CH II Matériaux sans craquelures - INSA de Lyoncsidoc.insa-lyon.fr/these/2005/saad_gouider/07_chapitre_2.pdf · Ce pendule travaille en oscillations forcées dans le domaine de basses

CH II Matériaux sans craquelures


70


II. Matériaux sans craquelures

Introduction ...............................................................................................................................72

1. Caractérisation physico-chimique ................................................................................72

1.1. Masse molaire .........................................................................................................73

1.1.1. Technique expérimentale ..................................................................................73

1.1.2. Résultats ..........................................................................................................74

1.2. Relaxations mécaniques principale α et secondaire β ............................................75


1.2.2. Observation des relaxations α et β ...................................................................76

1.3. Propriétés thermiques..............................................................................................79


1.3.2. Résultats ...........................................................................................................80

2. Plasticité .........................................................................................................................82

2.1. Loi de comportement adoptée pour les polymères amorphes .................................82

2.2. Essais de compression.............................................................................................86

2.2.1. Dispositif expérimental.....................................................................................86

2.2.2. Courbes contrainte-déformation.......................................................................88

2.2.3. Analyse thermomécanique ................................................................................92

2.3. Identification des paramètres de la loi de comportement........................................95

2.3.1. Paramètres accessibles expérimentalement........................................................95

2.3.2. Paramètres ajustés ............................................................................................97

3. Conclusion....................................................................................................................100

71


Introduction

Dans les polymères amorphes, la localisation de la déformation plastique par bandes de cisaillement est

associée à la loi de comportement du matériau sans craquelure, avec un adoucissement intrinsèque au

delà d’un seuil de contrainte suivi d’un durcissement progressif à mesure que la déformation augmente.

A partir d’une loi de comportement rendant compte de ces caractéristiques, nous pouvons décrire

l’endommagement par localisation de la déformation plastique. Pour cela, nous adoptons la description

phénoménologique de Boyce et al. [BOYC 88] modifiée par Wu et Van der Giessen [WU 93, WU 96].

Les matériaux étudiés et à caractériser sont le Poly méthacrylate de méthyle (PMMA) et le

Polycarbonate (PC), qui sont considérés comme fragile et ductile respectivement (par exemple pour un

essai de traction).

Le travail exposé dans ce chapitre comporte deux parties. Dans un premier temps, nous présentons les

caractéristiques physico – chimique des deux matériaux. L’analyse de la plasticité et du comportement

mécanique en grandes déformations est traitée dans la deuxième partie de ce chapitre. Pour cela les

deux matériaux PMMA et PC ont été sollicités en compression uniaxiale. Le principal intérêt de ce test

est d’éviter la formation de craquelures ou toute autre cavitation au sein du matériau comme cela est

souvent observé lors d’essais en traction. La compression est donc bien adaptée à l’étude du

comportement plastique vis à vis de l’apparition et de la croissance de bandes de cisaillement. Les

résultats des essais de compression seront utilisés pour l’identification des paramètres de la loi de

comportement adoptée et présentée en seconde partie.

1. Caractérisation physico-chimique

Les matériaux d’étude sont des polymères thermoplastiques amorphes : le Poly méthacrylate de

méthyle (PMMA) et le Polycarbonate de bisphénol-A appelé par commodité Polycarbonate (PC). Le

PMMA est un matériau commercial (PERSPEX) fourni par la société Lucite. Son motif de répétition

est représenté sur la Figure II- 1a. Il est livré sous forme de plaques de 10 mm d'épaisseur. Le PMMA

utilisé est polymérisé en coulée. Les plaques obtenues sont de qualité optique parfaite et isotropes (le

matériau est de couleur noire quand il est placé entre polariseur et analyseur croisés et observé en

lumière transmise).

72


Le PC est également un matériau commercial (Lexan) fourni par la société Goodfellow, dont le motif

de répétition est représenté sur la Figure II- 1b. Les plaques de PC de 10 mm d’épaisseur ainsi fournies

sont élaborées par injection et présentent des contraintes internes uniformes (le matériau est de couleur

verte claire quand il est placé entre polariseur et analyseur croisés et observé en lumière transmise.

Cette couleur ne varie pas en tournant l’échantillon).

Nous supposons que l’on utilise ces matériaux pour un temps suffisamment long après leur

élaboration pour pouvoir raisonnablement négliger un effet majeur du vieillissement physique.

(a) (b)

Figure II- 1Motifs de répétition des deux polymères (a) PMMA et (b) PC.

1.1. Masse molaire

Le PMMA et le PC ont des masses molaires caractéristiques bien différentes et de l’ordre de

pour le PMMA et pour le PC. Ce paramètre influence notamment

le taux d’enchevêtrements (ainsi que la mobilité moléculaire) et par conséquent la réponse du matériau

sans craquelure ainsi que le craquelage.

310 kg/molnM 210 kg/molnM

1.1.1. Technique expérimentale Les mesures des masses molaires et d’indices de polymolécularité des polymères ont été effectuées à

l’aide d’un chromatographe à perméation de gel (GPC). Cette technique consiste à introduire une

solution diluée de polymère dans la colonne de GPC. Les molécules de polymère diffusent dans les

pores. A cause de la différence de taille des molécules, les macromolécules les plus grandes ne peuvent

pénétrer que partiellement dans les pores alors que les petites y diffusent librement. Par conséquent les

grandes molécules sont chassées hors de la colonne en premier alors que les plus petites en sortent en

dernier. Le chromatographe utilisé est constitué d’un réservoir de solvant, d’un système de pompage,

d’un injecteur, d’un jeu de colonnes et d’un réfractomètre différentiel disposés dans cet ordre. Les deux

polymères PMMA et PC sont solubilisés dans le tétrahydrofuranne (THF), qui se trouve être un bon

solvant pour chacun d’eux. La dilution obtenue est de 5mg/ml dont 100 microlitres sont injectés dans

les colonnes. A la sortie de ces colonnes, le réfractomètre différentiel mesure la différence d’indice de

73


réfraction entre le THF (dont l’indice est de 1.405) et la solution de polymère injectée et le traitement

des données se fait à partir de tranches correspondant à l’acquisition digitalisée du chromatogramme.

Chaque tranche i est caractérisée par son volume d’élution et son intensité mesurée par le

réfractomètre différentiel proportionnelle à la concentration en polymère à la sortie de colonne. La

masse molaire

iV iH

iC

iM de chaque tranche i est déterminée à l’aide d’une courbe d’étalonnage. Les masses

moléculaires moyennes en nombre nM et en poids WM sont

/

i i in

i i

n M CMn C

∑ ∑= =∑ ∑ iM

,

2

i i i iW

i i i

n M C MM = = . (II-1) n M C

∑ ∑∑ ∑

1.1.2. Résultats Le chromatogramme obtenu est une information continue de la concentration du polymère à la sortie

des colonnes en fonction du volume d’élution.

20

24

28

32

10

( )iH mV

Les chromatog

une distributio

que les deux p

(stabilisant, an

matériaux PM

15 20 25

PMMAPC

Figure II- 2 Chromatogrammes obtenues par GPC du PMMA et PC.

( )iV ml

rammes obtenus dans le cas du PMMA et du PC (voir. Figure II- 2) m

n mono modale. Il n’y a pas de pics secondaires sur le chromatogramm

olymères utilisés ne contiennent pas de plastifiant ou d’additifs ma

ti-oxydant, lubrifiant…). Le Tableau II- 1 regroupe les résultats trouv

MA et PC.

74

30

ontrent chacun

e, ce qui signifie

cromoléculaires

és pour les deux


Polymère (kg/mol)nM (kg/mol)WM PI PMMA 864 1843 2.13

PC 31 62 2.02 Tableau II- 1 Masses molaires et indice de polydispersité du PMMA et du PC.

L'indice de polydispersité est défini par P W nI M M= et caractérise la largeur de la distribution des

masses moléculaires ( pour une distribution uniforme de 1PI = nM , pour les polymères

industriels standards). D’après les résultats obtenus (Tableau II- 1), les indices de polydispersité du

PMMA et PC sont « standards ».

2.5PI ≈

1.2. Relaxations mécaniques principale α et secondaire β

La relaxation principale ou relaxation α est la conséquence mécanique de la transition vitreuse. Elle

concerne des mouvements généralisés et à longue distance des chaînes de polymère. La variation des

propriétés mécaniques au passage de cette relaxation est importante, et la chute du module est de

l’ordre de trois décades dans le cas de polymères amorphes non réticulés. Dans les polymères à l’état

solide, certains mouvements de chaînes locaux sont possibles à des températures inférieures à la

température de transition vitreuse. Ces mouvements peuvent être des rotations de groupes latéraux de

la chaîne principale ou des mouvements de manivelle impliquant un nombre limité de maillons le long

de la chaîne. Ces mobilités locales donnent lieu à des relaxations mécaniques dites secondaires. La

relaxation β est la première de ces relaxations secondaires dans l'ordre des températures décroissantes.

1.2.1. Technique expérimentale

L’étude des relaxations mécaniques se fait à l’aide d’un dispositif de spectrométrie mécanique sollicitant

le matériau dans le domaine viscoélastique linéaire (Figure II- 3). On applique une sollicitation

périodique en contrainte qui conduit à une déformation harmonique de même

pulsation et déphasée

0( ) cos( )tσ σ ω= t

0( ) cos( )t tε ε ω ϕ= − . En notation complexe, le module dynamique

s’écrit *( ) exp( ) ( ) ( )G i G i G iG iω ϕ ω ω′ ′′= = + , avec le module réel qui représente l’énergie stockée

élastiquement et le « module de perte » qui rend compte des relaxations et qui représente l’énergie

dissipée (sous forme de chaleur) par frottement visqueux. L’évolution de l’énergie dissipée avec la

température est généralement représentée par la grandeur sans dimension

G′

G′′

tan /G Gϕ ′′ ′= . Les

variations de ce paramètre en fonction de la température (ou en fonction de la fréquence) permettent

de caractériser les relaxations associées aux mouvements locaux (relaxation β) ou coopératifs

75


(relaxation α). Nous utilisons un pendule de torsion inversé conçu au laboratoire GEMPPM

schématisé sur la Figure II- 3.

Figure II- 3 Dispositif de spectrométrie mécanique.

Ce pendule travaille en oscillations forcées dans le domaine de basses fréquences (10-4 à 1 Hz). Les

mesures du couple de torsion appliqué, de l’amplitude de déformation en cisaillement de l’échantillon

et de son déphasage vis à vis de la contrainte permettent de mesurer tanϕ et en fonction de la

température, pour une fréquence donnée [ETIE 82, CAVA 88]. L'échantillon est fixé par son

extrémité inférieure à un mors fixe. Le mors supérieur est solidaire d'une tige rigide sur laquelle

s'applique le couple de torsion. La tige est reliée à un fil de suspension en légère tension pour éliminer

tout effort axial sur l'échantillon. Des forces magnétiques induites par des bobines d'Helmholtz sur un

aimant solidaire de la tige imposent le mouvement de torsion périodique. La détection de la

déformation angulaire de l'échantillon se fait par une méthode optique. Un détecteur mesure le

déplacement d'un faisceau lumineux émis par une source laser et réfléchi par un miroir placé sur la tige.

Un four cylindrique dont la température peut être programmée, entoure l'échantillon. L'ensemble four

- échantillon peut être contenu dans une chambre immergée dans de l'azote liquide pour l’étude des

relaxations à basses températures. Un système d'asservissement permet d'obtenir des spectres

isochrones ou isothermes. Le PMMA et PC sont analysés en régime isochrone à 1 Hz. La vitesse de

montée en température est de 1K/min. Le domaine de température exploré est 100 K - 450 K pour le

PMMA et le PC. Les éprouvettes utilisées sont des parallélépipèdes de dimension12 .

G′

3 0.5mm× ×

1.2.2. Observation des relaxations α et β

Les Figure II- 4 et Figure II- 5 montrent l’évolution du module de cisaillement et du « module de

perte »

G′

tan G Gϕ ′′ ′= en fonction de la température pour le PMMA et le PC respectivement. Les

mesures de sont normalisés par la valeur mesurée à 298K. Nous avons vérifié que cette valeur est G′

76


proche de la mesure du module de cisaillement obtenue par ultrasons (de l’ordre de 2GPa pour le

PMMA et 0.9 GPa pour le PC).

Nous distinguons trois zones sur les Figure II- 4 et Figure II- 5. Dans la zone I à l’état vitreux, le

module élastique G varie modestement entre et avec des valeurs allant de 4.5

GPa à 1.5 GPa pour le PMMA et 2.4 GPa à 1.07 GPa pour le PC. La cohésion moléculaire étant

assurée par des interactions de type Van der Waals. Dans la zone II, la relaxation principale ou

apparaît et correspond à la transition vitreuse pour laquelle une chute du module G d'environ trois

décades est observée (entre 390 K et 430 K pour le PMMA et entre 400 K et 450 K pour le PC). Au

delà de T

′ 100KT = 30KTα −

α′

α , le module varie peu avec la température et le «plateau caoutchoutique» nous renseigne

sur la densité d'enchevêtrements dans le matériau. Dans cet état, en considérant que la chaîne obéit

à une statistique gaussienne (les segments de base de la chaîne s’articulent librement et l’orientation du

N

G′

n

ième monomère est indépendante de celles des monomères précédents ou suivants), l’analyse de

l’élasticité caoutchoutique conduit à une estimation du module de cisaillement qui obéit à la relation

[TREL 75] avec la constante de Boltzmann et la température. La densité

d’enchevêtrements ainsi calculée est de pour le PMMA et pour le PC

(en considérant une valeur dans le plateau caoutchoutique de pour le PMMA et

pour le PC).

G nkT= k T26 35.66×10 m− 26 37.02×10 m−

3.33MPaG′ =

4.24MPaG′ =

Le coefficient de perte caractérisé par tanϕ présente un pic correspondant à la température de

relaxation α qui coïncide avec la température de transition vitreuse. Son amplitude maximale est de

l’ordre de 1.6 pour le PMMA alors qu’elle atteint 2.26 pour le PC. Ceci montre la plus grande capacité

d’amortissement du PC par rapport au PMMA à cette température.

77


-3

-2

-1

0

1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

100 150 200 250 300 350 400 450-3

-2

-1

0

1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

100 150 200 250 300 350 400 450

II

tanϕ( (298 ))Log G G K′ ′

I III

Figure II- 4 Evolution du module de cisaillement et du coefficient de perte G′ tanϕ pour le PMMA en fonction de la température.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

100 150 200 250 300 350 400 450-3

-2

-1

0

1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

100 150 200 250 300 350 400 450-3

-2

-1

0

1

Figure II- 5 Evolution du module de cisaillement et du coe e perte G′ tanϕ pour le PC en fonction de la température.

III II

tanϕ( (298 ))Log G G K′ ′

I

fficient d

(K)T

78


La Figure II- 6 montre l’évolution du « module de perte » G en fonction de la température pour le

PMMA et le PC. Nous observons la présence d’un pic de relaxation secondaire d’amplitude maximum

de 0.22 à une température de 280 K voisine de l’ambiante pour le PMMA. Cette relaxation apparaît

étendue et large. Par contre pour le PC, la relaxation secondaire ou relaxation β est bien marquée et se

produit à basse température autour de 170 K. L’amplitude du pic atteint un maximum de l’ordre de

0.07. Le Tableau II- 2 rassemble les caractéristiques des relaxations obtenues à partir des spectres

isochrones à 1 Hz.

′′

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

100 150 200 250 300 350 400 450

T (K)

G" (GPa)

PMMA

PC

Figure II- 6 Evolution du module de perte G du PMMA et du PC en fonction de la température. ′′

Tableau II- 2 Caractéristiques des relaxations α et β du PMMA et PC.

Matériau ( )maxT Kα ( )maxT Kβ Domaine de T α Domaine de Tβ PMMA 395 284 [390-430] [210-370]

PC 429 170 [400-450] [130-250]

Nous observons que les premiers mouvements de relaxation possibles s’opèrent à basse température

pour le PC à partir d’une température de l’ordre de –150°C alors qu’ils ont lieu à une température

proche de la température ambiante pour le PMMA. Ceci indique une meilleure aptitude pour

accommoder la déformation imposée du PC par rapport au PMMA. Cette caractéristique influe sur les

propriétés de plasticité et par exemple conduit à un seuil d’écoulement plastique pour le PC inférieur à

celui du PMMA.

1.3. Propriétés thermiques

Dans cette partie, nous caractérisons les propriétés thermiques du matériau afin de pouvoir mener une

étude thermomécanique des essais mécaniques. Nous allons mesurer la diffusivité thermique

79


pc

καρ

= , (II-2)

à partir de laquelle nous estimons la conductivité thermique à partir de la mesure de la masse

volumique

κ

ρ et la capacité calorifique . La diffusivité thermique est mesurée par la méthode Flash

[DEGI 77] au laboratoire CETHIL (CEntre THermique de l’Insa de Lyon).

pc

1.3.1. Technique expérimentale

Il s’agit de mesurer la diffusion de la température entre les deux faces d’un échantillon pour caractériser

la conductivité thermique. Pour cela une impulsion de chaleur est envoyée sur la face avant d’un

échantillon plan. L’impulsion est fournie par une lampe Xénon et la durée de l’impulsion est de l’ordre

de 5 à 6 ms avec une énergie d’environ ou qui est absorbée par la face avant de

l'échantillon. L’augmentation de température induite sur la face arrière est mesurée à l’aide d’un

thermocouple. Les échantillons sont cylindriques, de 20 mm de diamètre et 5 mm d’épaisseur. Ils sont

revêtus d'une peinture noire très absorbante sur la face avant pour collecter l’impulsion de chaleur de la

lampe et maintenir le bord haut à température constante. La mesure de la diffusion de chaleur entre les

bords supérieur et inférieur est améliorée en déposant une laque argentée sur la face arrière de

l’éprouvette pour améliorer la mesure avec le thermocouple. Pour chaque matériau trois essais ont été

réalisés à température ambiante.

41 10× 4 -2 10 Jm× 2

Eprouvette

Flux de chaleur de la lampe Xénon

Thermocouple

Figure II- 7 Principe de mesure par la méthode flash.

1.3.2. Résultats A partir de la solution analytique de ce problème [CARS 59], une méthode de mesure de la diffusivité

thermique a été proposée par Degiovanni [DEGI 77]. En tenant compte de la masse volumique ρ , de

la capacité calorifique et de l’épaisseur de l’éprouvette e , la mesure expérimentale de la diffusivité

thermique est réalisée à partir des thermogrammes enregistrés pour le PMMA et le PC (Figure II- 8)

pc

α

80


et une minimisation par moindre carrés avec la solution analytique selon la procédure de [DEGI 77]

est mise en œuvre au CETHIL.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0Figure II- 8 Ther

( )Tension du thermocouple T C∝ °

A partir de la

partir de(II-2)

conductivité t

thermiques de

PolyPM

P

10 20 30 40 50 60mogramme enregistré sur la face arrière des éprouvettes de PMMA et du PC. Les essa

température ambiante.

t(s)

mesure de diffusivité, nous pouvons déduire la valeur de la conductivité

. Les résultats obtenus sont reportés dans le Tableau II- 3. Nous obse

hermique du PMMA est légèrement inférieure à celle du PC mais l

s deux matériaux sont globalement voisines.

mère 3(kg/m )ρ -1 -1(J.K .kg )pc 2(m /s)α -1 -1(W.m .KκMA 1190 1400 71.19 10−× 0.19 C 1200 1200 71.52 10−× 0.21

Tableau II- 3 Propriétés thermiques et masse volumique du PMMA et du PC.

81

PMMA

PC

70

is sont réalisés à

thermique à

rvons que la

es propriétés

)

CH II: Matériaux sans craquelures

2. Plasticité

Lorsque le matériau est sollicité en compression ou en cisaillement, la contrainte hydrostatique 1 3m Iσ =

négative ou nulle ne permet pas l’amorçage du craquelage. Dans ces conditions, les polymères amorphes

peuvent subir des niveaux de déformation élevés qui peuvent atteindre 100 %. Leur réponse mécanique

montre un adoucissement intrinsèque au-delà d’un seuil d’écoulement plastique suivi d’un durcissement à

mesure que la déformation augmente qui conduit à une localisation de la déformation par bandes de

cisaillement. Comme nous avons indiqué en chapitre I.1, le comportement des polymères amorphes est

sensible à la vitesse de déformation, la température et la pression hydrostatique. Nous présentons dans

cette partie la modélisation adoptée pour rendre compte de la nature élasto - viscoplastique du

comportement des polymères amorphes. L’influence de paramètres comme la masse moléculaire ou la

nature du monomère employée est « cachée » dans l’expression des paramètres « matériaux » à identifier

pour une valeur de nM et un monomère donné. Ensuite, nous analysons les essais de compression

uniaxiale réalisés pour l’identification des paramètres intervenants dans la loi de comportement.

2.1. Loi de comportement adoptée pour les polymères amorphes

La description de la résistance isotrope emploie l’expression de vitesse de déformation plastique proposée

par Argon [ARGO 73] à partir d’une hypothèse de déformation par disclinaison des chaînes. L’expression

viscoplastique qu’il obtient n’est pas très différente de celle obtenue avec le modèle d’Eyring, si nous

faisons abstraction de l’exposant 5 6 en équation (I.5).

Nous utilisons le modèle de Boyce et al. [BOYC 88] qui est dérivé du modèle d’Argon [ARGO 73], sans

préjuger d’un mécanisme particulier mais en considérant que la formulation proposée par Boyce et al.

[BOYC 88] est suffisamment générale pour rendre compte de manière réaliste des champs de contrainte

et de déformation associés au comportement des polymères amorphes.

Dans le cadre d’une description en grandes transformations, le tenseur gradient est décomposé en une

partie élastique et plastique. La déformation procède d’abord par la déformation plastique jusqu’à un état

intermédiaire puis une déformation élastique de cette configuration.

82

CH II : Matériaux sans craquelures

Figure II- 9 Schéma représenta

pF eF

)

Soit F le gradient de la tran

de (a) à (b) et eF le gradien

décomposition du gradient

symétrique eF et plastique

Le gradient de la vitesse de

Lorsque la transformation

déformations élastiques est

(II-4) devient &e p -p -F F F F

vitesse de déformation L =

( + T1 )D = L L2

, la loi de co

D en une partie élastique D

En supposant que la déform

de référence) restent faibles

où est la dérivée de Jaum

élastiques, le module de

cadre de la viscoplasticité is

∇σ

C

(a

nt la décomposition du graet de (b) à (c) défo

sformation complète (a

t de la transformation él

de transformation F en

pF avec

= eF F

déformation dans la con

=& &-1 e -eL = FF F F

élastique est petite (i.e

petit devant celui des dé

≈ =&e p -p pF F L . Ceci co

. A partir de la+eL Lp

mportement proposée i

e et une partie plastiqu

ation élastique et la diffé

, la réponse thermo - m

∇= −σ L e

e D

an de la contrainte de C

compressibilité et le

otrope, le tenseur de vit

cα

8

(b)

dient de transformatrmation élastique. ) à (c), pF le grad

astique de (b) à (c

un produit du gra

pF

figuration déform

.+ &e p -p -eF F F F

. eF Id ), nous

formations plasti

nduit à une déco

définition du te

ci repose sur une

e PD selon D =

rence de tempéra

écanique du com

,cC Tα &I

auchy , le t

coefficient d’expa

esse de déformat

σ eL

3

(c)

ion : de (a) à (b) déformation plastique

ient de la transformation plastique

). La loi de comportement utilise la

dient des transformations élastique

(II-3)

ée est défini par [MAND 71]

(II-4)

considérons que le gradient des

ques et alors le deuxième terme de

mposition additive du gradient de

nseur de vitesse de déformation

décomposition additive du tenseur

+e pD D .

ture (par rapport à une température

portement est gouvernée par

(II-5)

enseur d’ordre quatre des modules

nsion thermique cubique. Dans le

ion plastique


2

Pγτ′

= &PD σ (II-6)

a les mêmes directions principales que la partie déviatorique ′σ du tenseur des contraintes effectif σ avec

= bσ σ − , la contrainte appliquée (de Cauchy) et le tenseur des forces de rappel entropiques

décrivant le durcissement progressif du matériau à mesure que la déformation augmente.

σ b

Le multiplicateur plastique .Pγ =& P PD D représente la vitesse de déformation plastique et exprimé par

(II-7) et 1 .2

τ ′ ′= σ σ la contrainte de cisaillement équivalente définissant un cisaillement effectif.

5/ 6

0 0

0

exp 1P AsT s

τγ γ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜= − − ⎜ ⎟⎜

⎟⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

& & . (II-7)

La vitesse de déformation plastique Pγ& en (II-6) incorpore la dépendance à la pression hydrostatique

( 1 3p I= − ) et un paramètre matériau caractérisant cette dépendance. Nous avons alors α

5/ 6

0 0

0

( )exp 1P A s pT s p

α τγ γα

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞+⎢ ⎜= − − ⎜ ⎟⎜ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦& & ⎥⎟

⎟, (II-8)

où et A 0γ& sont des paramètres matériau, T la température absolue et la contrainte athermique pour

le cisaillement. Dans la formulation proposée par Argon [ARGO 73], la contrainte athermique est liée

aux propriétés élastiques du matériau

0s

0s

00.077 ,

1Gs

ν×=

− (II-9)

où G est le module de cisaillement haute fréquence caractéristique des liaisons intermoléculaires et ν le

coefficient de Poisson.

Boyce et al. [BOYC 88] ont proposé d’étendre (II-8) pour décrire l’adoucissement intrinsèque en

substituant à une variable interne qui varie de à 0s s 0s sss selon une loi d’évolution interne

84


1 P

ss

ss hs

γ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

&& . (II-10)

Dans l’expression (II-10), la contrainte athermique diminue au cours de la déformation plastique

jusqu’à la valeur

s

sss (valeur à saturation ou « steady state »), le terme h contrôlant la vitesse de

décroissance.

L’estimation des contraintes internes associées à la déformation des pelotes de chaînes et représentées par

est obtenu par analogie avec l’élasticité caoutchoutique [TREL 75]. A partir d’un motif de réseau qui

subit la déformation plastique imposée, nous déterminons les directions principales et les étirements

associés . En appliquant au motif initial à trois chaînes ou à huit chaînes, nous pouvons estimer les

contraintes associées [TREL 75, BOYC 88]

bpeα

αλ αλ

( ) ( )

3 1

28 1

, ,

1 ,3

1 ,3

p p

ch R

ch R

c

b b b

b C NN

b C NN

α α α α α αα

αα α

α αα

λ

λλ

λ λλ

− −

− −

= ⊗ =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

L

L

b e e

(II-11)

αλ étant les valeurs propres du tenseur de déformation, le nombre de segments rigides entre points

d’enchevêtrements, étant

N

cλ3

2

1

13c α

αλ

== 2λ∑ . La fonction de Langevin est 1( ) coth( )x x

x=L − . Le

paramètre correspond à un « module caoutchoutique » à ajuster. Lorsque la limite d’étirement RC

max Nλ = est atteinte, le réseau est bloqué, et toute possibilité d’écoulement plastique est épuisée (partie

terminale de la courbe contrainte-déformation). Nous supposons qu’aucune cristallisation ne se produit

sous l’effet des grandes déformations.

Ce modèle est approché de façon satisfaisante par une combinaison linéaire des modèles à trois et huit

chaînes. Son expression a été généralisée par Wu et Van der Giessen [WU 93] selon

, (II-12) 3(1 )n ch ch chb bα αρ ρ− −= − + 8bα−

pour un motif à n chaînes avec 1 2 30.85max( , , ) Nρ λ λ λ= .

85


A la suite de travaux relatifs à l’influence de la température sur la biréfringence du PMMA, Bowden et

Raha [BOWD 72] ont mis en évidence une dépendance de la densité d’enchevêtrements avec la

température qui peut être décrite par

(( ) exp ,an T B D E RT= − − ) (II-13)

où est l’énergie de dissociation, aE R la constante des gaz parfaits et où B et sont des paramètres

matériau. Cette observation a été reprise par Arruda et al. [ARRU 95] pour rendre compte de la

dépendance en température de la densité d’enchevêtrements. En considérant qu’une chaîne est

statistiquement définie par un ensemble de segments rigides liés par n points d’enchevêtrements, le

produit n doit demeurer constant afin de conserver la masse. D’après(II-13), une augmentation de la

température entraîne une diminution de la densité d’enchevêtrements et ainsi le nombre de segments

rigides N entre deux points d’enchevêtrements augmente. L’étirabilité des chaînes

D

N

N×

n

max Nλ = se trouve

augmentée ce qui diminue l’effet des contraintes internes b à déformation donnée. Dans ce cas, la phase

de durcissement apparaît lors de déformation plus grande. Les paramètres du matériau B et sont

estimés en supposant que la contrainte s’annule à

D

b gT et ( )exp a gB D E RT= − .

2.2. Essais de compression

Pour identifier les paramètres de la loi de comportement des polymères amorphes présentée dans le

paragraphe précédent, nous menons des essais de compression uniaxiale à différentes vitesses de

sollicitation à température ambiante. Cet essai est préféré à celui de traction uniaxiale pour lequel des

craquelures apparaissent avant qu’une déformation plastique notable n’apparaîsse, au moins pour des

températures inférieures à . 50KgT −

2.2.1. Dispositif expérimental Lors d’un essai de compression uniaxiale, deux phénomènes peuvent se produire [BOWD 73, GSEL 82] :

la déformation en forme de tonneau (cf. Figure II- 10 a) et la déformation par flambage (cf. Figure II- 10

b). Ces deux phénomènes sont dus à des problèmes de dimensions de l’éprouvette (b) et de frottement au

niveau des plateaux (a).

86


(a) (b)

Figure II- 10 Déformation en compression uniaxiale : (a) forme de tonneau, (b) flambage.

Le flambage des éprouvettes a été analysé par Euler [TIMO 61] et apparaît si le rapport

est trop grand. Pour des éprouvettes cylindriques de 10 mm de hauteur, un diamètre

de 8 mm a été choisi afin de prévenir un tel flambage, en accord avec le rapport hauteur/diamètre

préconisé par [GSEL 82]. Par ailleurs le rôle des faces de contact lors d’un essai de compression est

important : le déplacement latéral des extrémités de l'éprouvette peut être gêné par le frottement entre

l’échantillon et les plateaux de compression. De ce fait, les extrémités de l'éprouvette en compression ont

tendance à garder leur diamètre initial alors que la section centrale augmente sous l’effet du coefficient de

Poisson et de la déformation plastique en donnant à l'éprouvette une forme de « tonneau ». Afin de

réduire les effets de frottement, de la poudre de nitrure de bore (BN) a été appliquée sur les faces de

l'échantillon en contact avec les plateaux avant l’essai pour faciliter un mouvement latéral du matériau et

réduire l'effet de "tonneau" qui conduit à un état de contrainte inhomogène. Toutefois, cet effet est

toujours présent aux fortes déformations (de l’ordre de 60%).

(hauteur/section )

Les essais de compression uniaxiale sont réalisés sur une machine de traction/compression INSTRON.

Une cellule de est utilisée pour mesurer la force appliquée. L’utilisation d’un capteur de

déplacement LVDT (cf. Figure II- 11) nous permet de mesurer directement le déplacement de

l’éprouvette au cours de l’essai. La commande hydraulique du vérin de translation autorise une vitesse de

déplacement du plateau inférieur comprises entre et , soit, pour un échantillon

de 10 mm de hauteur, une vitesse de déformation initiale comprise entre et . Tous les

échantillons ont subi une compression de 6.5 mm d’amplitude (soit environ 100% de déformation).

50kN

36 10 mm/mn−× 60mm/mn

0ε& -5 -110 s -1 -110 s

Figure II-

Plateau supérieur de compression

A partir de l’enregistremen

Echantillon

11 Dispositif expérimental des essais de compression uniaxiale.

Capteur de déplacement

t du déplacement , la déformation axiale vraie est ( )u t ( )tε

87


( ) 0

0 0

( ) ( )ln lnu t L L ttL L

ε⎛ ⎞ ⎛− += =⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

, (II-14)

où la hauteur initiale de l’échantillon et sa hauteur à l’instant t au cours de l’essai. En faisant

l’hypothèse raisonnable de déformation (majoritairement plastique) à volume constant, la contrainte axiale

de Cauchy est calculée à partir de la force .

0L ( )L t

σ ( )F t

( ) (00 0 0

( ) ( )( ) ( ) exp ( )F t F tt L u tS L S

σ = − = )tε . (II-15)

Il est à noter que nous travaillons à vitesse de traverse constante et que par conséquent, la vitesse de

déformation de l’échantillon augmente au cours de l’essai de compression.

A partir de la déformation (II-14), nous obtenons

(00

0

( ) ( )( ) . .exp ( )( ) ( )

LL t L ttL t L L t

ε ε= = = −& &

& & )tε

&

, (II-16)

qui indique l’augmentation de la vitesse de déformation imposée au cours de l’essai ( ). Par

exemple, pour une vitesse de traverse constante, lorsque la déformation finale de 100% est atteinte, la

vitesse de déformation plastique a augmenté d’un facteur presque égal à trois par rapport à la

vitesse de déformation initiale . Les cinq vitesses de déplacement sont cependant distinctes d’un facteur

10 les unes vis à vis des autres ce qui nous permet de considérer que chaque essai est représentatif de la

gamme imposée par les conditions initiales. Cet effet sera pris en compte lors de la calibration des

paramètres.

( ) 0tε− >

0.eε ε=&

0ε&

2.2.2. Courbes contrainte-déformation A partir de l’enregistrement du déplacement de la traverse et de la mesure de la force au cours de l’essai,

les expressions de la déformation axiale (II-14) et de la contrainte axiale (II-15) nous

permettent d’obtenir les réponses mécaniques des matériaux (Figure II- 12 et Figure II- 13). La

reproductibilité de trois essais pour chaque condition est satisfaisante. Pour une déformation de l'ordre de

7 à 9% pour le PMMA et 6 à 7% pour le PC, la contrainte au seuil d’écoulement plastique est atteinte.

Au-delà de ce seuil, l’adoucissement a lieu jusqu’à environ 30 % de déformation. Pour une déformation

supérieure, on observe un durcissement progressif de la courbe contrainte – déformation. Les essais à

différentes vitesses de déformation révèlent la nature viscoplastique des polymères amorphes. Pour le

( )tε ( )tσ

Yσ

88


PMMA, le seuil d’écoulement plastique évolue de 92 MPa à 162 MPa lorsque la vitesse de

déformation varie de à . Pour les vitesses de déformation ,

nous observons bien sur la courbe contrainte-déformation un adoucissement suivi d’un durcissement. Par

contre pour , seul l’adoucissement est observé et le durcissement n’apparaît pas.

Yσ5 -110 s− 1 -110 s− 5 -1 4 -1 3 -1

0 10 s ,10 s et 10 sε − − −=&

2 -1 1 -10 10 s et 10 sε − −=&

Dans le cas du PC, nous observons l’adoucissement et le durcissement pour toutes les vitesses de

déformations étudiées, avec un seuil d’écoulement plastique voisin de 60 MPa - 70 MPa, notablement

inférieur à celui du PMMA.

Au cours de la déformation plastique, la puissance plastique instantanée :p =& pDD σ est convertie en

chaleur. Selon l’aptitude de celle-ci a diffuser au sein du matériau vers l’extérieur, la température va

demeurer constante ou augmenter localement. Une telle augmentation de la température peut être à

l’origine de la disparition du durcissement et nous examinerons cet effet au cours de la calibration que

nous allons présenter.

89


0

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure II- 12 Courbes contrainte -déformation du PMMA pour des essais de compression uniaxiale et des vitesses de déformation

allant de à à température ambiante. Pour chaque vitesse de déformation , trois essais sont reportés. 5 -110 s− 1 -110 s−0ε&

(MPa)σ (MPa)σ

5 -10( ) 10 sa ε −=& 4 -1

0( ) 10 sb ε −=&

ε ε

(MPa)σ (MPa)σ

3 -10( ) 10 sc ε −=& 2 -1

0( ) 10 sd ε −=&

ε ε

(MPa)σ (MPa)σ

5 -10 10 sε −=&

2 -10 10 sε −=&

4 -10 10 sε −=&

3 -10 10 sε −=&

1 -10 10 sε −=&

1 -10( ) 10 se ε −=&

ε ε

90


0

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure II- 13 Courbes contrainte-déformation du PC pour des essais de compression uniaxiale et des vitesses de déformation allant de à à température ambiante. Pour chaque vitesse de déformation , trois essais sont reportés. 5 -110 s− 1 -110 s−

0ε&

(MPa)σ(MPa)σ 4 -1

0( ) 10 sb ε −=&5 -10( ) 10 sa ε −=&

εε

(MPa)σ(MPa)σ

ε

3 -10( ) 10 sc ε −=& 2 -1

0( ) 10 sd ε −=&

ε

(MPa)σ

1 -10( ) 10 sc ε −=&

ε

91


2.2.3. Analyse thermomécanique

Conditions thermiques de l’essai

Au cours de la déformation d’un polymère amorphe, l’énergie produite par la déformation plastique peut

être dissipée sous forme de chaleur. Pour les vitesses que l’on considère, nous pouvons négliger les effets

thermo-élastiques (c’est à dire jusqu’à ). L'évolution au cours du temps de la température dans le

matériau est décrite par l’équation de la chaleur

Yσ

( ) pp

Tc div grad Tt

ρ κ∂ =∂

+uuuuur

&D (II-17)

où ρ est la masse volumique, la chaleur spécifique, la conductivité thermique, l’énergie

dissipée par déformation plastique, T la température. Les échanges de chaleur avec l’extérieur se font par

conduction vers les plateaux et par convection dans l’air. La dissipation plastique s’écrit généralement

pc κ p&D

:p η=&D σ pD , avec η le facteur de Taylor-Quinney qui peut varier de 0.5 à 1 au cours de la déformation

pour les polymères [RITT 99]. Le reste de la fraction étant retenu pour la distorsion élastique sous forme

d’énergie bloquée (présence de défauts, de dislocations pour les métaux etc …). Dans la formulation

adoptée ici et comme cela est détaillé dans Basu et Van der Giessen [BASU 02], il n’est pas nécessaire de

prendre en compte η car le terme des contraintes internes intervient dans la définition de b = −σ σ b

pour obtenir :p =&D σ pD , qui traduit déjà la fait qu’une part du terme :σ pD est bloquée. Ainsi une

fraction de l’énergie plastique reliée à la contrainte de rappel entropique est bloquée par le matériau

et n’est pas convertie en chaleur. Puisque la contrainte b dépend de la déformation, la dépendance du

paramètre

pbD

η avec la déformation est prise en compte à partir de la définition de σ .

Afin de mener une analyse thermomécanique simple, nous approximons le comportement du matériau

par un modèle élasto-plastique parfait. La puissance dissipée par déformation plastique qui peut être

convertie en chaleur est alors au plus

p&D

.pYτ pγ=& &D . (II-18)

Pour estimer si la chaleur générée par déformation plastique lors de l’essai a diffusé à travers le matériau

(condition isotherme) ou non (élévation locale de la température), il convient de comparer deux échelles

de temps :

92


1. celle associée à l’essai qui représente le temps caractéristique pour atteindre une déformation à

donné

essait totε

0ε&

0

totessait ε

ε=&

, (II-19)

2. Le temps de diffusion de la chaleur qui représente le temps caractéristique pour que la chaleur

diffuse le long d’une dimension caractéristique de l’éprouvette

chaleurt

0L

20 ,chaleur

Ltα

≈ (II-20)

où pcα κ ρ= est la diffusivité thermique (cf. paragraphe 1.3)

La comparaison de ces échelles de temps caractéristiques du chargement et des effets de température nous

renseigne sur la nature isotherme ou adiabatique de l’essai. Si , alors la chaleur générée par la

déformation plastique diffuse rapidement vers l’extérieur et la température demeurera approximativement

constante. Il s’agit alors de conditions isothermes. Par contre, si , le temps nécessaire à la

chaleur pour diffuser vers l’extérieur est beaucoup plus grand que celui associé à l’essai. Dans ce cas, nous

nous trouvons dans des conditions d’essais thermomécaniques couplés, voire adiabatiques.

chaleur essait t<<

chaleur essait t>>

Pour estimer si les effets de température doivent être pris en compte lors des essais, nous définissons

pour une déformation caractéristique de 100 %, atteinte à la vitesse de déformation . Pour

estimer , nous choisissons le rayon de l’échantillon comme longueur caractéristique le long de

laquelle la chaleur doit diffuser. Ainsi les valeurs de

essait

totε 0ε&

chaleurt 0L

essai chaleurt tχ = sont reportées en Tableau II- 4.

Nous observons que ce paramètre varie entre 746 et 0.07 pour le PMMA et 952 et 0.09 pour le PC pour

des vitesses de déformations variant de à . Ceci suggère que les deux régimes limites

(isotherme et adiabatique) sont atteints lors des essais de compression pour et

respectivement.

5 -110 s− 1 -110 s−

5 -10 10 sε −=& 1 -1

0 10 sε −=&

χ -10 (s )ε&

PMMA PC Conditions thermiques de l’essai

10-5 746 952 Isotherme 10-4 74 95 Isotherme 10-3 7 9 Isotherme 10-2 0.74 0.95 Couplé Adiabatique/Isotherme 10-1 0.07 0.09 Adiabatique

Tableau II- 4 Conditions thermique des essais de compression du PMMA et du PC en fonction de la vitesse de déformation.

93


Estimation de l’accroissement de température

Dans le cas où l’hypothèse adiabatique est vraisemblable , nous estimons l’augmentation de

température associée à la dissipation plastique pour une vitesse de déformation de

et . L’équation de la chaleur (II-17) se réduit alors à

( 1χ )

)1 110 s− − 2 110 s− − ( 1χ ≈

1p pp p

p

Tc c T dt Tt c

pyρ ρ τ γ

ρ∂ = ⇔ ∆ = ⇒ ∆ =∂ ∫& &D D (II-21)

où pγ est la déformation plastique équivalente de cisaillement ( 3 3p ptotγ ε ε= ≈ ). Pour les vitesses de

déformations de l’ordre de à , l’augmentation de température maximum est reportée sur

le Tableau II- 5, et dépend de la valeur de utilisée. Dans le cas du PMMA, l’augmentation de

température conduirait à une température au sein de l’éprouvette proche de la température de transition

vitreuse. Dans le cas du PC, la température atteinte à la fin de l’essai demeure inférieure à

2 110 s− − 1 110 s− −

yτ

gT de 80 K.

Pour le PMMA sollicité à , l’augmentation de température conduit à des valeurs proches de 1 -10 10 sε −=&

gT . Dans ce cas, l’adoucissement peut être plus important que celui prédit par la loi d’évolution interne

(II-10) qu’il conviendrait de modifier pour pouvoir rendre compte d’un tel effet de température. Nous

pouvons parler alors d’adoucissement thermique car assisté par l’élévation de température. Nous n’avons

pas tenu compte de cet effet dans la description mais ce point sera exploré dans un travail futur.

10 ( )sε −& ( )T K PMMA∆ ( )T K PC∆

210− 85 51 110− 98 53

Tableau II- 5 Augmentation de température dans le PMMA et PC lors des essais de compression à grandes vitesses.

Pour les situations où 1χ ≈ , avec la vitesse de déformation , nous observons que l’effet de la

température retarde le durcissement en déformation, conformément à l’évolution du tenseur des

contraintes internes b (II-11) et

2 -10 10 sε −=&

( ) ( )N T cste n T= qui augmente lorsque T augmente.

Ainsi, une analyse adiabatique sera nécessaire pour , voire pour alors que

l’hypothèse isotherme apparaît raisonnable pour .

1 -10 10 sε −=& 2 -1

0 10 sε −=&

5 -1 4 -1 3 -10 10 s , 10 s et 10 sε − − −=&

94


2.3. Identification des paramètres de la loi de comportement

Dans cette partie, nous nous intéressons à l’identification des paramètres du modèle de [BOYC 88] et

modifié par [WU 93, 96] décrivant la loi de comportement des polymères amorphes (cf. paragraphe 2.1).

Dans un premier temps, nous présenterons l’ensemble des paramètres à identifier ainsi que les méthodes

adoptées pour permettre cette identification. Ensuite les faisceaux de courbes contraintes - déformations

simulées seront présentés et comparés aux courbes expérimentales. Les paramètres à déterminer sont

regroupés sur le Tableau II- 6. Nous distinguons deux groupes: les paramètres du premier groupe sont

estimés directement à partir des essais de compression et des mesures aux ultrasons et quatre autres sont

ajustés pour la représentation de l’adoucissement et du durcissement. Le paramètre représentant la

sensibilité de la contrainte d’écoulement plastique avec la pression hydrostatique est estimé à partir des

résultats relevés dans la littérature.

α

Elastique sécantE , ν Paramètres mesurés

Viscoplastique 0s , , A 0γ& et (*)αAdoucissement sss et h

Paramètres ajustés Durcissement RC et N

Tableau II- 6 Paramètres du modèle de [BOYC 88] et [Wu 93, 96] à identifier. Paramètre emprunté de la

littérature.

(*)

2.3.1. Paramètres accessibles expérimentalement Le coefficient de Poisson ν et le module élastique de cisaillement sont déterminés à partir des mesures

de propagations d’ondes ultrasonores longitudinales et transversales dans les plaques de PMMA et de PC

à température ambiante. La contrainte athermique est alors calculée à partir de (II-9). Le tableau

suivant regroupe les résultats obtenus pour les deux matériaux

G

0s

Matériau (GPa)G ν 0 (MPa)s

PMMA 2 0.32 216 PC 0.9 0.39 88

Tableau II- 7 Coefficient de Poissonν , module de cisaillement G et contrainte 0s du PMMA et du PC.

Le module sécant sécantE qui rend compte de la viscoélasticité du matériau est estimé à partir du rapport

moyen sécant Y YE σ ε= , et étant la contrainte et la déformation à la limite d’écoulement plastique. Yσ Yε

Au cours de l’essai et lorsque la limite d’écoulement plastique est atteinte, (avant l’adoucissement), les

contraintes appliquées sont relaxées plastiquement et Pγ γ≡& & pour . Pour chaque valeur de vitesse

de déformation imposée , le taux de déformation plastique en cisaillement

Yτ τ≡

0ε& Pγ& est déduit de 3PYγ ε=& &

95


avec la vitesse de déformation au seuil d’écoulement plastique. Pour chaque vitesse de

déformation, nous relevons la contrainte d’écoulement plastique et la contrainte de cisaillement

(0 expYε ε ε= −& & )Y

Yσ

3Y Yτ σ= ainsi que la pression hydrostatique3

Yp σ= . Nous disposons alors de cinq points vérifiant

l’expression de la déformation viscoplastique (II-8). De manière analogue à Boyce et Arruda [ARRU 95],

nous traçons 5/ 6

0

ln fP

s pτγα

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜= ⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠⎝ ⎠

& ⎟⎟

dont la pente est 0(A s pBT

α+= ) et l’ordonnée à l’origine

.0 0( )ln A s pC

Tαγ += − . Le tracé pour le PMMA et le PC est représenté en Figure II- 14, dont l’évolution

est proche de celui d’une droite et permet de déterminer les coefficients B et C . Les paramètres et A 0γ&

sont déduits de

0

CTAs pα

=+

et 0 exp( )B Cγ = +& . (II-22)

La pression hydrostatique dépend de la vitesse de déformation car à donnée. Pour

calculer , nous estimons la quantité ( pour chaque vitesse de déformation et nous utilisons une

moyenne de cette quantité.

( )yσp ε≡ &

)

T

A 0s pα+

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0.2

Figure II- 14 E

ln pγ&

y = 48.316x - 25.246R2 = 0.9841

y = 143.73x - 81.701R2 = 0.99

0.3 0.4 0.5 0.6

PMMAPC

volution de ln Pγ& en fonction de ( 5/ 60 )s pτ α+ au seuil d’écoulement plastiq

vitesses de déformation de à , pour le PMMA et le PC. 0ε& -5 -110 s -1 -110 s

( )5/ 6( )s pτ α+

96

0.7 ue pour les cinq

0


2.3.2. Paramètres ajustés Nous simulons un essai de compression uni axiale uniforme (cf.Figure II- 15) avec les conditions aux

limites

(II-23)

2

10

2

( ) , 0

( ), ( ) 0

( ) 0

h

a u V V

b d T dt

c u

= − >

=

=

∫

&

&

&

où est la vitesse de déplacement imposée sur la face supérieure de l’éprouvette, correspondant à la

vitesse de déformation

V

( )0( ) ( ) exp ( )t V L t tε ε= − = −& & ε .

(a)

(d) (b)

(c)

2

D/2

L/2

Figure II- 15 Schéma de la géométrie simulée.

L’estimation de sécantE , , et 0s A 0γ& permet de prédire correctement l’évolution du seuil d’écoulement

plastique avec la vitesse de déformation. Les paramètres et h sss (II-10) contrôlent l’adoucissement et les

paramètres et contrôlent le durcissement sont ajustés à partir des courbes simulées de la Figure II-

16 a,b et c pour le PMMA et la Figure II- 17a, b et c pour le PC. Dans le cas d’essais pour lesquels

l’hypothèse isotherme est raisonnable, nous disposons de suffisamment de données expérimentales pour

ajuster ,

N RC

h sss , et . Pour des vitesses de sollicitations plus grandes ( et ) et notamment

pour le PMMA, nous présentons les prédictions du calcul dans le cadre d’une hypothèse adiabatique avec

l’identification des paramètres effectuée pour les essais isothermes. Les paramètres suivants

( ) pour le PMMA et ( ) pour

le PC permettent de rendre compte de la courbe contrainte - déformation des deux matériaux lorsque les

conditions de chargement isothermes ( ) sont vérifiées. Pour des vitesses de chargement plus

grandes, le seuil d’écoulement plastique est prédit correctement pour les deux matériaux.

N RC 2 -110 s− 1 -110 s−

900MPa, 18MPa et 3.3Rh C N= = = =450 MPa, 17 MPa et 3Rh C N= =

3 -110 sε −≤&

97


Pour le PMMA, l’adoucissement prédit dans le cadre de l’hypothèse isotherme est proche des mesures

expérimentales à (cf. Figure II- 16 d) mais le durcissement s’en écarte. Pour ,

l’adoucissement prédit est supérieur à la valeur de contrainte relevée expérimentalement même dans

l’hypothèse adiabatique. La simulation menée ici ne tient p as compte des effets de température sur la

contrainte athermique

2 -10 10 sε −=& 1 -1

0 10 sε −=&

sss (II-10). Pour ces vitesses de chargement, la loi d’évolution interne

(1 ) p

ss

ss hs

γ= − && pourra également être dépendante de la température. Le seuil d’écoulement plastique

étant bien décrit par(II-8), il semble que la paramètre sss pourrait dépendre de la température de manière

à autoriser un adoucissement plus important lorsque les effets de température deviennent importants. Cet

effet n’est pas pris en compte et dans l’étude de la rupture à suivre, nous ne présageons pas d’une

déformation plastique notable du PMMA à grande vitesse. Le seuil d’écoulement plastique étant

correctement prédit dans tous les cas et pour les chargements les plus rapides, une prédiction correcte

jusqu’à environ 20% de déformation est satisfaisante, les courbes isothermes étant bien reproduites. Pour

le PC, les courbes isothermes sont également bien reproduites et aux vitesses de déformation de

et , le comportement prédit est modérément sensible aux effets de température. Nous

avons rassemblé l’ensemble des paramètres identifiés dans le Tableau II- 8 ci-dessous. Nous notons que

2 -110 sε −=& 1 -110 s−

PC PMA A>> MA traduit une sensibilité à la température du PC moindre vis à vis de celle du PMMA. Etant

donné que le seuil de plasticité du PC est inférieur à celui du PMMA, nous obtenons 0 0PC PMMAγ γ& & et

0 0PMMA PCs s qui traduit bien une plus grande aptitude à la déformation plastique du PC par rapport au

PMMA.

Zone Paramètres PMMA PC

sécantE (MPa) 2200 1300 Elastique ν 0.32 0.39

0s (MPa) 216 88 α 0.1 0.08

A (K/MPa) 64 473 Viscoplasticité

0 -1(s )γ& 1.04 ×1010 8.68 ×1026

sss (MPa) 190 68 Adoucissement

h (MPa) 900 450 RC (MPa) 18 17

Durcissement N 3.3 3

Tableau II- 8 Récapitulatif des paramètres identifiés du modèle pour le PMMA et le PC.

98


0

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

courbes expérimentales

courbe simulée

5 -10( ) 10 sa ε −=&

ε

(MPa)σ

0

50

100

150

200

0 0.2

(MPa)σ

4 -10( ) 10 sb ε −=&

Figure II- 16 Courbes contrainte-déformation expérimentales et simulées obten

pour le PMMA.

0

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


courbe simulée

ε

(MPa)σ3 -1

0( ) 10 sc ε −=&

0

50

100

150

200

0 0.2

(MPa)σ

(MPa)σ

0

50

100

150

200

0 0.20

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ε

(MPa)σ

Expérimentales Adiabatique

Isotherme

1 -10( ) 10 se ε −=&

99

0.4 0.6 0.8 1


courbe simulée

ε

Isotherme

u

2 -10( ) 10 sd ε −=&

Expérimentales Adiabatique

0.4 0.6 0.8 1

ε

courbe simulée adiabatique

courbe simulée isotherme

es pour chaque vitesse de déformat

0.4 0.6 0.8

ε

ion

1


Figure II- 17 Courbes contrainte-déformation expérimentales et simulées obtpour le PC.

0

50

100

150

200

0 0.2

5 -10( ) 10 sa ε −=&

(MPa)σ

ε

4 -10( ) 10 sb ε −=&

(MPa)σ

ε

3 -10( ) 10 sc ε −=&

(MPa)σ

ε

2 -10( ) 10 sd ε −=&

(MPa)σ

0

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


courbe simulée

0

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

courbes expérimentale

courbe simulée

0

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


courbe simulée

0

50

100

150

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ε

(MPa)σ1 -1

0( ) 10 se ε −=&

s

0

50

100

150

200

0 0.2

(MPa)σ

3. Conclusion Dans ce chapitre, la caractérisation des deux polymères (PMMA

réalisée. Dans un premier temps, les mesures de quelques propriété

les températures de transition principale et secondaire et la diffusi

résulte que les deux matériaux utilisés sont dans la gamme des

comportement mécanique en grandes déformations de ces deux ma

de compression uniaxiale. L’objectif est d’identifier les paramètre

100

Isotherme

(f)

enues pour chaque vitesse

0.4 0.6

s

0.4 0.6

courbe simulécourbe simulé

et PC) massifs sans

s physiques tel que la

vité thermique sont ef

polymères standard

tériaux est analysé au

s intervenant dans la

Adiabatique

Expérimentale

de déforma

0.8

ε

0.8

e isothermee adiabatique

craquelur

masse mo

fectuées.

industriel

moyen d’e

descriptio

1

Isotherme

Adiabatique
Expérimentale
ε

tion

1

e est

laire,

Il en

s. Le

ssais

n du


comportement élasto-visco-plastique du matériau massif et sans craquelures. A partir de cette

identification, nous pouvons prédire le comportement plastique du matériau et nous pouvons maintenant

envisager l’analyse expérimentale du craquelage dans le chapitre suivant.

101


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CH II Matériaux sans craquelures - INSA de Lyoncsidoc.insa-lyon.fr/these/2005/saad_gouider/07_chapitre_2.pdf · Ce pendule travaille en oscillations forcées dans le domaine de basses

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