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Moldagem do Ganho de Malha
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)Computadores (LEEC)
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)
CONTROLOCONTROLO3º ano – 1º semestre – 2007/2008
Transparências de apoio às aulas teóricas
Capítulo 12 (Parte B) - Projecto por Moldagem p ( ) j p gdo Ganho de Malha
Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal
o, A
ntón
io P
asco
alDezembro de 2001Revisão em Dezembro de 2004 e Dezembro de 2005
1/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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. Isa
bel R
ibei
ro
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Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
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Moldagem do Ganho de Malha
Sistema de controlo por retroacção : esquema geral
G(s)K(s)
dyr e u
Controlador Sistema a controlar
G(s)_
K(s)
n
r – sinal de referência ( a seguir pela variável de saída y)
d – perturbação à saída do sistema a controlar
n – ruído no sensor
e – erro de seguimento
iá l d íd
o, A
ntón
io P
asco
al
y – variável de saída
u – variável de actuação
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Moldagem do Ganho de Malha
OBJECTIVOS DO SISTEMA DE CONTROLO
)(sKi) O controlador deve estabilizar )(sG
ii) A saída y deve seguir com fidelidade o sinal de referência r.
iii) Deve atenuar-se a influência da perturbação d e do ruído n na saída yperturbação d e do ruído n na saída y.
iv) O sistema de controlo deve exibir )robustez face a variações de parâmetros no sistema a controlar.
o, A
ntón
io P
asco
al
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Moldagem do Ganho de MalhaQUANTIFIÇÃO DOS OBJECTIVOS DE CONTROLO
É possível avaliar de modo independente o efeito de cada i l
Sistema Linear Princípio da Sobreposição
1. Atenuação do efeito da perturbação d
d
sinal externo
(Reduzir o impacte de d em y )
G(s)_
K(s)
dye
)()()()()( sEsKsGsDsY +=
ye ;GKedy −=+=
)()()()()()()()()(
sYsKsGsDsEsKsGsDsY
−=+
o, A
ntón
io P
asco
al)())()()(( sDsKsGsY =+1
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)()()()(
)( sSsKsGsD
sY=
+=
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Moldagem do Ganho de Malha
ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃO d
)()()()(
)( sSsKsGsD
sY=
+=
11
)(sSD(s) Y(s)
S(s) - FUNÇÃO DE SENSITIVIDADE
Possível Diagrama de Bode de S(s)
)( ωjS abaixo da ‘barreira’ de –x db para
0db
)( 1−dω
[ ]dωω ,0∈o,
Ant
ónio
Pas
coal
)( 1−radsωdω
-x db
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xdbjS −≤)( ω
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Moldagem do Ganho de Malha
ATENUAÇÃO DE PERTURBAÇÕES SINUSOIDAIS
)( 1−radsω0
Banda de frequências de desempenho
Atenuação de pelo menos –x db
)(dω
menos x db
)(sSd y
d – sinais sinusoidais
Requisito de atenuação de d [ ]djS ωωω ,;)( 0∈
Limite superior a o,
Ant
ónio
Pas
coal
O limite superior –x db e a banda de frequências de desempenho [ ]dω,0 dependem do problema específico de controlo
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[ ]d
considerado.
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Moldagem do Ganho de Malha
ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃO d
O que acontece quando d não é sinusoidal?
d- modelizado como um processo estocástico estacionário com densidade espectral
)(ωdΦ
y - processo estocástico estacionário com densidade espectral
2)()()( ωωω jSdy Φ=Φo,
Ant
ónio
Pas
coal
ωωω djSd∫∞
Φ=2)()(Energia { }y2
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rod∫0
{ }y
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Moldagem do Ganho de Malha
ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃO d - Terminologia
)(ωdΦ
dω)( 1−radsω
Se 0)( ω>ωωΦSe dd ,0)( ω>ω≈ωΦ
conteúdo espectral de d está concentradona gama de frequências [ ]dω,0
Técnica para redução da energia associada a y:
Reduzir [ ]d,0 ,)j(S ω∈ωωo,
Ant
ónio
Pas
coal[ ]ddjS ωωεω ,,)( 0∈≤
C b j i d fi i í l d j i ã ε
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roCabe ao projectista definir o nível de rejeição dε
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Moldagem do Ganho de Malha
ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃOd – constrições ao ganho de malha
[ ]dd ,0,1)j(S ω∈ω<ε≤ω
djKjGε
ωω≤
+ )()(11
11)j(K)j(G1d
>ε
≥ωω+
11d
>>ε
Se 1d <<ε
)()()()( ωωωω jKjGjKjG ≅+1
atenuação do efeito da perturbação d
o, A
ntón
io P
asco
al
11)j(K)j(G dd
>>β=ε
≥ωω
[ ]ωω 0∈
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ro[ ]dωω ,0∈
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ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃOd – constrições ao ganho de malha
11)j(K)j(G dd
>>β=ε
≥ωω
[ ]dωω ,0∈
jKjG βωω ≥)()(
0db
djKjG βωω ≥)()(dβ1020 log
0db
)( 1−radsωdωo,
Ant
ónio
Pas
coal
Barreira inferior ao ganho de malha )()( jKjG
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ro)()( ωω jKjG
moldável através do controlador K(s)
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Moldagem do Ganho de Malha
2. SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r
G(s)K(s)r ye
_
GKey ;yre =−=
)()()()()( sEsKsGsRsE −=
GKere −=
)()())()(( sRsEsKsG =+1
)()( sSsE==
1
o, A
ntón
io P
asco
al
)()()()(
sSsKsGsR=
+=
1
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SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERENCIA r
r- modelizado como um processo estocástico estacionário com densidade espectral
)(ωrΦ
e - processo estocástico estacionário com densidade espectral
2)j(S)()( re ωωΦ=ωΦ
∞
o, A
ntón
io P
asco
alωωω djSr
2
0∫Φ= )()(Energia { }e2
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Moldagem do Ganho de Malha
SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r
)(ωrΦ
rω)( 1−radsω
Se ;0)( >ΦSe rr ;0)( ω>ω≈ωΦ
conteúdo espectral de r está concentradona gama de frequências [ ]rω,0
Técnica para redução da energia associada ao erro de seguimento e:
Reduzir
[ ]r,0 ,)j(S ω∈ωω
o, A
ntón
io P
asco
al
[ ]rrjS ωωεω ,,)( 0∈≤
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Cabe ao projectista definir o nível de rejeição rεINSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2007/2008
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Moldagem do Ganho de Malha
SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r
[ ]rr ,0 ,1)j(S ω∈ω<ε≤ω
Constrição geométrica
)( ωjS abaixo da ‘barreira’ de db para [ ]rωω ,0∈
rε1020 log
0db
)( 1−radsωrω
rε1020 logo,
Ant
ónio
Pas
coal
rjS εω 1020 log)( ≤ db
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Moldagem do Ganho de Malha
SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r- constrições ao ganho de malha
[ ]rr ,0,1)j(S ω∈ω<ε≤ω
1)j(K)j(G1
1r <ε≤
ωω+
11)j(K)j(G1r
>ε
≥ωω+
11r
>>ε
Se 1r <<ε
)()()()( ωωωω jKjGjKjG ≅+1
seguimento de sinais de referência r
o, A
ntón
io P
asco
al
11)j(K)j(G rr
>>β=ε
≥ωω
[ ]ωω 0∈
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ro[ ]rωω ,0∈
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Moldagem do Ganho de Malha
SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r- constrições ao ganho de malha
11)j(K)j(G rr
>>β=ε
≥ωω
[ ]rωω ,0∈
rjKjG βωω ≥)()(
0db
rβ1020 log
0db
)( 1−radsωrωo,
Ant
ónio
Pas
coal
Barreira inferior ao ganho de malha )()( jKjG
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ro)()( ωω jKjG
moldável através do controlador K(s)
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Moldagem do Ganho de Malha
3. REDUCAO DO IMPACTE DO RUÍDO DO SENSOR n NA SAÍDARUÍDO DO SENSOR n NA SAÍDA
G(s)K(s)ye u G(s)
_K(s)
n
)(GK )(, yneGKey +−==
GKyGKny −−=
)())()(( sYsKsG =+1)()()(
)())()((sNsKsG
sYsKsG−
=+1
o, A
ntón
io P
asco
al)()()(
)()()()( sT
sKsGsKsG
sNsY
−=+
−=1
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Moldagem do Ganho de Malha
REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n
n- modelizado como um processo estocástico estacionário com densidade espectral
)(ωnΦ
y - processo estocástico estacionário com densidade espectral
2)()()( ωωω jTny Φ=Φ
∞
o, A
ntón
io P
asco
alEnergia { }y2 ωωω djTn∫∞
Φ=0
2)()(
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Moldagem do Ganho de Malha
REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n (concentrado na alta frequência)RUÍDO n (concentrado na alta frequência)
)(n ωΦ
1nω
)( 1−radsω
210)(
2nω
Se 2n
1nn , ;0)( ω>ωω<ω≈ωΦ
conteúdo espectral de n está concentradona gama de frequências [ ]21, nn ωω
Técnica para redução da energia associada a y por influência do ruído n
Reduzir
[ ]2n
1n , ,)j(T ωω∈ωω
o, A
ntón
io P
asco
al
[ ]2n
1nn ,,1)j(T ωω∈ω<ε≤ω
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Cabe ao projectista definir o nível de rejeição nεINSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2007/2008
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Moldagem do Ganho de Malha
REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n
[ ]2n
1nn ,,1)j(T ωω∈ω<ε≤ω [ ]
210db
)( 1−radsωnjT εω ≤)(
2nω
1nω
nε1020 logo,
Ant
ónio
Pas
coal
Barreira superior de
)( ωjTldá l t é d t l d K( )
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romoldável através do controlador K(s)
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Moldagem do Ganho de Malha
REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n - constrições ao ganho de malha
[ ]2n
1nn , ,1)j(T ωω∈ω<ε≤ω
n)j(K)j(G1)j(K)j(G
ε≤ωω+
ωω
Se 1n <<ε
)()()()(
ωωωω
jKjGjKjG
≅ )()()()(
ωωωω
jKjGjKjG
≅+1
Redução do impacte de n
o, A
ntón
io P
asco
al
1)j(K)j(G n <<ε≤ωω
[ ]21 ωωω∈
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ro[ ], nn ωωω∈
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Moldagem do Ganho de Malha
REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n - constrições ao ganho de malha
1)j(K)j(G n <<ε≤ωω
[ ]21[ ]21, nn ωωω∈
0db
1
2nω
1nω
)( 1−radsωnjKjG εωω ≤)()(
nε1020 logo,
Ant
ónio
Pas
coal
Barreira superior ao ganho de malha
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ro
moldável atraves do controlador K(s))()( ωω jKjG
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Moldagem do Ganho de Malha
LIMITES DO ACTUADOR
G(s)_
K(s)r ye u
)()(11
)()(
sKsGsRsE
+=
)()()(
)()(
sRsEsK
sRsU ==
)()()(
sKsGsK
+1
)(1
)()(1)()(
)()(
sGsKsGsKsG
sRsU
+=
Ad it
f.t.c.f.o,
Ant
ónio
Pas
coal
Admita-se que:
1<<ε≤ω p)j(G
ppara ω>ω O ganho do sistema a
23/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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ropp O ganho do sistema a controlar é menor do que um valor muito pequeno para w>wp
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Moldagem do Ganho de Malha
LIMITES DO ACTUADOR
Admita-se que:
1>>ωω )j(K)j(G
[ ]qp,ωω∈ω para
11 jGjKjG
jKjGjRjU
ωωωωω
ωω
+=
)()()()()(
)()(
111>>
ε=
ω≅
p)j(G
Sinais de actuação muito elevados, a menos que o ganho da f.t.c.a. tome valores pequenos para frequências
o, A
ntón
io P
asco
alpωω f
Regra de projecto: nunca tentar que a largura de banda do sistema em cadeia fechada se estenda muito para a região em
24/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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rop gque o ganho do sistema a controlar começa a ser menor do que 0dB.
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Moldagem do Ganho de Malha
LIMITES DO ACTUADOR
Técnica para limitar os sinais de actuação
1<<ε≤ωω l)j(K)j(G
1 >ω>ω k;k ppara
k,lεÉ tarefa do projectista seleccionar
o valor dos parâmetros
0db
)( 1−radsωε≤ωω )j(K)j(G
pkωo,
Ant
ónio
Pas
coal
lε≤ωω )j(K)j(G
lε1020 log
25/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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Limite superior (“barreira”) no ganho de malhamoldado por escolha apropriada de K(s)
)()( ωω jKjG
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Moldagem do Ganho de Malha
Conjugação dos requisitos de desempenho (resposta a sinais externos)
Constrições ao Ganho de Malha
)()( ωω jKjG
dβ1020 log
2ω1ωrβ1020 log
dβ1020 log
kω0db
)( 1−radsω
nlog ε1020
nωnω
dω rω
pkω
nlog ε1020
Barreira inferior de b i f ê i
Barreira superior de l f ê i
lε1020 logo,
Ant
ónio
Pas
coal
baixa frequênciar, d
alta frequêncian, u
OBJECTIVO: Moldar (por escolha adequada de K(s))o ganho de malha de modo a ajustá-lo entre as
26/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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roo ganho de malha de modo a ajustá-lo entre as barreiras, preservando a estabilidade do sistema emmalha fechada
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Moldagem do Ganho de Malha
Moldagem do Ganho de Malha – exemplos de projecto
Exemplo 1
2
1s
. Sistema a controlar
s
G(s)
. Objectivos do sistema de controlo
dControlador Sistema a controlar
G(s)_
K(s)y
n
r e uo,
Ant
ónio
Pas
coal
Projectar K(s) de modo a estabilizar G(s) e a cumprir os objectivos seguintes:
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©M
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ibei
roos objectivos seguintes:
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
REQUISITOS A CUMPRIR
i) Aten ar de pelo menos 80db os sinais da pert rbação d nai) Atenuar de pelo menos –80db os sinais da perturbação d na gama de frequências
[ ] [ ] 11000 −= radsd .,,ω
ii) Seguir com erro menor ou igual a -40db os sinais de referência r na gama de frequências
[ ] [ ] 11 00 −=ω rads,, r
iii) Atenuar de pelo menos –20db os sinais de ruído n na gama de frequências
[ ] [ ] 13221 1010 −rads[ ] [ ] 132 10 10=ωω rads,, nn
iv) Erro estacionário de seguimento a parábolas
020)( ≤∞e
o, A
ntón
io P
asco
al
020.)( ≤∞pare
v) Margem de Fase 045≥ΦM
i) M d G h dbG 20+≥
28/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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rovi) Margem de Ganho dbGM 20+≥
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
Expressao geométrica das condições i), ii), iii)
[ ]i) [ ] 1110080 −−∈−≤ radsdbjS ,,)( ωω
[ ] 1110080 −−∈+≥ radsdbjKjG )()( ωωω [ ]10080 ∈+≥ radsdbjKjG ,,)()( ωωω
ii) [ ] 11040 −∈−≤ radsdbjS ,,)( ωω
[ ] 11040 −∈+≥ radsdbjKjG ,,)()( ωωω
iii [ ] 132 101020 −∈−≤ radsdbjT ,,)( ωω
o, A
ntón
io P
asco
al
[ ] 132 101020 −∈−≤ radsdbjKjG ,,)()( ωωω
29/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
)()( ωω jKjG
Constrições ao Ganho de Malha
)()( ωω jKjG
db40+
db80+
0db
)( 1−radsω
310210
10. 1
db20−
i i f i d
o, A
ntón
io P
asco
al
Barreira inferior de baixa frequência
r, d
Barreira superior de alta frequência
n
30/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
Expressão analítica da condição iv)
Erro estacionário de seguimento a parábolas
020.)( ≤∞pare
(realizável, porque G(s) tem dois pólos na origem)
)()()()(
sKsGsRsE
+=
1
na origem)
Seja
)()()(
sKsGssE
+=
112
3
Seja 10 == )(K~);s(K~K)s(K
o, A
ntón
io P
asco
al
0202
1
12
2
30
0
.KKs
slim
)s(sElim)(e
s
spar
≤=+
==∞
→
→
31/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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ro2s
100≥K
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
Proposta de controlador simples:
1001 K;)s(K~);s(K~K)s(K 100 1 === K;)s(K);s(KK)s(K
Verificação das constrições do Ganho de Malha
Controlador Proporcional
Verificação das constrições do Ganho de Malha
db80+
100)()( ωω jKjG
0db310210
db40+ 2)()()(
ωωω
jjKjG =
)( 1−radsω
db20−
10. 1 10o,
Ant
ónio
Pas
coal
)( 1−radsω
)()( ωω jKjG0180−
Fase de 00=ΦM
32/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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ro
As constrições do ganho de malha são satisfeitas, mas .. 00=ΦM !
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
Necessidade de introduzir avanço de fase
045=Φ desMMargem de fase mínima desejada:
ε+Φ−Φ realM
desM
Avanço de fase necessário:
factor de segurança
margem defase real =0 graus
Factor de segurança = 0 graus ( a fase do ganho de malha não varia).
Avanço de fase necessário: 450
Uso de malha de avanço puroUso de malha de avanço puro
110 −=+
= radsz;z
zsK)s(Ko,
Ant
ónio
Pas
coal1 =ω K,)j(K
odb
090045
Fase de)( ωjK
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©M
. Isa
bel R
ibei
ro
z z)( 1−radsω )( 1−radsω
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
Verificação das constrições do ganho de malha
110100 −==+
== radsz;K;)zs()s(K~);s(K~K)s(K 10 100 ==== radsz;K;z
)s(K);s(KK)s(K
db80+ Novo
310210
db40+ )(~ ωjK
0db
)( 1−radsω
31010
10. 1
db20−
)()( ωω jKjGFase de 090−
o, A
ntón
io P
asco
al
)( 1−radsω
0180−
90−0135−
34/Cap.12-Parte IIDezembro.2007
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. Isa
bel R
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ro
As constrições do ganho de malha são satisfeitas e .. 045=ΦM .
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 1
Verificação final de estabilidade e Margem de Ganho
10100 )s(~ +10
101002
)s(s
)s(G)s(K~K)s(K)s(G +==
USO DO TEOREMA DE NYQUIST
Contorno de NyquistNúmero de pólos em
malha aberta no interior do contorno de Nyquist:
xx
yqP=0
Número de voltas em torno do ponto –1
N=0
o, A
ntón
io P
asco
al
x-1
E á l!
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. Isa
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roEstável!Margem de Ganho é infinita!
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Moldagem do Ganho de Malha
Moldagem do Ganho de Malha – exemplos de projecto
Exemplo 2
11+s
. Sistema a controlar
1+s
G(s). Objectivos do sistema de controlo
dControlador Sistema a controlar
G(s)_
K(s)y
n
r e uo,
Ant
ónio
Pas
coal
Projectar K(s) de modo a estabilizar G(s) e a cumprir bj i i
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roos objectivos seguintes:
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 2
REQUISITOS A CUMPRIR
ii) Atenuar de pelo menos –40db os sinais de perturbação d na d f ê i
i) Erro estático de posição =0.
gama de frequências [ ] [ ] 1210,0,0 −−= radsdω
iii) S i i l 100db i i diii) Seguir com erro menor ou igual a -100db os sinais de referência r na gama de frequências
[ ] [ ] 1310,0,0 −−= radsrω
iv) Atenuar de pelo menos –40db os sinais de ruído n na gama de frequências
[ ] [ ] 13221 10,10, −= radsnn ωω
o, A
ntón
io P
asco
al
v) Margem de Fase 045≥ΦM
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ro
vi) Margem de Ganho dbGM 20+≥
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 2
Expressao geométrica das condições ii), iii), iv)
[ ]ii) [ ] 1210,0,40)( −−∈−≤ radsdbjS ωω
[ ] 1210040)()( −−∈+≥ radsdbjKjG ωωω [ ]10,0,40)()( ∈+≥ radsdbjKjG ωωω
iii) [ ] 1310,0,100)( −−∈−≤ radsdbjS ωω
[ ] 1310,0,100)()( −−∈+≥ radsdbjKjG ωωω
iv) [ ] 132 10,10,40)( −∈−≤ radsdbjT ωω
o, A
ntón
io P
asco
al
[ ] 132 10,10,40)()( −∈−≤ radsdbjKjG ωωω
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 2
Expressão analítica da condição i)
Erro estático de posiçãoErro estático de posição
0)( =∞escalãoe
10 == )(K~);s(K~sK)s(K
(1 integrador puro na malha directa)
Proposta de controlador simples:
0 >= K;sK)s(K
Controlador Integral
o, A
ntón
io P
asco
al
Ganho de Malha
Controlador Integral
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0 1
1>
+= K;
ssK)s(K)s(G
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 2
Verificação das constrições do Ganho de Malha
100 =ωω K;)j(K)j(G+80db
+100db
310
+40db
0db
db40−
10
)( 1−radsω210310−
1 10210− 110−
0180−
)()( ωω jKjGFase de
)( 1−radsω210310−
1 10210− 110−
090−o,
Ant
ónio
Pas
coal
As constrições do ganho de malha são satisfeitas, mas ..
0180−
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00=ΦM !
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Moldagem do Ganho de Malha
A barreira de alta freq ência não permite tili ar ma
Moldagem do Ganho de Malha
Exemplo 2 A barreira de alta frequência não permite utilizar uma
malha de avanço adicional
utilizar 0 >>++
= pz,pszs
zp)s(K~
+80db
1113 10;10 −−−− == radszradspescolha possível
310
+40db
80db
)()( ωω jKjGNovo
0db
db40−
310
)( 1−radsω210310−
1 10210− 110−
)(~ ωjK
o, A
ntón
io P
asco
al)( 1−radsω210310−
1 10210− 110−
090− )()( ωω jKjGFase de
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0180−045=ΦM
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Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha
Exemplo 2
Verificação final de estabilidade e Margem de Ganho
31 1010100 −−+sk13 10
101010
)1(100)()(
~)()( −−+
++
==ss
sssGsK
sksKsG
o, A
ntón
io P
asco
al
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Margem de fase = 44º
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Exemplo 2
Verificação final de estabilidade e Margem de Ganho
31 1010100 −−+sk13 10
101010
)1(100)()(
~)()( −−+
++
==ss
sssGsK
sksKsG
USO DO TEOREMA DE NYQUIST
Contorno de NyquistNúmero de polos em
malha aberta no interior do contorno de Nyquist:
x
yqP=0
xx-p-z-1
Número de voltas em torno do ponto –1
N=0
o, A
ntón
io P
asco
al
x-1
E á l!
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roEstável!Margem de Ganho é infinita!
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