Chaosv5final

Εργασία στα πλαίσια του μαθήματος:

«Ιστορία και Εξέλιξη των Ιδεών στη Φυσική»

Τμήμα Φυσικής Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης

Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ

ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ

ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ.

Θάλεια Τραϊανού

ΑΕΜ: 13588

Υπεύθυνος Καθηγητής: Χάρης Βάρβογλης

Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-2012

Order is repetition of units.

Chaos is multiplicity without rhythm.

Maurits Cornelis Escher .

Εισαγωγή

Χάος. Μια έννοια που γενικά θεωρείται ταυτόσημη με την αταξία, την ασάφεια, το μπέρδεμα και

την αδυναμία πρόβλεψης ενός συστήματος. Είναι όμως αυτό;

Σήμερα ξέρουμε πως πίσω από αυτή την απόδοση του χάους κρύβεται μια συναρπαστική

ιστορία μιας καινούριας θεωρίας με δικούς της νόμους, κανόνες και δική της χαρακτηριστική

γεωμετρία. Μιας θεωρίας που ολοένα και περισσότεροι επιστήμονες την εντοπίζουν να εμφανίζεται

μέσα σε φυσικά φαινόμενα, συμπεριφορές υγρών, τροχιές πλανητών, χημικές αντιδράσεις, ακόμα

και στη συμπεριφορά ανθρώπινων μαζών και κίνησης της παγκόσμιας οικονομίας. Τι είναι λοιπόν

το χάος;

Η πρώτη ιστορική αναφορά της έννοιας του χάους έρχεται από την αρχαία Ελλάδα, γύρω στο

700 π.Χ. μέσα από ένα ποίημα. Ο μεγάλος ποιητής της αρχαιότητας Ησίοδος μέσα από την

«Θεογονία» του αναφέρει χαρακτηριστικά το χάος σαν μια πρώτη κατάσταση του κάσμου και ως

αρχή της δημιουργίας του. Μάλιστα, αρχαίοι σχολιαστές αποδίδουν την έννοια του Ησιόδειου

χάους με τρεις ερμηνίες. Ως τόπο, ως υγρό ή νερό, σύμφωνα με την προέλευση της λέξης από το

ρήμα χέω ή ως την αδιαμόρφωτη ύλη.

Ἤτοι μὲν πρώτιστα Χάος γένετ'. αὐτὰρ ἔπειτα

Γαῖ' εὐρύστερνος, πάντων ἕδος ἀσφαλὲς αἰεὶ

ἀθανάτων οἳ ἔχουσι κάρη νιφόεντος Ὀλύμπου,

Τάρταρά τ' ἠερόεντα μυχῷ χθονὸς εὐρυοδείης,[...]

Και λοιπόν πρώτα από όλα το Χάος γεννήθηκε και μετά

η πλατύστερνη Γαία, η αιώνια και ασφαλής έδρα των πάντων

και ο σκοτεινός Τάρταρος

σε μια τρύπα στα έγκατα της απλωμένης γης [...]

Τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα του χάους όμως αρχίζουν να γίνονται αντιληπτά και από

άλλους λαούς. Ο διάσημος πάπυρος Rhind και το πρόβλημα 79 από τους αιγύπτιους, οι

πολύχρωμες μαντάλες των βουδιστών μοναχών και τα συμβολά τους είναι μερικά μόνο

χαρακτηριστικά παραδείγματα. Έτσι λοιπόν, σταδιακά οι επιστήμονες και όχι μόνο άρχισαν να

αντιλαμβάνονται πως η φύση λειτουργεί με ένα δικό της τρόπο βασισμένο σε λεπτές ανισορροπίες

και περίπλοκες αρχές συμμετρίας. Ολοένα και περισσότερα φαινομενικά απλά προβλήματα

αποδεικνύονταν σύνθετα και ανεπίλυτα προκαλώντας πονοκέφαλο σε ολόκληρη την επιστημονική

κοινότητα. Ο αιώνας που μας άφησε στιγματίστηκε από πολλά τεχνολογικά επιτεύγματα και

επιστημονικές ανακαλύψεις. Με τη σύμφωνη γνώμη πολλών ανθρώπων όμως, τρεις θεωρίες

ξεχώρισαν από τις θεαματικές και ανατρεπτικές απαντήσεις στα μεγάλα ερωτήματα που βασάνιζαν

τον κόσμο. Η θεωρία της σχετικότητας του A.Einstein, η κβαντική θεωρία και η θεωρία του χάους.

Μέσα από αυτή την εργασία, θα προσπαθήσουμε να περπατήσουμε στα μονοπάτια αυτής της

γοητευτικής θεωρίας και να την ανακαλύψουμε μέσα στη φυσική, τη χημεία, τη βιολογία, την

κοινωνιολογία, μέσα στην ίδια τη φύση.

1. Ο Νεύτωνας και το πρόβλημα των τριών σωμάτων

Όλα ξεκίνησαν γύρω στα 1670 στην Αγγλία, όταν ο ευφυής νεαρός Ισσάκ Νεύτων

καταπιάστηκε με τη μελέτη και τον προσδιορισμό της κίνησης των ουράνιων σωμάτων. Ο

Νεύτωνας από μικρή ακόμα ηλικία είχε εκδηλώσει την αγάπη του αλλά και το ταλέντο του στις

φυσικές επιστήμες. Παρά τα οικογενειακά προβλήματα και αντιξοότητες που αντιμετώπιζε, ο

Νεύτωνας κατάφερε να ξεφύγει από την καριέρα του γεωργού που του προόριζαν και να σπουδάσει

στο κολλέγιο Τρίνιτι του Καιμπριτζ. Το ανήσυχο πνέυμα του όμως σύντομα άρχισε να ξεχωρίζει,

καθώς παρά την πολιτική αστάθεια, τα σημαντικά οικονομικά προβλήματα και την απειλη της

πανώλης που έπληταν και το πανεπιστήμιό του, ο Νέυτωνας δεν αποθαρύνθηκε από τις σπουδές

του, αντίθετα, συνέχισε δούλευοντας μόνος του, διεξάγοντας πειράματα και ερευνώντας παντελώς

άγνωστες για την εποχή περιοχές της φυσικής και των μαθηματικών. Οι ανακαλύψεις που έκανε,

επέφεραν επιστημονική επανάσταση στην εποχή του, που διήρκησε μέχρι και 300 χρόνια αργότερα,

επηρρεάζοντας σχεδόν όλους τους επιστημονικούς τομείς. Για το έργο που προσέφερε ο Ισσακ

Νεύτων στην επιστήμη, σήμερα θα μπορούσαμε να μιλάμε ατέλειωτες ώρες και να γεμίζουμε

χιλιάδες σελίδες. Μέσα από αυτή την εργασία θα απομονώσουμε ένα μικρό τμήμα της. Θερμός

οπαδός λοιπόν ο Νεύτωνας ενός ντετερμινιστικού κοσμου, σαν ένα καλοκουρδισμένο ρολόι, και

δημιουργός του διαφορικού λογισμού, κατάφερε μέσα από την επίλυση διαφορικών εξισώσεων να

προβλέψει με ακρίβεια την κίνηση δυο αλληλεπιδρώντων σωμάτων. Όταν όμως μελέτησε το

σύστημα Γη-Σελήνη συνάντησε σημαντικά πρόβλήμα και αυτό συνέβει γιατί στην πραγματικότητα

το σύστημα ήταν Γη-Σελήνη-Ήλιος. Όπως θα δούμε και στη συνέχεια όλα αυτά τα προβλήματα

αποτελούσαν την αρχή του νήματος που οδηγούσε στην ύπαρξη του χάους.

Πιο συγκεκριμένα στο πρόβλημα των τριων σωμάτων έχουμε τρια σημειακά σώματα με

γνωστές τις αρχικές θέσεις και ταχύτητες τους, βρίσκονται σε βαρυτική αλληλεπίδραση μεταξύ

τους και εκφράζονται σε συνάρτηση με το χρόνο. Σε σύστημα δυο σωμάτων η γνώση αυτών των

ποσοτήτων είναι αρκετή για να προβλέψουμε με ακρίβεια τις τροχιές των σωμάτων και την εξέλιξη

του συστήματος μέσα από τον νόμο της παγκόσμιας έλξης (𝐹 = 𝐺𝑚1𝑚2

𝑟2) σε οποιαδήποτε άλλη

χρονική στιγμή.

Εικόνα 1. Ισαάκ Νεύτων

Στα τρια σώματα όμως αυτές οι πληροφορίες δεν ήταν αρκετές για τη δημιουργία της

αναλυτικής εξίσωσης κίνησης του συστήματος. Έτσι αυτή η μικρή παραφωνία, αποτέλεσε το

μελανό σημείο για το απόλυτα προβλέψιμο σύμπαν που είχε οραματιστέι ο Νεύτωνας. Πολλές

προτάσεις για την επίλυση αυτού του προβλήματος γεννήθηκαν στα επόμενα χρόνια, καμία όμως

δεν κατάφερε να το ξεπεράσει.

Για να καταλάβουμε καλύτερα το πρόβλημα, μπορούμε να φανταστούμε ότι έχουμε ένα

τραπέζι του μπιλιάρδο. Αν χτυπήσουμε μια μπάλα με τη στέκα, εκείνη θα συγκρουστεί με τις

υπόλοιπες και όλες θα ακολουθήσουν κάποιες τροχιές. Οι τροχιές αυτές, δεν πρόκειται να είναι

ποτέ οι ίδιες σε μια επομένη επανάληψη του πειράματος, ακόμα και αν χτυπήσουμε τη μπάλα με

την ίδια ακριβώς γωνία και την ίδια ακριβώς δύναμη. Αυτό συμβαίνει επειδή στο κόσμο γύρω μας,

οι αρχικές συνθήκες δεν θα μπορούν ποτέ να είναι ακριβώς οι ίδιες με κάθε προηγούμενη φορά.

Εικόνα 2.

Μια πολύ ενδιαφέρουσα θεωρία που προέκυψε ως υποψήφια λύση του προβλήματος και

χρησιμοποιείται μέχρι και σήμερα είναι η θεωρία των διαταραχών. Η βασική ιδέα αυτής της

θεωρίας ήταν η εύρεση προσεγγιστικης λύσης θεωρώντας το τρίτο σώμα σχεδόν άμαζο. Το

εισήγαγαν λοιπόν με αυτό τον τρόπο στις εξισώσεις κίνησης του συστήματος των δυο κύριων

σωμάτων ως ενα “μικρό” διαταρακτικό όρο με υπολογίσιμες συνέπειες στο αδιατάρακτο και

προβλέψιμο σύστημα των δυο σωμάτων. Όταν όμως αυτές οι μέθοδοι εφορμόστηκαν σ’ ενα

σύστημα οπως το Γη-Σελήνη-Ήλιος που προαναφέραμε, προς απογοήτευση όλων τα αποτελέσματα

δεν ηταν τα αναμενόμενα. Έτσι το πρόβλημα των τριων σωμάτων έμεινε άλυτο και ανεξιχνίαστο

για τα επόμενα 200 περίπου χρόνια.

2. Τα πρώτα βήματα στη θεωρία του χάους

Ένα πρώτο βήμα στη θεωρία του χάους έγινε στις 21 Ιανουαρίου του 1889, όταν ο βασιλιάς

της Σουηδίας Όσκαρ Β΄ αποφάσισε ότι ο εορτασμός των 60ων

γεθλίων του θα συνοδευόταν από

έναν διαγωνισμό. Σε αυτό το διαγωνισμό τέθηκαν προς λύση τέσσερα προβλήματα, τρία

μαθηματικών και ένα ουράνιας μηχανικής. Το τελευταίο πρόβλημα διατυπώθηκε ως εξής: «Δίνεται

ένα συστήμα τυχαίων σημείων με μάζα και βαρυτική αλληλεπίδραση μεταξύ τους σύμφωνα με τον

νόμο του Νεύτωνα. Θεωρώντας ότι δυο σημεία δεν θα συγκρουστούν ποτέ, προσπαθήστε να βρείτε

την αναπαράσταση του συστήματος, τις συντεταγμένες του κάθε σημείου και τη σειρά μιας

μεταβλητής που θα είναι μια γνωστή συνάρτηση του χρόνου, για την οποία το σύνολο των όρων

της να συγκλίνει ομοιόμορφα». Ο βασιλιάς Όσκαρ ανησυχούσε για την εξέλιξη του Ηλιακού

συστήματος και ήλπιζε πως δίνοντας ένα τέτοιο κίνητρο μέσα από αυτόν τον διαγωνισμό θα

βοηθούσε στην επίλυση του. Το έπαθλο του διαγωνισμού ήταν 2.500 σουηδικές λίρες αλλά εκτός

αυτού, ο νικητής θα κέρδιζε μεγάλη φήμη και κύρος. Έτσι, πολλοί διακεκριμένοι επιστήμονες της

εποχής δήλωσαν συμμετοχή αποφασισμένοι να κερδίσουν. Συμμετοχή στο διαγωνισμό έβαλε και ο

τριανταδυάχρονος τότε Ανρί Πουανκαρέ. Ο Πουανκαρέ ήταν ένας πολυμαθής νέος με

φωτογραφική μνήμη αλλά κακή οραση. Το 1873 ξεκίνησε τις πανεπιστημιακές σπουδές του στο

École Polytechnique, διαπρέποντας ως φοιτητής. Αγαπούσε πολύ τα μαθηματικά, τη φυσική αλλά

και την τέχνη. Το 1879 έλαβε το διδακτορικό του στα μαθηματικά από το Πανεπιστήμιο του

Παρισιού και έκανε τη διατριβή του στις διαφορικές εξισώσεις. Στη προσπάθεια του λοιπόν να

λύσει το πρόβλημα των ν-σωμάτων, ο Πουανκαρέ έκανε μια μεγάλη ανακάλυψη. Ότι οι νευτώνιες

εξισώσεις της κλασικής μηχανικής δεν μπορούσαν να δώσουν αναλυτικές λύσεις στο πρόβλημα.

Με άλλα λόγια, απέδειξε ότι ακόμα και στα πιο απλά προβλήματα μηχανικής υπάρχουν περιοχές

στο χώρο των φάσεων τους που οι τροχιές των σωμάτων παρουσιάζουν εξαιρετική ευαισθησία στις

αρχικές συνθηκες. Επιπλέον, απέδειξε ότι ακόμα και σε ένα προβλέψιμο σύστημα φυσικής που

περιγράφεται από μη γραμμικές εξισώσεις και κινείται σ’ ενα χώρο τριων διαστάσεων, υπάρχουν

περιοχές που παρουσιάζουν έντονη αστάθεια, ώστε ακόμα και η παραμικρή αλλαγή της αρχικής

κατάστασης του συστήματος να επιφέρει πολύ μεγάλες αλλαγές στην εξέλιξη του. Σε αυτό το

σημείο, αξίζει να εξηγήσουμε πότε ένα σύστημα ονομάζεται ευσταθές. Ένα χαρακτηριστικό

παράδειγμα για την κατανόηση ενός ευσταθούς συστήματος είναι το σύστημα κύβος-τραπέζι.

Θεωρούμε λοιπόν έναν συμπαγή κύβο πάνω σ’ ένα τραπέζι. Αν πάμε να αναλύσουμε τις δυνάμεις

που ασκούνται στον κύβο θα δούμε πως μια δύναμη έλκει τον κύβο προς το δάπεδο λόγω του

βάρους του. Αυτή η δύναμη διέρχεται από την επιφάνεια στήριξης του σώματος. Ταυτόχρονα

εμφανίζεται και μια ακόμα δύναμη που ενεργεί αντίθετα από την προηγούμενη, δημιουργώντας

έτσι το ζεύγος δυνάμεων δράσης αντίδρασης. Έτσι υπάρχει ισορροπία στο σύστημα και αυτή η

κατάσταση του κύβου θεωρείται ευσταθής. Αν όμως τοποθετήσουμε τον κύβο έτσι ώστε να

στηρίζεται σε κάποια από τις ακμές του, θα παρατηρήσουμε ότι ασκώντας μια πολύ μικρή δύναμη

σε κάποιο τυχαίο σημείο του κύβου, θα γείρει στο πλάι. Δηλαδή, με μια μικρή μεταβολή στην

αρχική του κατάσταση προκαλείται μεγάλη μεταβολή στο σύστημα. Αυτή η κατάσταση

χαρακτηρίζεται ως ασταθής. Μ’ αυτή την ανακάλυψη λοιπόν ο Πουανκαρέ παρόλο που δεν

κατάφερε να λύσει το πρόβλημα, προκάλεσε τόσο μεγάλη εντύπωση που κέρδισε το βραβείο

ομόφωνα από την επιτροπή.

Εικόνα 3. Ανρί Πουανκαρέ

Τη σκυτάλη στη θεωρία του χάους πήρε μερικά χρόνια αργότερα ο Γάλλος μαθηματικός

Gaston Julia. Έξυπνος, ενθουσιώδης και μαθητής του Πουανκαρέ, ο Gaston σε ηλικία μόλις

εικοσιπέντε χρόνων το 1918, δημοσίευσε την 199 σελίδων εργασία του με τίτλο «Mémoire sur

l'iteration des fonctions rationelles» καθιστώντας το όνομά του πασίγνωστο σε όλα τα μαθηματικά

κέντρα της εποχής του. Στην εργασία του αυτή, ο Julia μελετά ρητές πολυωνυμικές εκφράσεις

δευτέρου ή και μεγαλύτερου βαθμού, βάζοντας ταυτόχρονα το θεμέλειο λίθο στην γεωμετρία των

μορφοκλασματικών δομών, τα σύνολα Julia. Πιο συγκεκριμένα, τα σύνολα Julia δημιουργήθηκαν

εισάγοντας ένα μιγαδικό αριθμό σε μια επαναληπτική συνάρτηση.

Εικόνα 4. Γκαστόν Ζυλιά

Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Η

γέννηση τους προέκυψε από την αδυναμία του συνόλου R να δώσει λύση σε μια δευτεροβάθμια

εξίσωση με αρνητική διακρίνουσα. Έτσι, για να ξεπεραστεί αυτό το μαθηματικό πρόβλημα, τα

στοιχεία του συνόλου C απέκτησαν κάποια απαραίτητα χαρακτηριστικά. Αρχικά, στους μιγαδικούς

αριθμούς ισχύουν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλάπλασιασμού, ακριβώς όπως και στους

πραγματικούς, με το 0 να είναι το ουδέτερο στοιχείο της προσθεσης και το 1 του πολλάπλασιάσμου.

Έπειτα, υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο ώστε i2=-1 και τέλος, κάθε στοιχείο z του C γράφεται με τη

μορφή α+βi, όπου α, β ανήκουν στο R, με το α να είναι το πραγματικό μέρος του μιγαδικού

αριθμού και το β το φανταστικό. Η γραφική αναπαράσταση αυτών των αριθμών γίνεται πάνω στο

μιγαδικό επίπεδο, το οποίο είναι το γνωστό μας καρτεσιανό επίπεδο με τον άξονα x'x να

αναπαριστά το πραγματικό μέρος των μιγαδικών και τον y'y το φανταστικό. Από τα παραπάνω,

γρήγορα καταλαβαίνουμε ότι οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν τους δικούς τους κανόνες, τη δική τους

άλγεβρα και τη δική τους ανάλυση. Η θεωρία Ζυλιά αναφέρεται στις μιγαδικές απεικονίσεις,

δηλαδή σε μια συνάρτηση της μορφής

f(z)=z2+c

όπου το z αντιπροσωπευει μια μεταβλητή της μορφής α+βi όπου α,β ανήκουν στο R, η οποία

μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο μιγαδικό επίπεδο και το c να είναι ένας σταθερός

πραγματικός αριθμός. Επαναλαμβάνοντας τη συνάρτηση για διάφορες τιμές του z μπορούμε να

δημιουργήσουμε άπειρα τετοια σύνολα και να παρατηρήσουμε την γραφική τους απεικόνιση. Κατά

την εκτέλεση της συνάρτησης όμως, παρατηρούμε ότι μερικές αρχικές τιμές του z κινούνται

γρήγορα στο άπειρο. Αν λοιπόν, χρωματίσουμε με μαύρο τα σημεία εκείνα κατά την επανάληψη

της συνάρτησης και με άσπρο όλα τα υπόλοιπα, θα σκιαγραφήσουμε μια «λεκάνη έλξης σημείων»

όπως αλλιώς ονομάζεται, δηλαδή ένα σύνολο Ζυλιά.

Εικόνα 5. Σύνολο Ζυλιά με c = 74543+11301i

Σύντομα λοιπόν, αντιλαμβανόμαστε ότι τα σχήματα που προκύπτουν μέσα από αυτά τα σύνολα

είναι πολύπλοκα μα συνάμα άκρως εντυπωσιακά. Αυτή η εκπληκτική δουλειά του Ζυλιά όμως,

παρόλο που τον κατέστησε διάσημο επιστήμονα την δεκαετία του '20, με πολλές τιμητικές

διακρίσεις και όχι μόνο, με τον καιρό ξεχάστηκε και έμεινε κλειδωμένη στα επιστημονικά συρτάρια.

3. Η μορφογένεση και η ανακάλυψη της θεωρίας του χάους

Το επόμενο σημαντικό βήμα στην ιστορία του χάους μετά τον Ζυλιά έγινε αρκετά χρόνια

αργότερα και με έναν απροσδόκητο τρόπο. Κάπου στα μέσα του δευτέρου παγκοσμίου πολέμου,

ένας νεαρός βρετανός με το όνομα Alan Turing μέσα στο πυρετο του πολέμου και την ευθύνη της

αποκωδικοποίησης των μηνυμάτων που αντάλλασαν οι Γερμανοι, χάραζε καινούριους δρόμους σε

διάφορους τομείς όπως στην κρυπτογραφία, τη βιολογία και την πληροφορική. Ο Turing ήταν ένας

αξιοθαύμαστος επιστήμονας. Παρόλο που όσο ζούσε δεν απόλαυσε την αναγνώριση που του άξιζε,

στον τομέα της πληροφορικής μέχρι και σημερα χαρακτηρίζεται ως ο πατέρας της επιστήμης των

υπολογιστών. Εισήγαγε για πρώτη φορά μια επίσημη έννοια του αλγορίθμου και με την διατριβή

του για την «καθολική μηχανή Turing» έκανε ένα μεγάλο βήμα για την ανάπτυξη της τεχνητής

νοημοσύνης. Το ανήσυχο και χαρισματικό μυαλό του Turing όμως, δεν δραστηριοποιήθηκε μόνο

στον τομέα της πληροφορικής. Όπως αναφέραμε και παραπάνω ένας από τους τομείς που

ασχολήθηκε ήταν και η βιολογία. Ο Turing εκτός από το ταλέντο που είχε στην αποκωδικοποίηση,

είχε το χάρισμα να διακρίνει σχήματα και μορφές στη φύση, πολύ καλά κρυμμένα. Πίστευε πως

πίσω από την δομή της ίδιας της ζωής, κρύβονται απλοί μαθηματικοί νόμοι που τη διέπουν. Στη

διαμόρφωση αυτής του της αντίληψης έπαιξε σημαντικό ρολο ο θάνατος του νεανικού του έρωτα

Christopher Morcom όταν ακόμα ήταν στο πανεπιστήμιο, γεννώντας του ερωτήματα σχετικά με τη

προέλευση της ζωής καθώς και πως θα μπορούσε να εκφραστεί με μαθηματικό τρόπο. Έτσι, το

1952 δημοσίευσε την εργασία του με τίτλο «Η χημική βάση της μορφογένεσης» βάζοντας το

θεμέλιο λίθο στην επιστήμη της μαθηματικής βιολογίας. Τι είναι όμως η μορφογένεση;

Εικόνα 6. Καλλιέργεια μικροργανισμών

Η μορφογένεση είναι η διαδικασία που ακολουθεί ένας οργανισμός κατά τη δημιουργία του,

προκειμένου να αναπτύξει το σχήμα του. Πιο αναλυτικά, ελέγχει την οργανωμένη χωρική

κατανομή των κυττάρων κατά τη διάρκεια της εμβρυικής ανάπτυξης ενός οργανισμού, δηλαδή

οργανώνει κατά τέτοιο τρόπο τις συγκεντρώσεις των κυττάρων δημιουργώντας «μορφές», τα

γνωστά μας όργανα, τα οποία θα είναι ικανά να αναπτυχθούν και να απαρτήσουν εμβια όντα. Η

μορφογένεση είναι ένα περίπλοκο φαινόμενο και σήμερα χαρακτηρίζεται ως μια από τις τρεις

κύριες διαδικασίες της αναπτυξιακής βιολογίας, μαζί με τον έλεγχο της ανάπτυξης των κυττάρων

και την κυτταρική διαφοροποίηση. Έκτος όμως από την δημιουργία των διαφόρων οργάνων και

μελών ενός εμβρυακού οργανισμού, οι εξισώσεις του Turing αποκάλυψαν και κάτι ακόμα

εξαιρετικά ενδιαφέρον για την διαδικασία της μορφογένεσης. Μέσα από τη λύση αυτών των

εξισώσεων προέκυψαν σχήματα που έμοιζαν εκπληκτικά με εκείνα που εμφανίζονται στο δέρμα

των αγελάδων. Έτσι, μέσα από αυτή τη διαδικασία αποκαλύφθηκε πως η φύση έχει μια μοναδική

ικανότητα να εμφανίζει σχέδια και σχήματα μέσα από μια άμορφη σούπα χημικών στοιχείων.

Η απίστευτη καινοτομία του Alan Turing ήταν να εκφράσει αυτή τη πολύπλοκη διαδικασία

έμβιων οργανισμών με απλές εξισώσεις. Αν και αργότερα, παράλληλα με την εξέλιξη της

τεχνολογίας, οι έρευνες έδειξαν ότι η διαδικασία της μορφογένεσης είναι πιο περίπλοκη από ότι

έδειξε ο Turing στην εργασία του, η «χημική βάση της μορφογένεσης» αποτέλεσε τον ακρογωνιαίο

λίθο της. Επιπλέον, κανένας ως εκείνη τη στιγμή δεν είχε συνδυάσει μια ζωτική διαδικασία με

μαθηματικά. Ο Turing μεταφράζοντας ένα βιολογικό φαινόμενο με αριθμούς, εκτός από τα

αξιοθαύμαστα αποτελέσματα της έρευνάς του, κατάφερε να ανοίξει ένα παράθυρο προς την

χρησιμότητα των μαθηματικών και σε αυτό τον τομέα συνεισφέροντας στην αποκρυπτογραφηση

της ίδιας της ζωής.

Εικόνα 7. Παράδειγμα μορφογέννεσης στη φύση

Ωστόσο, παρά το μεγάλο έργο που προσέφερε στην επιστήμη αλλά και στη χώρα του, η μοίρα

του επεφύλατε να ζήσει μια μεγάλη τραγωδία. Όπως αναφέραμε και στην αρχή, ο Turing δούλευε

στα άδυτα του στρατού, αποκωδικοποιώντας τα μηνύματα του αντιπάλου. Έξω από το στρατό όμως,

η προσωπική του ζωή ήταν ιδιαίτερη. Όταν ένα άτυχο περιστατικό, αποκάλυψε την ομοφυλοφιλία

του, έβαλε τέλος στη ζωή του, αφήνοντας ένα ανυπολόγιστο κενό στην επιστήμη.

Εικόνα 8. Άλαν Τιούρινγκ

Σταδιακά λοιπόν, άρχισε να σκιαγραφείται η γοητευτική και μυστηριώδης σιλουέτα της

θεωρίας του χάους, με τρόπο παράδοξο και απρόσμενο. Παράλληλα με την ανάπτυξη της

τεχνολογίας, ο άνθρωπος κατάφερε να λύσει πολλές απορίες του, δημιουργώντας ταυτόχρονα

χιλιάδες άλλες. Η γνωστή και κατανοητή σε εμάς, τάξη στη φύση, άρχισε να φαίνεται πως

συγγενεύει με κάτι άλλο. Κάτι άγνωστο. Ανεξερεύνητο. Τάξη και αναρχία, αναρχία και τάξη, δυο

έννοιες αντίθετες που όμως όπως αρχίζει να φαίνεται, είναι φτιαγμένες από τα ίδια δομικά υλικά.

Αυτή η παράξενη «μαθηματική ανωμαλία» που άρχισε να εμφανίζεται ολοένα και συχνότερα στα

διαφόρα φυσικά προβλήματα και όχι μόνο, ονομάστηκε από τον μαθηματικό James A. Yorke το

1960, ως χάος.

Αυτός ο δυσδιάκριτος γόρδιος δεσμός που ενώνει την τάξη και το χάος άρχισε να γίνεται

αντιληπτός από τον άνθρωπο μέσα από τη συμπεριφορά της ίδιας της φύσης. Ήδη από το 1947, ο

ψυχίατρος και μηχανικός W. Ross Ashby διατύπωσε τον όρο της αυτοοργάνωσης. Με τον όρο

αυτοοργάνωση, χαρακτηρίζεται η ομαδική συμπεριφορά ενός συστήματος στην οποία τα δομικά

στοιχεία από τα οποία αποτελείται, δρουν ανεξάρτητα και στον ίδιο χρόνο. Αυτή η δράση των

στοιχείων είναι αυθόρμητη και δεν υπακούει σε κάποια κεντρική αρχή ή σχέδιο, παρόλα αυτά η

μεμονομένη δράση κάθε στοιχείου λειτουργεί αθροιστικά και αλληλεπιδρά τοπικά με τα άλλα

στοιχεία, σαν ένα είδος αυτόνομου παζλ που τα κομμάτια μπαίνουν από μόνα τους στη θέση που

τους ταιριάζει, δημιουργώντας στο τέλος ένα οργανωμένο σύστημα, με δομή και σχήμα.

Χαρακτηριστικά παραδείγματα από αυτοοργανομένα συστήματα μπορούμε να δούμε πολύ

εύκολα γύρω μας τόσο στο μικρόκοσμο όσο και στον μακρόκοσμο. Η δομή του ατόμου, η

δημιουργία κρυστάλλων (στερεών αλλά και υγρών), η ομοιόσταση του ανθρώπινου οργανισμού, η

μορφογένεση που αναφέραμε παραπάνω, ο σχηματισμός αστέρων, πλανητικών συστημάτων, μέχρι

και ο σχηματισμός γαλαξιών μπορεί να χαρακτηριστεί ως ένα αυτοοργανωμένο σύστημα. Ωστόσο,

ο κατάλογος με τέτοια συστήματα δεν περιορίζεται μόνο σε φυσικές διεργασίες. Αυτοοργάνωση

μπορούμε να παρατηρήσουμε και στην εξέλιξη της ζωής στο πλανήτη μας, στη δομή μιας

κοινωνίας ή ακόμη και στο οικονομικό σύστημα μιας χώρας. Για την κοινωνική δομή και το

οικονομικό σύστημα, η έννοια της αυτοοργάνωσης είναι γνωστή και ως αυθόρμητη τάξη. Η ιδέα

βέβαια ότι ένα σύστημα μπορεί να έχει την τάση να αυξάνει από μόνο του την εγγενή του τάξη, είχε

αναφερθεί και από άλλους στο παρελθόν όπως τους αρχαίους έλληνες Λεύκιππο και Δημόκριτο, τον

φιλόσοφο Adam Smith και τον Descartes. Η φύση λοιπόν δείχνει πως επιφυλάσσει πολλές

εκπλήξεις ακόμα για τον άνθρωπο, αρκεί αυτός να θέσει τα κατάλλληλα ερωτήματα.

Παράλληλα λοιπόν με την γέννηση του όρου «χάος», το 1960 ένας μετεωρολόγος με το

όνομα Έντουαρτ Λόρεντζ στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης είχε δημιουργήσει ένα

είδος προγράμματος σε Η/Υ που έλυνε αριθμητικά ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων με δώδεκα

μεταβλητές οι οποίες αντιστοιχούσαν σε μεγέθη όπως η θερμοκρασία, η ατμοσφαιρική πίεση, η

ταχύτητα του ανέμου κ.α. Σκοπός του ήταν η προσομοίωση των καιρικών φαινομένων ενός

απλουστευμένου μοντέλου ατμόσφαιρας. Έτσι, κάθε λεπτό που περνούσε, ο υπολογιστής

μπορούσε να το «θεωρεί» σαν το πέρασμα εικοσιτεσσάρων ωρών και ταυτόχρονα μπορούσε να

λύνει τις εξισώσεις ανάλογα με τις μεταβλητές και να της εκτυπώνει. Οι εκτυπωμένες αυτές σελίδες

δεν ήταν τίποτα άλλο παρά σελίδες γεμάτες αριθμούς, που όμως για εκείνον που ήξερε να

ερμηνεύσει τι σήμαιναν, μπορούσε να δει πως εξελισσόταν το καιρικό σύστημα στην ατμόσφαιρα

και ουσιαστικά μπορούσε να κάνει προβλέψεις.

4. Το φαινόμενο της πεταλούδας

Ο Λόρεντζ γεννήθηκε στο West Hartford του Connecticut. Σπούδασε μαθηματικά, αλλά από το

1942 ως το 1946 εργάστηκε στο στρατό ως μετεωρολόγος. Αυτό έγινε η αιτία μετά το τέλος της

θητείας του να σπουδάσει μεωρολογία στο ΜΙΤ όπου έπειτα εργάστηκε ως καθηγητής. Αγαπούσε

πολύ τις εναλλαγές του καιρού και τον σαγήνευε η ιδέα της πρόβλεψής του σε μια εποχή που η

διαδικασία της καιρικής πρόβλεψης κινούνταν στις παρυφές της επιστήμης. Μέσω του ογκώδη

υπολογιστή Royal McBee, ο Λόρεντζ κατάφερε να δημιουργήσει ένα μοντέλο ατμόσφαιρας,

απόλυτα ντετερμινιστικό και υπάκουο στους Νευτώνιους νόμους, που όπως πίστευε είχε τη

δυνατότητα να κάνει ασφαλείς καιρικές προβλέψεις ακόμα και σε πραγματικές συνθήκες,

προκαλώντας τον θαυμασμό φοιτητών και συναδέλφων του.

Εικόνα 9. Έντουαρτ Νόρτον Λόρεντζ

Το μέλλον αυτής της μοντελοποιημένης ατμόσφαιρας του Λορέντζ όμως, μια μέρα άλλαξε. Ο

λόγος; Μια φαινομενικά ασήμαντη στρογγυλοποίηση από την ακρίβεια των έξι δεκαδικών ψηφίων

στην ακρίβεια των τριών, έγινε η αιτία να δημιουργηθεί μια απροσδόκητη εξέλιξη του συστήματος.

Αυτή η περίεργη συμπεριφορά είχε ως αποτέλεσμα τη δημιουργία και δημοσίευση της εργασίας

του με τίτλο: «Ντετερμινιστική, μη περιοδική ροή» στο περιοδικό Journal of the Atmospheric

Sciences. Ας δούμε λοιπόν, ποια εκπληκτικά αποτελέσματα οδήγησαν στην δημιουργία αυτής της

εργασίας.

Ο Λόρεντζ αρχικά πήρε ένα σύνολο εξισώσεων που υπολόγιζαν τη διάδοση της θερμότητας

του αέρα μέσα στο χώρο των φάσεων και την απλοποίησε με αυθαίρετο αλλά συνάμα σκεπτόμενο

τρόπο, πετώντας κάθε τι περιττό. Η διάδοση της θερμότητας είναι καθοριστικός παράγοντας στην

εξέλιξη ενός καιρικού φαινομένου. Ο σχηματισμός των νεφών οφείλεται σε αυτή τη διάδοση και γι

αυτό οι καταιγίδες εμφανίζονται συνήθως σε ζεστές και υγρές μέρες. Αυτή η διάδοση όμως μπορεί

να είναι σταθερή, με τον θερμό αέρα να ανεβαίνει προς τα πάνω, αλλά μπορεί να είναι και ασταθής,

με τον αέρα να κινείται ολόγυρα με εναν πολύπλοκο τρόπο, δημιουργώντας ένα φαινόμενο

περιοδικής περιδίνησης. Οι εξισώσεις που χρησιμοποίησε ο Λορέντζ ήταν οι εξής:

Οι παραπάνω εξισώσεις, αναφέρονται σε ένα τετραδιάστατο χωρόχρονο (x,y,z εκράζει χώρο και t

χρόνο) με το σ να είναι ο αριθμός Prandtl, που είναι ένας αδιάστατος αριθμός και εκφράζει το λόγο

της διαχυτότητας της ορμής (ιξώδες) ως προς τη διαχυτότητα της ενέργειας ενός αραιού αερίου,

το ρ είναι ο αριθμός Rayleigh που είναι κι αυτός ένας αδιάστατος αριθμός και σχετίζεται με τη

μεταφορά θερμότητας εντός του ρευστού. Όταν ο αριθμός είναι κάτω από μια ορισμένη κρίσιμη

τιμή τότε για το συγκεκριμένο ρευστό η μεταφορά της θερμότητας γίνεται κυρίως με αγωγή ενώ αν

αυτός ο αριθμός είναι πάνω από την κρίσιμη τιμή η μεταφορά της θερμότητας γινεται με διάδοση.

Αν λύσουμε το συγκεκριμένο σύστημα διαφορικών εξισώσεων για σ=10, β=8/3 και ρ< 24,74 με μια

μέθοδο που ονομάζεται γραμμική ανάλυση ευστάθειας, βρίσκουμε πως η κατάσταση της σταθερής

μεταφοράς της θερμότητας είναι ευσταθής. Αν όμως η τιμή του ρ ξεπεράσει αυτό το όριο, η

μεταφορά της θερμότητας αυξάνεται απότομα. Ο Λορέντζ επέλεξε την τιμή του ρ=28 γιατί

εμφανίζεται αμέσως μετά την έναρξη της ασταθούς μεταφοράς θερμότητας. Έπειτα, η γραμμική

θεωρία δεν μπορεί να δώσει πλέον καρπούς. Μπορεί να δείξει που εμφανίζεται η αστάθεια του

συστήματος αλλά τίποτα παραπάνω. Οι εξισώσεις αυτές δεν μπορούν να επιλυθούν με άλλο τρόπο,

παρά αριθμητικά. Έτσι ο Λορέντζ επίλυσε αριθμητικά το σύστημα στον υπολογιστή και στην

συνέχεια τύπωσε τις μεταβαλλόμενες τιμές των μεταβλητών. Οι τρεις αριθμοί αυξάνονταν και μετά

μειωνονταν καθώς περνούσαν εικονικά χρονικά διαστήματα. Στη συνέχεια, για να μπορέσει να

δημιουργήσει μια γραφική παράσταση των δεδομένων του, χρησιμοποίησε κάθε τριάδα αριθμών

ως συντεταγμένες που θα όριζαν ένα σημείο στον τρισδιάστατο χώρο. Έτσι η ακολουθία των

αριθμών απεικονιζόταν ως μια ακολουθία σημείων που σχημάτιζαν μια συνεχή γραμμή. Τα

αναμενόμενα αποτελέσματα θα ήταν, όταν το σύστημα καταλήξει σε μια σταθερή κατάσταση, η

γραμμή να σταματά, πράγμα που θα σήμαινε ότι οι μεταβλητές της ταχύτητας και της

θερμοκρασίας δεν μεταβάλλονται πια. Σε διαφορετική περίπτωση η γραμμή θα έπρεπε να

σχηματίζει έναν ατέρμωνα βρόχο, κάτι που θα σήμαινε ότι το σύστημα έχει καταλήξει πλέον σε μια

περιοδική κίνηση. Τα αποτελέσματα που έδωσε ο υπολογιστής όμως δεν αντιστοιχούσαν στα

παραπάνω. Η γραφική παράσταση που προέκυψε απεικόνιζε ένα είδος άπειρης πολυπλοκότητας, η

οποία παρόλο που δεν ξεπερνούσε ποτέ κάποια συγκεκριμένα όρια, ταυτόχρονα δεν

επαναλαμβανόταν ποτέ. Ήταν ένα παράξενο σχήμα που έμοιαζε με ένα ζευγάρι φτερών πεταλούδας

που περιείχε σπείρες και κύκλους πολύ κοντά ο ένας στον άλλο, τόσο που να φαίνονται ότι

ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, χωρίς όμως ποτέ να επαναλαμβάνονται. Και το όνομα αυτού: παράξενος

ελκυστής .

Εικόνα 10. Ο παράξενος ελκυστής του Λόρεντζ

Οι εκπλήξεις όμως για τον Λορέντζ δεν είχαν τελειώσει ακόμα. Ένα ήσυχο πρωινό στο

γραφείο του, δοκίμαζε στον υπολογιστή το παραπάνω σύστημα εξισώσεων για κάποιες

συγκεκριμένες τιμές για να δει τη συμπεριφορά του συστήματος για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα.

Στα μισά όμως της διαδικασίας, κατέγραψε του αριθμους που είχε δώσει ο υπολογιστής και τα

έθεσε σαν καινούριο σημείο εκκίνησης. Με αυτό τον τρόπο θα μπορούσε να επαληθεύσει τα

αποτελέσματά του και ταυτόχρονα θα κέρδιζε χρόνο παραλείποντας το πρώτο μισό. Για να κερδίσει

μάλιστα ακόμα περισσότερο χρόνο, χρησιμοποιήσε τους στρογγυλοποιήμένους αριθμούς που

εκτύπωνε ο υπολογιστής, από τα έξι στα τρια δεκαδικά ψηφία, διευκολύνοντας ακόμα περισσότερο

τους υπολογισμούς χωρίς να επηρεαστεί σημαντικά η ακρίβεια των δεδομένων. Το αναμενόμενο

αποτέλεσμα ήταν ο υπολογιστής να επαναλάβει το δεύτερο μισό της αρχικής πορείας και έπειτα να

συνεχίσει απο κει και πέρα. Παρόλα αυτά, όταν τελείωσε ο υπολογιστής με αυτή τη διαδικασία, τα

αποτελέσματα που έδωσε ήταν εντελώς διαφορετικά απο αυτά που έπρεπε να είχε υπολογίσει. Η

νέα πορεία του συστήματος, ενώ στην αρχή ακολουθούσε τα βήματα της παλιάς, σύντομα

διοφοροποιούνταν, ακολουθώντας μια εντελώς διαφορετική πορεία που με το πέρασμα του χρόνου

απομακρυνόταν ολοένα και περισσότερο από την αρχική. Εκείνη τη στιγμή, ο Λόρεντζ

συνειδητοποίησε πως αυτή η φαινομενικά ασήμαντη στρογγυλοποίηση των δεδομένων έδρασε

καταλυτικά για την εξέλιξη του συστήματος του σε κάτι εντελώς απρόβλεπτο. Εύκολα λοιπόν μετά

από αυτό το γεγονός συμπέρανε πως το σύστημα εμφάνιζε μια ιδιαίτερη ευαισθησία στις αρχικές

συνθήκες. Αυτή την ευαισθησία την ονόμασε «το φαινόμενο της πεταλούδας» λέγοντας

χαρακτηριστικά ότι για το μετεωρολογικό σύστημα αρκεί το χτύπημα των φτερών μιας πεταλούδας

στη Βραζιλία για να προκληθει ένας τυφώνας στο Τέξας. Σήμερα βέβαια γνωρίζουμε πως αυτή η

ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες είναι ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά ένος χαοτικού

συστήματος. Παρόλα αυτά και παρά τα εκπληκτικά αποτελέσματα που έφερε στο φως η εργασία

του Λόρεντζ, δεν έλαβε την αναγνώριση που της άξιζε. Μετά την ανακάλυψη του Λόρεντζ, ολοένα

και περισσότεροι επιστήμονες άρχισαν να ανακαλύπτουν στα δεδομένα τους τα ίχνη αυτής της

σαγηνευτικής θεωριάς. Πολλοί ήταν αυτοί που άρχισαν να ακολουθούν αυτά τα χνάρια που

οδηγούσαν σε μια νέα αντίληψη της φύσης και των νόμων που τη διέπουν. Ένας από αυτούς τους

ιχνηλάτες, ο Μπενουά Μάντελμπροτ, κατάφερε να ανακαλύψει που οδηγούν αυτά τα ίχνη και να

μας συστήσει αυτή τη μυστηριώδη κυρία. Τη θεωρία του χάους.

5. Fractals: Η γεωμετρία της φύσης

Ο Μάντελμπρoτ γεννήθηκε το 1924 στην Πολωνία. Τα πρώτα χρόνια της ζωής του

στιγματίστηκαν από τις μεγάλες πολιτικές αναταράξεις που αντιμετώπιζε ολόκληρος ο

πλανήτης. Έτσι λοιπόν, ο πόλεμος, η συνεχής απειλή της φτώχειας και η ανάγκη επιβίωσης,

τον κράτησαν μακριά από το σχολείο και το κολέγιο, αναγκάζοντάς τον να είναι σε μεγάλο

βαθμό αυτοδίδακτος. Αυτή η έλλειψη συμβατικής εκπαίδευσης όμως του επέτρεψε να

σκέφτεται με τρόπους πρωτότυπους και απελευθερωμένους από τα μαθησιακά «στατους

κβο». Επίσης του επέτρεψε να αναπτύξει μία υψηλά γεωμετρική προσέγγιση των

μαθηματικών, και η αξιοσημείωτη γεωμετρική του διαίσθηση και οπτική, σύντομα άρχισε

να του δίνει μοναδικές ενοράσεις πάνω σε μαθηματικά προβλήματα. Ο Μάντελμπροτ, όπως

και ο Τιούρινγκ, είχε το χάρισμα να μπορεί να διακρίνει σχέδια και σχήματα στη φύση εκεί

που όλοι έβλεπαν μόνο αταξία. Μα το κυριότερο, μπορούσε να αντιληφθεί το εντελώς

καινούριο είδος μαθηματικών που τα περιέγραφε.

Εικόνα 11. Μπενουά Μάντελμπροτ

Το μεγάλο ερώτημα που βασάνιζε τον Μάντελμπροτ ήταν η εύρεση μιας τέτοιας γεωμετρίας

που θα ήταν ικανή να μπορεί να περιγράψει τα σχήματα που συναντάμε στη φύση. Για παράδειγμα,

αν κοιτάξουμε ένα βουνό από μακριά θα μπορούσαμε να πούμε ότι έχει σχήμα κώνου. Όταν

πλησιάσουμε όμως, σύντομα θα καταλάβουμε ότι το σχήμα του κώνου δεν μπορεί να περιγράψει

ακριβώς το σχήμα του βουνού με τις χαράδρες και τις προεξοχές του. Η ίδια ερώτηση προκύπτει

και αν πάμε να εξετάσουμε τον κορμό ενός δέντρου, ένα σύννεφο ή ένα βότσαλο. Τι σχήμα έχουν

λοιπόν; Μέσα από προσεκτική μελέτη και παρατήρηση, ο Μάντελμπροτ κατάλαβε ότι υπάρχει ένα

κοινό χαρακτηριστικό μέσα σε όλα αυτά τα σχήματα. Και πράγματι υπήρχε. Το χαρακτηριστικό

γνώρισμα αυτών των σχημάτων ονομάζεται αυτοομοιότητα. Αυτοομοιότητα είναι η ιδιότητα ενός

σχήματος να επαναλαμβάνεται συνεχώς σε ολοένα και μικρότερη κλίμακα. Ένα χαρακτηριστικό

παράδειγμα αυτοομοιότητας συναντάμε στο σχήμα ενός δέντρου. Αν κρατήσουμε το σχήμα του

δέντρου στο μυαλο μας και εστιάσουμε σε ένα κλαδί του θα διαπιστώσουμε πως έχουμε μπροστά

μας μια μικρογραφία του. Αν εστιάσουμε ακόμα πιο κοντά και μελετήσουμε ένα μικρό του κλαράκι,

πάλι θα δούμε ότι έχουμε να κάνουμε με μια πιο μικρή μικρογραφία του ίδιου του δέντρου. Αν

πάμε ακόμα πιο κοντά θα πέσουμε πάλι στην ίδια ομοιότητα ξανά και ξανά. Το ίδιο συμβαίνει και

στο ανθρώπινο σώμα. Το νευρικό μας σύστημα, οι φλέβες, οι ιστοί από τους οποίους

αποτελούμαστε έχουν αυτή τη χαρακτηριστική δομή της αυτοομοιότητας. Και ο κατάλογος δεν

σταματά εδώ. Ο τρόπος που διακλαδώνονται τα ποτάμια, η ανάπτυξη των οροσειρών, οι ακτές, τα

φύλλα. Μέσα από αυτό το ντόμινο των παρατηρήσεων, ο Μάντελμπροτ κατάλαβε ότι η

αυτοομοιότα είναι το βασικό χαρακτηριστικό μιας καινούριας γεωμετρίας που εκφράζει σχεδόν το

κάθετι στη φύση. Έτσι λοιπόν της έδωσε και ένα δικό της όνομα. Fractal. Η ονομασία αυτή

προέρχεται από την λατινική λέξη fractus που σημαίνει κομματιασμένος ή θρυμματισμένος. Αυτή η

νεογέννητη γεωμετρία όμως, έπρεπε με κάποιο τρόπο να εκφραστεί και με μαθηματικά. Η εποχή

της τεχνολογίας που ζούσε ο Μάντελμπροτ βοήθησε καθοριστικά σε αυτό το εγχείρημα. Παρά την

πολυπλοκότητα της όψης του, το έμβλημα του χάους δημιουργήθηκε μέσα από λίγες μόνο σειρές

κώδικα στον υπολογιστή, αφήνοντας το ανεξίτηλο σημάδι του στη μνήμη όσων το αντίκρισαν. Το

σύνολο Μάντελμπροτ ή όπως αποκαλέστηκε από πολλούς, το αποτύπωμα του Θεού.

Εικόνα 12. Σύνολο Μάντελμπροτ

Σε αυτό το εντυπωσιακό σχήμα, αν κοιτάξουμε προσεκτικά, το χαρακτηριστικό της

αυτοομοιότητας είναι κυρίαρχο. Ακριβώς όπως και στο σχήμα του δέντρου που είδαμε παραπάνω,

αν εστιάσουμε, ακόμα και άπειρες φορές, σε κάποιο σημείο του σχήματος θα βλέπουμε συνεχώς

μια μικρογραφία του ίδιου, ξανά και ξανά. «Μα πόσο πολύπλοκη μπορεί να είναι αυτή η

μαθηματική σχέση που θα περιέγραφε ένα τέτοιο σχήμα;»

z=z2+c

Το σύνολο Μάντελμπροτ αποτελείται από ένα σύνολο σημείων στο μιγαδικό επίπεδο. Κάθε τέτοιο

σημείο περιγράφεται από έναν μιγαδικό αριθμό και μπορεί να ανήκει στο σύνολο ή και να μην

ανήκει. Ένας τρόπος να ορίσουμε το σύνολο έρχεται μέσα από την παραπάνω εξίσωση. Η

μεταβλητή z εκφράζει έναν μιγαδικό αριθμό και το c μια σταθερα. Αν το άθροισμα του z2+c

διαφεύγει προς το άπειρο, τότε το σημείο δεν ανήκει στο σύνολο. Αν όμως το άθροισμα παραμένει

πεπερασμένο τότε αυτό ανήκει στο σύνολο Μαντελμπροτ. Μέσω αυτής της απλής εξίσωσης, και με

βάση την ανατροφοδότησή της από τον ίδιο της τον εαυτό, κατάφερε να γεννηθεί εκείνο το σχήμα

που μπορούσε να συμπεριλάβει όλα τα σύνολα Ζυλιά. Κατάφερε να εκφράσει τη γεωμετρία της

ίδιας της φύση. Πράγματι, τα fractals παρατηρούνται σχεδόν σε όλη τη φύση ως γεωμετρικές δομές.

Με το χαρακτηριστικό της αυτοομοιότητας μπορούν να γίνουν πολύ εύκολα αντιληπτές από τον

καθένα μας. Από την κατανομή των γαλαξιών μέσα στο σύμπαν, τις ακτογραμμές, τα δίκτυα των

ποταμών, τη διάδοση ηλεκτρικών κενώσεων στην ατμόσφαιρα, τη διάχυση υγρών, τη δομή DNA-

RNA στα κύτταρα μέχρι και τη τύρβη των υγρών. Γι αυτό και ο Μάντελμπροτ στην εργασία του

την αναφέρει ως «Fractals, η γεωμετρία της φύσης».

Εικόνα 13. Παραδείγματα φράκταλ και μορφογέννεσης στη φύση

6. Φτάνοντας στο τέλος, είμαστε μόνο στην αρχή

Σήμερα η θεωρία του χάους θεωρείται ως μια από τις πιο σημαντικές θεωρίες του αιώνα που

μας πέρασε. Παράλληλα με την εποχή της τεχνολογίας που διανύουμε, η γνώση για την λειτουργία

της φύσης γίνεται ολοένα και πλατύτερη. Πλέον ο άνθρωπος μέσω των υπολογιστών μπορεί να

υπολογίσει πολύπλοκες μαθηματικές παραστάσεις με εξαιρετική ακρίβεια, κάτι που στο παρελθόν

ήταν αδύνατο. Κατάφερε λοιπόν να δημιουργήσει προσομοιώσεις φυσικών συστημάτων, ακόμα και

του ίδιου του εαυτού του, μελετώντας από την κίνηση των μελών και οργάνων του ανθρώπινου

σώματος, ως και τα συναισθήματα και τη συμπεριφορά του, αποδεικνύοντας μέσα από τα ίδια του

τα επιτεύγματα, πόσο λαμπρά μπορεί να λειτουργήσει η αυτοοργάνωση σε ένα σύστημα.

Ψάχνοντας βαθύτερα στα παραπάνω, πάντα έβρισκε ένα σημάδι του χάους. Με αυτό το τρόπο

ολοένα και περισσότεροι επιστήμονες στις μέρες μας χρησιμοποιούν την θεωρία του χάους για να

εξηγήσουν κάθε πτυχή της fractal πραγματικότητας. Έτσι το χάος κατάφερε να αλλάξει τον

μαθηματικό τρόπο σκέψης και να σημάνει την έναρξη μιας νέας εποχής. Πλέον οι έννοιες μη

γραμμικό σύστημα, χάος και fractal είναι λέξεις που μπορούν να περιγράψουν τη δομή και

λειτουργία των κυττάρων και τους παλμούς της καρδιάς, ακόμα και την ίδια την κοινωνία.

Μέσα από αυτή την εργασία λοιπόν, είδαμε τη θεωρία του χάους να γεννιέται μέσα από τα

επιστημονικά άλματα του Νεύτωνα, την παρακολουθήσαμε να μεγαλώνει λέγοντας τις πρώτες

λέξεις της μέσα από τα συμπεράσματα του Πουανκαρέ για το πρόβλημα των τριων σωμάτων και να

κάνει τα πρώτα της βήματα ανάμεσα στις εναλλαγές του καιρού και τις εξισώσεις του Λόρεντζ. Με

τη βοήθεια του Μπενουά Μάντελμπροτ, που σήμερα θεωρείται ο πατέρας των fractals, η θεωρία

του χάους μπήκε στη εφηβεία την οποία διανύει μέχρι και σήμερα. Μια εφηβεία φαντασμαγορική

και πολλά υποσχόμενη. Ας συνεχίσουμε λοιπόν τη μελέτη και αναζήτησή της μέσα στα γραναζια

του κόσμου, αναμένοντας τις πιο συνταρακτικές ανακαλύψεις.

«Οι νόμοι του χάους»

Άφησε τις μέρες πίσω του...

μετρούσε το χαμένο χρόνο κάθε φορά

με το μέγεθος της λιωμένης σόλας

των παπουτσιών του

κι’ όταν ο πόνος γινόταν αφόρητος

απ’ τη τριβή των ποδιών πάνω στο χώμα,

και τη σκόνη που φώλιαζε απρόσκλητη

ανάμεσα στις πατούσες,

τότε οι πληγές απ’ το περπάτημα σημάδευαν

τις στροφές, ή τις προσωρινές αλλαγές

στην πορεία του...

όλα δείχναν πως οι νόμοι του χάους ήταν μαζί του

όπως απρόσμενα

ο ήλιος κρυβόταν πίσω από τα σύννεφα...

Φανή Αθανασιάδου

Βιβλιογραφία:

Μπούντης Αναστάσιος, Δυναμικά συστήματα και Χάος, Εκδόσεις Παπασωτηρίου

Κυριάκος Δημήτριος, Εισαγωγή στη μηχανική, Εκδόσεις ΖΗΤΗ

Βάρβογλης Χάρης, Ιστορία και Εξέλιξη των Ιδεών στη Φυσική, Εκδόσεις Πλανητάριο Θεσσ/νίκης

Davis Donald, Η φυση και δυναμη των μαθηματικων, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

Τριν Ξουάν, Τουαν, Χάος και Αρμονία, Εκδόσεις Τραυλός

Στιούαρτ Ιαν, Παίζει ο Θεός ζάρια; , Εκδόσεις Τραυλός

Ζπιρο Τζωρτζ, Η εικασία του Πουανκαρέ, Εκδόσεις Τραυλός

Ruelle David, Τύχη και Χάος, Εκδόσεις Τραυλός

Parker Barry, Χάος και Αστρονομία, Εκδόσεις Τραυλός

Gleick James, Χάος μια νέα επιστήμη, Εκδόσεις Κάτοπτρο

Διαδίκτυο:

Wikipedia.org

Physics4u.gr

Εικόνα εξωφύλλου:

Maurits Cornelis Escher, Mirror