微分方程式・偏微分方程式 田浦健次朗 電子情報工学科 東京大学 1 / 24
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微分方程式・偏微分方程式
田浦健次朗電子情報工学科
東京大学
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Contents
1 常微分方程式
2 偏微分方程式
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Contents
1 常微分方程式
2 偏微分方程式
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(1階, 1変数, 常)微分方程式を解く
dy
dx= f(x, y),
y(a) = c
y : 未知の, xの関数 (y(x))a, c : 与えられた定数 (初期値)f : 与えられた関数
解釈:
ある xにおける yの値がわかれば右辺が計算できる→ その時点での dy
dx がわかる→ 少し異なる xに対する y (つまり y(x+ h))がわかる
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(1階, 1変数, 常)微分方程式を解く
dy
dx= f(x, y),
y(a) = c
y : 未知の, xの関数 (y(x))a, c : 与えられた定数 (初期値)f : 与えられた関数
解釈:
ある xにおける yの値がわかれば右辺が計算できる→ その時点での dy
dx がわかる→ 少し異なる xに対する y (つまり y(x+ h))がわかる
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離散化
数式で書けば: hを十分小さく取れば，
y(x+ h)− y(x)
h≈ f(x, y(x)) (1)
∴ y(x+ h) ≈ y(x) + f(x, y(x))h
y(a) → y(a+ h) → y(a+ 2h) → · · ·
キーは式 (1)で，元の微分方程式の「離散化」という
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プログラム化
y(x+ h) ≈ y(x) + f(x, y(x))h
プログラムにすると,�1 x = a
2 y = c
3 h = (b - a) / n_steps
4 for i in range(n_steps):
5 y = y + f(x, y) * h
6 x = x + h
誤差の積もりにくい計算の仕方 (離散化の方法)とかありますが，基本はこれだけです!
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よくある状況: xが時刻でyが位置
時刻は t, 位置は uで表すことにする微分方程式 : 時刻と位置 → 速度
du
dt= f(t, u)
離散化 : ある時刻における位置 → 一瞬後の位置
u(t+∆t) ≈ u(t)+f(t, u)∆t
�1 t = a
2 u = c
3 dt = (b - a) / n_steps
4 for i in range(n_steps):
5 # 位置+速度×微小時間6 u = u + f(t, u) * dt
7 t = t + dt
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2階だったら?
力学の多くの微分方程式 (ma = F )は,
加速度 = f(時刻,位置,速度)
x = f(t, x, x)
これのプログラムは�1 t = a
2 u = .. # 初期位置3 v = .. # 初速度4 dt = (b - a) / n_steps
5 for i in range(n_steps):
6 u = u + v * dt
7 v = v + f(t, u, v) * dt
8 t = t + dt
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Contents
1 常微分方程式
2 偏微分方程式
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まだできないこと
これでシミュレートできるのはせいぜい数個の質点 (または数個のパラメータ (e.g., 角度)だけで決まる系)の動き物理の多くの問題で求めたいものは，「時刻」と「場所」の関数 (「場」)
電場，磁場，重力場，鉄板表面の温度，速度の分布，圧力の分布，力の分布，電子の波動関数 (存在確率), . . .記号で書けば（u(t)ではなく），u(x, y, z, t)
別の言い方をすると，時間の関数が無数に (x, y, zごとに)ある
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場を記述する方程式
「時間 (t)」と「場所 (x, y, z)」の関数 u(x, y, z, t)の方程式
または定常状態を求める問題では場所だけの関数u(x, y, z)のこともある
式としては ∂u∂t, ∂u
∂x, ∂u
∂y, などが入り乱れた式 (偏微分方
程式)になる
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物理で目にする例
熱伝導: u(x, y, z, t) = 場所 (x, y, z), 時刻 tにおける温度
c∂u
∂t= λ
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2
)右辺の (· · · )の部分は他の方程式でも何故か非常によく現れるので，特別な記号 (∆または∇2)が用意されている．
∆u ≡ ∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2
これを使えば，
c∂u
∂t= ∆u
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物理で目にする例
マックスウェルの方程式 (真空中)
∇ ·B = 0
∇× E = −∂B∂t
∇ · E =1
ερ
∇×B = µj + µεE
注: B, Eはベクトル場
∇ · u ≡ ∂ux∂x
+∂uy∂y
+∂uz∂z
∇× u ≡ . . .教科書を見ま笑 . . .
(一粒子の)シュレディンガーの方程式
iℏ∂ψ
∂t=
(−ℏ2
2m∇2 + V
)ψ
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物理で目にする例
流体の速度場の方程式 (ナビエストークス)
∂u
∂t+ (u · ∇)u = −1
ρ∇p+ ν∇2u+ F
波動方程式 (音とか光とか)
1
s2∂2u
∂t2= ∆u
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コワイ??
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しかし恐れる必要はない
根本的な考えは同じ; (常)微分方程式がたくさん並んでいるだけと思えば良い例えば 1次元の場 u(x, t)の方程式が，
∂u
∂t= . . .
と書けているならこれを用いて,
u(0, t)u(0.1, t)u(0.2, t)u(0.3, t)u(0.4, t)
...
→
u(0, t+∆t)u(0.1, t+∆t)u(0.2, t+∆t)u(0.3, t+∆t)u(0.4, t+∆t)
...
→
u(0, t+ 2∆t)u(0.1, t+ 2∆t)u(0.2, t+ 2∆t)u(0.3, t+ 2∆t)u(0.4, t+ 2∆t)
...
→ · · ·
という計算をしていくだけ (リストや配列が必須かつ有用) 16 / 24
ともかく例を見る
簡単のため 1次元空間の例題 (xは単なる実数):∂u
∂t= 3
∂u
∂x(0 < x < 1),
u(0, t) = 0u(1, t) = 0u(x, 0) = f(x)
uは「場所 (x)」と「時刻 (t)」の関数1次元 (xが単なる実数)だから視覚的には，弦が時間につれどう変化していくかを求める問題
x
t = 0
x
t = T
x
t = ∆t
· · ·
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離散化
微分方程式:∂u
∂t= 3
∂u
∂x
離散化:
u(x, t+∆t)− u(x, t)
∆t≈ 3
∂u(x+∆x, t)− u(x, t)
∆x
∴ u(x, t+∆t) ≈ u(x, t) + (u(x+∆x, t)− u(x, t))3∆t
∆x
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離散化
∴ u(x, t+∆t) ≈ u(x, t) + (u(x+∆x, t)− u(x, t))3∆t
∆x
x
∆x
ある時点における自分と，右隣 (+∆x)の人の値がわかれば，自分の一瞬 (+∆t)後の値がわかる
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プログラム化
用意する変数: 先の●たちを格納した一次元の配列 u
uの要素数を nとする
xa b
u[0] u[n-1]
これを踏まえ，更新式
u(x, t+∆t) = u(x, t) + (u(x+∆x, t)− u(x, t))3∆t
∆x
に相当する Pythonのプログラムは?20 / 24
プログラム化
u(x, t+∆t) = u(x, t) + (u(x+∆x, t)− u(x, t))3∆t
∆x
�1 for i in range(1, n-1):
2 u[i] = u[i] + (u[i+1] - u[i]) * (3*dt/dx)
ポイント: 端の点 (u[0], u[n-1]) はこの式では更新しない．何故か?
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端の点の扱い
一般に端の点の扱いはよく考えて慎重に．いい加減にやるとおかしな結果になるまずプログラム上も，右端の点 (u[n-1])を更新しようとすると困ったことになる�
1 u[n-1] = u[n-1] + (u[n] - u[n-1]) * (3*dt/dx)
uは n要素．u[n]などという要素はないただしそれが u[n-1] を更新しない理由ではない微分方程式に立ち返る
∂u
∂t= 3
∂u
∂x(0<x<1) (2)
そもそも式 (2)は，端点において成り立つとは言われていない (0 < x < 1でしか成り立たない式を x = 0, 1に適用するのは，純粋に間違い)
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端の点の扱い
端の点は，別途与えられた条件で求める本問題の場合，u(0, t) = u(1, t) = 0だったよって，�
1 for i in range(1, n-1):
2 u[i] = u[i] + (u[i+1] - u[i]) * (3*dt/dx)
3 u[0] = u[n-1] = 0
が与えられた条件に忠実な，正しい更新式本問においては, u[0], u[n-1]は常に 0なのだから，実は毎回更新する必要もない�
1 for i in range(1, n-1):
2 u[i] += (u[i+1] - u[i]) * (3*dt/dx)
(注: A += Bは，A = A + Bと同じ意味)23 / 24
numpyの配列機能を使ってスッキリと
for文を使った更新式:�1 for i in range(1, n-1):
2 u[i] += (u[i+1] - u[i]) * (3*dt/dx)
同じことは numpyの配列に対する+, * などを使ってより簡潔に書ける�
1 u[1:n-1] += (u[2:n] - u[1:n-1]) * (3*dt/dx)
簡潔なだけでなく，圧倒的に (> 100倍)速い10000要素の更新に必要な時間
for文: 2× 10−2秒程度配列で: 8× 10−5秒程度
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