Capitulo 5 Anualidades IC

7/21/2019 Capitulo 5 Anualidades IC

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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades

CAPITULO V:

ANUALIDADE ! E"IE UNI#O"$E

%

UNIVE"IDAD DEL &UIND'O#ACULTAD DE IN(ENIE"'A

P"O("A$A ACAD)$ICO:

IN(ENIE"'A CIVIL


2/35


De*inici+n de anualidades

"enta o pago

Periodo de renta

Condiciones para ,ue una serie de pagos sea una anualidad

Clases de anualidades

Anualidades encidas

C.lculo de alor *uturo V# / alor presente VP de la anualidad 0A1

C.lculo del alor peri+dico 0"1

C.lculo del n2mero de pagos 0n1

C.lculo de la tasa de inter3s 0i1

Anualidades anticipadas / di*eridas

Anualidades perpetuas

ANUALIDADES SERIES UNIFORMES

4


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DEFINICIN DE ANUALIDAD:

Una anualidades una sucesi+n o con5untode pagos6 dep+sitos o retiros6generalmente iguales6 ,ue se reali7an en

perodos iguales de tiempo6 con inter3scompuesto8 El nom9re o t3rmino anualidadno implica ,ue las rentas tengan ,ue seranuales6 sino ,ue se da a cual,uiersecuencia de pagos6 iguales en todos loscasos8


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Anualidades:

En matem.ticas *inancieras6 anualidadsigni*ica pagos ;ec;os a interalos iguales detiempo6 ,ue pueden ser anuales6 semestrales6

trimestrales6 9imensuales6 mensuales odiarios8

Cuando en un pas ;a/ relatia esta9ilidad

econ+mica6 es *recuente ,ue se e*ect2enoperaciones mercantiles a tra3s de pagosperi+dicos6 con inter3s compuesto6 como enlas anualidades8


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En las anualidades6 cuando se 9usca *ormar uncapital6 se denomina fondos + imposiciones/cuando se trata de cancelar una deuda6 se ledenomina amortizaciones8

El estudio de las anualidades es de muc;aimportancia en *inan7as6 entre otras ra7ones6por,ue esel sistema de amortizacinms comn

en los cr!ditos comerciales" #ancarios $ de%i%ienda&

Anualidades:


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Anualidad:

Este sistema de pagos permite ,ue el*inanciador6 cada e7 ,ue reci9e el pago dela cuota6 recupere parte del capital

prestado8


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Para ,ue un con5unto de pagos se considere una anualidadde9e cumplir con las siguientes condiciones:

1. Todos los pagos deben ser iguales.

2. Todos los pagos deben ser peridicos.

3. Todos los pagos son llevados al principio o al finalde la serie, a la misma tasa, a un valor

equivalente; es decir, la anualidad debe tener unvalor presente y un valor futuro e-ui%alente.

4. El nmero de pagos debe ser igual al nmero deper!odos.

C)NDICI)NE. *A'A /UE UNA .E'IE DE*A+). .EA UNA ANUALIDAD:

?


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CLA.E. DE ANUALIDADE.:

eg2n la modalidad de pago6 las clases de anualidadesm.s comunes6 son las siguientes:

a8 Anualidad Vencida: e caracteri7a por ,ue los

pagos se reali7an al *inal de cada perodo8E"emplo: el pago de un cr3dito en la compra deelectrodom3sticos6 una iienda + un carro8

98 Anualidad Anticipada:e caracteri7a por ,ue lospagos se ;acen al comien7o del perodo8E"emplo:el pago de arrendamientos8

@


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Clases de anualidades:

c8 Anualidad Di*erida: En 3stas el primer pagoaparece posteriormente al primer perodo8E"emplo: los cr3ditos con perodo de gracia como

los ,ue mane5a el ICETE8

d8 Anualidad Perpetua: Es a,uella donde no eBisteel 2ltimo pago6 o a,uella cu/o pla7o no tiene *in8

E"emplo: los *ondos constituidos para premios +9ecas6 como el caso del Premio No9el8

@


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ANUALIDAD 0ENCIDA:

En las anualidades encidas sus principalescaractersticas son:

%8 Los pagos o cuotas son iguales8

48 Los periodos son iguales88 La tasa de inter3s no cam9ia8


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+'1FICA DE LA ANUALIDAD 0ENCIDA:

Donde: ': Pagos Peri+dicosA: Valor Presente de la Anualidad VPA

n: N2mero de Pagos o Cuotas

0F: Valor #uturo de la Anualidad V#AF

V#


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El Valor Presente de este tipo de anualidad (R)que implica la suma de todos esos fujosactualizados al momento 0 se dene como:

Anualidad %encida:

%G

+n

n

ii

iRA

)1(*1)1(*

+

+=

i

iRA

n+=

)1(1*

n

i

R

i

R

i

RA

)1(

1*...

)1(

1*

)1(

1*2

+

++

+

+

+

=


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Como contrapartida al valor presente del fujo setiene, el Valor Futuro de una anualidad (VF) queimplica la suma de todos esos fujos llevados alperiodo n y se dene como:

Anualidad %encida:

%%

i

iRVF

n 1)1(*

+=

Rn

iRn

iRVF ++

+++= ...1

)1(*)1(*


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Clculo del 0alor Futuro 20F3 $ el 0alor

*resente de la Anualidad 2A3:Con los conocimientos preios o9tenidos en inter3scompuesto se puede proceder de la siguiente *orma:

%4

Donde: ': Pagos Peri+dicos

A: Valor Presente de la Anualidadn: N2mero de Pagos o Cuotas

0F: Valor #uturo de la Anualidad

Anualidad %encida:

i

iRVF

n 1)1(*

+=

i

iRA

n+=

)1(1*


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Solucin:

R !"#$%&'j "* (nominal)n + - # (./mero de cuotas restantes)0a tasa de1e coincidir con el periodo: i j 2 mi &," 2 + &,& mensual

Respuesta: El valor presente a pa3ar 4oy para podercancelar el valor del cr5dito es de !%$6%6&,$6%

E4emplo 5:

%

7ace meses la empresa 89C adquiri uncr5dito por el cual cancela cuotasmensuales i3uales de !"#$%&', a una

tasa del "* nominal, considerando queel plazo total del cr5dito es de + meses%;Cu

0,73$14.735.34015,0

)015,01(1*065.897

19

=

+

=

A

i

iRA

n+

=)1(1

*


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Solucin:R !+&%&&&

j +&* converti1le trimestre vencidon + cuotasi j 2 m &,+& 2 &,& ?rimestral

@ero la tasa que se requiere es mensual, por lo tanto:

(Ai)n (Ai+)n+ ( A &,&) ( A ?EB)+

espejando: ?EB (,&)2+- &,&'6#'6'"

Respuesta: El valor presente a depositar 4oy para poderrealizar retiros mensuales de !+&%&&&%&& durante + aDos es

de !+%6'%,6% %>

E4emplo 6: ;Cu

,43$2.365.1156810,01639635

)6810,016396351(1*000.12024

=+

=

A

i

iRA

n+

=)1(1

*


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i lo que se quiere es 4allar el valor de los pa3os ocuotas i3uales, se despeja R en las ormulas de valorpresente y valor uturo, as=:

Clculo del pa7o peridico 2'3:

%?

Anualidad %encida:

i

iRVF

n 1)1(*

+=

i

iRA

n+

=)1(1

*

1)1(*+

=n

i

iVFR

ni

iAR

+

=

)1(1

*


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Solucin:

8 !%&&&%&&& - !+%&&&%&&& !+%&&&%&&&i &,&+ mensual (0a tasa de inter5s coincide con el periodomensual)

n + cuotas

Respuesta: El valor de cada una de las cuotas mensuales(R) ser< de !"&%&'6,#%

%@

E4emplo 8: ;Cu

4$180.063,9)0121,01(1

0121,0*000.000.2

)1(1

*

12 =

+

=

+

=ni

iAR

ni

iAR

+

=

)1(1

*


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G3ualmente, de las ormulas de valor presente yvalor uturo, se despeja n, y se utiliza la rmulase3/n los datos conocidos:

i se conoce 8

i se conoce VF

Clculo del nmero de pa7os 2n3:

%

Anualidad %encida:


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ANUALIDADE. AN(ICI*ADA. 9 DIFE'IDA.:

EBisten situaciones en las ,ue el primer pago se;ace o se reci9e al *inali7ar el primer periodo6mientras ,ue el alor *uturo se encuentra en la

misma *ec;a ,ue el 2ltimo pago6 pero estasituaci+n no siempre se cumpleH cuando ello nose da6 se ;a9la de anualidades anticipadas"caracterizadas por-ue el primer pa7o apareceal principio de cada per,odo / de anualidadesdiferidas" donde el pa7o aparece despu!s delprimer per,odo8

%F


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Anualidades anticipadas $ diferidas:

En las anualidades de este tipo + cual,uiera ,ueconseren las caractersticas de las encidas menosque los pagos coincidan con las fec#as estipuladas6los c.lculos se ;acen ;allando el alor *uturo V#+ el alor presente A / 3ste como 2nico alor sellear. o traer. en el tiempo a tra3s de las*+rmulas conocidas en inter3s compuesto8

%F


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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades 4G

O9sere ,ue si se ;alla el alor presente por medio de la *+rmula deanualidad se u9icara en el perodo m6 es decir6 un perodo antes delprimer pagoH por lo cual es necesario traer el alor presente 0A1 alperodo 8

Este %alor se trae con la frmula modificada de inter!scompuesto al per,odo " es decir -ue se aplica la si7uiente

frmula:


G

m

n

ii

iRA

++

= )1(*)1(1

*


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En caso contrario6 o sea6 cuando muc;as eces el alor *uturo ,ue

interesa 0V#1 se encuentra en uno o arios perodos despu3s del2ltimo pago:

*ara ;allar el 0F es necesario lle%ar la frmula ;asta elper,odo n


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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades 44


En el caso de ,ue el primer pago coincida con el c.lculo del alorpresente 0A16 sencillamente el eBponente 2=m3 se toma i7ual a2536 donde la *+rmula se simpli*ica6 as:

m

n

ii

iRA

++

=

)1(*

)1(1

*

1)1(*)1(1

* ii

iRA

n

++

=


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Solucin: @ara poder comparar las dos opciones, se de1enu1icar en una misma ec4a% @ara la opcin H1I se conoce el valorpresente, por lo tanto, se pueden traer a valor presente lospa3os realizados en la opcin HaI%

R !&&%&&&8 >n +i &,+& ?E8

4

E4emplo >:

En este caso ,ue el primer pago coincide con el

c.lculo del alor presente 0A16 aplicamos: 0-m1 %

El Ing. Prez tiene dos posibilidades para arrendarsu vivienda por un ao:a% Co1rar mensualmente !&&%&&& (pa3oanticipado)%1% Co1rar !%&&%&&& al inicio del contrato%Considerando que am1os ne3ocios rentan al+&* E8, ;Cu

1)1(*)1(1

* ii

iRA

n

++

=


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Como el inter5s HiI no concuerda con el per=odo mensual,aplicamos el c


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8 !"%&&&%&&&

n + pa3osj "* converti1le semestrali > i j 2 m &," 2 + &, emestralR >

Solucin: la tasa no concuerda con el per=odo mensual, por

tanto, aplicando el c

E4emplo ?: Despu3s de ;a9er negociado el arrendamientoanual de una 9odega6 la empresa AJC Ltda86tuo ,ue pagar por anticipado K%8GGG8GGGH sila empresa negoci+ 9uscando o9tenerrendimientos e,uialentes al % conerti9lesemestralmente6 MCu.l *ue el alor del canonmensual de arrendamiento e,uialente


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Con la tasa equivalente 4allada se reemplaza en larmula:

Respuesta: El valor mensual del canon dearrendamiento equivalente ser=a de !%'+%6&',$'%

4?

.olucin E4emplo ?:

En este caso ,ue el alor presente 0A1 coincidira con el c.lculo

del primer pago6 aplicamos: 0-m1 %

mnii

iAR

++

=

)1(*))1(1(

*

,76$1.621.306

)20.014466591(*))20.014466591(1(

20.01446659*000.000.18112

=

++

=

R

R


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R !&&%&&& 1imestralesn 6' cuotas 1imestrales (' aDos)m + 1imestres (depsitos no eectuados en + aDos)

ja &, nominal trimestre anticipado

Solucin:@rimero por conversin de tasas de nominal a peridica:

ia ja2 m &,2 &,&+$ trimestre anticipado

e3undo se pasa de una tasa peridica anticipada avencida:i ia 2 ( J ia) &,&+$ 2 ( - &,&+$) &,&+"+$$'6

?rimestral 4@

E4emplo @: MCu.nto se de9er. tener en un *ondo ,uerenta al %% nominal trimestre anticipado6 enun perodo total de a=os6 si se ;an enido

;aciendo dep+sitos 9imestrales de K


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?ercero, por tasas equivalentes de trimestre a 1imestre, setiene:

(Ai)n (Ai+)n+ ( A &,&+"+$$'6) ( A ?E9)'

?E9 &,&"$'&&$

@or /ltimo se aplica la ormula:

Respuesta: En el ondo se de1er


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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades 4F

ANUALIDADE. *E'*E(UA.:

EBisten algunas situaciones en las cuales se desea o9tener un pagoconstante a tra3s del tiempo6 es decir6 ,ue ntiende a in*inito6 pore5emplo6 algunos premios como el No9el + un legado para algunaso9ras de 9ene*icencia8

*erpetuidad corresponde a un per!odo de tiempo lo

suficientemente grande para considerar los flu"os finalescomo poco relevantes dado que al descontarlos al a$o%&' son insignificantes.

i

iRA

n+

=)1(1

*i

RA =


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upon3amos que un empresario decide ju1ilarse a los & aDos yreci1ir una renta vitalicia de !%&&&%&&& mensuales 4asta que se

muera%0a tasa de inter5s planteada es del * mensual y la empresa,que le dar< la renta, de1e suponer una Hlar3a vidaI para elempresario (suponen podr=a lle3ar a los #& tal vez a los #aDos de edad)%

;Cu

En ri3or, usando la rmula de valor presente de una

anualidad vencida (no perpetua) se tendr=a que:

i vive #& aDos: 8! #%$"%",+& (K)

i vive # aDos: 8! #$%'"&%6#,'& (K)

K8m1os valores muy cercanos a los !&& Billones%G

E4emplo @:

000.000.500$01,0

000.000.5===

i

RA

i

iRA

n+

=)1(1

*


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4GG?8 4


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ECONOMA PARA INENIERO!

"RACIA! POR !# A$ENCI%N&

Ing. Ana Mar'a (ern)ndez Arenasa*+ernandez,uni-uindio.edu.o
mailto:[email protected]:[email protected]

Capitulo 5 Anualidades IC

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