ECE1-B 2015-2016 CH XXI : Variables aléatoires réelles à densité I. Généralités sur les v.a.r. à densité I.1. Les v.a.r. à densité Définition On dit qu’une v.a.r. X est à densité si sa fonction de répartition F X est : a) continue sur R, b) de classe C 1 sur R sauf en un nombre fini de points. Remarque • Rappelons tout d’abord le rôle central joué par les fonctions de répartition des v.a.r. . La fonction de répartition F X caractérise la loi de X : connaître F X c’est connaître la loi de X et inversement. • Démontrer qu’une v.a.r. X est à densité c’est donc montrer la régularité d’une fonction (à savoir F X ). • Dire que f est C 1 sauf en un nombre fini n de points signifie qu’il existe (x 1 ,...,x n ) ∈ R n tel que : (on considère que les points sont ordonnés : x 1 <x 2 < ··· <x n ) f est C 1 sur ] -∞,x 1 [, ]x n , +∞[ et sur tout ]x i ,x i+1 [ pour i ∈ J1,n - 1K i.e. f est C 1 sur ] -∞,x 1 [ ∪ ]x 1 ,x 2 [ ∪ ···∪ ]x n-1 ,x n [ ∪ ]x n , +∞[. • Il faut faire attention : si X admet une densité alors F X n’est (éventuelle- ment) pas C 1 en les x i mais est continue sur R tout entier. Donc F X est notamment C 0 en les x i . Exemple Une v.a.r. X telle que X, →U (J1, 5K) admet-elle une densité ? Rappelons la fonction de répartition d’une telle v.a.r. 0 1 2 3 4 1 5 • Ici, F X est bien C 1 sur ] -∞, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ ]2, 3[ ∪ ]3, 4[ ∪ ]4, 5[ ∪ ]5, +∞[. • Par contre, F X n’est pas continue sur R car non continue en les x i . Ainsi, si une v.a.r. discrète finie suit une loi uniforme, alors X n’admet pas de densité. Remarque • On rappelle que la forme en escalier est caractéristique des fonctions de répartition des v.a.r. discrètes. La hauteur des contremarches est égale aux valeurs successives des P([X = x]), pour x ∈ X (Ω). • Rappelons alors que : F X est continue en x ∈ R ⇔ P([X = x]) = 0. Cela permet de tirer la conclusion suivante : X est une v.a.r. discrète ⇒ X n’admet pas de densité La définition de v.a.r. admettant une densité étant établie, il nous reste à défnir la notion de densité elle-même. 1
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ECE1-B 2015-2016
CH XXI : Variables aléatoires réelles à densité
I. Généralités sur les v.a.r. à densité
I.1. Les v.a.r. à densité
DéfinitionOn dit qu’une v.a.r. X est à densité si sa fonction de répartition FX est :
a) continue sur R,b) de classe C1 sur R sauf en un nombre fini de points.
Remarque
• Rappelons tout d’abord le rôle central joué par les fonctions de répartitiondes v.a.r. . La fonction de répartition FX caractérise la loi de X : connaîtreFX c’est connaître la loi de X et inversement.
• Démontrer qu’une v.a.r. X est à densité c’est donc montrer la régularitéd’une fonction (à savoir FX).
• Dire que f est C1 sauf en un nombre fini n de points signifie qu’il existe(x1, . . . , xn) ∈ Rn tel que :(on considère que les points sont ordonnés : x1 < x2 < · · · < xn)f est C1 sur ]−∞, x1[, ]xn,+∞[ et sur tout ]xi, xi+1[ pour i ∈ J1, n− 1Ki.e. f est C1 sur ]−∞, x1[ ∪ ]x1, x2[ ∪ · · · ∪ ]xn−1, xn[ ∪ ]xn,+∞[.
• Il faut faire attention : si X admet une densité alors FX n’est (éventuelle-ment) pas C1 en les xi mais est continue sur R tout entier.Donc FX est notamment C0 en les xi.
ExempleUne v.a.r. X telle que X → U(J1, 5K) admet-elle une densité ?Rappelons la fonction de répartition d’une telle v.a.r.
0 1 2 3 4
1
5
• Ici, FX est bien C1 sur ]−∞, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ ]2, 3[ ∪ ]3, 4[ ∪ ]4, 5[ ∪ ]5,+∞[.
• Par contre, FX n’est pas continue sur R car non continue en les xi.
Ainsi, si une v.a.r. discrète finie suit une loi uniforme, alors X n’admet pasde densité.
Remarque
• On rappelle que la forme en escalier est caractéristique des fonctions derépartition des v.a.r. discrètes. La hauteur des contremarches est égale auxvaleurs successives des P([X = x]), pour x ∈ X(Ω).
• Rappelons alors que : FX est continue en x ∈ R ⇔ P([X = x]) = 0.Cela permet de tirer la conclusion suivante :
X est une v.a.r. discrète ⇒ X n’admet pas de densité
La définition de v.a.r. admettant une densité étant établie, il nous reste àdéfnir la notion de densité elle-même.
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I.2. Densité d’une v.a.r.
Définition
Soit X une v.a.r. admettant une densité.
On dit qu’une fonction fX : R→ R est une densité de X si :
a) ∀x ∈ R, fX(x) > 0,
b) fX coïncide avec F ′ sauf en un nombre fini de points.Autrement dit, il existe x1, . . . , xn tel que :
∀x ∈ R \ x1, . . . , xn, fX(x) = F ′X(x)
Remarque
• Pour faliciter les démonstrations, et sans perte de généralité, on notera lespoints x1, . . . , xn de manière ordonnée i.e. tel que :
x1 < . . . < xn
• D’où vient le caractère positif de fX ?Soit (x1, x2) ∈ R2 tel que fX(x) = F ′X(x) pour tout x ∈]x1, x2[.Comme FX est une fonction de répartition, elle est croissante sur R (etdonc a fortiori sur ]x1, x2[). Or on a :
FX croissante sur ]x1, x2[ ⇔ F ′X = fX > 0 sur ]x1, x2[
On montre ainsi que : fX > 0 sur ]x1, x2[ ∪ . . . ∪ ]xn−1, xn[.
• De par la définition, si X admet une densité, alors X admet une infinitéde densité. En effet, la définition ne contraint pas précisément la valeur defX en les xi. La seule exigence est que fX(xi) > 0.
ExempleConsidérons une v.a.r. X dont la fonction de répartition F est la suivante.
0 5
1
Cela correspond à la fonction F : x 7→
0 si x ∈ ]−∞, 0[x/5 si x ∈ [0, 5]1 si x ∈ ]5,+∞[
• Tout d’abord, remarquons que cette fonction vérifie bien les propriétéscaractéristiques des fonctions de répartitions.× F est croissante sur R,× lim
x→−∞F (x) = 0 et lim
x→+∞F (x) = 1,
× F est continue à droite en tout point de R.• De plus, la v.a.r. X est bien une v.a.r. à densité puisque :
1) F est continue sur R,2) F est C1 (même C∞) sur ]−∞, 0[, ]0, 5[, ]5,+∞[ car polynomiale.
• Pour déterminer une densité de X, on commence par dériver la fonctionF sur les intervalles ouverts ]−∞, 0[, ]0, 5[, ]5,+∞[.
f : x 7→
0 si x ∈ ]−∞, 0[
1/5 si x ∈ ]0, 5[0 si x ∈ ]5,+∞[
En choisissant la valeur (forcément positive) de f en 0 et 5, on définit unedensité de X. Par exemple, on peut prendre f(0) = 1/5 = f(5).Mais on pourrait tout autant choisir f(0) = 32 et f(5) = 13
√2
e3 .
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Théorème 1.
Soit X une v.a.r. admettant une densité notée fX .
Les propriétés suivantes sont vérifiées.
1) ∀x ∈ R, FX(x) = P([X 6 x]) =
∫ x
−∞fX(t) dt
2)∫ +∞
−∞fX(t) dt = 1 3) ∀x ∈ R, P([X = x]) = 0
4) ∀(a, b) ∈ R2, on a : P([X < a]) = P([X 6 a]) =
∫ a
−∞fX(t) dt
P([X > b]) = 1− P([X 6 b]) =
∫ +∞
bfX(t) dt
5) ∀(a, b) ∈ R2, si a 6 b, on a :
P([a < X 6 b]) = FX(b)− FX(a) =
∫ b
afX(t) dt
P([a < X < b]) = P([a < X 6 b]) = P([a 6 X < b]) = P([a 6 X 6 b])
Démonstration.
Pour faire cette démonstration, on se place dans le cadre restreint : onsuppose que FX est C1 sur R tout entier et que fX = F ′X sur R. Ainsi ladensité fX est supposée C0 sur R.
1) Soit x ∈ R. Notons U la fonction définie par U(y) =
∫ x
yfX(t) dt pour
y 6 0. On a alors :
U(y) =
∫ x
yfX(t) dt =
∫ x
yF ′X(t) dt = [ FX(t) ]
x
y
= FX(x)− FX(y) −→y→−∞
FX(x)
En effet, limy→−∞
FX(y) = 0 par propriété des fonctions de répartition.
On en déduit que∫ x
−∞fX(t) dt est convergente et de valeur :
∫ x
−∞fX(t) dt = FX(x) = P([X 6 x])
2) Notons V la fonction définie par V (y) =
∫ y
0fX(t) dt pour y > 0.
V (y) =
∫ y
0fX(t) dt =
∫ y
0F ′X(t) dt = [ FX(t) ]
y
0
= FX(y)− FX(0) −→y→+∞
1− FX(0)
En effet, limy→+∞
FX(y) = 1 par propriété des fonctions de répartition.
3) Soit x ∈ R. De par le chapitre sur les variables aléatoires (CH 20), on a :
limt→x−
FX(t) = FX(x)− P([X = x]) = P([X < x])
Or X est une v.a.r. à densité. Donc FX est une fonction continue sur R.Elle est donc, a fortiori, continue à gauche en x.On en déduit : lim
t→x−FX(t) = FX(x) et donc : P([X = x]) = 0.
4) Soit (a, b) ∈ R2. Par l’égalité (encadrée) précédente, on a :
P([X < a]) = FX(a)− P([X = a]) =
∫ a
−∞fX(t) dt
D’autre part : [X > b] = [X 6 b] et donc : P([X > b]) = 1− P([X 6 b]).
P([X > b]) = 1− P([X 6 b]) =
∫ +∞
−∞fX(t) dt−
∫ b
−∞fX(t) dt
=
∫ b
−∞fX(t) dt +
∫ +∞
bfX(t) dt−
∫ b
−∞fX(t) dt
5) Soit (a, b) ∈ R2 tel que a 6 b. On a alors :
P([a < X 6 b]) = FX(b)− FX(a)
=
∫ a
−∞fX(t) dt +
∫ b
afX(t) dt−
∫ a
−∞fX(t) dt
La première égalité est vérifiée pour toute fonction de répartition (cf CH20). D’autre part, on a : [a < X 6 b] = [a < X < b] ∪ [X = b], uniond’événements incompatibles. On en déduit :
P([a < X 6 b]) = P([a < X < b]) + P([X = b])
Les autres égalités sont démontrées de la même façon.
Remarque• Ce théorème illustre l’intérêt des v.a.r. à densité : on obtient la valeur dela fonction de répartition FX et donc la loi de X sous forme d’un calculd’intégrales (éventuellement impropres).
• Nous avons obtenu des résultats analogues dans le chapitre précédent.
Cas discret(v.a.r. discrète)
Cas continu(v.a.r. à densité)
P([X 6 b])∑
x∈X(Ω)
x6b
P([X = x])∫ b
−∞fX(t) dt
P([a 6 X 6 b])
(avec a 6 b)
∑x∈X(Ω)
a6x6b
P([X = x])∫ b
afX(t) dt
P([a 6 X 6 b])
(avec a 6 b)FX(b)−FX(a) +P([X = a]) FX(b)− FX(a)
P(Ω) = 1∑
x∈X(Ω)
P([X = x]) = 1
∫ +∞
−∞fX(t) dt = 1
Régularité deFX
En tout point x ∈ R :
• FX continue à droite en x
• FX admet une limite finieà gauche en x
FX continue sur R
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• Le symbole∑
(somme au plus dénombrable) du cas discret est l’analogue,dans le cas continu, du symbole
∫(somme continue = intégrale).
• La quantité fX(t) dt doit être comprise comme la probabilité que la v.a.r.à densité X soit dans l’intervalle infinitésimal dt. C’est l’analogue de laquantité P([X = x]) du cas discret.
Théorème 2.Soit f : R→ R une fonction.
f est une densitéde probabilité ⇔
1. f est continue sur R sauf en un nombrefini de points,
2. ∀x ∈ R, f(x) > 0,
3.∫ +∞
−∞f(t) dt est convergente et vaut 1.
Démonstration.(⇒) Si f est une densité de probabilité alors, par définition, f = F ′X (pourune certaine v.a.r. X) sauf en un nombre fini de points. Or FX est C1 saufen un nombre fini de points donc F ′X est C0 sauf en un nombre fini de points.La fonction f est positive par définition.
Enfin∫ +∞
−∞f(t) dt = 1 a été démontré dans le théorème précédent.
(⇐) Admis.
RemarqueCe théorème peut être vu comme une réciproque des résultats précédents :× si FX est la fonction de répartition d’une v.a.r. alors la fonction f définie
par f(x) = F ′X(x) (sauf en un nombre fini de points) est une densité deprobabilité à condition que f soit positive.
× inversement, si f vérifie les trois propriétés du théorème précédent, alors
la fonction F définie par : F (x) =
∫ x
−∞f(t) dt est une fonction de répar-
tition.
ExempleOn définit une fonction f sur R par :
f(x) =
0 si x < −1
1 + x si − 1 6 x < 01− x si 0 6 x < 1
0 si 1 6 x
a. Montrer que f est une densité de probabilité et tracer son graphe.b. Soit X une variable aléatoire de densité f . Expliciter FX .
c. Calculer P([X >
1
2
])et P
([|X| 6 1
3
]).
Démonstration.a. D’après le théorème précédent, il s’agit de démontrer que f vérifie trois
propriétés.1. f est C0 sur R\−1, 0, 1. En fait, f est même continue sur R puisque :
limx→−1−
f(x) = 0 = limx→−1+
= f(−1).
(et égalités analogues en 0 et 1)2. ∀x ∈ R, f(x) > 0. Par exemple, si x ∈ [−1, 0[, alors 0 6 1 + x < 1 et
donc f(x) > 0 si x ∈ [−1, 0[.
3. Notons U(y) =
∫ 0
ypour y 6 −1. On a alors :∫ 0
yf(t) dt =
∫ −1
yf(t) dt+
∫ 0
−1f(t) dt
=
∫ 0
−1f(t) dt =
∫ 0
−1(1 + t) dt =
[t+
t2
2
]0−1
= −(−1 +
(−1)2
2
)=
1
2−→y→−∞
1
2
On en déduit que∫ 0
−∞f(t) dt converge et vaut
1
2. On démontre de
même que∫ +∞
0f(t) dt converge et vaut
1
2. En effet :
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∫ 1
0f(t) dt =
∫ 1
0(1− t) dt =
∫ −1
0(1 + u) (−du) =
∫ 0
−1f(u) du
On en déduit que∫ +∞
−∞f(t) dt converge et vaut 1
2 + 12 = 1.
0−1 1
1
b. La densité de probabilité f étant définie par morceaux, il en est (a priori)de même pour FX .
× Si x < −1 : FX(x) =
∫ x
−∞f(t) dt =
∫ x
−∞0 dt = 0.
× Si −1 6 x < 0 : FX(x) =
∫ x
−∞f(t) dt =
∫ −1
−∞0 dt+
∫ x
−1(1 + t) dt
Or :∫ x
−1(1 + t) dt =
[t+
t2
2
]x−1
=
(x+
x2
2
)−(−1 +
(−1)2
2
)et donc FX(x) = x2
2 + x+ 12 .
× Si 0 6 x < 1 : FX(x) =
∫ −1
−∞0 dt+
∫ 0
−1(1 + t) dt+
∫ x
0(1− t) dt
Or :∫ x
0(1− t) dt =
[t− t2
2
]x0
=
(x− x2
2
)et∫ 0
−1(1 + t) dt =
1
2
et donc FX(x) = −x2
2 + x+ 12 .
× Si x > 1 : FX(x) =
∫ −1
−∞0 dt+
∫ 1
−1f(t) dt+
∫ x
10 dt
et donc FX(x) = 1.
c. Il y a deux manières de rédiger cette question :
• P([X >
1
2
])=
∫ +∞
12
f(t) dt =
∫ 1
12
(1− t) dt+
∫ +∞
10 dt
Or :∫ 1
12
(1− t) dt =
[t− t2
2
]112
=
(1− 1
2
)−
(1
2−
(12)2
2
)=
1
8
• P([X >
1
2
])= 1− P
([X 6
1
2
])= 1− FX
(1
2
)=
1
8
car FX(
1
2
)= −
(12)2
2+
1
2+
1
2=
7
8
On peut aussi utiliser l’une ou l’autre de ces rédactions pour la questionsuivante :
• P([|X| 6 1
3
])= P
([−1
36 X 6
1
3
])=
∫ 13
− 13
f(t) dt = 2
∫ 13
0f(t) dt
par parité. Or :∫ 1
3
0(1− t) dt =
[t− t2
2
]13
0
=1
3− 1
18=
5
18
• P([|X| 6 1
3
])= P
([−1
36 X 6
1
3
])= FX
(1
3
)− FX
(−1
3
)=
5
9
car FX(
1
3
)= −
(13)2
2+
1
3+
1
2=
7
9
et FX(−1
3
)=
(−13)2
2− 1
3+
1
2=
2
9
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I.3. Transformation d’une v.a.r. à densité
I.3.a) Transformation affine d’une v.a.r. à densité
Théorème 3.
Soit X une v.a.r. à densité fX .
Soit a et b deux réels tels que a 6= 0.
1) La var Y = aX + b est une v.a.r. à densité.
2) De plus, sa densité est donnée par fY : x 7→ 1
|a|fX
(x− ba
)Démonstration.Notons Y la v.a.r. définie par Y = aX + b. Déterminons FY la fonction derépartition de Y .
aest C1 sur R. La fonction FX étant la fonction de
répartition d’une v.a.r. à densité, on sait que FX est C0 sur R et C1 sauf enun nombre fini de points. Par composition, on en déduit que FY est C0 surR et C1 sauf en un nombre fini de points. On en déduit que Y est une v.a.r.à densité.
Déterminons une densité de Y .
1) Si a > 0, alors : F ′Y (x) =1
aF ′X
(x− ba
)=
1
afX
(x− ba
)2) Si a < 0, alors : F ′Y (x) = −1
aF ′X
(x− ba
)= −1
afX
(x− ba
)On en conclut qu’une densité de Y est donnée par : x 7→ 1
|a|fX
(x− ba
).
Remarque
• Peut-on généraliser cette propriété : si X et Y sont des variables à densité,la v.a.r. X + Y est-elle à densité ?NON ! on peut par exemple considérer :
× une v.a.r. X suivant une loi uniforme sur [0, 1] (définition à suivre),
× et la v.a.r. Y donnée par Y = 1−X.
Alors X + Y = 1, ce qui montre que X(Ω) = 1.Ainsi, X + Y n’admet pas de densité en tant que v.a.r. discrète (finie).
• L’ensemble des v.a.r. à densité n’est donc pas stable par addition.De ce fait, ce n’est pas un espace vectoriel.
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I.3.b) Transformation polynomiale (carré)
Théorème 4.Soit X une v.a.r. à densité fX .1) La var Y = X2 est une v.a.r. à densité.2) De plus, sa densité est donnée par :
fY : x 7→
0 si x < 01
2√x
(fX(√x) + fX(−
√x)) si x > 0
Démonstration.La démonstration est analogue à la démonstration précédente.• Si x < 0 : [Y 6 x] =
[X2 6 x
]= ∅,
et alors : FY (x) = P([Y 6 x]) = P(∅) = 0.• Si x > 0 : [Y 6 x] =
[X2 6 x
]= [−
√x 6 X 6
√x].
et alors : FY (x) = P([Y 6 x]) = P([−x 6 X 6 x]) = FX(√x)−FX(−
√x).
La fonction FY est C1 sur ]−∞, 0[ (car constante sur cet intervalle).Sur ]0,+∞[, FY est obtenue comme composée de la fonction FX qui est C1
sur R sauf (éventuellement) en un nombre fini de points et de la fonctionx 7→
√x qui est C1 sur ]0,+∞[.
Ainsi, FY est C1 sur R sauf (éventuellement) en un nombre fini de points.Enfin, en tout point x > 0 où FY est dérivable, on a :
F ′Y (x) =1
2√xF ′X(√x)−
(− 1
2√xF ′X(−
√x)
)=
1
2√xfX(√x)− 1
2√xfX(−
√x)
=1
2√x
(fX(√x) + fX(−
√x))
et F ′Y (x) = 0 pour tout x < 0.
I.4. Espérance d’une v.a.r. à densité
Définition
Soit X une v.a.r. de densité fX .
• On dit que X admet une espérance E(X) si l’intégrale∫ +∞
−∞x fX(x) dx
est absolument convergente.
• Dans ce cas, E(X) =
∫ +∞
−∞x fX(x) dx
Remarque
• Il faut bien comprendre que, même si la notation est la même que précé-demment (E(X)), nous venons de définir un nouvel opérateur qui agit surles v.a.r. à densité et plus sur les v.a.r. discrètes.
• Il n’y a donc pas de raison pour que les propriétés classiques de l’opérateurespérance des v.a.r. discrètes soient vérifiées pour l’opérateur espérance desv.a.r. à densité.
• Une propriété aussi simple que la linéarité et notamment l’égalité :
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
est problématique. En effet, on a vu que même si X et Y sont à densité,X + Y ne l’est pas forcément. Il faut donc se demander ce que représenteles différents symboles E de cette égalité . . .
• En fait, il existe une théorie permettant d’unifier sous une même écriturele cas discret et le cas continu. Toutefois, c’est hors de notre portée et nousn’en dirons donc pas plus.
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Méthode.
Montrer que∫ +∞
−∞t f(t) dt est absolument convergente.
Il s’agit de démontrer que :∫ +∞
−∞|t f(t)| dt est convergente.
Pour ce faire, il faut considérer :
1) U(y) =
∫ 0
y|t f(t)| dt (si y 6 0) et montrer que lim
y→−∞U(y) est finie,
2) V (y) =
∫ y
0|t f(t)| dt (si y > 0) et montrer que lim
y→+∞V (y) est finie.
Étudions précisément ces deux cas :
1) Si y 6 0, alors t 7→ |t f(t)| est intégrée sur [y, 0] ⊆]−∞, 0].On a donc : t 6 0 et ainsi : |t f(t)| = |t| |f(t)| = −t f(t)car la fonction f est positive. Ainsi :
U(y) =
∫ 0
y−t f(t) dt = −
∫ 0
yt f(t) dt
2) Si y > 0, alors t 7→ |t f(t)| est intégrée sur [y, 0] ⊆ [0,+∞[.On a donc : t > 0 et ainsi : |t f(t)| = |t| |f(t)| = t f(t)
car la fonction f est positive. Ainsi : V (y) =
∫ y
0t f(t) dt
Soit X une v.a.r. de densité f .
X admet uneespérance ⇔
1)∫ 0
−∞t f(t) dt est convergente
2)∫ +∞
0t f(t) dt est convergente
ExempleSoit X une variable aléatoire de densité f donnée dans l’exemple précédent.Démontrons que X admet une espérance.
1) Si y 6 −1, on note U(y) =
∫ 0
yt f(t) dt =
∫ −1
yt× 0 dt+
∫ 0
−1t (1+t) dt
On a donc : limy→−∞
U(y) =
∫ 0
−1t (1 + t) dt, limite finie comme intégrale
d’une fonction continue sur un segment.
2) Si y > 1, on note V (y) =
∫ y
0t f(t) dt =
∫ 1
0t× (1− t) dt+
∫ y
1t× 0 dt
On a donc : limy→+∞
V (y) =
∫ 1
0t (1 − t) dt, limite finie comme intégrale
d’une fonction continue sur un segment.
On en déduit que X admet une espérance. De plus, on a :
E(X) =
∫ +∞
−∞t f(t) dt =
∫ 0
−1t (1 + t) dt+
∫ 1
0t (1− t) dt
=
∫ 0
1−u (1− u)(− du) +
∫ 1
0t (1− t) dt
= −∫ 1
0u (1− u) du+
∫ 1
0t (1− t) dt = 0
Ainsi : E(X) = 0.(note : la densité f considérée ici est paire ; le calcul effectué tire partie ducaractère impaire de la fonction t 7→ t f(t))
9
ECE1-B 2015-2016
Proposition 1.
On considère la fonction f définie par :
f : R → R
x 7→ 1
π(1 + x2)
1) Alors f est une densité de probabilité (densité de la loi dite de Cauchy).
2) Si X est une v.a.r. de densité f alors X n’admet pas d’espérance.
Il existe des v.a.r. à densité n’admettant pas d’espérance
Démonstration.
(i) f est continue sur R comme inverse d’une fonction continue qui nes’annule pas sur R.
(ii) ∀x ∈ R, f(x) > 0.
(iii)∫ +∞
−∞f(t) dt = 1 (on l’admet ici).
On en déduit que f est une densité de probabilité d’une v.a.r. X. Intéressons-nous maintenant à l’espérance, si elle existe, de cette v.a.r. X. On va prouver
que∫ +∞
1x f(x) dx diverge et donc que
∫ +∞
−∞x f(x) dx diverge. Ce qui
démontre que X n’admet pas d’espérance.
Pour tout x > 1, on a :x
1 + x2>
1
2x> 0.
Or, par le critère de Riemann, l’intégrale∫ +∞
1
1
2xdx est divergente.
On en déduit que∫ +∞
1
x
1 + x2dx et donc
∫ +∞
1x f(x) dx est divergente.
Ainsi, X n’admet pas d’espérance.
Proposition 2.Soit X une v.a.r. à densité f admettant une espérance.Soit (a, b) ∈ R2 tels que a 6= 0.1) La v.a.r. Y = aX + b est une v.a.r. à densité et admet une espérance.
2) E(aX + b) = a E(X) + b
Démonstration.Pour améliorer la lisibilité de la démonstration, on choisit a > 0. On auradonc |a| = a (le cas a 6 0 se traite de manière analogue).1) On a déjà démontré que si X a pour densité f alors Y = aX + b est une
v.a.r. à densité et fY (x) =1
|a|fX
(x− ba
)=
1
afX
(x− ba
).
Il s’agit donc de démontrer que l’intégrale∫ +∞
−∞t fY (t) dt est absolument
convergente.
• si y 6 0, notons U(y) =
∫ 0
yt fY (t) dt. On a alors :
U(y) =1
|a|
∫ 0
yt fX
(t− ba
)dt =
1
a
∫ − ba
y−ba
(au+ b) fX(u) a du
= a
∫ − ba
y−ba
u fX(u) du + b
∫ − ba
y−ba
fX(u) du
−→y→−∞
a
∫ − ba
−∞u fX(u) du + b
∫ − ba
−∞fX(u) du
Or l’intégrale∫ − b
a
−∞u fX(u) du est convergente car, par hypothèse, X
admet une espérance. D’autre part,∫ − b
a
−∞fX(u) du est aussi conver-
gente (c’est FX(− ba)). Ainsi,
∫ 0
−∞t fY (t) dt est convergente.
10
ECE1-B 2015-2016
• si y > 0, notons V (y) =
∫ y
0t fY (t) dt. On a alors :
V (y) =1
|a|
∫ y
0t fX
(t− ba
)dt =
1
a
∫ y−ba
− ba
(au+ b) fX(u) a du
−→y→−∞
a
∫ +∞
− ba
u fX(u) du + b
∫ +∞
− ba
fX(u) du
On conclut de même que∫ +∞
0t fY (t) dt est convergente.
Ainsi,∫ +∞
−∞t fY (t) dt est absolument convergente ce qui permet de
conclure que X admet une espérance.
2) Par la démonstration précédente :
E(X) =
∫ 0
−∞t fY (t) dt+
∫ +∞
0t fY (t) dt
= a
(∫ − ba
−∞u fY (u) du+
∫ +∞
− ba
u fY (u) du
)
+ b
(∫ − ba
−∞fY (u) du+
∫ +∞
− ba
fY (u) du
)
= a
∫ +∞
−∞u fY (u) du︸ ︷︷ ︸E(X)
+ b
∫ +∞
−∞fY (u) du︸ ︷︷ ︸1
Remarque
• On peut penser cette propriété comme une version faible de la propriétéde linéarité.
• La propriété de linéarité existe mais demande le cadre de la théorie unifi-catrice citée précédemment.
Définition Variable centrée
Soit X une v.a.r. à densité.
• On dit que la variable X est une variable centrée si :
1) X admet une espérance,
2) E(X) = 0.
• Si X admet une espérance, alors la v.a.r. X − E(X) est centrée. Elle estappelée v.a.r. centrée associée à X.
Remarque
• Soit X une v.a.r. à densité admettant une espérance. Alors on a :
1) la v.a.r. X − E(X) est une v.a.r. à densité et admet une densité (cfProposition 2).
2) d’après cette même proposition, la v.a.r. Y = X−E(X) (Y = aX+bavec a = 1 et b = −E(X)) admet pour espérance : E(Y ) = E(X −E(X)) = E(X)− E(X) = 0.
• Ce type d’opération est à comprendre comme un opérateur de normali-sation. Pour démontrer certains résultats, il est utile de se placer dans lecas où la v.a.r. X est centrée. On ne peut supposer, en toute généralité,qu’une v.a.r. est centrée. Par contre, on peut montrer le résultat sur lav.a.r. centrée Y = X − E(X) puis en déduire un résultat analogue sur X.
11
ECE1-B 2015-2016
I.5. Variance d’une loi à densité
Définition Moments d’ordre r
Soit X une v.a.r. de densité fX et soit r ∈ N∗.
• On dit que X admet un moment d’ordre r, noté mr(X), si l’intégrale∫ +∞
−∞xr fX(x) dx est absolument convergente.
• Sous réserve d’existence, on a : mr(X) = E(Xr) =
∫ +∞
−∞xr fX(x) dx
Remarque
• Si r = 0, on a X0 = 1 et donc m0(X) = E(1) = 1.
• Si r = 1, on a X1 = X et donc m1(X) = E(X).
• Le fait que E(Xr) puisse s’écrire sous la forme d’une intégrale n’est pasévident. Pour le démontrer, on peut considérer la variable Y = Xr, montrerqu’elle est à densité fY et démontrer par un changement de variable que :∫ +∞
−∞xfY (x) dx =
∫ +∞
−∞xrfX(x) dx (cf démonstration du théorème 5)
• On peut aussi utiliser le théorème de transfert (admis). Sous les hypo-thèses :
× X v.a.r. de densité f ,
× g continue sur R privé d’un nombre fini de points,
×
∫ +∞
−∞g(t)f(t) dt est absolument convergente.
Alors1) la v.a.r. g(X) admet une espérance
2) E(g(X)) =
∫ +∞
−∞g(t)f(t) dt
DéfinitionSoit X une v.a.r. à densité.
• Si la v.a.r. X admet une espérance E(X) et que la v.a.r. (X−E(X)) admetun moment d’ordre 2, on dit que X admet une variance, notée V(X) :
V(X) = m2(X − E(X)) = E((X − E(X))2)
• Sous ces hypothèses on appelle écart-type et on note σ(X) =√
V(X)
Remarque• Si X est une v.a.r. à densité alors Y = X −E(X) est une v.a.r. de densitéfY : x 7→ fX(x+ E(X)) (cf transformation affine). De même, Z = Y 2 estune v.a.r. à densité (cf transformation polynomiale). Ainsi, SI X ADMETUNE VARIANCE, l’opérateur espérance évoqué dans cette définition est l’opé-rateur sur les v.a.r. à densité et on a :
V(X) = E(Y 2) = E(Z) =
∫ +∞
−∞x fZ(x) dx =
∫ +∞
0x fZ(x) dx
puisque fZ(x) = 0 si x < 0 (cf transformation polynomiale).• On remarque au passage que l’écart-type bien défini puisque, si X admet
une variance, V(X) > 0. En effet,∫ +∞
0x fZ(x) dx > 0 car fZ est une
densité et est donc positive et que x > 0 sur l’intervalle d’intégration.• La variance d’une v.a.r. X consiste en le calcul du moment d’ordre 2 dela variable Y = X − E(X). Cette v.a.r. est centrée. De ce fait, V(X) estdéfini comme le moment centré d’ordre 2 de la v.a.r. X.
• La variance (comme l’écart-type) est une mesure moyenne de l’écart exis-tant entre X et E(X).I Mais alors, pourquoi mesure-t-on le moment centré d’ordre 2 (= moyenne
du carré de l’écart entreX et E(X)) et pas simplement le moment centréd’ordre 1 (= moyenne de l’écart entre X et E(X)) ?
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ECE1-B 2015-2016
+ Tout simplement parce que l’espérance de la v.a.r. Y = X − E(X),si elle existe, est nulle (v.a.r. centrée). Le moment centré d’ordre 1 nenous fournit donc pas d’information sur la moyenne de l’écart entre Xet E(X).
Théorème 5.Soit X une v.a.r. à densité fX .On suppose que X admet une variance. Alors :
V(X) =
∫ +∞
−∞(x− E(X))2 fX(x) dx
Démonstration.Notons Y = X−E(X) et Z = Y 2 = (X−E(X))2. On a vu dans la remarqueprécédente que si une v.a.r. à densité X admet une variance, celle-ci s’écrit :
V(X) =
∫ +∞
0x fZ(x) dx
(= lim
s→+∞
∫ s
0x fZ(x) dx
)Considérons alors la quantité U(s) =
∫ s
0x fZ(x) dx. On a alors :
U(s) =
∫ s
0x fZ(x) dx
=
∫ s
0x
1
2√x
(fY (√x) + fY (−
√x)) dx
=1
2
∫ s
0
√x (fY (
√x) + fY (−
√x)) dx
On effectue alors le changement de variable suivant.∣∣∣∣∣∣∣∣∣• u =
√x donc du =
1
2√xdx et dx = 2u du
• Si x = 0 alors u =√
0 = 0
• Si x = s alors u =√s
Ainsi, on a :
U(s) =1
2
∫ √s0
u (fY (u) + fY (−u)) (2u du)
=
∫ √s0
u2 fY (u) du+
∫ √s0
u2 fY (−u) du
=
∫ √s0
u2 fY (u) du−∫ −√s
0(−v)2 fY (v) dx
La dernière quantité étant obtenue grâce au changement de variable :∣∣∣∣∣∣∣• v = −u donc dv = − du et du = − dv
• Si u = 0 alors v = −0 = 0
• Si u = −√s alors v = −(−
√s) =
√s
On peut alors finir le calcul.
U(s) =
∫ √s0
u2 fY (u) du+
∫ 0
−√sv2 fY (v) dv =
∫ √s−√st2 fY (t) dt
=
∫ √s−√st2 fX(t+ E(X)) dx =
∫ √s+E(X)
−√s+E(X)
(x− E(X))2 fX(x) dx
−→s→+∞
∫ +∞
−∞(x− E(X))2 fX(x) dx
La convergence est obtenue par le fait que U(s) admet une limite finie en+∞ (qui est V(X)) et que
√s+ E(X)→ +∞ quand s→ +∞.
La dernière égalité, quant à elle, a été encore une fois obtenue grâce à unchangement de variable :∣∣∣∣∣∣∣
• x = t+ E(X) donc dx = dt
• Si t =√s alors x =
√s+ E(X)
• Si t = −√s alors x = −
√s+ E(X)
D’où le résultat.
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ECE1-B 2015-2016
Remarque• Le théorème 5 peut être vu comme un cas particulier du théorème detransfert en prenant l’application g : x 7→ (x− E(X))2.
Théorème 6. Formule de Kœnig-HuygensSoit X une v.a.r. à densité.On suppose que X admet une espérance E(X).
La v.a.r. X admetune variance ⇔ La v.a.r. X admet un
moment d’ordre 2
Et dans ce cas :V(X) = E(X2)− (E(X))2
Démonstration.La v.a.r. X admet une varianceSSI la v.a.r. Y = X − E(X) admet un moment d’ordre 2
SSI∫ +∞
−∞(x− E(X))2 fX(x) dx est absolument convergente
SSI∫ 0
s(x− E(X))2 fX(x) dx admet une limite quand s→ −∞
et∫ t
0(x− E(X))2 fX(x) dx admet une limite quand t→ +∞.
On note alors U(s, t) =
∫ t
s(x− E(X))2 fX(x) dx et on remarque que :
(x− E(X))2 = x2 − 2E(X)x+ (E(X))2. On en déduit :
U(s, t) =
∫ t
s(x2 − 2E(X)x+ (E(X))2) fX(x) dx
=
∫ t
sx2 fX(x) dx+
∫ t
s−2E(X)x fX(x) dx+
∫ t
s(E(X))2 fX(x) dx
=
∫ t
sx2 fX(x) dx− 2E(X)
∫ t
sx fX(x) dx+ (E(X))2
∫ t
sfX(x) dx
Par hypothèse X admet une espérance donc∫ +∞
−∞x fX(x) dx est conver-
gente et vaut E(X). D’autre part,∫ +∞
−∞fX(x) dx est convergente et vaut 1.
On en déduit que∫ +∞
−∞(x − E(X))2 fX(x) dx est absolument convergente
si∫ t
sx2 fX(x) dx l’est, ce qui démontre le résultat.
En cas de convergence, on a :
V(X) =
∫ +∞
−∞x2 fX(x) dx− 2E(X)× E(X) + (E(X))2 × 1
= E(X2)− 2(E(X))2 + (E(X))2
= E(X2)− (E(X))2
Définition Variables centrées réduites
Soit X une v.a.r. à densité.
a) Si X admet une espérance égale à 0 on dit que X est une variable centrée.
b) Si X admet une variance égale à 1 on dit que X est une variable réduite.
c) SiX admet une variance, la variableX∗ =X − E(X)
σ(X)est appelée variable
centrée réduite associée à X.
RemarqueOn peut considérer ceci comme une opération de normalisation de la variance(plus simple pour raisonner dans les théorèmes).
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ECE1-B 2015-2016
II. Lois à densité usuelles
II.1. Loi uniforme sur un intervalle réel
Définition
• On dit qu’une v.a.r. X suit la loi uniforme sur [a, b] (pour a et bdeux réels tels que a < b) si :
a) X(Ω) = [a, b]
b) X admet pour densité la fonction f définie par :
f : R → R
x 7→
1
b− asi x ∈ [a, b]
0 sinon
• On utilisera la notation X → U([a, b]) pour signifier que X suit la loiuniforme sur [a, b].
Remarque• On vérifie aisément que f est bien une densité de probabilité :
1) f est continue sur ]−∞, a[ ∪ ]a, b[ ∪ ]b,+∞[
2) ∀x ∈ R, f(x) > 0
3)∫ +∞
−∞f(t) dt converge en tant qu’intégrale sur le segment [a, b] de
la fonction f [a,b] continue sur [a, b]. En effet :∫ +∞
−∞f(t) dt =
∫ a
−∞f(t) dt +
∫ b
af(t) dt+
∫ +∞
bf(t) dt
=
∫ b
a
1
b− adt =
b− ab− a
= 1
• On définit de même la loi uniforme sur ]a, b[, [a, b[, ]a, b].
Proposition 3.Soit X une v.a.r. telle que X → U([a, b]).Alors sa fonction de répartition FX est définie par :
FX : R → R
x 7→
0 si x ∈]−∞, a[
x− ab− a
si x ∈ [a, b]
1 si x ∈]b,+∞[
Démonstration.Soit x ∈ R. On étudie la valeur de FX(x) en fonction de x.• Si x < a :
FX(x) =
∫ x
−∞f(t) dt =
∫ x
−∞0 dt = 0
• Si x ∈ [a, b] :
FX(x) =
∫ x
−∞f(t) dt =
∫ a
−∞f(t) dt +
∫ x
af(t) dt
=
∫ a
−∞0 dt +
∫ x
a
1
b− adt
= 0 +x− ab− a
• Si x > b :
FX(x) =
∫ a
−∞f(t) dt +
∫ b
af(t) dt +
∫ x
bf(t) dt
=
∫ a
−∞0 dt +
∫ b
a
1
b− adt +
∫ x
a0 dt
= 0 +b− ab− a
+ 0 = 1
15
ECE1-B 2015-2016
Théorème 7.Soit X une v.a.r. telle que X → U([a, b]) (a < b).Alors, on a :
1) X admet une espérance.
2) E(X) =a+ b
2
Démonstration.∫ +∞
−∞tf(t) dt converge comme intégrale sur le segment [a, b] de la restriction
sur [a, b] de la fonction t 7→ tf(t), continue sur [a, b]. En effet :∫ +∞
−∞t f(t) dt =
∫ a
−∞t f(t) dt +
∫ b
at f(t) dt+
∫ +∞
bt f(t) dt
=
∫ b
a
t
b− adt =
1
b− a
∫ b
at dt =
1
b− a
[t2
2
]ba
=1
2
b2 − a2
b− a=
1
2
(b− a)(b+ a)
b− a=
a+ b
2
On en déduit que X admet une espérance et que E(X) =a+ b
2.
Cas particulier de la loi uniforme sur [0, 1]En Scilab, l’opérateur rand permet de simuler la loi U([0, 1]). Comme on l’avu en TP, cette fonction rand permet aussi la simulation des lois uniformessur [a, b]. Il suffit pour ce faire d’effectuer une simple transformation affine.Le résultat mathématique correspondant est le suivant.
Soit (a, b) ∈ R2 et a < b. Soit X une v.a.r. à densité.
Notons Y = a+ (b− a)X.
X → U([0, 1]) ⇔ Y → U([a, b])
Si X → U([0, 1]), ses caractéristiques sont les suivantes.
• Densité :fX : R → R
x 7→
1 si x ∈ [0, 1]0 sinon
• Fonction de répartition :
FX : R → R
x 7→
0 si x ∈]−∞, 0]x si x ∈ [0, 1]1 si x ∈]1,+∞[
• Espérance de X : E(X) =1
2
Représentation graphique.On considère une v.a.r. X telle que X → U([a, b]).• Représentation graphique de la densité fX .
0a b
• Représentation graphique de la fonction de répartition FX .
0a b
1
16
ECE1-B 2015-2016
II.2. Loi exponentielle
Définition
• On dit qu’une v.a.r. X suit la loi exponentielle de paramètre α(avec α > 0) si :
a) X(Ω) = [0,+∞[
b) X admet pour densité la fonction f définie par :
f : R → R
x 7→
α e−αx si x ∈ [0,+∞[
0 sinon
• On utilisera la notation X → E (α) pour signifier que X suit la loiexponentielle de paramètre α.
Remarque
• On vérifie aisément que f est bien une densité de probabilité :
1) f est continue sur ]−∞, 0[ ∪ ]0,+∞[
2) ∀x ∈ R, f(x) > 0
3)∫ +∞
−∞f(t) dt =
∫ +∞
0f(t) dt converge. En effet, si y > 0 :∫ y
0f(t) dt =
∫ y
0α e−αt dt = α
∫ y
0e−αt dt = α
[−e−αt
α
]y0
= −e−αy + eα0 = −e−αy + 1 −→y→+∞
1
On en déduit :∫ +∞
−∞f(t) dt = 1.
Proposition 4.Soit X une v.a.r. telle que X → E (α).Alors sa fonction de répartition FX est définie par :
FX : R → R
x 7→
0 si x ∈]−∞, 0[
1− e−αx si x ∈ [0,+∞[
Démonstration.Faite dans la remarque précédente.
Théorème 8.Soit X une v.a.r. telle que X → E (α) (avec α > 0).Alors, on a :
1) X admet une espérance.
2) E(X) =1
α
Démonstration.
1) Notons U(y) =
∫ y
−∞tf(t) dt =
∫ y
0tf(t) dt pour y > 0.
On effectue une intégration par parties :u = t u′ = 1
pour un certain α > 0. On reconnaît la fonction de répartition d’une loiexponentielle. On en déduit que X → E (α).
Représentation graphique.On considère une v.a.r. X telle que X → E (2).• Représentation graphique de la densité fX .
0
2
• Représentation graphique de la fonction de répartition FX .
0
1
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ECE1-B 2015-2016
II.3. Loi normale centrée réduite
Définition
• On dit qu’une v.a.r. X suit la loi normale centrée réduite si :
a) X(Ω) =]−∞,+∞[
b) X admet pour densité la fonction ϕ définie par :
ϕ : R → R
x 7→ 1√2π
e−x2
2
• On utilisera la notation X → N (0, 1) pour signifier que X suit la loinormale centrée réduite.
Remarque
• On peut vérifier que ϕ est bien une densité de probabilité :
1) ϕ est continue sur R2) ∀x ∈ R, ϕ(x) > 0
3)∫ +∞
−∞ϕ(t) dt = 1 (Admis).
• La fonction φ est paire. Son graphe sera donc symétrique par rapport àl’axe des ordonnées.
• La fonction de répartition associée à la loi normale centrée réduite n’admetpas d’expression « simple ». On la note Φ.
Φ : R → R+
x 7→∫ x
−∞
1√2π
e−t2
2 dt
Théorème 10.
Soit X une v.a.r. telle que X → N (0, 1).
Alors, on a :
1) X admet une espérance.
2) E(X) = 0 (et V(X) = 1)
Démonstration.
1) Notons U(y) =
∫ y
0tϕ(t) dt =
∫ y
0
1√2π
t e−t2
2 dt =1√2π
∫ y
0t e−
t2
2 dt
pour y > 0.
On a alors :∫ y
0t e−
t2
2 dt =
[−e−
t2
2
]y0
= −e−y2
2 + e0 = 1− e−y2
2 .
Or, comme limy→+∞
e−y2
2 = 0. On en déduit que∫ +∞
0tϕ(t) dt est conver-
gente et vaut 1.
De même, notons V (y) =
∫ y
0tϕ(t) dt =
1√2π
∫ 0
yt e−
t2
2 dt pour y 6 0.
On a alors :
∫ 0
yt e−
t2
2 dt = −∫ 0
−y−t e−
(−t)22 dt =
∫ −y0
−t e−(−t)2
2 dt
= −(1− e−(−y)2
2 ) = −1 + e−y2
2
(on utilise en fait le caractère impair de la fonction t→ tϕ(t))
On en déduit que∫ 0
−∞tϕ(t) dt est convergente et vaut −1.
Ainsi∫ +∞
−∞t ϕ(t) dt est une intégrale absolument convergente.
2) Par le calcul précédent, E(X) a pour valeur : 1− 1 = 0.
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ECE1-B 2015-2016
Représentation graphique.On considère une v.a.r. X telle que X → N (0, 1).• Représentation graphique de la densité ϕ.
0
• Représentation graphique de la fonction de répartition Φ.Φ n’admet pas d’expression « simple ». On représente donc graphiquementΦ(x) comme l’aire sous la courbe de φ entre −∞ et x.
0 x
0a b
= Φ(x) et = Φ(b)− Φ(a)
Proposition 5.Notons Φ la fonction de répartition de la loi N (0, 1).
∀x ∈ R, Φ(−x) = 1− Φ(x)
Démonstration.
Soit x ∈ R. On a : Φ(−x) =
∫ −x−∞
1√2π
e−t2
2 dt = −∫ x
+∞
1√2π
e−(−u)2
2 du =∫ +∞
x
1√2π
e−u2
2 du =
∫ +∞
−∞
1√2π
e−u2
2 du −∫ x
−∞
1√2π
e−u2
2 du = 1 −
Φ(x).
RemarqueCe résultat provient de la parité de ϕ et peut se lire graphiquement.
0 x
= Φ(x) et = 1− Φ(x)
0x
= Φ(−x)
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Table de la loi normale centrée réduite.On utilise parfois (notamment en statistiques), des tables contenant les va-leurs caractéristiques de certaines lois usuelles. La table ci-dessous contientles valeurs de Φ, fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
On lit la valeur de la cellule l’intersection de cette ligne et colonne. On lit :Φ(1.64) = 0.9495(la probabilité de l’événement [X 6 1.64] est d’environ 95%)
• Par exemple, pour lire la valeur de Φ(−0.81)On utilise la formule : Φ(−0.81) = 1− Φ(0.81)On lit alors : Φ(−0.81) = 1− 0.7881 = 0.2119(la probabilité de l’événement [X 6 −0.81] est d’environ 21%)
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ECE1-B 2015-2016
II.4. Loi normale (ou de Laplace-Gauss)
Définition
• On dit qu’une v.a.r. X suit la loi normale (ou loi deLaplace-Gauss) de paramètre (m,σ) (avec m ∈ R et σ > 0) si :
a) X(Ω) =]−∞,+∞[
b) X admet pour densité la fonction fX définie par :
fX : R → R
x 7→ 1
σ√
2πe−
12(x−mσ )
2
• On utilisera la notation X → N (m,σ) pour signifier que X suit laloi normale de paramètre (m,σ).
Remarque• L’expression de fX est proche de celle de ϕ : on obtient fX(x) en ap-pliquant à x un transformation affine (à multiplication par 1
σ près). Plusprécisément, notons t : R→ R la fonction définie par
∀x ∈ R, t(x) =x−mσ
On a alors : ∀x ∈ R, fX(x) =1
σϕ(t(x)).
• On peut se servir de cette propriété pour déduire les propriétés de fX decelle de ϕ. Par exemple, on peut vérifier que fX est bien une densité deprobabilité :
1) fX est C0 sur R comme composée de deux fonctions C0 sur R2) ∀x ∈ R, fX(x) > 0
3)∫ +∞
−∞fX(x) dx =
∫ +∞
−∞
1
σϕ(t(x)) dx =
1
σ
∫ +∞
−∞σϕ(u) du
La dernière égalité provient du changement de variable suivant :∣∣∣∣∣∣∣∣• u = t(x) =
x−mσ
donc du =1
σdx et dx = σ du
• Si x = −∞ alors u = −∞• Si x = +∞ alors u = +∞
Théorème 11.
Soit X une v.a.r. à densité.
Soient m ∈ R et σ > 0.
On a alors :
X → N (m,σ) ⇔ X −mσ
→ N (0, 1)
Démonstration.
Notons X∗ =X −mσ
.
(⇒) On se sert ici du fait que X∗ apparaît comme transformée affine de la
v.a.r. X. En effet : X∗ =1
σX − m
σ(X∗ = aX + b avec a = 1
σ et b = −mσ ).
On en déduit que, pour tout x ∈ R, la densité de probabilité fX∗ vérifie :
fX∗(x) =1
|a|fX
(x− ba
)=
11σ
fX
(x+ m
σ1σ
)= σ · fX (σ x+m)
= σ · 1
σ√
2πe−
12
((σx+m)−m
σ
)2
=1√2π
e−12
(x)2
On reconnaît la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite.Ainsi : X∗ → N (0, 1).
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ECE1-B 2015-2016
(⇐) On se sert ici du fait que X apparaît comme transformée affine de lav.a.r. X∗. En effet : X = σ X∗ +m (X = aX∗ + b avec a = σ et b = m).On en déduit que, pour tout x ∈ R, la densité de probabilité fX vérifie :
fX(x) =1
|a|fX∗
(x− ba
)=
1
σfX∗
(x−mσ
)=
1
σ
1√2π
e−12(x−mσ )
2
On reconnaît la densité de probabilité de la loi normale de paramètre (m,σ).Ainsi : X∗ → N (m,σ).
Théorème 12.
Soit X une v.a.r. telle que X → N (m,σ).
Alors, on a :
1) X admet une espérance.
2) E(X) = m (et V(X) = σ2)
Démonstration.Il y a deux manières de faire cette démonstration.
• La manière directe consiste à étudier∫ +∞
−∞t fX(t) dt (bon exercice).
• La seconde manière est plus élégante. Elle consiste à utiliser le théorème
précédent. Notons X∗ =X −mσ
. On a alors X = σ X∗ +m.
Par la linéarité (faible) de l’espérance, la v.a.r. X∗ admet une espérancedonnée par : E(X∗) = σ E(X) +m = σ × 0 +m = m.
(de même, V(X∗) = σ2V(X) = σ2 × 1 = σ2)
Remarque
• Ce théorème permet de comprendre les notations m et σ.Si X → N (m,σ) alors m = E(X) et σ2 = V(X). Ainsi :
× La notation m peut-être lue comme « moyenne ».
× La notation σ est celle que nous avons déjà utilisé pour l’écart type.
• La loi normale centrée réduite est simplement une loi normale particulière :celle dont les paramètres (m,σ) vérifient m = 0 et σ = 1.
• Évidemment, on a :
• X → N (m,σ)
• E(X) = 0
• V(X) = 1
⇔ X → N (0, 1)
Autrement dit, la loi normale centrée réduite est donc la loi des v.a.r. X quisuivent une loi normale (X → N (m,σ)) et qui sont centrées (E(X) = 0)et réduites (V(X) = 1).
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ECE1-B 2015-2016
Représentation graphique.On considère une v.a.r. X telle que X → N (m,σ).La densité d’une telle loi est représentée par une courbe en cloche.× Dans le cas d’une loi N (0, 1), cette cloche est centrée en 0.× Dans le cas d’une loi N (m,σ), cette cloche est centrée en m.D’autre part, la forme de cette cloche (hauteur et largeur) dépend de σ :× plus σ est petit, plus le pic est haut et fin ;× plus σ est grand, plus le pic est bas et large.Notez que l’aire sous la courbe entre −∞ et +∞ est invariante (on a toujours∫ +∞
−∞fX(t) dt = 1).
• Représentation graphique de la densité fX de la loi N (m,σ).
0 m
1
σ√
2π
m = 2σ = 1.5
• Représentation graphique de la densité fX de la loi N (m,σ).
0 m
1
σ√
2π
m = 2σ = 0.8
• Représentation graphique de la densité fX de la loi N (m,σ).