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FISICAMEDICIONES E INCERTIDUMBRESMsc:San Bartolom Montero
Jaime.H.UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL CONO SUR DE
LIMAINGENIERIA ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES
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FISICA : Es una ciencia cuya finalidad es estudiar los
componentes de la materia y sus interacciones mutuas, para poder
explicar las propiedades generales de los cuerpos y de los fenmenos
naturales que observamos a nuestro alrededor. Sus temas de estudio
se han centrado en la interpretacin del espacio, el tiempo, y el
movimiento, en el estudio de la materia (la masa y la energa) y de
las interacciones entre los cuerpos. METODOLOGIA DE LA FISICALa
metodologa que se usa tiene tres caractersticas:La primera forma es
el anlisis de un sistema fsico que se realiza en base a las
propiedades de sistemas ms sencillos.La segunda forma parte del
principio de que la fsica se fundamenta necesariamente en la
experimentacin.La tercera se refiere al uso frecuente de las
matemticas .Las reglas que gobiernan todas estas relaciones son
objeto de las matemticas. Por eso se dice que la matemtica es el
lenguaje de la fsica.
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ORIGEN DEL UNIVERSO
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INTERACCIONES FUNDAMENTALES MODELO ESTNDAR :
GRAVITATORIA : Largo Alcance Atractiva ,masa gravitacional Peso
, Movimiento de los Planetas , Evolucin del Universo.
ELECTROMAGNTICA :Largo Alcance , Atractiva/RepulsivaCarga
Elctrica ,Fenmenos Electromagnticos , Cohesin de la materia.
FUERZA NUCLEAR FUERTE :corto alcance ( m) color quarks, gluones
, Estabilidad de Ncleos Atmicos Fisin y Fusin Nuclear .
FUERZA NUCLEAR DEBIL : Corto alcance( m) , sabor (quarks)
,Desintegracin , Radiactividad .
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INTENSIDADES,ALCANCE Y PARTICULAS
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Cmo navegar en estos Apuntes?En la siguiente diapositiva se
muestra un mapa conceptual.Un mapa conceptual es una forma
esquemtica de presentar los conceptos fundamentales de la materia y
su relacin entre s.Observa este mapa y, haciendo click en el tema
de tu inters, puedes ir a este tema donde encontrars explicaciones
en extenso y ejemplos ilustrativos.Haciendo click en los botones
puedes avanzar, retroceder e ir a los ejemplos. Con el botn: i,
puedes regresar al mapa de donde partiste.
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SalidaSalidaSalida
Desviacin estndar media(objetivo)Promedio:
Error: Desv. est. media:
Mediciones Directas
S,
entoncesasignamosMedicionesIndirectasparaparaCalculamosSalidaCalculamos
El nmero de medicioneses mayor o igual a
10?N10?MedicionesDirectas ReproduciblesPromedio:
Incertidumbre:
Ix = - Li Promedio:
Error: Dif. Total
No,
entoncesasignamosparaparaparaCalculamosCalculamosCalculamosIncertidumbre
absoluta o tolerancia(subjetivo)Mediciones Directas No
ReproduciblesMedicionesIndirectas
MEDICIONESMAPA CONCEPTUALMtodoObjetivoMtodoSubjetivo
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MedicionesMEDIR:es un proceso mediante el cual se busca asignar
un nmero a una cantidad fsica determinada.
Ir a Ejemplo 1Ir a Ejemplo 2
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Ejemplo 1: medicin directaMEDIR: la LONGITUD de un campo de
ftbol.mnimo 90 m.maximo 120 m.
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Ejemplo 2: medicin indirectaexperimento de CavendishMEDIR: la
constante de la gravitacin GConociendo F, las masas: m y M; y la
separacin: r, se despeja la constante G de la frmula de la fuerza
de atraccin:
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Nmero De MedicionesPara obtener una medicin con su incertidumbre
absoluta: Es suficiente con tener menos de diez mediciones,
inclusive una sola es suficiente, dado que se trabaja con la:Escala
del aparato o con su tolerancia.
Para obtener una medicin con su desviacin estndar:Es preciso
contar con una muestra representativa de los posibles valores:Esto
lo aseguramos midiendo la cantidad, al menos:Diez veces bajo las
mismas circunstancias experimentales
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Incertidumbre o ToleranciaDefiniciones Preliminares En todo
proceso de medicin se cometen errores que los podemos clasificar
como:
ERRORES SISTEMTICOS: son aquellos que se pueden evitar y suceden
en una misma direccin, es decir, siempre se mide por exceso o por
defecto.ERRORES ALEATORIOS: son aquellos que no se pueden evitar,
pero s se pueden minimizar midiendo al menos diez veces la cantidad
bajo las mismas circunstancias experimentales. Estos errores
suceden en ambas direcciones: por exceso y por defecto
indistintamente. Por ejemplo: una distraccin al tomar la lectura
del aparato. Durante el desarrollo del proceso experimental se
cometern ambos tipos de error indistintamente y se debe ser muy
cuidadoso con su manejo. De tal manera que medir bien o efectuar
una:MEDICIN BIEN HECHA: es aquel proceso en el que se han eliminado
todos los errores sistemticos y se han minimizado al mximo todos
los errores aleatorios.EXACTITUD: se dice que toda medicin bien
hecha es exacta, pero puede diferir en precisin.PRECISIN: es el
nmero de cifras significativas que se conocen de una cantidad
cualquiera y usualmente nos las brinda el aparato de medicin.
Ir a Ejemplo Ir a Ejemplo Continuar: Incertidumbre o Tolerancia
Ir a Ejemplo Ir a Ejemplo Ir a Ejemplo
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Error Sistemtico, Ejemplo
ERROR SISTEMTICO: un ejemplo tpico es el error de calibracin, es
decir, cuando el aparato no mide cero apropiadamente.
Por ejemplo, considere una bscula que no est calibrada, entonces
siempre medir de ms o de menos, segn sea el monto de tal
descalibracin.
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Error Aleatorio, Ejemplo ERROR ALEATORIO: un ejemplo tpico es el
que se comete al tomar la lectura con un cronmetro, es decir, el
tiempo de respuesta al iniciar o detener el aparato: algunas veces
se comenzar a medir antes y otras veces despus; de tal manera que
algunas veces se medir de ms y otras veces de menos.
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Exactitud y Precisin, Ejemplos Medicin bien hecha: se midi un
espesor con:A) Flexmetro:e = 2.1 0.05 cm.B) vernier:e = 2.095
0.0025 cm. Ambas mediciones, A) y B), estn bien hechas porque se
eliminaron todos los errores sistemticos y se minimizaron al mximo
los errores aleatorios, es decir, ambas: Son EXACTAS porque se
midieron cuidadosamente, pero difieren en: PRECISIN: la medicin A)
tiene precisin de un milmetro, y la medicin B) tiene precisin de un
veinteavo de milmetro. En otras palabras, la medicin A) tiene menos
cifras significativas que B): A) tiene menor precisin que B).
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Incertidumbre o ToleranciaINCERTIDUMBRE ABSOLUTA: se denota
mediante una I latina mayscula a la cual se pone un subndice que
denota el nombre de la cantidad a la que se le est asignando el
error: IL, Im, It, para la incertidumbre de la longitud, de la masa
y del tiempo respectivamente. Esta cantidad indica la precisin del
aparato y el tamao del intervalo dentro del cual puede estar el
valor real de la medicin, con cierta confianza. Usualmente se le
asigna un valor igual a la mitad de la mnima escala..TOLERANCIA: es
la cantidad que asigna el fabricante de un aparato para cuantificar
el error asociado a las mediciones efectuadas con dicho aparato.
Usualmente se muestra en el propio aparato o se especifica en el
manual. Cuando aparece sustituye a la incertidumbre
absoluta..INCERTIDUMBRE RELATIVA: se denota de mediante una I
latina mayscula a la cual se pone un subndice que incluye una R
mayscula y el nombre de la cantidad a la que se le est asignando el
error: IRL, IRm, IRt, para la incertidumbre relativa de la
longitud, de la masa y del tiempo respectivamente. Esta cantidad
indica cunto error se tiene por cada unidad que se mide con un
mtodo determinado; se calcula como: incertidumbre absoluta,
dividida entre el valor medio de la cantidad. Matemticamente:.
INCERTIDUMBRE PORCENTUAL: se denota de mediante una I latina
mayscula a la cual se pone un subndice que incluye un signo de % y
el nombre de la cantidad a la que se le est asignando el error:
I%L, I%m, I%t, para la incertidumbre porcentual de la longitud, de
la masa y del tiempo respectivamente. Esta cantidad indica el
porcentaje de error respecto de la media. Matemticamente:
EjemploEjemploEjemploEjemplo
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Incertidumbre Absoluta, EjemploUna compaa fabricante de
controles reporta las siguientes especificaciones para juntas de
acero. Observa que se muestra el nombre de la cantidad con sus
unidades, un valor promedio y un error o incertidumbre (+/-) que
proporciona la confianza en la medicin. En este caso, la
incertidumbre tiene un valor de: IJ = 0.5 mm. La medicin se
reportar entonces de la siguiente manera: J =12.0 0.5 mm.
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Tolerancia, EjemploLa mayora de las veces el fabricante
especifica el grado de error que se obtiene al medir con
determinado aparato. En este caso, el micrmetro que se ilustra
posee una tolerancia de 0.001 mm ; de tal manera que al medir, por
ejemplo, un espesor de 21. 2345 mm, esta medida se reportar como a
= 21. 234 0.001 mm.
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Incertidumbre Relativa, EjemploTomemos el caso del ejemplo de la
incertidumbre absoluta donde: J =12.0 0.5 mm. La incertidumbre
relativa se calcula como:
Nota que no tiene unidades porque se cancelan al efectuar la
divisin. La cantidad se reporta como: J =12.0 mm 0.04. Este nmero
indica que se tiene 0.04 de error por cada mm medido con este
mtodo. En otras palabras, ste mtodo es bueno para medir milmetros,
pero ya no es bueno para medir, por ejemplo: 1.5 m, porque el error
crece hasta: 60 mm = (1500mm)(.04) por cada metro medido.
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Incertidumbre Porcentual, EjemploTomemos el caso del ejemplo de
la incertidumbre absoluta con: J =12.0 0.05 mm. La incertidumbre
porcentual se calcula entonces como:
Este valor nos indica el error respecto del valor promedio, y se
reporta como: J =12.0 mm 4 %.
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Mediciones Directas ReproduciblesMEDICIONES DIRECTAS: son
aquellas que se realizan comparando directamente el patrn de medida
con el objeto a medir. MEDICIONES DIRECTAS REPRODUCIBLES: son
aquellas mediciones directas que se pueden repetir tantas veces
como sea necesario, bajo las mismas circunstancias
experimentales.
Ir a ejemplo
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Mediciones Directas ReproduciblesEJEMPLOSe desea medir la
temperatura corporal de una persona sana. Para ello se utiliza una
termocmara realizndose varias lecturas durante una semana, siempre
a la misma hora y en el mismo lugar. El resultado del experimento
arroja la siguiente lectura: Tc = 36.87 0.03 C. Es decir, se pueden
tomar tantas lecturas como se quiera bajo las mismas circunstancias
experimentales.
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Mediciones Directas NO ReproduciblesMEDICIONES DIRECTAS: son
aquellas que se realizan comparando directamente el patrn de medida
con el objeto a medir.
MEDICIONES DIRECTAS NO REPRODUCIBLES: son aquellas mediciones
directas que NO se pueden repetir tantas veces como sea necesario,
bajo las mismas circunstancias experimentales.
Ir a ejemplo
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Mediciones Directas NO Reproducibles EJEMPLOSe desea medir la
temperatura corporal de una persona enferma. Para ello se utiliza
una termocmara realizndose varias lecturas a lo largo del da para
ver la evolucin de la enfermedad. El resultado del experimento
arroja la siguiente lectura:Tc = 39 2 C. Es decir, NO se pueden
tomar tantas lecturas como se quiera bajo las mismas circunstancias
experimentales dado que la enfermedad evoluciona.
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Mediciones Indirectas Son aquellas que presumen el conocimiento
de una o ms mediciones directas y se obtienen efectuando un clculo
matemtico utilizando dichas mediciones directas.
Ir a ejemplo
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Mediciones Indirectas. Ejemplo. Se desea establecer el peso que
deber soportar una estructura de 160 m2 de rea al ser techada con
lmina acanalada. El fabricante proporciona la siguiente informacin:
P = 5.21 0.005 kg/m2.De esta manera, la estructura debe soportar un
peso de: We = 160*P*gWe = 8161 8 N.Ir a clculo Perfil de lmina
acanalada
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Mediciones Indirectas. Clculo. Al multiplicar cantidades con
error: We = 160*P*g.160*P = 160*(5.21 0.005) =.160*P = 160* 5.21
160* 0.005 = 833.6 0.8 N.160*P*g = (833.6 0.8 )(9.79) =. 160*P*g =
833.6*9.79 0.8*9.79 = 8160.94 7.83 N. De esta manera, la estructura
debe soportar un peso de:We = 8161 8 N.
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Clculos Para Mediciones Directas ReproduciblesPara calcular el
valor central o promedio:
; Donde xi son los valores de los diferentes datos, y n es el
nmero de datos.Para asignar error reportando la incertidumbre
absoluta, ix: Ix = mitad de la mnima escala del aparato que se est
utilizando. PRECAUCIN: debe asegurarse que con este error se cubra
la dispersin de los datos experimentales.
Para asignar error utilizando la tolerancia, ix: Ix =
tolerancia, monto del error que asigna el fabricante a las
mediciones hechas con determinado aparato. Ojo, la tolerancia
sustituye a la incertidumbre absoluta. PRECAUCIN: debe asegurarse
que con este error se cubra la dispersin de los datos
experimentales.
Ir a ejemplo Ir a ejemlo p
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CLCULOS PARA MEDICIONES DIRECTAS REPRODUCIBLES:Ejemplo Con
Incertidumbre Se medi la longitud de un perfil de aluminio con un
flexmetro obtenindose los siguientes resultados: L1 = 10.05 cm; L2
= 10.1 cm; L3 = 10.15 cm. As pues, la longitud promedio ser:
La mnima escala del flexmetro es: 0.1 cm. Por lo tanto, la
incertidumbre absoluta es: Ix = 0.1/2 = 0.05 cm. El valor reportado
para la longitud: L = 10.1 0.05 cm.
Ver Foto
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MEDICION CON VERNIER CALIBRADOR MECANICO CALIBRADOR
DIGITAL2134561.- Mordazas para medidas externas.2.-Mordazas para
medidas internas.3.-Nonio para la lectura de fracciones de
pulgadas4.-Nonio para la lectura de fracciones de milmetros
.5.-Botn de deslizamiento y freno .6.-Escala con divisiones en cm y
mm ,en pulgadas y fracciones de pulgadas.Incertidumbre absoluta del
vernier : Ix =0.05/2= 0,025mm
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ExterioresPodemos decir que el dimetro de la esfera es con
seguridad mayor que 16 mm y menor que 17 mm, pero NO ES POSIBLE DAR
UNA LECTURA MS PRECISA. mejor estimacin de la longitud = 16.5
mmrango probable: 16 a 17 mm.valor medido de la longitud = 16.5 0.5
mm
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Interiores
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Lectura del vernierL.M = 0,05 mm.Lectura mnima =1/20
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1 cm. = 10 mm
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1.5 cm=15mm15mm+11( 0,05) mm15mm + 0,55mm =15,55mm.
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Micrmetro
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Escalas
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4,50 mm
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1,5 mm
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9,00 + 23 (1/100)=9,23 mm.
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Medicin Con Flexmetro
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CLCULOS PARA MEDICIONES DIRECTAS REPRODUCIBLES:Ejemplo Con
ToleranciaSe medi el volumen de un lquido con una probeta,
obtenindose los siguientes resultados: V1 = 40 ml; V2 = 40.5 ml; V3
= 40.5 ml ; V4 = 39.5 ml.El volumen promedio ser:
La probeta posee una tolerancia de: Ix = 0.6 ml.El valor
reportado para el volumen: V = 40.1 0.6 ml.
Ver Foto
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Medicin Con Probeta
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Clculos Para Mediciones Directas No ReproduciblesEl valor
promedio se calcula como:
; donde Li es el lmite inferior, es decir, el valor ms pequeo de
la medicin, y Ls es el lmite superior, es decir, el valor ms alto
de la medicin
El error se calcula como:
Ir a ejemplo
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CLCULOS PARA MEDICIONES DIRECTAS NO REPRODUCIBLESEjemplo Se midi
con un termmetro la temperatura ambiente a lo largo del da
obtenindose los siguientes valores:
La temperatura promedio ser:
El error en la temperatura ser:
El valor reportado de la temperatura ser: T = 16 3 C
Cant./#12345T, 0.05, C12.514.316.218.715.4
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Sea la funcin f = f( x, y, z ,...), que depende de las variables
x, y, z,; medidas como: El valor promedio de la funcin ser: ; es
decir, la funcin f evaluada en los promedios de las variables El
error calculado de la funcin (f ) se obtiene utilizando el mtodo de
la diferencial total:
Evalundola en los promedios y en las incertidumbres
correspondientes.Clculos Para Mediciones Indirectas
Ir a ejemplo
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Se tiene un resorte de constante, k = 217.35 0.07 N/m. Se desea
conocer qu elongacin soportar ante una fuerza de: F = 32.7 0.1 N.
Suponiendo obedece a la ley de Hooke: F = -kx. CLCULOS PARA
MEDICIONES INDIRECTASEjemploCALCULAR
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Despejando para la elongacin:
La elongacin promedio:
El error en la elongacin:
As pues, el valor reportado para la elongacin: x = 0.1505 0.0005
m.CLCULOS PARA MEDICIONES INDIRECTASEjemplo
Obteniendo la diferencial totalEvaluando la diferencial
totalEvaluando en los promedios
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Salida De Mediciones Directas Toda medicin se reporta con el
FORMATO ESTNDAR:C = IC uNombre de la cantidadValor Central o
promedioErrorUnidadesCifras significativas adecuadas
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Nombre de la CantidadEl nombre de la cantidad se escoge
procurando que:
Sea breve y Represente a la cantidad medida.
Por ejemplo, si se desea medir una temperatura, una letra
representativa ser: T, es decir:
T = 27.5 0.5 C
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Valor Central o PromedioEl valor central o promedio se establece
de acuerdo con el tipo de medicin que se est manejando:
Mediciones directas reproducibles:
Mediciones directas no reproducibles:
EJEMPLO: t = 31.2 0.2 s
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Error El error se asignar de acuerdo con el tipo de medicin que
se est llevando a cabo:
Mediciones directas reproducibles:
Incertidumbre: mitad de la mnima escala.Tolerancia: segn reporte
el fabricante. Mediciones directas NO reproducibles: IC = - Li
EJEMPLO: V = 12.7 0.3 ml
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UnidadesLas unidades las establece el aparato con el que se midi
dicha cantidad:
EJEMPLO: t = 31.2 0.2 s
EJEMPLO: T = 27.5 0.5 C
EJEMPLO: V = 12.7 0.3 ml
TermmetroCronmetroProbeta
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Cifras Significativas Se establecern en base a la precisin de la
medicin o al error. El redondeo se har desde la ltima cifra y subir
a partir del cinco. Con algunos ejemplos quedar ms claro.
Se midi con el flexmetro: = 16.1 cm ; IL = 0.05 cm.Entonces, la
longitud se reportar con UNA cifra significativa despus del punto
decimal: L = 16.1 0.05 cm.En total la cantidad tendr tres cifras
significativas.
2. Se midi con el cronmetro: = 5.125 s ; It = 0.2s.El tiempo se
reportar con UNA cifra significativa despus del punto decimal: t =
5.1 0.2 s.En total la cantidad tendr dos cifras significativas.
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Salida De Mediciones Indirectas Toda medicin se reporta con el
FORMATO ESTNDAR: f = If uNombre de la cantidadValor Central o
promedioErrorUnidadesCifras significativas adecuadas
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Nombre De La CantidadEl nombre de la cantidad se escoge
procurando que:
Sea breve y Represente a la funcin medida.
Por ejemplo, si se desea medir una rea, la letra representativa
ser: A, es decir:
A = 17.51 0.03 m2.
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Valor Central O Promedio Se calcula evaluando la funcin en los
valores promedio de las variables. Consideremos a la funcin f que
depende de las variables x, y, z, etctera: f = f(x, y, z,); Donde
las variables estn medidas como: El valor promedio ser:
Ir a ejemplo
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Valor Central O PromedioEJEMPLO Se calcula evaluando la funcin
en los valores promedio de las variables. Consideremos a la funcin
densidad, r, que depende de las variables masa, M; y volumen, V.r =
r(M, V), M = 17.2 0.05 g; V = 19.5 0.6 ml. El valor promedio
ser:
Ir a valor de la densidad
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Error El error se asignar obteniendo la diferencial total: sea
la funcin f = f(x, y, z,); Donde las variables estn medidas como:
El error se calcula de la siguiente manera:
Es decir, se deriva respecto de la primera variable tomndose
todas las otras variables como constantes, y luego se multiplica
por su incertidumbre correspondiente. Se contina derivando hasta
que se completan todas las variables; Evalundose, entonces, en los
valores promedio y las incertidumbres.Ir a ejemploIr aClculos ms
usuales
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Error, EJEMPLO El error se asignar obteniendo la diferencial
total: Consideremos a la funcin densidad, r, que depende de las
variables masa, M; y volumen, V. , con: M = 17.2 0.05 g; V = 19.5
0.6 ml. El error ser:
Calculando la Diferencial totalEvaluando la Diferencial totalIr
a valor de la densidad
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El Valor Reportado Para La Densidad Ser: = 0.88 0.03 g/mlValor
central o promedio(Ir a Clculo)Error(Ir a Clculo)
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Clculos Ms UsualesSean las cantidades
experimentales:SUMA:RESTA:MULTIPLICACIN:MULTIPLICACIN POR UN
ESCALAR:DIVISIN:
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Suma , JustificacinEn este caso, la funcin depende de dos
variables: f = f(x, Y). La funcin explcita es f = X+Y. Con esto
calculamos:Valor central o promedioErrorIr a ejemplo Regresar
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Suma , Ejemplo Se desea medir una longitud, L, mayor a 40 cm y
se dispone de una regla de 30 cm. As, se debe utilizar ms de una
vez el aparato. Es razonable pensar que el error en la medicin
aumentar tantas veces como se utilice este aparato. Dado que se
utiliza la regla dos veces, la primera vez ser nuestra x, y la
segunda vez ser nuestra y, de la siguiente manera:x = 30 0.05 cm, y
= 27.7 0.05 cm.
x + y = (30 + 27.7) (0.05 + 0.05) cm.L = x + y = 57.7 0.1
cm.ValoresEcuacinClculoValor reportado
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Resta , JustificacinEn este caso, la funcin depende de dos
variables: f = f(x, Y); Y la funcin explcita es f = X -Y. Con esto
calculamos:Valor central o promedioErrorIr a ejemplo Regresar
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Resta, EjemploSe desea medir una masa de agua utilizando una
bscula y una probeta.
1. Al medir la masa de la probeta seca se obtuvo:y = 238.7 0.05
g.2. Medir la masa de la probeta con agua se obtuvo:x = 278.3 0.05
g.x = 278.3 0.05 g, y = 238.7 0.05 g.
x - y = (278.3 - 238.7) (0.05 + 0.05) g.m = x - y = 39.6 0.1
g.
ValoresEcuacinClculoValor reportado
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Multiplicacin , JustificacinEn este caso, la funcin depende de
dos variables: f = f(x, y). La funcin explcita es f = x *y. Con
esto calculamos:Valor central o promedioErrorIr a ejemplo
Regresar
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Multiplicacin, EjemploSe quiere medir el rea de un rectngulo: A
=x*y.
x = 17.3 0.1 mm, y = 8.7 0.1 mm.
x * y = (17.3 * 8.7) (8.7*0.1 + 17.3*0.1).A = x * y = 151 3
mm2.
ValoresEcuacinClculoValor reportado
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Multiplicacin Por Un Escalar , JustificacinEn este caso, la
funcin depende de UNA variables: f = f(x); Y la funcin explcita es
f = a *x. Con esto calculamos:Valor central o promedioErrorIr a
ejemplo Regresar
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Multiplicacin Por Un Escalar, EjemploSe desea medir el permetro
de un crculo conociendo su dimetro, x: P = *x.
x = 17.3 0.1 cm.
a* x = (3.1415* 17.3) (3.1415 *0.1).P = a * x = 54.4 0.3 cm.
ValoresEcuacinClculoValor reportado
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Divisin , JustificacinEn este caso, la funcin depende de dos
variables: f = f(x, y). La funcin explcita es f = x /y. Con esto
calculamos:Valor central o promedioErrorIr a ejemplo Regresar
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Divisin, EjemploSe desea estimar la rapidez constante de un mvil
que parti del origen: v = x / y.
x = 1.33 0.005 m, y = 2.1 0.2 s.
ValoresEcuacinClculoValor reportado
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UnidadesLas unidades las establece el aparato con el que se midi
dicha cantidad:
EJEMPLO: = 0.88 0.03 g/ml
EJEMPLO: A = 17.51 0.03 m2
EJEMPLO: V = 2.7 0.1 m3
reaDensidadVolumen
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Cifras Significativas3. Se midi el volumen: = 72.15796 mm3 ; IV
= 0.074983 mm3.El volumen se reportar con DOS cifras significativas
despus del punto decimal: V = 72.16 0.08 mm3.En total la cantidad
tendr cuatro cifras significativas.
4. Se midi el rea: = 20433.97846 cm2 ; IA = 12.0570954 cm2.El
rea se reportar con CERO cifras significativas despus del punto
decimal: A = 20434 12 cm2.En total la cantidad tendr cinco cifras
significativas.
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Desviacin Estndar MediaEs una manera de asignar error a una
cantidad medida experimentalmente.Es una mejor alternativa para la
incertidumbre absoluta o para la Tolerancia cuando se cuenta con un
nmero grande (N 10) de mediciones realizadas bajo las mismas
condiciones experimentales.Proporciona la estimacin ms confiable
para el valor de la cantidad medida.Calcula la probabilidad de
encontrar el valor real para dicha cantidad dentro de un intervalo
conocido.
Contina
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Desviacin Estndar MediaEs un mtodo estadstico que utiliza
nicamente los valores experimentales medidos para encontrar una
cantidad determinada estimando el valor ms probable para su
error.Se necesita conocer la distribucin de probabilidad que
describe al experimento. En fsica, usualmente, una buena
aproximacin para sta es la distribucin NORMAL O GAUSSIANA.
Ir a ejemplo
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DESVIACIN ESTNDAR MEDIA, Ejemplo d = 37.07 0.03 cm
As pues, podemos decir que el valor real para esta cantidad se
encuentra dentro del intervalo: 37.04 a 37.1 cm con un 68 % de
probabilidad; dado que se reporta una desviacin estndar, y el
experimento est descrito por una distribucin normal.
Grficamente:Nombre = promedio desviacin estndar unidades
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Mediciones Directas (Objetivo)Son aquellas que se realizan
comparando directamente el patrn de medida con el objeto a medir.
Se deben tomar, al menos, diez de estas mediciones bajo las mismas
circunstancias experimentales. Por ejemplo, se midi la masa de diez
tapones de plstico con una bscula, obtenindose la siguiente
tabla:
Ir a Clculo
No de Tapn12345678910m, 0.05,
g7.27.27.157.257.257.27.157.27.27.15
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Mediciones Directas, Clculo (Objetivo)Calculamos el valor
central o promedio de la masa:
Calculamos la desviacin estndar media de la masa:
Smm = 0.011667 g
Ir a Formato estndar
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Mediciones Directas, SALIDA(Objetivo)Toda medicin se reporta con
el FORMATO ESTNDAR:Ejemplo: m = 7.20 0.01 g C = SC uNombre de la
cantidadValor Central o promedioErrorUnidadesCifras significativas
adecuadas
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NombreEl nombre de la cantidad se escoge procurando que:
Sea breve y Represente a la cantidad medida.
Por ejemplo, si se desea medir una masa, una letra
representativa ser: m, es decir:
m = 7.20 0.01 g.
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Valor PromedioEl valor central o promedio se calcula mediante el
promedio aritmtico:
Por ejemplo:
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Error(Objetivo) El error se asignar calculando la desviacin
estndar media:
Por ejemplo:
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Unidades, EjemploLas unidades las establece el aparato con el
que se midi dicha cantidad:
Bsculam = 7.20 0.01 g
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Cifras Significativas (Objetivo) Se establecern en base a la
precisin de la medicin o al error. El redondeo se har desde la
ltima cifra y subir a partir del cinco. Con algunos ejemplos quedar
ms claro.
Se midi con un flexmetro: = 1.15 cm ; SmL = 0.1358 cm.Entonces,
la longitud se reportar con UNA cifra significativa despus del
punto decimal: L = 1.2 0.1 cm.En total la cantidad tendr dos cifras
significativas.
2. Se midi con el cronmetro: = 5.125 s ; St = 0.03526 s.El
tiempo se reportar con DOS cifras significativa despus del punto
decimal: t = 5.13 0.04 s.En total la cantidad tendr tres cifras
significativas.
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Mediciones Indirectas (Objetivo)Son aquellas que presumen el
conocimiento de una o ms mediciones directas con sus respectivas
desviaciones estndar, y se obtienen efectuando un clculo matemtico
utilizando dichas mediciones directas. Por ejemplo: se desea medir
la densidad de un cilindro de aluminio; para ello, se midieron las
siguientes cantidades:La masa: m = 20.33 0.02 g.El volumen: V =
7591.1 0.9 mm3. Se utiliz la siguiente ecuacin:
Ir a clculo
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Mediciones Indirectas (Objetivo) Clculo. Dado que una medicin
indirecta se calcula, es preciso conocer entonces una funcin que
defina este clculo. Sea f una funcin que depende de las variables
x, y z, etctera: f = f(x, y, z, ...); donde: El valor central o
promedio de la funcin se obtiene evaluando en los promedios: El
error se calcula mediante la diferencial total:
Ir a ejemplo
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Mediciones Indirectas (Objetivo) Ejemplo. Aqu la funcin es: ;
que depende de las variables: m y V; donde: m = 20.33 0.02 g; V =
7591.1 0.9 mm3. El valor central o promedio de la funcin se obtiene
evaluando en los promedios: El error se calcula mediante la
diferencial total:
Ir a Formato estndar
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Mediciones Indirectas, SALIDA(Objetivo)Toda medicin se reporta
con el FORMATO ESTNDAR:Ejemplo: = 0.0002678 0.0000003 g/mm3 f = Sf
uNombre de laCantidad
Valor CentralErrorUnidadesCifrasSignificativas
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Mediciones Indirectas NombreEl nombre de la cantidad se escoge
procurando que:
Sea breve y Represente a la cantidad medida.
Por ejemplo, si se desea medir la densidad, una letra
representativa ser: , es decir:
= 0.0002678 0.0000003 g/mm3.
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Mediciones IndirectasValor Central o PromedioEl valor central o
promedio se calcula evaluando la funcin enlos valores promedio:
Por ejemplo:
= 0.0002678 0.0000003 g/mm3.
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Mediciones Indirectas Error (Objetivo)El error se asignar
calculando la desviacin estndar media:
Por ejemplo:
= 0.0002678 0.0000003 g/mm3.
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Mediciones Indirectas Unidades, EjemploLas establecen las
unidades de las cantidades con la que se calcul dicha funcin:
= 0.0002678 0.0000003 g/mm3.
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Mediciones Indirectas Cifras SignificativasSe establecen a
partir de la primera cifra que tiene error, por ejemplo:3. Se midi
el volumen: = 72.15796 mm3 ; IV = 0.074983 mm3.El volumen se
reportar con DOS cifras significativas despus del punto decimal: V
= 72.16 0.08 mm3.En total la cantidad tendr cuatro cifras
significativas.
4. Se midi el rea: = 20433.97846 cm2 cm2; IA = 12.0570954 cm2.El
rea se reportar con CERO cifras significativas despus del punto
decimal: A = 20434 12 cm2.En total la cantidad tendr cinco cifras
significativas.
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Tratamiento estadstico de datosTcnicas de ajuste de curvas :
a) Mtodo de regresin lineal
b) Mtodo de mnimos cuadrados
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Objetivos :Aprender a organizar y graficar los datos
experimentales haciendo uso de tablas y papeles grficos.
Aprender tcnicas de ajuste de curvas, principalmente el mtodo de
regresin lineal y el mtodo de mnimos cuadrados.
Obtener ecuaciones experimentales que describan el fenmeno fsico
e interpretarlas.
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FUNDAMENTO TERICOLos datos tericos en un proceso de medicin se
organizan en tablas. Las tablas de valores as confeccionadas nos
informan acerca de las relaciones existentes entre una magnitud y
otra, una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer
representaciones grficas en un sistema de ejes coordenados con
divisiones milimetradas, logartmicas o semilogartmicas, segn sea el
caso, con el fin de encontrar grficas lineales (rectas) para
facilitar la construccin de las frmulas experimentales que
representan las leyes que gobiernan el fenmeno. Las
representaciones grficas que aparecen con ms frecuencia son:Funcin
Lineal : Funcin Potencial: Funcin Exponencial:Funcin Cuadrtica:
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SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
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* CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEALCASO 1.
EXPONENCIALES t (s)V (volts)Descarga de un condensador
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* CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEALCASO 1. Las
exponenciales se transforman en lineales tomando logaritmos t (s)
ln (V/V0)
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Tipos de papel Papel milimetradoPapel logartmico Papel
semilogartmico
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A) Uso del papel milimetrado: Para el uso del papel milimetrado
se debe tener en cuenta lo siguiente :Se debe tener cuidado de
escribir los valores de las variables independiente en el eje de la
abscisas(X) y las variables dependientes en el eje de las
ordenadas(Y).La distribucin as obtenida se unen mediante una curva
suave usando una regla curva o trazo a mano alzada.Funcin Lineal:
La distribucin de puntos en el papel milimetrado es de tendencia
lineal, entonces, se realiza el ajuste de la recta mediante el
mtodo de regresin lineal por mnimos cuadrados. Esto significa que
la relacin que se busca tiene la forma de una recta, cuya ecuacin
es: y = b+mx ; en donde las constantes a determinar son: la
pendiente m y la ordenada en el origen (intercepto) b, siguiendo el
procedimiento que se detalla a continuacin.Primero se construye la
tabla n1.Se calcula la pendiente y el intercepto segn las
ecuaciones (1) y (2).
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y = b+mxCoeficiente de correlacinMNIMOS CUADRADOS
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Tabla n 1
...........
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B) Uso del papel logartmicoLos grficos de las relaciones de la
forma potencial en el papel logartmico son rectas de pendiente M =
n, que cortan en el eje vertical en: Se recomienda usar papel
logartmico de 3x3; en donde cada ciclo est asociado a una potencia
de 10, el origen de un eje logartmico puede empezar con 10-2, 10-1,
100, 101, 102, etc.Funcin Potencial: Al tomar logaritmo decimal a
la ecuacin : obtenemos:Que tiene la forma lineal :
En donde:
De esto, podemos observar que el mtodo de regresin lineal puede
seraplicado a una distribucin potencial de puntos.
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Para el uso del papel logartmico se toma el logaritmo decimal a
cada uno de los datos, construyendo as la tabla n 2 (construya esta
tabla, cuidando de colocar los valores con un mnimo de cuatro
decimales de redondeo en cada columna). Tabla n2
..................
-
Para determinar los valores de M y B, se usan las ecuaciones (3)
y (4).
Ahora para encontrar la ecuacin de la funcin potencial :
graficada en un papel milimetrado debemos determinar los valores
de
M y k. Del prrafo anterior se tiene que: M = m y
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DATOS EXPERIMENTALES DE APLICACIONSe analizan tres
experimentos:A)La conduccin de corriente por un hilo conductor de
micrn. B)La elevacin de agua en un depsito y C)La actividad
radiactiva del radn, en los cuales se obtiene los datos mostrados
en la tabla 3, 4 y 5.TABLA 3. Medida de la intensidad de corriente
elctrica conducida por un hilo conductor de micrn a una determinada
diferencia de potencial aplicada entre sus extremos. TABLA N3 TABLA
N 4
TABLA n4:Tiempo de vaciado de un depsito con agua y las alturas
del nivel para cuatro llaves de distintos dimetros.
INTENSIDAD(A)VOLTAJE(V)0,52,18 14,3628,72317,44434,88
Altura h(cm)30201041Dimetro d(cm) Tiempo de vaciado
t(s)1,57359,9432714241,233,724157,8318,414,9116,83,756,85,33,92,63,773,22,721,51,3
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TABLA 5:Porcentaje de la actividad radiactiva del Radn
TABLA N5
CLCULOS Y RESULTADOS :A) De la tabla 3, grafique en una hoja de
papel milimetrado V vs tB) De la tabla 4:En una hoja de papel
milimetrado grafique t vs D para cada una de las alturas.En la hoja
de papel milimetrado grafique t vs h para cada dimetroEn una de
papel logartmico grafique t vs D para cada una de las alturas.En un
papel logartmico grafique t vs h para cada dimetro.Realice el
siguiente cambio de variable: y grafique t = t (Z) en el papel
milimetrado.C) De la tabla 5:En una hoja de papel milimetrado
grafique A vs t.En una hoja de papel semilogartmico grafique A vs
t.
Tiempo t (das)012345678910Porcentaje de Actividad
A(%)10084705949413427242017