capitulo - 3

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Capítulo 2

Vetores

Prof. Anderson Gomes Vieira

Teresina - PI

Universidade Federal do Piauí - UFPI

Centro de Tecnologia – CT

Departamento de Engenharia Mecânica


Vetores cartesianos


Componentes retangulares de um vetor

Em geral, quando A está direcionado dentro de um octante do

sistema x, y, z:


Componentes retangulares de um vetor

Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se

decompô-lo em componentes, como:

A = A’ + Az

e depois

A’ = Ax + Ay.

Combinando essas equações, para eliminar A', A é representado

pela soma vetorial de suas três componentes retangulares,

A = Ax + Ay + Az


Vetores cartesianos unitários

Os vetores cartesianos unitários são mostrados na figura abaixo:


A = Axi + Ayj + Azk

Separando-se a intensidade e a direção de cada vetor componente,

simplificam-se as operações da álgebra vetorial, particularmente em

três dimensões.

Representação de um vetor cartesiano


Intensidade de um vetor cartesiano

É sempre possível obter a intensidade de A, desde que ele seja

expresso sob a forma de um vetor cartesiano.

temos:


Direção de um vetor cartesiano

A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados α

(alfa), β (beta) e γ (gama), medidos entre a origem de A e os eixos

x, y, z positivos, desde que estejam localizados na origem de A.



Para determinarmos α, β e γ, vamos considerar as projeções de A

sobre os eixos x, y, z.



Com referência aos triângulos sombreados de cinza claros

mostrados em cada figura, temos:



Um modo fácil de obter os cossenos diretores é criar um vetor

unitário uA na direção de A.



Se A for expresso sob a forma de um vetor cartesiano, A = Axi + Ayj

+ Azk, então uA terá uma intensidade de um e será adimensional,

desde

que A seja dividido pela sua intensidade, ou seja,

vemos que as componentes i, j, k de uA representam os cossenos

diretores de A, ou seja,

uA = cos αi + cos βj + cos γk



Pode-se estabelecer uma relação importante entre os cossenos diretores

como:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

A pode ser expresso sob a forma de vetor cartesiano como:

A = AuA

A = A cos α i + A cos β j + A cos γ kA = Axi + Ayj + Azk



Algumas vezes, a direção de A pode ser especificada usando dois

ângulos, θ e ϕ (fi),


A adição de vetores cartesianos

A força resultante poderá ser

escrita como:

FR = ΣF = ΣFxi + ΣFyj + ΣFzk


Capítulo 3

Equilíbrio de uma partícula


Objetivos do capítulo

Introduzir o conceito do diagrama de corpo livre (DCL) para uma

partícula.

Mostrar como resolver problemas de equilíbrio de uma partícula

usando as equações de equilíbrio.


Condição de equilíbrio de uma partícula

Para manter o equilíbrio, é necessário satisfazer a primeira lei do

movimento de Newton:

onde ΣF é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre a partícula.


Molas

Uma característica que define a ‘elasticidade’ de uma mola é a

constante da mola ou rigidez k. A intensidade da força exercida

sobre uma mola linearmente elástica é: F = ks.


Cabos e polias

Para qualquer ângulo θ mostrado na Figura a seguir, o cabo está

submetido a uma tração constante T ao longo de todo o seu

comprimento.


Procedimento para traçar um diagrama de corpo livre

Desenhe o contorno da partícula a ser estudada.

Mostre todas as forças.

Identifique cada força


Sistemas de forças coplanares

Para que essa equação

vetorial seja satisfeita, as

componentes x e y da força

devem ser iguais a zero.

Portanto,


É importante notar que se a força tiver intensidade desconhecida, o

sentido da seta da força no diagrama de corpo livre poderá ser assumido.

Nesse caso, é assumido que a força incógnita F atua para a direita a fim

de manter o equilíbrio.

Sistemas de forças coplanares


Sistemas de forças tridimensionais

No caso de um sistema de forças tridimensional, como na figura a

seguir, podemos decompor as forças em suas respectivas

componentes i, j, k, de modo que ΣFxi + ΣFyj + ΣFzk = 0.


Para satisfazer essa equação é necessário que:

ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣFz = 0

Sistemas de forças tridimensionais


Problema 1. Determine a força em cada corda para o equilíbrio da caixa de 200 kg. A

corda BC permanece na horizontal devido ao rolete em C, e AB tem um comprimento

de 1.5m. Considere y = 0.75 m.

DCL


Problema 2. Duas forças F1 e F2 atuam sobre o gancho. Se suas linhas de ação

forma uma ângulo θ e a intensidade de cada força F1=F2=F, determine a intensidade

da força resultante FR e o ângulo FR e F1.

DCL

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