương trñh lượng giŸc vš ứng dụnghương trñh lượng giŸc vš ứng dụng Ths. Lê Vn Đoàn

¹¹¹¹CCCCầầầầnnnn cccc•••• bbbb•••• tttthhhh““““nnnngggg mmmmiiiinnnnhhhh§§§§§§§§§§§§§§§§ºººº Page - 1 -

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNGCÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNGCÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNGCÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG

��

�� Công thức cơ bảnCông thức cơ bảnCông thức cơ bảnCông thức cơ bản

● 2 2sin x cos x 1+ = ● tan x.cotx 1= ● sin x

tan xcos x

=

● cos x

cotxsin x

= ● os

2

2

11 tan x

c x+ = ● 2

2

11 cot x

sin x+ =

�� Công thức cung nhân đôiCông thức cung nhân đôiCông thức cung nhân đôiCông thức cung nhân đôi –––– Công thức hạ bậcCông thức hạ bậcCông thức hạ bậcCông thức hạ bậc –––– Công thức cung nhân baCông thức cung nhân baCông thức cung nhân baCông thức cung nhân ba

● sin2x 2sin x.cos x= ● 2 2

2 2

cos x sin xcos2x

2cos x 1 1 2 sin x

−= − = −

● os2 1 c 2x

sin x2

−= ●

osos2 1 c 2x

c x2

+=

● 3sin 3x 3 sin x 4 sin x= − ● 3cos 3x 4 cos x 3cos x= −

�� Công thức cộng cungCông thức cộng cungCông thức cộng cungCông thức cộng cung

● ( )sin a b sina.cosb cosa.sin b± = ± ● ( )osc a b cosa.cosb sina.sin b± = ∓

● ( )tana tanb

tan a b1 tana.tanb

++ =

− ● ( )

tana tan btan a b

1 tana.tanb

−− =

+

● π 1 tan x

tan x4 1 tan x

+ + = − ●

π 1 tan xtan x

4 1 tan x

− − = +

�� Công thức biến đổi tổng thành tíchCông thức biến đổi tổng thành tíchCông thức biến đổi tổng thành tíchCông thức biến đổi tổng thành tích

● a b a b

cosa cosb 2cos .cos2 2

+ −+ = ●

a b a bcosa cosb 2sin .sin

2 2

+ −− = −

● a b a b

sina sin b 2sin .cos2 2

+ −+ = ●

a b a bsina sin b 2cos .sin

2 2

+ −− =

● ( )sin a b

tana tanbcosa.cosb

++ = ●

( )sin a btana tanb

cosa.cosb

−− =

�� Công thức biến đổi tích thành tổngCông thức biến đổi tích thành tổngCông thức biến đổi tích thành tổngCông thức biến đổi tích thành tổng

● ( ) ( )cos a b cos a b

cosa.cosb2

+ + −= ●

( ) ( )sin a b sin a bsin a.cosb

2

+ + −=

● ( ) ( )cos a b cos a b

sin a.sin b2

− − +=

�� Một số công thức thông dụng khácMột số công thức thông dụng khácMột số công thức thông dụng khácMột số công thức thông dụng khác

● π π

sinx cosx 2 sin x 2cos x4 4

+ = + = − ●

π πsinx cosx 2 sin x 2cos x

4 4

− = − = +

● 4 4 21 cos4xcos x sin x 1 s

3 1in 2x

2 4

++ = − = ● 6 6 23 cos4x

cos x sin x 1 s5 3

in 2x4 8

++ = − =

Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương trñh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương trñh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương trñh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương trñh lượng giŸc vš ứng dụng

Page - 2 - ¹¹¹¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”

�� Một số lưu ýMột số lưu ýMột số lưu ýMột số lưu ý:

Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x

cos x

= α = α

là: 1 1− ≤ α ≤ .

Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cot , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.

Phương trình chứa tan x , điều kiện: ( ) cos x 0 x k k2

π≠ ⇔ ≠ + π ∈ � .

Phương trình chứa cotx , điều kiện: ( ) sin x 0 x k k≠ ⇔ ≠ π ∈ � .

Phương trình chứa cả tan x và cotx , điều kiện: ( ) x k. k2

π≠ ∈ � .

Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để kiểm tra điều kiện: Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị

ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm. Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của

nghiệm. Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm.

Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác �AM có

số đo là k2

n

πα +

00 k.360

hay an

+ với k ,n +∈ ∈� � thì có n điểm M trên đường tròn

lượng giác cách đều nhau".

Ví dụ 1: Nếu sđ �AM k23

π= + π thì có một điểm M tại vị trí

3

π (ta chọn k 0= ).

Ví dụ 2: Nếu sđ �AM k6

π= + π thì có 2 điểm M tại vị trí

6

πvà

7

6

π (ta chọn k 0,k 1= = ).

Ví dụ 3: Nếu sđ �2

AM k.4 3

π π= + thì có 3 điểm M tại các vị trí

11;

4 12

π πvà

19

12

π, ( )k 0;1;2= .

Ví dụ 4: Nếu sđ �k2

AM k.4 2 4 4

π π π π= + = + thì có 4 điểm M tại các vị trí

4

π,3

4

π, 5

4

π;7

4

π

(ứng với các vị trí k 0,1,2,3= ).

Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x k6

π= − + π và x k

3

π= + π

Biểu diễn cung x k6

π= − + π trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:

6

π− và

5

6

π

Để giải được phương trñh lượng giŸc cũng như cŸc ứng dụng của n‚, cŸc bạn học sinh cần nắm vữngtất cả những c“ng thức lượng giŸc. Đ‚ lš hšnh

trang, lš c“ng cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang t˚n: "Phương trñh lượng giŸc"



Biểu diễn cung x k3

π= + π trên đường tròn thì có

2 điểm tại các vị trí: 3

π và

4

3

π.

Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và

cung tổng hợp là: x k3 2

π π= +

Đối với phương trình

2

2

1 1cos x cos x

2 21 1

sin x sin x2 2

= = ±

⇔ = = ±

ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4

nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là:

2 2

22

1cos x 2cos x 1 0 cos2x 0

21 cos2x 02 sin x 1 0

sin x2

= − = = ⇔ ⇔ =− = =

. Tương tự đối với phương trình

2

2

sin x 1 sin x 1

cos x 1cos x 1

= = ± ⇔ = ±=

ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức

2 2sin x cos x 1+ = . Lúc đó: 2 2

2 2

sin x 1 cos x 0 cos x 0

sin x 0cos x 1 sin x 0

= = = ⇔ ⇔ == =

Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''

Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.

Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là ( )cos cos−α = α , còn các cung

góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:

( ) ( ) ( ) sin sin , tan tan , cot tan−α = − α −α = − α −α = − α

Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là ( )sin sinπ − α = α , còn các cung

góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:

( ) ( ) ( ) cos cos , tan tan , cot tanπ − α = − α π − α = − α π − α = − α

Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là:

sin cos , cos sin , tan cot , cot tan2 2 2 2

π π π π − α = α − α = α − α = α − α = α

Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này: Giải phương trình lượng giác: sin u cos v= Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình sin u sin v= , vậy còn phương trình sin u cos v= thì sao ?

Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sin u cos v sinu sin v2

π = ⇔ = −

( ) u v k2 u v k2 , k2 2

π π= − + π ∨ = + + π ∈ � .

π/3 5π/6

4π/3

–π/6

O



Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như 2

sin x cos x3

π = −

thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa.

Một số cung góc hay dùng khác:

( )( )

sin x k2 sin x

cos x k2 cos x

+ π = + π =

và ( )( )

( ) sin x k2 sin x

kcos x k2 cos x

+ π + π = − ∈ + π + π = −

� .

A –––– PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢNPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢNPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢNPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

�� DạngDạngDạngDạng: : : : u v k2

sin u sin vu v k2

= + π= ⇔ = π − + π

Đặc biệt:

sin x 0 x k

sin x 1 x k22

sin x 1 x k22

= ⇒ = π π = ⇒ = + π π = − ⇒ = − + π

�� DạngDạngDạngDạng: : : : u v k2

cosu cos vu v k2

= + π= ⇔ = − + π

Đặc biệt:

cos x 0 x k2

cos x 1 x k2

cos x 1 x k2

π = ⇒ = + π = ⇒ = π = − ⇒ = π + π

�� DạngDạngDạngDạng:::: tan u tan v u v k

Ðk : u,v k2

= ⇔ = + π

π≠ + π

Đặc biệt: tan x 0 x k

tan x 1 x k4

= ⇔ = π π = ± ⇔ = ± + π

�� DạngDạngDạngDạng: : : : cotu cotv u v k

Ðk : u,v k

= ⇔ = + π

≠ π Đặc biệt:

cotx 0 x k2

cotx 1 x k4

π = ⇔ = + π π = ± ⇔ = ± + π

BABABABA�I TÂI TÂI TÂI TÂ�P AP AP AP A�P DUP DUP DUP DU �NGNGNGNG

Bài1Bài1Bài1Bài1. Giải phương trình: ( ) cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈

Bài2Bài2Bài2Bài2. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗

Bài3Bài3Bài3Bài3. Giải phương trình: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗

Bài4Bài4Bài4Bài4. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗

Bài5Bài5Bài5Bài5. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗

Bài6Bài6Bài6Bài6. Giải phương trình: ( ) 1 1 7

4 sin xsin x 43

sin x2

π + = − ∗ π −



Bài7Bài7Bài7Bài7. Giải phương trình: ( ) 4 4 7sin x cos x cot x cot x

8 3 6

π π + = + − ∗

Bài8Bài8Bài8Bài8. Giải phương trình: ( ) 4 4

4sin 2x cos 2xcos 4x

tan x tan x4 4

+= ∗

π π − +

Bài9Bài9Bài9Bài9. Giải phương trình: ( ) 3 x 1 3x

sin sin 110 2 2 10 2

π π − = +

Bài10Bài10Bài10Bài10. Giải phương trình: ( ) sin 3x sin2x sin x 14 4

π π − = +

Bài11Bài11Bài11Bài11. ( ) 38 cos x cos 3x 13

π + =

Bài12Bài12Bài12Bài12. Giải phương trình: ( ) 32 sin x 2 sin x 14

π + =

Bài13Bài13Bài13Bài13. Giải phương trình: ( ) 3sin x 2 sin x 14

π − =

Bài14Bài14Bài14Bài14. Giải phương trình: ( ) cos x cos2x cos 3x cos 4x 0+ + + = ∗

Bài15Bài15Bài15Bài15. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 3sin x sin 2x sin 3x

2+ + = ∗ .

Bài16Bài16Bài16Bài16. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x sin 2x sin 3x 2+ + = ∗ .

Bài17Bài17Bài17Bài17. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + ∗

Bài18Bài18Bài18Bài18. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − ∗

Bài19Bài19Bài19Bài19. Giải phương trình: ( )sin 2 25x 9xcos 3x sin 7x 2 2cos

4 2 2

π + = + − ∗

Bài20Bài20Bài20Bài20. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x cos 2x cos 3x= + ∗

Bài21Bài21Bài21Bài21. Giải phương trình: ( ) 22 sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = ∗

Bài22Bài22Bài22Bài22. Giải phương trình: ( ) sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + ∗

Bài23Bài23Bài23Bài23. Giải phương trình: ( ) 3 3 3sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x+ = ∗

Bài24Bài24Bài24Bài24. Giải phương trình: ( ) 2 3cos10x 2cos 4x 6cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + ∗

Bài25Bài25Bài25Bài25. Giải phương trình: ( ) 3 3 24 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0+ − − = ∗

Bài26Bài26Bài26Bài26. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 22 sin x 1 3cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3+ + − + = ∗

Bài27Bài27Bài27Bài27. Giải phương trình: ( ) ( ) 6 6 8 8sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗

Bài28Bài28Bài28Bài28. Giải phương trình: ( ) ( ) 8 8 10 10 5sin x cos x 2 sin x cos x cos2x

4+ = + + ∗


Bài30Bài30Bài30Bài30. Giải phương trình: ( ) 4 2 2 43cos x 4 cos x sin x sin x 0− + = ∗



Bài31Bài31Bài31Bài31. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 3 2cos 3x cos x sin 3x sin x

8

−− = ∗

Bài32Bài32Bài32Bài32. Giải phương trình: ( ) 1

cos x cos2x cos 4x cos 8x16

= ∗

Bài33Bài33Bài33Bài33. Giải phương trình: ( ) 34 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗


cos x cos2x cos 3x cos 4x cos5x2

+ + + + = − ∗

Bài35Bài35Bài35Bài35. Giải phương trình: ( ) sin2x 2cos x sin x 1

0tan x 3

+ − −= ∗

+


1 sin2x cos2x2 sin x sin2x

1 cot x

+ += ∗

+

Bài37Bài37Bài37Bài37. Giải phương trình: ( ) ( ) tan x cotx 2 sin2x cos2x+ = + ∗

Bài38Bài38Bài38Bài38. Giải phương trình: ( ) 2tan x tan x tan 3x 2− = ∗

Bài39Bài39Bài39Bài39. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 11tan x cot x cot 2x

3+ + = ∗

Bài40Bài40Bài40Bài40. Giải phương trình: ( ) 2 2 2x xsin tan x cos 0

2 4 2

π − − = ∗

Bài41Bài41Bài41Bài41. Giải phương trình: ( ) ( ) 2sin2x cotx tan2x 4 cos x+ = ∗

Bài42Bài42Bài42Bài42. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2cot x tan x

16 1 cos 4xcos2x

−= + ∗


2 tan x cot2x 2sin2x2sin2x

+ = + ∗

Bài44Bài44Bài44Bài44. Giải phương trình: ( )

( ) ( ) 3 sin x tan x

2 1 cos x 0tan x sin x

+− + = ∗

−

Bài45Bài45Bài45Bài45. Giải phương trình: ( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

2 21 cos x 1 cos x 1

tan x sin x 1 sin x tan x24 1 sin x

− + +− = + + ∗

−

Bài46Bài46Bài46Bài46. Giải phương trình: ( ) cos 3x tan5x sin 7x= ∗

BàiBàiBàiBài47474747. Giải phương trình: ( ) 1 1

sin2x sin x 2cotx2sin x sin2x

+ − − = ∗

Bài48Bài48Bài48Bài48. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 4sin x cos x 1

tan x cot2xsin2x 2

+= + ∗

Bài49Bài49Bài49Bài49. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2tan x.cot 2x.cot3x tan x cot 2x cot3x= − + ∗

Bài50Bài50Bài50Bài50. Giải phương trình: ( ) x

cotx sin x 1 tan x tan 42

+ + = ∗



BABABABA�I TÂI TÂI TÂI TÂ�P P P P RERERERE �N N N N LUYÊLUYÊLUYÊLUYÊ �NNNN

Câu 1.Câu 1.Câu 1.Câu 1. Giải phương trình: 2sin x cos x 2cos x 3 3 sin x− + = .

Câu 2.Câu 2.Câu 2.Câu 2. Giải phương trình: 2 tan x cos x 1 2cos x tan x+ = + .

Câu 3.Câu 3.Câu 3.Câu 3. Giải phương trình: 3 3 2sin x cos x cos x sin x

8− = .

Câu 4.Câu 4.Câu 4.Câu 4. Giải phương trình: 2 2 2cos x cos 2x cos 3x 1+ + = .

Câu 5.Câu 5.Câu 5.Câu 5. Giải phương trình: 2 2 17sin 2x cos 8x sin 10x

2

π − = + .

Câu 6.Câu 6.Câu 6.Câu 6. Giải phương trình: 4 6cos x sin x cos2x+ = .

Câu 7.Câu 7.Câu 7.Câu 7. Giải phương trình: 1 cos 4x sin 4x

02sin2x 1 cos 4x

−− =

+.

Câu 8.Câu 8.Câu 8.Câu 8. Giải phương trình: 2 2 1sin x cos x cos x

2

++ = .

Câu 9.Câu 9.Câu 9.Câu 9. Giải phương trình: ( ) 2 x2 3 cos x 2 sin

2 41

2cos x 1

π − − − =

−.

Câu 10.Câu 10.Câu 10.Câu 10. Giải phương trình: sin 4x 3sin2x tan x+ = .

Câu 11.Câu 11.Câu 11.Câu 11. Giải phương trình: 2 3cos10x 2cos 4x 6cos3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + .

Câu 12.Câu 12.Câu 12.Câu 12. Giải phương trình: ( )2 2 22cos x 2cos 2x 2cos 3x 3 cos 4x 2 sin2x 1+ + − = + .

Câu 13.Câu 13.Câu 13.Câu 13. Giải phương trình: 5x 7

sin 2x 3cos x 1 2sin x , ;32 2 3

π π + − − = + ∀ ∈ π .

Câu 14.Câu 14.Câu 14.Câu 14. Giải phương trình: ( ) 2 2sin 4x cos 6x sin 10,5 10x , 0;2

π − = π + ∀ ∈ .

Câu 15.Câu 15.Câu 15.Câu 15. Giải phương trình: tan2x tan3x tan5x tan2x tan3x tan5x− − = .

Câu 16.Câu 16.Câu 16.Câu 16. Giải phương trình: sin x sin2x sin 3x

3cos x cos2x cos3x

+ +=

+ +.

Câu 17.Câu 17.Câu 17.Câu 17. Giải phương trình: 2 1 cos xtan x

1 sin x

+=

−.

Câu 18.Câu 18.Câu 18.Câu 18. Giải phương trình: 24cos x cos x

3= .

Câu 19.Câu 19.Câu 19.Câu 19. Giải phương trình: 1 1

2 2 sin x4 sin x cos x

π + = + .



Câu 20.Câu 20.Câu 20.Câu 20. Giải phương trình: 2

2 tan x cot2x 3sin2x

+ = + .


3 tan3x cot2x 2 tan xsin 4x

+ = + .

Câu 22.Câu 22.Câu 22.Câu 22. Giải phương trình: 2 2 2sin x sin 2x sin 3x 2+ + = .

Câu 23.Câu 23.Câu 23.Câu 23. Giải phương trình: ( )25 4x 3sin2 x 8 sin x 0− π + π = .

Câu 24.Câu 24.Câu 24.Câu 24. Giải phương trình: sin2x

2cos x 01 sin2x

+ =+

.

Câu 25.Câu 25.Câu 25.Câu 25. Giải phương trình: sin x cot5x

1cos9x

= .


3 tan6x 2 tan2x cot4xsin 8x

− = − .

Câu 27.Câu 27.Câu 27.Câu 27. Giải phương trình: 2 1 cos xtan x

1 sin x

+=

−.

Câu 28.Câu 28.Câu 28.Câu 28. Giải phương trình: 3 3 2cos x cos 3x sin x sin 3x

4+ = .

Câu 29.Câu 29.Câu 29.Câu 29. Giải phương trình: 4 4x x 5sin cos

3 3 8

+ = .

Câu 30.Câu 30.Câu 30.Câu 30. Giải phương trình: ( )22 sin 3x 1 4 sin x 1− = .

Câu 31.Câu 31.Câu 31.Câu 31. Giải phương trình: 3 3 2cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0− − + = .

Câu 32.Câu 32.Câu 32.Câu 32. Giải phương trình: 4 4x xsin cos 1 2sin x

2 2+ = − .

Câu 33.Câu 33.Câu 33.Câu 33. Giải phương trình: sin 3x sin2x sin x4 4

π π − = + .

Câu 34.Câu 34.Câu 34.Câu 34. Giải phương trình: ( )2

4

4

2 sin x sin 3xtan x 1

cos x

−+ = .

Câu 35.Câu 35.Câu 35.Câu 35. Giải phương trình: 2 xtan x cos x cos x sin x 1 tan tan x

2

+ − = + .

Câu 36.Câu 36.Câu 36.Câu 36. Giải phương trình: 2 2 x 7sin x cos 4x 2sin 2x 4 sin x , x 1 3

4 2 2

π − = − − ∀ − < .

Câu 37.Câu 37.Câu 37.Câu 37. Giải phương trình: sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + .

Câu 38.Câu 38.Câu 38.Câu 38. Giải phương trình: 2 2 2 2cos x cos 2x cos 3x cos 4x 2+ + + = .

Câu 39.Câu 39.Câu 39.Câu 39. Giải phương trình: ( )

( )2cos x cos x 1

2 1 sin xsin x cos x

−= +

+.

Câu 40.Câu 40.Câu 40.Câu 40. Giải phương trình: sin x sin2x sin 3x sin 4x sin5x sin 6x 0+ + + + + = .

Câu 41.Câu 41.Câu 41.Câu 41. Giải phương trình: cos x cos 3x 2cos5x 0+ + = .



Câu 42.Câu 42.Câu 42.Câu 42. Giải phương trình: 9sin x 6cos x 3sin2x cos2x 8+ − + = .

Câu 43.Câu 43.Câu 43.Câu 43. Giải phương trình: ( )cos x sin x cos x sin x cos x cos2x− = .

Câu 44.Câu 44.Câu 44.Câu 44. Giải phương trình: ( )( ) 22 sin x 1 3cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3+ + − + = .

Câu 45.Câu 45.Câu 45.Câu 45. Giải phương trình: 3 32sin x sin x 2cos x cos x cos2x− = − + .

Câu 46.Câu 46.Câu 46.Câu 46. Giải phương trình: 2 3 4 2 3 4sinx sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x+ + + = + + + .

Câu 47.Câu 47.Câu 47.Câu 47. Giải phương trình: ( ) ( )2sin x tan x 1 3 sin x cos x sin x 3+ = − + .

Câu 48.Câu 48.Câu 48.Câu 48. Giải phương trình: 2tan2x cotx 8cos x+ = .

Câu 49.Câu 49.Câu 49.Câu 49. Giải phương trình: ( ) ( )3 cotx cos x 5 tan x sin x 2− − − = .


2 2 sin x4 sin x cos x

π + = + .

B –––– PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁCBẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁCBẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁCBẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC

��

Dạng

Đặt ẩn phụ

Điều kiện

2a sin x bsin x c 0+ + = t sin x= 1 t 1− ≤ ≤

2a cos x bcos x c 0+ + = t cos x= 1 t 1− ≤ ≤

2a tan x b tan x c 0+ + =

t tan x= x k , (k )2

π≠ + π ∈ �

2a cot x bcotx c 0+ + =

t cotx= ( ) x k , k≠ π ∈ �

Nếu đặt 2t sin x= hoặc t sin x= thì điều kiện là 0 t 1≤ ≤

(tương tự cho cos )

Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệMột số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệMột số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệMột số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ

● ( )2

2 21 sin2x sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x+ = + + = +

● ( )2

2 21 sin2x sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x− = + − = −

● sin2x

sin x cos x2

=

● ( )( )3 3sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x+ = + −

● ( )( )x3 3sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos− = − +

● 2 2sin x cos x sin x cos x 2

tan x cotxcos x sin x sin x cos x sin2x

++ = + = =

● 2 2cos x sin x cos x sin x 2cos2x

cotx tan x 2cotxsin x cos x sin x cos x sin2x

−− = − = = =



● 4 4 2 21 1 1 3 1cos 4x

sin x cos x 1 sin 2x cos 2x2 2 2 4

++ = − = + =

● ( )( )4 4 2 2 2 2cos x sin x sin x cos x cos x sin x cos2x− = + − =

● 6 6 4 4 2 2 23 5 3cos 4x

sin x cos x sin x cos x sin x cos x 1 sin 2x4 8

++ = + − = − =

● ( )6 6 4 4 2 2cos x sin x cos2x sin x cos x sin x cos x− = + +

● x 1

1 tan x tan2 cos x

+ =

● sin x cos x 2 sin x 2 cos x4 4

π π ± = ± = ∓

● ( ) ( )

2 2cos x cos x 1 sin x 1 sin x

1 sin x cos xcos x 1 sin x cos x 1 sin x

− += = =

− − − (mối liên hệ giữa sinx và cosx)


BàiBàiBàiBài55551111. Giải phương trình: ( ) 2cos 4x 12 sin x 1 0+ − = ∗

Bài52Bài52Bài52Bài52. Giải phương trình: ( ) 4 4cos x sin x cos 4x 0− + = ∗

Bài53Bài53Bài53Bài53. Giải phương trình: ( ) ( ) cos 3x sin 3x

5 sin x 3 cos2x , x 0;21 2sin2x

+ + = + ∗ ∀ ∈ π +

Bài54Bài54Bài54Bài54. Giải phương trình: ( ) sin 3x sin5x

3 5= ∗

Bài55Bài55Bài55Bài55. Giải phương trình: ( ) sin5x

15sin x

= ∗

Bài56Bài56Bài56Bài56. Giải phương trình: ( ) 2 2cos 3x cos2x cos x 0 1− =

Bài57Bài57Bài57Bài57. Giải phương trình: ( ) 4 4 3cos x sin x cos x sin 3x 0

4 4 2

π π + + − − − = ∗


sin 2x 3cos x 1 2sin x; x ;22 2 2

π π π + − − = + ∀ ∈ π ∗

Bài59Bài59Bài59Bài59. Giải phương trình: ( ) ( ) 25 sin x 2 3 1 sin x tan x− = − ∗

Bài60Bài60Bài60Bài60. Giải phương trình: ( ) ( ) 2

sin2x 3 cos2x 5 cos 2x6

π + − = − ∗


( ) 6 62 cos x sin x sin x cos x

02 2 sin x

+ −= ∗

−

Bài62Bài62Bài62Bài62. Giải phương trình:

( )( )

1 sin x cos2x sin x4 1

cos x1 tan x 2

π + + + = ∗

+


2sin 3x 2cos 3xsin x cos x

− = + ∗




( )

2cos x 2 sin x 3 2 2cos x 11

1 sin2x

+ − −= ∗

+

Bài65Bài65Bài65Bài65. Giải phương trình: ( ) x 3x x 3x 1

cos x cos cos sin x sin sin2 2 2 2 2

− = ∗

Bài66Bài66Bài66Bài66. Giải phương trình: ( ) 4 4sin x cos x 1 1

cot2x5sin2x 2 8 sin2x

+= − ∗

Bài67Bài67Bài67Bài67. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 23cot x 2 2 sin x 2 3 2 cos x+ = + ∗

Bài68Bài68Bài68Bài68. Giải phương trình: ( ) 6 23cos 4x 8 cos x 2cos x 3 0− + + = ∗

Bài69Bài69Bài69Bài69. Giải phương trình: ( ) 2cos 4x

cotx tan xsin2x

= + ∗


cotx tan x 4 sin2xsin2x

− + = ∗

Bài71Bài71Bài71Bài71. Giải phương trình: ( ) 2 22 sin x tan x 2+ = ∗

Bài72Bài72Bài72Bài72. Giải phương trình: ( ) 8 8 1sin x cos x

8+ = ∗

Bài73Bài73Bài73Bài73. Giải phương trình: ( ) 8 8 217sin x cos x cos 2x

16+ = ∗

Bài74Bài74Bài74Bài74. Giải phương trình: ( ) 35x xsin 5cos x sin

2 2= ∗

Bài75Bài75Bài75Bài75. Giải phương trình: ( ) ( ) 2sin2x cotx tan2x 4 cos x+ = ∗

Bài76Bài76Bài76Bài76. Giải phương trình: ( ) 2 6x 8x2cos 1 3cos

5 5+ = ∗

Bài77Bài77Bài77Bài77. Giải phương trình: ( ) 3tan x tan x 14

π − = − ∗


4sin 2x cos 2xcos 4x

tan x tan x4 4

+= ∗

π π − +

Bài79Bài79Bài79Bài79. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 2

1 248 1 cot2x cotx 0

cos x sin x− − + = ∗

Bài80Bài80Bài80Bài80. Giải phương trình: ( ) ( ) 8 8 10 10 5sin x cos x 2 sin x cos x cos2x

4+ = + + ∗

Bài81Bài81Bài81Bài81. Giải phương trình: ( ) 2cos2x 1cotx 1 sin x sin2x

1 tan x 2− = + − ∗

+

Bài82Bài82Bài82Bài82. Giải phương trình: ( ) sin2x 2 tan x 3+ = ∗

Bài83Bài83Bài83Bài83. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 1 tan x 1 sin2x 1 tan x− + = + ∗

Bài84Bài84Bài84Bài84. Giải phương trình: ( ) ( ) 2cos2x cos x 2 tan x 1 2+ − = ∗

Bài85Bài85Bài85Bài85. Giải phương trình: ( ) ( )3sin2x cosx 3 2 3 cos x 3 3 cos2x 8 3 cosx sinx 3 3+ − − + − =



Bài86Bài86Bài86Bài86. Giải phương trình: 2

2

1 14 sin x 4 sin x 7 0

sin xsin x

+ + + − = ( ) ∗

Bài87Bài87Bài87Bài87. Giải phương trình: ( ) 2tan x tan x tan 3x 2− = ∗

BàiBàiBàiBài88888888. Giải phương trình: ( ) 1 1

sin2x sin x 2cot2x2 sin x sin2x

+ − − = ∗


2cos2x 8 cos x 7cos x

− + = ∗

Bài90Bài90Bài90Bài90. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 4 sin 3x cos2x 5 sin x 1− = − ∗


2

1 1sin x sin x

sin x sin x− = − ( ) ∗


2

1 1cos x 2 cos x 1

cos xcos x

+ − + = ( ) ∗


2 tan x cotx 2 sin2xsin2x

+ = + ( ) ∗

Bài94Bài94Bài94Bài94. Giải phương trình: ( )2 2tan x cot x 2 1 tan x cotx 0+ + + + = ( ) ∗

Bài95Bài95Bài95Bài95. Giải phương trình: 2 22 tan x 3 tanx 2cot x 3cotx 3 0− + + − = ( ) ∗

Bài96Bài96Bài96Bài96. Giải phương trình: 5 5 24 sin x cos x 4 cos x sin x sin 4x− = ( ) ∗


2cos2x tan x5

+ = ( ) ∗

Bài98Bài98Bài98Bài98. Giải phương trình: 2 2 2 2 3cos x cos 2x cos 3x cos 4x

2+ + + = ( ) ∗

Bài99Bài99Bài99Bài99. Giải phương trình: 6 6

2 2

sin x cos x 1tan2x

4cos x sin x

+=

−( ) ∗

Bài100Bài100Bài100Bài100. Giải phương trình: 6 6sin x cos x sin2x+ = ( ) ∗

BABABABA�I TÂI TÂI TÂI TÂ�P P P P RERERERE �N LUYÊN LUYÊN LUYÊN LUYÊ �NNNN

Câu 51.Câu 51.Câu 51.Câu 51. Giải phương trình: 34cos x 3 2 sin2x 8 cos x+ =

Câu 52.Câu 52.Câu 52.Câu 52. Giải phương trình: 26sin 3x cos12x 14+ =

Câu 53.Câu 53.Câu 53.Câu 53. Giải phương trình: 3 tan x cotx 1 3+ = +

Câu 54.Câu 54.Câu 54.Câu 54. Giải phương trình: tan x 3 cotx 1 3− + =


1 34

sin x cos xsin x cos x+ =


14 tan x 2 0

cos x− + =


1cotx 3

sin x= +



Câu 58.Câu 58.Câu 58.Câu 58. Giải phương trình: ( ) 2

2 21 2 2 sin x

1 cot x− + = −

+


4cos x 9 0

1 tan x+ − =

+

Câu 60.Câu 60.Câu 60.Câu 60. Giải phương trình: ( )4 4 172 sin x cos x cos 2x 0

2

π + − − =

Câu 61.Câu 61.Câu 61.Câu 61. Giải phương trình: sin 4x tan x=

Câu 62.Câu 62.Câu 62.Câu 62. Giải phương trình: 4 4 4 9sin x sin x sin x

4 4 8

π π + + + − =

Câu 63.Câu 63.Câu 63.Câu 63. Giải phương trình: tan x cotx 4+ =

Câu 64.Câu 64.Câu 64.Câu 64. Giải phương trình: ( ) 2sin x 3 2 2cos x 2 sin x 1

11 sin2x

− − −=

−

Câu 65.Câu 65.Câu 65.Câu 65. Giải phương trình: 44cos x 3 2 sin2x 8cos x+ =

Câu 66.Câu 66.Câu 66.Câu 66. Giải phương trình: 1 1 2

cos x sin2x sin 4x+ =

Câu 67.Câu 67.Câu 67.Câu 67. Giải phương trình: sin2x 2 sin x 14

π + − =

Câu 68.Câu 68.Câu 68.Câu 68. Giải phương trình: ( ) ( )2 2sin x 1 4 sin x 1 cos 2x sin 2x4 4

π π − = − − + − +

Câu 69.Câu 69.Câu 69.Câu 69. Giải phương trình: 24xcos cos x

3=

Câu 70.Câu 70.Câu 70.Câu 70. Giải phương trình: x

tan cos x sin2x 02

+ =

Câu 71.Câu 71.Câu 71.Câu 71. Giải phương trình: 1 3 tan x 2sin2x+ =

Câu 72.Câu 72.Câu 72.Câu 72. Giải phương trình: 2 3x 4x2cos 1 3cos

5 5+ =

Câu 73.Câu 73.Câu 73.Câu 73. Giải phương trình: cotx tan x 2 tan2x= +

Câu 74.Câu 74.Câu 74.Câu 74. Giải phương trình: 2 3x2cos 1 3cos2x

2+ =

Câu 75.Câu 75.Câu 75.Câu 75. Giải phương trình: 23cos 4x 2cos 3x 1− =

Câu 76.Câu 76.Câu 76.Câu 76. Giải phương trình: x

cos x tan 12

+ =

Câu 77.Câu 77.Câu 77.Câu 77. Giải phương trình: 23 tan2x 4 tan 3x tan 3x tan2x− =

Câu 78.Câu 78.Câu 78.Câu 78. Giải phương trình: 2 3cos x cos 4x cos2x cos 3x cos 4x

2+ + =

Câu 79.Câu 79.Câu 79.Câu 79. Giải phương trình: ( )( )1 tan x 1 sin2x 1 tan x− + = +

Câu 80.Câu 80.Câu 80.Câu 80. Giải phương trình: 6 6 213sin x cos x cos 2x

8+ =

Câu 81.Câu 81.Câu 81.Câu 81. Giải phương trình: 6 6 1sin x cos x cos2x

16+ = +

Câu 82.Câu 82.Câu 82.Câu 82. Giải phương trình: ( )25 sin x 2 3 tan x 1 sin x− = −




4 1sin x sin x 1

8+ − =

Câu 84.Câu 84.Câu 84.Câu 84. Giải phương trình: 28x 2xcos cos

3 3=

Câu 85.Câu 85.Câu 85.Câu 85. Giải phương trình: 2 xcos2x 3cos x 4 cos

2− =

Câu 86.Câu 86.Câu 86.Câu 86. Giải phương trình: 2cos5x cos x cos4x cos2x 4 3sin x= + − Câu 87.Câu 87.Câu 87.Câu 87. Giải phương trình: 2cos x cos2x 1 cos2x cos 3x= + +

Câu 88.Câu 88.Câu 88.Câu 88. Giải phương trình: ( )sin 3x cos2x 2 sin2x cos x 1+ = −

Câu 89.Câu 89.Câu 89.Câu 89. Giải phương trình: ( )4 42 cos 2x sin 2x cos 8x cos 4x 0− + − =

Câu 90.Câu 90.Câu 90.Câu 90. Giải phương trình: ( ) 2 x 5 17 1 92cos 2 2x cos 10cos x sin x

2 2 2 2 2

π π π − + − − − = −


4 cos x cos 2x3 3 2

π π − + + =

Câu 92.Câu 92.Câu 92.Câu 92. Giải phương trình: 4 4 5sin x cos x 2sin x

2+ = −

Câu 93.Câu 93.Câu 93.Câu 93. Giải phương trình: 6 6 1sin x cos x sin2x

4+ =

Câu 94.Câu 94.Câu 94.Câu 94. Giải phương trình: 2 23sin 2x 8 sin x 11 3cos2x

0sin2x

+ − −=

Câu 95.Câu 95.Câu 95.Câu 95. Giải phương trình: ( ) 2cos2x 3 2 2sin x 3 2 sin x

1 0sin2x 1

+ + −− =

+

Câu 96.Câu 96.Câu 96.Câu 96. Giải phương trình: sin x 1

11 cos2x

+=

+

Câu 97.Câu 97.Câu 97.Câu 97. Giải phương trình: cos2x 3cot2x sin 4x

2cot2x cos2x

+ +=

−

Câu 98.Câu 98.Câu 98.Câu 98. Giải phương trình:

4 4

4

x xsin cos

2 2 cos x

tan x tan x4 4

+=

π π − +


2

1 1cos x cos x

cos xcos x+ = +

Câu 100.Câu 100.Câu 100.Câu 100. Giải phương trình: ( )( )cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x+ = − −



C –––– PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS ZPT CỔ ĐIỂN]BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS ZPT CỔ ĐIỂN]BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS ZPT CỔ ĐIỂN]BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS ZPT CỔ ĐIỂN]

��

Dạng: ( ) { }( ) a sin x bcos x c , a,b \ 0+ = ∗ ∈ �

Phương pháp 1Phương pháp 1Phương pháp 1Phương pháp 1:

Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2a b c+ ≥

Chia 2 vế phương trình cho 2 2a b 0+ ≠ , ta được:

( )2 2 2 2 2 2

a b csin x cos x

a b a b a b∗ ⇔ + =

+ + +.

Đặt ( ) 2 2 2 2

a bsin ;cos , 0;2

a b a b

α = α = α ∈ π + +

. Phương trình trở thành:

2 2 2 2

c csin sin x cos cos x cos(x )

a b a bα + α = ⇔ − α =

+ + đã biết cách giải.

Phương pháp 2Phương pháp 2Phương pháp 2Phương pháp 2:

Kiểm tra xem x x

cos 0 k x k22 2 2

π= ⇔ = + π ⇔ = π + π có phải là nghiệm hay không ? Nếu

phải thì ghi nhận nghiệm này.

Với x x

cos 0 k x k22 2 2

π≠ ⇔ ≠ + π ⇔ ≠ π + π , ta đặt:

2

2 2

x 2t 1 tt tan sin x , cos x

2 1 t 1 t

−= ⇒ = =

+ +. Thay vào phương trình, ta được:

( ) ( ) 2(b c)t 2at c b 0∗ ⇔ + − + − = ∗ ∗ .

Vì x k2 b c 0≠ π + π ⇔ + ≠ nên ( )∗ ∗ có nghiệm khi:

2 2 2 2 2 2' a (c b ) 0 a b c∆ = − − ≥ ⇔ + ≥ .

Giải phương trình ( )∗ ∗ , ứng với mỗi nghiệm t ta có phương trình: x

tan t x2

= ⇒





cos7x 3 sin7x 2 , x ;5 7

π π − = − ∗ ∀ ∈

BàiBàiBàiBài102102102102. Giải phương trình: ( ) 2

x xsin cos 3 cos x 2

2 2

+ + = ∗


tan x sin2x cos2x 2 2cos x 0cos x

− − + − = ∗

BàiBàiBàiBài104104104104. Giải phương trình: ( )

( )( )( )

1 2 sin x cos x3

1 2 sin x 1 sin x

−= ∗

+ −


8 sin xcos x sin x

= + ∗

Bài106Bài106Bài106Bài106. Giải phương trình: ( ) ( ) 3sin x cos x sin2x 3 cos3x 2 cos4x sin x+ + = + ∗

Bài107Bài107Bài107Bài107. Giải phương trình: ( ) 33sin 3x 3 cos9x 1 4 sin 3x− = + ∗

Bài108Bài108Bài108Bài108. Giải phương trình: ( ) 3 cos5x 2sin 3x cos2x sin x 0− − = ∗

Bài109Bài109Bài109Bài109. Giải phương trình: ( ) 9 sin x 6cos x 3 sin2x cos2x 8+ − + = ∗

Bài110Bài110Bài110Bài110. Giải phương trình: ( ) sin2x 2cos2x 1 sin x 4 cos x+ = + − ∗

Bài111Bài111Bài111Bài111. Giải phương trình: ( ) 2 sin2x cos2x 7 sin x 2cos x 4− = + − ∗

Bài112Bài112Bài112Bài112. Giải phương trình: ( ) sin2x cos2x 3sin x cos x 2− = + − ∗

Bài113Bài113Bài113Bài113. Giải phương trình: ( ) 32cos x cos2x sin x 0+ + = ∗


1 cos2x1 cot2x

sin 2x

−+ = ∗

Bài115Bài115Bài115Bài115. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 44 sin x cos x 3 sin 4x 2+ + = ∗

Bài116Bài116Bài116Bài116. Giải phương trình: ( ) 3 3 11 sin 2x cos 2x sin 4x

2+ + = ∗

Bài117Bài117Bài117Bài117. Giải phương trình: ( ) ( ) tan x 3cotx 4 sin x 3 cos x− = + ∗

Bài118Bài118Bài118Bài118. Giải phương trình: ( ) 3 3sin x cos x sin x cos x+ = − ∗

Bài119Bài119Bài119Bài119. Giải phương trình: ( ) 4 4 1cos x sin x

4 4

π + + = ∗

Bài120Bài120Bài120Bài120. Giải phương trình: ( ) 3 34 sin x cos 3x 4 cos x sin 3x 3 3 cos 4x 3+ + = ∗

Bài121Bài121Bài121Bài121. Giải phương trình: ( )2 2 sin x cos x cos x 3 cos2x+ = + ( ) ∗

Bài122Bài122Bài122Bài122. Giải phương trình: ( )( )2cos x 1 sin x cos x 1− + = ( ) ∗

Bài123Bài123Bài123Bài123. Giải phương trình: ( )2cos2x 6 cos x sin x= − ( ) ∗



Bài124Bài124Bài124Bài124. Giải phương trình: 2cos3x 3 sin x cos x 0+ + = ( ) ∗

Bài125Bài125Bài125Bài125. Giải phương trình: cos x 3 sin x sin2x cos x sin x+ = + + ( ) ∗


cos x 3 sin xcos x 3 sin x 1

+ =+ +

( ) ∗

Bài127Bài127Bài127Bài127. Giải phương trình: sin x cos x cos2x+ = ( ) ∗

Bài128Bài128Bài128Bài128. Giải phương trình: 34 sin x 1 3sin x 3 cos 3x− = − ( ) ∗

Bài129Bài129Bài129Bài129. Giải phương trình: 2cos7x cos5x 3 sin2x 1 sin x− = + ( ) ∗

Bài130Bài130Bài130Bài130. Giải phương trình: ( )4 sin2x 3cos2x 3 4 sin x 1− = − ( ) ∗


tan x sin2x cos2x 4 cos xcos x

− − = − + ( ) ∗

Bài132Bài132Bài132Bài132. Giải phương trình: ( ) 2 x2 3 cos x 2 sin

2 41

2cos x 1

π − − − =

−( ) ∗

BàBàBàBài133i133i133i133. Giải phương trình: ( ) ( )2

3cos x 4 sin x 6 2 3 3cos x 4 sin x 6− − + = − − − ( ) ∗

Bài134Bài134Bài134Bài134. Giải phương trình: 9 3

sin 2x 3cos x 1 2sin x2 2

π π + − − = + ( ) ∗

Bài135Bài135Bài135Bài135. Giải phương trình: ( )2 2sin x 1 .cos 3x cos x.sin 3x 2+ + = ( ) ∗


cos x sin2x3

2cos x sin x 1

−= ∗

− −


tan x 3cos x

− = ∗

Bài138Bài138Bài138Bài138. Giải phương trình: ( ) 33sin5x 3 cos15x 1 4 sin 5x− = + ∗

Bài139Bài139Bài139Bài139. Giải phương trình: ( ) 3 3 5cos x cos3x sin x sin 3x

8− = ∗

Bài140Bài140Bài140Bài140. Giải phương trình: ( ) 10cos x 3cotx 4= + ∗

Bài141Bài141Bài141Bài141. Giải phương trình: ( ) ( ) cos 3x sin x 3 cos x sin 3x− = − ∗


4 sin2x 3cos2x 5cos 3x 02

π − − + = ∗

Bài143Bài143Bài143Bài143. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 sin2x 3cos2x 3 4 sin x 1− = − ∗

Bài145Bài145Bài145Bài145. Giải phương trình: ( ) x 5 x 8

2cos sin cos3x 12 2

+ π − π = − ∗

Bài146Bài146Bài146Bài146. Giải phương trình: ( ) ( ) 3sin x cos x sin2x 3 cos3x 2 cos4x sin x+ + = + ∗


1 2sin x cos x 1 sin x cos x+ = + + ∗

Bài148Bài148Bài148Bài148. Giải phương trình: ( ) 3 cos5x 2sin 3x cos2x sin x 0− − = ∗



Bài149Bài149Bài149Bài149. Giải phương trình: ( ) ( ) 22cos x 3 sin2x 1 3 sin x 3 cos x+ + = + ∗

Bài150Bài150Bài150Bài150. Giải phương trình: ( ) ( ) 2sin 5x 2 3 1 sin x tg x− = − ∗


Câu 101.Câu 101.Câu 101.Câu 101. Giải phương trình: 1 3 9 1 3 5 2

cos x sin x2 2 22 2 2 2

+ π − π − + + =

Câu 102.Câu 102.Câu 102.Câu 102. Giải phương trình: 1 sin x 1

1 cos x 2

+=

+

Câu 103.Câu 103.Câu 103.Câu 103. Giải phương trình: 3 cos2x sin2x 2sin 2x 2 26

π + + − =

Câu 104.Câu 104.Câu 104.Câu 104. Giải phương trình: ( ) 221sin 2x 3 sin 2x cos2x 2sin x

2

π + + π − = +


2sin x sin x4 4 2

π π + + − =

Câu 106.Câu 106.Câu 106.Câu 106. Giải phương trình: cos x 3 sin x 2cos x3

π − = −

Câu 107.Câu 107.Câu 107.Câu 107. Giải phương trình: sin x 2 sin5x cos x= −

Câu 108.Câu 108.Câu 108.Câu 108. Giải phương trình: sin x cos x 2 2 sin x cos x+ =

Câu 109.Câu 109.Câu 109.Câu 109. Giải phương trình: sin5x cos5x 2 cos13x+ =

Câu 110.Câu 110.Câu 110.Câu 110. Giải phương trình: ( )cos7x sin5x 3 cos5x sin7x− = −

Câu 111.Câu 111.Câu 111.Câu 111. Giải phương trình: ( )sin 8x cos6x 3 sin6x cos8x− = +

Câu 112.Câu 112.Câu 112.Câu 112. Giải phương trình: ( )( ) 2sin x 1 1 cos x cos x− + =


12cos x 5sin x 8 012cos x 5sin x 14

+ + + =+ +

Câu 114.Câu 114.Câu 114.Câu 114. Giải phương trình: x x

2 cos x 3 sin x sin 3 cos2 2

+ + = +

Câu 115.Câu 115.Câu 115.Câu 115. Giải phương trình: cos x sin x

cotx tan xsin x cos x

−− =


sin x tan x cos xcos x

+ = −


4 sin x 3cos x 4 1 tan xcos x

+ = + −

Câu 118.Câu 118.Câu 118.Câu 118. Giải phương trình: sin 5x 3 cos5x 2sin7x+ = Câu 119.Câu 119.Câu 119.Câu 119. Giải phương trình: 3sin x cos x 1+ = Câu 120.Câu 120.Câu 120.Câu 120. Giải phương trình: sin x 5cos x 1+ =

Câu 121.Câu 121.Câu 121.Câu 121. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 1 3 sin x 1 3 cos x 2 , x 0;+ + − = ∀ ∈ π



Câu 122.Câu 122.Câu 122.Câu 122. Giải phương trình: ( ) 13

sin 3x 3 2 cos 3x 1 , x ;9 9

π π + − = ∀ ∈

Câu 123.Câu 123.Câu 123.Câu 123. Giải phương trình: ( ) ( )3 2 sin x 3 2 cos x 20− + + =

Câu 124.Câu 124.Câu 124.Câu 124. Giải phương trình: ( ) ( )sin x 1 sin x cos x 1 cos x− = −

Câu 125.Câu 125.Câu 125.Câu 125. Giải phương trình: 2 23cos x sin x sin2x= +

Câu 126.Câu 126.Câu 126.Câu 126. Giải phương trình: 33sin 3x 3 cos9x 1 sin 3x− = +

Câu 127.Câu 127.Câu 127.Câu 127. Giải phương trình: cos7x cos5x 3 sin2x 1 sin7x sin5x− = −

Câu 128.Câu 128.Câu 128.Câu 128. Giải phương trình: 3sin x 4 sin x 5sin 5x 03 6 6

π π π − + + + + =

Câu 129.Câu 129.Câu 129.Câu 129. Giải phương trình: sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2+ + + =


3 sin x cos x 33 sin x cos x 1

+ = ++ +


3cos x 4 sin x 63cos x 4 sin x 1

+ + =+ +


1 cos x cos2x cos 3x 23 3 sin x

32cos x cos x 1

+ + += −

+ −

Câu 133.Câu 133.Câu 133.Câu 133. Giải phương trình: ( )cos2x 3 sin2x 3 sin x cos x 4 0− − − + =

Câu 134.Câu 134.Câu 134.Câu 134. Giải phương trình: 33sin2x 3 cos6x 1 4 sin 2x− = +


cos x 3 sin x 33 sin x cos x 1

+ = −+ +

Câu 136.Câu 136.Câu 136.Câu 136. Giải phương trình: cos9x 2cos6x 2 0− − =

Câu 137.Câu 137.Câu 137.Câu 137. Giải phương trình: sin x sin2x

3cos x cos2x

−=

−

Câu 138.Câu 138.Câu 138.Câu 138. Giải phương trình: ( )22cos x 3 sin2x 1 3 sin x 3 cos x+ + = +

Câu 139.Câu 139.Câu 139.Câu 139. Giải phương trình: sin2x cos2x 3sin x cos x 2 0+ + − − =

Câu 140.Câu 140.Câu 140.Câu 140. Giải phương trình: x 5 x 8

2cos sin cos 3x 12 2

+ π − π = −

Câu 141.Câu 141.Câu 141.Câu 141. Giải phương trình: 4 sin x cos 3x 2sin2x 3 sin x cos x+ = +

Câu 142.Câu 142.Câu 142.Câu 142. Giải phương trình: 21 3 cotx2 3 cotx 1 cot x

sin x sin x− = + −

Câu 143.Câu 143.Câu 143.Câu 143. Giải phương trình: 3sin x 4 sin x 5sin 5x 03 6 6

π π π − + + + + =

Câu 144.Câu 144.Câu 144.Câu 144. Giải phương trình: cos2x 3sin2x 5sin x 3cos x 3+ + − =

Câu 145.Câu 145.Câu 145.Câu 145. Giải phương trình: ( ) ( )3 2

2

4 cos x 2cos x 2 sin x 1 sin2x 2 sin x cos x0

2 sin x 1

+ − − − +=

−

Câu 146.Câu 146.Câu 146.Câu 146. Giải phương trình: ( ) ( )3sin2x cosx 3 2 3 cos x 3 3 cos2x 8 3 cosx sinx 3 3+ − − + − =



Câu 147.Câu 147.Câu 147.Câu 147. Giải phương trình: ( )( )2 2sin x 4sinx 3 sin2x 3cos x 2 1 2sinx sinx 3 cosx+ + + − = + +

Câu 148.Câu 148.Câu 148.Câu 148. Giải phương trình: 2 2cos x 3 sin2x 1 sin x− = +

Câu 149.Câu 149.Câu 149.Câu 149. Giải phương trình: 2 3cos x 3 sin2x sin x 1− = +

Câu 150.Câu 150.Câu 150.Câu 150. Giải phương trình: sin 3x 3 cos 3x sin2x 3 cos2x sin x 3 cos x+ + + = +

D –––– PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LƯỢNG GIÁC LƯỢNG GIÁC LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤPĐẲNG CẤPĐẲNG CẤPĐẲNG CẤP

��

� Dạng 1Dạng 1Dạng 1Dạng 1. ( ) 2 2a.sin X b.sinX cosX c.cos X d 1 a,b, c,d+ + = ∀ ∈ � .

Phương pháp 1Phương pháp 1Phương pháp 1Phương pháp 1. Chia hai vế cho 2cos X (hay 2sin X ).

Bước 1. Kiểm tra xem ( ) ( ) 2

cosX 0X k , k Hay X k

sin x 12

=π = + π ∈ ⇔ = π =

� có phải là nghiệm

của phương trình ( )1 hay không ? Nếu phải thì ghi nhận nghiệm này.

Bước 2. Khi ( ) ( ) 2

cosX 0X k , k Hay X k

sin x 12

≠π ≠ + π ∈ ⇔ ≠ π ≠

� . Chia hai vế của ( )1 cho

2cos X (hay 2sin X ), ta được:

( )2 2

2 2 2 2

sin X sinX cosX cos X d1 a. b. c.

cos X cos X cos X cos X⇔ + + =

( ) 2 2a tan X b tanX c d 1 tan X⇔ + + = +

( ) 2a d tan X b tanX c d 0⇔ − + + − = .

Bước 3: Đặt t tanX= để đưa về phương trình bậc hai mà biết cách giải.

Phương pháp 2Phương pháp 2Phương pháp 2Phương pháp 2: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi

Bước 1: Thế 2 21 cos2X 1 cos2Xsin X ; cos X

2 2

− += = và

sin2XsinX cosX

2= vào ( )1 và

rút gọn lại, ta được: ( ) ( ) bsin2X c a cos2X 2d a c+ − = − − ∗

Bước 2: Giải phương trình ( )∗ , tìm nghiệm. Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2X và

cos2X (phương trình cổ điển) mà đã biết cách giải.

� Dạng Dạng Dạng Dạng 2222. ( )( )

3 2 2 3

4 3 2 2 3 4

a.sin X b.sin X cosX c.sinX cos X d.cos X 0 2

a.sin X b.sin X cosX c.sin X cos X d.sinX cos X e.cos X 3

+ + + = + + + +

Phương phápPhương phápPhương phápPhương pháp: Chia hai vế của ( )2 cho 3cos X (hay 3sin X ) hoặc chia hai vế của ( )3 cho

4cos X (hay 4sin X ) và giải tương tự như trên.




Bài151Bài151Bài151Bài151. Giải phương trình: ( ) 2 2cos x 3 sin2x 1 sin x− = + ∗

Bài152Bài152Bài152Bài152. Giải phương trình: ( ) 3 3 2cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0− − + = ∗

Bài153Bài153Bài153Bài153. Giải phương trình: ( ) 4 2 2 43cos x 4 sin x cos x sin x 0− + = ∗

Bài154Bài154Bài154Bài154. Giải phương trình: ( ) sin2x 2 tan x 3+ = ∗

Bài155Bài155Bài155Bài155. Giải phương trình: ( ) 3sin x sin2x sin 3x 6cos x+ = ∗

Bài156Bài156Bài156Bài156. Giải phương trình: ( ) 2cos2x 1cotx 1 sin x sin2x

1 tan x 2− = + − ∗

+

Bài157Bài157Bài157Bài157. Giải phương trình: ( ) sin 3x cos 3x 2cos x 0+ + = ∗

Bài158Bài158Bài158Bài158. Giải phương trình: ( ) 3 5sin 4x cos x6sin x 2cos x

2cos2x− = ∗

Bài159Bài159Bài159Bài159. Giải phương trình: 3sin x 4 sin x cos x 0− + =

Bài160Bài160Bài160Bài160. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2tan x sin x 2 sin x 3 cos2x sin x cos x− = + ∗

Bài161Bài161Bài161Bài161. Giải phương trình: ( ) 3 2cos x sin x 3 sin x cos x 0+ − = ∗

Bài162Bài162Bài162Bài162. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2sin x tan x 1 3 sin x cos x sin x 3+ = − + ∗

Bài163Bài163Bài163Bài163. Giải phương trình: ( ) 22cos x cos2x sin x 0+ + = ∗


2

3

1 cos xtan x

1 sin x

−= ∗

−

Bài165Bài165Bài165Bài165. Giải phương trình: ( ) 3 2 2 3sin x 5 sin x cos x 3 sin x cos x 3cos x 0− − + = ∗

Bài166Bài166Bài166Bài166. Giải phương trình: ( ) 3 2cos x sin x 3 sin x cos x 0+ − = ∗

Bài167Bài167Bài167Bài167. Giải phương trình: ( ) 1 tan x 2 2 sin x+ = ∗

Bài168Bài168Bài168Bài168. Giải phương trình: ( ) 3 3sin x cos x sin x cos x+ = − ∗

Bài169Bài169Bài169Bài169. Giải phương trình: ( ) 2 23 tan x 4 tan x 4 cotx 3cot x 2 0+ + + + = ∗


2

3 3sin x x3 tan x tan x 8 cos 0

4 2cos x

+ π − + − − = ∗

Bài171Bài171Bài171Bài171. Giải phương trình: ( ) 3 34 cos x 2 sin x 3 sin x 0+ − = ∗

Bài172Bài172Bài172Bài172. Giải phương trình: ( ) 36 sin x 2cos x 5 sin2x cos x− = ∗

Bài173Bài173Bài173Bài173. Giải phương trình: ( ) 1 3 tan x 2sin2x+ = ∗


Bài175Bài175Bài175Bài175. Giải phương trình: ( ) 4 43 sin x 5cos x 3 0+ − = ∗

Bài176Bài176Bài176Bài176. Giải phương trình: ( ) sin x cos x

1sin2x

+= ∗

Bài177Bài177Bài177Bài177. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 2sin x 3 cos x sin x cos x 3 sin x cos x− = − ∗



Bài178Bài178Bài178Bài178. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 3cot x 2 2 sin x 2 3 2 cos x+ = + ∗

Bài179Bài179Bài179Bài179. Giải phương trình: ( ) 3sin x 2 sin x4

π − = ∗

Bài180Bài180Bài180Bài180. Giải phương trình: ( ) 38cos x cos 3x3

π + = ∗

Bài181Bài181Bài181Bài181. Giải phương trình: ( ) 32 sin x 2sin x4

π + = ∗

Bài182Bài182Bài182Bài182. Giải phương trình: ( ) 32 2 cos x 3cos x sin x 04

π − − − = ∗

Bài183Bài183Bài183Bài183. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 34 sin x cos x cos x 3 sin x+ = + ∗

Bài184Bài184Bài184Bài184. Giải phương trình: ( ) 2 2 54 3 sin x cos x 4 cos x 2sin x

2+ = + ∗

Bài185Bài185Bài185Bài185. Giải phương trình: ( ) 2sin x 3 sin x cos x 1 0− + = ∗

Bài186Bài186Bài186Bài186. Giải phương trình: ( ) 4 4 21sin x cos x 2sin2x cos2x cos 2x

2+ = − ∗

Bài187Bài187Bài187Bài187. Giải phương trình: ( ) 4 4 23 5 1sin x cos x sin2x cos2x cos 2x

2 4 4+ = − − ∗

Bài188Bài188Bài188Bài188. Giải phương trình: ( ) 2 2 3 2sin x 3 sin x cos x 2cos x

2

++ + = ∗

Bài189Bài189Bài189Bài189. Giải phương trình: 2 2sin x sin2x 3cos x 3+ + =

Bài190Bài190Bài190Bài190. Giải phương trình: ( )15 17 9

2sin x cos x sin x cosx 3sin 7 x sin x2 2 2

π π π + + + = π − −

Bài191Bài191Bài191Bài191. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )13 5 3

4sin 3 x cos x 4sin x sin x 2sin x cos x 12 2 2

π π π π− − + π+ − + − π+ =

Bài192Bài192Bài192Bài192. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 25 33sin 3 x 2sin x cos x 5sin x 0

2 2 2

π π π π − + + + − + = ∗


3 sin x cos xcos x

+ = ∗


4 sin x 6cos xcos x

+ = ∗

Bài195Bài195Bài195Bài195. Giải phương trình: ( ) 32 27 sin x 2sin2x 3cos x 3 15 0+ − − = ∗

Bài196Bài196Bài196Bài196. Giải phương trình: ( ) 3 3 24 sin x 3cos x 3 sin x sin x cos x 0+ − − = ∗

Bài197Bài197Bài197Bài197. Giải phương trình: ( ) 1 3 sin2x 2 tan x+ = ∗

Bài198Bài198Bài198Bài198. Giải phương trình: ( ) x

2 cos x 2 tan2

+ = ∗

Bài199Bài199Bài199Bài199. Giải phương trình: 1 3 tan x 2sin2x+ = ( )∗

Bài200Bài200Bài200Bài200. Giải phương trình: cotx tan x 2 tan2x= + ( )∗




Câu 151.Câu 151.Câu 151.Câu 151. Giải phương trình: 2 2sin x 2cos x 3sin x cos x+ =

Câu 152.Câu 152.Câu 152.Câu 152. Giải phương trình: 2sin x 3 sin x cos x 1− = −

Câu 153.Câu 153.Câu 153.Câu 153. Giải phương trình: 2 22sin x 3cos x cos2x 5sin2x 0+ − − =

Câu 154.Câu 154.Câu 154.Câu 154. Giải phương trình: 3 3 24 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0+ − − =

Câu 155.Câu 155.Câu 155.Câu 155. Giải phương trình: ( ) ( )2 29 7sin x 3sin x cos x 4 cos 2 x 0

2 2

π π π − + − + − π + =

Câu 156.Câu 156.Câu 156.Câu 156. Giải phương trình: ( ) 2 232cos x 3 3 sin x cos x cos 3 x 2 , x 0;

2 2

π π − + − π − = ∀ ∈

Câu 157.Câu 157.Câu 157.Câu 157. Giải phương trình: 2 2cos 2x 3 sin 4x 1 sin 2x , x ;23

π − = + ∀ ∈ − π

Câu 158.Câu 158.Câu 158.Câu 158. Giải phương trình: 3 3cos x 3sin x cos x sin2x 0 , x ;34

π − + = ∀ ∈ π

Câu 159.Câu 159.Câu 159.Câu 159. Giải phương trình: 2sin2x 3 tan x 5+ =

Câu 160.Câu 160.Câu 160.Câu 160. Giải phương trình: 3 3sin x 3cos x sin x 0+ + =

Câu 161.Câu 161.Câu 161.Câu 161. Giải phương trình: 2cos x sin x 4 cos x sin x 0− − =

Câu 162.Câu 162.Câu 162.Câu 162. Giải phương trình: ( ) ( )2sin x tan x 2 3 cos2x sin x cos x− = +

Câu 163.Câu 163.Câu 163.Câu 163. Giải phương trình: ( ) ( )2sin x tan x 1 sin x cos x sin x 1 0+ − − − =


4 sin xsin x cos x

= +

Câu 165.Câu 165.Câu 165.Câu 165. Giải phương trình: ( ) ( )4 2 43cos x sin 2x sin 3 x 0π − − + π − =


sin 3x cos 3x 2sin x 02

π + − − =

Câu 167.Câu 167.Câu 167.Câu 167. Giải phương trình: ( )3 sin2x 2cos x 1 2 cos3x cos2x 3cos x+ + = + −

Câu 168.Câu 168.Câu 168.Câu 168. Giải phương trình: 32cos x sin 3x=

Câu 169.Câu 169.Câu 169.Câu 169. Giải phương trình: 3 3 11 sin 2x cos 2x sin 4x

2+ + =

Câu 170.Câu 170.Câu 170.Câu 170. Giải phương trình: ( )6 68 sin x cos x 3 3 sin 4x 3 3 cos2x 11sin2x 11+ + = − +

Câu 171.Câu 171.Câu 171.Câu 171. Giải phương trình: 3 3 24 sin x 3cos x 3 sin x sin x cos x 0+ − − =



E –––– PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐỐI XỨNGLƯỢNG GIÁC ĐỐI XỨNGLƯỢNG GIÁC ĐỐI XỨNGLƯỢNG GIÁC ĐỐI XỨNG

��

� Dạng 1Dạng 1Dạng 1Dạng 1. ( )a sin x cos x b sin x cos x c 0+ + + =

2t 1

PP : t sin x cos x, t 2 sin x cos x2

−⇒ = + ≤ ⇒ = .

� Dạng 2Dạng 2Dạng 2Dạng 2. ( )a sin x cos x bsin x cos x c 0− + + =

21 t

PP : t sin x cos x, t 2 sin x cos x2

−⇒ = − ≤ ⇒ = .

� Dạng 3Dạng 3Dạng 3Dạng 3. ( ) ( )2 2a tan x cot x b tan x cotx c 0+ + + + =

( )sin x 0 k

ÐK : sin2x 0 x , kcos x 0 2

≠ π ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈ ≠

� .

2 2 2PP : t tan x cotx , t 2 tan x cot x t 2⇒ = + ≥ ⇒ + = − .

� Dạng 4Dạng 4Dạng 4Dạng 4. ( ) ( )2 2a tan x cot x b tan x cotx c 0+ + − + =

( )sin x 0 k

ÐK : sin2x 0 x , kcos x 0 2

≠ π ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈ ≠

� .

2 2 2PP : t tan x cotx , t 2 tan x cot x t 2⇒ = − ≥ ⇒ + = + .

� Dạng 5Dạng 5Dạng 5Dạng 5. ( )4 4a sin x cos x b sin2x c 0+ + + =

4 4 2 21 1PP : t sin2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x 1 t

2 2⇒ = ≤ ⇒ + = − = − .

� Dạng 6Dạng 6Dạng 6Dạng 6. ( )4 4a sin x cos x bcos2x c 0+ + + =

4 4 2 2 21 1 1 1 1PP : t cos2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x cos 2x t

2 2 2 2 2⇒ = ≤ ⇒ + = − = + = + .

� Dạng 7Dạng 7Dạng 7Dạng 7. ( )6 6a sin x cos x b sin2x c 0+ + + =

6 6 2 23 3PP : t sin2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x 1 t

4 4⇒ = ≤ ⇒ + = − = − .

� Dạng 8Dạng 8Dạng 8Dạng 8. ( )6 6a sin x cos x bcos2x c 0+ + + =

6 6 2 2 23 1 3 1 3PP : t cos2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x cos 2x t

4 4 4 4 4⇒ = ≤ ⇒ + = − = + = + .

Dạng 9Dạng 9Dạng 9Dạng 9. 4 4a sin x bcos x c cos2x d 0+ + + =

( )

( )

2

2 4

22

4

1 t1 cos2x 1 tsin x sin x

2 2 4PP : t cos2x, t 11 cos2x 1 t 1 tcos x

cos x2 24

− − − = = = ⇒ = ≤ ⇒ ⇒ + + + = = =




Bài Bài Bài Bài 201201201201. Giải phương trình: ( ) 2 3sin x sin x cos x 0+ + = ∗

Bài Bài Bài Bài 202202202202. Giải phương trình: ( ) 3 3 3sin x cos x 1 sin2x

2+ − = ∗

Bài Bài Bài Bài 202020203333. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 sin x cos x tan x cotx+ = + ∗

Bài Bài Bài Bài 202020204444. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 cotx cos x 5 tan x sin x 2− − − = ∗

Bài Bài Bài Bài 202020205555. Giải phương trình: ( )

( ) 3 2

2

3 1 sin x x3 tan x tan x 8 cos

4 2cos x

+ π − + = − ∗

Bài Bài Bài Bài 202020206666. Giải phương trình: ( ) 3 32 sin x sin x 2cos x cos x cos2x− = − + ∗

Bài Bài Bài Bài 202020207777. Giải phương trình: ( ) 2 3 4 2 3 4sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x+ + + = + + + ∗

Bài Bài Bài Bài 202020208888. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 3 3tan x 1 sin x cos x 1 0− + − = ∗

Bài Bài Bài Bài 202020209999. Giải phương trình: ( ) ( ) 3

2cos 2x 2 sin x cos x 3sin2x 3+ + − = ∗

Bài Bài Bài Bài 212121210000. Giải phương trình: ( ) 2 sin x cotx 2 sin2x 1+ = + ∗

Bài Bài Bài Bài 212121211111. Giải phương trình: ( )( ) ( ) cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x+ = − − ∗

Bài Bài Bài Bài 212121212222. Giải phương trình: ( ) 3 3cos x sin x cos2x+ = ∗

Bài Bài Bài Bài 212121213333. Giải phương trình: ( ) 3 3cos x sin x 1− = ∗

Bài Bài Bài Bài 212121214444. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 22cos2x sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x+ + = + ∗

Bài Bài Bài Bài 212121215555. Giải phương trình: ( ) 2 23 tan x 4 tan x 4 cotx 3cot x 2 0+ + + + = ∗

Bài Bài Bài Bài 212121216666. Giải phương trình: ( ) 2 3 2 3tan x tan x tan x cotx cot x cot x 6+ + + + + = ∗

Bài Bài Bài Bài 212121217777. Giải phương trình: ( ) 2

2

22 tan x 5 tan x 5cotx 4 0

sin x+ + + + = ∗

Bài Bài Bài Bài 212121218888. Giải phương trình: ( ) ( ) 2

2

1 5cot x tan x cotx 2 0

2cos x+ + + + = ∗

Bài Bài Bài Bài 212121219999. Giải phương trình: ( ) 3 31 cos x sin x sin x+ − = ∗

Bài Bài Bài Bài 222222220000. Giải phương trình: ( ) 3 2cos x cos x 2 sin x 2 0+ + − = ∗


Bài Bài Bài Bài 222222222222. Giải phương trình: ( ) cotx tan x sin x cos x− = + ∗

Bài Bài Bài Bài 222222223333. Giải phương trình: ( ) 1 tan x sin x cos x+ = + ∗

Bài Bài Bài Bài 222222224444. Giải phương trình: ( ) sin2x 2 sin x 14

π + − = ∗

Bài Bài Bài Bài 222222225555. Giải phương trình: ( ) ( ) sin2x 12 sin x cos x 12 0− − + = ∗

Bài Bài Bài Bài 222222226666. Giải phương trình: ( ) sin x cos x

1sin2x 1

+= ∗

+




3

1 cos2x 1 cos x

1 cos2x 1 sin x

− −= ∗

+ −

Bài Bài Bài Bài 222222228888. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 5 sin x cos x sin 3x cos 3x 2 2 2 sin2x+ + − = + ∗

Bài Bài Bài Bài 222222229999. Giải phương trình: ( ) 1 sin x cos x sin2x 2cos2x 0+ + + + = ∗

Bài Bài Bài Bài 232323230000. Giải phương trình: ( ) 2 2sin x cos x cos2x sin x cos x sin x cos x− + = + ∗


Bài Bài Bài Bài 232323232222. Giải phương trình: ( ) 2 3cos x sin x cos x 0+ + = ∗

Bài Bài Bài Bài 232323233333. Giải phương trình: ( ) 34 sin x 1 3 sin x 3 cos 3x− = − ∗

Bài Bài Bài Bài 232323234444. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 21 sin x cos x 1 cos x sin x 1 sin2x+ + + = + ∗

Bài Bài Bài Bài 232323235555. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 2 sin x 2cos x 2+ + = ∗

Bài Bài Bài Bài 232323236666. Giải phương trình: ( ) 1 tan x 2 2 sin x+ = ∗

Bài Bài Bài Bài 232323237777. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 cot2x cot3x tan2x cot3x− = + ∗

Bài Bài Bài Bài 232323238888. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2tan x cot x 2 tan x cotx 6+ + + = ∗

Bài Bài Bài Bài 232323239999. Giải phương trình: ( ) 23 tan2x 4 tan 3x tan 3x tan2x− = ∗

Bài Bài Bài Bài 242424240000. Giải phương trình: ( ) 2tan2x cotx 8 cos x+ = ∗

Bài Bài Bài Bài 242424241111. Giải phương trình: ( ) 3tan x cotx 2cot 2x= + ∗

Bài Bài Bài Bài 242424242222. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 44 sin x cos x 3 sin 4x 2+ + = ∗

Bài Bài Bài Bài 242424243333. Giải phương trình: ( ) 6 6sin x cos x sin2x+ = ∗

Bài Bài Bài Bài 242424244444. Giải phương trình: ( ) ( ) tan x cotx 2 sin2x cos2x+ = + ∗

Bài Bài Bài Bài 242424245555. Giải phương trình: ( ) cotx tan x 2 tan2x= + ∗

Bài Bài Bài Bài 242424246666. Giải phương trình: ( ) 6 tan x 5cot3x tan2x+ = ∗


2 tan x cotx 3sin x

+ = + ∗

Bài Bài Bài Bài 242424248888. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2tan x tan 3x tan 4x tan x tan 3x tan 4x= − + ∗

Bài Bài Bài Bài 242424249999. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2tan x cot 2x cot3x tan x cot 2x cot3x= − + ∗

Bài Bài Bài Bài 222255550000. Giải phương trình: ( ) 2 23 tan x 4 tan x 4 cotx 3cot x 2 0+ + + + = ∗

BABABABA�I TÂI TÂI TÂI TÂ�P P P P RERERERE �N N N N LUYÊLUYÊLUYÊLUYÊ �NNNN

Câu 172.Câu 172.Câu 172.Câu 172. Giải phương trình: sin2x 2 2(sin x cos x) 5− + =

Câu 173.Câu 173.Câu 173.Câu 173. Giải phương trình: ( )

( )2cos x cos x 1

2 1 sin xsin x cos x

−= +

+



Câu 174.Câu 174.Câu 174.Câu 174. Giải phương trình: 2 22 sin x 2 sin x tan x4

π − = −

Câu 175.Câu 175.Câu 175.Câu 175. Giải phương trình: 3 3sin x cos x cos2x tan x tan x4 4

π π − = + −

Câu 176.Câu 176.Câu 176.Câu 176. Giải phương trình: 4 2 2 43cos x 4 sin x cos x sin x 0− + =

Câu 177.Câu 177.Câu 177.Câu 177. Giải phương trình: ( ) ( )3 cotx cos x 5 tan x sin x 2− − − =

Câu 178.Câu 178.Câu 178.Câu 178. Giải phương trình: sin x cos x 4 sin2x 1− = =

Câu 179.Câu 179.Câu 179.Câu 179. Giải phương trình: sin x cos x sin x cos x 1+ + =


cos x sin xcos x sin x 3

+ + + =

Câu 181.Câu 181.Câu 181.Câu 181. Giải phương trình: ( )4 4 2 2cos x sin x 2 1 sin x cos x sin x cos x sin x cos x+ − − = +

Câu 182.Câu 182.Câu 182.Câu 182. Giải phương trình: ( )( )1 2 sin x cos x 2sin x cos x 1 2+ − + = +


sin x cos x 1 sin x cos x3

+ = +

Câu 184.Câu 184.Câu 184.Câu 184. Giải phương trình: sin x cos x 7 sin2x 1− + =

Câu 185.Câu 185.Câu 185.Câu 185. Giải phương trình: ( )sin 3x cos 3x 2 sin x cos x 1− + + =

Câu 186.Câu 186.Câu 186.Câu 186. Giải phương trình: ( )1 1

2 2 sin2x tan x cotx 0sin x cos x

+ + + + + =


cos x sin xsin x cos x 3

− + − = −

Câu 188.Câu 188.Câu 188.Câu 188. Giải phương trình: 3 3 2 3 2cos 3x cos x sin 3x sin x

8

+− =

Câu 189.Câu 189.Câu 189.Câu 189. Giải phương trình: ( ) ( )3 tan x cotx 2 2 sin2x+ = +

Câu 190.Câu 190.Câu 190.Câu 190. Giải phương trình: ( )2 2

1 1 5tan x cotx 1 0

2sin x cos x+ − + + =

Câu 191.Câu 191.Câu 191.Câu 191. Giải phương trình: ( )2 2tan x cot x 3 tan x cotx 6+ + − =

Câu 192.Câu 192.Câu 192.Câu 192. Giải phương trình: ( )2 1 sin x cos x tan x cotx 0− − + + =


3

x x x xsin cos 2 sin x sin cos 2 2 0

2 2 2 2

+ − + + − =

Câu 194.Câu 194.Câu 194.Câu 194. Giải phương trình: ( )1 1 1 1

sin 3x cos 3x 1 tan 3x cot3x 02 2 cos 3x cos 3x

+ + + + + + =


1 12 tan2x 2cot2x 8 0

cos 2x sin 2x+ + + − =


4 4tan x cot x 8 tan x cotx 9 0+ − + + =



F –––– PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐILƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐILƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐILƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI

��

Phương phápPhương phápPhương phápPhương pháp:

�� Phương trình chứa căn thứcPhương trình chứa căn thứcPhương trình chứa căn thứcPhương trình chứa căn thức: Áp dụng công thức

● A 0 B 0

A BA B A B

≥ ≥ = ⇔ ⇔ = =

● 2

B 0A B

A B

≥= ⇔ =

Lưu ý: Khi giải B 0≥ , ta áp dụng phương pháp thử lại.

� Phương trình chứa giá trị tuyệt đốiPhương trình chứa giá trị tuyệt đốiPhương trình chứa giá trị tuyệt đốiPhương trình chứa giá trị tuyệt đối

Cách 1Cách 1Cách 1Cách 1. Mở giá trị tuyệt đối dựa vào định nghĩa

Cách 2Cách 2Cách 2Cách 2. Áp dụng công thức

● A B

A BA B

== ⇔ = −

●

A 0B 0

A BA BA B

A 0A B

A B

≥ ≥ = == ⇔ ⇔ < = − = −


BàiBàiBàiBài252525251111. Giải phương trình: ( ) 5cos x cos2x 2sin x 0− + = ∗

BàiBàiBàiBài252525252222. Giải phương trình: ( ) 3 3 3 3sin x cos x sin x cotx cos x tan x 2sin2x+ + + = ∗

BàiBàiBàiBài252525253333. Giải phương trình: ( ) 21 8 sin2x cos 2x 2sin 3x4

π + = + ∗

BàiBàiBàiBài252525254444. Giải phương trình: ( ) 1 sin2x 1 sin2x

4 cos xsin x

− + += ∗

BàiBàiBàiBài252525255555. Giải phương trình: ( ) sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2+ + + = ∗

BàiBàiBàiBài252525256666. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 tan x 1 sin x 2cos x 5 sin x 3cos x+ + = + ∗

BàiBàiBàiBài252525257777. Giải phương trình: ( ) ( ) 1

1 cos x cos x cos2x sin 4x2

− + = ∗

BàiBàiBàiBài252525258888. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 3sin x 1 cotx cos x 1 tan x 2 sin x cos x+ + + = ∗

BàiBàiBàiBài252525259999. Giải phương trình: ( ) cos2x 1 sin2x 2 sin x cos x+ + = + ∗

BàiBàiBàiBài262626260000. Giải phương trình: ( ) 1 sin x cos x 0+ + = ∗

BàiBàiBàiBài262626261111. Giải phương trình: ( )

2

2

4xcos cos x

3 01 tan x

−= ∗

−

BàiBàiBàiBài262626262222. Giải phương trình: ( ) sin x 3 cos x 2 cos2x 3 sin2x+ = + + ∗



BàiBàiBàiBài262626263333. Giải phương trình: ( ) 2sin 2x 2sin x 2 2sin x 1− + = − ∗

BàiBàiBàiBài262626264444. Giải phương trình: ( ) 3 tan x

2 3 sin x 32 sin x 1

= − ∗−

BàiBàiBàiBài262626265555. Giải phương trình: ( ) 2 4sin 2x cos 2x 1

0sin x cos x

+ −= ∗

BàiBàiBàiBài262626266666. Giải phương trình: ( ) 28cos4x cos 2x 1 cos3x 1 0+ − + = ∗

BàiBàiBàiBài262626267777. Giải phương trình: ( ) 2sin x sin x sin x cos x 1+ + + = ∗

BàiBàiBàiBài262626268888. Giải phương trình: ( ) 25 3sin x 4 cos x 1 2cos x− − = − ∗

BàiBàiBàiBài262626269999. Giải phương trình: ( ) 2cos2x cos x 1 tan x= + ∗

Bài2Bài2Bài2Bài277770000. Giải phương trình: ( ) cos 3x 1 3 sin 3x= − ∗

BàiBàiBàiBài272727271111. Giải phương trình: ( ) 3 sin x 2 cos x 2 0+ − = ∗

BàiBàiBàiBài272727272222. Giải phương trình: ( ) sin x cos x sin x cos x 1+ + = ∗

BàiBàiBàiBài272727273333. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 2 sin2x 1− + = ∗

BàiBàiBàiBài272727274444. Giải phương trình: ( ) 4 4sin x cos x sin x cos x− = + ∗

BàiBàiBàiBài272727275555. Giải phương trình: ( ) 23 sin2x 2cos x 2 2 2cos2x− = + ∗

BàiBàiBàiBài272727276666. Giải phương trình: ( ) ( ) sin 3x sin x

sin2x cos2x , x 0,21 sin2x

−= + ∀ ∈ π ∗

−

BàiBàiBàiBài272727276666. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 4 sin2x− = − ∗

BàiBàiBàiBài272727278888. Giải phương trình: ( ) 4 sin x 3 cos x 3+ = ∗


tan x cotxcos x

= + ∗


2

1 1 1 1 3cos x2 2

sin x 1 cos x 1 cos x sin x

+ + − = − ∗ − +


cotx tan xsin x

= + ∗

BàiBàiBàiBài282828282222. Giải phương trình: ( ) 2cos x sin x 1− = ∗

BàiBàiBàiBài282828283333. Giải phương trình: ( ) 1 cos x 1 cos x

4 sin xcos x

+ + −= ∗

BàiBàiBàiBài282828284444. Giải phương trình: ( ) 1 cos2x 1

2 cos xsin x 2

− = − ∗

BàiBàiBàiBài282828285555. Giải phương trình: ( ) 3 3sin x cos x

cos2x 1 sin2x2

++ + = ∗

BàiBàiBàiBài282828286666. Giải phương trình: ( ) cos x sin 3x 0+ = ∗




cotx tan xsin x

= + ∗

BàiBàiBàiBài282828288888. Giải phương trình: ( ) cos x 2sin2x cos 3x 1 2 sin x cos2x+ − = + − ∗

BàiBàiBàiBài282828289999. Giải phương trình: ( ) 2tan x 1

tan x 1tan x 1 tan x 1

= + + ∗− −

Bài2Bài2Bài2Bài299990000. Giải phương trình: ( ) sin x cos x sin x cos x 2− + + = ∗

BàiBàiBàiBài292929291111. Giải phương trình: 21 sin x

cot xcos x 1

−=

−( ) ∗

BàiBàiBàiBài292929292222. Giải phương trình: 21 cos x

tan x1 sin x

−=

+( ) ∗

BàiBàiBàiBài292929293333. Giải phương trình: 2 2sin x 2 sin x sin x 2 sin x 3+ − + − = ( ) ∗

BàiBàiBàiBài292929294444. Giải phương trình: 23sin x 4 sin x 1 1− − = ( ) ∗

BàiBàiBàiBài292929295555. Giải phương trình: 2 3cos2x sin x− = ( ) ∗

BàiBàiBàiBài292929296666. Giải phương trình: 3 4 cos2x 2cos x+ = ( ) ∗

BàiBàiBàiBài292929297777. Giải phương trình: 2 cos2x 3 sin2x 3 sin2x cos2x+ + = + ( ) ∗

BàiBàiBàiBài292929298888. Giải phương trình: 21 8 sin2x.cos 2x 2sin 3x4

π + = + ( ) ∗

BàiBàiBàiBài292929299999. Giải phương trình: cos2x 1 sin2x sin x cos x+ + = + ( ) ∗

BàiBàiBàiBài300300300300. Giải phương trình: 1 sin x 1 sin x kcos x+ + − = ( ) ∗ với k 1, k 2= =


Câu 197.Câu 197.Câu 197.Câu 197. Giải phương trình: 1 cos x sin x 0+ + =

Câu 198.Câu 198.Câu 198.Câu 198. Giải phương trình: ( ) 23cos x 1 sin x cos2x 2sin x sin x 1− − = −


2 sin 3x 4 sin2x 1 cos 4x 14

π + = + +

Câu 200.Câu 200.Câu 200.Câu 200. Giải phương trình: 33 7 cotx 2 cotx 3+ + − =

Câu 201.Câu 201.Câu 201.Câu 201. Giải phương trình: 2cos 2x 2cos2x 2 2 sin x sin x 4 0+ − − − + =

Câu 202.Câu 202.Câu 202.Câu 202. Giải phương trình: 3 sin x 2 sin x 1− = + +

Câu 203.Câu 203.Câu 203.Câu 203. Giải phương trình: 2014sin x cos x 2 sin x4

π + = + −

Câu 204.Câu 204.Câu 204.Câu 204. Giải phương trình: 5cos x cos2x 2sin x 0− + =

Câu 205.Câu 205.Câu 205.Câu 205. cos x 2 sin2x cos 3x 1 2sin x cos2x+ − = + −



Câu 206.Câu 206.Câu 206.Câu 206. Giải phương trình: 1 sin2x 1 sin2x

4 cos xsin x

− + +=

Câu 207.Câu 207.Câu 207.Câu 207. Giải phương trình: 2 2 sin x 3 cos2x+ = +

Câu 208.Câu 208.Câu 208.Câu 208. Giải phương trình: 2 21 sin x 2 sin x 5 sin x 2sin x 2+ − + + − =

Câu 209.Câu 209.Câu 209.Câu 209. Giải phương trình: 2 2sin x 2 sin x sin x 2 sin x 3+ − + − =

Câu 210.Câu 210.Câu 210.Câu 210. Giải phương trình: 2 24 cos x 1 4 sin x 3 4+ + + =

Câu 211.Câu 211.Câu 211.Câu 211. Giải phương trình: 338 sin x 1 2 4 sin x 1+ = −


48 sin x 27 cos x 97 , x 0;2

π + = ∀ ∈


sin x 1 cos x 1sin x cos x sin x cos x

− + − =+

Câu 214.Câu 214.Câu 214.Câu 214. Giải phương trình: 25 4 sin x 3cos x 1 sin x− − = −

Câu 215.Câu 215.Câu 215.Câu 215. Giải phương trình: 3 sin x 1 2 sin x+ − = −

Câu 216.Câu 216.Câu 216.Câu 216. Giải phương trình: cos 4x 1 sin 4x 2 sin2x cos2x+ + = +


cos x cos x 12 2

− + + =

Câu 218.Câu 218.Câu 218.Câu 218. Giải phương trình: 82 24 10 8 cos x 8 sin x 1 1+ − − =

Câu 219.Câu 219.Câu 219.Câu 219. Giải phương trình: 3 2 cotx cotx 1 1− + − =

Câu 220.Câu 220.Câu 220.Câu 220. Giải phương trình: 3 31 cos2x 1 cos2x 2− + + =

Câu 221.Câu 221.Câu 221.Câu 221. Giải phương trình: 3 cos6x

cos 4x cos 3x 32

−+ + =


cos x 1 cos 3x 1 1cos x cos 3x

− + − =

Câu 223.Câu 223.Câu 223.Câu 223. Giải phương trình: ( ) 11 cos2x cos2x cos 4x sin 8x

2− + =

Câu 224.Câu 224.Câu 224.Câu 224. Giải phương trình: 2 2cos x 2cos x 5 cos x 4 cos x 8 5− + + + + =

Câu 225.Câu 225.Câu 225.Câu 225. Giải phương trình: 1 cos x 1 cos x

4 sin xcos x

− + +=

Câu 226.Câu 226.Câu 226.Câu 226. Giải phương trình: ( )4 cos2x cos2x 1 1 cos x 1 0+ + − + =

Câu 227.Câu 227.Câu 227.Câu 227. Giải phương trình: 2 x xcos x cos 1 tan

2 2= +

Câu 228.Câu 228.Câu 228.Câu 228. Giải phương trình: x x

cos 1 3 sin2 2

= −

Câu 229.Câu 229.Câu 229.Câu 229. Giải phương trình: sin x cos x 1 2 sin x4

π − = −

Câu 230.Câu 230.Câu 230.Câu 230. Giải phương trình: 4 4x x x xsin cos sin cos

2 2 2 2− = −



G –––– PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰCPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰCPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰCPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

��

�� Loại 1Loại 1Loại 1Loại 1. Tổng hai số không âm. Tổng hai số không âm. Tổng hai số không âm. Tổng hai số không âm:

A 0A 0

B 0B 0

A B 0

≥ = ≥ ⇒ = + =

�� Loại Loại Loại Loại 2222. . . . Phương pháp đối lập dạng 1Phương pháp đối lập dạng 1Phương pháp đối lập dạng 1Phương pháp đối lập dạng 1:

A MA M

B MB M

A B

≤ = ≥ ⇒ = =

�� Loại Loại Loại Loại 3333. . . . Phương pháp đối lập dạng 2Phương pháp đối lập dạng 2Phương pháp đối lập dạng 2Phương pháp đối lập dạng 2:

A MA M

B NB N

A B M N

≤ = ≤ ⇒ = + = +

Đặc biệt ● sin u 1

sin u sin v 2sin v 1

=± = ⇔ = ±

● sin u 1

sin u sin v 2sin v 1

= −+ = − ⇔ = −

● cosu 1

cosu cos v 2cos v 1

=± = ⇔ = ±

● cosu 1

cosu cos v 2cos v 1

= −+ = − ⇔ = −

●

sin u 1

sin v 1sin u.sin v 1

sin u 1

sin v 1

= == ⇔ = − = −

●

sin u 1

sin v 1sin u.sin v 1

sin u 1

sin v 1

= − == − ⇔ = = −

●

cosu 1

cos v 1cosu.cos v 1

cosu 1

cos v 1

= == ⇔ = − = −

●

cosu 1

cos v 1cosu.cos v 1

cosu 1

cos v 1

= − == − ⇔ = = −


BàiBàiBàiBài303030301111. Giải phương trình: ( ) 2 24cos x 3 tan x 4 3 cos x 2 3 tan x 4 0+ − + + = ∗

BàiBàiBàiBài303030302222. Giải phương trình: ( ) 28cos4x cos 2x 1 cos3x 1 0+ − + = ∗


2 3 3 2sin 3xsin x cos 3x sin x sin 3x cos x sin x sin 3x

3sin 4x+ + = ∗


cos2x cos 4x 6 2sin 3x 1− = +

BàiBàiBàiBài303030305555. Giải phương trình: ( ) 3 cos x cos x 1 2 1− − + =



BàiBàiBàiBài303030306666. Giải phương trình: ( ) 3 3sin x cos x

2cos2xsin x cos x

−= ∗

+

BàiBàiBàiBài303030307777. Giải phương trình: ( ) 2 2 5tan x cot x 2sin x 14

π + = +

BàiBàiBàiBài303030308888. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2cos 3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x 1+ − = +

BàiBàiBàiBài303030309999. Giải phương trình: ( ) 4 4sin x cos x sin x cos x− = + ∗

BàiBàiBàiBài313131310000. Giải phương trình: ( ) 3x

cos2x cos 2 04

+ − = ∗

BàiBàiBàiBài313131311111. Giải phương trình: ( ) cos2x cos 4x cos6x cos x cos2x cos3x 2+ + = + ∗

BàiBàiBàiBài313131312222. Giải phương trình: ( ) cos2x 3 sin2x 3 sin x cos x 4 0− − − + = ∗

BàiBàiBàiBài313131313333. Giải phương trình: ( ) 4 cos x 2cos2x cos 4x 1− − = ∗


tan2x tan 3x 0sin x cos2x cos 3x

+ + = ∗

BàiBàiBàiBài313131315555. Giải phương trình: ( ) 2 2cos 3x cos2x cos x 0− = ∗

BàiBàiBàiBài313131316666. Giải phương trình: ( ) 4 6 8 10sin x sin x sin x sin x+ = + ∗

BàiBàiBàiBài313131317777. Giải phương trình: ( ) sin 4x cos 4x 1 4 2 sin x4

π − = + − ∗

BàiBàiBàiBài313131318888. Giải phương trình: ( ) 2 2 21sin x sin 3x sin x sin 3x

4+ = ∗

BàiBàiBàiBài313131319999. Giải phương trình: ( ) 2cos x 2 sin10x 3 2 2cos28x sin x+ = + ∗


cos 4x cos2x 5 sin 3x− = + ∗

BàiBàiBàiBài323232321111. Giải phương trình: ( ) ( ) sin x cos x 2 2 sin3x+ = − ∗

BàiBàiBàiBài323232322222. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) sin 3x cos2x 2 sin 3x cos 3x 1 sin2x 2cos 3x 0− + + − = ∗

BàiBàiBàiBài323232323333. Giải phương trình: ( ) tan x tan2x 3 sin 3x cos2x+ = − ∗

BàiBàiBàiBài323232324444. Giải phương trình: ( ) 13 14cos x sin x 1+ = ∗

BàiBàiBàiBài323232325555. Giải phương trình: ( ) ( ) cos2x cos6x 4 sin2x 1 0− + + = ∗

BàiBàiBàiBài323232326666. Giải phương trình: ( ) 3 3 4sin x cos x 2 sin x+ = − ∗

BàiBàiBàiBài323232327777. Giải phương trình: ( ) 2 23cot x 4 cos x 2 3 cotx 4 cos x 2 0+ − − + = ∗

BàiBàiBàiBài323232328888. Giải phương trình: ( ) sin x 22 sin x sin x cos x+ = + ∗

BàiBàiBàiBài323232329999. Giải phương trình: ( ) sin x2 cos x , x 0;2

π = ∀ ∈ ∗

BàiBàiBàiBài333333330000. Giải phương trình: ( ) 2x

1 cos x2

− = ∗

Bài331Bài331Bài331Bài331. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 3lg sin x 1 sin x 0− + = ∗



Bài332Bài332Bài332Bài332. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2cos 4x cos 6x sin 12x sin 16x 2 , x 0;+ = + + ∗ ∀ ∈ π

Bài333Bài333Bài333Bài333. Giải phương trình: ( ) 1979 1991sin x cos x sin2x cos2x 1 2+ + + = + ∗

Bài334Bài334Bài334Bài334. Giải phương trình: ( ) 2 24 cos x 3 tan x 2 3 tan x 4 sin x 6− + + = − ∗

Bài335Bài335Bài335Bài335. Giải phương trình: ( ) cos7x.sin2x 1= − ∗

Bài336Bài336Bài336Bài336. Giải phương trình: ( ) 5x

cos6x sin 22

+ = ∗


sin x 3 cos x 5 cos 4x3

π + = + + ∗


2

1sin 2x 2sin2x 2 tan x 1 0

cos x+ + + + = ∗

Bài339Bài339Bài339Bài339. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) sin x y cos x y 2+ + − = ∗

Bài340Bài340Bài340Bài340. Giải phương trình: ( ) sin x sin2x sin5x 1= ∗


1 cos x 1 cos x cos2x sin 4x2

− + + = ∗

Bài332Bài332Bài332Bài332. Giải phương trình: ( ) 5 5sin x cos x 1+ = ∗

Bài333Bài333Bài333Bài333. Giải phương trình: ( ) 10 10 6 6

2 2

sin x cos sin x cos x

4 4 cos 2x sin 2x

+ += ∗

+

Bài334Bài334Bài334Bài334. Giải phương trình: ( ) ( ) 5 7 3 51cos x sin x cos x sin x sin2x cos x sin x

2+ + + = + ∗

Bài335Bài335Bài335Bài335. Giải phương trình: ( ) 2sin x sin x sin x cos x 1+ + + = ∗

Bài336Bài336Bài336Bài336. Giải phương trình: ( ) 2 56 4x x

y ysin cos

x x

− − = ∗

Bài337Bài337Bài337Bài337. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 4 2 2 2tan x tan y 2cot x cot y 3 sin x y+ + = + + ∗

Bài338Bài338Bài338Bài338. Giải phương trình: ( )2 2 2tan x tan y cot x y 1+ + + =


2 2

2 2

1 1 1sin x cos x 12 sin y

2sin x cos x

+ + + = + ∗


6

2

cos2x3 1 4 tan x 7

cos x

+ + = ∗


2007 2007

1 1sin x cos x

sin x cos x− = − ∗

Bài342Bài342Bài342Bài342. Giải phương trình: ( ) cos5x cos x sin 3x cos 3x+ = − ∗


2cos 3x 6cos x 1 162cos x 27+ + = − ∗

Bài344Bài344Bài344Bài344. Giải phương trình: ( ) 2 25 5 5tan x cos 2x sin x sin x sin 3x

12 12 6

π π π = + + + + + ∗



Bài345Bài345Bài345Bài345. Giải phương trình: ( ) 3 sin x cos x

sin x cos x sin x cos x 1 ln4 sin x cos x

+ + + − = − ∗ +


sin x sin2x sin 3x2

+ + = ∗

Bài347Bài347Bài347Bài347. Giải phương trình: ( ) 2 2 2tan x tan 2x cot 3x 1+ + = ∗


2 log tan x log sin x= ∗

Bài349Bài349Bài349Bài349. Giải phương trình: ( ) 32009x 3cos x 2009x cos x3 3 3cos 3x 0+ +− − = ∗

Bài350Bài350Bài350Bài350. Giải phương trình:

( ) ( ) 2 22008 2008sin x sin x 2008 cos x 1 cos x 2cos x 2009 cos x sin x 1+ − + + + = − + ∗


Câu 231.Câu 231.Câu 231.Câu 231. Giải phương trình: 5 53sin x 5cos x 5+ = Câu 232.Câu 232.Câu 232.Câu 232. Giải phương trình: sin 7x cos2x 2+ =

Câu 233.Câu 233.Câu 233.Câu 233. Giải phương trình: 5x

cos 3x cos 2 04

+ − =

Câu 234.Câu 234.Câu 234.Câu 234. Giải phương trình: 3 3 28 sin x sin 3x 6sin x cos x 1 0− − − − = Câu 235.Câu 235.Câu 235.Câu 235. Giải phương trình: 4 cos x 2cos2x cos 4x 7 0+ + + =

Câu 236.Câu 236.Câu 236.Câu 236. Giải phương trình: 2 22sin x 3 tan x 6 tan x 2 2 sin x 4 0+ − − + =

Câu 237.Câu 237.Câu 237.Câu 237. Giải phương trình: 2 25sin x 3cos x 3 sin2x 2sin x 2 2 3 cos x+ + + + =

Câu 238.Câu 238.Câu 238.Câu 238. Giải phương trình: 2 2sin x sin y sin x sin y sin x sin y 1 0+ = + + − =

Câu 239.Câu 239.Câu 239.Câu 239. Giải phương trình: 2sin2x 2 sin x 3 2 cos x 1 0− + − =

Câu 240.Câu 240.Câu 240.Câu 240. Giải phương trình: ( )2cos x 4 cos x 3 x 2sin x x− + = −

Câu 241.Câu 241.Câu 241.Câu 241. Giải phương trình: 4 cos2x 2sin2x 2 2 sin x 0− + + =


2 x xx x2cos 2 2

2−+

= +

Câu 243.Câu 243.Câu 243.Câu 243. Giải phương trình: 22sin5x cos 4x 3 cot x+ = +

Câu 244.Câu 244.Câu 244.Câu 244. Giải phương trình: ( )sin x cos x 2 2 sin 3x+ = −

Câu 245.Câu 245.Câu 245.Câu 245. Giải phương trình: ( )7sin x cos x 2 2 sin x+ = −

Câu 246.Câu 246.Câu 246.Câu 246. Giải phương trình: 5 5sin x cos x 1+ =

Câu 247.Câu 247.Câu 247.Câu 247. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2 2

cos2xsin x cos x cos2x 2

2 2 2 2 2 2 12

+ − + + − = +

Câu 248.Câu 248.Câu 248.Câu 248. Giải phương trình: ( )8 8 14 14sin x cos x 64 cos x sin x+ = +

Câu 249.Câu 249.Câu 249.Câu 249. Giải phương trình: 7cos x sin 4x 1+ =

Câu 250.Câu 250.Câu 250.Câu 250. Giải phương trình: 2x x xsin x cos 2cos 3 cos x sin

4 2 4+ = −

Câu 251.Câu 251.Câu 251.Câu 251. Giải phương trình: sin x sin2x 1= Câu 252.Câu 252.Câu 252.Câu 252. Giải phương trình: sin 4x cos16x 1=



Câu 253.Câu 253.Câu 253.Câu 253. Giải phương trình: sin x sin2x cos5x 1=

Câu 254.Câu 254.Câu 254.Câu 254. Giải phương trình: 2 2x x xsin sin x cos sin x 1 2cos

2 2 4 2

π − + = −

Câu 255.Câu 255.Câu 255.Câu 255. Giải phương trình: 2x

1 cos x 02

− − =


sin x cos x

5 5cos x sin x

2 2

=

Câu 257.Câu 257.Câu 257.Câu 257. Giải phương trình: 2014 2014cos x sin 1− =



Câu 260.Câu 260.Câu 260.Câu 260. Giải phương trình: 5 5sin x cos x cos2x sin2x 1 2+ + + = +

Câu 261.Câu 261.Câu 261.Câu 261. Giải phương trình: ( )2x 2x sin xy 1 0+ + =

Câu 262.Câu 262.Câu 262.Câu 262. Giải phương trình: 2sin x x x 1= + +

Câu 263.Câu 263.Câu 263.Câu 263. Giải phương trình: sin x

3 cos x=

Câu 264.Câu 264.Câu 264.Câu 264. Giải phương trình: sin x cos x 2 sin 3x 2 2+ + =


3cos2x cos 4x 4 cos 3x− = +

Câu 266.Câu 266.Câu 266.Câu 266. Giải phương trình: 3 3 4sin x cos x 2 sin x+ = −


2 2

3 3 2

3 3

x 1 x 1 81sin cos cos 4x

2 x 2 x 4sin cos

2 2

+ + + =

Câu 268.Câu 268.Câu 268.Câu 268. Giải phương trình: 2 95 4x x

2ysin

x

− − =

Câu 269.Câu 269.Câu 269.Câu 269. Giải phương trình: 2 373sin x x 5x 0

4π − + − =

Câu 270.Câu 270.Câu 270.Câu 270. Giải phương trình: cos x cos7x 3 3 sin x− =

Câu 271.Câu 271.Câu 271.Câu 271. Giải phương trình: 22013cos x 2013 x= +

Câu 272.Câu 272.Câu 272.Câu 272. Giải phương trình: 3 3sin x 4 cos x 3cos x+ =


2cos 3x 6cos x 1 27 162cos x+ + + =

Câu 274.Câu 274.Câu 274.Câu 274. Giải phương trình: ( ) 2cos 7 x x 6x 1− π = − +

Câu 275.Câu 275.Câu 275.Câu 275. Giải phương trình: cos x cos x3 2 cos x− =

Câu 276.Câu 276.Câu 276.Câu 276. Giải phương trình: ( )3 4 6 16 3 8 2 cos x 4 cos x 3+ − − = −

Câu 277.Câu 277.Câu 277.Câu 277. Giải phương trình: ( )2cos 3x 9x 16x 80 14

π − − − =

Câu 278.Câu 278.Câu 278.Câu 278. Giải phương trình: ( )2 2 2cos sin x 2 cos x 1 tan x tan x4 4

π π + − = +



H –––– PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA THAM SỐCÓ CHỨA THAM SỐCÓ CHỨA THAM SỐCÓ CHỨA THAM SỐ HAI PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG NHAUHAI PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG NHAUHAI PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG NHAUHAI PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG NHAU

��

Phương phápPhương phápPhương phápPhương pháp: Ta có những phương pháp thông dụng thường gặp như sau:

� Phương pháp lượng giác:

Phương trình có dạng: ( ) ( ) cos f x m hay sin f x m= = có nghiệm khi và chỉ khi: m 1≤ .

Phương trình có dạng: ( ) ( )a cos f x b sin f x c+ = có nghiệm khi và chỉ khi: 2 2 2a b c+ ≥ .

Lưu ý: Nếu miền ( )f x trên không phải là � thì nó chỉ là điều kiện cần.

� Phương pháp đại số:

Tách m ra khỏi tham số, và đặt hàm còn lại là ( )g x .

Khảo sát hàm ( )g x trên miền xác định để suy ra giá trị m cần tìm.

� Hai phương trình tương đương:

Nếu hai phương trình lượng giác được gọi là tương đương nhau khi và chỉ khi nghiệm của phương trình này cũng là nghiệm của phương trình kia.


Bài351Bài351Bài351Bài351. Cho phương trình: ( ) ( ) cos2x 2m 1 cos x m 1 0− + + + = ∗

a/ Giải phương trình ( )∗ khi 3

m2

= .

b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có nghiệm trên 3

;2 2

π π .

Bài352Bài352Bài352Bài352. Cho phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 cos2x mcos x m sin x+ − = ∗

a/ Giải phương trình ( )∗ khi m 2= − .

b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có đúng hai nghiệm trên 2

0;3

π

.

Bài353Bài353Bài353Bài353. Cho phương trình: ( ) ( ) 2 21 m tan x 1 3m 0

cos x− − + + = ∗


m2

= .

b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có nhiều hơn một nghiệm trên 0;2

π .

c/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có hai nghiệm phân biệt trên 0;4

π .

BàiBàiBàiBài354354354354. Cho phương trình: ( ) cos 4x 6 sin x cos x m+ = ∗

a/ Giải phương trình ( )∗ khi m 1= .



b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có hai nghiệm trên 0;4

π

.

BàBàBàBài 355i 355i 355i 355. Cho phương trình: ( ) 2 2cos 4x cos 3x m sin x= + ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có nghiệm trên 0;12

π .

BàiBàiBàiBài 356356356356. Cho phương trình: ( ) 2 22 sin x sin x cos x cos x m− − = ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có nghiệm.

Bài 357Bài 357Bài 357Bài 357. Cho phương trình: ( ) 2

35 4 sin x

2 6 tan x

sin x 1 tan

π + − = ∗

+ α


πα = − .

b/ Tìm tham số α để phương trình ( )∗ có nghiệm.

Bài 358Bài 358Bài 358Bài 358. Cho phương trình: ( ) ( ) 2

2

1cot x m tan x cotx 2 0

cos x+ + + + = ∗


m2

= .


Bài 359Bài 359Bài 359Bài 359. Cho phương trình: ( ) 6 6sin x cos x m sin2x+ = ∗



Bài 360Bài 360Bài 360Bài 360. Cho phương trình: ( ) 6 6

2 2

sin x cos x2m tan2x

cos x sin x

+= ∗

−


m8

= .


Bài 361Bài 361Bài 361Bài 361. Cho phương trình: ( ) sin 4x m tan x= ∗


m6

= .

b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có nghiệm ( )x k , k≠ π ∈ � .

Bài 362Bài 362Bài 362Bài 362. Cho phương trình: ( ) cos 3x cos2x mcos x 1 0− + − = ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có đúng 7 nghiệm trên ;22

π − π .



Bài 363Bài 363Bài 363Bài 363. Cho phương trình: ( ) ( ) ( ) 4 4 6 6 24 sin x cos 4 sin x cos x sin 4x m+ − + − = ∗



Bài 364Bài 364Bài 364Bài 364. Cho phương trình: ( )

( ) 4 22m 1m

sin x cos 4x sin 4x sin x 04 4

++ + − = ∗


m4

= .

b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có hai nghiệm phân biệt trên ;4 2

π π .

Bài 365Bài 365Bài 365Bài 365. Cho phương trình: ( ) ( ) 6 6 4 4sin x cos x m sin x cos x+ = + ∗


m2

= .


Bài 366Bài 366Bài 366Bài 366. Cho phương trình: ( ) msin x 2 mcos x 2

m 2cos x m 2sin x

− −= ∗

− −


b/ Khi m 0≠ và m 2≠ thì phương trình ( )∗ có bao nhiêu nghiệm trên 20 ;30 π π .

Bài 367Bài 367Bài 367Bài 367. Cho phương trình: ( ) 2sin x cos x 1

msin x 2cos x 3

+ += ∗

− +


m3

= .


Bài 368Bài 368Bài 368Bài 368. Cho phương trình: ( ) ( ) sin2x sin x cos x m+ = ∗

a/ Chứng minh rằng nếu m 2> thì phương trình ( )∗ vô nghiệm.

b/ Giải phương trình khi m 2= .

Bài 369Bài 369Bài 369Bài 369. Cho phương trình: ( ) ( ) sin2x 4 cos x sin x m+ − = ∗



Bài 370Bài 370Bài 370Bài 370. Cho phương trình: ( ) ( ) sin x cos x m sin x cos x 1 0− + + = ∗




2

33 tan x m tan x cotx 1

sin x+ = + + ∗





Bài 372Bài 372Bài 372Bài 372. Cho phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 24 6m sin x 3 2m 1 sinx 2 m 2 sin xcosx 4m 3 cosx− + − + − = − ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có duy nhất một nghiệm trên 0;4

π

.

Bài 373Bài 373Bài 373Bài 373. Cho phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2sin x 2 m 1 sin x cos x m 1 cos x m+ − − + = ∗



Bài 374Bài 374Bài 374Bài 374. Cho phương trình: ( ) ( ) 2 22cos2x sin x cos x cos x sin x m sin x cos x+ + = + ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có ít nhất một nghiệm thuộc 0;2

π

.

Bài 375Bài 375Bài 375Bài 375. Cho phương trình: ( )

( ) 2 2

mcos x m sin x

2cos2x 1 cos x 3 sin x tan x

+= ∗

− −


m4

= .


Bài 376Bài 376Bài 376Bài 376. Cho phương trình: ( ) 6 6sin x cos x m sin2x+ = ∗


m2

= .


Bài 377Bài 377Bài 377Bài 377. Cho phương trình: ( ) 2cos2x mcos x 1 tan x= + ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có nghiệm trên 0;3

π

.

Bài 378Bài 378Bài 378Bài 378. Cho phương trình: ( ) sin x cos x m sin2x 1+ + = ∗


b/ Tìm tham số m 0> để phương trình ( )∗ có nghiệm.

Bài Bài Bài Bài 379379379379. Cho phương trình: ( ) sin x cos x 4 sin2x m− + = ∗





Bài 380Bài 380Bài 380Bài 380. Cho phương trình: ( ) 6 6sin x cos x

m

tan x tan x4 4

+= ∗

π π − +


m4

= − .



4sin x 1 sin x m+ − = ∗


m8

= .



2

4 29cos x m 3cos x 5

cos xcos x

+ = − + ∗




2

4 2sin x m sin x 2

sin xsin x

+ = + − ∗



Bài 384Bài 384Bài 384Bài 384. Cho phương trình: ( )( ) ( ) 22 sin x 1 2cos2x 2sin x m 3 4 cos x− + + = − ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có đúng hai nghiệm trên 0; π .

Bài 385Bài 385Bài 385Bài 385. Cho phương trình: ( ) 2cos x.cos2x.cos 3x m 7 cos2x+ = ∗


b/ Tìm tham số m để phương trình ( )∗ có nhiều hơn một nghiệm trên 3

;8 8

− π −π

.

Bài 386Bài 386Bài 386Bài 386. Cho phương trình: ( ) 2cos 2x msin x 06

π + − = ∗


b/ Giải và biện luận phương trình trên 0;2 π .

Bài 387Bài 387Bài 387Bài 387. Cho phương trình: ( ) 1 sin x 1 sin x mcos x+ + − = ∗


b/ Giải và biện luận phương trình ( )∗ theo m.

Bài 388Bài 388Bài 388Bài 388. Cho hàm số ( ) 6 4f x 3 cos 2x sin 2x cos 4x m= + + −

a/ Giải phương trình ( )f x 0= khi m 0= .



b/ Cho ( ) 2 2g x 2cos 2x 3cos 2x 1= + . Tìm m để phương trình ( ) ( )f x g x= có nghiệm.

Bài 389Bài 389Bài 389Bài 389. Cho phương trình: ( ) 1 2cos x 1 2sin x m+ + + = ∗



Bài 390Bài 390Bài 390Bài 390. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương

( )

( ) ( )

3

1 cos x cos2x 0 1

4 cos x 2mcos2x 2m 1 cos x 2m 0 2

− + =

+ − + + =


( ) ( )

( ) ( )

22cos x sin 3x 2 1 sin x cos2x 1

sin 3x m sin x 2 m cos2x 2 m 2

+ = +

− + − = −


( )( )

3sin x sin2014x.cos x 1

2msin x 2cos x 3m 2 2

− =

− = −

Bài 393Bài 393Bài 393Bài 393. Tìm tham số a và b để hai phương trình sau tương đương

( ) ( )

( ) ( )

a sin2x 2 sin x 2cos x 2 1

2 sin x b sin x 2 sin 2x cos x b 1 0 24

− = −

π − + + − + − =


( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

3 2

3cos x cos 3x 2 sin x sin2x cos x 1

4m cos x 4 8m sin x 4 m 1 cos x 8m 4 0 2

− = −

+ − + − + − =


( )( )

2

sin2x 2mcos x sin x m 1

2cos2x m 5mcos x 2 2

− = −

+ = −


( ) ( )

( ) ( )

2

cos 3x 4 cos 3 x 1

mcos x 1 m sin x 0 22

= π +

π + − + =


( ) ( )

( )

2

2

sin 3x msin x 4 2 m sin x 1

sin 3x cos x 1 2 sin x.cos2x 2

= + −

+ = +


( )( )

1sin x.cos2x sin2x.cos 3x sin5x 1

2mcos2x m cos4x cos6x 1 2

= −

+ + =

Bài 399Bài 399Bài 399Bài 399. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương:

( )

( )( ) ( )

2

2cos x cos2x 1 cos2x cos 3x 1

4 cos x cos 3x mcos x 4 m 1 cos2x 2

= + +

− = + − +



Bài 400Bài 400Bài 400Bài 400. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương:

( ) ( ) ( )( ) ( )

7 3 3

6 2 3

2sin x m 1 sin x 2m 2m 1 sin x 0 1

2cos x 2 m cos x 2m m 2 0 2

+ − + − − =

+ − + − − =


Câu 279.Câu 279.Câu 279.Câu 279. Tìm tất cả các tham số m để phương trình: 2 sin x m4

π + = có nghiệm x 0;

4

π ∈ ?

Câu 280.Câu 280.Câu 280.Câu 280. Tìm tham số m để phương trình: cos2x m 1= − có nghiệm 3

x ;4 4

π π ∈ ?

Câu 281.Câu 281.Câu 281.Câu 281. Tìm tham số m để phương trình: sin x m 14

π + = − có nghiệm x 0;

2

π ∈

?

Câu 282.Câu 282.Câu 282.Câu 282. Xác định tham số m để phương trình:

( ) ( )13 5

mcos x 2m 1 sin 9 x 5m 7 2cos x2 2

π π − + − π − + = + − có đúng một nghiệm

5x ;

6 6

π π ∈ − ?

Câu 283.Câu 283.Câu 283.Câu 283. Giải và biện luận phương trình: ( )2m 1 cos x 5 mcos x− + =

Câu 284.Câu 284.Câu 284.Câu 284. Giải và biện luận phương trình: ( )4 tan x m 1 tan x m= + +

Câu 285.Câu 285.Câu 285.Câu 285. Giải và biện luận phương trình: ( ) 23m 2 cos2x 4msin x m 2 0− + + − =

Câu 286.Câu 286.Câu 286.Câu 286. Tìm tham số m để phương trình: 6 6sin x cos x m+ = vô nghiệm ?

Câu 287.Câu 287.Câu 287.Câu 287. Cho phương trình: ( ) ( ) ( )7

2 m sin x 3m 2 cos 4 x m 22

π + + − + π − + =

a/ Tìm tham số m để phương trình có nghiệm ?

b/ Tìm tham số m để phương trình có đúng ba nghiệm x ;23

π ∈ − π

?

Câu 288.Câu 288.Câu 288.Câu 288. Cho phương trình: ( ) a2a sin x a 1 cosa

cos x+ + = . Tìm a để phương trình có nghiệm ?

Câu 289.Câu 289.Câu 289.Câu 289. Cho phương trình: ( )( ) 22sin x 1 2cos2x 2sin x m 3 4cos x− + + = − . Tìm m để phương

trình có 2 nghiệm thỏa : 0 x≤ ≤ π .

Câu 290.Câu 290.Câu 290.Câu 290. Cho phương trình: ( )2cos x 2 1 m cos x 2m 1 0+ − + − = . Tìm m để phương trình có

nghiệm ?

Câu 291.Câu 291.Câu 291.Câu 291. Cho phương trình: 2 2cos x 6sin x 4m 2+ = − . Tìm tham số m để phương trình có nghiệm ?

Câu 292.Câu 292.Câu 292.Câu 292. Cho phương trình: ( )cos2x 2m 1 cos x 1 m 0+ − + − = . Tìm m để phương trình có nghiệm

x ;2

π ∈ π .

Câu 293.Câu 293.Câu 293.Câu 293. Tìm tham số m để phương trình: 2 sin x mcos x m 2+ = − có nghiệm ?



Câu 294.Câu 294.Câu 294.Câu 294. Xác định tham số m để: 2cos x 2mcos x 6m 9 0− + − = có nghiệm x ;2 2

π π ∈ − ?

Câu 295.Câu 295.Câu 295.Câu 295. Xác định tham số m để: ( )22cos x m 2 cos x m 0− + + = có nghiệm x 0;2

π ∈

?

Câu 296.Câu 296.Câu 296.Câu 296. Xác định tham số m để: 22 sin 2x 3 sin2x m 1 0− + − = có nghiệm x 0;4

π ∈

?

Câu 297.Câu 297.Câu 297.Câu 297. Xác định tham số m để: ( ) ( ) ( )4 4 6 6 24 sin x cos x 4 sin x cos x m sin 4x+ − + = + π + có

nghiệm ?

Câu 298.Câu 298.Câu 298.Câu 298. Xác định tham số m để phương trình: ( )4

4cos x cos x 1 m+ − = có nghiệm x ;6 2

π π ∈

?

Câu 299.Câu 299.Câu 299.Câu 299. Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của m để phương trình: 2 x3 2cos2x 8 cos 3m

2+ − = có

nghiệm ?

Câu 300.Câu 300.Câu 300.Câu 300. Cho phương trình: ( ) 2sin2x 2m 2 sin x cos x 1 6m 0− + + − = . Tìm m để phương trình có

nghiệm ?

Câu 301.Câu 301.Câu 301.Câu 301. Cho phương trình: 6 6sin x cos x msin2x+ = . Tìm m để phương trình có nghiệm ?

Câu 302.Câu 302.Câu 302.Câu 302. Cho phương trình: ( ) ( ) 34 cos x m 3 cos x 1 cos2x 1+ − − = . Tìm m để ( )1 có đúng 4

nghiệm thuộc ;2

π − π .

Câu 303.Câu 303.Câu 303.Câu 303. Cho phương trình: ( ) sin2x m sin x 2mcos x 1+ = + . Tìm m để ( )1 có đúng 2 nghiêm

phân biệt thuộc 3

0;4

π

.

Câu 304.Câu 304.Câu 304.Câu 304. Cho phương trình: ( )2 22cos2x sin x cos x sin x cos x m sin x cos x+ + = + . Tìm m để

phương trình có ít nhất 1 nghiệm 0;2

π ∈

.

Câu 305.Câu 305.Câu 305.Câu 305. Tìm a để 6 6sin x cos x a sin2x+ = có nghiệm.

Câu 306.Câu 306.Câu 306.Câu 306. Cho phương trình: ( ) ( )m sin x cos x 2 2 1 sin x cos x sin x cos x+ + = + + + . Tìm m để

phương trình có nghiệm ?

Câu 307.Câu 307.Câu 307.Câu 307. Giải và biện luận phương trình: ( ) 2 32m sin x cos x 2m cos x sin x

2+ = + − + ?

Câu 308.Câu 308.Câu 308.Câu 308. Cho phương trình: ( ) ( ) 8 8 10 10sin x cos x 2 sin x cos x mcos2x 1+ − + = . Tìm m để ( )1 có

nghiệm ( ) x k , k4 2

π π≠ + ∈ � .

Câu 309.Câu 309.Câu 309.Câu 309. Cho phương trình:

( ) ( ) ( )3 2 2 3sin x 2m 1 sin x cos x 3m 1 sin x cos x m 1 cos x 0+ + + − + − =

Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x ;02

π ∈ − .



Câu 310.Câu 310.Câu 310.Câu 310. Cho phương trình: 3 2 2 3sin x sin x cos x 18m sin x cos x 2mcos x 0− + − =

Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x 0;2

π ∈ .

Câu 311.Câu 311.Câu 311.Câu 311. Giải và biện luận phương trình: ( ) ( )2 3 2 38m 1 cos x 4m 1 cos x 2m sin x 0+ − + + =

Câu 312.Câu 312.Câu 312.Câu 312. Cho phương trình: ( )2 2msin x 4 2 sin x cos x m 2 cos x 0− + − =

Xác định m để phương trình có nghiệm x 0;6

π ∈ .

Câu 313.Câu 313.Câu 313.Câu 313. Giải và biện luận phương trình: 2 22sin x 7 sin x cos x 3cos x m 0− − + = Câu 314.Câu 314.Câu 314.Câu 314. Xác định tham số m để phương trình:

( ) ( ) ( ) ( )3 22 2 3m sin x 3 2m 1 sin x 2 m 2 sin x cos x 4m 3 cos x− + − + − = − có nghiệm

duy nhất x 0;4

π ∈

.

Câu 315.Câu 315.Câu 315.Câu 315. Cho phương trình: ( )( )2 m 1 sin x cos x msin2x 4m 1 0− + + + − =

Xác định m để phương trình có nghiệm 3

x ;2 4

π π ∈ − .

Câu 316.Câu 316.Câu 316.Câu 316. Cho phương trình: ( )( )sin2x 2m 2 sin x cos x 2m 2 1 0− + + + + = . Xác định m để

phương trình có đúng hai nghiệm 5

x 0;4

π ∈ .

Câu 317.Câu 317.Câu 317.Câu 317. Cho phương trình: 1 1 1

2 cos x 1 tan x cotx m2 2 sin x cos x

π − + + + + + = . Tìm tham

số m để phương trình có nghiệm x 0;2

π ∈ .

Câu 318.Câu 318.Câu 318.Câu 318. Tìm a để phương trình: 2

35 4 sin x

2 6 tana

sin x 1 tan a

π + − =

+ có nghiệm ?

Câu 319.Câu 319.Câu 319.Câu 319. Cho phương trình: ( )2 2

1 1m tan x cotx 1 0

sin x cos x+ + + + = . Tìm tham số m để phương

trình vô nghiệm. Câu 320.Câu 320.Câu 320.Câu 320. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình:

2

2

1 1cos x 2 cos x m

cos xcos x

+ = − + có nghiệm ?

Câu 321.Câu 321.Câu 321.Câu 321. Tìm tham số m để phương trình: ( )2 2tan x cot x 3 tan x cotx m 0+ + − − = có nghiệm.

Câu 322.Câu 322.Câu 322.Câu 322. Giải và biện luận phương trình: ( )sin2x 4m 2 sin x cos x 1 8m 0+ − + − =

Câu 323.Câu 323.Câu 323.Câu 323. Tìm tham số m để phương trình: ( ) ( )2 2sin x 2m 2 sin x cos x m 1 cos x m+ − − + = có

nghiệm ?

Câu 324.Câu 324.Câu 324.Câu 324. Tìm tham số m để phương trình: ( )sin2x 4 sin x cos x m+ − = có nghiệm ?



Câu 325.Câu 325.Câu 325.Câu 325. Cho phương trình: ( )2 22cos2x sin x cos x sin x cos x m sin x cos x+ + = + . Xác định tham

số m để phương trình có ít nhất một nghiệm x ;4 4

π π ∈ − .

Câu 326.Câu 326.Câu 326.Câu 326. Tìm tham số m để phương trình: 3 3 msin x cos x 1 sin2x

2+ = + có nghiệm

3x ;

2

π ∈ π .

Câu 327.Câu 327.Câu 327.Câu 327. Tìm tham số m để phương trình: ( ) ( )2 23 tan x cot x m tan x cotx 2 0+ + + + = có nghiệm

Câu 328.Câu 328.Câu 328.Câu 328. Giải và biện luận phương trình: ( )( ) ( )2 2m 1 tan x cot x 2m tan x cotx m 6− + − − = −

Câu 329.Câu 329.Câu 329.Câu 329. Xác định tham số a để phương trình: 2 2 22cos 2x cos 3x a sin x 1− − = có nghiệm

x 0;12

π ∈ .

Câu 330.Câu 330.Câu 330.Câu 330. Giải và biện luận phương trình: 2 32m 2m 2 sin x sin x cos x

4 2

π − + + = −

Câu 331.Câu 331.Câu 331.Câu 331. Xác định tham số m để: ( )( ) 22sin x 3 3cos x 2 sin x 4 m 4cos x 5 0+ + − + + + = có

nghiệm duy nhất x ;4 4

π π ∈ −

Câu 332.Câu 332.Câu 332.Câu 332. Xác định tham số m để: ( ) ( )3 2cos x m 2 cos x 3m 1 cos x 2m 2 0+ − − + + + = có nghiệm

duy nhất 3

x ;4 4

π π ∈ − −

Câu 333.Câu 333.Câu 333.Câu 333. Xác định tham số m để: 3 3x 3x 3x x 3sin2x sin6x msin cos sin cos

2 2 2 2 4

− ++ = có nghiệm

x ;24 8

π π ∈

Câu 334.Câu 334.Câu 334.Câu 334. Giải và biện luận phương trình: ( ) ( ) 22 1 m sin x 2 m 2 cos x m 5 0− − + + + =

Câu 335.Câu 335.Câu 335.Câu 335. Xác định m để: 2cos x cos2x cos 3x m 7 cos2x+ = có nghiệm duy nhất trên x 0;4

π ∈

Câu 336.Câu 336.Câu 336.Câu 336. Các tham số a, b thỏa mãn điều kiện gì để phương trình: ( )2x 5 2 x 2cos ax b + = − + có

nghiệm ?

Câu 337.Câu 337.Câu 337.Câu 337. Xác định tham số m để phương trình: 2 2 2sin x sin 3x mcos 2x 0+ − = có nghiệm ?

Câu 338.Câu 338.Câu 338.Câu 338. Xác định tham số m để phương trình: 2 2sin x 2 sin x sin x 2 sin x m+ − + − = có nghiệm ?

Câu 339.Câu 339.Câu 339.Câu 339. Tìm a để phương trình sau có nghiệm ?

( ) ( )( )2

2 2cos 8x cos 4x a 6a 8 a 6a 11 7 sin6x− = + + + + + +

Câu 340.Câu 340.Câu 340.Câu 340. Giải và biện luận phương trình: 1 sin2x 1 sin2x mcos2x+ + − =

Câu 341.Câu 341.Câu 341.Câu 341. Cho phương trình: ( )( )23 sin x cos x 1 sin x 2 sin x 2m− − + + − = . Tìm tham số m để

phương trình có nghiệm x ;2 2

π π ∈ −

.



Câu 342.Câu 342.Câu 342.Câu 342. Cho phương trình: 1 2cos x 1 2sin x m+ + + = . Xác định m để phương trình có nghiệm

Câu 343.Câu 343.Câu 343.Câu 343. Cho phương trình: ( ) ( )3 1 cotx 2sin x cos x m 3sin x cos x+ + = + . Xác định tham số m

để phương trình có nghiệm duy nhất x 0;2

π ∈ .

Câu 344.Câu 344.Câu 344.Câu 344. Cho phương trình: 2 2cos x 2cos x 5 cos x 4 cos x 8 m− + + + + = . Xác định phương trình có nghiệm ?

Câu 345.Câu 345.Câu 345.Câu 345. Cho phương trình: ( )2 2 4 22cos x 3cos x 1 cos x 3cos x 1 m+ = + − . Xác định m để

phương trình có nghiệm ?

Câu 346.Câu 346.Câu 346.Câu 346. Cho phương trình: 2 x xcos x mcos 1 tan

2 2= + . Xác định m để phương trình duy nhất

thuộc đoạn 2

0;3

π

?

Câu 347.Câu 347.Câu 347.Câu 347. Cho phương trình: 2 2sin x cos x81 81 m+ = . Xác định m để phương trình có nghiệm ?

Câu 348.Câu 348.Câu 348.Câu 348. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình: 2mx 2cos x 2+ = có đúng hai nghiệm phân biệt

trong x 0;2

π ∈

I –––– HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCHỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCHỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCHỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

��

Phương phápPhương phápPhương phápPhương pháp: Ta có những phương pháp thông dụng thường gặp như sau

Phương pháp thế.

Phương pháp cộng.

Phương pháp đặt ẩn phụ.

Phương pháp bất đẳng thức, tổng hai số không âm (hệ không mẫu mực).


Bài401Bài401Bài401Bài401. Giải hệ phương trình: ( )

( )

cos2x 1 0 1

3sin2x 2

2

− = =

Bài402Bài402Bài402Bài402. Giải hệ phương trình: sin x sin y 1

x y3

+ = π + =

Bài403Bài403Bài403Bài403. Giải hệ phương trình: 2x 3y

33

sin2x cos 3y4

π − = =



Bài404Bài404Bài404Bài404. Giải hệ phương trình: ( )( )

sin x sin y 2 1

cos x cos y 2 2

+ = + =

Bài405Bài405Bài405Bài405. Giải hệ phương trình:

2 3tan x tan y

32 3

cotx coty3

+ = + = −


cos x 1

cos y 2

x y3

= π + =


2 2 1sin x sin y

2

x y3

+ = π − =

BàiBàiBàiBài408408408408. Giải hệ phương trình: 2 2

x y3

2cos x cos y 1

4

π − = + = +


tan x tan y tan x tan y 1 1

cos2x 3 cos2x 1 2

− − = + = −


3

3

cos x cos x sin y 0 1

sin x sin y cos x 0 2

− + = − + =


1sin x cos y 1

2tan x coty 1 2

= − =

Bài412Bài412Bài412Bài412. Giải hệ phương trình: 1

cos y 2sin xsin x cos y 1

− = = −


3sin x sin2y

21

cos x cos2y2

− = + =


( )

2 3tan x tan y 1

32 3

cotx coty 23

+ = + = −


1sin x cos y sin y cos y

23

2 sin2x sin2y2

+ = − = +



Bài416Bài416Bài416Bài416. Giải hệ phương trình: 2 cos x 1 cos y

2 sin x sin y

= + =

Bài417Bài417Bài417Bài417. Giải hệ phương trình: sin x 7 cos y 0

5 sin y cos x 6

− = − =


tan x 2 sin y sin2x

2 sin y cos x y sin x

+ = − =


sin x sin2y

x 0; , y ;4 4

cos x 2 cos y

= π π ∈ π ∈ − =


( ) ( )( ) ( )

1sin x .cos y

43 tan x tan y

0 x y 2

π π = π = π < + <


cos x cos2y x 2y 1

tan x 3 tan y 2

− = − =


( )

tan x cotx 2sin y 14

tan y coty 2sin x 24

π + = + π + = −

Bài423Bài423Bài423Bài423. Giải hệ phương trình: ( )sin x sin y sin x y

x y 1

+ = + + =

Bài424Bài424Bài424Bài424. Giải hệ phương trình: ( )1

sin x cos y sin x y 08

x y z

+ + = = +


2

x y x ysin x 2sin x cos2y cos cos 2

2 2cos x cos y 2sin 2y 0

+ − − = + − + − =


cotx coty x y

5x 8y 2

0 x,y

− = − + = π < < π

BàiBàiBàiBài427427427427. Giải hệ phương trình: ( ) ( )cos x y 2cos x y

3cos x cos y

4

+ = − =




3tan x cotx 2 sin y

4

tan y coty 2 sin x4

π + = − π + = +


x y

6 4

sin xe

sin y

10 x 1 3 y 2

5x,y ;

4

− = + = + π ∈ π

Bài430Bài430Bài430Bài430. Giải hệ phương trình: 2 2

sin x sin y 2

sin x sin y 2

+ = + =

Bài431Bài431Bài431Bài431. Giải hệ phương trình: tan x tan y tan x tan y 1

3 sin2y 2 cos 4x

+ + = − =


1sin x sin y

21

cos x cos y2

= − =


2

sin x cos x cos y

cos x sin x sin y

= =


sin x cos y4

3 tan x tan y

= =

Bài435Bài435Bài435Bài435. Giải hệ phương trình: tan x tan y 1

x ytan tan 2

2 2

+ = + =

Bài436Bài436Bài436Bài436. Giải hệ phương trình: 2 2tg x tg y 6

tgx.cotgy tgy.cotgx 6

+ = + = −


sin x.cos y 0

2sin x cos2y 2 0

= − − =


φx y

sin xm

sin y

± = =


φx y

cos xm

cos y

± = =


φx y

tan xm

tan y

± = =



Bài441Bài441Bài441Bài441. Giải hệ phương trình: φx y

tan x.tan y m

± = =

Bài442Bài442Bài442Bài442. Giải hệ phương trình: φx y

cotx.coty m

± = =

Bài443Bài443Bài443Bài443. Cho hệ phương trình: 1

sin x sin y2

cos2x cos2y m

+ = + =

a/ Giải hệ phương trình khi 1

m2

= − .

b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm.

Bài444Bài444Bài444Bài444. Cho hệ phương trình: ( ) 2

x y m

2 cos2x cos2y 1 4 cos m 0

− = + − − =

Tìm tham số m để hệ phương trình có nghiệm.


cos x cos y m 1

sin x sin y 4m 2m

= + = +

a/ Giải hệ phương trình khi 1

m4

= − .

b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm.

Bài446Bài446Bài446Bài446. Cho hệ phương trình: 2 2

2

y tan x 1

y 1 ax a sin x

+ = + = + +

. Tìm tham số m để hệ có nghiệm duy nhất.

Bài447Bài447Bài447Bài447. Cho hệ phương trình: sin x sin2x m

cos x cos2x m

+ = + =

a/ Giải hệ phương trình khi m 0= . b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm.

Bài448Bài448Bài448Bài448. Cho hệ phương trình: x 2

2 2

2 x cos x x a

x cos x 1

+ = + + + =

. Tìm tham số a để hệ có nghiệm duy nhất.

Bài449Bài449Bài449Bài449. Tìm điều kiện cần và điều kiện đủ để hệ sau có nghiệm: sin x cos y a

sin y cos x b

+ = + =


2

sin x m tan y m

tan y msin x m

+ = + =

a/ Giải hệ phương trình khi m 4= − . b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm.



J––––HỆTHỨCLƯỢNGTRONGTAMGIÁCHỆTHỨCLƯỢNGTRONGTAMGIÁCHỆTHỨCLƯỢNGTRONGTAMGIÁCHỆTHỨCLƯỢNGTRONGTAMGIÁC––––NHẬNDẠNGTAMGIÁCNHẬNDẠNGTAMGIÁCNHẬNDẠNGTAMGIÁCNHẬNDẠNGTAMGIÁC

��

��ĐịnhlíhàmsốsinvàcosinĐịnhlíhàmsốsinvàcosinĐịnhlíhàmsốsinvàcosinĐịnhlíhàmsốsinvàcosin

Cho ∆ABC có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của � � � A, B, C và R, S tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích ∆ABC.

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

a b c2R

sinA sinB sinCa b c 2bccosA b c 4S.cotA

b a c 2ac cosB a c 4S.cotB

c a b 2abcosC a b 4S.cotC

• = = =

• = + − = + −

• = + − = + −

• = + − = + −

��ĐịnhlívềđườngtrungtuyếnĐịnhlívềđườngtrungtuyếnĐịnhlívềđườngtrungtuyếnĐịnhlívềđườngtrungtuyến

Cho ∆ABC có trung tuyến AM thì

22 2 2

22 2 2

a

BCAB AC 2AM

2a

hay : c b 2m2

+ = +

+ = +

��DiệntíchtamgiácDiệntíchtamgiácDiệntíchtamgiácDiệntíchtamgiác

Gọi S : là diện tích ∆ABC. R : bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC. p : nửa chu vi của ∆ABC.

● a b c

1 1 1S a.h b.h c.h

2 2 2= = = ●

1 1 1S absinC ac sinB bc sinA

2 2 2= = =

● abc

S4R

= ● a b c

S pr, p2

+ += =

● ( )( )( )S p p a p b p c= − − −

��BánkínhđườngtrònBánkínhđườngtrònBánkínhđườngtrònBánkínhđườngtròn

Gọi R : bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC.

● a abc

R2sinA 4S

= = ● ( ) ( ) ( )A B C

r p a tan p b tan p c tan2 2 2

= − = − = −

● S

rp

=

��ĐịnhlíhàmsốtanvàcotĐịnhlíhàmsốtanvàcotĐịnhlíhàmsốtanvàcotĐịnhlíhàmsốtanvàcot

● ...

A Btan

a b 2 ;a b A B

tan2

−−

=+ +

● 2 2 2a b c

cotA cotB cotC4S

+ ++ + =

A

B C

b c

a

A

B C

b c ma

a M




Bài451Bài451Bài451Bài451. Chứng minh các đẳng thức cơ bản trong ∆ABC

a/ A B C

sinA sinB sinC 4 cos cos cos2 2 2

+ + =

b/ A B C

cosA cosB cosC 1 4 sin sin sin2 2 2

+ + = +

c/ sin2A sin2B sin2C 4 sinA sinBsinC+ + = d/ cos2A cos2B cos2C 1 4 cosAcosBcosC+ + = − −

e/ 2 2 2sin A sin B sin C 2 2cosAcosBcosC+ + = +

f/ 2 2 2cos A cos B cos C 1 2cosAcosBcosC+ + = −

g/ 2 2 2A B C A B Csin sin sin 1 2sin sin sin

2 2 2 2 2 2+ + = −

h/ 2 2 2A B C A B Ccos cos cos 2 2 sin sin sin

2 2 2 2 2 2+ + = +

i/ tanA tanB tanC tanA tanBtanC+ + =

j/ A B B C C A

tan tan tan tan tan tan 12 2 2 2 2 2

+ + =

Bài452Bài452Bài452Bài452. Chứng minh trong ∆ABC, ta luôn có:

( ) tan kA tan kB tan kC tan kA tan kB tan kC , k+ + = ∈ �

Bài453Bài453Bài453Bài453. Cho ∆ABC. Biết A B 1

tan tan2 2 3

= . Chứng minh: a b 2c+ = .

Bài454Bài454Bài454Bài454. Cho ∆ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo thành cấp số nhân công bội q 2= . Chứng minh:

a/ 2 2 2

1 1 18

sin A sin B sin C+ + = . b/

1cosAcosBcosC

8= − .

c/ 2 2 2 5cos A cos B cos C

4+ + = . d/

1 1 1

a b c= + .

Bài455Bài455Bài455Bài455. Cho ABC, BC a, CA b, AB c∆ = = = . Chứng minh: A C

2b a c cot cot 32 2

= + ⇔ =

Bài456Bài456Bài456Bài456. Cho ∆ABC. Biết rằng: sinA sinB sinC

1 23= = . Tính các góc của ∆ABC.

Bài457Bài457Bài457Bài457. Cho ∆ABC. Biết rằng có ba góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q 2= .

Giả sử � � �A B C< < . Chứng minh: 1 1 1

a b c= + .

Bài458Bài458Bài458Bài458. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( )2 2 2R a b c

cotA cotB cotCabc

+ ++ + = .

Bài459Bài459Bài459Bài459. Cho ∆ABC. Biết 2 2 2sin B sin C 2sin A+ = . Chứng minh: � 0BAC 60≤ Bài460Bài460Bài460Bài460. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng nếu cotA, cotB, cotC tạo thành một cấp số cộng thì a2, b2, c2

cũng theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng.

Bài461Bài461Bài461Bài461. Cho ∆ABC. Chứng minh: � � 2 2A 2.B a b bc= ⇔ = + .



Bài462Bài462Bài462Bài462. Cho ∆ABC. Chứng minh: sinA sinB sinC A B C

tan tan cotcosA cosB cosC 1 2 2 2

+ −=

+ − +

Bài463Bài463Bài463Bài463. Cho ∆ABC. Chứng minh: sinA sinB sinC A B

cot cotsinA sinB sinC 2 2

+ +=

+ −

Bài464Bài464Bài464Bài464. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 2a b c

cotA cotB cotC4S

+ ++ + =

Bài465Bài465Bài465Bài465. Cho ∆ABC. Chứng minh:

A B Csin sin sin

2 2 2 2B C C A A B

cos cos cos cos cos cos2 2 2 2 2 2

+ + =

Bài466Bài466Bài466Bài466. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( ) 2 2

2

sin A B a b

sinC c

− −=

Bài467Bài467Bài467Bài467. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C 3 cosA cosB cosC

tan tan tan2 2 2 sinA sinB sinC

+ + ++ + =

+ +

BàiBàiBàiBài468468468468. Cho ∆ABC. Chứng minh:

1 1 1 1 A B C A B Ctan tan tan cot cot cot

sinA sinB sinC 2 2 2 2 2 2 2

+ + = + + +

Bài469Bài469Bài469Bài469. Cho ∆ABC. Chứng minh:

( )2 2 2sin A sin B sin C 2 sinAsinBcosC sinBsinCcosA sinCsinAcosB+ + = + +

Bài470Bài470Bài470Bài470. Cho ∆ABC có AM là đường trung tuyến, � AMB , AC b, AB c, S= α = = là diện tích

∆ABC với 00 90< α < .

a/ Chứng minh: 2 2b c

cot4S

−α = .

b/ Giả sử 045α = . Chứng minh: cotC cotB 2− = .

Bài471Bài471Bài471Bài471. Cho ∆ABC có trung tuyến xuất phát từ B và C là mb, mc thỏa b

c

mc1

b m= ≠ .

Chứng minh rằng: 2cotA cotB cotC= + . Bài472Bài472Bài472Bài472. Chứng minh rằng nếu ∆ABC có trung tuyến AA' vuông góc với trung tuyến BB' thì

( )cotC 2 cotA cotB= + .

Bài473Bài473Bài473Bài473. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: 2S

sin2A sin2B sin2CR

+ + = .

Bài474Bài474Bài474Bài474. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: ( )2 21S a sin2B b sin2A

4= + .

Bài475Bài475Bài475Bài475. Cho ∆ABC có trọng tâm G và � � � γGAB , GBC , GCA= α = β = . Chứng minh rằng:

( )γ

2 2 23 a b ccot cot cot

4A

+ +α + β + = .

Bài476Bài476Bài476Bài476. Cho I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC. Chứng minh:

a/ A B C

r 4R sin sin sin2 2 2

= . b/ 2IA.IB.IC 4Rr= .

Bài477Bài477Bài477Bài477. Cho ∆ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh ∆ABC tại A', B', C'. ∆A'B'C' có các cạnh là a', b', c' và diện tích là S'. Chứng minh:



a/ a ' b ' C A B

2sin sin sina b 2 2 2

+ = + . b/

S' A B C2sin sin sin

S 2 2 2= .

Bài478Bài478Bài478Bài478. Cho ∆ABC có trọng G và tâm đường tròn nội tiếp I. Biết GI vuông góc với đường phân giác

trong của góc �BCA . Chứng minh: a b c 2ab

3 a b

+ +=

+.

Bài479Bài479Bài479Bài479. Tính các góc của ∆ABC biết: ( ) ( ) ( )3

sin B C sin C A cos A B2

+ + + + + = .

Bài480Bài480Bài480Bài480. Tính các góc của ∆ABC biết: ( )5

cos2A 3 cos2B cos2C 02

+ + + = .

Bài481Bài481Bài481Bài481. Chứng minh ∆ABC có � 0C 120= nếu: A B C

sinA sinB sinC 2sin sin 2 sin2 2 2

+ + − = .

Bài482Bài482Bài482Bài482. Tính các góc của ∆ABC biết số đo ba góc tạo thành một cấp số cộng và thỏa:

3 3sinA sinB sinC

2

++ + = .

Bài483Bài483Bài483Bài483. Tính các góc của ∆ABC nếu biết

2 2 2b c a

sinA sinB sinC 1 2

+ ≤ + + = +

Bài484Bài484Bài484Bài484. Cho ∆ABC không tù thỏa: cos2A 2 2 cosB 2 2 cosC 3+ + = . Tính 3 góc ∆ABC.

Bài485Bài485Bài485Bài485. Chứng minh ∆ABC có ít nhất một góc 060 khi và chỉ khi sinA sinB sinC

3cosA cosB cosC

+ +=

+ +.

Bài486Bài486Bài486Bài486. Cho ∆ABC có B a c

cot2 b

+= . Chứng minh ∆ABC vuông.

Bài487Bài487Bài487Bài487. Chứng minh ∆ABC vuông tại A nếu : b c a

cosB cosC sinBsinC+ = .

Bài488Bài488Bài488Bài488. Cho ∆ABC có A B C A B C 1

cos cos cos sin sin sin2 2 2 2 2 2 2

− = . Chứng minh ∆ABC vuông.

Bài489Bài489Bài489Bài489. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: ( ) ( )3 cosB 2sinC 4 sinB 2cosC 15+ + + = .

Bài490Bài490Bài490Bài490. Cho ∆ABC có: sin2A sin2B 4 sinAsinB+ = . Chứng minh ∆ABC vuông.

Bài491Bài491Bài491Bài491. Chứng minh nếu ∆ABC có C

tanA tanB 2cot2

+ = thì nó là một tam giác cân.

Bài492Bài492Bài492Bài492. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 3 3A B B Asin cos sin cos

2 2 2 2= .

Bài493Bài493Bài493Bài493. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )2 2

2 2

2 2

cos A cos B 1cot A cot B

2sin A sin B

+= +

+.

Bài494Bài494Bài494Bài494. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )C

a b tan a tanA b tanB2

+ = + .

Bài495Bài495Bài495Bài495. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( )bc 3 R 2 b c a = + − .

Bài496Bài496Bài496Bài496. Chứng minh ∆ABC đều nếu: 3 3 32

3sinBsinC

4a b c

aa b c

= − − = − −

Bài497Bài497Bài497Bài497. Chứng minh ∆ABC đều nếu: sinA sinB sinC sin2A sin2B sin2C+ + = + +



Bài498Bài498Bài498Bài498. Chứng minh ∆ABC đều nếu: 2 2 2

1 1 1 1

2cosAcosBcosCsin 2A sin 2B sin 2C+ + =

Bài499Bài499Bài499Bài499. Chứng minh ∆ABC đều nếu: a cosA bcosB ccosC 2p

a sinB bsinC c sinA 9R

+ +=

+ +

Bài500Bài500Bài500Bài500. Chứng minh ∆ABC đều nếu: A B C

cotA cotB cotC tan tan tan2 2 2

+ + = + +

BABABABA�I TÂI TÂI TÂI TÂ�P REP REP REP RE�N LUYÊN LUYÊN LUYÊN LUYÊ �NNNN

Câu 349.Câu 349.Câu 349.Câu 349. Tính các góc ∆ABC biết: 3

cosA sinB sinC2

= + −

Câu 350.Câu 350.Câu 350.Câu 350. Tính các góc ∆ABC biết: sin 6A sin6B sin6C 0+ + =

Câu 351.Câu 351.Câu 351.Câu 351. Tính góc �C của ∆ABC biết: ( )( )1 cotA 1 cotB 2+ + =

Câu 352.Câu 352.Câu 352.Câu 352. Tính góc �C của ∆ABC biết: � � 0

92 2

A, B 90

sin A sin B sinC

< + =

Câu 353.Câu 353.Câu 353.Câu 353. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: b c

cosB cosCa

++ =

Câu 354.Câu 354.Câu 354.Câu 354. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: b c a

cosB cosC sinBsinC+ =

Câu 355.Câu 355.Câu 355.Câu 355. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sinA sinB sinC 1 cosA cosB cosC+ + = − + +

Câu 356.Câu 356.Câu 356.Câu 356. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: ( ) ( )

2

2

2 1 cos B Cb c

1 cos2Bb

− −− =−

Câu 357.Câu 357.Câu 357.Câu 357. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: b c

cosB cosCa

++ =

Câu 358.Câu 358.Câu 358.Câu 358. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: B a c

sin2 2a

−=

Câu 359.Câu 359.Câu 359.Câu 359. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: b c B C

tanb c 2

− −=

+

Câu 360.Câu 360.Câu 360.Câu 360. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: 1 b c

cotAsinA a

++ =

Câu 361.Câu 361.Câu 361.Câu 361. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sinA cosB

tanAsinB cosA

+=

+

Câu 362.Câu 362.Câu 362.Câu 362. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sinA

tanB tanCsinBsinC

+ =

Câu 363.Câu 363.Câu 363.Câu 363. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sinA

cotB cotCcosBcosC

+ =

Câu 364.Câu 364.Câu 364.Câu 364. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sinB sinC

sinAcosB cosC

+=

+

Câu 365.Câu 365.Câu 365.Câu 365. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: ( ) ( )sin A B cos A B 2sinAsinB+ − =



Câu 366.Câu 366.Câu 366.Câu 366. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: 2 2

2bctan2C

b c=

−

Câu 367.Câu 367.Câu 367.Câu 367. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: ( )B A B

r sinA sinB c 2 sin cos2 2

−+ =

Câu 368.Câu 368.Câu 368.Câu 368. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: a

R Atan

m 2=

Câu 369.Câu 369.Câu 369.Câu 369. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: ( )( )1

S a b c a b c4

= + − + +

Câu 370.Câu 370.Câu 370.Câu 370. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: 2 2 2sin A sin B 1 cos C+ = + Câu 371.Câu 371.Câu 371.Câu 371. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: sinA sinB sinC 1 cosA cosB cosC+ + = + + +

Câu 372.Câu 372.Câu 372.Câu 372. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: C B c b

tan2 c b

− −=

+

Câu 373.Câu 373.Câu 373.Câu 373. Chứng minh ∆ABC vuông nếu:

22

2

B C4 sin

b c 21 cos2Bb

− − = −

Câu 374.Câu 374.Câu 374.Câu 374. Chứng minh ∆ABC vuông nếu: a

B Ch 2p 2 sin sin

2 2=

Câu 375.Câu 375.Câu 375.Câu 375. Chứng minh ∆ABC cân nếu: sinA

2sinBcosC

=

Câu 376.Câu 376.Câu 376.Câu 376. Chứng minh ∆ABC cân nếu: A a

sin2 2 bc

=

Câu 377.Câu 377.Câu 377.Câu 377. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 1 cosB 2a c

1 cosB 2a c

+ +=

− −

Câu 378.Câu 378.Câu 378.Câu 378. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 2 2

1 cosB 2a c

sinB 4a c

+ +=

−

Câu 379.Câu 379.Câu 379.Câu 379. Chứng minh ∆ABC cân nếu: C C

a cot tanA b tan cot2 2

− = −

Câu 380.Câu 380.Câu 380.Câu 380. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( ) ( )a sin B C bsin C A 0− + − =

Câu 381.Câu 381.Câu 381.Câu 381. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 22 tanB tanC tan BtanC+ =

Câu 382.Câu 382.Câu 382.Câu 382. Chứng minh ∆ABC cân nếu: C

2sinAsinB sinCcot2

=

Câu 383.Câu 383.Câu 383.Câu 383. Chứng minh ∆ABC cân nếu: A B

tanA tanB tan tan2 2

− = −

Câu 384.Câu 384.Câu 384.Câu 384. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2b c sin C B c b sin C B+ − = − +

Câu 385.Câu 385.Câu 385.Câu 385. Chứng minh ∆ABC cân nếu: sinA sinB sinC A C

cot cotsinA sinB sinC 2 2

+ += −

+ −

Câu 386.Câu 386.Câu 386.Câu 386. Chứng minh ∆ABC cân nếu: a 2ccosB=

Câu 387.Câu 387.Câu 387.Câu 387. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )A B

a tanA btanB a b tan2

++ = +

Câu 388.Câu 388.Câu 388.Câu 388. Chứng minh ∆ABC cân nếu: a

Ah bc cos

2=



Câu 389.Câu 389.Câu 389.Câu 389. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )ah p p a= −

Câu 390.Câu 390.Câu 390.Câu 390. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 2 2 2 Ca sin2B b sin2A c cot

2+ =

Câu 391.Câu 391.Câu 391.Câu 391. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 2tanA 2tanB tanAtan B+ =

Câu 392.Câu 392.Câu 392.Câu 392. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )C B

p b cot p tan2 2

− =

Câu 393.Câu 393.Câu 393.Câu 393. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )( )

sinB 2 cosC sinA

sinC 2 cosB sinA

= − = −

Câu 394.Câu 394.Câu 394.Câu 394. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 2 2a sin2B b sin2A 4abcosAcosB

sin2A sin2B 4sinAsinB

+ = + =

Câu 395.Câu 395.Câu 395.Câu 395. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )2 1 cosC

tanA tanBsinC

++ =

Câu 396.Câu 396.Câu 396.Câu 396. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 2 2sin A sin B sinA sinB

cosA cosB Ctan

2

++ =

Câu 397.Câu 397.Câu 397.Câu 397. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )2 21S a b

4= +

Câu 398.Câu 398.Câu 398.Câu 398. Chứng minh ∆ABC cân nếu: a

Am bc cos

2=

Câu 399.Câu 399.Câu 399.Câu 399. Chứng minh ∆ABC cân nếu: ( )4 4 4 2 2 2sin C 2sin A 2sin B 2sin C sin A sin B+ + = +

Câu 400.Câu 400.Câu 400.Câu 400. Chứng minh ∆ABC cân nếu: 2

2

sin B tanB

tanCsin C=

Câu 401.Câu 401.Câu 401.Câu 401. Chứng minh ∆ABC đều nếu: 3 3 32

1cosBcosC

4a b c

aa b c

= − − = − −

Câu 402.Câu 402.Câu 402.Câu 402. Chứng minh ∆ABC đều nếu:

( )2 2

2 3 3 3

1 cosC 2a b

sinC 4a ba b c a b c a

+ + = − + − = + −

Câu 403.Câu 403.Câu 403.Câu 403. Chứng minh ∆ABC đều nếu:

B asin

2 2 bcB b

sin2 2 ac

= =

Câu 404.Câu 404.Câu 404.Câu 404. Chứng minh ∆ABC đều nếu: A B ab

sin sin2 2 4c

=

Câu 405.Câu 405.Câu 405.Câu 405. Chứng minh ∆ABC đều nếu: a b c

a b c

m m m= =

Câu 406.Câu 406.Câu 406.Câu 406. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( )( )( )8 p a p b p c abc− − − =



Câu 407.Câu 407.Câu 407.Câu 407. Chứng minh ∆ABC đều nếu: 2

2

sinCtanA 3

cosAcosBsin B tanB

tanCsin C

= + =

Câu 408.Câu 408.Câu 408.Câu 408. Chứng minh ∆ABC đều nếu: sinB sinC 2sinA

tanB tanC 2 tanA

+ = + =

Câu 409.Câu 409.Câu 409.Câu 409. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( )2 3 3 33S 2R sin A sin B sin C= + +

Câu 410.Câu 410.Câu 410.Câu 410. Chứng minh ∆ABC đều nếu: a

ab c h 3

2+ = +

Câu 411.Câu 411.Câu 411.Câu 411. Chứng minh ∆ABC đều nếu: a b c 3

b c c a a b 2+ + =

+ + +

Câu 412.Câu 412.Câu 412.Câu 412. Chứng minh ∆ABC đều nếu: abc 2p

ab bc ca 9=

+ +

Câu 413.Câu 413.Câu 413.Câu 413. Chứng minh ∆ABC đều nếu: p

sin2A sin2B sin2CR

+ + =

Câu 414.Câu 414.Câu 414.Câu 414. Chứng minh ∆ABC đều nếu: 2 2 2 2a b c 36r+ + =

Câu 415.Câu 415.Câu 415.Câu 415. Chứng minh ∆ABC đều nếu: A B C

cosA cosB cosC sin sin sin2 2 2

+ + = + +

Câu 416.Câu 416.Câu 416.Câu 416. Chứng minh ∆ABC đều nếu: 1 1 1 1 1 1

cosA cosB cosC A B Csin sin sin

2 2 2

+ + = + +

Câu 417.Câu 417.Câu 417.Câu 417. Chứng minh ∆ABC đều nếu: 1 1 1 1 1 1

sinA sinB sinC A B Ccos cos cos

2 2 2

+ + = + +


tanA tanB tanC tan tan tan2 2 2

+ + = + +


sinA sinB sinC cos cos cos2 2 2

+ + = + +

Câu 420.Câu 420.Câu 420.Câu 420. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( )2 a cosA bcosB c cosC a b c+ + = + +

Câu 421.Câu 421.Câu 421.Câu 421. Chứng minh ∆ABC đều nếu: sinA sinB sinC 4 sinA sinBsinC+ + =

Câu 422.Câu 422.Câu 422.Câu 422. Chứng minh ∆ABC đều nếu: a b c

9Rm m m

2+ + = với

a b cm ,m ,m là ba đường trung tuyến.

Câu 423.Câu 423.Câu 423.Câu 423. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( )2 3 sinBsinC sinA 2 sinB sinC 0+ − + =

Câu 424.Câu 424.Câu 424.Câu 424. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( )2 2 2 2 2 23 tan A tan B tan C tan A tan Btan C+ + =

Câu 425.Câu 425.Câu 425.Câu 425. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( )( )A B Ctan tan tan 7 4 3 2 3

4 4 4= − −

Câu 426.Câu 426.Câu 426.Câu 426. Chứng minh ∆ABC đều nếu: ( ) ( ) ( )a 1 2cosA b 1 2cosB c 1 2cosC 0− + − + − =

Câu 427.Câu 427.Câu 427.Câu 427. ∆ABC là tam giác gì nếu: ( )A B

a tanB b tanA a b tan2

++ = +

Câu 428.Câu 428.Câu 428.Câu 428. ∆ABC là tam giác gì nếu: c c cos2B bsin2B= +



Câu 429.Câu 429.Câu 429.Câu 429. ∆ABC là tam giác gì nếu: sin 3A sin 3B sin 3C 0+ + =

Câu 430.Câu 430.Câu 430.Câu 430. ∆ABC là tam giác gì nếu: ( )( )4S a b c a c b= + − + −

Câu 431.Câu 431.Câu 431.Câu 431. ∆ABC là tam giác gì nếu: 2 2 2cos A cos B cos C 1+ + =

Câu 432.Câu 432.Câu 432.Câu 432. ∆ABC là tam giác gì nếu: 2 2 2 Ca sin2B b sin2A c cot

2+ =

Câu 433.Câu 433.Câu 433.Câu 433. ∆ABC là tam giác gì nếu: sinB 2cosA cosC

sinA 2cosB cosC

+=

+

Câu 434.Câu 434.Câu 434.Câu 434. ∆ABC là tam giác gì nếu: 2 2 2cos A cos B cos C 1

sin5A sin5B sin 5C 0

+ + < + + =

Câu 435.Câu 435.Câu 435.Câu 435. ∆ABC là tam giác gì nếu: 2 2a sin2B b sin2A 4abcosAsinB

sin2A sin2B 4 sinAsinB

+ = + =

Câu 436.Câu 436.Câu 436.Câu 436. ∆ABC là tam giác gì nếu:

A B C12cos cos cos

2 2 2tanA tanBtanCcosA cosB cosC

=+ +

Câu 437.Câu 437.Câu 437.Câu 437. ∆ABC là tam giác gì nếu: 2 2 2

sin2A sin2B sin2C 32 3

A B C 9cos cos cos

2 2 2

+ +=

Câu 438.Câu 438.Câu 438.Câu 438. ∆ABC là tam giác gì nếu: ( )( )2 2 2 2 2 2 227 a c b a b c 256bcR+ − + − =

Câu 439.Câu 439.Câu 439.Câu 439. ∆ABC là tam giác gì nếu: 3

4 sinAsinBsinC a b c

ab bc ca 18R

+ +=

+ +

Câu 440.Câu 440.Câu 440.Câu 440. ∆ABC là tam giác gì nếu: a b c

cosA cosB cosCb c c a a b

+ + = + ++ + +


2012 2012 2012 2012 2012 2012A B C

tanA tanB tanC cot cot cot2 2 2

+ + = + +

Câu 442.Câu 442.Câu 442.Câu 442. ∆ABC là tam giác gì nếu: ( )

22

2 2 2

S a b c

sin A sin B sin C cotA cotB cotC

= − − + + = + +


( ) ( ) ( )1 b c bc cosA 1 c a ca cosB 1 a b ab cosC 3+ + − + + + − + + + − =

Câu 444.Câu 444.Câu 444.Câu 444. ∆ABC là tam giác gì nếu: ( )3 sinA sinB sinC

tanA tanB tanCcosA cosB cosC

+ ++ + =

+ +

Câu 445.Câu 445.Câu 445.Câu 445. ∆ABC là tam giác gì nếu: ( )

2

S 1

3 a b c 36

= + + =


a sinA bsinB bsinB c sinC c sinC a sinAsinA sinB sinC

a b b c c a

+ + ++ + = + +

+ + +


( )( ) ( ) ( )2 2 2

0a b c a b a c b c a b c

2 sin B 452abc

+ − + + − + + −+ =



Câu 448.Câu 448.Câu 448.Câu 448. ∆ABC là tam giác gì nếu: A B C A B C 1

cos cos cos sin sin sin2 2 2 2 2 2 2

− =

Câu 449.Câu 449.Câu 449.Câu 449. ∆ABC là tam giác gì nếu: 2 2 2

cosA cosB cosC 2

cos A cos B cos C 1

+ + = + + ≥

Câu 450.Câu 450.Câu 450.Câu 450. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( )2 21S a sin2B b sin2A

4= +

Câu 451.Câu 451.Câu 451.Câu 451. Cho ∆ABC. Chứng minh:

A B C A B B C C A A B Ctan tan tan tan tan tan tan tan tan 1 tan tan tan

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4+ + + + ++ = +

Câu 452.Câu 452.Câu 452.Câu 452. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( ) ( ) ( )a b cosC b c cosA c a cosB 2p+ + + + + =


3 3 3 A B C 3A 3B 3Ccos A cos B cos C 1 3sin sin sin sin sin sin

2 2 2 2 2 2+ + = + −

Câu 454.Câu 454.Câu 454.Câu 454. Cho ∆ABC. Chứng minh: 3 3

sinA sinB sinC2

+ + ≤

Câu 455.Câu 455.Câu 455.Câu 455. Cho ∆ABC. Chứng minh: 3

cosA cosB cosC2

+ + ≤

Câu 456.Câu 456.Câu 456.Câu 456. Cho ∆ABC. Chứng minh: 3 3

sinA sinBsinC8

≤


cosAcosBcosC8

≤

Câu 458.Câu 458.Câu 458.Câu 458. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C 3

sin sin sin2 2 2 2

+ + ≤

Câu 459.Câu 459.Câu 459.Câu 459. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C 3 3

cos cos cos2 2 2 2

+ + ≤

Câu 460.Câu 460.Câu 460.Câu 460. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C 1

sin sin sin2 2 2 8

≤

Câu 461.Câu 461.Câu 461.Câu 461. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C 3 3

cos cos cos2 2 2 8

≤

Câu 462.Câu 462.Câu 462.Câu 462. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 2 9sin A sin B sin C

4+ + ≤

Câu 463.Câu 463.Câu 463.Câu 463. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 2 3cos A cos B cos C

4+ + ≥

Câu 464.Câu 464.Câu 464.Câu 464. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 2A B C 3sin sin sin

2 2 2 4+ + ≥

Câu 465.Câu 465.Câu 465.Câu 465. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 2A B C 92 cos cos cos

2 2 2 4< + + ≤


sinAsinB sinBsinC sinCsinA4

+ + ≤


cosAcosB cosBcosC cosCcosA4

+ + ≤



Câu 468.Câu 468.Câu 468.Câu 468. Cho ∆ABC. Chứng minh: 1 1 1

2 3sinA sinB sinC

+ + ≥


6cosA cosB cosC

+ + ≥


6A B C

sin sin sin2 2 2

+ + ≥


2 3A B C

cos cos cos2 2 2

+ + ≥


1 1 14

sin A sin B sin C+ + ≥


1 1 112

cos A cos B cos C+ + ≥


1 1 112

A B Csin sin sin

2 2 2

+ + ≥


1 1 14

A B Ccos cos cos

2 2 2

+ + ≥

Câu 476.Câu 476.Câu 476.Câu 476. Cho ∆ABC. Chứng minh: tanA tanB tanC 3 3+ + ≥

Câu 477.Câu 477.Câu 477.Câu 477. Cho ∆ABC. Chứng minh: cotA cotB cotC 3+ + ≥

Câu 478.Câu 478.Câu 478.Câu 478. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C

tan tan tan 32 2 2

+ + ≥

Câu 479.Câu 479.Câu 479.Câu 479. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C

cot cot cot 3 32 2 2

+ + ≥

Câu 480.Câu 480.Câu 480.Câu 480. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( )2 acosA bcosB ccosC a b c+ + ≤ + +

Câu 481.Câu 481.Câu 481.Câu 481. Cho ∆ABC. Chứng minh: R 2r≥

Câu 482.Câu 482.Câu 482.Câu 482. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 2p 6R 3r≤ +


a b c8m m m 27R≤

Câu 484.Câu 484.Câu 484.Câu 484. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( )3 3 3 9 1cos A cos B cos C cos3A cos3B cos3C

8 4+ + ≤ + + +

Câu 485.Câu 485.Câu 485.Câu 485. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 CsinAsinB cos

2≤


3 3 3

sinA sinB sinC1

A B Ccos cos cos

2 2 2

+ +≤

+ +

Câu 487.Câu 487.Câu 487.Câu 487. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 21 2cos A 1 2cos B 1 2cos C

3 2sinB sinC sinA

+ + ++ + ≥




A B C1 cos 1 cos 1 cos

2 2 2 3 3a b c

+ + ++ + >

Câu 489.Câu 489.Câu 489.Câu 489. Cho ∆ABC. Chứng minh: 1 1 1 A B C

tan tan tan 3 3A B C 4 4 4

sin sin sin2 2 2

+ + − + + ≥

Câu 490.Câu 490.Câu 490.Câu 490. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( )( )( )1 cosA 1 cosB 1 cosC cosAcosBcosC− − − ≥

Câu 491.Câu 491.Câu 491.Câu 491. Cho ∆ABC. Chứng minh: sinA sinB sinC 2

1cosA cosB cosC 2

+ +≥ +

+ +

Câu 492.Câu 492.Câu 492.Câu 492. Cho ∆ABC. Chứng minh: a b c

a b c2 3

m m m+ + ≥


a b b c c ac a b 27abc

cosA cosB cosB cosC cosC cosA

+ − + − + − ≥

Câu 494.Câu 494.Câu 494.Câu 494. Cho ∆ABC có chu vi bằng 3. Chứnh minh rằng:

( )2 2 2

2

133 sin A sin B sin C 8R sinAsinBsinC

4R+ + + ≥ .

Câu 495.Câu 495.Câu 495.Câu 495. Cho ∆ABC nhọn. Chứng minh rằng: sinA sinB sinC tanA tanB tanC 2+ + + + + > π

Câu 496.Câu 496.Câu 496.Câu 496. Cho ∆ABC nhọn. Chứng minh rằng: 1 1 1

3 tanAtanBtanC 2 21cosA cosB cosC

+ + + ≤

Câu 497.Câu 497.Câu 497.Câu 497. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: ( )( )( )3 3

3 22R a 2R b 2R c 8R e+ + + <

Câu 498.Câu 498.Câu 498.Câu 498. Cho ∆ABC có 00 A B C 90< ≤ ≤ < . Chứng minh rằng: 2cos 3C 4cos2C 1

2cosC

− +≥

Câu 499.Câu 499.Câu 499.Câu 499. Cho ∆ABC nhọn thì ta luôn có: ( ) ( )1 2

tanA tanB tanC sinA sinB sinC3 3

+ + + + + > π

Câu 500.Câu 500.Câu 500.Câu 500. Cho ∆ABC nhọn thì: A B C A B C

3 tan tan tan cot cot cot 6 32 2 2 2 2 2

+ + + ≥

====== �� HẾTHẾTHẾTHẾT �� ======

Chuyen de 7 Pt Luong Giac Va Ung Dung 7472

Documents

nn ng gg

mm mi ii

nn nh hh

gii phng trnh

kim tra xem

cho phng trnh

xng lng gic

bn cng thc