Proieciile cilindrice
Proieciile cilindrice se numesc astfel dup suprafaa auxiliar a
cilindrului, care este utilizat drept plan de proiecie i pot fi
considerate ca un caz particular al proieciilor conice i anume cnd
conul este considerat tangent la ecuator, iar vrful conului se
gsete la infinit. Reeaua de meridiane i paralele de pe sfera
pmnteasc se presupune proiectat mai nti pe suprafaa cilindrului
(fig. 6.1), care apoi se taie dup una din generatoarele sale i ca
atare se poate desfura n plan.
n cazul proieciilor cilindrice drepte, reeaua cartografic obinut
se prezint n principiu astfel: meridianele apar ca linii drepte
paralele, iar paralelele, de asemenea, ca linii drepte paralele,
perpendiculare pe liniile ce reprezint meridianele.
Dup modul n care suprafaa cilindrului atinge sfera terestr
proieciile cilindrice pot fi tangente (linia de tangen este un cerc
mare) sau secante (suprafaa sferei este ntretiat dup dou cercuri
mici).
Proieciile cilindrice se pot clasifica dup poziia axei
cilindrului n raport cu axa polilor, n:
proiecii normale sau drepte; proiecii oblice.Proieciile
cilindrice normale sunt acelea n care axa cilindrului coincide cu
axa polilor (vezi 4.2).
Proieciile cilindrice ecuatoriale sau transversale (fig. 4.3),
sunt proieciile n care axa cilindrului este perpendicular pe axa
polilor, deci se confund cu un diametru al ecuatorului.
n proieciile cilindrice oblice, unghiul format de axa
cilindrului i axa polilor variaz ntre 00 i 900 (fig. 4.4).
Cnd cilindrul este tangent la sfer, repartizarea deformrilor se
produce astfel (fig. 6.2.a): de-a lungul cercului mare dup care se
face tangena se afl linia de deformri nule, n raport cu care, de o
parte i de alta, deformrile se produc n sens pozitiv, adic scrile
sunt mai mari dect unitatea.
Dac cilindrul este secant, se obin dou linii de deformri nule,
care corespund cu cercurile mici, dup care s-a fcut intersecia
sferei cu cilindrul (fig. 6.2.b). n interiorul acestor linii de
deformri nule, deformrile se produc n sens negativ (scrile sunt mai
mici dect unitatea), iar n exteriorul lor, n sens pozitiv (scrile
sunt mai mari dect unitatea).
Proieciile cilindrice tangente sunt indicate s se foloseasc
astfel: proieciile cilindrice drepte (normale) pentru regiuni
situate pe ecuator; proieciile cilindrice transversale sau
ecuatoriale pentru regiuni alungite n sensul meridianelor i
proieciile oblice, pentru regiuni care sunt alungite n sensul unui
cerc mare, care s nu fie nici meridianul i nici ecuatorul.
n cazul regiunilor dispuse n sensul paralelelor, cilindrul se
consider secant la paralela central a regiunii de cartografiat.
O clasificare a proieciilor cilindrice se mai poate face i din
punctul de vedere al deformrilor, dup cum urmeaz: arbitrare
(echidistante pe o anumit direcie), conforme i echivalente.
Dintre proieciile cilindrice, cele mai folosite sunt proieciile
normale. n cazul acestor proiecii, direciile principale vor
coincide cu direciile meridianelor i paralelelor.
6.1. Proiecia cilindric ptratic
A fost construit prima dat de prinul Henric Navigatorul n anul
1438. Cilindrul se consider tangent la sfera terestr dup ecuator,
deci este oproiecie cilindric dreapt (normal). n aceast proiecie
meridianele i paralelele se reprezint prin linii drepte
perpendiculare ntre ele i echidistante n funcie de densitatea
stabilit, astfel c rezult o reea de ptrate, de unde vine i numele
proieciei. Laturile unui ptrat reprezint arcele de paralele i
meridiane, considerate ntinse.
Construcia reelei cartografice n proiecia cilindric ptratic se
poate realiza fie prin calcul fie grafic.
n primul caz se calculeaz distanele dintre meridiane i paralele.
Referindu-ne la figura 6.3, rezult:
;
,
(6.1)n care:
R raza globului;
( diferena de longitudine dintre dou meridiane consecutive;
( latitudinea paralelei care se proiecteaz (( i ( exprimate n
radiani).Considernd c densitatea reelei cartografice este de 150 i
R=1, rezult:
(6.2)
Distana y1 dintre ecuator i paralela 150 va fi:
(6.3)
Avnd n vedere c reeaua cartografic este o reea de ptrate, nu mai
este necesar s se calculeze y2, y3 etc., ci cu valorile lui y1 i x1
se va construi un numr de ptrate corespunztor densitii propuse. De
exemplu, pentru o densitate a reelei de 150 se vor construi 12
ptrate pe vertical i 24 de ptrate pe orizontal.
Valorile lui x i y au fost calculate pentru . Cnd se construiete
reeaua la o anumit scar, atunci aceste valori se vor nmuli cu
valoarea razei globului redus la scara aleas.
Metoda pornete de la dou drepte perpendiculare ntre ele, una
reprezentnd lungimea ecuatorului redus la scar, de exemplu
1:250000000, adic mm, iar cealalt, lungimea unui meridian, de
asemenea redus la scara respectiva (fig. 6.4), adic mm. Se vor mpri
cele dou perpendiculare n attea pri egale ct corespund densitii
alese. La o densitate de 100, pe dreapta orizontal care reprezint
proiecia ecuatorului vor rezulta de segmente, iar pe vertical, care
reprezint proiecia unui meridian, se vor obine segmente. Aceste
segmente reprezint lungimile laturilor ptratelor reelei
cartografice, iar reeaua va arta ca n fig. 6.4.
Pe dou din laturile dreptunghiului se noteaz n exterior valorile
paralelelor i meridianelor, innd cont bineneles de poziia i
densitatea lor. Pentru notarea paralelelor se pornete cu valoarea
zero de la proiecia ecuatorului crescnd din 100 n 100 att spre nord
ct i spre sud. Pentru notarea meridianelor se d valoarea zero
meridianului central, care poate fi oricare dintre meridiane, n
funcie de regiunea ce trebuie s aib un loc central pe hart.
Din punctul de vedere al deformrilor, aceasta este o proiecie
echidistant pe meridian. n schimb, pe direcia paralelelor distanele
sunt foarte mult deformate, crescnd de la nord spre ecuator, care,
este linia de deformri nule, aa cum se poate urmri n tabelul 6.1
sau n fig. 6.5.
Tabelul 6.1.(mnS2(
9001,000((180000/
7501,0003,8643,86472009/
6001,0002,0002,00038057/
4501,0001,4141,41419045/
3001,0001,1551,1558014/
1501,0001,0351,0351059/
001,0001,0001,0000000/
(dup G.N. Liodt, 1948)
Fig. 6.5. Harta lumii n proiecia cilindric ptratic cu elipsele
deformrilor
Aceast proiecie se utilizeaz pentru construcia hrilor universale
ale zonelor din jurul ecuatorului i ale unor regiuni mari de pe
glob, de exemplu bazinele oceanice (fig. 6.6).
Fig. 6.6. Harta Oceanului Atlantic n proiecie cilindric
ptratic
6.2. Proiecia cilindric Lambert
Aceasta este o proiecie dreapt, cilindrul fiind tangent la
ecuator. Meridianele i paralelele se reprezint prin linii drepte
paralele i perpendiculare ntre ele, ns distana ntre paralele se
micoreaz odat cu creterea latitudinii.
La baza construciei acestei proiecii st teorema lui Arhimede,
dup care suprafaa unei zone sferice este egal cu suprafaa unui
cilindru care are aceeai nlime cu zona sferic i baza egal cu
lungimea unui cerc mare al sferei.
Din fig. 6.7 se observ c dreptunghiul m, n, e, q, corespunztor
zonei sferice M, N, E, Q, are ca baz lungimea ecuatorului (care
este un cerc mare al sferei terestre), iar ca nlime (I), distana
dintre planul ecuatorului i planul cercului paralel mn, planuri
care delimiteaz zona sferic respectiv.
Suprafaa zonei sferice este:, ns , deci:
(6.4)
Suprafaa dreptunghiului corespunztor este , ns i deci:
(6.5)
Relaiile (6.4 i 6.5) demonstreaz condiia de echivalen a
proieciei. Se poate demonstra c aceast condiie este asigurat i n
cazul n care ne referim la toat sfera.
Suprafaa sferei este:
.
(6.6)
Dreptunghiul care are nlimea egal cu axa polilor, adic , iar
baza egal cu lungimea ecuatorului, va avea suprafaa:
(6.7)
deci din relaiile (6.6 i 6.7) rezult condiia de echivalen pentru
toat sfera:
.
Reeaua cartografic n aceast proiecie se poate realiza att prin
calcul ct i grafic i const n determinarea distanelor dintre
meridiane i dintre paralele.
Referindu-ne la fig. 6.7, distana x dintre meridianele A i B va
fi:
.
(6.8)
Distana y dintre ecuator i paralela punctului C este:
,
(6.9)
n care:
R raza globului redus la scar;
( diferena de longitudine dintre dou meridiane consecutive;
( latitudinea paralelei care se proiecteaz.
n tabelul 6.2. sunt date valorile pentru y la o densitate a
latitudinii de 100 (cu ), care se vor nmuli cu raza globului redus
la scar.
Tabelul 6.2.(100200300400500600700800900
y0,17360,34200,50,64280,76600,86600,93970,98481,000
Distana x dintre meridiane se va calcula o singur dat, deoarece
este constant.
Pentru aceeai densitate de 100 i cu , rezult:
,adic:
,
valoare ce trebuie nmulit cu valoarea razei globului redus la
scara propus.
Prin metoda grafic se deseneaz un semicerc ca cel din fig. 6.8,
de exemplu, la scara 1:200000000, raza fiind egal cu 32 mm.
Considernd c densitatea reelei este de 150 se va mpri semicercul n
12 pri egale cu ajutorul unui raportor obinndu-se punctele a, b, c,
d, ... (fig. 20.8). Din aceste puncte se vor duce paralele la raza
CE pn intersecteaz diametrul PnPs, care de fapt reprezint proiecia
unui meridian i rezult punctele etc., din care se vor trasa
dreptele paralele la ecuator a cror lungime va fi egal cu lungimea
ecuatorului redus la scara dat, adic:
mm.
Pentru trasarea meridianelor, se va mpri o paralel oarecare n
attea pri cte solicit densitatea reelei. Adic, n exemplul dat,
densitatea fiind de 150, paralela se va mpri n 24 de pri. Prin
punctele rezultate se vor trasa paralele la diametrul PnPs, care
vor fi perpendiculare pe proiecia paralelelor.
Din punctul de vedere al deformrilor, aceasta este o proiecie
echivalent care deci pstreaz nedeformate suprafeele. Dintre
celelalte elemente, cel mai mult deformate sunt unghiurile, aa cum
se poate observa din tabelul 6.3 excepie fcnd cele din jurul
ecuatorului, care este linia de deformri nule.
Fig. 6.8. Construcia grafic a reelei cartografice n proiecia
LambertTabelul 6.3.(y
baS2(
9001,0000,000(1,000180000/
7500,9660,2593,8641,000121057/
6000,8660,5002,0001,00073045/
4500,7070,7071,4141,00038057/
3000,5000,8661,1551,00016026/
1500,2590,9661,0361,0003058/
000,0001,0001,0001,0000000/
Proiecia cilindric Lambert se ntrebuineaz pentru hri universale
ale vegetaiei, populaiei etc.
6.3. Proiecia cilindric Mercator
A fost construit pentru prima dat n 1569 de ctre cartograful
olandez Gerhard Kremer (Mercator).
n aceast proiecie, suprafaa desfurabil este cilindrul care poate
fi considerat tangent la ecuator sau secant la dou paralele
oarecare. Deci, este o proiecie cilindric dreapt, avnd axa polilor
n coinciden cu axa cilindrului.
Att meridianele ct i paralelele se reprezint prin linii drepte
paralele i perpendiculare unele pe altele, meridianele se menin
echidistante, iar paralelele se deprteaz ntre ele pe msura creterii
latitudinii (fig. 6.9). Astfel, reeaua are aspectul unor
dreptunghiuri alungite din ce n ce mai mult n sensul meridianelor,
pe msura creterii latitudinii, din care cauz proiecia se mai numete
i cu latitudini crescnde.
Construcia reelei cartografice se realizeaz calculnd mai nti
distana dintre paralele i apoi distana dintre meridiane.
Distana dintre ecuator i oricare paralel se poate determina cu
ajutorul relaiei:
(6.10)
n care:
C raza globului redus la scar (n cazul cnd cilindrul este
tangent la sfer; dac cilindrul este secant, atunci );
latitudinea paralelei de secant;
latitudinea paralelei care se proiecteaz.
Cnd , rezult:
,
(6.11)
adic polii nu se pot reprezenta n aceast proiecie, deoarece se
gsesc la infinit fa de ecuator.
Distana dintre meridiane rmne constant pentru ntreaga reea i se
obine din relaia:
,
(6.12)
n care:
R raza globului la scar;
latitudinea paralelei de secant;
n aceast proiecie reeaua cartografic se construiete practic pn
la paralelele , deoarece la 900, .
Valorile lui x i y au fost calculate pentru , deci construcia
reelei la o anumit scar necesit nmulirea acestor valori cu raza
sferei redus la scara aleas.
Din punctul de vedere al deformrilor, proiecia Mercator este o
proiecie conform, pstrnd deci nedeformate unghiurile, deformnd ns
foarte mult suprafeele, aa cum se observ i n tabelul 6.5, astfel la
latitudinea de scara suprafeelor este egal cu 4,000, deci acestea
sunt mrite de patru ori, iar la latitudinea , suprafeele sunt mrite
de peste 33 de ori.
Tabelul 6.4.Tabelul 6.5.
(y(a = bS2(
900(900((0000/
8002,43638005,75933,1660000/
7001,73547002,9248,5500000/
6001,31706002,0004,0000000/
5001,01075001,5562,4210000/
4000,76294001,3051,7030000/
3000,54933001,1551,3330000/
2000,35642001,0641,1320000/
1000,17541001,0151,0300000/
000,000001.0001,0000000/
Modul repartiiei deformrilor n cadrul reelei cartografice n
proiecia Mercator este prezentat n fig. 6.10 cu ajutorul profilului
omenesc.
Datorit deformrii foarte mult a suprafeelor, aceast proiecie nu
este indicat a se folosi n construcia hrilor colare pentru c d o
imagine neverosimil asupra repartiiei apei i uscatului pe de o
parte, iar pe de alta, asupra regiunilor uscatului situate la
latitudini mari. Aa de exemplu n fig. 6.11. se observ c Groenlanda
apare ca fiind aproximativ egal cu Africa, dei n realitate Africa
este de 15 ori mai mare dect Groenlanda. De asemenea peninsula
Scandinav apare mai mare dect cele trei peninsule sudice ale
Europei considerate mpreun: Iberic, Italic i Balcanic, fapt iari
inexact.Fig. 6.10. Repartiia deformrilor n proiecia Mercator cu
ajutorul
profilului omenesc
Fig. 6.11. Harta lumii n proiecia Mercator cu elipsele
deformrii
Importana practic a proieciei Mercator const n aceea c ea
ntrunete toate calitile unei hri ce se folosete n navigaia maritim
i trebuie s ndeplineasc urmtoarele condiii:
1. S se poat fixa cu uurin poziia unui punct prin coordonatele
sale i respectiv s se determine coordonatele unui punct. Pentru
rezolvarea mai uoar a acestui lucru, este bine ca meridianele i
paralelele s fie perpendiculare.
2. Harta trebuie s fie construit ntr-o proiecie conform.
3. Loxodroma s se reprezinte printr-o linie dreapt.
4. S se poat msura cu uurin distanele pe ea.
Proiecia Mercator ndeplinete aceste condiii.
Proiecia Mercator nu este altceva dect proiecia cilindric dreapt
ptratic, transformat din arbitrar (echidistant) n conform. n aceast
proiecie, distana dintre paralele s-a alungit n aceeai proporie n
care s-a mrit, n proiecia cilindric, distana dintre meridiane (pe
msur ce crete latitudinea).Fig. 6.12. Harta Oceanului Atlantic n
proiecia Mercator
Pentru msurarea distanelor pe o hart construit n proiecia
Mercator, precum i pentru a trece sau a raporta o distan se
ntrebuineaz ca unitate de msur mila marin, care este egal cu
minutul de pe scara latitudinilor din dreptul regiunii n care se
msoar distana. Arcul de meridian de un minut se reprezint alungit
la latitudini diferite, dei n realitate el este constant pe
suprafaa Pmntului. Minutul de latitudine crescnd constituie
unitatea de msurat distanele la latitudinea corespunztoare.
Deci, i cea de-a patra condiie este ndeplinit i ca atare
proiecia Mercator poate fi folosit pentru hri necesare n special
navigaiei maritime. Se ntrebuineaz pentru hri de navigaie maritim
ale planisferului, caz n care cilindrul este tangent la sfer, fie
pentru hri ale bazinelor oceanice cnd cilindrul este secant.
6.4. Proiecia cilindric dreptunghiular
Este cunoscut i sub denumirea de proiecia lui Anaximandru (610
-546 .e.n.). Cilindrul se consider secant dup dou paralele
simetrice fa de ecuator (fig. 6.13).
Reeaua cartografic se prezint ca o reea de dreptunghiuri ale
cror laturi sunt arcele de meridiane i paralele. Astfel, nlimea
unui dreptunghi este egal cu lungimea arcului de meridian subntins
i redus la scar, iar baza dreptunghiului este egal cu lungimea
arcului de paralel de secant subntins i redus la scar.
Pentru construirea reelei cartografice se folosesc urmtoarele
formule:
(6.13)
.
(6.14)
Relaia (6.13) permite calcularea distanei dintre meridiane:
R raza globului redus la scar;
latitudinea paralelei dup care se face ntretierea suprafeei
cilindrului cu suprafaa sferei;
( diferena de longitudine dintre meridianele ce se proiecteaz i
care trebuie s fie exprimat n radiani, adic:
.
Prin relaia (6.14) se calculeaz distana dintre paralele iar (
trebuie exprimat n radiani.
Din tabelul 6.6 se afl valorile lui y pentru latitudini din 15 n
150, pentru un glob cu raza .
Valoarea lui x (distana dintre meridiane) pentru o diferen de
longitudine tot de 150 i pentru un glob sau sfer cu raza este de
0,185.
Pentru a calcula valorile lui x i y pentru o scar aleas, va
trebui ca valorile lui x i ale lui y (din tabelul 6.6) s fie
nmulite cu scara globului redus la scara aleas.
n privina deformrilor, proiecia Anaximandru este o proiecie
echidistant, care pstreaz nedeformate distanele n sensul
meridianelor, precum i de-a lungul celor dou paralele dup care se
face intersecia. Acest lucru se poate observa att din analiza
elipselor de deformri din fig. 6.14, precum i din tabelul 6.7 care
cuprinde valorile scrilor i deformrilor maxime unghiulare.Tabelul
6.4.Tabelul 6.5.
(y(baS2(
9001,5719001,000((180000/
7501,3097501,0002,7322,73255018/
6001,0476001,0001,4141,41419045/
4500,7854501,0001,0001,0000000/
3000,5243001,0000,8160,81611036/
1500,2621501,0000,7320,73217048/
000,000001,0000,7070,70719045/
(dup G.N. Liodot, 1948)Fig. 6.14. Harta lumii n proiecia
cilindric dreptunghiular a lui Anaximandru
cu elipsele deformrilor
Din acest tabel rezult c scara pe meridiane i scara pe paralela
de 450 (considerat paralela de secant) sunt egale cu scara
principal, adic 1,000. Pe paralela 450, distanele, suprafeele i
unghiurile sunt nedeformate, deci ele sunt linii de deformri
nule.
Proiecia Anaximandru se ntrebuineaz pentru hri universale.
6.5. Proiecia cilindric stereografic Gall
Este o proiecie dreapt, iar cilindrul este secant dup paralela
450.
Caracteristica proieciei o constituie faptul c permanent punctul
de vedere care se gsete pe ecuator este diametral opus meridianului
care se proiecteaz, deci este mobil.Reeaua cartografic are aspect
rectangular. Meridianele sunt reprezentate prin linii drepte,
paralele i echidistante, iar paralelele, prin linii drepte
paralele, iar distana dintre ele crete spre poli.
Construcia reelei necesit n primul rnd determinarea distanelor
dintre paralele i ecuator, care se poate calcula sau determina
grafic.
S presupunem c vrem s proiectm un punct oarecare R de pe glob pe
cilindru (fig. 6.15). Raza proiectant pornete din punctul E de pe
ecuator i va proiecta punctul R pe cilindru prin R0. Distana de la
R0 de pe cilindru pn n punctul N, situat pe cilindru la ecuator,
este tocmai distana la care se va proiecta cercul paralel al
punctului R.
Distana aceasta se poate calcula. Referindu-ne la figura 6.15:-
- ecuatorul;
- - axa polilor care coincide cu axa cilindrului;- OR raza
sferei (globului terestru);
- OP raza sferei (globului terestru) n punctul P situat pe
paralela de +450 latitudine;
- EO raza sferei la ecuator;
- ( - latitudinea punctului R;
- - latitudinea paralelei de 450 latitudine nordic;
- y distana ;
;
.
Suma se poate nlocui prin produsul i:
.
Unghiul i deci:
.
(6.15)
Distana x dintre meridiane se calculeaz cu relaia:
, (6.16)
n care:
este diferena de longitudine dintre dou meridiane
consecutive.
Metoda grafic se realizeaz pornind de la un cerc cu raza de mm,
care reprezint sfera terestr redus la scara 1:200000000 (fig. 6.16,
a).
Se traseaz diametrul vertical i orizontal care intersecteaz
sfera la . Semicercul se mparte prin punctele a, b, c, ... etc. n
arce de cerc n cte 150, n conformitate cu densitatea aleas. Din
punctul E ca punct de perspectiv se duc razele proiectante prin
punctele etc. Acestea intersecteaz planul de proiecie Q n punctele
etc. Din aceste puncte se duc paralele la diametrul orizontal, care
reprezint proiecia cercurilor paralele, a cror lungime va fi egal
cu lungimea paralelelor de 450 reduse la scara de 1:200000000, adic
cu 141,5 mm (aproximativ 142 mm).
Una din dreptele care reprezint un cerc paralel pe planul de
proiecie se va mpri n 24 de segmente (ca urmare a densitii de 150).
Prin aceste puncte care mpart paralelele n 24 de pri egale se duc
perpendiculare pe paralele, egale ca mrime cu , care reprezint
meridianele (fig. 6.6.a).Fig. 6.6. Proiecia cilindric stereografic
Gall
a) metoda grafic de construcie a reelei cartografice;
b) harta lumii n proiecia Gall
Din punctul de vedere al deformrilor, proiecia Gall este o
proiecie arbitrar, deci nu pstreaz nimic nedeformat, exceptnd
elementele care sunt situate pe paralele de secant, care sunt linii
de deformri nule.
n tabelul 6.8. sunt cuprinse valorile scrilor pe direciile
principale, ale suprafeelor i deformrilor maxime unghiulare n
proiecia Gall cu cilindrul secant dup paralelele .
Tabelul 6.8.
(bbS2(
9001,866((180000/
7501,4823,3334,96045024/
6001,2441,7322,15518053/
4501,0911,2551,3396030/
3001,0001,0001,0000000/
1500,9490,9870,8513016/
000,9330,8660,8084016/
(dup G.N. Liodot, 1948)
Proiecia Gall se ntrebuineaz pentru construcia hrilor
universale, atlase.
6.6. Proiecia cilindric Gauss Krger
A fost propus i prelucrat n perioada anilor 1825 1830 de ctre
matematicianul K.Fr. Gauss (1777 1855). Mai este cunoscut i sub
numele de proiecie U.T.M. (Universal Transversal Mercator).
Deoarece primele formule de lucru au fost elaborate de ctre L.
Krger n anul 1912, proiecia mai este numit i proiecia Gauss Krger.
n practica curent ns se folosete numai termenul de proiecia
Gauss.
Proiecia se face pe un cilindru considerat tangent la un
meridian, deci transversal (fig. 6.17). n aceast proiecie,
reprezentarea suprafeei elip-soidului terestru se face direct pe un
plan fr trecerea inter-mediar pe sfer, iar suprafaa Pmntului este
mprit n 60 de fuse sferice a cte 60 longitudine, pentru a nu se
depi limita admisibil a deformrilor lungimilor prin proiectare
relativ .
Reeaua cartografic are aspectul din fig. 6.18. Meridianul axial
al unui fus de 60 se reprezint printr-o linie dreapt, iar celelalte
meridiane i paralele sunt linii curbe simetrice fa de meridianul
axial i ecuator.
Construcia proieciei se bazeaz pe calcularea coordonatelor
punctelor de intersecie a meridianelor i paralelelor cu ajutorul
formulelor:
(6.17)
(6.18)
n care:
B lungimea arcului meridian de la ecuator pn la paralela cu
latitudinea (;
( - diferena de longitudine dintre meridianul punctului i
meridianul axial al fusului;
N lungimea razei de curbur a primului vertical ( a
normalei);
;
;
.n practic se obine o precizie suficient cu relaiile (6.17) i
(6.18), excluznd termenii n i :
,
(6.19)
.
(6.20)
Axele de coordonate rectangulare n aceast proiecie sunt Ox, care
coincide cu proiecia meridianului axial, i Oy, care coincide cu
proiecia ecuatorului, avnd ca origine intersecia meridianului axial
cu ecuatorul. Pentru fiecare fus de 60 se consider un sistem de
proiecie i un sistem de coordonate rectangulare.
ara noastr este acoperit de dou fuse de 60 i anume fusele 34 i
35 )Cluj Napoca i Bucureti). ntruct este posibil ca pentru mai
multe puncte din fuse diferite s existe aceleai coordonate, s-a
convenit ca n faa valorii ordonatei Y s se scrie numrul fusului
(numerotarea ncepnd de la meridianul Greenwich).
Din fig. 6.19 se vede c punctele care sunt situate n stnga
meridianului axial au ordonatele Y negative. Pentru a nltura acest
lucru, acestora li se adaug 500 km, ca atare originea axelor va
avea coordonatele:
Rezult c toate punctele dispuse n dreapta meridianului axial vor
avea ordonata Y mai mare cu 500 km, iar cele din stnga, mai mic cu
500 km. De exemplu, dou puncte P1 i P2, au urmtoarele coordonate
rectangulare:
P1:X1 = 2465823,0 m
P2:X2 = 4397253,0 m
Y1 = 5728735,0 m
Y2 = 5401254,0 m
Punctul P1 se afl n fusul 5, la o deprtare de ecuator de 2465823
m i la m de meridianul axial, deci n dreapta lui.
Punctul P2 se afl n fusul 5 la 4397253,0 m de ecuator i m de
meridianul axial, ns n stnga acestuia.
Din punctul de vedere al deformrilor, este o proiecie conform,
deci pstreaz nedeformate unghiurile, n schimb sunt deformate
suprafeele i lungimile. Deformrile sunt cu att mai mari cu ct
lungimile sunt situate mai departe de meridianul axial al fusului.
Deformrile liniare se pot calcula cu relaia:
,
(6.21)
n care
Y este ordonata;
, iar n funcie de coordonatele geografice, dup formula:
,
(6.22)n care: ( - diferena de longitudine dintre meridianul
punctului i meridianul axial al fusului;
;
( - latitudinea;
i .
Pentru ara noastr, deformrile maxime se produc de-a lungul
meridianului de 240 i n Delta Dunrii (fig.6.20).6.20. Repartiia
deformrilor n proiecia Gauss
6.6.1. Unghiul de convergen al meridianelor n proiecia Gauss
Unghiul de convergen al meridianelor ntr-un punct al proieciei
este unghiul format n acel punct de meridianul punctului i o
paralel (trasat prin punct) la meridianul axial. (Deoarece unghiul
format de dou curbe se definete ca unghiul fcut de tangentele la
curbe, rezult c unghiul de convergen se face ntre tangenta la
meridianul punctului i paralela la meridianul axial dus prin
punct.).Proiecia fiind conform, unghiul de convergen se mai formeaz
i ntre tangenta la paralela punctului i o paralel dus prin acest
punct la axa y-ilor (adic la proiecia ecuatorului). Din fig. 6.21
se vede c ca avnd laturile perpendiculare.
Valorile unghiurilor de convergen ale meridianelor n diferite
puncte se pot gsi n tabele speciale, dar pot fi calculate i dup
formulele (1.1) i (2.2).
6.6.2. Unghiul de convergen medie
n cartografie, unghiul de convergen medie este unghiul format de
meridianul mediu al trapezului n punctul central al trapezului cu
paralela dus n acest punct la meridianul axial al fusului din care
face parte trapezul i este pozitiv sau negativ, dup cum trapezul se
afl n dreapta sau n stnga meridianului axial (fig. 6.22).
Unghiul de convergen, mpreun cu declinaia magnetic se
ntrebuineaz pentru orientarea planetei.
Datorit faptului c poate fi ntrebuinat pentru regiuni foarte
mari ale globului, aceast proiecie poate fi numit pe drept cuvnt
proiecie internaional. Ea are o serie de avantaje, printre care
amintim racordarea facil a tuturor foilor de hart, deformri relativ
mici, de exemplu pentru hri cu scrile mai mici dect 1:25000
deformaia ajunge pn la 0,670/00, iar pentru hri la scri mai mari ca
1:25000 ajunge pn la 0,170/00 (n acest caz, fusele au limea de
30).
6.7. Proiecia cilindric Soloviev
A fost prelucrat n anul 1937, la propunerea Institutului central
de cercetri tiinifice geografice, aerofotogrammetrice i
cartografice, de ctre M.D. Soloviev n colaborare cu F.A. Starostin,
n scopul de a gsi o proiecie potrivit pentru hrile RUSIA la scri
mici necesare pentru atlase.
Cea mai potrivita a fost considerat una din variantele proieciei
cilindrice secante oblice, prelucrat dup proiecia cilindric
stereografic Gall. Aceast nou proiecie se deosebete de proiecia
care-i st la baz, respectiv proiecia Gall, prin aceea c axa
globului are o nclinare de 150 fa de axa cilindrului (fig. 6.23).
Cercul mic dup care se face intersecia suprafeei cilindrice cu
sfera este cercul paralel care mparte teritoriul RUSIA. El se va
reprezenta printr-o linie dreapt.
Condiiile ce trebuiau ndeplinite n noua proiecie au fost:
- paralelele reelei cartografice trebuie s fie curbe:
meridianele pot fi linii curbe, ns pe ct posibil ele trebuie s fie
apropiate de liniile drepte, cel puin n partea mai important a
hrii, reeaua cartografic trebuie, n limita posibilitilor, s reduc
curbura teritoriului Rusiei spre marginile de vest i este ale hrii
n raport cu curbura de pe proiecia conic dreapt;- reeaua
cartografic trebuie s cuprind i proiecia polului sub form de
punct;- contururile principale ale hrii nu trebuie s aib deformri
prea mari.
n proiecia oblic a lui Soloviev, meridianul central este
reprezentat printr-o linie dreapt, celelalte meridiane fiind curbe
simetrice fa de acestea.
Paralelele sunt reprezentate prin linii curbe, excepie fcnd
paralela de secant, ns au o curbur mai mic dect paralelele din
proieciile conice drepte.
Ca urmare a acestui fapt, prile extreme estice i vestice ale
teritoriului Rusiei nu mai sunt aa de puternic curbate n comparaie
cu zona medie a teritoriului Rusiei. Polul se reprezint printr-un
punct.
Datorit aspectului reelei de meridiane, privind o hart n
proiecia cilindric oblic Soloviev, avem o imagine mai clar a
rotunjimii Pmntului (fig. 6.24).
Fig. 6.24. Harta Rusiei n proiecie cilindric oblic Soloviev
Proiecia se construiete folosind trigonometria sferic i plan i
calculndu-se punctele de intersecie ale meridianelor cu paralelele.
Din punctul de vedere al deformrilor, aceast proiecie face parte
din grupa proieciilor arbitrare, deci, nu pstreaz nici suprafeele i
nici unghiurile nedeformate.Fig. 6.1. Principiul proieciilor
cilindrice tangente
+
+
+
+
(
a)
b)
1800 1600 1400 1200 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 00
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1200 1400 1600 1800
m M
N n
Pn
Ps
( y
( R
R A
E
E/
x
Fig. 6.3. Principiul proieciei cilindrice ptratice
900
800
700
600
500
400
300
200
100
00
100
200
300
400
500
600
700
800
900
2500 0 2500 5000 km
Fig. 6.4. Reeaua cartografic n proiecia cilindric ptratic
Fig. 6.7.
Q
I
q
e
M
N
n
E
m
R
(
I
EMBED Equation.DSMT4
1800 1650 1500 1350 1200 1050 900 750 600 450 300 150 00 150 300
450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 1650 1800
900
750
600
450
300
150
00
150
300
450
600
750
900
a/
b/
c/
d/
e/
C
g/
h/
i/
j/
k/
2000 0 2000 4000 km
2000 0 2000 4000 km
Fig. 6.9. Reeaua cartografic n proiecia Mercator
1800 1600 1400 1200 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 00
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1200 1400 1600 1800
700
600
500
400
300
200
100
00
100
200
300
400
500
600
700
A
x
r
R
R O (0
(
x/
PS
PN
E/
E
B
Fig. 6.13. Principiul proieciei cilindrice dreptunghiulare a lui
Anaximandru
C
D
(
( / 2 (0
Ps
Pn
Fig. 6.15. Principiul proieciei cilindrice stereografice
Gall
R0
R
E
E/
N
P0
+Y
E/
E
120 180
Pn
Ps
240
180
500 km
Fig. 6.17. Poziia cilindrului n proiecia Gauss
Pn
Ps
meridianul axial
O
E/
E
Fig. 6.18. Aspectul reelei cartografice n proiecia Gauss
+X
+X
0
Fig. 6.19. Originea axelor de coordinate n cadrul unui fus de 60
n longitudine n proiecia Gauss
Fig. 6.21. Unghiul de convergen al meridianelor
y/
D
(
(
P
yP
x
x /
xP
y
(
(
Meridian geografic
Caroiaj
Meridian magnetic
(
D
(
Caroiaj
Meridian geografic
Meridian magnetic
a)
b)
Fig. 6.22. Unghiul de convergen medie
a) pozitiv; b) - negativ
Fig. 6.23. Poziia cilindrului n proiecia oblic Soloviev
Ps
E
Pn
E/
exprimat n radiani
y = distana ntre paralele
Loxodroma este linia curb dintre dou puncte ce ntretaie
meridianele sub acelai unghi pe glob (loxis = oblic; dromos =
drum). Pe globul terestru loxodroma are forma unei spirale n spaiu
(curb cu dubl curbur) avnd ca puncte asimptotice polii (adic nu
atinge polii).
PAGE 217
_1183380087.unknown
_1183441152.unknown
_1183460177.unknown
_1183466813.unknown
_1183466928.unknown
_1183468254.unknown
_1183468544.unknown
_1183468682.unknown
_1183468702.unknown
_1183470607.unknown
_1183468651.unknown
_1183468454.unknown
_1183468491.unknown
_1183468315.unknown
_1183467012.unknown
_1183468010.unknown
_1183466941.unknown
_1183466844.unknown
_1183466920.unknown
_1183466827.unknown
_1183464134.unknown
_1183466522.unknown
_1183466590.unknown
_1183464215.unknown
_1183462538.unknown
_1183462554.unknown
_1183460421.unknown
_1183441394.unknown
_1183441678.unknown
_1183441780.unknown
_1183441814.unknown
_1183441692.unknown
_1183441517.unknown
_1183441594.unknown
_1183441441.unknown
_1183441300.unknown
_1183441333.unknown
_1183441364.unknown
_1183441318.unknown
_1183441231.unknown
_1183441259.unknown
_1183441203.unknown
_1183438038.unknown
_1183438436.unknown
_1183440878.unknown
_1183440896.unknown
_1183438489.unknown
_1183438199.unknown
_1183438299.unknown
_1183438069.unknown
_1183380391.unknown
_1183380526.unknown
_1183380570.unknown
_1183380412.unknown
_1183380331.unknown
_1183380374.unknown
_1183380198.unknown
_1183298009.unknown
_1183298871.unknown
_1183378705.unknown
_1183378765.unknown
_1183380075.unknown
_1183378730.unknown
_1183299203.unknown
_1183378618.unknown
_1183299141.unknown
_1183298316.unknown
_1183298659.unknown
_1183298854.unknown
_1183298458.unknown
_1183298081.unknown
_1183298149.unknown
_1183298049.unknown
_1183267015.unknown
_1183297832.unknown
_1183297896.unknown
_1183297912.unknown
_1183297866.unknown
_1183297874.unknown
_1183297801.unknown
_1183297814.unknown
_1183267060.unknown
_1183266544.unknown
_1183266869.unknown
_1183266924.unknown
_1183266772.unknown
_1183227424.unknown
_1183266451.unknown
_1183227398.unknown