Caca Captulo 5
CAPACITORES Y DIELCTRICOS 5.1 Capacitor Es un dispositivo formado por dos conductores muy prximos uno al otro y con cargas de igual magnitud pero de signos diferentes Este dispositivo cumple con la siguiente relacin:q = C.V
q: carga de cualquiera de los conductores a b. V: diferencia de potencia entre a y b. C: constante de proporcionalidad, entre la carga q y la diferencia de potencial V, llamada CAPACITANCIA del capacitor. En el S.I la unidad de capacitancia es el FARADIO (F). FARADIO = COULUMB VOLTIO Submltiplos: 1F= 1pF= F ( F: microfaradio) F (p F: picofaradio)
5.2 Clculo de la capacitancia
5.2.1 Es un capacitor de places paralelas
C=
5.2.2 En un capacitor cilndrico?????? ??????
??????=longitud del capacitor ( >> b) 5.2.3 En una esfera conductora aislada C=4 5.3 Asociacin de capacitores 5.3.1 En serie = R: radio de la esfera
= 5.3.2 En paralelo =
+
5.4 Energa almacenada en un campo electrnico
W = U =
5.4.1 Densidad de energa ( )
( )
( E es el campo elctrico creado en el capacitor).
5.5 Capacitor de placas paralelas con un dielctrico. Se cumple que:
U= : Constante dielctrica, (diferencia para cada material). NOTA: la capacitancia de cualquier tipo de capacitor aumenta en el factor k. Si el espacio entre sus placas se llena con un dielctrico. 5.5.1 Campo elctrico en el dielctrico: E=
Donde es el valor de la carga inducida por unidad de rea sobre las superficies del dielctrico. NOTA: Al insertar el dielctrico sin aceleracin, el sistema formado por el capacitor ms el dielctrico, realizarn trabajo positivo sobre el agente que insertar el dielctrico, dado por: W= ( )
5.3.2 La densidad de energa viene dado por: 5.6 La ley de Gauss y los dielctricos 5.6.1 Cuando no existe dielctrico
5.6.2 Cuando existe dielctrico
es la carga superficial inducida en el dielctrico, diferente de la carga Luego de (I) y (II):
E=
=
Tambin:
q = q (
)
En conclusin, la ley de Gauss para un capacitor con dielctrico es:
NOTA: Esta ltima, relacin deducida para un capacitor de placas paralelas es vlida en general y es la forma usual en que se escribe la ley de Gauss cuando existe dielctricos. Debe notarse que q es slo la carga libre del capacitor
CAPACITORES Y DIELCTRICOS
La diferencia de potencial, entre las armaduras de un condensador que se encuentran separadas 0,1 m, es igual a 3000 voltios, una esferita de masa 3,0 gramos y carga "-q" se encuentran sujeto a una de las placas mediante un hilo se seda. Hallar "q". g = 10 N/Kg Solucin: Realizamos el D.C.L cargada: de la esfera
De la condicin de equilibrio, la fuerza resultante es igual a cero. Del tringulo de fuerzas. q , E =mg . . . . . ( 1 )
Clculo de la intensidad del campo homogneo: V=E.d Reemplazamos datos en (1): E=q = 1,0 C
:
E=3.
N/C
La diferencia de potencial entre las placas de un condensador es 240 KV. Determinar el trabajo realizado por un agente externo para trasladar una carga q = 50 C, desde el punto A hasta la posicin B.
solucin: diferencia de potencial entre las placas del condensador, es igual al producto de la intensidad del campo homogneo "E" por la distancia entre las placas. V = E. ; 240KV = E ( 3d )
E.d = 80 KV . . . . . ( 1 ) Diferencia de potencial entre los puntos A y B: ( ) = E . d = 80 KV >
Trabajo realizado para trasladar la carga "q": =q ( Reemplazando datos en ( 2 ): = 50.= +4J
-
) .....(2)
C ( 80 000 V )
3. Es una de las placas de un condensador plano de capacidad "C" hay una carga "+q" y en la otra, una carga "+4q". Hallar la diferencia de potencial entre las placas del condensador.
Solucin: Aadamos a cada placa la carga q = 5q/2 ( semisuma de las cargas de las placas tomada con signo contrario ). Entonces el condensador resultar cargada "normalmente" y las cargas de las placas sern 3q/2. La diferencia de potencial entre las placas ser: V= =
Pero los campos de las cargas 3q/2 de las placas dentro del condensador se componen uno a otro. Por consiguiente, las cargas que hemos aadido no cambian el campo entre las placas ni la diferencia de potencial en el condensador.
4. en un condensador plano una armadura tiene carga = +70 C y la otra, la carga = +10 C. Dentro del condensador, y paralela a las armaduras, se coloca una placa metlica sin carga. Qu magnitud de carga se inducir en las superficies izquierda y derecha de la placa?
Solucin: En principio le daremos la forma natural de un condensador, mediante el siguiente artificio: a cada placa le aadimos la carga q = - ( + )/2 (semisuma de las cargas de las placas tomada con sigo contario). Entonces el condensador resultar cargado con la siguiente magnitud:
Q=(
) y signos diferentes:
Luego: Q = 30 C
Cuando colocamos el metal entre las placas del condensador, la placa metlica se polariza, por consiguiente:q=Q=( ) = 30 C
5. Una partcula penetra en un condensador plano paralelamente a sus lminas con una velocidad igual a = 1000 m/s. La partcula tiene una masa m = kg y carga elctrica q = 200 C. Hallar el ngulo " " que forma la velocidad de la partcula, cuando sale del condensador, respecto de la horizontal; sabiendo que la intensidad del campo elctrico es E = 1000 N/C , adems: L =0,05 m. Deprecie el campo gravitatorio. Solucin: En el eje X, la fuerza resultante es igual a cero, sobre la partcula, entonces se cumple el M . R . U: e= .t L= .t t= .....(1)
Clculo de la aceleracin en el je y, de la segunda Ley de Newton:
a=
=
a=
.....(2)
Clculo de la velocidad final en el eje y: Reemplazando ( 1 ) y (2 ) en ( 3 ): Clculo del ngulo " ": Tg = = arc Tg *
= =
+
.t.....(3) ......(4)
=+
De los datos =
.
6. Una esferita de masa "m" y de carga "+q" est suspendida de un hilo delgado de longitud "L" dentro de un condensador plano de lminas horizontales. La intensidad del campo del condensador es igual a "E", las lneas de fuerza estn dirigidas hacia abajo, Se pide encontrar el perodo de oscilaciones de este pndulo. Solucin: El periodo de un pndulo depende de la longitud del hilo y de la "gravedad efectiva" del campo donde se encuentra oscilando.T=2
......(1)
La esferita se mueve por accin de dos fuerzas "mg" y "qE" constantes en mdulo, direccin y sentido, por consiguiente se puede determinar un campo de fuerzas equivalente al sistema. Clculo de la gravedad efectiva. Ley de Newton: Reemplazando ( 2 ) en ( 1 ): T=2 = ......(2)
*
+
7. Dentro de un condensador plano cuyo campo tiene una intensidad igual a "E", gira uniformemente una esferita de masa "m" y carga elctrica "+q", suspendida de un hilo de longitud "L", el ngulo de inclinacin del hilo respecto a la vertical es igual a "". Hallar la velocidad angular de la esferita.
Solucin: En principio la esferita se mueve en una superficie equipotencial elctrica y gravitatoria, describiendo una trayectoria circular. Haciendo el D. C. L de la esferita y aplicando las leyes de Newton. F (radiales) = m . T.sen = m . .R ..... (1)
pero:
R = L . sen T = m. *Fy = 0 T. cos = m . g + q E .....(3) . L . cos = mg + q . E)
En ( 1 ):
. L
.....(2)
Reemplazando ( 2 ) en ( 3 ): Despejando tenemos:
m.
( =
8. En el circuito elctrico mostrado, determinar la carga acumulada por el capacitor de 6 F, sabiendo que la diferencia de potencial entre los extremos A y B es 10 voltios. Solucin:
Los condensadores de capacidad 3 F y 6 F estn instalados en serie, por consiguiente almacenan igual cantidad de carga q. Los condensadores de capacidad 2 F y 6 F estn instalados en paralelo, por consiguiente las cargas acumuladas sern q y 4q respectivamente. Analizando el condensador equivalente:
5 q = ( 10 V ) (10 q = 20 C Luego, la carga acumulada en cada placa, por el condensador de 6 F es 20 C. 9. En el circuito elctrico mostrado, determinar la carga acumulada por el capacitor de 3 F, sabiendo que la diferencia de potencial entre los puntos A y B son 30 voltios. Solucin: Cuando dos ( o ms ) condensadores estn instalados en paralelo, las cargas aculadas, las cargas acumuladas son directamente proporcionales a sus capacitores. Cuando dos ( o ms ) condensadores estn instalados en serie, todos los condensadores en serie almacenan igual cantidad de carga independientemente de sus capacidades.
Luego la capacidad equivalente, placa una carga de magnitud 3q.
=2
F, almacena en cada
=
.
; ;
3 q = ( 30 V ) ( 2 F ) q = 20 C
3 q = 60 C
Finalmente, el condensador de 3 F almacena en cada placa una carga de magnitud 60 C. 10. Entre las placas de un condensador plano de rea A y distancia de separacin a entre las placas. Existe un perfil metlico de altura b cuyas bases tienen igual rea que las placas del condensador, dicho perfil se desplaza verticalmente sin ponerse con ninguna de las placas. Determinar la capacidad equivalente del sistema as formado. Solucin: El sistema equivalente es igual a la asociacin de dos condensadores instalados en serie. El perfil metlico se polariza, tal que, en su interior el potencial elctrico es constante y el campo elctrico es nulo. = donde: = . y = = = . . . ..... (1) ; x+y=(ab)
Reemplazando en ( 1 ): Luego:
11. Un condensador de placas paralelas de capacidad 6 F es cargado con 12 C. Este condensador se conecta a un condensador de capacidad 2 F descargado, como indica la figura. La carga que al final adquiere el condensador de 2 F ser:
Solucin: Al cerrar los interruptores, se establece un flujo de cargas elctricas entre las armaduras de los condensadores, debido a la diferencia de potencial. El flujo de cargas cesa cuando las armaduras alcanzan igual potencial elctrico. Por consiguiente los condensadores estn sometidos a la misma diferencia de potencial V. Entonces las cargas almacenadas por cada condensador sern directamente proporcional a sus capacidades. Principio de conservacin de las cargas elctricas: = ; 12 C = q + 3qq=3C
carga almacenada por el capacitor 2 F:
12. la capacidad equivalente entre los puntos X Y es 14 F. Calcular la capacidad equivalente entre los puntos Y Z. Solucin: Capacidad equivalente entre los puntos X Y: = C + 2 F = 14 FC = 12 F
Capacidad equivalente entre los puntos Y Z:=7F
13. Determinar la capacidad equivalente, de los condensadores, idnticos de capacidad C cada uno, entre los puntos 1 y 2.
Solucin: Todos los puntos de un alambre conductor poseen el mismo potencial elctrico.
Se puede observar que la diferencia de potencial entre las placas del condensador es constante, eso quiere decir que estn instalados en paralelo.
14. determinar = 3C la capacidad equivalente, de los condensadores idnticos de capacidad C cada uno, entre los puntos 1 y 2.
Solucin: Todos los puntos de un alambre conducto poseen el mismo potencial elctrico.
Analizando la diferencia de potencial entre las placas de cada condensador.
Finalmente:
=2C
15. hallar la capacidad del sistema de condensadores idnticos entre los puntos 1 y 2. Las cuatro lminas son idnticos de rea A y separadas la misma distancia d. Adems: Solucin: Analizando la diferencia de potencial entre las placas. C= .
Con cuatro lminas se puede formar tres ( 3 ) capacitores. La capacidad equivalente: = +C
Luego:
= c
16. hallar la capacidad del sistema de condensadores idnticos entre los puntos 1 y 2. Las cuatro lminas son idnticos de rea A y separadas la misma distancia d.
Adems: Solucin:
C=
.
Analizando la diferencia de potencial entre las placas.
Con cuatro lminas se pueden formar ( 3 ) condensadores: Luego, la capacidad de potencial entre las placas: = C
17. Hallar la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 del circuito, si la f . e . m, es = 110 V. Solucin: La diferencia de potencial entre 1 y 2 es:
=
..(1)
b) Los condensadores en serie, acumulan igual cantidad de carga. Los condensadores en paralelo, acumulan cargas cuya magnitud es directamente proporcional a sus capacidades.
c) La capacidad equivalente es: Luego:
.C
110 V =
= 20 V
. . . . .( 2 )
d) Reemplazamos (2) en (1):
= 10 V
18. Un condensador de capacidad =3 se conecta, por medio del conmutador K, primero con una batera de f. e . m = 7 V y despus, con un condensador sin carga de capacidad = 6 . Hallar la carga final acumulada por cada condensador. Solucion: 1)Primer caso: instalado con la batera de la carga acumulada. = 7 V. Clculo
q= . q = 7 V.3
= 21
. . . . . (1)
2) Segundo caso: instalado con el condensador . La carga q se reparte directamente proporcional a las capacidades y , debido a que la diferencia de potencial entre las placas es el mismo para ambos capacitores. V= = = =2 . . . . . (2)
3) Por el principio de conservacin de las cargas elctricas. q= Luego + 21 C = +
=7 Cy
= 14 C
19. la figura muestra un hexgono regular junto con sus diagonales, en cada segmento se instala un condensador de capacidad igual a C. El hexgono se conecta a un circuito entre los puntos 1 y 2 como se indica en la figura. Encontrar la capacidad equivalente al sistema. Solucin: En el caso dado es fcil observar que el esquema posee un eje se simetra, todos los puntos contenidos en el eje plano de simetra se encuentran a igual potencial elctrico. Por consiguiente los puntos , y tienen igual potencia e igual semisuma de los potenciales de los puntos 1 y 2. De acuerdo a la regla establecida estos tres puntos , y ; se pueden unir en uno solo llamado. M, como resultado de esto la asociacin de condensadores considerado se descompone en dos sectores unidos en serie uno de los cuales se indica en la figura ( a ). Clculo de la capacidad equivalente entre los puntos 1 y 2.
=
20. determinar la capacidad entre los puntos A y B de un circuito ilimitado formado por la sucesin de una cadena de condensadores idnticos de capacidad C cada uno:
Solucin:
Luego:
= +
;
+C.
-
= 0)
Resolviendo la ecuacin de 2do grado:
= (
21. La figura muestra dos capacitores en serie, en donde la seccin rgida central de longitud b se puede desplazar verticalmente. Demostrar que la capacitancia equivalente de la combinacin en serie es independiente de la posicin de la seccin central y esta dado por: C= Solucin: Para capacitores planos se tiene que: C= + = +
Pero la capacidad equivalente C del sistema es: = En la figura tenemos: De donde: C= = =
Que es independiente de la posicin. 22. entre las placas de un capacitor de placas paralelas se induce una placa de cobre cuyo espesor es b, tal como se muestra en la figura. La placa de cobre esta justamente a la mitad entre las placas del capacitor. Cul es la capacitancia? a) antes y b) despus de introducir el cobre? Solucin:
a) Para capacitores de placas paralelas sin dielctrico se tiene: C= b) cuando se introduce el dielctrico de cobre se forma en este caso dos capacitores iguales en serie cada una con una capacidad de: = Luego la capacidad equivalente es: Pero en la figura tenemos que: C= ) = =
=(C=
23. cuando el interruptor S de la figura se mueve hacia la izquierda, las placas del capacitor adquieren una diferencia de potencial . Los condensadores y estn inicialmente descargados. A continuacin se mueve el interruptor hacia a derecha. Cules son las cargas finales , y , en los capacitores correspondientes? Solucin: a) Al mover el interruptor S hacia la izquierda el condensador adquiere la carga = mientras que y estn descargados. b) En seguida movemos el interruptor S hacia la derecha. Entonces la carga se reordena en los 3 condensadores as se tiene que: = + + ; = V+( )
Siendo V el potencial comn: Entonces: * +
Entonces la nueva carga
es:
= = .
24. dos capacitores ( 1, 0 F ) y ( 3, 0 F ) se cargan al mismo potencial V ( 100 V ) pero con l polaridad opuesta, de tal forma que los puntos a y c se encuentran del mismo lado de las respectivas placas positivas del mismo lado de las respectivas placas negativas ( vase la figura ). A continuacin se cierran los interruptores y . a) Cul es la diferencia de potencial entre los puntos e y f? b) Cul es la carga c) Cul es la carga Solucin: Como ambos se cargan a 100 V y conocemos sus capacidades podemos hallar sus cargas: = = .V= . V = 3. ( 100 ) = =3. C C ? ?
( 100 )
Al cerrar los interruptores existe reordenamiento de cargas, hasta que las potenciales se iguales. Pero hay que tener presente que ponen en contacto dos conductores de signos opuestos. El potencial comn es: De donde: =3. = .....(I) + = y + = 2. . . . . . ( II )
Adems por conservacin de la carga: De ( I ) y ( II ): 0,5.
Y el potencial comn es:
=
=50 V
25. Determinar la capacidad equivalente entre los puntos los puntos X e Y de la figura. Supngase
que = 10 F y que todos los dems capacitores son de 4,0 F. (Sugerencia: aplicar una diferencia de potencial V entre X e Y, y escribir todas las relaciones en la que intervengan las cargas y las diferencia de potencial de los capacitores por separado). Solucin:
Redibujando la red tenemos Si aplicamos una diferencia de potencial V entre X e Y, tenemos que = ya que las cadas de voltaje por la rama - es igual a la de la rama - (conexin tipo PUENTE DE WHEATSTONE) por lo que - = 0, entonces queda anulada Por lo tanto la red equivalente ser: Operando con los capacitores en serie de cada rama tenemos: = =2F ; = =2F
Luego tenemos:
Ce =
+
Ce = 4 F
26. Un capacitor esfrico consta de dos esferas huecas concntricas de radios a y b, en donde b > a. a) Demostrar que su capacitancia es: C = 4 b) Se reduce este resultado (con a = R) a C = 4 R cuando b ?
Solucin: a) De la figura tenemos que: = . . . . . .(1)
Pero:
=K =K
. . . . . (2) . . . . . (3)
Reemplazando (2) y (3) en (1) tenemos que: = Kq ( Adems sabemos que: C= Reemplazando (5) en (4): C= C=( )
) . . . . . (4)
. . . . . (5)
C=4
b) Cuando b
; =kq .
= 0, entonces:
Luego:
C=
( )
; C=
C=4
a
27. Dos esferas metlicas de radios a y b se interconectan con un alambre delgado. Su separacin es grande comparada con sus dimensiones. Al sistema se le suministra una carga Q y entonces se desconecta el alambre. a) Cul es la carga sobre cada esfera? b) Demostrar que la capacidad del sistema es C = 4 (a + b).
Solucin: a) Al suministrar una carga Q al sistema sta se distribuye en las dos esferas por intermedio del alambre. Entonces: Q= + . . . . . ()
Adems el flujo de cargas termina cuando los potenciales son iguales, luego:
= K =K = . . . . . ()
Ahora reemplazando () en () se obtiene:= .Q
Y
=
.Q
b) Por definicin, la capacidad del sistema es: Reemplazando valores: C= C= C=4
C=
(a + b)
NOTA: V =
=
-
.
= Voltaje del sistema.
28. Un capacitor de placas paralelas tiene placas de rea A, separadas por una distancia d y se carga hasta una diferencia de potencial V. A a continuacin se desconecta la batera de carga y las placas se separan hasta una distancia 2 d. Encontrar una expresin en trminos de A, d y V para: a) la nueva diferencia de potencial. b) la energa inicial y final almacenada. c) el trabajo necesario para separar a las placas. Solucin: a) Para hallar la relacin entre = Ahora como ( ) = y y = ( = relacionamos la: ) =2V
tenemos que:
b) Inicialmente la energa almacenada es:= .
=
.A.d = .
. A.d
La energa almacenada final es:
=
.A.(2d) = .
. A.
=
=2
c) El trabajo necesario para separar a las placas es: W =
=
-
29. Una esfera metlica aislada de 10 cm de dimetro tiene un potencial de 8 000 V. Cul es la densidad de energa en la superficie de la esfera?. Solucin: La densidad de energa est dado por: Pero: Adems: U= C C= . . . . . (2) . . . . . (3) . . . . . (4) v= = . . . . . (1)
Reemplazando (3) en (2) tenemos: U =
Reemplazando (4) en (1), obtenemos:
v=
Reemplazando valores tenemos:
v=v = 0,11 J/
30.
a) Si la diferencia de potencial a travs de un capacitor cilndrico se duplica, Por qu factor cambia la energa almacenada en el capacitor?. b) Si se duplican los radios de los cilindros interno y externo, manteniendo constante la carga almacenada. Cmo cambia la energa almacenada?. Solucin: a) Sabemos que el campo es: E = Entonces tenemos que: V= ( V=???????????? ??????
-
=- ) dr =
??????
??????
= ?????? = ????????????
??????
Capacidad = C =
(condensador cilndrico)
Entonces si la diferencia de potencial se duplica: Se tiene: = C C yU=3
= C
Se observa que: U =
Luego el cambio de energa almacenada es 3 veces la inicial. b) Si se duplican los dos radios entonces la capacidad es constante y si adems la carga no cambia, entonces el potencial no cambia. Luego NO existe variacin de la energa almacenada.
31. Los radios de las placas de un capacitor cilndrico, como el mostrado en la figura, son a y bDemostrar que la mitad de la energa potencial elctrica almacenada se encuentra dentro de un cilindro cuyo radio es: r= Solucin: Por frmula sabemos que la capacidad para capacitores es: C = ?????? Tambin se sabe que: q = C . V y U = C . Luego para el capacitor formado por los cilindros de radio a y b. = (???????????? ??????
(b > a)
)
(
??????
??????
)
=
??????
. ??????
. . . . . (1)
Y para el capacitor que se formara con cilindros de radios a y r. = Ahora por condicin: = ?????? . . . . . (2)
??????
. . . . . (3)
Reemplazando (1) y (2) en (3): ?????? = * ?????? +
??????
??????
?????? ( ) = ?????? ( ) ( ) =( )
r=
32.
Demostrar que las placas de un capacitor de placas paralelas se atraen con una fuerza dada por la expresin: Probar esta frmula calculando el trabajo necesario para aumentar la separacin entre las placas de x hasta x + d x. Solucin: Sabemos que: W = C . =
Cuando se separan las placas de x a x + d x, la carga no vara pero si la capacidad dW= . . . . . (1)
Pero:
d W = F . dx . . . . . (2) dx
De (1) y (2) tenemos que: F . dx =
F=
33.
Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dielctricos, tal como se muestra en la figura. Demostrar que la capacitancia equivalente est dada por: C= ( )
Comprobar sta frmula en todos los casos lmite que pueden ocurrir. (Sugerencia: Se puede justificar este sistema como una combinacin de dos capacitores conectados en paralelos?). Solucin: El sistema equivalente es igual a la asociacin de dos condensadores en paralelo, siendo el rea de las placas A/2. En el sistema real se puede observar que la diferencia de potencial es el mismo para ambos dielctricos.
Luego: Clculo de Clculo de : : = = = C=
C= =
+
. . . . . () . . . . . ()
.....() + A
Reemplazando ( ) y ( ) en ( ):( )
C=K
* *
Si Si
= =A
= K, se tiene que: C = y =0 =K
(C = K )
Luego:
C=K
34. Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dielctricos, como se muestra en la figura. Demostrar que su capacitancia est dada por: ( )
Comprobar esta frmula en todos los casos lmites posibles. (Sugerencia: Se puede justificar este sistema como la de dos capacitores conectados en serie? ). Solucin: el sistema equivalente es igual a la asociacin de dos condensadores en serie, siendo la distancia de separacin entre las placas d/2. En el sistema real se puede observar que en cada dielctrico resultante parcial en diferente. Luego: Clculo de Clculo de : : = = . . = = = + C= .....() .....() .....()
Reemplazando ( ) y ( ) en ( ):( )
C=
* Si
=
=
se tiene que: C =
( )
C=
35. un capacitor de palcas paralelas tiene placas de a,12 de area, separadas una distancia de 1,2 cm. Una batera carga a las placas hasta una diferencia de potencial de 120 V y despus se desconecta. Entre las dos placas se coloca, de manera simtrica un material dielctrico de 0,4 cm de espesor y constante dielctrica igual a 4,8. a) b) c) d) Encontrar la capacitancia antes de introducir el dielctrico. Cul es la capacitancia cuando se coloca el dielctrico? Cul es la carga libre q anotes y despus de introducir el dielctrico? Determinar el campo elctrico en el espacio intermedio entre las placas y el dielctrico. e) Cul es el campo elctrico en el dielctrico? f) Al colocar el dielctrico en su posicin, Cul es la diferencia de potencial entre las dos placas? g) Cul debe ser el trabajo extremo realizado en el proceso de introduccin del material dielctrico? Solucin: a) La capacidad antes de introducir el dielctrico es: = . = 8,85. (F
Reemplazando valores:
)
b) Aplicando la Ley de Gauss se encuentra que: = , = , =
En seguida aplicamos la integral de lnea: V= ( dx + dx + (b)+ (ddx b)
De donde:
= Capacidad:
=
*
( )+
(
)( )
Reemplazando valores: C =
C = 120,23.( )( )
c) La carga libre antes y despus es la misma, puesto que es la carga en las placas del conductor. q= .Vq = 1,068.
d) El campo elctrico entre el dielctrico y la placa es: = == = V/m
e) El campo elctrico en el dielctrico es: == V/m
f) Al introducir el dielctrico la diferencia de potencial entre las placas es:
= = g) El trabajo para introducir el dielctrico es equivalente a:
=
W=
= 1,7.
J
36. La figura muestra un dielctrico de espesor b y constante dielctrica k colocado dentro de un capacitor de placas paralelas, cuyas placas estn separadas una distancia d tiene un rea A. Cuando todava no se ha introducido el dielctrico, al capacitador se le aplica una diferencia de potencial A continuacin se desconecta la batera y se introduce el dielctrico. Suponiendo que A = 100 ,d= 1 cm, b = 0,5 cm, K = 7 y = 100 V.
a) Cul es la energa que se almacena en los espacios con aire? b) Cul es la energa que se almacena en el dielctrico?
Solucin: Sabemos que: Pero : U= U= ( volumen ) ( volumen ) . . . . . ( 1 )
a) Calculamos primero en el espacio vaco: Por la Ley de Gauss, para S.G , tenemos: k.d = = =
A=q = v/m
;
=
=J
Luego reemplazamos en ( 1 ) y efectuando obtenemos:
Ntese que en este caso hemos trabajado con k = 1, debido a que la superficie sobre la cual se calcula la integral del flujo, no pasa a travs del dielctrico. b) Para este caso se sabe que: E = V/mJ
/ k , luego:
Luego, reemplazamos en ( 1 ) y efectuamos obtenemos: De estos resultados es fcil comprobar que:J
37. entre las placas de un capacitor de placas paralelas, separadas una distancia d, se introduce un dielctrico de espesor b. demostrar que la capacitancia queda determinada por: C= Solucin: En la prctica se trata de dos condensadores en serie, dielctrico y el otro en el vaco; donde: = y = una
Luego:
= =
+
;C=
=
+
CASOS ESPECIALES:
b=0 C= k = 1 C = A/d b = d C = A/d
( (vaco) ( dielectrico)
38. un capacitor de placas paralelas tiene placas de rea A separadas a una distancia d. una batera carga a las placas hasta la diferencia de potencial . A continuacin se desconecta la batera y se introduce un material dielctrico de ancho d. Cmo se compara la densidad de energa entre las placas del capacitor antes y despus de introducir el material dielctrico?. Solucin: *Antes de introducir el dielctrico, tenemos: = . = .....(1)
**Despus de introducir el dielctrico tenemos: C.V= (K )( )
.
.
.....(2)
De ( 1 ) y ( 2 ):
.
Al introducir el dielctrico, la densidad de energa se reduce en el factor 1/k.
