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MECHANICS OF
MATERIALS
Fourth Edition
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
Lecture Notes:
J. Walt Oler
Texas Tech University
CHAPTER
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5Análise e Projecto de
Vigas à Flexão
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Fo
urth
Ed
ition
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5 - 2
Analysis and Design of Beams for Bending
Introdução
Diagramas do Esforço Transverso e Momento Flector
Problema 5.1
Problema 5.2
Relações Entre Carga, Esforço Transverso e Momento
Flector
Problema 5.3
Problema 5.5
Projecto de Vigas Prismáticas à Flexão
Problema 5.8
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5 - 3
Introdução
• Vigas – Componentes estruturais que suportam
cargas em vários pontos ao longo do seu
comprimento
• Objectivo - Análise e projecto de vigas
• As cargas transversais actuantes em vigas podem
ser concentradas ou distribuidas.
• As cargas aplicadas resultam em forças internas
que consistem de uma força de corte (da
distribuição de tensões de corte) e de um
momento flector (da distribuição de tensões
normais)
• A tensão normal é na maior parte das vezes o
critério critico de projecto
S
M
I
cM
I
Mymx
Requer determinação da localização e grandeza
do maior momento flector
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Introdução
Classificação dos Suportes das Vigas
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5 - 5
Diagramas do Esforço Transverso e Momento Flector
• A determinação das tensões normal e de
corte máximas requer a identificação do
esforço transverso e momento flector
máximos.
• O esforço transverso e o momento flector
num ponto são determinados intersectando a
viga por um plano e fazendo uma análise de
equilibrio nas duas partes da viga adjacentes à
secção obtida.
• Convenção de sinais para esforço transverso
V e V’ e momentos flectores M e M’
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5 - 6
Problema 5.1
Para a viga de madeira e carregamento
da Fig. desenhe os diagramas do
esforço transverso e momento flector e
determine a tensão normal máxima
devido à flexão.
SOLUÇÃO:
• Tratando a viga como um corpo
rigido, determine as reacções.
• Identifique o esforço transverso e o
momento flector máximos a partir
dos gráficos da sua distribuição.
• Aplique as fórmulas da flexão elástica
para determinar a correspondente
tensão normal máxima.
• Seccione a viga em pontos próximos
dos suportes ou dos pontos de
aplicação das cargas. Estude o
equilíbrio de corpo livre para
determinar o esforço transverso e o
momento flector.
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Problema 5.1
SOLUÇÃO:
• Tratando a viga como um corpo rígido determine as
forças de reacção
kN14kN46:0 de DBBy RRMF
• Seccione a viga e aplique equilíbrio de corpo
livre às duas partes da viga
00m0kN200
kN200kN200
111
11
MMM
VVFy
mkN500m5.2kN200
kN200kN200
222
22
MMM
VVFy
0kN14
mkN28kN14
mkN28kN26
mkN50kN26
66
55
44
33
MV
MV
MV
MV
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Problema 5.1
• Identifique o esforço transverso e momento
flector máximos a partir dos gráficos das
suas distribuições.
mkN50kN26 Bmm MMV
• Aplique as fórmulas da flexão para
determinar a correspondente tensão
normal máxima.
36
3
36
2
612
61
m1033.833
mN1050
m1033.833
m250.0m080.0
S
M
hbS
Bm
Pa100.60 6m
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Problema 5.2
A estrutura da Fig. é construída a partir
de uma viga W250x167 de aço
laminado. (a) Trace os diagramas de
esforço transverso e momento flector
para a viga e carregamento indicados.
(b) determine a tensão normal nas
secções à esquerda e à direita do ponto
D.
SOLUÇÃO:
• Substitua a carga de 45 kN por um
sistema equivalente força-momento
em D. Determine as reacções em B
considerando a viga como um corpo
rigido.
• Seccione a viga em pontos próximos
dos suportes e dos pontos de
aplicação das cargas. Proceda a uma
análise de corpo livre para determinar
o esforço transverso e momento
flector internos.
• Aplique as fórmulas da flexão
elástica para determinar a tensão
normal máxima à esquerda e à direita
do ponto D.
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Problema 5.2
SOLUÇÃO:
• Substitua a carga de 45 kN por um par força
momento equivalentes em D. Determine as
reacções em B.• Seccione a viga e faça uma análise de
equilibrio de corpo livre.
mkN5.220450
kN450450
:
2
21
1
xMMxxM
xVVxF
CtoADe
y
mkN106.12902.11080
kN10801080
:
2
xMMxM
VVF
DtoCDe
y
mkN1531.305kN153
:
xMV
BtoDDe
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Problema 5.2
• Aplique as fórmulas de flexão elástica para
determinar a tensão normal máxima à
esquerda e à direita do ponto D.
Do Apêndice C para um perfil laminado de aço
W250x167, S = 2.08x10-6 mm3 em torno do
eixo X-X.
33-
3
33-
3
m10x08.2
mN10x8.199
:
m10x08.2
mN10x8.226
:
S
M
DpontododireitaÀ
S
M
DpontodoesquerdaÀ
m
m
MPa109m
MPa 96m
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Relações entre Carga, Esforço Transverso e
Momento Flector
xwV
xwVVVFy
0:0
D
C
x
xCD dxwVV
wdx
dV
• Relação entre carga e esforço transverso:
221
02
:0
xwxVM
xxwxVMMMMC
D
C
x
x
CD dxVMM
Vdx
dM
• Relação entre esforço transverso e
momento flector:
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Problema 5.3
Trace os diagramas de esforço
transverso e momento flector
para a viga e carregamentos da
Fig.
SOLUÇÃO:
• Tomando toda a viga como um corpo livre,
determine as reacções em A e D.
• Aplique a relação entre esforço transverso e
carga para traçar o diagrama de esforço
transverso .
• Aplique a relação entre momento flector e
esforço transverso para traçar o diagrama
de momento flector.
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Problema 5.3
SOLUÇÃO:
• Tomando toda a viga como um corpo livre, determine
as reacções em A e D.
kN2.81
kN8.52kN6.115kN54kN900
0F
kN6.115
m4.8kN8.52m2.4kN54m 8.1kN90m2.70
0
y
y
y
A
A
A
D
D
M
• Aplique a relação entre esforço transverso e carga
para traçar o diagrama de esforço transverso.
dxwdVwdx
dV
- declive nulo entre cargas concentradas
- Variação linear ao longo de um troço
uniformemente carregado
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Problema 5.3
• Aplique a relação entre momento flector e
esforço transverso para traçar o diagrama de
momento flector.
dxVdMVdx
dM
- momento flector em A e E é nulo
- A soma das variações do momento flector ao
longo da viga deve ser nula
- a variação no momento flector é igual às áreas
debaixo dos troços de esforço transverso
- a variação do momento flector entre D e
E é quadrática
- a variação do momento flector entre A, B,
C e D é linear
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Problema 5.5
Trace os diagramas de esforço
transverso e momento flector para a
viga e carregamentos da Fig.
SOLUÇÃO:
• Tomando a viga como um corpo livre,
determine as reacções em C.
• Aplique a relação entre esforço
transverso e carga para traçar o diagrama
de esforço transverso.
• Aplique a relação entre momento
flector e esforço transverso para traçar
o diagrama de momento flector.
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Problema 5.5
SOLUÇÃO:
• Tomando a viga como um corpo livre, determine
as reacções em C.
330
0
021
021
021
021
aLawMM
aLawM
awRRawF
CCC
CCy
Resultados por integração das distribuições de
carga e de esforço transverso deviam ser similares.
• Aplique as relações entre o esforço transverso e a
carga para traçar o diagrama do esforço transverso.
cargadecurvadadebaixoárea
21
021
0
2
0
0
0
awV
a
xxwdx
a
xwVV
B
aa
AB
- Esforço transverso entre B e C não se altera.
- Compatível com equilibrio de corpo livre
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Problema 5.5
• Aplique a relação entre momento flector e esforço
transverso para traçar o diagrama de momento
flector.
203
1
0
32
00
2
0622
awM
a
xxwdx
a
xxwMM
B
aa
AB
323 0
061
021
021
aL
waaLawM
aLawdxawMM
C
L
aCB
Resultados em C são compatíveis com
análise de equilibrio de corpo livre
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Flexão de Vigas – Diagrama V(x) e M(x)
• Cálculo de diagramas de esforço transverso e momento flector e determinação
da tensão máxima na secção mais crítica: M8.9; 8.11-8.14 do Mecmovies
• Cálculo de tensões máximas numa secção de uma viga carregada
excêntricamente: M8.20; 8.23 do Mecmovies
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Projecto de Vigas Prismáticas à Flexão
• Dentre as secções candidatas para a viga e com módulo aceitável, a
de menor peso por unidade de comprimento ou por unidade de área
da secção será a mais barata e a melhor escolha de todas.
• A maior tensão normal encontra-se à superfície onde o
momento de flexão máximo ocorre.
S
M
I
cMm
maxmax
• Um projecto seguro requer que a tensão normal máxima
seja inferior à tensão admissível do material. Este critério
conduz à determinação do módulo mínimo da secção que é
aceitável.
all
allm
MS
maxmin
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Problema 5.8
Uma viga de aço simplesmente
apoiada deve suportar as cargas
distribuida e concentrada da Fig.
Sabendo que a tensão normal
admissível para o aço utilizado é de
160 MPa, seleccione a secção de viga
em W que deve ser utilizada.
SOLUÇÃO:
• Considerando a viga como um corpo
livre, determine as reacções em A e D.
• Trace o diagrama do esforço
transverso ao longo da viga e a
distribuição de carga. A partir do
diagrama determine o momento
flector máximo.
• Determine o mínimo módulo da
secção que é aceitável. Escolha a
melhor secção padrão que satisfaz o
critério.
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Problema 5.8
• Considerando a viga como um corpo livre,
determine as reacções em A e D.
kN0.52
kN50kN60kN0.580
kN0.58
m4kN50m5.1kN60m50
y
yy
A
A
AF
D
DM
• Trace o diagrama do esforço transverso e
determine o momento flector máximo.
kN8
kN60arg
kN0.52
B
AB
yA
V
accurvadebaixoareaVV
AV
• O momento flector máximo ocorre para
V = 0 ou seja a x = 2.6 m.
kN6.67
,max
EaAtransversoesforçocurvadebaixoareaM
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Problema 5.8
• Determine o mínimo módulo da secção que é
aceitável.
3336
maxmin
mm105.422m105.422
MPa160
mkN6.67
all
MS
• Escolha a melhor secção padrão que satisfaz o
critério.
4481.46W200
5358.44W250
5497.38W310
4749.32W360
63738.8W410
mm10 33
SShape
9.32360W