ch2

74 บทท 2 ผวในปรภมสามมต

บทท 2 ผวในปรภมสามมต

ผวในปรภมสามมตทงายทสดคอระนาบซงมสมการในรปแบบ Ax By Cz D+ + = ในบทน

เราจะไดศกษาผวทอยในรปสมการกาลงสองของตวแปร x, y, z โดยจะเรมจากผวทคนเคยกนกอน ไดแก

ทรงกลม ทรงกระบอก และกรวย จากนน จงจะศกษาผวทไดจากการหมนเสนโคงในระนาบรอบเสนตรงท

กาหนดให และทายทสดจะไดศกษาผวกาลงสอง(quadric surfaces) ในรปแบบ 2 2 2Ax By Cz+ +

0Dxy Exz Fyz Gx Hy Kz L+ + + + + + + = ทงนจะไดอาศยความรเรองคาลกษณะเฉพาะและ

เวกเตอรลกษณะเฉพาะในบททแลวมาชวยในการศกษาสมการของผวกาลงสองในรปทวไปนดวย

2.1 ทรงกลม ทรงกระบอก และกรวย

ทรงกลม

บทนยาม 2.1.1

ทรงกลม คอเซตของจดซงอยหางจากจดคงทจดหนงเปนระยะคงท

เรยกจดคงทวา จดศนยกลาง และเรยกระยะคงทวา รศม ของทรงกลม

ให 0 0 0( , , )C x y z เปนจดศนยกลางของทรงกลม และ r เปนรศมของทรงกลม เราสามารถหา

สมการทรงกลมไดดงน

x

y

z

( , , )P x y z

0 0 0( , , )C x y z

r

รป 2.1.1 ทรงกลมรศม r มจดศนยกลางทจด 0 0 0( , , )C x y z

2.1 ทรงกลม ทรงกระบอก และกรวย 75

ให ( , , )P x y z เปนจดใดๆ บนทรงกลม โดยบทนยาม 2.1.1 จะได CP r= นนคอ

( ) ( ) ( )2 2 2

0 0 0x x y y z z r− + − + − = (2.1)

ซงเมอยกกาลงสอง จะได

( ) ( ) ( )2 2 2 20 0 0x x y y z z r− + − + − = (2.2)

เปนสมการทรงกลมตามตองการ ในกรณทจดศนยกลางอยทจดกาเนด สมการ (2.2) จะลดรปเปน

2 2 2 2x y z r+ + = (2.3)

หากกระจายพจนกาลงสองในสมการ (2.2) จะไดสมการทรงกลมในรป

2 2 2 0x y z Gx Hy Kz L+ + + + + + = (2.4)

เมอ 2 2 2 4G H K L+ + >

ตวอยาง 2.1.1 จงหาสมการทรงกลมทมจดศนยกลางทจด ( 1, 4,2)− และมรศมเทากบ 3

วธทา จากสมการ (2.2) สมการทรงกลมทตองการคอ

( ) ( ) ( )22 21 4 2 9x y z+ + − + − =

หรอเมอกระจายพจนกาลงสอง จะได

2 2 2 2 8 4 12 0x y z x y z+ + + − − + =

ตวอยาง 2.1.2 จงพจารณาวาสมการ 2 2 22 2 2 4 6 2 0x y z x y z+ + − + − = เปนสมการทรงกลม

หรอไม ถาเปน ใหหาจดศนยกลางและรศมของทรงกลมดวย

วธทา จดรปกาลงสองสมบรณของสมการทโจทยกาหนดให จะได

( )2 2

2 3 1 71

2 2 2x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜− + + + − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ซงเปนสมการของทรงกลมทมจด 3 1

(1, , )2 2

− เปนจดศนยกลาง และมรศมเทากบ 72


ทรงกระบอก

ทรงกระบอกทคนเคยกนคอทรงกระบอกกลม ซงมภาคตดขวางเปนวงกลม แตทรงกระบอก

โดยทวไป อาจมภาคตดขวางเปนเสนโคงใดๆ กได ดงบทนยามตอไปน


กาหนด C เปนเสนโคงเสนหนงในระนาบ

และ L เปนเสนตรงเสนหนงซงไมอยบนระนาบเดยวกบ C และไมขนานกบระนาบของ C

เรยกเซตของจดบนเสนตรงทขนานกบ L และตดเสนโคง C วา ทรงกระบอก

เรยกเสนตรงทขนานกบ L และตด C วา ตวกอกาเนด(generator) ของทรงกระบอก

เรยกเสนโคง C วา เสนบงคบ(directrix) ของทรงกระบอก

ขอสงเกต เนองจากเสนบงคบจะกาหนดรปรางหลกของทรงกระบอก จงอาจใชลกษณะของเสนบงคบ

จาแนกประเภทของทรงกระบอก เชน เสนบงคบทเปนวงกลมจะใหทรงกระบอกกลม เปนตน

การหาสมการของจด ( , , )P x y z ใดๆ บนทรงกระบอก โดยมตวกอกาเนดเปนเสนตรงทขนาน

กบเวกเตอร A และมเสนโคง C เปนเสนบงคบ ทาไดตามขนตอนตอไปน

1. หาจด P ′ บนระนาบเดยวกบเสนโคง C ซง PP ′ ขนานกบเวกเตอร A

2. เนองจาก P ′ ตองอยบนเสนโคง C จงแทนพกดของ P ′ ลงในสมการของ C กจะได

สมการของทรงกระบอกทตองการ

เสนบงคบ

ตวกอกาเนด

รป 2.1.2 ทรงกระบอกเกดจากตวกอกาเนดและเสนบงคบ


ตวอยาง 2.1.3 จงหาสมการทรงกระบอกทมวงร 2 23 2 6, 0x y z+ = = เปนเสนบงคบและตว

กอกาเนดขนานกบเวกเตอร (1,1,2)

วธทา

ให ( , , )P x y z เปนจดใดๆ บนทรงกระบอก

ใหจด ( , , 0)P x y′ ′ ′ เปนจดบนระนาบ xy ซง PP ′ ขนานกบเวกเตอร (1,1,2) ดงนน

1 1 2

x x y y z′ ′− −= =

ซงเมอแกสมการหา ,x y′ ′ ในรปของ , ,x y z จะได

2z

x x′ = − และ 2z

y y′ = −

แตจด ( , , 0)P x y′ ′ ′ ตองอยบนวงร2 23 2 6, 0x y z+ = = เราจงได

2 23( ) 2( ) 6x y′ ′+ = นนคอ

2 2

3 2 62 2z z

x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜− + − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ซงเมอกระจายพจนกาลงสองและจดรป จะไดสมการทรงกระบอกเปน

2 2 212 8 5 12 8 24 0x y z xz yz+ + − − − =

รป 2.1.3 ทรงกระบอกในตวอยาง 2.1.3

x

y

z

2 23 2 6, 0x y z+ = =

( , , )P x y z

( , , 0)P x y′ ′ ′


กรวย

กรวยทคนเคยกนดคอกรวยกลม ซงมภาคตดขวางเปนวงกลม แตกรวยในลกษระทวไป อาจม

ภาคตดขวางเปนเสนโคงใดๆ กได ดงบทนยามตอไปน


กาหนด C เปนเสนโคงเสนหนงในระนาบ และ V เปนจดคงทจดหนง

เรยกเซตของจดบนเสนตรงทลากผานจด V และตดเสนโคง C วา กรวย

เรยกเสนโคง C วา เสนบงคบ(directrix) ของกรวย

เรยกจด V วา จดยอด(vertex) ของกรวย

เรยกเสนตรงทผานจด V และตดเสนโคง C วา ตวกอกาเนด(generator) ของกรวย

ขอสงเกต

1. กรวยจะมสองสวนคอสวนทอยใตจดยอดและสวนทอยเหนอจดยอด

2. รปรางหลกของกรวยกาหนดโดยเสนบงคบ จงจะใชลกษณะเสนบงคบจาแนกประเภทของกรวย

การหาสมการของจด ( , , )P x y z ใดๆ บนกรวย ทมจด V เปนจดยอด และมเสนโคง C เปน

เสนบงคบ ทาไดตามขนตอนตอไปน

1. หาจด P ′ บนระนาบเดยวกบเสนโคง C และ P ′ อยบนเสนตรงทผานจด V และจด P

2. เนองจาก P ′ ตองอยบนเสนโคง C จงแทนพกดของ P ′ ลงในสมการของ C กจะได

สมการของกรวยทตามตองการ

จดยอด

เสนบงคบ

ตวกอกาเนด

รป 2.1.4 กรวยเกดจากจดยอดและเสนบงคบ


ตวอยาง 2.1.4 จงหาสมการกรวยทมวงร 2 23 2 6, 0x y z+ = = เปนเสนบงคบและมจด (1,2, 3) เปน

จดยอด

วธทา

ให ( , , )P x y z เปนจดใดๆ บนกรวยทมจด (1,2, 3)V เปนจดยอด

ใหจด ( , , 0)P x y′ ′ ′ เปนจดบนระนาบ xy ซง P V′ ขนานกบ PV ดงนน

1 2 0 31 2 3

x yx y z

′ ′− − −= =

− − −

ซงเมอแกสมการหา ,x y′ ′ ในรปของ , ,x y z จะได

3( 1)

13

xx

z−′ = −−

และ 3( 2)

23

yy

z−′ = −−

แตจด ( , , 0)P x y′ ′ ′ ตองอยบนวงร2 23 2 6, 0x y z+ = = เราจงได

2 23( ) 2( ) 6x y′ ′+ = นนคอ

2 23( 1) 3( 2)

3 1 2 2 63 3

x yz z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜− + − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −

ซงเมอกระจายพจนกาลงสองและจดรป จะไดสมการทรงกระบอกเปน

2 2 227 18 5 18 24 36 54 0x y z xz yz z+ + − − + − =

รป 2.1.5 กรวยในตวอยาง 2.1.4

x

y

z

2 23 2 6, 0x y z+ = =

( , , )P x y z

( , , 0)P x y′ ′ ′

(1,2, 3)V


แบบฝกหด 2.1 1. จงรางกราฟของผวในปรภมสามมตตอไปน

1.1 2 24 16x y+ =

1.2 2 4y z=

1.3 2 2 4 0z x x+ − − = 1.4 3 4 11 0xy x y− − + =

1.5 2 2 2 0x y z x y z+ + + + + =

1.6 2 2 2x y z+ =

2. จงหาสมการทรงกลมทมจดศนยกลางอยทจด ( 5, 4,2)− และสมผสกบระนาบ 2 2 0x y z− + =

3. จงหาสมการทรงกลมทมจดศนยกลางทจด (2, 1, 3)− และสมผสกบทรงกลม

2 2 2 6 2 2 10 0x y z x y z+ + − − − + =

4. จงหาสมการทรงกลมทมจดศนยกลางอยบนแกน z และผานจด ( 4, 3,1)− และจด (2,1, 3)

5. จงหาสมการทรงกลมทผานจด ( 3, 4, 5)− − และสมผสกบระนาบ x y z+ = ทจด (5, 2, 3)−

6. จงหาสมการทรงกลมทผานจด (3, 3,1), ( 1,1,1), (1, 1,1)− − และจด (1,1, 5)

7. จงหาระยะทสนทสดจากจด 0 0 0( , , )x y z ใดๆ ไปยงจดบนทรงกลม

2 2 2 0x y z Gx Hy Kz L+ + + + + + = เมอ 2 2 2 4G H K L+ + >

8. จงหาสมการของทรงกระบอกทมพาราโบลา 2 2 , 0y z x= = เปนเสนบงคบ และมตวกอกาเนดขนาน

กบเวกเตอร (3, 1, 4)−

9. จงหาสมการของทรงกระบอกทมไฮเพอรโบลา 2 2 1, 1x z y− = = − เปนเสนบงคบ และมตว

กอกาเนดขนานกบเวกเตอร (1,2,1)

10. จงหาสมการของกรวยทมวงกลม 2 2 2 2 1 0, 0x y x y z+ + + + = = เปนเสนบงคบและมจดยอด

อยทจด ( 1, 1, 4)− −

11. จงหาสมการของกรวยทมพาราโบลา 2 4 2 0, 1x x z y+ + = = เปนเสนบงคบและมจดยอดอยทจด

(3, 4,1)

12. จงหาสมการของกรวยทมไฮเพอรโบลา , 2yz y z x= + = เปนเสนบงคบและมจดยอดอยทจด

(5,1, 1)−

2.2 ผวของการหมนรอบ 81

2.2 ผวของการหมนรอบ

ในหวขอน เราจะศกษาผวทเกดจากการหมนเสนโคงในระนาบทกาหนดใหรอบเสนตรงทอยบน

ระนาบเดยวกบเสนโคง เรยกเสนตรงทกาหนดใหวา แกนหมน(axis of revolution) และเรยกผวทได

จากการหมนนวา ผวของการหมนรอบ(surface of revolution)

ผวทคนเคยหลายผวเปนผวของการหมนรอบ เชน ทรงกลมเปนผวของการหมนครงวงกลมรอบ

เสนผานศนยกลาง ทรงกระบอกกลมเปนผวทเกดจากการหมนเสนตรงรอบเสนตรงทขนานกน กรวยกลม

เปนผวทเกดจากการหมนเสนตรงรอบเสนตรงทตดกน เปนตน

ใหจด ( , , )P x y z เปนจดใดๆ บนผวของการหมนเสนโคง C รอบเสนตรง L เราสามารถหา

สมการของผวไดตามขนตอนตอไปน

1. ตดผวดวยระนาบทผานจด P และตงฉากกบแกนหมน ใหระนาบนตดเสนโคง C ทจด P ′

และตดแกนหมนทจด Q

2. รอยตดของระนาบกบผวเปนวงกลม จงหาพกดของจด P ′ ไดจาก QP QP ′=

3. แทนพกดของจด P ′ ลงในสมการเสนโคง C จะไดสมการผวทตองการ

P ′

P

QL

C

รป 2.2.1 ผวของการหมนเสนโคง C รอบเสนตรง L


ตวอยาง 2.2.1 จงหาสมการผวของการหมนพาราโบลา , 0z y x= = รอบแกน y

วธทา

ให ( , , )P x y z เปนจดใดๆ บนผวของการหมนทตองการ

ตดผวของการหมนดวยระนาบทผานจด P และตงฉากกบแกน y

เหนไดชดวาระนาบนจะตดแกน y ทจด (0, , 0)Q y และตดพาราโบลาทจด (0, , )P y z′ ′

เนองจาก QP QP ′= เราจงได

2 2 2 2 2 2( 0) ( ) ( 0) (0 0) ( ) ( 0)x y y z y y z ′− + − + − = − + − + −

และสงเกตวา 0z ′ ≥ ดงนน

2 2z x z′ = +

แตจด (0, , )P y z′ ′ ตองอยบนพาราโบลา , 0z y x= =

เราจงได z y′ = นนคอ

2 2y x z= +

เปนสมการผวของการหมนรอบทตองการ

รป 2.2.2 ผวของการหมนในตวอยาง 2.2.1

x

y

z

( , , )P x y z

(0, , )P y z′ ′

(0, , 0)Q y

, 0z y x= =

2.2 ผวของการหมนรอบ 83

ตวอยาง 2.2.2 จงหาสมการผวของการหมนเสนตรง 2 , 0y z x= = รอบเสนตรง , 0y z x= =

วธทา

ให 1 1 1( , , )P x y z เปนจดใดๆ บนผวของการหมนทตองการ

ตดผวของการหมนดวยระนาบทผานจด P และตงฉากกบเสนตรง , 0y z x= =

จะไดสมการระนาบเปน 1 1y z y z+ = +

ซงระนาบนจะตดแกนหมนทจด 1 1 1 1(0, , )2 2

y z y zQ

+ +

และตดเสนตรง 2 , 0y z x= = ทจด (0, , )P y z′ ′ ′ โดยท

1 1y z y z′ ′+ = + (2.5)

และ QP QP ′= ซงเมอแทนพกดของจด ,P P ′ และ Q จะได

2 2 2 22 1 1 1 1 1 1 1 11 1 12 2 2 2

y z y z y z y zx y z y z

+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟′ ′⎜ ⎜ ⎜ ⎜+ − + − = − + −⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.6)

เมอแกระบบสมการ (2.5) และ (2.6) จะได

221 1 1 1 1

2 2 2y z x y z

y+ −⎛ ⎞⎟′ ⎜= ± + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

และ

221 1 1 1 1

2 2 2y z x y z

z+ −⎛ ⎞⎟′ ⎜= + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∓

แตจด (0, , )P y z′ ′ ′ ตองอยบนเสนตรง 2 , 0y z x= = ดงนน 2y z′ ′= นนคอ

2 22 21 1 1 1 1 1 1 1 1 12

2 2 2 2 2 2y z x y z y z x y z⎛ ⎞+ − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜± + = + ⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∓

หรอ 22

1 1 1 1 132 2 2x y z y z− +⎛ ⎞⎟⎜± + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ซงเมอยกกาลงสองและจดรป แลวแทน 1 1 1, ,x y z ดวย , ,x y z ตามลาดบ

จะไดสมการของผวของการหมนรอบเปน

2 2 29 4 4 10 0x y z yz+ + − =


แบบฝกหด 2.2

จงหาสมการผวของการหมนเสนโคงในระนาบทกาหนดใหรอบเสนตรงทกาหนดให พรอมทงราง

กราฟของผวของการหมนรอบดวย

1. หมน , 0x y z= = รอบแกน x

2. หมน , 0x y z= = รอบแกน y

3. หมน cos , 0z x y= = รอบแกน x

4. หมน cos , 0z x y= = รอบแกน z

5. หมน 2, 3x z y+ = = รอบเสนตรง 3, 1y z= =

6. หมน 2 2 1, 0x y z− = = รอบแกน x

7. หมน 2 2 1, 0x y z− = = รอบแกน y

8. หมน 1, 0xy z= = รอบเสนตรง 0, 0x y z+ = =

9. หมน 3 , 0z x y= = รอบเสนตรง , 0z x y= =

10. หมน 3 , 0z x y= = รอบเสนตรง 2 , 0z x y= =

รป 2.2.3 ผวของการหมน cos , 0z x y= = รอบแกน x

2.3 ผวกาลงสอง 85

2.3 ผวกาลงสอง

ผวกาลงสองเปนผวทมสมการในรปผลรวมของพจนกาลงสอง พจนกาลงหนง และพจนคงตว

นนคอ มสมการดงน

2 2 2 0Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Kz L+ + + + + + + + + = (2.7)

เมอ , , , , , , , , ,A B C D E F G H K L เปนคาคงตว และ , ,A B C ไมเปนศนยพรอมกน เราจะพจารณาผว

กาลงสอง 6 แบบ ไดแก ทรงร ทรงพาราโบลาเชงวงร กรวยเชงวงร ทรงไฮเพอรโบลาแบบชนเดยว ทรง

ไฮเพอรโบลาแบบสองชน และทรงพาราโบลาเชงไฮเพอรโบลา

ทรงร (Ellipsoid)

ทรงรมสมการในรป

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = (2.8)

เมอ , ,a b c เปนคาคงตวบวก ทรงรนจะตดแกนพกดทจด ( , 0, 0),(0, , 0),(0, 0, )a b c± ± ± และบรรจอย

ภายในกลองสเหลยมมมฉาก

, ,x a y b z c≤ ≤ ≤ (2.9)

รป 2.3.1 ทรงร

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + =


เนองจาก , ,x y z ปรากฎในสมการ (2.8) ในรปกาลงสองเทานน ทรงรจงมสมมาตรเทยบกบระนาบพกด

แตละระนาบ นอกจากน เมอตดทรงรดวยระนาบทขนานกบระนาบพกด จะไดวงรเสมอ เชนเมอตดทรงร

ดวยระนาบ z k= เมอ k c< จะไดวงร

2 2

2 22 2

2 2

1,1 1

x yz k

k ka b

c c

+ = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜− −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.10)

ในกรณท a b c= = ทรงรจะลดรปเปนทรงกลม

ทรงพาราโบลาเชงวงร (Elliptic Paraboloid)

ทรงพาราโบลาเชงวงรซงมสมการในรป

2 2

2 2

x y za b c

+ = (2.11)

มภาคตดขวางทตงฉากกบแกน z เปนวงร และภาคตดขวางทตงฉากกบแกน x หรอแกน y เปนพาราโบลา

ทรงพาราโบลาเชงวงรทมภาคตดขวางวงรตงฉากกบแกน x และแกน y จะมสมการในรป

2 2

2 2

y z xb c a

+ = และ 2 2

2 2

x z ya c b

+ = (2.12)

ตามลาดบ ในกรณท a b= ทรงพาราโบลาเชงวงรจะลดรปเปนทรงพาราโบลาเชงวงกลม

รป 2.3.2 ทรงพาราโบลาเชงวงร 2 2

2 2

x y za b c

+ =


กรวยเชงวงร (Elliptic Cone)

กรวยเชงวงรซงมสมการในรป

2 2 2

2 2 2

x y za b c

+ = (2.13)

มภาคตดขวางทตงฉากกบแกน z เปนวงร และภาคตดขวางทตงฉากกบแกน x หรอแกน y เปน

ไฮเพอรโบลาหรอเสนตรงสองเสนตดกน

เมอตดกรวยเชงวงรในสมการ (2.13) ดวยระนาบ z k= จะไดวงร

2 2

2 2 2 2 2 2 1,/ /x y

z ka k c b k c

+ = = (2.14)

ในกรณท a b= กรวยเชงวงร จะลดรปเปนกรวยเชงวงกลม นอกจากน ยงสามารถเขยนสมการ

กรวยเชงวงรทมภาคตดขวางวงรตงฉากกบแกน x และแกน y ไดเปน

2 2 2

2 2 2

y z xb c a

+ = และ 2 2 2

2 2 2

x z ya c b

+ = (2.15)

ตามลาดบ

รป 2.3.3 กรวยเชงวงร 2 2 2

2 2 2

x y za b c

+ =


ทรงไฮเพอรโบลาแบบชนเดยว (Hyperboloid of One Sheet)

ทรงไฮเพอรโบลาแบบชนเดยวมสมการในรป

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ − = (2.16)

มภาคตดขวางทตงฉากกบแกน z เปนวงร และมภาคตดขวางทตงฉากกบแกน x หรอแกน y เปน

ไฮเพอรโบลาหรอเสนตรงสองเสนตดกน

สงเกตวาทรงไฮเพอรโบลาแบบชนเดยวนเปนผวตอเนองกนหมด นนคอสามารถเดนจากจดหนง

บนผวไปยงจดอนๆ บนผวโดยไมตองออกนอกผวไดเสมอ ในกรณท a b= จะเปนวาภาคตดขวางทตง

ฉากกบแกน z จะเปนวงกลม และทรงไฮเพอรโบลาจะลดรปเปนผวของการหมนไฮเพอรโบลารอบเสนตรง

นอกจากน ยงสามารถเขยนสมการทรงไฮเพอรโบลาแบบชนเดยวทมภาคตดขวางวงรตงฉากกบ

แกน x และแกน y ไดเปน

2 2 2

2 2 2 1y z xb c a

+ − = และ 2 2 2

2 2 2 1x z ya c b

+ − = (2.17)


รป 2.3.4 ทรงไฮเพอรโบลาแบบชนเดยว 2 2 2

2 2 21

x y za b c

+ − =


ทรงไฮเพอรโบลาแบบสองชน (Hyperboloid of Two Sheets)

ทรงไฮเพอรโบลาแบบสองชนมสมการในรป

2 2 2

2 2 2 1z x yc a b

− − = (2.18)

มภาคตดขวางทตงฉากกบแกน z เปนวงร และมภาคตดขวางทตงฉากกบแกน x หรอแกน y เปน

ไฮเพอรโบลา

สงเกตวาคา z ในสมการ (2.18) ตองสอดคลองกบอสมการ z c≥

ทรงไฮเพอรโบลาแบบสองชนทมภาคตดขวางวงรตงฉากกบแกน x หรอแกน y มสมการเปน

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

− − = และ 2 2 2

2 2 2 1y x zb a c

− − = (2.19)


รป 2.3.5 ทรงไฮเพอรโบลาแบบสองชน 2 2 2

2 2 21

z x yc a b

− − =


ทรงพาราโบลาเชงไฮเพอรโบลา (Hyperbolic Paraboloid)

ทรงพาราโบลาเชงไฮเพอรโบลามสมการในรป

2 2

2 2

y x zb a c

− = (2.20)

มภาคตดขวางทตงฉากกบแกน z เปนไฮเพอรโบลาหรอเสนตรงสองเสนตดกน และมภาคตดขวางทตงฉาก

กบแกน x หรอแกน y เปนพาราโบลา

ทรงพาราโบลาเชงไฮเพอรโบลามลกษณะคลายกบอานมา เมอพจารณาภาคตดขวางทตดดวย

ระนาบ 0x = จะไดพาราโบลา

22 b zy

c= (2.21)

และภาคตดขวางทตดดวยระนาบ 0y = ใหพาราโบลา

22 a zx

c= − (2.22)

จงเหนไดวาจดกาเนดเปนจดตาสดของภาคตดขวางทตดดวยระนาบ 0x = แตเปนจดสงสดของ

ภาคตดขวางทตดดวยระนาบ 0y = จดทมลกษณะเชนนเรยกวา จดอานมา(saddle point)

รป 2.3.6 ทรงพาราโบลาเชงไฮเพอรโบลา 2 2

2 2

y x zb a c

− =


สมการทวไปของผวกาลงสอง

พจารณารปแบบกาลงสอง

1 1

n n

ij i ji j

Q a x x= =

= ∑∑ (2.23)

ซงสามารถเขยนไดในรปผลคณเมทรกซ ดงน

TQ = X AX (2.24)

โดยท T

1 2[ ]nx x x=X และ [ ]ij n na ×=A

ในกรณท A ไมใชเมทรกซทแยงมม จะเหนวาตวแปร 1 2, , , nx x x… นนเกยวเนองกนอย ถาสามารถแปลง

เมทรกซ A ใหเปนเมทรกซทแยงมม คอ

1−=A PDP (2.25)

โดยท D เปนเมทรกซทแยงมมของคาลกษณะเฉพาะของเมทรกซ A และ P เปนเมทรกซทประกอบดวย

เวกเตอรลกษณะเฉพาะ และในกรณท A เปนเมทรกซคาจรงและเปนเมทรกซสมมาตร กลาวคอ

T =A A แลวจะสามารถเลอกเวกเตอรลกษณะเฉพาะทสอดคลองกบสมการ

1 T− =P P (2.26)

ซงมความหมายเชนเดยวกบ T =P P I ซงหมายความวาเวกเตอรในแตละหลกของ P (และเปนเวกเตอร

ลกษณะเฉพาะของ A) มขนาดหนงหนวย และตงฉากกบเวกเตอรในหลกอนๆ

สมการ (2.25) จงเขยนไดในรป

T=A PDP (2.27)

ซงเมอแทนในสมการ (2.24) จะได

( ) ( ) ( ) ( ) ( )TT T T T T TQ = = =X PDP X X P D P X P X D P X (2.28)

ถากาหนดเวกเตอร ′X ดงน

T′ =X P X (2.29)


แลวจะเขยน Q ไดในรป

T( )Q ′ ′= X DX (2.30)

กาหนด 1 2, , , nλ λ λ เปนคาลกษณะเฉพาะของเมทรกซ A นนคอ 1 2diag( , , , )nλ λ λ=D … จะเหนวา

2 2 2

1 1 2 2( ) ( ) ( )n nQ x x xλ λ λ′ ′ ′= + + +… (2.31)

และจะเรยก 1 2, , , nx x x′ ′ ′… วาแกนมขสาคญ(principal axes)

จะแสดงตวอยางในการพจารณากราฟของผวกาลงสองในรปแบบทวไปโดยตวอยางตอไปน โดย

จะเรมจากสมการกาลงสองของตวแปร x และ y กอน ซงมกราฟเปนเสนโคงในปรภมสองมต

ตวอยาง 2.3.1 จงพจารณากราฟ 2 217 30 17 128x xy y− + =

วธทา สมการ 2 217 30 17 128x xy y− + = เขยนไดในรป

17 15

12815 17

xx y y

⎡ − ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

เมอหาคาลกษณะเฉพาะและเวกเตอรลกษณะเฉพาะของ 17 15

15 17

⎡ − ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

จะได 32,2λ =

กรณ 32λ = จะไดเวกเตอรลกษณะเฉพาะหนงหนวยคอ 1/ 2

1/ 2

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

กรณ 2λ = จะไดเวกเตอรลกษณะเฉพาะหนงหนวยคอ 1/ 2

1/ 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

สงเกตวาเวกเตอรลกษณะเฉพาะหนงหนวยทงสองเวกเตอรตงฉากกน

ดงนน

T17 15 1/ 2 1/ 2 32 0 1/ 2 1/ 2

15 17 0 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ − ⎤ − ⎡ ⎤ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

กาหนด

T1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

x x x

y yy

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤′ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


จะได 32 0

1280 2

xx y

y

⎡ ⎤′⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥′ ′ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ′⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

นนคอ 2 232( ) 2( ) 128x y′ ′+ = หรอ

2 2( ) ( )1

64 4x y′ ′

+ =

ซงมกราฟเปนวงร โดยม แกนมขสาคญคอแกน 1 12 2

x x y′ = − + และ 1 12 2

y x y′ = +

ตวอยาง 2.3.2 จงพจารณากราฟ 2 2 22 3 2 2 9x y z xz+ + + =

วธทา สมการ 2 2 22 3 2 2 9x y z xz+ + + = เขยนไดในรป

2 0 1

0 3 0 9

1 0 2

x

x y z y

z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

เมอหาคาลกษณะเฉพาะและเวกเตอรลกษณะเฉพาะของ

2 0 1

0 3 0

1 0 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

จะได 3, 3,1λ =

x

y y ′

x ′

รป 2.3.7 วงร 2 217 30 17 128x xy y− + =


กรณ 1λ = จะไดเวกเตอรลกษณะเฉพาะหนงหนวยคอ

1/ 2

0

1/ 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

กรณ 3λ = ซงเปนรากซา จะพบวาเวกเตอรลกษณะเฉพาะอยในรป

α

βα

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

เมอ ,α β เปนจานวนจรงใดๆ

สงเกตวาเวกเตอรลกษณะเฉพาะของ 3λ = ตงฉากกบเวกเตอรลกษณะเฉพาะของ 1λ =

เราตองการเลอกคา α และ β สองชด เพอใหไดเวกเตอรลกษณะหนงหนวยสองเวกเตอรทตงฉากกน ซง

เมอประกอบกบเวกเตอรลกษณะเฉพาะหนงหนวยของ 1λ = จะทาใหเกดระบบพกดฉากชดใหม เรา

สามารถเลอกคา α และ β ใหมลกษณะตามตองการไดหลายวธ ในทน เราเลอก

0

1

0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

และ

1/ 2

0

1/ 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ดงนน

T

2 0 1 1/ 2 0 1/ 2 1 0 0 1/ 2 0 1/ 2

0 3 0 0 1 0 0 3 0 0 1 0

1 0 2 0 0 31/ 2 0 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

กาหนด

T

1/ 2 0 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2

0 1 0 0 1 0

1/ 2 0 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2

x x x

y y y

z zz

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′⎢ ⎥ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

จะได

1 0 0

0 3 0 9

0 0 3

x

x y z y

z

⎡ ⎤⎡ ⎤ ′⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤′ ′ ′ ′⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ′⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

นนคอ 2 2 2( ) 3( ) 3( ) 9x y z′ ′ ′+ + = หรอ

2 2 2( ) ( ) ( )1

9 3 3x y z′ ′ ′

+ + =

ซงมกราฟเปนทรงร โดยมแกนมขสาคญคอ

1 1 1 1

, ,2 2 2 2

x x z y y z x z′ ′ ′= − = = +


ตวอยาง 2.3.3 จงพจารณากราฟ 2 2 25 3 3 2 2 2 3 5x y z xy xz yz x y z+ + + − − + − − =

วธทา เขยนสมการทโจทยกาหนด

5 1 1

1 3 1 3 1 1 5

1 1 3

x x

x y z y y

z z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

เมอหาคาลกษณะเฉพาะและเวกเตอรลกษณะเฉพาะของ

5 1 1

1 3 1

1 1 3

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

จะได 6, 3,2λ =

จะไดเวกเตอรลกษณะเฉพาะหนงหนวยของ 6, 3,2λ = เปน

2/ 6 1/ 3 0

1/ 6 , 1/ 3 , 1/ 2

1/ 6 1/ 3 1/ 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


T

2/ 6 1/ 3 0 2/ 6 1/ 3 05 1 1 6 0 0

1 3 1 1/ 6 1/ 3 1/ 2 0 3 0 1/ 6 1/ 3 1/ 2

1 1 3 0 0 21/ 6 1/ 3 1/ 2 1/ 6 1/ 3 1/ 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

กาหนด

T

2/ 6 1/ 3 0 2/ 6 1/ 6 1/ 6

1/ 6 1/ 3 1/ 2 1/ 3 1/ 3 1/ 3

1/ 6 1/ 3 1/ 2 0 1/ 2 1/ 2

x x x

y y y

z zz

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤′ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′⎢ ⎥ = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

และสงเกตวา

2/ 6 1/ 3 0

1/ 6 1/ 3 1/ 2

1/ 6 1/ 3 1/ 2

xx

y y

z z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤′⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ′−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

ดงนน

2/ 6 1/ 3 06 0 0

0 3 0 3 1 1 1/ 6 1/ 3 1/ 2 5

0 0 2 1/ 6 1/ 3 1/ 2

x x

x y z y y

z z

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ′ ′⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥′ ′ ′ ′ ′⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − − − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ′ ′−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦


นนคอ 2 2 26( ) 3( ) 2( ) 6 3 2 5x y z x y z′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + − =

ซงเมอจดรปกาลงสองสมบรณ จะได

2 2 26 3 2 23

6 3 212 6 4 4

x y z⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜′ ′ ′⎟ ⎟ ⎟+ + + + − =⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

จงมกราฟเปนทรงรทมจดศนยกลางอยทจด 6 3 2

( , , )12 6 4

− − และมแกนมขสาคญคอ

2 1 16 6 61 1 13 3 31 12 2

x x y z

y x y z

z y z

′ = + −

′ = − +

′ = +

0

0.2

0.4

y

-0.5

-0.4

-0.3-0.2x

0

0.2

0.4

z

-0.5

-0.4

-0.3-0.2x

รป 2.3.8 กราฟของผว 2 2 25 3 3 2 2 2 3 5x y z xy xz yz x y z+ + + − − + − − =


แบบฝกหด 2.3 1. จงบอกชอและรางผวของสมการตอไปน

1.1 2 2

2 14 9y z

x = + +

1.2 2 2

2 14 9y z

x + = +

1.3 2 2

2 14 9y z

x + + =

1.4 2 2

2

4 9y z

x = +

1.5 2 2

4 9y z

x = +

1.6 2 2

4 9y z

x + =

2. จงบอกชอและรางเสนโคงในปรภมสองมตของสมการตอไปน

2.1 2 23 3 2 2 3 0x y xy x y+ − − − =

2.2 2 2 3 2 0x y xy− − + =

2.3 2 23 3 10 8 0x y xy+ − + =

2.4 2 25 5 6 6 2 10 2 2 0x y xy x y+ − − + + =

3. จงบอกชอและรางผวในปรภมสามมตของสมการตอไปน

3.1 4xy xz+ =

3.2 2 26 8 0x xy y− + + =

3.3 2 25 10 5 32x xy y− + =

3.4 2 27 6 3 13 16x xy y− + =

3.5 2 23 3 8x y xy= +

3.6 2 2 25 3 3 2 2 2 1x y z xy xz yz+ + − − + =

3.7 2 2 22 2 2 8 8 2 12x y z xy xz y z− − + − − + =

3.8 2 2 22 7 2 2 12 2 3 7 2 14x y z xy xz yz x y z+ + + + + + − + =

3.9 2 2 24 4 4 8 4 9 9 0x y z xy yz xz y z+ + + − − − − =

3.10 2 2 2 8 0x y z xy xz yz+ + + + + − =

ch2

Documents

y1 z1

y1

y1

ax 2

qp qp

directrix

revolution

generator