cap12 hibbeler

8/16/2019 cap12 hibbeler

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1.2 EQUILIBRIO DE UN CUERPO DEFORMABLE 56

Deflexión de vigasy ejes 12

56

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO

A menudo es necesario fijar límites sobre la cantidad de deflexión quepuede experimentar una barra o un eje cuando están sometidos a unacarga, por ello en este capítulo se analizarán diferentes métodos paradeterminar la deflexión y la pendiente en puntos específicos de vigas yejes. Los métodos analíticos incluyen el método de integración, el usode funciones de discontinuidad y el método de superposición. Además,se presentará una técnica semigráfica llamada método del momento deárea. Al final del capítulo se usarán estos métodos para determinar lasreacciones en los soportes de una viga o un eje estáticamente indeter-minado.

12.1 La curva elástica

Con frecuencia, debe limitarse la deflexión de una viga o eje con el fin deproporcionar integridad y estabilidad a una estructura o máquina, y asíevitar el agrietamiento de cualquier material frágil unido a la viga como elconcreto o el vidrio. Además, las restricciones de código suelen exigir queestos elementos no vibren o se desvíen de manera importante a fin de po-der soportar con seguridad las operaciones de carga previstas. Si se analizaun elemento estáticamente indeterminado, resulta importante encontrarlas deflexiones en puntos específicos de una viga o eje.

Antes de determinar la pendiente o el desplazamiento en un punto deuna viga (o eje), a menudo es útil trazar la forma flexionada de la viga cuan-do ésta soporta una carga para “visualizar” cualquier resultado calculado ypor tanto verificar parcialmente estos resultados. La curva de deflexión deleje longitudinal que pasa por el centroide de cada área de sección transver-sal de una viga se denomina curva elástica. Para la mayoría de las vigas, lacurva elástica puede trazarse sin mucha dificultad. Sin embargo, al hacerloes necesario conocer la manera en que la pendiente o el desplazamientoestán restringidos en diferentes tipos de soportes. En general, los soportesque se resisten a una fuerza, como un pasador, restringen el desplazamien-

to y aquellos que se resisten a un momento, como una pared fija, restringenla rotación o la pendiente, así como el desplazamiento. Considerando esto,en la figura 12-1 se muestran dos ejemplos típicos de las curvas elásticaspara vigas cargadas (o ejes cargados), los cuales se dibujan a una escalaexagerada.

Figura 12-1

P

P



570 CAPÍTULO 12 DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

Si la curva elástica de una viga parece difícil de establecer, se sugiereprimero dibujar el diagrama de momentos para la viga. Si se usa la con-vención de signos para una viga que se estableció en la sección 6.1, unmomento interno positivo tiende a doblar la viga de manera cóncava haciaarriba, figura 12-2a. Del mismo modo, un momento negativo tiende a do-blar la viga de forma cóncava hacia abajo, figura 12-2b. Por lo tanto, si se

conoce el diagrama de momentos resultará fácil construir la curva elástica.Por ejemplo, la viga de la figura 12-3a se muestra en la figura 3.12b juntocon su diagrama de momentos asociado. Debido a los soportes de rodilloy pasador, el desplazamiento en B y D debe ser cero. Dentro de la regiónde momento negativo, AC , figura 12-3b, la curva elástica debe ser cóncavahacia abajo y dentro de la región de momento positivo, CD, la curva elás-tica debe ser cóncava hacia arriba. Por consiguiente debe haber un punto

de inflexión en el punto C , donde la curva cambia de cóncava hacia arri-ba a cóncava hacia abajo, puesto que éste es un punto de momento nulo.Si se emplean estos hechos, es posible dibujar la curva elástica de la vigacomo se muestra en la figura 12-3c. También debe tenerse en cuenta quelos desplazamientos ¢ A y ¢E son especialmente críticos. En el punto E la

pendiente de la curva elástica es cero y la deflexión de la viga puede ser unmáximo. El hecho de que ¢

E sea en realidad mayor que ¢

A, depende de las

magnitudes relativas de P1 y P2, y la ubicación del rodillo en B.Con base en estos mismos principios, observe cómo se construyó la cur-

va elástica de la figura 12-4. Aquí, la viga está en voladizo con un soportefijo en A y, por lo tanto, la curva elástica debe tener desplazamiento y pen-diente con valor de cero en este punto. Además, el mayor desplazamientose producirá en D, donde la pendiente es cero, o en C .

Figura 12-2

�M �M

Momento interno positivo,cóncavo hacia arriba

(a)

Momento interno negativo,cóncavo hacia abajo

(b)

�M �M

Figura 12-3

M

x

Diagrama de momentos

(b)

B

E

D

Punto de inflexión

C

A

(c)

Curva elástica

�E

� A

P1 P2

A D

EC

B

(a)

Figura 12-4

DPunto de inflexiónCurva elástica

A

C

(c)

M

x

Diagrama de momentos

(b)

�C

�D

P

(a) AC D

M



12.1 LA CURVA ELÁSTICA 57

Figura 12-5

Relación momento-curvatura. Ahora se desarrollará una rela-ción importante entre el momento interno y el radio de curvatura r (rho)de la curva elástica en un punto. La ecuación resultante se utilizará paraestablecer cada uno de los métodos presentados en el capítulo para encon-trar la pendiente y el desplazamiento en puntos sobre la curva elástica.

El siguiente análisis requerirá el uso de tres coordenadas en esta seccióny en la siguiente. Como se muestra en la figura 12-5a, el eje x positivo seextiende a la derecha, a lo largo del eje longitudinal inicialmente recto dela viga. Se usa para localizar el elemento diferencial, que tiene una anchurano deformada dx. El eje y se extiende positivo hacia arriba del eje x. Mideel desplazamiento de la curva elástica. Por último, una coordenada y “loca-lizada” se emplea para especificar la posición de una fibra en el elementode viga. Se mide positivo hacia arriba desde el eje neutro (o curva elástica)como se muestra en la figura 12-5b. Recuerde que esta misma convenciónde signos para x y y se utilizó en la obtención de la fórmula de la flexión.

Para deducir la relación entre el momento interno y r , se limitará elanálisis al caso más común de una viga en un principio recta, la cual sedeforma elásticamente por las cargas aplicadas perpendicularmente al eje

x de la viga, y se encuentra en el plano x-y de simetría para la sección trans-versal de la viga. Debido a las cargas, la deformación de la viga es causadatanto por la fuerza cortante interna como por el momento flexionante. Sila viga tiene una longitud que es mucho mayor que su peralte, la mayordeformación será causada por la flexión y, por lo tanto, hay que prestaratención a sus efectos. Las deflexiones causadas por la fuerza cortante seanalizarán en el capítulo 14.

P

M

x

x

dx

v

w

(a)

u

O¿

ds¿

dx

Antes de ladeformación

Después de ladeformación

(b)

y y dx

ds

M M

du

r r




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

Cuando el momento interno M deforma al elemento de la viga, el ángu-lo entre las secciones transversales se convierte en du, figura 12-5b. El arcodx representa una porción de la curva elástica que cruza el eje neutro paracada sección transversal. El radio de curvatura para este arco se definecomo la distancia r , que se mide desde el centro de curvatura O¿ hasta dx.Cualquier arco distinto a dx en el elemento está sometido a una deforma-ción normal. Por ejemplo, la deformación en el arco ds, localizado en unaposición y desde el eje neutro es P = (ds¿ - ds)>ds. Sin embargo, ds = dx = r du y ds¿ = (r - y)du, por lo que P = [(r - y)du - r du]>r du o bien

Si el material es homogéneo y se comporta de una manera elástico lineal,entonces aplica la ley de Hooke, P = s>E. Además, como aplica la fórmulade la flexión,s = -My> I . Al combinar estas dos ecuaciones y sustituirlas enla ecuación anterior, se tiene

donde

r = el radio de curvatura en el punto sobre la curva elástica(1>r se conoce como la curvatura)

M = el momento interno en la viga en el punto E = el módulo de elasticidad del material I = el momento de inercia de la viga respecto al eje neutro

El producto EI de esta ecuación se conoce como la rigidez a la flexión,y siempre es una cantidad positiva. Por lo tanto, el signo de r depende dela dirección del momento. Como se muestra en la figura 12-6, cuando M es positivo, y se extiende por encima de la viga, es decir, en la dirección y positiva; cuando M es negativo, r se extiende por debajo de la viga, o en ladirección y negativa.

Si se usa la fórmula de la flexión, s = -My> I , también es posible expre-sar la curvatura en términos del esfuerzo en la viga, a saber,

Las ecuaciones 12-2 y 12-3 son válidas para radios de curvatura peque-ños o grandes. Sin embargo, el valor de r casi siempre se calcula como unacantidad muy grande. Por ejemplo, considere una viga de acero A-36 fabri-cada con base en un perfil W14 * 53 (apéndice B), donde Eac = 29(103) ksiy s

Y = 36 ksi. Cuando el material en las fibras exteriores, y = ;7 pulg, está

a punto de ceder , entonces r = ;5639 pulg de acuerdo con la ecuación 12-3.Los valores de s calculados en otros puntos a lo largo de la curva elásticade la viga pueden ser aún mayores, puesto que s no puede ser superior as

Y en las fibras exteriores.

(12-1)1

r = -

P

y

(12-2)1

r =

M

EI

(12-3)1

r = -

s

Ey

Figura 12-5 (cont.)

O¿

ds¿

dx

Antes de ladeformación

Después de ladeformación

(b)

y y dx

ds

M M

du

r r

Figura 12-6

O¿

O¿

Punto

de inflexión

M � 0

v

�r M M

�M

�M

r



12.2 PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR INTEGRACIÓN 57

12.2 Pendiente y desplazamientopor integración

La ecuación de la curva elástica de una viga puede expresarse matemáti-camente como y = f ( x). Para obtener esta ecuación, primero es necesariorepresentar la curvatura (1>r ) en términos de y y x. En la mayoría de loslibros de cálculo se demuestra que esta relación es

Sustituyendo en la ecuación 12-2, hemos

Esta ecuación representa una ecuación diferencial no lineal de segundo or-

den. Su solución, que se denomina elástica, da la forma exacta de la curvaelástica, suponiendo que las deflexiones de la viga se producen sólo debi-do a la flexión. Mediante el uso de matemáticas superiores, las solucioneselásticas se han obtenido sólo para casos simples de la geometría y la cargade una viga.

La ecuación 12-4 puede modificarse con el fin de facilitar la solución deun mayor número de problemas de deflexión. La mayoría de los códigosde diseño de ingeniería especifican limitaciones sobre las deflexiones portolerancia o por fines estéticos, y como resultado las deflexiones elásticaspara la mayoría de las vigas y ejes forman curvas poco pronunciadas. Enconsecuencia, la pendiente de la curva elástica, que se determina a partir dedy>dx será muy pequeña, y su cuadrado será insignificante comparado conla unidad.* Por lo tanto, la curvatura definida como se hizo anteriormen-te puede aproximarse mediante 1>r = d 2y>dx 2. Con esta simplificación, laecuación 12.4 puede escribirse como

También es posible escribir esta ecuación en dos formas alternativas. Sise diferencia cada lado con respecto a x y se sustituye V = dM >dx (ecuación6-2), se obtiene

Al diferenciar de nuevo, y usar w = dV >dx (ecuación 6-1), se obtiene

*Vea el ejemplo 12.1.

1

r =

d2v>dx2

[1 + 1dv>dx22]3>2

(12-4)d2v>dx2

[1 + 1dv>dx22]3>2 =

M

EI

(12-5)d2v

dx2 =

M

EI

(12-6)d

dx ¢EI

d2v

dx2 ≤ = V1x2

(12-7)d

2

dx2 ¢EI

d2v

dx2≤ = w1x2




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

(a)

B C

A D

P

w

Para la mayoría de los problemas, la rigidez a la flexión (EI ) será cons-tante en toda la longitud de la viga. Si se supone que éste es el caso, losresultados anteriores pueden reordenarse en el siguiente conjunto de tresecuaciones:

La solución de cualquiera de estas ecuaciones requiere integraciones suce-sivas para obtener la deflexióny de la curva elástica. Para cada integración,es necesario introducir una “constante de integración” y luego despejartodas las constantes para obtener una solución única para un problemaparticular. Por ejemplo, si la carga distribuida w se expresa como una fun-ción de x y se usa la ecuación 12-8, entonces deben evaluarse cuatro cons-tantes de integración; sin embargo, si se determina el momento internoM y se usa la ecuación 12-10, sólo deben encontrarse dos constantes deintegración. La elección de la ecuación con la que se empezará dependedel problema. Sin embargo, por lo general resulta más fácil determinar elmomento interno M en función de x, integrar dos veces y evaluar sólo dosconstantes de integración.

Recuerde de la sección 6.1 que si la carga sobre una viga es discontinua, esdecir, que consiste en varias cargas diferentes concentradas y distribuidas,entonces deben escribirse varias funciones para el momento interno, cadauna con validez dentro de la región entre las discontinuidades. Además,para mayor comodidad en la escritura de cada expresión de momento, el origen para cada coordenada x puede seleccionarse de manera arbitraria.Por ejemplo, considere la viga mostrada en la figura 12-7a. El momentointerno en las regiones AB, BC y CD puede escribirse en términos de lascoordenadas x1, x2 y x3 seleccionadas, como se muestra en la figura 12-7b o la figura 12-7c, o de hecho en cualquier forma que produzca M = f ( x) deuna manera tan simple como sea posible. Una vez que estas funciones seintegran dos veces usando la ecuación 12-10 y las constantes de integracióndeterminadas, las funciones proporcionarán la pendiente y la deflexión(curva elástica) para cada región de la viga en la que son válidas.

(12-8)

(12-9)

(12-10)EI

d2v

dx2 = M1x2

EI

d3v

dx3 = V1x2

EI

d4v

dx4 = w1x2

Figura 12-7

A D

(b)

P

w

B C

x1

x2

x3

A D

(c)

P

w

B C

x1 x2 x3




Convención de signos y coordenadas. Cuando se aplican lasecuaciones 12-8 a 12-10, es importante emplear los signos adecuados paraM , V o w según lo establecido por la convención de signos que se usó en laobtención de estas ecuaciones. Para su revisión, en la figura 12-8a se mues-tran estos términos en sus direcciones positivas. Por otra parte, recuerdeque la deflexión positiva y es hacia arriba y, como resultado, el ángulo u de

la pendiente positiva se medirá en sentido antihorario desde el eje x cuando x es positivo hacia la derecha. La razón de esto se muestra en la figura 12-8b. Aquí los incrementos positivos dx y dy en x y y crean un u aumentadocon un sentido antihorario. Sin embargo, si x positivo está dirigido a laizquierda, entonces y tendrá un sentido horario positivo, figura 12-8c.

Observe que si se supone quedy>dx es muy pequeña, la longitud originalhorizontal del eje de la viga y el arco de su curva elástica serán aproximada-mente iguales. En otras palabras, ds en la figura 12-8b y 12-8c es aproxima-damente igual a dx, puesto que 2 1 + 1dv>dx22

dxds = 2 1dx22 + 1dv22 =

L dx. Como resultado de esto, se supone que los puntos sobre la curva

elástica se desplazan verticalmente y no horizontalmente. Además, comoal ángulo u de la pendiente será muy pequeño, su valor en radianes puededeterminarse directamente de u L tan u = dy>dx.

El diseño de un sistema de techado require considerar con cuidado la deflexión. Pejemplo, en ciertas áreas del techo puedacumularse lluvia, lo que ocasiona un e

charcamiento y después una deflexión. Lugo ocurre un encharcamiento mayor y hasuna posible falla del techo.

�w

�M

�V �V

�M

Convención de signos positivos

(a)

dx

Curva elástica

O¿v

x

ds


(b)

�u

du

�r

� x

�v

�dv

�r

dx

Curva elástica

O¿

dv

�v

� x

v

x


(c)

dsdu

�u

�r

�r

Figura 12-8




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

Condiciones de frontera y de continuidad. Cuando se re-suelven las ecuaciones 12-8, 12-9 o 12-10, las constantes de integración sedeterminan mediante la evaluación de las funciones para la fuerza cor-tante, el momento, la pendiente o el desplazamiento en un punto deter-minado de la viga donde se conoce el valor de la función. Estos valores sedenominan condiciones de frontera. En la tabla 12-1 se presentan variascondiciones de frontera que suelen utilizarse para resolver problemas dedeflexión en vigas (o ejes). Por ejemplo, si la viga se sostiene mediante unrodillo o pasador (1, 2, 3, 4), es necesario que el desplazamiento sea cero en estos puntos. Además, si estos apoyos se encuentran en los extremos de

la viga (1, 2), el momento interno en la viga también debe ser cero. En elsoporte fijo (5) la pendiente y el desplazamiento son ambos cero, mientrasque la viga con un extremo libre (6) tiene tanto momento como fuerzacortante iguales a cero. Por último, si dos segmentos de una viga están co-nectados mediante un pasador “interno” o bisagra (7), el momento debeser cero en esta conexión.

Si la curva elástica no puede expresarse con una sola coordenada, en-tonces se deben usar condiciones de continuidad para evaluar algunas delas constantes de integración. Por ejemplo, considere la viga de la figura12-9a. Aquí se eligen dos coordenadas x con orígenes en A. Cada una esválida dentro de las regiones 0 … x1 … a y a … x2 … (a + b). Una vez que seobtienen las funciones para la pendiente y la deflexión, se deben dar losmismos valores para la pendiente y la deflexión en el punto B para que físi-camente la curva elástica sea continua. Expresado de manera matemática,esto requiere que u1(a) = u2(a) y y1(a) = y2(a). Estas condiciones puedenutilizarse para evaluar dos constantes de integración. Si en lugar de lo an-terior la curva elástica se expresa en términos de las coordenadas 0 … x1 …

a y 0…

x2 …

b, que se muestran en la figura 12-9b, entonces la continuidadde la pendiente y la deflexión en B requiere que u1(a) = -u2(b) y y1(a) = y2(b). En este caso particular, es necesario un signo negativo para que laspendientes en B coincidan puesto que x1 se extiende positivo hacia la de-recha, mientras que x2 se extiende positivo a la izquierda. En consecuencia,u1 es positivo en sentido antihorario y u2 es positivo en sentido horario. Vealas figuras 12-8b y 12-8c.

Rodillo

Pasador

Extremo fijo

1

2

3

4

5

Pasador interno o bisagra

6

7

� 0

� 0

� 0

Extremo libre

M � 0

M � 0

V � 0

u � 0

Rodillo

M � 0

� 0

Pasador

M � 0

� 0

TABLA 12-1

A C

x2

x1

P

a bB

(a)

u

v

v1, v2

x1

A C

x2

v

v1 v2

B

(b)

P

a b

u

Figura 12-9




Procedimiento de análisis

El siguiente procedimiento proporciona un método para determinar la pen-diente y la deflexión de una viga (o eje) usando el método de integración.

Curva elástica.• Dibuje una vista exagerada de la curva elástica de la viga. Recuerde que

en todos los soportes fijos se produce pendiente cero y desplazamientocero, y que en todos los soportes de pasador y de rodillo ocurre desplaza-miento cero.

• Establezca los ejes de coordenadas x y y. El eje x debe ser paralelo a laviga sin deflexión y puede tener su origen en cualquier punto a lo largo dela viga, con una dirección positiva ya sea a la derecha o a la izquierda.

• Si existen varias cargas discontinuas presentes, establezca las coordenadas x que son válidas para cada región de la viga entre las discontinuidades.

Elija estas coordenadas de modo que simplifiquen el trabajo algebraicoposterior.

• En todos los casos, el eje positivo y asociado debe estar dirigido haciaarriba.

Función de carga o de momento.

• Para cada región en la que hay una coordenada x, exprese la carga w oel momento interno M como una función de x. En particular, siempre suponga que M actúa en la dirección positiva cuando se aplica la ecuaciónde equilibrio de momentos para determinar M = f ( x).

Pendiente y curva elástica.

• Siempre que EI sea constante, aplique la ecuación de carga EI d4y>dx4 = w( x), que requiere cuatro integraciones para obtener y = y( x), o laecuación de momentos EI d2y>dx2 = M ( x), que requiere sólo dos inte-graciones. Para cada integración, es importante incluir una constante deintegración.

• Las constantes se evalúan usando las condiciones de frontera para lossoportes (tabla 12-1) y las condiciones de continuidad que se aplican a lapendiente y el desplazamiento en los puntos donde coinciden dos funcio-nes. Una vez que las constantes se evalúan y se sustituyen de nuevo en las

ecuaciones de pendiente y deflexión, es posible determinar la pendiente yel desplazamiento en puntos específicos de la curva elástica.

• Los valores numéricos obtenidos pueden verificarse de manera gráfica alcompararlos con el dibujo de la curva elástica. Observe que los valores

positivos para la pendiente tienen sentido antihorario si el eje x positivo seextiende a la derecha, y sentido horario si el eje x positivo se extiende ha-cia la izquierda. En cualquiera de estos casos, el desplazamiento positivo es hacia arriba.




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.1

Figura 12-10

La viga en voladizo de la figura 12.10a se somete a una carga vertical P en su extremo. Determine la ecuación de la curva elástica. EI es cons-tante.

SOLUCIÓN I

Curva elástica. La carga tiende a provocar deflexión en la viga comose muestra en la figura 12-10a. Por inspección, el momento interno pue-de representarse a través de la viga usando una sola coordenada x.

Función de momento. A partir del diagrama de cuerpo libre, conM actuando en la dirección positiva, figura 12-10b, se tiene

M = -Px

Pendiente y curva elástica. Si se aplica la ecuación 12-10 y se

integra dos veces, resulta

Mediante el uso de las condiciones de frontera dv>dx = 0 en x = L yy = 0 en x = L, las ecuaciones 2 y 3 se convierten en

Por lo tanto, C 1 = PL2>2 y C 2 = -PL3>3. Si se sustituyen estos resultadosen las ecuaciones 2 y 3 con u = dy>dx, se obtiene

En A( x = 0) se producen la pendiente y el desplazamiento máximos,para los cuales

(1)

(2)

(3)EIv = -Px

3

6 + C1x + C2

EI

dv

dx = -

Px2

2 + C1

EI

d2v

dx2

= -Px

0 = -PL

3

6 + C1L + C2

0 = -PL

2

2 + C1

Resp.v =

P

6EI

1-x

3+ 3L

2x - 2L

3

2

u =P

2EI 1L2

- x22

(4)

(5)vA = -

PL3

3EI

uA =

PL2

2EI

P

x

xB A

v A

Curva elástica

L

v

(a)

u A

M

x

(b)

P

V




El resultado positivo para u A

indica una rotación antihoraria y el resul-tado negativo para y

A indica que y

A es dirigida hacia abajo. Esto con-

cuerda con los resultados trazados en la figura 12-10a.Con el fin de obtener una idea de la magnitud real de la pendiente

y del desplazamiento en el extremo A, considere que la viga mostradaen la figura 12-10a tiene una longitud de 15 pies, soporta una carga deP = 6 kip y está hecha con acero A-36 que tiene Eac = 29(103) ksi. Usan-do los métodos de la sección 11.2, si esta viga se diseñó sin un factorde seguridad suponiendo que el esfuerzo normal permisible es igual alesfuerzo de cedencia sperm = 36 ksi; entonces puede considerarse ade-cuado un perfil W12 * 26 ( I = 204 pulg4). A partir de las ecuaciones4 y 5 se obtiene

La fuerza cortante constante C ¿1 puede evaluarse en x = 0, puesto queV

A = -P (negativo de acuerdo con la convención de signos para una

viga, figura 12-8a). Así, C ¿1 = -P . Al integrar de nuevo se obtiene la

forma de la ecuación 12-10, es decir,

Aquí M = 0 en x = 0, por lo que C ¿2 = 0, y como resultado se obtiene laecuación 1 y la solución procede de la misma forma que antes.

vA = - 6 kip115 pies23

112 pulg>pie23

3[2911032 kip>pulg2]1204 pulg42= - 1.97 pulg

uA =

6 kip115 pies22112 pulg>pie22

2[2911032 kip>pulg2]1204 pulg42= 0.0164 rad

Como u2 A

= (dy>dx)2 = 0.000270 rad2 1, se justifica el uso de la ecuación12-10, en lugar de aplicar la ecuación 12-4 que es más exacta, para elcálculo de la deflexión de las vigas. Además, puesto que esta aplicaciónnumérica es para una viga en voladizo, se han obtenido valores más

grandes de u y y de los que se hubieran obtenido si la viga se sostuvieramediante pasadores, rodillos u otros soportes fijos.

SOLUCIÓN II

Este problema también puede resolverse mediante la ecuación 12-8, EI d4y>dx4 = w( x). Aquí w( x) = 0 para 0 … x … L, figura 12-10a, de manera queal integrarse una vez se obtiene la forma de la ecuación 12-9, es decir,

EI

d3v

dx3 = C1

œ= V

EI

d4v

dx4 = 0

EI

d2v

dx2

= -Px + C2œ

= M

EI

d3v

dx3

= -P




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.2

La viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 12-11a sopor-ta la carga triangular distribuida. Determine su deflexión máxima. EI esconstante.

SOLUCIÓN I

Curva elástica. Debido a la simetría, sólo se necesita una coordena-da x para obtener la solución, en este caso 0 … x … L>2. La viga experi-

menta la deflexión mostrada en la figura 12-11a. La deflexión máxima seproduce en el centro ya que en ese punto la pendiente es cero.

Función de momento. En la figura 12-11b se muestra un diagramade cuerpo libre del segmento de la izquierda. La ecuación para la cargadistribuida es

Por lo tanto,

Figura 12-11

(a)

w0

Curva elástica x

L

2

L

2

x

M

V

(b)

� x x

x

3

2w0

L

w0 x2

L

w0L

4

xw�

2w0

L

1

2

(1)w =

2w0

L x

M = -w0x

3

3L +

w0L

4 x

M +w0x

2

L ax

3b -

w0L

4 1x2 = 0+ ©MNA = 0;




Pendiente y curva elástica. Si se usa la ecuación 12-10 y se inte-gra dos veces, resulta

Las constantes de integración se obtienen al aplicar la condición defrontera y = 0 en x = 0 y la condición de simetría dy>dx = 0 en x = L>2.Esto conduce a

Por lo tanto,

Al determinar la deflexión máxima en x = L>2, se tiene

SOLUCIÓN IIComo la carga distribuida actúa hacia abajo, es negativa de acuerdo conla convención de signos. Si se usa la ecuación 1 y se aplica la ecuación12-8, se tiene

Como V = +w0L>4 en x = 0, entonces C ¿1 = w0L>4. Al integrar de nuevo

resulta

Aquí M = 0 en x = 0, por lo que C ¿2 = 0. De este modo se obtiene la ecua-ción 2 y la solución procede de la misma forma que antes.

(2)

EIv = -w0

60L x

5+w0L

24 x

3+ C1x + C2

EI dv

dx = -

w0

12L x

4+w0L

8 x

2+ C1

EI

d2v

dx2

= M = -w0

3L x

3+w0L

4 x

C1 = -

5w0L3

192 C2 = 0

EIv = -w0

60L x

5+w0L

24 x

3-

5w0L3

192 x

EI

dv

dx = -

w0

12L x

4+w0L

8 x

2-

5w0L3

192

Resp.vmáx = -

w0L4

120EI

EI

d3v

dx3

= V = -w0

L x

2+ C1

œ

EI

d4v

dx4

= -2w0

L x

EI

d2v

dx2

= M = -w0

3L x

3+w0L

4 x + C2

œ

EI

d3v

dx3

= V = -w0

L x

2+w0L

4




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.3

La viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 12-12a estásometida a la fuerza concentrada P. Determine la deflexión máxima dela viga. EI es constante.

SOLUCIÓN

Curva elástica. La viga experimenta la deflexión mostrada en la fi-

gura 12-12b. Deben usarse dos coordenadas, puesto que la función demomentos cambiará en P . Aquí se tomará x1 y x2, con el mismo origen en A.

Función de momentos. A partir de los diagramas de cuerpo libremostrados en la figura 12-12c,

Pendiente y curva elástica. Al aplicar la ecuación 12-10 para M 1,con 0 … x1 6 2a, y al integrar dos veces se obtiene

De la misma manera, para M 2

, con 2a 6 x2

… 3a,

M2 =

P

3 x2 - P1x2 - 2a2 =

2P

3 13a - x22

M1 =

P

3 x1

(1)

(2)EIv1 =P

18 x1

3+ C1x1 + C2

EI

dv1

dx1

=P

6 x1

2+ C1

EI

d2v1

dx1

2 =

P

3 x1

(3)

(4)EIv2 =2P

3

3

2 ax2

2-x2

3

6 + C3x2 + C4

EI

dv2

dx2

=2P

3 3ax2 -

x2

2

2 + C3

EI

d2v2

dx2

2 =

2P

3 13a - x22

A C

P

B

(a)

2a a

D

x1

x2

A C

(b)

vD

v

x

D uD� 0

Figura 12-12

A

x2V 2

M 2

M 1

P

B

(c)

2a

( x2� 2a)

x1 V 1

P

3

P

3




Los cuatro constantes se evalúan usando dos condiciones de frontera,a saber, x1 = 0, y1 = 0 y x2 = 3a, y2 = 0. Además, deben aplicarse dos condiciones de continuidad en B, es decir, dy1>dx1 = dy2>dx2 en x1 =

x2 = 2a y y1 = y2 en x1 = x2 = 2a. La sustitución especificada resulta en lassiguientes cuatro ecuaciones:

Al resolver, se obtiene

Así, las ecuaciones 1-4 se convierten en

Por inspección de la curva elástica, figura 12-12b, la deflexión máximaocurre en D, en algún lugar dentro de la región AB. Aquí la pendientedebe ser cero. De la ecuación 5,

Sustituyendo en la ecuación 6,

El signo negativo indica que la deflexión es hacia abajo.

P

18 12a23 + C112a2 + C2 =

2P

3 ¢ 32

a12a22 -

12a23

6 ≤ + C312a2 + C4v112a2 = v212a2;

P

6 12a22

+ C1 =2P

3 ¢3a12a2 -

12a22

2 ≤ + C3

dv112a2

dx1

=

dv212a2

dx2

;

0 =2P

3 ¢ 3

2 a13a22

-

13a23

6 ≤ + C313a2 + C4v2 = 0 en x2 = 3a;

0 = 0 + 0 + C2v1 = 0 en x1 = 0;

C3 = -

22

9 Pa

2

C4 =

4

3 Pa

3

C1 = -

4

9 Pa

2

C2 = 0

(5)

(6)

(7)

(8)v2 =Pa

EI x2

2-

P

9EI x2

3-

22Pa2

9EI x2 +

4Pa3

3EI

dv2

dx2=

2Pa

EI x2 -

P

3EI x2

2-

22Pa2

9EI

v1 =P

18EI x1 3 -

4Pa2

9EI x1

dv1

dx1=

P

6EI x1

2-

4Pa2

9EI

x1 = 1.633a

1

6 x1

2-

4

9 a

2=

0

Resp.vmáx = -0.484

Pa3

EI




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.4

La viga de la figura 12-13a está sometida a la carga P en su extremo.Determine el desplazamiento en C . EI es constante.

SOLUCIÓN

Curva elástica. La viga experimenta deflexión en la forma mostra-da en la figura 12-13a. Debido a la carga, se considerarán dos coorde-

nadas x, a saber, 0 … x1 6 2a y 0 … x2 6 a, donde x2 está dirigida hacia laizquierda desde C , puesto que el momento interno es fácil de formular.

Funciones de momento. Mediante el uso de los diagramas decuerpo libre mostrados en la figura 12-13b, se tiene

Pendiente y curva elástica. Al aplicar la ecuación 12-10,

M1 = -

P

2 x1 M2 = -Px2

Para

(1)

(2)EIv1 = -P

12 x1

3+ C1x1 + C2

EI

dv1

dx1

= -P

4 x1

2+ C1

EI

d2v1

dx1

2 = -

P

2 x10 … x1 … 2a:

Figura 12-13

A

C

B

(a)

a

x1

vC

P

x2

2a

(b)

P

M 1

V 1

M 2

V 2

x1 x2

P

2




Las cuatro constantes de integración se determinan mediante tres condiciones de frontera, a saber, y1 = 0 en x1 = 0, y1 = 0 en x1 = 2a y y2 = 0 en x2 = a, así como una ecuación de continuidad. Aquí la continuidadde la pendiente en el rodillo requiere que dy1>dx1 = -dy2>dx2 en x1 = 2a y x2 = a. ¿Por qué hay un signo negativo en esta ecuación? (Observe quela continuidad del desplazamiento en B se ha considerado de maneraindirecta en las condiciones de frontera, ya que y

1

= y2

= 0 en x1

= 2a y x2 = a.)Al aplicar estas cuatro condiciones se obtiene

Al sustituir C 3 y C 4 en la ecuación 4 se obtiene

El desplazamiento en C se determina tomando x2 = 0. Resulta

Resolviendo, se obtiene

Para

(3)

(4)EIv2 = -P

6 x2

3+ C3x2 + C4

EI

dv2

dx2

= -P

2 x2

2+ C3

EI

d2v2

dx2

2 = -Px20 … x2 … a:

0 = -P

12 12a23

+ C112a2 + C2v1 = 0 en x1 = 2a;

0 = 0 + 0 + C2v1 = 0 en x1 = 0;

0 = -P

6 a

3+ C3a + C4v2 = 0 en x2 = a;

-P

4

12a

22

+ C1 = -

a-P

2

1a

22

+ C3

bdv112a2dx1

= -

dv21a2dx2

;

C1 =

Pa2

3 C2 = 0 C3 =

7

6 Pa

2 C4 = -Pa

3

v2 = -P

6EI x2

3+

7Pa2

6EI x2 -

Pa3

EI

Resp.vC = -

Pa3

EI




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F12-1. Determine la pendiente y la deflexión del extremo A de la viga en voladizo. E = 200 GPa e I = 65.0(106) mm4.

F12-4. Determine la deflexión máxima de la viga simple-mente apoyada. La viga está hecha de madera con un módu-lo de elasticidad de Ew = 1.5(103) ksi y una sección transver-

sal rectangular de b = 3 pulg y h = 6 pulg.

F12-2. Determine la pendiente y la deflexión del extremo A de la viga en voladizo. E = 200 GPa e I = 65.0(106) mm4.

F12-3. Determine la pendiente del extremo A de la viga envoladizo. E = 200 GPa e I = 65.0(106) mm4.

F12-5. Determine la deflexión máxima de la viga simple-mente apoyada. E = 200 GPa e I = 39.9(10-6) m4.

F12-6. Determine la pendiente en A de la viga simplemen-te apoyada, E = 200 GPa e I = 39.9(10-6) m4.

F12-1

3 m

30 kN�m

A

F12-2

3 m

10 kN�m

10 kN

A

F12-3

3 m

10 kN

3 kN/ m

A

F12-4

AB

12 pies

100 lb/ pie

F12-5

6 m

40 kN· m 10 kN· m

A

B

F12-6

3 m

20 kN

10 kN· m 10 kN ·m

3 m

AB




PROBLEMAS

•12-1. Una solera de acero A-36, con un grosor de 10 mmy una anchura de 20 mm se dobla en forma de arco circularcon radio r = 10 m. Determine el esfuerzo flexionante máxi-

mo de la solera.12-2. Se toma una fotografía de un hombre que realiza unsalto con pértiga y se estima que el radio mínimo de curva-tura de la garrocha es de 4.5 m. Si la pértiga tiene 40 mm dediámetro y está fabricada de un plástico reforzado con vidriopara el cual E

g = 131 GPa, determine el esfuerzo flexionante

máximo en la garrocha.

*12-4. Determine las ecuaciones de la curva elástica usado las coordenadas x1 y x2. EI es constante.

12-3. Cuando la clavadista se coloca en el extremo C deltrampolín, provoca una deflexión hacia abajo de 3.5 pulg.Determine el peso de la clavadista. El trampolín está fabri-cado de un material que tiene un módulo de elasticidad deE = 1.5(103) ksi.

•12-5. Determine las ecuaciones de la curva elástica pala viga usando las coordenadas x1 y x2. EI es constante.

12-6. Determine las ecuaciones de la curva elástica para viga usando las coordenadas x1 y x2. Especifique la deflexiómáxima de la viga. EI es constante.

Prob. 12-2

r � 4.5 m

Prob. 12-3

3.5 pulg

9 pies

A B

C

3 pies 18 pulg

2 pulg

Prob. 12-4

L

P

x1 x2

a

Prob. 12-5

L

A

B

P

x1 x2

L

2

Prob. 12-6

L

A

B

P

x1

x3

L

2




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

12-7. La viga está fabricada con dos barras y se somete a lacarga concentrada P. Determine la deflexión máxima dela viga si los momentos de inercia de las barras son I

AB e I

BC ,

y el módulo de elasticidad es E.

12-10. Determine la pendiente máxima y la deflexión máxi-ma de la viga simplemente apoyada, la cual está sometida almomento de par M0. EI es constante.

*12-8. Determine las ecuaciones de la curva elástica para

la viga usando las coordenadas x1 y x2. EI es constante.

•12-9. Determine las ecuaciones de la curva elástica usan-do las coordenadas x1 y x2. EI es constante.

12-11. Determine las ecuaciones de la curva elástica parala viga usando las coordenadas x1 y x2. Especifique la de-

flexión máxima de la viga. EI es constante.

*12-12. Determine las ecuaciones de la curva elástica parala viga usando las coordenadas x1 y x2. Especifique la pen-diente en A y el desplazamiento máximo de la viga. EI esconstante.

A

L

B

M0

Prob. 12-10

Prob. 12-7

A

B

C

L

P

l

2a

A

B

P

x1

x2

a

Prob. 12-11Prob. 12-8

P

x1

x2

L

2

L

2

A B

P P

L

x1

x2

a a

Prob. 12-12Prob. 12-9

P

L

A B

x1

ba

x2




12-13. La barra se sostiene mediante un apoyo de rodillosen B, el cual permite un desplazamiento vertical pero resistela carga axial y el momento. Si la barra se somete a la cargamostrada, determine la pendiente en A y la deflexión en C .EI es constante.

*12-16. La tabla para cerca se coloca entre los tres postlisos fijos. Si los postes permanecen sobre la misma línedetermine el esfuerzo flexionante máximo en la tabla. Éstiene una anchura de 6 pulg y un grosor de 0.5 pulg. E = 1.6(103) ksi. Suponga que el desplazamiento de cada extremde la tabla en relación con su centro es de 3 pulg.

12-14. El eje simplemente apoyado tiene un momento deinercia de 2I para la región BC y un momento de inercia I para las regiones AB y CD. Determine la deflexión máximade la viga debido a la carga P.

12-15. Determine las ecuaciones de la curva elástica para eleje usando las coordenadas x1 y x3. Especifique la pendienteen A y la deflexión en el centro del eje. EI es constante.

•12-17. Determine las ecuaciones de la curva elástica pael eje usando las coordenadas x1 y x2. Especifique la pediente en A y la deflexión en C . EI es constante.

12-18. Determine la ecuación de la curva elástica para viga usando la coordenada x. Especifique la pendiente en

y la deflexión máxima. EI es constante.

12-19. Determine la deflexión en el centro de la viga y pendiente en B. EI es constante.

Prob. 12-13

P

A

C

B

L

2

L

2

Prob. 12-14

C A D

P

–4L –

4L –

4L –

4L

B

Prob. 12-15

A B

a a

P

b

P

x1

x3

Prob. 12-16

4 pies 4 pies

A C B

3 pulg

Prob. 12-17

A B C

L L

x1 x2

0M

2

Probs. 12-18/19

A

L

B

M0 M0

x




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

*12-20. Determine las ecuaciones de la curva elástica usan-do las coordenadas x1 y x2, y especifique la pendiente en A yla deflexión en C . EI es constante.

•12-21. Determine la curva elástica en términos de lascoordenadas x1 y x2, y la desviación del extremo C de laviga con voladizo. EI es constante.

12-22. Determine la curva elástica para la viga en voladizoW14 * 30 usando la coordenada x. Especifique la pendientemáxima y la deflexión máxima. E = 29(103) ksi.

12-23. La viga está sometida a la carga distribuida variantelinealmente. Determine la deflexión máxima de la viga. EI es constante.

*12-24. La viga está sometida a la carga distribuida varian-te linealmente. Determine la deflexión máxima de la viga.EI es constante.

•12-25. Determine la ecuación de la curva elástica para laviga simplemente apoyada usando la coordenada x. Deter-mine la pendiente en A y la deflexión máxima. EI es cons-tante.

Prob. 12-20

A B C

x1 x2

20 kip�pie

8 kip

20 pies 10 pies

Prob. 12-21

w

L L

2

C

B

A

x 1

x 2

Prob. 12-22

B

A

x

3 kip/ pie

9 pies

Probs. 12-23/24

L

B A

x

w0

Prob. 12-25

x

A B

12 kN/ m

6 m6 m




12-26. Determine las ecuaciones de la curva elástica usan-do las coordenadas x1 y x2, y especifique la pendiente y ladeflexión en B. EI es constante.

12-27. Los postes de madera utilizados para retener unmuro de contención tienen un diámetro de 3 pulg. Si lapresión del suelo a lo largo de un poste varía uniforme-

mente desde cero en la parte superior A hasta un máximode 300 lb>pie en la parte inferior B, determine la pendientey el desplazamiento de la parte superior del poste. E

w =

1.6(103) ksi.

*12-28. Determine la pendiente en el extremo B y la dflexión máxima de la placa triangular en voladizo que tienun grosor constante t . La placa está fabricada de un matericon un módulo de elasticidad E.

•12-29. La viga está fabricada de un material que tiene upeso específico g. Determine el desplazamiento y la pediente en su extremo A debidos a su peso. El módulo delasticidad del material es E.

12-30. La viga está fabricada de un material que tiene upeso específico g. Determine el desplazamiento y la pediente en su extremo A debidos a su peso. El módulo delasticidad del material es E.

Prob. 12-26

L

A

B

a

w

x1

x2

C

Prob. 12-27

6 pies

A

300 lb/pie B

Prob. 12-28

L

t

b

2

b

2

w

A

B x

Prob. 12-29

b

L

Ah

Prob. 12-30

r

A

L




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

12-31. La viga ahusada tiene una sección transversal rec-tangular. Determine la deflexión de su extremo libre en tér-minos de la carga P , la longitud L, el módulo de elasticidadE y el momento de inercia I 0 de su extremo fijo.

•12-33. La viga ahusada tiene una sección transversal rec-tangular. Determine la deflexión de su centro en términosde la carga P , la longitud L, el módulo de elasticidad E y elmomento de inercia I

c de su centro.

*12-32. La viga está fabricada de una placa que tiene ungrosor t constante y una anchura que varía linealmente. Laplaca se corta en tiras para formar una serie de hojas que seapilan para hacer un resorte de hojas consistente en n hojas.Determine la deflexión en el extremo de la viga cuando está

cargada. No tome en cuenta la fricción entre las hojas.

12-34. El ensamble de resortes de hoja está diseñado parasometerse al mismo esfuerzo máximo en toda su longitud. Silas placas de cada hoja tienen un grosor t y pueden deslizarselibremente entre sí, demuestre que el resorte debe tener laforma de un arco circular a fin de que pueda volverse pla-no cuando se aplique una carga P suficientemente grande.¿Cuál es el esfuerzo normal máximo en el resorte? Conside-re que el resorte se hace al cortar las n tiras de una placa quetiene forma de diamante con un grosor t y una anchura b.El módulo de elasticidad del material es E. Sugerencia: De-muestre que el radio de curvatura del resorte es constante.

Prob. 12-31

b

L

AP

Prob. 12-32

b

L

P

Prob. 12-33

bL—2

L—2

P

Prob. 12-34

P

nb

b

x

x

L

2

L

2



12.3 FUNCIONES DE DISCONTINUIDAD 59

*12.3 Funciones de discontinuidad

El uso del método de integración para encontrar la ecuación de la curvaelástica de una viga o eje resulta conveniente si la carga o momento in-terno puede expresarse como una función continua a lo largo de toda la

longitud de la viga. Sin embargo, si sobre la viga actúan varias cargas dife-rentes, la aplicación del método se hace más tediosa porque deben escri-birse funciones de carga o de momento independientes para cada regiónde la viga. Además, la integración de estas funciones requiere la evalua-ción de las constantes de integración, utilizando tanto las condiciones defrontera como de continuidad. Por ejemplo, para la viga de la figura 12-14es necesario escribir cuatro funciones de momento. En ellas se describeel momento en las regiones AB, BC , CD y DE. Al aplicar la relación demomento-curvatura, EI d 2y>dx2 = M , e integrar dos veces cada ecuaciónde momentos, deben evaluarse ocho constantes de integración. Lo ante-rior implica dos condiciones de frontera que requieren desplazamiento

cero en los puntos A y E, y seis condiciones de continuidad tanto para lapendiente como para el desplazamiento en los puntos B, C y D.

En esta sección se analizará un método para encontrar la ecuación dela curva elástica de una viga con múltiples cargas usando una sola expre-

sión, ya sea formulada a partir de la carga sobre la viga, w = w( x), o delmomento interno de la viga, M = M ( x). Si la expresión para w se sustituyeen EI d 4y>dx4 = w( x) y se integra cuatro veces, o si la expresión para M se sustituye en EI d 2y>dx2 = M ( x) y se integra dos veces, las constantes deintegración se determinarán sólo a partir de las condiciones de frontera.Como las ecuaciones de continuidad no están involucradas, el análisis sesimplifica en gran medida.

Funciones de discontinuidad. Con el fin de expresar la carga so-bre la viga o el momento interno dentro de ésta usando una sola expresión,se emplearán dos tipos de operadores matemáticos conocidos como fun-

ciones de discontinuidad.

Por motivos de seguridad, estas vigas evoladizo que soportan hojas de madecontrachapada deben diseñarse tanto pala resistencia como para una cantidad retringida de deflexión.

Figura 12-14

A E

P w

C B D

M0




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

Funciones de Macaulay. A fin de determinar la deflexión de unaviga o un eje, pueden usarse las funciones de Macaulay, llamadas así en ho-nor al matemático W. H. Macaulay, para describir las cargas distribuidas.Estas funciones pueden expresarse en forma general como

Aquí x representa la coordenada de posición de un punto a lo largo de laviga y a es la ubicación sobre la viga donde ocurre una “discontinuidad”;es decir, el punto donde comienza una carga distribuida. Observe que lafunción de Macaulay H x - aI n se escribe con paréntesis angulares para dis-tinguirla de la función ordinaria ( x - a)n, escrita entre paréntesis. Según loestablecido por la ecuación, H x - aI n = ( x - a)n sólo cuando x Ú a, de lo con-trario su valor es cero. Por otra parte, estas funciones son válidas sólo paravalores exponenciales de n Ú 0. La integración de las funciones de Macau-

lay sigue las mismas reglas que para las funciones habituales, es decir,

Observe que las funciones de Macaulay describen tanto la carga unifor-

me w0(n = 0) como la carga triangular (n = 1), que se muestran en la tabla12-2 en las filas 3 y 4. Por supuesto, este tipo de descripción puede exten-derse para cargas distribuidas que tienen otras formas. Además, es posibleemplear la superposición de las cargas uniforme y triangular a fin de crear

(1)

(2)

(3)

(4) pendiente m

Carga

w

M 08 x�

a9�2

w P 8 x�a9�1

w w08 x�a90

w m8 x�a91 x

a

w0

x

a

P

x

a

xa

M0

Cortante V w( x)dx Momento M Vdx

V

M 08 x�

a9�1

V P 8 x�a90

V w08 x�a91

V 8 x�a92

2m

M

M 08 x�

a90

M P 8 x�a91

M

8 x�a92

2

w0

M 8 x�a93

6m

Función de cargaw = w( x)

TABLA 12-2

(12-11)

n Ú 0

8x - a9n = b0 para x 6 a

1x - a2n para x Ú a

(12-12)L8x - a9n dx =8x - a9n+1

n + 1 + C




la función de Macaulay para una carga trapezoidal. En la tabla tambiénse muestra el uso de la integración en las funciones de Macaulay para elcortante, V = µw( x)dx, y el momento, M = µV dx.

Funciones de singularidad. Estas funciones sólo se utilizan paradescribir la ubicación de las fuerzas concentradas o momentos de par que

actúan sobre una viga o eje. En específico, una fuerza concentrada P pue-de considerarse como un caso especial de una carga distribuida, donde laintensidad de la carga es w = P >P de tal manera que su longitud sea P, don-de P S 0, figura 12-15. El área bajo este diagrama de carga es equivalentea P , positiva hacia arriba, por lo que se usará la función de singularidad

para describir la fuerza P . Aquí n = -1 de modo que las unidades de w sonde fuerza por longitud, como debían ser. Además, la función toma el valor deP sólo en el punto x = a donde se produce la carga, de lo contrario su valores cero.

De manera similar, un momento de par M0, considerado positivo en sen-

tido horario, es un límite cuando P S 0 de dos cargas distribuidas como lasmostradas en la figura 12-16. Aquí, la siguiente función describe su valor.

Usando esta fórmula, observe cómo M 0 y P , que se describen en la tabla12-2 en las filas 1 y 2, se integran una vez y luego dos veces para obtener lafuerza cortante y el momento interno en la viga.

La aplicación de las ecuaciones 12-11 a 12-15 proporciona un mediomás directo para expresar la carga o el momento interno en una viga comofunción de x. Al hacer esto, debe prestarse atención especial a los signos delas cargas externas. Como se indicó anteriormente, y como se muestra enla tabla 12-2, las fuerzas concentradas y las cargas distribuidas son positivas

hacia arriba, y los momentos de par son positivos en sentido horario. Si sesigue esta convención de signos, entonces la fuerza cortante y el momentointerno estarán en concordancia con la convención de signos para una vigaestablecida en la sección 6.1.

El exponente n = -2, tiene la finalidad de garantizar que se mantengan las

unidades de w, fuerza por longitud.La integración de las dos funciones de singularidad anteriores sigue las

reglas del cálculo operacional y produce resultados diferentes a los obteni-dos mediante las funciones de Macaulay. En específico,

(12-13)w = P8x - a9-1 = b 0 para x Z a

P para x = a

(12-14)w = M08x - a9-2

= b0 para x Z a

M0 para x = a

(12-15)n = -1, -2L8x - a9ndx = 8x - a9n+1,

Figura 12-15

P

x

�

a

x

a

w �

P

P

P

Figura 12-16

x

=

a

x

a

M0

w� P

P

M

P

M

P

�

w� P

P

�

P

P




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

Como un ejemplo de la manera en que se aplican las funciones de dis-continuidad para describir la carga o el momento interno, considere la vigacargada que se muestra en la figura 12-17a. Aquí la fuerza de reacción de2.75 kN creada por el rodillo, figura 12-17b, es positiva ya que actúa haciaarriba, y el momento de par de 1.5 kN ∙ m también es positivo puesto queactúa en sentido horario. Por último, la carga trapezoidal es negativa y se

ha separado en cargas triangular y uniforme. Por lo tanto, en la tabla 12-2la carga en cualquier punto x sobre la viga es

La fuerza reactiva en B no se incluye aquí porque x nunca es superior a6 m y, además, este valor no tiene ninguna consecuencia en el cálculo de

la pendiente o la deflexión. Ahora es posible determinar la expresión delmomento directamente de la tabla 12-2, en vez de integrar esta expresiónen dos ocasiones. En cualquier caso,

La deflexión de la viga puede determinarse después de que esta ecuaciónse haya integrado dos veces sucesivas y las constantes de integración sehayan evaluado empleando las condiciones de frontera de desplazamientocero en A y B.

w = 2.75 kN8x - 09-1+ 1.5 kN # m8x - 3 m9-2

- 3 kN>m8x - 3 m90- 1 kN>m

28x - 3 m91

= 2.75x + 1.58x - 390- 1.58x - 392

-1

6 8x - 393

M = 2.75 kN8x - 091+ 1.5 kN # m8x - 3 m90

-

3 kN>m

2 8x - 3 m92

-

1 kN>m2

6 8x - 3 m93

Figura 12-17

3 m

A

3 m

B

3 kN/ m1.5 kN�m

6 kN/ m

(a)

3 m 3 m

3 kN/ m

2.75 kN

3 kN/ m

(b)

m � � 1 kN/ m2

3 m

3 kN/ m

1.5 kNm

B y

B x





El siguiente procedimiento proporciona un método mediante elcual se emplean funciones de discontinuidad para determinar lacurva elástica de la viga. Este método es particularmente ventajoso

para resolver los problemas de las vigas o ejes sometidos a variascargas, puesto que las constantes de integración pueden evaluarseusando sólo las condiciones de frontera, mientras que las condicio-nes de compatibilidad se satisfacen de manera automática.

Curva elástica.

• Dibuje la curva elástica de la viga y determine las condiciones defrontera en los soportes.

• En todos los soportes de pasador y rodillo ocurre desplazamien-

to cero mientras que en los soportes fijos se produce pendientecero y desplazamiento cero.

• Establezca el eje x de modo que se extienda hacia la derecha ytenga su origen en el extremo izquierdo de la viga.

Función de carga o momento.

• Calcule las reacciones en los soportes en x = 0 y luego use lasfunciones de discontinuidad en la tabla 12-2 para expresar lacarga w o bien el momento interno M como una función de x.Asegúrese de seguir la convención de signos para cada cargaque se aplica en esta ecuación.

• Observe que para ser válidas las cargas distribuidas deben ex-tenderse en toda la viga hasta su extremo derecho. Si esto noocurre, use el método de superposición, que se ilustra en el ejem-plo 12.6.

Pendiente y curva elástica.

• Sustituya w en EI d4y>dx4 = w( x), o M en la relación de curvatu-ra-momento EI d 2y>dx2 = M , e integre para obtener las ecuacio-

nes de la pendiente y la deflexión de la viga.• Evalúe las constantes de integración usando las condiciones de

frontera y sustituya estas constantes en las ecuaciones de la pen-diente y la deflexión para obtener los resultados finales.

• Cuando las ecuaciones de la pendiente y la deflexión se evalúanen cualquier punto de la viga, una pendiente positiva tiene un

sentido antihorario y un desplazamiento positivo es hacia arriba.




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.5

Determine la deflexión máxima de la viga que se muestra en la figura12-18a. EI es constante.

SOLUCIÓN

Curva elástica. La viga experimenta deflexión como se muestra enla figura 12-18a. Las condiciones de frontera requieren desplazamientocero en A y B.

Función de carga. Se han calculado las reacciones que se muestranen el diagrama de cuerpo libre de la figura 12-18b. La función de cargapara la viga puede escribirse como

El momento de par y la fuerza en B no se incluyen aquí porque estánsituados en el extremo derecho de la viga y x no puede ser mayor a 30pies. Al integrar dV >dx = w( x), se obtiene

De manera similar, de dM >dx = V resulta

w = -8 kip 8 x - 09-1+ 6 kip 8x - 10 pies9- 1

V = -88x - 090 + 68x - 1090

= 1-8x + 68x - 10912 kip # pie

M = -88x - 091 + 68x - 1091

Figura 12-18

10 pies

(a)

20 pies

8 kip

120 kip�pie

vC vD

D

A

B

C

10 pies

30 pies

8 kip

120 kip�pie

x 6 kip 2 kip

(b)




Observe cómo esta ecuación también puede establecerse directamente usando los resultados de la tabla 12-2 para el momento.

Pendiente y curva elástica. Al integrar dos veces se obtiene

A partir de la ecuación 1, la condición de frontera y = 0 en x = 10 piesy y = 0 en x = 30 pies da

Si se resuelven estas ecuaciones de manera simultánea para C 1 y C 2, seobtiene C 1 = 1333 y C 2 = -12000. Así,

De la figura 12-18a, el desplazamiento máximo puede ocurrir en C oen D, donde la pendiente dy>dx = 0. Para obtener el desplazamiento deC , establezca x = 0 en la ecuación 3. Resulta

El signo negativo indica que el desplazamiento es hacia abajo como semuestra en la figura 12-18a. Para localizar el punto D, use la ecuación 2con x 7 10 pies y dy>dx = 0. Se obtiene

Si se despeja la raíz positiva,

xD = 20.3 piesPor lo tanto, de la ecuación 3,

Al comparar este valor con yC , se observa que ymáx = y

C .

(1)EIv = -4

3 x

3+ 8x - 1093 + C1x + C2

EI

dv

dx = -4x2

+ 38x - 1092 + C1

EI

d2v

dx2 = -8x + 68x - 1091

0 = - 36 000 + 130 - 1023+ C11302 + C2

0 = - 1333 + 110 - 1023+ C11102 + C2

(2)

(3)EIv = -4

3 x

3+ 8x - 1093

+ 1333x - 12 000

EI

dv

dx = - 4x2

+ 38x - 1092+ 1333

Resp.vC = -

12 000 kip # pie3

EI

xD2

+ 60xD - 1633 = 0

0 = -4xD2

+ 31xD - 1022 + 1333

vD =5006 kip # pie3

EI

EIvD = -4

3 120.323

+ 120.3 - 1023+ 1333120.32 - 12 000




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.6

Determine la ecuación de la curva elástica para la viga en voladizo quese muestra en la figura 12-19a. EI es constante.

SOLUCIÓNCurva elástica. Las cargas hacen que la viga presente deflexióncomo se muestra en la figura 12-19a. Las condiciones de frontera re-quieren que la pendiente y el desplazamiento sean iguales a cero en A.

Función de carga. Se han calculado las reacciones en el soporte A, las cuales se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la figura12-19b. Dado que la carga distribuida en la figura 12-19b no se extiendehasta C como se requiere, se puede usar la superposición de cargas mos-trada en la figura 12-19b para representar el mismo efecto. Por lo tanto,considerando la convención de signos, la carga de la viga es

La carga de 12 kN no se incluye aquí, puesto que x no puede ser supe-rior a 9 m. Como dV >dx = w( x) por integración, y sin tomar en cuenta laconstante de integración porque las reacciones se incluyen en la funciónde carga, se tiene

Además, dM >dx = V , por lo que al integrar de nuevo se obtiene

Este mismo resultado puede obtenerse directamente de la tabla 12-2.

Pendiente y curva elástica. Si se aplica la ecuación 12-10 y seintegra dos veces, resulta

Como dy>dx = 0 en x = 0, C 1 = 0; y y = 0 en x = 0, de manera que C 2 = 0. Por lo tanto,

+ 50 kN # m8x - 5 m9-2+ 8 kN>m8x - 5 m90

w = 52 kN8x - 09-1

- 258 kN#m8x - 09

-2

- 8 kN>m8x - 090

V = 528x - 090 - 2588x - 09-1 - 88x - 091 + 508x - 59-1 + 88x - 591

= 1-258 + 52x - 4x2+ 508x - 590

+ 48x - 592) kN # m

M = -2588x - 090 + 528x - 091 - 12

1828x - 092 + 508x - 590 + 12

1828x - 592

EIv = -129x2

+26

3 x

3-

1

3 x

4+ 258x - 592 +

1

3 8x - 594 + C1x + C2

EI

dv

dx = -258x + 26x

2-

4

3 x

3+ 50

8x - 5

9

1+

4

3

8x - 5

9

3+ C

1

EI

d2v

dx2

= -258 + 52x - 4x2

+ 508x - 590 + 48x - 592

Resp.v =1

EI a -129x2 + 26

3 x3-

1

3 x4+ 258x - 592 + 1

3 8x - 594b m

12 kN

5 m

(a)

4 m

8 kN/ m

50 kN�m A

BC

Figura 12-19

(b)

12 kN

4 m

8 kN/ m

50 kN�m

A B C

8 kN/ m52 kN

258 kN�m

5 m




PROBLEMAS

12-35. El eje está fabricado de acero y tiene un diámetrode 15 mm. Determine su deflexión máxima. Los cojinetesen A y B ejercen sólo reacciones verticales sobre el eje. Eac

= 200 GPa.

12-38. El eje soporta las dos cargas de las poleas que muestran en la figura. Determine la ecuación de la curvelástica. Los cojinetes en A y B ejercen sólo reacciones ve

ticales sobre el eje. EI es constante.

*12-36. La viga está sometida a las cargas mostradas. De-termine la ecuación de la curva elástica. EI es constante.

•12-37. Determine la deflexión en cada una de las poleasC , D y E. El eje es de acero y tiene un diámetro de 30 mm.Los cojinetes en A y B ejercen sólo reacciones verticales so-bre el eje. Eac = 200 GPa.

12-39. Determine la deflexión máxima de la viga simplmente apoyada. E = 200 GPa e I = 65.0(106) mm4.

*12-40. Determine la ecuación de la curva elástica, la pediente en A y la deflexión en B de la viga simplemente apyada. EI es constante.

•12-41. Determine la ecuación de la curva elástica y la dflexión máxima de la viga simplemente apoyada. EI es contante.

Prob. 12-35

15 mm

250 N 80 N

200 mm 200 mm300 mm

B A

Prob. 12-36

x

A

B

2 kip

8 pies

4 kip

4 kip�pie

8 pies8 pies

Prob. 12-37

150 N 60 N 150 N

250 mm 250 mm250 mm 250 mm

DEC

B A

Prob. 12-38

A B

40 lb

x

20 pulg20 pulg20 pulg

60 lb

Prob. 12-39

2 m2 m 2 m

30 kN

15 kN

A B

Probs. 12-40/41

A

C B D

L

3

L

3

L

3

M 0 M 0




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

12-42. Determine la ecuación de la curva elástica, la pen-diente en A y la deformación máxima de la viga simplemen-te apoyada. EI es constante.

12-46. Determine la deflexión máxima de la viga simple-mente apoyada. E = 200 GPa e I = 65.0(106) mm4.

12-43. Determine la deflexión máxima de la viga en vola-

dizo. La viga es de un material que tiene E = 200 GPa e I = 65.0(106) mm6.

*12-44. La viga está sometida a la carga que se muestra enla figura. Determine la ecuación de la curva elástica. EI esconstante.

•12-45. La viga está sometida a la carga que se muestra enla figura. Determine el desplazamiento en x = 7 m y la pen-diente en A. EI es constante.

12-47. La viga de madera está sometida a la carga que semuestra en la figura. Determine la ecuación de la curva elás-

tica. Si Ew = 12 GPa, determine la deflexión y la pendienteen el extremo B.

*12-48. La viga está sometida a la carga que se muestra enla figura. Determine las pendientes en A y B y el desplaza-miento en C . EI es constante.

Prob. 12-42

L

3

L

3

L

3

PP

A B

Prob. 12-43

A

30 kN/ m

1.5 m 1.5 m

15kN

Probs. 12-44/45

B A

x

4 m 3 m

3 kN/ m50 kN

3 m

Prob. 12-46

1.5 m 1.5 m 3 m

15 kN/ m20 kN

A

B

Prob. 12-47

B A

x

6 kN4 kN

3 m 1.5 m

2 kN/ m

200 mm

400 mm

1.5 m

Prob. 12-48

x

AC B

3 m 5 m

30 kN12 kN/m




•12-49. Determine la ecuación de la curva elástica de laviga simplemente apoyada y después encuentre la deflexiónmáxima. La viga es de madera con una módulo de elastici-dad E = 1.5(103) ksi.

*12-52. La viga de madera está sometida a la carga quse muestra en la figura. Determine la ecuación de la curvelástica. Especifique la deflexión en el extremo C . Ew 1.6(103) ksi.

12-50. La viga está sometida a la carga que se muestra en lafigura. Determine las ecuaciones de la pendiente y la curvaelástica. EI es constante.

12-51. La viga está sometida a la carga que se muestra enla figura. Determine la ecuación de la curva elástica. EI esconstante.

12-53. Para la viga mostrada en la figura, determine el deplazamiento en C y la pendiente en A.

12-54. La viga está sometida a la carga que se muestra ela figura. Determine la ecuación de la curva elástica. EI constante.

Prob. 12-49

A B

6 pies 3 pies

600 lb

500 lb/ pie

3 pies

3 pulg

6 pulg

Prob. 12-50

A

B

5 m 3 m

x

2 kN/ m 8 kN�m

Prob. 12-51

A B

3 m1.5 m

6 kN/ m 20 kN

1.5 m

Prob. 12-52

6 pulg

12 pu AC

9 pies

x

1.5 kip

B

0.8 kip/ pie

9 pies

Prob. 12-53

A

B

6 pies 9 pies

x

8 kip/ pie

C

Prob. 12-54

AB

9 pies 15 pies

x

6 kip/ pie




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

*12.4 Pendiente y desplazamiento porel método del momento de área

El método del momento de área proporciona una técnica semigráfica paraencontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobrela curva elástica de una viga o eje. La aplicación del método requiere elcálculo de áreas asociadas con el diagrama de momentos de la viga; en-tonces, si este diagrama se compone de formas simples, el uso del métodoes muy conveniente. Por lo general, esto es así cuando la viga se carga confuerzas concentradas y momentos de par.

Para desarrollar el método del momento de área se harán los mismossupuestos que se usaron en el método de integración: la viga está inicial-mente recta, se deforma elásticamente debido a las cargas, de manera que lapendiente y la deflexión de la curva elástica son muy pequeñas, y las defor-maciones sólo son causadas por la flexión. El método del momento de área sebasa en dos teoremas, uno se usa para determinar la pendiente y el otro paraencontrar el desplazamiento en un punto sobre la curva elástica.

Teorema 1. Considere la viga simplemente apoyada con su curva elás-tica asociada, que se muestra en la figura 12-20a. Un segmento diferencialdx de la viga se aísla en la figura 12-20b. Aquí, el momento interno M dela viga deforma el elemento de modo que las tangentes a la curva elásticaa cada lado del elemento se intersecan a un ángulo du. Este ángulo puededeterminarse a partir de la ecuación 12-10, escrita como

Como la pendiente es pequeña, u = dy>dx y, por lo tanto,

Si se construye el diagrama de momentos para la viga y se divide entrela rigidez a la flexión, EI , figura 12-20c, entonces esta ecuación indica quedu es igual al área bajo el “diagrama M >EI ” para el segmento dx de la viga.Al integrar desde un punto A seleccionado sobre la curva elástica hastaotro punto B, se tiene

Esta ecuación es la base para el teorema del primer momento de área.

Teorema 1: El ángulo entre las tangentes en dos puntos cualesquiera

sobre la curva elástica es igual al área bajo el diagrama M >EI entre estos

dos puntos.La notación u

B> A se conoce como el ángulo de la tangente en B medidocon respecto a la tangente en A. De la comprobación resulta evidente queeste ángulo se mide en sentido antihorario, desde la tangente A hasta latangente B, si el área bajo el diagrama M >EI es positiva. Por el contrario,

EI

d2v

dx2 = EI

d

dx advdx

b = M

(12-16)du =

M

EI dx

(12-17)uB>A = LB

A

M

EI dx

dx

w

B A

A B

tan B tan A

(a)

Curva elástica

uB/ A

dx

du

(b)

M M

Figura 12-20

dxB A

(c)

x

Diagrama



12.4 PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR EL MÉTODO DEL MOMENTO DE ÁREA 60

si el área es negativa, o se encuentra por debajo del eje x, el ángulo uB> A

se mide en sentido horario desde la tangente A hasta la tangente B. Porotra parte, con base en las dimensiones de la ecuación 12-17, u

B> A estaráen radianes.

Teorema 2. El segundo teorema del momento de área se basa en la

desviación relativa de las tangentes a la curva elástica. En la figura 12-21a se muestra una vista muy exagerada de la desviación vertical dt de las tan-gentes a cada lado del elemento diferencial dx. Esta desviación se debe a lacurvatura del elemento y se ha medido a lo largo de una línea vertical quepasa por el punto A de la curva elástica. Como se supone que la pendientede la curva elástica y su deflexión son muy pequeñas, resulta satisfactorioaproximar la longitud de cada línea tangente mediante x y el arco ds¿ pormedio de dt . Si se usa la fórmula de arco circular s = ur , donde r es la longi-tud x y s es dt , puede escribirse dt = x du. Al sustituir la ecuación 12-16 enesta ecuación y al integrar desde A hasta B, puede determinarse la desvia-ción vertical de la tangente en A con respecto a la tangente en B; es decir,

Como el centroide de un área se encuentra a partir de x ¯ µdA = µ x dA yµ(M >EI )dx representa el área bajo el diagrama M >EI , también se puedeescribir

Aquí x es la distancia desde A hasta el centroide del área bajo el diagramaM >EI entre A y B, figura 12-21b.

Ahora el segundo teorema del momento de área puede enunciarse conreferencia a la figura 12-21a de la manera siguiente:

Teorema 2: La distancia vertical entre la tangente en un punto (A) sobre

la curva elástica y la tangente extendida desde otro punto (B) es igual al

momento del área bajo el diagrama M >EI entre estos dos puntos (A y B).

Este momento se calcula respecto al punto (A) donde debe determinarse la

distancia vertical (t A>B ).

Observe que t A>B no es igual a t

B> A, lo cual se muestra en la figura 12.21c.En específico, el momento del área bajo el diagrama M >EI entre A y B secalcula respecto al punto A para determinar t

A>B, figura 12-21b, y se calcularespecto al punto B a fin de determinar t

B> A, figura 12-21c.Si se encuentra el momento de un área positiva M >EI entre A y B para

t A>B

, esto indica que el punto A está por encima de la tangente extendidadesde el punto B, figura 12-21a. Del mismo modo, las áreas M >EI negativas indican que el punto A está por debajo de la tangente extendida desde elpunto B. Esta misma regla es válida para t

B> A.

(12-18)tA>B = LB

A

x

M

EI dx

(12-19)tA>B = xLB

A

M

EI dx

A B

tan B

tan A

(a)

x

t A/ B dt

dx

du

ds¿

w

A

dx

B

B A

(b)

—

E I

M

_ x

Figura 12-21

tanB tan A

B A

(c)

A B

t B/ At A/ B

M

EI

_ x ¿




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1


El siguiente procedimiento proporciona un método que puede usarse para aplicarlos dos teoremas del momento de área.

Diagrama M >EI.

• Determine las reacciones en los soportes y dibuje el diagrama M >EI de la viga.Si la viga se carga con fuerzas concentradas, el diagrama M >EI consistirá en unaserie de segmentos de línea recta y las áreas y sus momentos requeridos porlos teoremas de momento de área serán relativamente fáciles de calcular. Si lacarga consiste en una serie de cargas distribuidas, el diagrama M >EI consistiráen curvas parabólicas o tal vez curvas de orden superior, y se sugiere el uso dela tabla ubicada en la página final de este libro (al reverso de la contraportada)para localizar el área y el centroide bajo cada curva.

Curva elástica.• Dibuje una vista exagerada de la curva elástica de la viga. Recuerde que en un

soporte fijo siempre ocurren puntos de pendiente cero y desplazamiento cero,y que en todos los soportes de pasador y de rodillo se produce desplazamientocero.

• Si le resulta difícil dibujar la forma general de la curva elástica, utilice el diagra-ma de momento (o M >EI ). Tenga en cuenta que cuando la viga está sometidaa un momento positivo, ésta se curvará cóncava hacia arriba, mientras que losmomentos negativos curvan a la viga cóncava hacia abajo. Por otra parte, cuandoel momento en la viga (o M >EI ) es igual a cero se produce un punto de inflexióno cambio en la curvatura.

• El desplazamiento desconocido y la pendiente que va a determinarse deben in-dicarse en la curva.

• Como los teoremas del momento de área se aplican sólo entre dos tangentes, esnecesario prestar atención a la manera en que se construyen las tangentes paraque los ángulos o la distancia vertical entre ellos conduzcan a la solución delproblema. En este sentido, deben considerarse las tangentes en los apoyos, puestoque en esos puntos la viga tiene desplazamiento y pendiente cero.

Teoremas del momento de área.

•

Aplique el teorema 1 para determinar el ángulo entre dos tangentes cualesquie-ra sobre la curva elástica y el teorema 2 para determinar la distancia verticalentre las tangentes.

• El signo algebraico de la respuesta puede comprobarse con base en el ángulo ola distancia vertical indicada en la curva elástica.

• Un uB> A positivo representa una rotación antihoraria de la tangente en B con res-

pecto a la tangente en A, y un t B> A positivo indica que el punto B sobre la curva

elástica se encuentra por encima de la tangente extendida desde el punto A.




EJEMPLO 12.7

Determine la pendiente de la viga mostrada en la figura 12-22a en elpunto B. EI es constante.

SOLUCIÓN

Diagrama M >EI . Vea la figura 12-22b.

Curva elástica. La fuerza P hace que la viga experimente deflexióncomo se muestra en la figura 12-22c. (La curva elástica es cóncava ha-cia abajo, puesto que M >EI es negativo.) Se indica la tangente en B ya

que se desea encontrar uB. Además, se muestra la tangente en el sopor-te ( A). Esta tangente tiene una pendiente cero conocida. Mediante laconstrucción, el ángulo entre tan A y tan B, es decir u

B> A, es equivalentea u

B, o bien

uB = u

B> A

Teorema del momento de área. Al aplicar el teorema 1, uB> A es

igual al área bajo el diagrama M >EI entre los puntos A y B; es decir,

El signo negativo indica que el ángulo medido desde la tangente en A hasta la tangente en B tiene un sentido horario. Con esto se verifica lasolución, ya que la viga tiene una pendiente hacia abajo en B.

(a)

P

A

L

B

(b)

B

L

A x

PL

EI �

M EI

Figura 12-22

(c) tan B

tan A

B

A uB/ A

uB

Resp.= -

PL2

2EI

uB = uB>A =1

2 a -

PL

EI bL




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.8

Determine el desplazamiento de los puntos B y C de la viga mostradaen la figura 12-23a. EI es constante.

SOLUCIÓN

Diagrama M >EI . Vea la figura 12-23b.Curva elástica. El momento de par en C hace que la viga sufra de-flexión, como se muestra en la figura 12-23c. Se indican las tangentesen B y C , ya que es necesario encontrar ¢

B y ¢

C . Además, se muestra

la tangente en el soporte ( A) puesto que es horizontal. Ahora, los des-plazamientos requeridos pueden relacionarse de manera directa con ladistancia vertical entre las tangentes en B y A y C y A. En específico,

Teorema del momento de área. Al aplicar el teorema 2, t B> A es

igual al momento del área en gris oscuro bajo el diagrama M >EI entre A y B calculado con respecto al punto B (el punto sobre la curva elástica),ya que es el punto donde debe determinarse la distancia vertical. Por lotanto, a partir de la figura 12-23b,

Del mismo modo, para t C > A se debe determinar el momento del área

bajo todo el diagrama M >EI desde A hasta C con respecto al punto C (el punto de la curva elástica). Se tiene

NOTA: Como ambas respuestas son negativas, los puntos B y C se en-cuentran por debajo de la tangente en A. Esto concuerda con la figura12-23c.

¢C = tC>A

¢B = tB>A

Resp.¢B = tB>A = aL4b B ¢ -

M0

EI≤ aL

2b R = -

M0L2

8EI

Resp.¢C = tC>A = aL2b B ¢ -

M0

EI≤1L2R = -

M0L2

2EI

Figura 12-23

(a)

A B C M0

L

2

L

2

(b)

B A xC

L

2

L

4

L

2

M

EI

M 0

EI �

(c)

tan B

tan C

tan A

B

t B/ A � B

t C / A � C

C

A




EJEMPLO 12.9

Determine la pendiente en el punto C del eje en la figura 12-24a. EI esconstante.

SOLUCIÓN

Diagrama M >EI . Vea la figura 12-24b.Curva elástica. Como la carga se aplica simétricamente en la viga,la curva elástica es simétrica y la tangente en D es horizontal, figura12-24c. Además, se dibuja la tangente en C porque se desea encontrarla pendiente u

C . Mediante la construcción, el ángulo u

C >D entre las tan-gentes en tan D y C es igual a u

C ; es decir,

uC = u

C >D

Teorema del momento de área. Si se usa el teorema 1, uC >D es

igual al área en gris bajo el diagrama M >EI entre los puntos D y C . Setiene

¿Qué indica el resultado positivo?

Figura 12-24

P

(a)

A B

D C

L

2

L

4

L

4

(b)

xD C

L4

PL

4 EI PL

8 EI

M

EI

(c)

tan C

tan D (horizontal)

C D

uC / D

uC

Resp.uC = uC>D = a PL8EI

b aL4 b + 1

2 a PL4EI

-PL

8EIb aL

4 b = 3PL

2

64EI




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.10

Determine la pendiente en el punto C para la viga de acero mostrada enla figura 12-25a. Considere Eac = 200 GPa, I = 17(106) mm4.

SOLUCIÓNDiagrama M >EI . Vea la figura 12-25b.

Curva elástica. La curva elástica se muestra en la figura 12-25c. Seindica la tangente en C porque se desea encontrar u

C . También se cons-

truyen las tangentes en los soportes, A yB, como se muestra en la figura.El ángulo u

C > A es el ángulo entre las tangentes en A y C . La pendienteen A, u

A, en la figura 12-25c puede encontrarse usando 0 u

A 0 = 0 t

B> A 0 >L AB

.Esta ecuación es válida puesto que t

B> A es realmente muy pequeña, demodo que el valor de t

B> A en metros puede aproximarse mediante lalongitud de un arco circular definido por un radio de L

AB = 8 m y una

amplitud de u A

en radianes. (Recuerde que s = ur .) A partir de la geo-

metría de la figura 12-25c, se tiene

Observe que el ejemplo 12.9 también podría resolverse usando este mé-todo.

Teoremas del momento de área. Si se usa el teorema 1, uC > A es

equivalente al área bajo el diagrama M >EI entre los puntos A y C ; es decir,

Si se aplica el teorema 2, t B> A es equivalente al momento del áreabajo el diagrama M >EI entre B y A respecto al punto B (el punto sobrela curva elástica), ya que este es el punto donde debe determinarse ladistancia vertical. Se tiene,

Al sustituir estos resultados en la ecuación 1, se obtiene

Este resultado se calculó en unidades de kN y m, por lo que al convertirEI a estas unidades resulta

(1)ƒ uC ƒ = ƒ uA ƒ - ƒ uC>A ƒ =tB>A

8 - ƒuC>A ƒ

uC>A =

1

2 12 m2a8 kN # m

EI b =

8 kN # m2

EI

=320 kN # m3

EI

+ a 2

3 12 m2b c 1

2 12 m2a24 kN # m

EI b d

tB>A = a2 m +1

3 16 m2b c 1

2 16 m2a24 kN # m

EI b d

uC =

320 kN # m2

18 m2EI -

8 kN # m2

EI =

32 kN # m2

EI b

Resp.uC =

32 kN # m2

[20011062 kN>m2][17110-62 m4]= 0.00941 rad b

(a)

A B

C

2 m

16 kN

4 m 2 m

(b)

xC

2 m 4 m 2 m

AB

M

EI

8

EI

24

EI

Figura 12-25

(c)

tan C

tan A

C

tan BB A

uC / A

u A

uC t B/ A




EJEMPLO 12.11

Determine el desplazamiento en C para la viga mostrada en la figura12-26a. EI es constante.

SOLUCIÓN

Diagrama M >EI . Vea la figura 12-26b.

Curva elástica. Se dibuja la tangente en C sobre la curva elástica yaque se desea encontrar ¢

C , figura 12-26c. (Observe que C no es la ubica-

ción de la deflexión máxima de la viga, debido a que la carga y por endela curva elástica no son simétricas.) En la figura 12-26c también se indi-

can las tangentes en los soportes A y B. Se observa que ¢C = ¢¿ – t C >B. Sise determina t

A>B, entonces ¢¿ puede encontrarse mediante triángulos

semejantes, es decir, ¢¿>(L>2) = t A>B

>L o bien ¢¿ = t A>B>2. Por lo tanto,

Teorema del momento de área. Al aplicar el teorema 2 paradeterminar t

A>B y t

C >B, se tiene

Al sustituir estos resultados en la ecuación 1 resulta

Figura 12-26

(a)

A C

M0

B

L

2

L

2(b)

x A C BL

2L

2

M

EI M 0

EI

M 0

2EI

(c)

tan C C

B

tan A

tan B

�¿

A

t C / Bt A/ B

�C

L

2

L

2

(1)¢C =

tA>B

2 - tC>B

tC>B = a 13 aL2 b b B12 aL2 b ¢ M0

2EI ≤ R =M0L

2

48EI

tA>B = a 13

1L2b B12

1L2¢M0

EI≤ R =

M0L2

6EI

Resp.= M0L

2

16EI T

¢C =1

2 ¢M0L

2

6EI ≤ - ¢M0L

2

48EI≤




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.12

Determine el desplazamiento en el punto C para la viga con voladizode acero que se muestra en la figura 12-27a. Considere Eac = 29(103) ksi,

I = 125 pulg4.

SOLUCIÓNDiagrama M >EI . Vea la figura 12-27b.

Curva elástica. La carga hace que la viga sufra deflexión, como semuestra en la figura 12-27c. Se debe encontrar ¢

C . Al construir tangen-

tes en C y en los soportes A y B, se observa que ¢C = 0 t

C > A 0 - ¢¿. Sin em-bargo, ¢¿ puede relacionarse con t

B> A mediante triángulos semejantes,esto es, ¢¿>24 = 0 t

B> A 0 >12 o bien ¢¿ = 2 0 t B> A 0 . Por lo tanto,

Teorema del momento de área. Si se aplica el teorema 2 para

determinar t C > A y t B> A, se tiene

¿Por qué estos términos son negativos? Al sustituir los resultados en laecuación 1 se obtiene

Tomando en cuenta que los cálculos se realizaron en unidades de kip ypies, se tiene

(1)¢C = tC>A - 2 tB>A

tB>A = a 1

3 112 pies2b c 1

2 112 pies2a -

60 kip # pie

EI b d = -

1440 kip # pie3

EI

= -

8640 kip # pie3

EI

tC>A = 112 pies2a1

2 124 pies2a -

60 kip # pie

EI b b

¢C =8640 kip # pie3

EI - 2¢ 1440 kip # pie3

EI ≤ = 5760 kip # pie3

EI T

Resp.¢C =5760 kip # pie311728 pulg3>pie32

[2911032 kip>pulg2]1125 pulg42= 2.75 pulg T

Figura 12-27

(a)

A

B

C

5 kip

10 kip5 kip

12 pies 12 pies

(b)

x

12 pies 12 pies

AB C

M EI

�60

EI

(c)

tan C C

B

tan A

tan B A

�¿

t C / At B/ A

�C





F12-7. Determine la pendiente y la deflexión del extremo A de la viga en voladizo. E = 200 GPa e I = 65.0(10-6)m4.

F12-10. Determine la pendiente y la deflexión en el pun A de la viga en voladizo. E = 29(103) ksi, I = 24.5 pulg4.

F12-8. Determine la pendiente y la deflexión del extremo A de la viga en voladizo. E = 200 GPa e I = 126(10-6) m4.

F12-9. Determine la pendiente y la deflexión del extremo A de la viga en voladizo. E = 200 GPa e I = 121(10-6) m4.

F12-11. Determine la deflexión máxima de la viga simplmente apoyada. E = 200 GPa e I = 42.8(10-6) m4.

F12-12. Determine la deflexión máxima de la viga simplmente apoyada. E = 200 GPa e I = 39.9(10-6) m4.

F12-7

B

A

3 kip

3 pies 3 pies

2 kip/ pie

F12-10

B A

6 kN

20 kN�m

3 m

3 m

20 kN

10 kN�m 10 kN�m

3 m

AB

C

F12-11F12-8

B A

20 kN10 kN

1 m 1 m

6 m

40 kN�m 10 kN�m

AB

F12-12F12-9

B A

60 kN

30 kN�m

1m 1 m




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

PROBLEMAS

12-55. Determine la pendiente y la deflexión en C . EI esconstante.

12-58. Determine la pendiente en A y la deflexión máxima.EI es constante.

*12-56. Determine la pendiente y la deflexión en C . EI esconstante.

•12-57. Determine la deflexión del extremo B de la viga envoladizo. EI es constante.

12-59. Determine la pendiente y la deflexión en C . EI esconstante.

*12-60. Si los cojinetes en A y B sólo ejercen reaccionesverticales sobre el eje, determine la pendiente en A y la de-flexión máxima del eje. EI es constante.

Prob. 12-55

15 kip

15 pies30 pies

B

A

C

Prob. 12-56

10 kN

3 m6 m

B

A

C

Prob. 12-57

A

L

2

L

2

P P

B

Prob. 12-58

6 pies 6 pies12 pies

B

C A

20 kip�pie 20 kip�pie

Prob. 12-59

6 pies 6 pies12 pies

B

C

A

20 kip�pie 20 kip�pie

Prob. 12-60

C

B A

D

50 lb�pie

2 pies 4 pies 2 pies

50 lb�pie




•12-61. Determine la pendiente máxima y la deflexiónmáxima de la viga. EI es constante.

12-62. Determine la deflexión y la pendiente en C . EI esconstante.

12-63. Determine la pendiente en el punto A de la viga convoladizo. E = 200 GPa e I = 45.5(106) mm4.

*12-64. Determine la deflexión en el punto C de la viga convoladizo. E = 200 GPa e I = 45.5(106) mm4.

•12-65. Determine la posición a del soporte de rodilloen términos de L, para que la deflexión en el extremo C seigual a la deflexión máxima de la región AB en la viga covoladizo. EI es constante.

12-66. Determine la pendiente en el punto A de la vigsimplemente apoyada. EI es constante.

12-67. La viga está sometida a una carga P, como se muetra en la figura. Determine la magnitud de la fuerza F qudebe aplicarse al extremo C del voladizo para que la dflexión en C sea cero. EI es constante.

Prob. 12-61

L

M 0 M 0

A B

Prob. 12-62

LL

A

M0

B C

Probs. 12-63/64

A

B

C

4 m

30 kN

2 m

30 kN�m

Prob. 12-65

A

B

C

a

L

P

Prob. 12-66

A B

L3

2L3

P

Prob. 12-67

a a a

B A

C

P

F




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

*12-68. Si los cojinetes en A y B ejercen sólo reaccionesverticales sobre el eje, determine la pendiente en A y la de-flexión máxima.

•12-69. La viga se somete a la carga mostrada. Determinela pendiente en A y el desplazamiento en C . Suponga queel soporte en A es un pasador y en B es un rodillo. EI esconstante.

12-70. El eje sostiene un engrane en su extremo C . Deter-mine la deflexión en C y las pendientes en los cojinetes A yB. EI es constante.

12-71. El eje sostiene un engrane en su extremo C . De-termine su deflexión máxima dentro de la región AB. EI esconstante. Los cojinetes ejercen sólo reacciones verticales

sobre el eje.

*12-72. Determine el valor de a para que el desplazamien-to en C sea igual a cero. EI es constante.

•12-73. El eje se somete a la carga mostrada en la figura. Silos cojinetes en A y B ejercen sólo reacciones verticales so-bre el eje, determine la pendiente en A y el desplazamientoen C . EI es constante.

12-74. Determine la pendiente en A y la deflexión máximaen la viga. EI es constante.

Prob. 12-68

P

a a

C

B A

2a

M 0

Pa

D

Prob. 12-69

A C B

PPP

a a a a

Probs. 12-70/71

A B C

P2 ––L

2 ––L

Prob. 12-72

A

P

BC

P

a L

2

L

2

Prob. 12-73

a

A

C B

a

M0 M0

Prob. 12-74

A B

6 pies6 pies 12 pies

12 kip

24 kip�pie




Prob. 12-77

12-75. La viga está fabricada de un material cerámico. Conel fin de obtener su módulo de elasticidad, se somete a la car-ga elástica mostrada en la figura. Si el momento de inercia es

I y la viga tiene una desviación máxima medida ¢, determineE. Los soportes en A y D ejercen sólo reacciones verticalessobre la viga.

*12-76. La barra se sostiene mediante un apoyo de rodillosen B, el cual permite el desplazamiento vertical pero resistela carga axial y el momento. Si la barra se somete a la cargamostrada, determine la pendiente en A y la deflexión en C .EI es constante.

•12-77. La barra se sostiene mediante el apoyo de rodillosen C , el cual permite el desplazamiento vertical pero resistela carga axial y el momento. Si la barra se somete a la cargamostrada, determine la pendiente y el desplazamiento en A.EI es constante.

12-78. La barra se construye a partir de dos ejes para lcuales el momento de inercia de AB es I y el de BC es 2Determine la pendiente y la deflexión máximas de la varildebido a la carga. El módulo de elasticidad es E.

12-79. Determine la pendiente en el punto D y la deflexióen el punto C de la viga simplemente apoyada. La viga es dun material que tiene un módulo de elasticidad E. El mmento de inercia de los segmentos AB y CD en la viga esmientras que el momento de inercia del segmento BC es 2

*12-80. Determine la pendiente en el punto A y la dflexión máxima de la viga simplemente apoyada. La viga de un material que tiene un módulo de elasticidad E. El mmento de inercia de los segmentos AB y CD en la viga esmientras que el momento de inercia del segmento BC es 2

Prob. 12-75

A D

a a

L

B C

P P

Prob. 12-76

L—2

L—2

P

AC

B

A

B

C

P

2aa

Prob. 12-78

P

AB

C

L

2

L

2

Prob. 12-79

A

B C

D

L

2

L

4

L

4

PP

Prob. 12-80

A

B C

D

L

2

L

4

L

4

PP




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

•12-81. Determine la posición a del rodillo de soporte B en términos de L, de modo que la desviación en el extremoC sea igual a la deflexión máxima de la región AB de la vigasimplemente apoyada con voladizo. EI es constante.

12-82. La viga en voladizo W10 * 15 está fabricada de ace-ro A-36 y se encuentra sometida a la carga mostrada en lafigura. Determine la pendiente y el desplazamiento en suextremo B.

12-83. La viga en voladizo se somete a la carga mostradaen la figura. Determine la pendiente y el desplazamiento enC . Suponga que el soporte en A está fijo. EI es constante.

*12-84. Determine la pendiente en C y la deflexión en B.EI es constante.

•12-85. Determine la pendiente en B y el desplazamiento

en C . El elemento es una T de acero estructural A-36 parael cual I = 76.8 pulg4.

12-86. El eje de acero A-36 se usa para sostener un rotorque ejerce una carga uniforme de 5 kN>m dentro de la re-gión CD del eje. Determine la pendiente del eje en los coji-netes A y B. Los cojinetes ejercen sólo reacciones verticalessobre el eje.

Prob. 12-81

a

A

B C

L

M0

Prob. 12-82

6 pies 6 pies

3 kip/ pie

B

A

Prob. 12-83

A B

aa

w

C

P

Prob. 12-84

C

B A

a a

w

Prob. 12-85

5 kip

3 pies3 pies

B A

C

1.5 kip/ pie

Prob. 12-86

300 mm 100 mm100 mm

C D20 mm 40 mm

5 kN/ m

B A

20 mm



12.5 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN 61

12.5 Método de superposición

La ecuación diferencial EI d 4y>dx4 = w( x) cumple con los dos requisitosnecesarios para aplicar el principio de superposición; es decir, la carga w( x)se relaciona linealmente con la deflexión y( x), y se supone que la carga no

cambia de modo significativo la geometría original de la viga o eje. Comoresultado, es posible superponer las deflexiones para una serie de cargasseparadas que actúan sobre una viga. Por ejemplo, si y1 es la deflexión parauna carga y y2 es la deflexión para otra carga, la deflexión total para las doscargas actuando en conjunto es la suma algebraica y1 + y2. Si se usan losresultados tabulados para diferentes cargas sobre una viga, como los quese presentan en el apéndice C, o las que pueden encontrarse en distintosmanuales de ingeniería, es posible encontrar la pendiente y el desplaza-miento en un punto sobre una viga sometida a varias cargas diferentes alsumar algebraicamente los efectos de sus distintas partes componentes.

Los siguientes ejemplos ilustran cómo se utiliza el método de super-

posición para resolver los problemas de deflexión, donde la deflexión seproduce no sólo por deformaciones de la viga, sino también por desplaza-mientos de cuerpo rígido, como los que se producen cuando la viga estásostenida por resortes.

La deflexión resultante en cualquier punto de esta viga puede determinarse mediantela superposición de las deflexiones causadas por cada una de las cargas que actúan demanera separada sobre la viga.




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.13

Determine el desplazamiento en el punto C y la pendiente en el soporte A de la viga mostrada en la figura 12-28a. EI es constante.

SOLUCIÓN

La carga puede separarse en dos componentes como se muestra en lasfiguras 12-28b y 12-28c. El desplazamiento en C y la pendiente en A seencuentran mediante el uso de la tabla del apéndice C para cada parte.

Para la carga distribuida,

Para la fuerza concentrada de 8 kN,

El desplazamiento en C y la pendiente en A son las sumas algebrai-cas de estas componentes. Por lo tanto,

1vC21 =5wL

4

768EI =

512 kN>m218 m24

768EI =

53.33 kN # m3

EI T

1uA21 =3wL

3

128EI =

312 kN>m218 m23

128EI =

24 kN # m2

EI b

1vC22 = PL

3

48EI

=8 kN18 m23

48EI

=85.33 kN # m3

EI

T

1uA22 = PL

2

16EI =

8 kN18 m22

16EI =

32 kN # m2

EI b

Resp.

Resp.1+ T2 vC = 1vC21 + 1vC22 =139 kN # m

3

EI T

1+b2 uA = 1uA21 + 1uA22 =56 kN # m

2

EI b

(a)

8 kN

4 m

A

C

B

vC =

2 kN/ m

4 m 4 m

A

C

B

2 kN/ m

(vC )1

(vC )2

(b)

+

4 m

A

C

B

(c)

8 kN

4 m

4 m

u A (u A)1

(u A)2

Figura 12-28




EJEMPLO 12.14

Figura 12-29

de modo que el punto extendido C se desplaza

Por último, la parte en voladizo BC se desplaza debido a la fuerza de10 kN, figura l2-29d. Se tiene

Sumando estos resultados algebraicamente, se obtiene el desplazamien-to del punto C ,

1uB22 =

M0L

3EI=

20 kN # m14 m2

3EI=

26.67 kN # m2

EI b

1vC22 = 12 m2¢ 26.7 kN # m2

EI ≤ =

53.33 kN # m3

EI T

1vC23 = PL

3

3EI =

10 kN12 m23

3EI =

26.67 kN # m3

EI T

1+ T2 vC = -26.7

EI +

53.3

EI +

26.7

EI =

53.3 kN # m3

EI T Resp.

B A

(a)=

4 m

5 kN/ m

2 m

C

10 kN

B

A

(b)

+

4 m

5 kN/ m

2 m

C

B

A

(c)

+

4 m 2 m

2 m

C

10 kN

(d)B

C

10 kN

20 kN�m

(uB)2

(uB)2

(uB)1

(uB)1

(vC )3

(vC )2

(vC )1

Figura 12-29

Determine el desplazamiento en el extremo C de la viga con voladizoque se muestra en la figura 12-29a. EI es constante.

SOLUCIÓNComo la tabla del apéndice C no incluye vigas con voladizos, la viga seseparará en una parte simplemente apoyada y una porción en voladizo.En primer lugar se calculará la pendiente en B, causada por la cargadistribuida que actúa sobre el segmento simplemente apoyado, figura12-29b.

Como este ángulo es pequeño, (uB)1 L tan(u

B)1, y el desplazamiento

vertical en el punto C es

A continuación, la carga de 10 kN sobre el voladizo ocasiona unafuerza estáticamente equivalente de 10 kN y un momento de par de20 kN ∙ m en el soporte B del segmento simplemente apoyado, figura12-29c. La fuerza de 10 kN no causa un desplazamiento o una pendienteen B; sin embargo, el momento de par de 20 kN ∙ m produce una pen-diente. La pendiente en B debida a este momento es

1uB21 =

wL3

24EI=

5 kN>m14 m23

24EI=

13.33 kN # m2

EI g

1vC21 = 12 m2¢13.33 kN # m2

EI ≤ =

26.67 kN # m3

EI c




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.15

Determine el desplazamiento en el extremo C de la viga en voladizoque se muestra en la figura 12-30. EI es constante.

SOLUCIÓN

Si se usa la tabla del apéndice C para la carga triangular, la pendiente yel desplazamiento en el punto B son

La región descargada BC de la viga permanece recta, como se muestraen la figura 12-30. Dado que u

B es pequeño, el desplazamiento en C se

convierte en

Figura 12-30

6 m 2 m

AB

C

4 kN/ m

vB

vC uB

vB =

w0L4

30EI=

4 kN>m16 m24

30EI=

172.8 kN # m3

EI

uB =

w0L3

24EI

=

4 kN>m16 m23

24EI

=

36 kN # m2

EI

Resp.=244.8 kN # m

3

EI T

=172.8 kN # m

3

EI +

36 kN # m2

EI 12 m2

1+ T2 vC = vB + uB1LBC2




EJEMPLO 12.16

La barra de acero que se muestra en la figura 12-31a se sostiene median-te dos resortes en sus extremos A y B. Cada resorte tiene una rigidez dek = 15 kip>pie y en un inicio está sin deformar. Si la barra se carga con

una fuerza de 3 kip en el punto C , determine el desplazamiento verticalde la fuerza. No tome en cuenta el peso de la barra y tome Eac = 29(103)ksi, I = 12 pulg4.

SOLUCIÓN

Se calculan las reacciones en los extremos A y B, como se muestran enla figura 12-31b. Cada resorte experimenta una deflexión de

Si se considera que la barra es rígida, estos desplazamientos causanque se mueva hasta la posición mostrada en la figura 12-31b. Para estecaso, el desplazamiento vertical en C es

El desplazamiento en C causado por la deformación de la barra, fi-gura 12-31c, puede encontrarse mediante el uso de la tabla del apéndiceC. Se tiene

Sumando las dos componentes de desplazamiento, se obtiene

= 0.0667 pie + 23

[0.1333 pie - 0.0667 pie] = 0.1111 pie T

1vC21 = 1vB21 +6 pies

9 pies [1vA21 - 1vB21]

= 0.0149 pie T

=

3 kip13 pies216 pies2[19 pies22 - 16 pies22 - 13 pies22]

6[2911032kip>pulg2]1144 pulg2>1 pie22112 pulg4211 pie4>20 736 pulg4219 pies2

1vC22 = Pab

6EIL 1L2 - b2 - a22

Resp.vC = 0.1111 pie + 0.0149 pie = 0.126 pie = 1.51 pulg T1+ T2

1vB21 =

1 kip

15 kip>pie = 0.0667 pie

1vA21 =

2 kip

15 kip>pie = 0.1333 pie

Figura 12-31

1 kip2 kip

Desplazamientode cuerpo rígido

(b)

6 pies

A B

3 pies

k� 15 kip/ pie k� 15 kip/ pie

=

3 kip

6 pies

A

B

3 pies

C

+

3 kip Posición original

C

(a)

6 pies3 pies

3 kip

Desplazamiento de cuerpo deformable

(c)

(vC )2

(v A)1(vC )1

(vB)1



PROBLEMAS

12-87. La viga W12 * 45 simplemente apoyada está fabri-cada de acero A-36 y se somete a la carga mostrada en lafigura. Determine la deflexión en su centro C .

12-91. Determine la pendiente en B y la deflexión en elpunto C de la viga simplemente apoyada. E = 200 GPa e I = 45.5(106) mm4.


2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

*12-88. La viga en voladizo W10 * 15 está fabricada deacero A-36 y se encuentra sometida a la carga mostrada enla figura. Determine el desplazamiento en B y la pendienteen A.

•12-89. Determine la pendiente y la deflexión en el extre-mo C de la viga con voladizo. EI es constante.

12-90. Determine la pendiente en A y la deflexión en elpunto D de la viga con voladizo. EI es constante.

*12-92. Determine la pendiente en A y la deflexión en elpunto C de la viga simplemente apoyada. El módulo de elas-ticidad de la madera es E = 10 GPa.

•12-93. La viga simplemente apoyada W8 * 24 está fabri-cada de acero A-36 y se somete a la carga mostrada en lafigura. Determine la deflexión en su centro C .

Prob. 12-87

12 kip

B A

12 pies 12 pies

50 kippie

C

Prob. 12-88

AB

6 pies 6 pies

6 kip 4 kip

Probs. 12-89/90

A

BD

C

aaa

w

Prob. 12-91

B A

9 kN/ m

3 m 3 m

10 kN

C

Prob. 12-92

A B

3 kN 3 kN

1.5 m 1.5 m 3 m

C

100 m

200 m

Prob. 12-93

8 pies 8 pies

6 kip/ pie

A B

C

5 kip�pie




12-94. Determine la deflexión vertical y la pendiente en elextremo A de la ménsula. Suponga que ésta se sostiene fija-mente en su base, y no tome en cuenta la deformación axialdel segmento AB. EI es constante.

12-95. La viga simplemente apoyada es de acero A-36 yse somete a la carga mostrada en la figura. Determine la de-flexión en su centro C . I = 0.1457(10-3) m4.

*12-96. Determine la deflexión en el extremo E de la vigCDE. Las vigas están hechas de madera con un módulo delasticidad E = 10 GPa.

•12-97. El ensamble de tubería se compone de tres tubdel mismo tamaño con rigidez a la flexión EI y rigidez a torsión GJ . Determine la deflexión vertical en el punto A.

Prob. 12-94

A

B

6 pulg

3 pulg

8 kip

Prob. 12-95

4 kN/ m

B A

5 m

20 kN

5 m

C

Prob. 12-96

A

C

Da

a

a

a

E B

1.5 m

1.5 m

3 kN

2 m

1 m

75 mm

150 m

Sección a-

Prob. 12-97

B

C

P

A

L–2

L–2

L–2




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

12-98. Determine la deflexión vertical en el extremo A dela ménsula. Suponga que la ménsula se sostiene fijamenteen su base B y no tome en cuenta la deflexión axial. EI esconstante.

12-99. Determine la deflexión vertical y la pendiente en elextremo A de la ménsula. Suponga que la ménsula se sostie-ne fijamente en su base y no tome en cuenta la deformaciónaxial del segmento AB. EI es constante.

*12-100. El bastidor consta de dos vigas en voladizo CD y BA y una viga simplemente apoyada CB, todas de aceroA-36. Si cada viga tiene un momento de inercia respecto asu eje principal de I

x = 118 pulg4, determine la deflexión en

el centro G de la viga CB.

•12-101. La viga I de ala ancha actúa como un voladizo.Debido a un error se instala a un ángulo u con la vertical.Determine la relación en A de su deflexión en la dirección

x sobre su deflexión en la dirección y, cuando se aplica unacarga P en este punto. Los momentos de inercia son I

x e I

y.

Para la solución, descomponga P en sus componentes y useel método de superposición. Nota: El resultado indica queen vigas delgadas, I

y V I

x, pueden ocurrir grandes deflexio-

nes laterales (dirección x), cuando están mal instaladas deesta manera. Para mostrar esto numéricamente, calcule lasdeflexiones en las direcciones x y y para una viga W10 * 15de acero A-36, con P = 1.5 kip, u = 10° y L = 12 pies.

12-102. La viga simplemente apoyada soporta una cargauniforme de 2 kip>pie. Las restricciones de código, debidasa un techo de yeso, requieren que la deflexión máxima noexceda 1>360 de la longitud del tramo. Seleccione del apén-dice B la viga I de ala ancha de acero A-36 con menor pesoque cumpla este requisito y soporte con seguridad la carga.El esfuerzo flexionante permisible es sperm = 24 ksi y el es-fuerzo cortante permisible es tperm = 14 ksi. Suponga que

A es un pasador y B un soporte de rodillos.

16 pies

A

D

8 pies

8 piesC G

B

15 kip

Prob. 12-100

x

L

yP

A

Vertical

u

u

Prob. 12-101

Prob. 12-98

aP

A

b

B

Prob. 12-102

4 pies

A B

8 pies

8 kip

4 pies

2 kip/ pie

8 kip

Prob. 12-99

A

C

B

4 pulg

3 pulg

80 lb

20 lb/ pulg



12.6 V IGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS 62

12.6 Vigas y ejes estáticamenteindeterminados

Las barras cargadas axialmente y los ejes cargados a torsión que son es-táticamente indeterminados se analizaron en las secciones 4.4 y 5.5, res-

pectivamente. En esta sección se ilustrará un método general para deter-minar las reacciones sobre vigas y ejes estáticamente indeterminados. Enespecífico, un elemento de cualquier tipo se clasifica como estáticamente

indeterminado si el número de reacciones desconocidas excede el númerodisponible de ecuaciones de equilibrio.

Las reacciones adicionales en los soportes de la viga o eje que no son

necesarias para mantenerlo en equilibrio estable se llaman redundantes. Elnúmero de estas redundantes se conoce como el grado de indeterminación.Por ejemplo, considere la viga mostrada en la figura 12-32a. Si se dibuja eldiagrama de cuerpo libre, figura 12-32b, habrá cuatro reacciones descono-cidas en los soportes, y como hay tres ecuaciones de equilibrio disponiblespara la solución, la viga se clasifica como indeterminada de primer grado.A

y, B

y o M

A pueden clasificarse como redundantes, porque si cualquiera

de estas reacciones se elimina, la viga se mantiene estable y en equilibrio(A

x no puede clasificarse como redundante, porque al retirarla no se sa-

tisface ©F x = 0.) De manera similar, la viga continua de la figura 12-33a es

indeterminada de segundo grado, puesto que hay cinco reacciones des-conocidas y sólo tres ecuaciones de equilibrio disponibles, figura 12-33b.Aquí, las dos reacciones redundantes en los soportes pueden elegirse entreA

y, B

y, C

y y D

y.

Figura 12-32

(a)

P

AB

(b)

P

M A

A x

A y

B y

Figura 12-33

(a)

P1 P2 P3

A D

C B

(b)

P1 P2 P3

A y B y C y D y

A x




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

Para determinar las reacciones en una viga (o eje) que es estáticamenteindeterminada, primero es necesario especificar las reacciones redundan-tes. Estas redundantes pueden determinarse a partir de las condicionesde geometría conocidas como las condiciones de compatibilidad. Una vezencontradas, las redundantes se aplican a la viga y las reacciones restantesse determinan a partir de las ecuaciones de equilibrio.

En las siguientes secciones se ilustrará este procedimiento de soluciónmediante el método de integración, sección 12.7; el método del momentode área, sección 12.8; y el método de superposición, sección 12.9.

12.7 Vigas y ejes estáticamenteindeterminados: métodode integración

El método de integración, analizado en la sección 12.2, requiere dos inte-graciones de la ecuación diferencial d 2y>dx2 = M >EI una vez que el mo-mento interno M en la viga se expresa como una función de la posición x.Sin embargo, si la viga es estáticamente indeterminada, M también puedeexpresarse en términos de las redundantes desconocidas. Después de inte-grar dos veces esta ecuación, habrá dos constantes de integración junto conlas redundantes a determinar. Aunque esto sea así, las incógnitas siemprepueden encontrarse a partir de las condiciones de frontera y continuidadpara el problema.

En los siguientes problemas de ejemplo se ilustran aplicaciones espe-cíficas de este método usando el procedimiento de análisis descrito en la

sección 12.2.

Ejemplo de una viga estáticamente inde-terminada que se usa para soportar la losade un puente.



12.7 V IGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DE INTEGRACIÓN 62

EJEMPLO 12.17

La viga está sometida a la carga distribuida de la figura 12-34a. Deter-mine la reacción en A. EI es constante.

SOLUCIÓNCurva elástica. La viga experimenta deflexión, como se muestra enla figura 12-34a. Sólo se requiere una coordenada x. Por convenienciase tomará dirigida a la derecha, puesto que el momento interno es fácilde formular.

Función de momento. La viga es indeterminada de primer gradocomo se indica en el diagrama de cuerpo libre, figura 12-34b. El mo-mento interno M puede expresarse en términos de la fuerza redundanteen A usando el segmento mostrado en la figura 12-34c. Aquí,

Pendiente y curva elástica. Al aplicar la ecuación 12-10, se tiene

Las tres incógnitas A y, C 1 y C 2 se determinan a partir de las condiciones

de frontera x = 0, y = 0; x = L, dy>dx = 0, y x = L, y = 0. Al aplicar estascondiciones se obtiene

NOTA: Si se usa el resultado de A y, las reacciones en B pueden deter-

minarse a partir de las ecuaciones de equilibrio, figura 12-34b. Demues-tre que B

x = 0, B

y = 2w0L>5 y M

B = w0L

2>15.

M = Ayx -

1

6 w0 x

3

L

EIv =1

6 Ayx

3-

1

120 w0

x5

L + C1x + C2

EI

dv

dx =

1

2 Ayx

2-

1

24 w0

x4

L + C1

EI

d2v

dx2 = Ayx -

1

6 w0

x3

L

Al resolver,

0 =1

6 AyL

3-

1

120 w0L

4+ C1L + C2v = 0;x = L,

0 =1

2 AyL

2-

1

24 w0L

3+ C1

dv

dx = 0;x = L,

0 = 0 - 0 + 0 + C2v = 0;x = 0,

Resp.

C1 = -

1

120 w0L

3 C2 = 0

Ay =

1

10 w0L

A

x

L

B

w0

(a)

B y

MB

B x A

L

w0L

(b)A y

L23 13

1

2

Figura 12-34

M

V

(c)A y

x x

w0w0

A2

3

1

3

1

2 x

L

x2

L




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.18

La viga de la figura 12-35a está soportada fijamente en ambos extremosy se somete a la carga uniforme mostrada en la figura. Determine las re-acciones en los soportes. No tome en cuenta el efecto de la carga axial.

SOLUCIÓN

Curva elástica. La viga sufre deflexión, como se muestra en la fi-gura 12-35a. Al igual que en el problema anterior, sólo se requiere unacoordenada x para obtener la solución ya que la carga es continua entodo el segmento.

Función de momento. A partir del diagrama de cuerpo libre, fi-gura 12-35b, las reacciones cortante y de momento respectivas en A y B deben ser iguales, puesto que hay simetría de las dos cargas y la geome-tría. Debido a esto, la ecuación de equilibrio, ©F

y = 0, requiere

La viga es indeterminada de primer grado, donde M ¿ es redundante. Sise usa el segmento de viga de la figura 12-35c, el momento interno M puede expresarse en términos de M ¿ de la siguiente manera:

Pendiente y curva elástica. Al aplicar la ecuación 12-10, se tiene

Las tres incógnitas M ¿, C 1 y C 2, pueden determinarse a partir de lastres condiciones de frontera y = 0 en x = 0, de donde se obtiene C 2 = 0;dy>dx = 0 en x = 0, que resulta en C 1 = 0 y y = 0 en x = L, de donde seobtiene

Si se usan estos resultados, puede observarse que debido a la simetría lacondición de frontera restante dy>dx = 0 en x = L se satisface de maneraautomática.

NOTA: Se debe tener en cuenta que este método de solución es ge-neralmente adecuado cuando sólo se requiere una coordenada x paradescribir la curva elástica. Si se necesitan varias coordenadas x, es in-dispensable escribir las ecuaciones de continuidad, lo que complica elproceso de solución.

Resp.VA = VB =

wL

2

M = wL

2 x -

w

2 x

2- M¿

EIv = wL

12 x

3-

w

24 x

4- M¿

2 x

2+ C1x + C2

EI dvdx

= wL4

x2 - w

6 x3 - M¿x + C1

EI

d2v

dx =

wL

2 x -

w

2 x

2- M¿

Resp.M¿ = wL2

12

A

x

L

B

w

(a)

(b)

wL

M A�M ¿ M B�M ¿

V B�wL

2

V A�wL

2

L

2L

2

Figura 12-35

(c)

wx

M ¿ x

M

V

wL

2

x

2



12.7 V IGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DE INTEGRACIÓN 63

PROBLEMAS

12-103. Determine las reacciones en los apoyos A y B, des-pués dibuje el diagrama de momento. EI es constante.

12-106. Determine las reacciones en los soportes, despudibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento. E

es constante.

*12-104. Determine el valor de a para el cual el momentopositivo máximo tiene la misma magnitud que el momen-to negativo máximo. EI es constante.

•12-105. Determine las reacciones en los soportes A, B yC ; después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo-mento. EI es constante.

12-107. Determine las reacciones de momento en los sportes A y B. EI es constante.

*12-108. Determine las reacciones en el soporte de rodil A y en el soporte fijo B.

Prob. 12-103

A

B

L

M 0

Prob. 12-104

L

P

a

Prob. 12-105

C A

B

P P

L

2

L

2

L

2

L

2

Prob. 12-106

L

A B

P

L

Prob. 12-107

L

P P

A B

aa

Prob. 12-108

L

B A

w

3

2L

3




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

•12-109. Use funciones de discontinuidad y determine lasreacciones en los soportes, después dibuje los diagramas defuerza cortante y de momento. EI es constante.

12-110. Determine las reacciones en los soportes, despuésdibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento. EI es constante.

12-111. Determine las reacciones en el soporte de pasador A y en los soportes de rodillo B y C . EI es constante.

*12-112. Determine las reacciones de momento en los so-portes fijos A y B. EI es constante.

•12-113. La viga tiene una constante E1 I 1 y se sostiene me-diante la pared fija en B y la barra AC . Si la barra tiene un

área A2 en su sección transversal y el material tiene un mó-dulo de elasticidad E2, determine la fuerza en la barra.

12-114. La viga está soportada mediante un pasador en A,un rodillo en B y un poste que tiene un diámetro de 50 mmen C . Determine las reacciones en los soportes A, B y C .El poste y la viga son del mismo material con un módulode elasticidad E = 200 GPa, y la viga tiene un momento deinercia constante I = 255(106) mm4.

Prob. 12-109

8 pies 10 pies

3 kip/ pie

C

AB

Prob. 12-110

B C

A

L L

w0

Prob. 12-111

AC

B

w

L L

Prob. 12-112

B A

L

2

L

2

w0

Prob. 12-113

A B

C

w

L1

L2

Prob. 12-114

BC

A

15 kN/ m

6 m

1 m

6 m



12.8 V IGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DEL MOMENTO DE ÁREA 63

*12.8 Vigas y ejes estáticamenteindeterminados: métododel momento de área

Si se usa el método del momento de área para determinar las redundan-tes desconocidas de una viga o eje estáticamente indeterminado, entoncesdebe dibujarse el diagrama M >EI de modo que en él se representen lasredundantes como incógnitas. Una vez que se ha establecido el diagramaM >EI , pueden aplicarse los dos teoremas del momento de área para ob-tener las relaciones adecuadas entre las tangentes de la curva elástica afin de satisfacer las condiciones de desplazamiento y la pendiente en lossoportes de la viga. En todos los casos, el número de estas condiciones decompatibilidad será equivalente al número de redundantes, por lo que esposible obtener una solución para las redundantes.

Diagramas de momento construidos por el método de super-

posición. Como la aplicación de los teoremas del momento de árearequiere el cálculo tanto del área bajo el diagrama M >EI como de la ubica-ción centroidal de esta área, a menudo resulta conveniente usar por sepa-

rado diagramas M >EI para cada una de las cargas y redundantes conocidasen vez de emplear el diagrama resultante para calcular estas cantidadesgeométricas. Esto es en especial cierto si el diagrama de momento resul-tante tiene una forma complicada. El método para dibujar el diagrama demomento en partes se basa en el principio de superposición.

La mayoría de las cargas sobre vigas o ejes en voladizo son una combi-nación de las cuatro cargas mostradas en la figura 12-36. La construcción delos diagramas de momento asociados, también se muestra en esta figura,

de acuerdo con el análisis de los ejemplos del capítulo 6. Con base en es-tos resultados, ahora se mostrará cómo emplear el método de superposi-ción para representar el diagrama de momento resultante de una serie dediagramas de momento separados para la viga en voladizo de la figura 12-37a. Para ello, primero se sustituirán las cargas por un sistema de cargasestáticamente equivalente. Por ejemplo, las tres vigas en voladizo mostra-

P

L

M

�PL

(a)

Línea de inclinació

Figura 12-36

L

M

x

(b)

M 0

M0

Línea de inclinación cero

L

M

x

(c)

Curva parabólica

w

�wL2

2

L

M

(d)

w0

Curva cúbica

�w0L2

6




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

das en la figura 12-37a son estáticamente equivalentes a la viga resultante,ya que la carga en cada punto de la viga resultante es igual a la superpo-sición o la adición de las cargas en las tres vigas separadas. Por lo tanto,si se dibujan los diagramas de momento para cada viga separada, figura12-37b, la superposición de estos diagramas resultará en el diagrama demomentos para la viga resultante, que se muestra en la parte superior. Porejemplo, a partir de cada uno de los diagramas de momento separados, elmomento en el extremo A es M

A = −8 kN ∙ m − 30 kN ∙ m− 20 kN ∙ m =

−58 kN ∙ m, como se verifica con el diagrama de momentos de la par-te superior. Este ejemplo demuestra que en ocasiones resulta más fácilconstruir por separado una serie de diagramas de momento estáticamenteequivalentes para la viga, en vez de construir un diagrama de momentoresultante más complicado. Como es obvio, es más fácil establecer el áreay la ubicación del centroide de cada porción que determinar estos valoresa partir del diagrama resultante.

Figura 12-37

M

x (m)

�

58

2 4

�40

�10

M

x (m)

�8

2

M

x (m)

�

30

2

2

M

x (m)

�20

4

(kNm)

(kNm)

(kNm)

(kNm)

Superposición de diagramas de momento

(b)

�

4

4

2 m 2 m

30 kNm

5 kN4 kN/ m13 kN

58 kNm

2 m

4 kN/ m8 kN

8 kNm

30 kNm

30 kNm

4 m

5 kN

5 kN

20 kNm

Superposición de cargas

(a)

2 m

A

A

A

A

��

�

��




De manera similar, el diagrama de momento resultante también puederepresentarse para una viga simplemente apoyada mediante una superpo-sición de los diagramas de momento para cada carga que actúa sobreuna serie de vigas simplemente apoyadas. Por ejemplo, las cargas sobre unaviga que se muestran en la parte superior de la figura 12-38a son equivalen-tes a la suma de las cargas sobre la viga que se muestran debajo de la mis-ma. En consecuencia, la suma de los diagramas de momento para cada unade estas tres cargas puede emplearse en lugar del diagrama de momentoresultante que se muestra en la parte superior de la figura 12-38b.

Los siguientes ejemplos servirán para aclarar algunos de estos puntos ymostrar cómo se utilizan los teoremas del momento de área para obtenerlas reacciones redundantes en vigas y ejes estáticamente indeterminados.Las soluciones siguen el procedimiento de análisis descrito en la sección12.4.

Figura 12-38

M

x (m)

Diagrama de momento resultante

�20 �20

(kNm)

Superposición de diagramas de momento

(b)

M

x (m)

(kNm)

70

90

12

6

12

M

x (m)

(kNm)

12

M

x (m)

(kNm)

12

�20

�20

6

6

6

12 m

20 kNm

5 kN/ m

��

20 kNm

12 m

5 kN/ m

12 m

12 m

Superposición de cargas

(a)

20 kNm

20 kNm

�

�

�

�




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.19

La viga se somete a la fuerza concentrada que se muestra en la figura12-39a. Determine las reacciones en los soportes. EI es constante.

SOLUCIÓN

Diagrama M >EI . En la figura 12-39b se muestra el diagrama decuerpo libre. Si se usa el método de superposición, los diagramas M >EI separados para la reacción redundante B

y y para la carga P se muestran

en la figura 12-39c.

Curva elástica. La curva elástica para la viga se muestra en la figura12-39d. Se han construido las tangentes en los soportes A y B. Como

¢B = 0, entoncest B> A = 0

Teorema del momento de área. Al aplicar el teorema 2, se tiene

Ecuaciones de equilibrio. Si se usa este resultado, las reaccionesen A mostradas en el diagrama de cuerpo libre, figura 12-39b, son

Figura 12-39

(a)

L

B

A

P

L

L

(b)

B

P

M A

A x

A y

B y

L

(c)

L 2L x

M

EI

2PL

EI �

PL

EI �

B yL

EI

(d)

B

A

t B/ A � 0

tan A

tanB

Resp.By = 2.5P

+ a 2

3 Lb c 1

2 a -PL

EI b1L2 d = 0

tB>A = a 2

3 Lb B1

2 ¢ByLEI

≤LR + aL2 b c -PL

EI 1L2 d

Resp.

Resp.

Resp.MA = 0.5PL

-MA + 2.5P1L2 - P12L2 = 0d+©MA = 0;

Ay = 1.5P

-Ay + 2.5P - P = 0+ c©Fy = 0;

Ax = 0:+ ©Fx = 0;




EJEMPLO 12.20

La viga se somete a un momento de par en su extremo C como se mues-tra en la figura 12-40a. Determine la reacción en B. EI es constante.

SOLUCIÓNDiagrama M >EI . El diagrama de cuerpo libre se muestra en la fi-gura 12-40b. Por inspección, la viga es indeterminada de primer grado.Con el fin de obtener una solución directa, se elegirá B

y como la redun-

dante. Usando la superposición, los diagramas M >EI para B y y M0, cada

uno aplicado a una viga simplemente apoyada, se muestran en la figura12-40c. (Observe que para una viga de este tipo A

x, A

y y C

y no contribu-

yen a un diagrama M >EI .)

Curva elástica. La curva elástica para la viga se muestra en la figura12-40d. Se han establecido las tangentes en A, B y C . Como ¢

A = ¢

B =

¢C = 0, entonces las distancias verticales indicadas deben ser proporcio-nales; es decir,

A partir de la figura 12-40c, se tiene

Al sustituir en la ecuación 1 y al simplificar se obtiene

Ecuaciones de equilibrio. Ahora es posible determinar las reac-ciones en A y C a partir de las ecuaciones de equilibrio, figura 12-40b.Demuestre que A

x = 0, C

y = 5M 0>4L y A

y = M 0>4L.

Observe, con base en la figura 12-40e que este problema también sepuede manejar en términos de las distancias verticales,

(1)tB>C =

1

2 tA>C

tA>C = 1L2B 12

¢ByL2EI

≤12L2R + a 23

12L2b B12

¢ -M0

EI ≤12L2R

+ aL2 b B ¢ -M0

2EI ≤1L2R

tB>C = a 13

Lb B12

¢ByL2EI

≤1L2R + a 23

Lb B 12

¢ -M0

2EI ≤1L2R

Resp.By =

3M0

2L

tB>A =

1

2 tC>A

(a)

B

A

L

M0C

L

(b)

A x

A y C y

B y

M0

LL

(c)

2L x

L

M

EI

M 0

2EI �

M 0

2EI � M 0

EI �

B yL

2EI

(d)

B

A

tan AtanC

C

L

L

tanB

t B/ C

t A/ C

Figura 12-40

(e)

B A

tanB

tanC

tan A

L

L

t C / A

t B/ A




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

PROBLEMAS

12-115. Determine las reacciones de momento en los so-portes A y B, después dibuje los diagramas de fuerza cortan-te y de momento. EI es constante.

*12-116. La barra está fija en A y la conexión en B consisteen un alojamiento de rodillos que permite el desplazamientovertical pero se resiste a la carga axial y al momento. De-termine las reacciones de momento en estos soportes. EI esconstante.

•12-117. Determine el valor de a para el cual el momentopositivo máximo tiene la misma magnitud que el momen-to negativo máximo. EI es constante.

12-119. Determine las reacciones en los soportes, despuésdibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento. EI es constante. El soporte B es un cojinete de empuje.

*12-l20. Determine las reacciones de momento en los so-portes A y B. EI es constante.

Prob. 12-115

L

B

A M0

Prob. 12-116

A B

w

L

Prob. 12-117

L

a

P

12-118. Determine las reacciones en los soportes, despuésdibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento. EI es constante.

Prob. 12-118

C AB

L

M 0 M 0

L

Prob. 12-119

C A B

L

P

L

2

L

2

Prob. 12-120

L–2

A B

w

L–2



12.9 V IGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN 63

12.9 Vigas y ejes estáticamenteindeterminados: métodode superposición

El método de superposición se ha utilizado previamente para resolver lascargas redundantes en barras cargadas axialmente y ejes cargados a torsión.Para aplicar este método en la solución de vigas (o ejes) estáticamente in-determinadas, primero es necesario identificar las reacciones redundantesen los soportes, como se explica en la sección 12.6. Al eliminarlos de la vigase obtiene la llamada viga primaria, que es estáticamente determinada yestable, además está sometida sólo a la carga externa. Si a esta viga se leagrega una sucesión de vigas apoyadas de manera similar, cada una carga-da con una redundante separada, entonces por el principio de superposi-ción, se obtiene la viga cargada real. Por último, con el fin de despejar lasredundantes, es necesario escribir las condiciones de compatibilidad queexisten en los soportes donde actúa cada una de las redundantes. Comode esta manera las fuerzas redundantes se determinan directamente, elmétodo de análisis se denomina en ocasiones método de fuerza. Una vezque se obtienen las redundantes, las otras reacciones sobre la viga puedendeterminarse a partir de las tres ecuaciones de equilibrio.

Para aclarar estos conceptos, considere la viga de la figura 12-41a. Sise elige la reacción B

y en el rodillo como redundante, entonces la viga

primaria es la mostrada en la figura 12-41b, y la viga sobre la que actúa laredundante B

y se muestra en la figura 12-41c. El desplazamiento en el ro-

dillo debe ser igual a cero, y como el desplazamiento del punto B sobre laviga primaria es y

B, y B

y causa que el punto B se desplace hacia arriba y¿

B,

es posible escribir la ecuación de compatibilidad en B como

Los desplazamientos yB yy¿

B pueden obtenerse mediante cualquiera de los

métodos descritos en las secciones 12.2 a 12.5. Aquí se obtendrán directa-mente de la tabla del apéndice C. Se tiene

Al sustituir en la ecuación de compatibilidad, se obtiene

Ahora que se conoce B y, las reacciones en la pared se determinan a par-

tir de las tres ecuaciones de equilibrio aplicadas al diagrama de cuerpolibre de la viga, figura 12-41d. Los resultados son

Figura 12-41

P

A x

A yP

(d)

M A

Viga real

B A

P

(a)

B

A

P

(b)

v

L

B

A

B y

(c)

v

5

1

Sólo se aplica la redundante B y

Redundante B y eliminada

L

2

L

2

L

2

L

2

L

2

L

2 5

16

0 = -vB + vœB1+ c2

vB =

5PL3

48EI y vœ

B =

ByL3

3EI

By =5

16 P

0 = -5PL3

48EI+

ByL3

3EI

MA =

3

16 PL

Ax = 0 Ay =

11

16 P




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

Como se estableció en la sección 12.6, la elección de la redundante esarbitraria siempre que la viga primaria se mantenga estable. Por ejemplo,el momento en A para la viga de la figura 12-42a también se puede elegircomo redundante. En este caso, la capacidad de la viga para resistir M

A

se elimina, por lo que la viga primaria es la que se sostiene mediante unpasador en A, figura 12-42b. A ésta se le agrega la viga sobre la cual actúala redundante en A, figura 12-42c. Si a la pendiente en A causada por lacarga P se le denomina u

A y a la pendiente en A causada por la redundanteM

A se le llama u ¿

A, la ecuación de compatibilidad para la pendiente en A

requiere

De nuevo, si se usa la tabla del apéndice C, se tiene

Por lo tanto,

Este es el mismo resultado que se determinó previamente. Aquí, el signonegativo para M

A sólo significa que M

A actúa en sentido opuesto a la direc-

ción mostrada en la figura 12-42c.

RedundanteM A eliminada

B A

P

(b)

Sólo se aplica la redundante M A

B A(c)

M A�

Viga real

B A

P

(a)

�

L

2

L

2

L

2

L

2

u A

u¿ A

Figura 12-42

0 = uA + uAœ1e+2

uA =

PL2

16EI y uA

œ=

MAL

3EI

MA = -3

16 PL

0 =PL

2

16EI +MAL

3EI




En la figura 12-43a se proporciona otro ejemplo que ilustra este mé-

todo. En este caso, la viga es indeterminada de segundo grado y, por lotanto, se necesitarán dos ecuaciones de compatibilidad para obtener la so-lución. Se elegirán las fuerzas en los soportes de rodillo B y C como redun-dantes. La viga primaria (estáticamente determinada) se deforma de lamanera mostrada en la figura 12-43b cuando se retiran las redundantes.Cada fuerza redundante deforma esta viga como se muestra en las figu-ras 12-43c y 12-43d, respectivamente. Por superposición, las ecuaciones decompatibilidad para los desplazamientos en B y C son

Aquí, las componentes del desplazamiento y ¿B y y ¿

C se expresarán

en términos de la incógnita B y, y las componentes y–

B y y–

C se expresa-

rán en términos de la incógnita C y. Cuando estos desplazamientos se ha-

yan determinado y sustituido en la ecuación 12-20, entonces las ecuacionespodrán resolverse de manera simultánea para las dos incógnitas B

y y C

y.

(12-20)0 = vC + vC

œ + vCfl1+ T2

0 = vB + vBœ + vB

fl1+ T2

B

A(a)

C

D

P1

P1

P2

P2

Viga real

�

B

A(b)

C

D

Redundante B y y C y eliminadas

�

vB vC

B A(c)

C D

B y


�

B A(d)

C D

C y

v¿¿

Sólo se aplica la redundante C y

B

v¿B v¿C

v¿¿C

Figura 12-43




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1


El siguiente procedimiento proporciona un medio para aplicar el mé-todo de superposición (o el método de fuerza) para determinar lasreacciones en vigas o ejes estáticamente indeterminados.

Curva elástica.

• Especifique las fuerzas o momentos redundantes desconocidos quedeben retirarse de la viga con el fin de hacerla estáticamente deter-minada y estable.

• Mediante el principio de superposición, dibuje la viga estáticamen-te indeterminada y muéstrela como una secuencia de las vigas está-

ticamente determinadas correspondientes.

• La primera de estas vigas, la viga primaria, soporta las mismas car-gas externas que la viga estáticamente indeterminada, y cada unade las otras vigas “agregadas” a la viga primaria muestra a la vigacargada con una fuerza o momento redundante independiente.

• Dibuje la curva de deflexión para cada viga e indique de manerasimbólica el desplazamiento (pendiente) en el punto de cada fuer-za redundante (momento).

Ecuaciones de compatibilidad.

• Escriba una ecuación de compatibilidad para el desplazamiento(pendiente) en cada punto donde haya una fuerza (momento) re-dundante.

• Determine todos los desplazamientos o pendientes mediante unmétodo adecuado, como se explica en las secciones 12.2 a 12.5.

• Sustituya los resultados en las ecuaciones de compatibilidad y des-peje las redundantes desconocidas.

• Si el valor numérico de una redundante es positivo, tiene el mismo

sentido que la dirección prevista en un principio. Del mismo modo,un valor numérico negativo indica que la redundante actúa en sen-

tido opuesto a la dirección supuesta.

Ecuaciones de equilibrio.

• Una vez que las fuerzas y los momentos redundantes se han deter-minado, las reacciones desconocidas restantes pueden encontrarsea partir de las ecuaciones de equilibrio aplicadas a las cargas quese muestran en el diagrama de cuerpo libre de la viga.

Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de este procedimiento. Porrazones de brevedad, todos los desplazamientos y pendientes se determina-rán usando la tabla del apéndice C.




EJEMPLO 12.21

Figura 12-44

Determine las reacciones en el soporte de rodillos B de la viga mostradaen la figura 12-44a, después dibuje los diagramas de fuerza cortante yde momento. EI es constante.

SOLUCIÓN

Principio de superposición. Por inspección, la viga es estática-mente indeterminada de primer grado. El soporte de rodillo en B seelegirá como la redundante por lo que B

y se determinará directamente.

En las figuras 12-44b y 12-44c se muestra la aplicación del principio desuperposición. Aquí se ha supuesto que B

y actúa hacia arriba sobre la

viga.

Ecuación de compatibilidad. Si se considera que el desplaza-miento positivo es hacia abajo, la ecuación de compatibilidad en B es

Estos desplazamientos pueden obtenerse de manera directa en la ta-bla del apéndice C.

Al sustituir en la ecuación 1 y al resolver se obtiene

Ecuaciones de equilibrio. Si se emplea este resultado y se apli-can las tres ecuaciones de equilibrio, se obtienen los resultados mostra-dos en el diagrama de cuerpo libre de la viga, figura 12-44d. En la figura12-44e se muestran los diagramas de fuerza cortante y de momento.

(1)0 = vB - vBœ1+ T2

vBœ =

PL3

3EI=By110 pies23

3EI=

333.3 pies3 By

EI c

=2 kip>pie110 pies24

8EI+

518 kip2110 pies23

48EI=

3333 kip # pie3

EI T

vB = wL4

8EI+

5PL3

48EI

Resp.By = 10 kip

0 =

3333

EI-

333.3By

EI

Viga real

B A

10 pies

(a)

B

B

B y

v¿B

vB

5 pies

�

�

5 pies8 kip

10 pies

2 kip/ pie

Redundante B y eliminada

2 kip/ pie18 kip

40 kip�pie

0

8 kip

5

5

V (kip)

M (kip�pie)

x (pie)

x (pie)

40

18 8

10

25

(kip)

10 kip


10 pies

5 pies8 kip

2 kip/ pie

(b)

(c)

5 pies

(d)

(e)




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.22

La viga de la figura 12-45a está empotrada a la pared en A y conec-tada mediante un pasador a una varilla BC de 1

¬2 pulg de diámetro. SiE = 29(103) ksi para los dos elementos, determine la fuerza desarrollada

en la barra debido a la carga. El momento de inercia de la viga respectoa su eje neutro es I = 475 pulg4.

SOLUCIÓN I

Principio de superposición. Por inspección, este problema esindeterminado de primer grado. Aquí, B experimentará un desplaza-miento desconocido, y–

B, puesto que la barra se estira. La barra se tra-

tará como la redundante y por ende la fuerza de la barra se retira de laviga en B, figura 12-45b, y después se vuelve a aplicar, figura 12-45c.

Ecuación de compatibilidad. En el punto B se requiere

Los desplazamientos yB y y¿

B se determinan a partir de la tabla en el

apéndice C. y–B se calcula con base en la ecuación 4-2. Si se usan unida-

des de kilolibras y pulgadas, se tiene

Por lo tanto, la ecuación 1 se convierte en

(1)vflB = vB - vB

œ1+ T2

vBœ = PL3

3EI = FBC110 pies2

3

112 pulg>pie23

3[2911023 kip>pulg2]1475 pulg42= 0.04181FBC

c

vB =5PL3

48EI =

518 kip2110 pies23112 pulg>pie23

48[2911032 kip>pulg 2]1475 pulg42= 0.1045 pulg T

vBfl =

PL

AE =

FBC18 pies2112 pulg>pie2

1p>42 A12 pulgB2[2911032 kip>pulg2]

= 0.01686FBC T

Resp.FBC = 1.78 kip

0.01686FBC = 0.1045 - 0.04181FBC1+ T2

5 pies

A B

5 piesv¿¿

Viga y barra reales

8 kip

C

8 pies

B

A

Redundante FBC eliminada

8 kip

(b)

B

vB A

Sólo se aplica la redundante FBC

(c)

BFBC

v¿B

Figura 12-45




SOLUCIÓN II

Principio de superposición. Este problema también puede re-solverse al retirar el soporte de pasador en C y al mantener la varillaconectada a la viga. En este caso, la carga de 8 kip hará que los pun-tos B y C se desplacen hacia abajo la misma cantidad y

C , figura 12-45e,

puesto que no existe fuerza en la barra BC . Cuando se aplica la fuerzaredundante F

BC en el punto C , ésta hace que el extremo C de la barra

se desplace la cantidad y¿C hacia arriba y que el extremo B de la viga se

desplace la cantidad y¿B hacia arriba, figura 12-45 f . La diferencia en es-

tos dos desplazamientos, yBC

, representa el estiramiento de la varilladebido a F

BC , de modo que y¿

C = y

BC + y¿

B. Por lo tanto, a partir de las

figuras 12-45d, 12-45e y 12-45 f , la compatibilidad del desplazamiento enel punto C es

Figura 12-45 (cont.)

A

5 pies

Viga y barra reales

8 kip

(d)

C

B

5 pies

A

Redundante FBC eliminada

8 kip

(e)

B

C

vC

A

Sólo se aplica la redundante FBC

(f)

B

C

v¿C

v¿B

vBC

FBC

A partir de la solución I, se tiene

Por lo tanto, la ecuación 2 se convierte en

(2)0 = vC - 1vBC + vBœ 21+ T2

vBœ = 0.04181FBC

c

vBC = vBfl = 0.01686FBC

c

vC = vB = 0.1045 pulg

Resp.FBC = 1.78 kip

0 = 0.1045 - 10.01686FBC + 0.04181FBC21+ T2




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 12.23

Determine el momento en B para la viga mostrada en la figura 12-46a.EI es constante. No tome en cuenta los efectos de la carga axial.

SOLUCIÓNPrincipio de superposición. Como no se toma en cuenta la cargaaxial sobre la viga, no habrá una fuerza vertical ni un momento en A y B. Aquí hay sólo dos ecuaciones de equilibrio disponibles (©M = 0,©F

y = 0) por lo que el problema es indeterminado de segundo grado. Se

supondrá que B y y M

B son redundantes, de modo que por el principio

de superposición, la viga se representa como un voladizo cargado de

manera separada por la carga distribuida y las reacciones B y y M

B, figu-

ras 12-46b, 12-46c y 12-46d.

Figura 12-46

B

RedundantesMB y B y eliminadas

A(b)

�

6 pies

3 kip/ pie

B

Viga real

A(a)

�

6 pies

3 kip/ pie

6 pies

B

vB

Sólo se aplica la redundanteB y

A(c)

�

12 pies B

B y

Sólo se aplica la redundante MB

A(d)

B

v¿¿B

v¿B

MB

6 pies

12 pies u¿¿

u¿

uB

B




Ecuaciones de compatibilidad. En relación con el desplaza-miento y la pendiente en B, se requiere

Si se usa la tabla del apéndice C para calcular las pendientes y los des-plazamientos, se tiene

Al sustituir estos valores en las ecuaciones 1 y 2, y al cancelar el factorcomún EI , se obtiene

Si se resuelven estas ecuaciones de manera simultánea resulta

(1)

(2)0 = vB + vBœ + vB

fl 1+ T2

0 = uB + uBœ + uB

fl 1e+2

vBfl =

ML2

2EI= MB112 pies22

2EI=

72MB

EI T

uBfl =

ML

EI= MB112 pies2

EI=

12MB

EI b

vBœ =

PL3

3EI=By112 pies23

3EI=

576By

EI T

uBœ =

PL2

2EI=By112 pies22

2EI=

72By

EI b

vB = 7wL4

384EI= 713 kip>pie2112 pies24

384EI= 1134 kip # pie3

EI T

uB = wL3

48EI=

3 kip>pie112 pies23

48EI=

108 kip # pie2

EI b

0 = 1134 + 576By + 72M

B1+ T

2

0 = 108 + 72By + 12MB1e+2

Resp.MB = 11.25 kip # pie

By = -3.375 kip




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1


F12-13. Determine las reacciones en el soporte fijo A y enel rodillo B. EI es constante.

F12-16. Determine la reacción en el rodillo B. EI es cons-tante.

F12-14. Determine las reacciones en el soporte fijo A y enel rodillo B. EI es constante.

F12-15. Determine las reacciones en el soporte fijo A y enel rodillo B. El soporte en B se asienta 2 mm. E = 200 GPa,

I = 65.0(10-6) m4.

F12-17. Determine la reacción en el rodillo B. EI es cons-tante.

F12-18. Determine la reacción en el soporte de rodillos B si éste se asienta 5 mm. E = 200 GPa e I = 65.0(10-6) m4.

A B

40 kN

4 m 2 m

F12-13

A

B

w0

L

F12-14

AB

6 m

10 kN/ m

F12-15

A

B C

L L

M0

F12-16

A

B

C

4 m 6 m2 m

50 kN

F12-17

A

B C

6 m 6 m

10 kN/ m

F12-18




PROBLEMAS

•12-121. Determine las reacciones en los soportes de coji-nete A, B y C del eje, después dibuje los diagramas de fuerzacortante y de momento. EI es constante. Cada cojinete ejer-

ce sólo reacciones verticales sobre el eje.

*12-124. El ensamble consiste en una barra de acero y unbarra de aluminio, cada una de ellas tiene 1 pulg de grosoestán fijas en sus extremos A y B, y se conectan median

un pasador con el eslabón corto y rígido CD. Si se apliuna fuerza horizontal de 80 lb al eslabón como se muestrdetermine los momentos creados en A y B, Eac = 29(103) kEal = 10(103) ksi.

12-122. Determine las reacciones en los soportes A y B. EI es constante.

12-123. Determine las reacciones en los soportes A, B y C ,después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo-mento. EI es constante.

•12-125. Determine las reacciones en los soportes A, B

C , después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento. EI es constante.

12-126. Determine las reacciones en los soportes A y B. E

es constante.

Prob. 12-126

L

A

M0

B

400 N

1 m 1 m

C A B

1 m 1 m

400 N

Prob. 12-121

A B

L

2

P

L

Prob. 12-122

6 pies 12 pies

3 kip/ pie

AB

C

6 pies

12 kip

Prob. 12-123

80 lb

30 pulg

C D

A B

0.5 pulg

1 pulg

Aluminio

Acero

Prob. 12-124

3 m

AB

C

3 m 3 m 3 m

10 kN 10 kN

Prob. 12-125




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

12-127. Determine las reacciones en el soporte C . EI esconstante para ambas vigas.

12-130. Determine las reacciones en A y B. Suponga queel soporte en A sólo ejerce un momento sobre la viga. EI esconstante.

*12-128. Los segmentos de la viga compuesta se unen en

el centro mediante un contacto liso (rodillo). Determine lasreacciones en los soportes fijos A y B cuando se aplica lacarga P. EI es constante.

•12.129. La viga tiene una E1 I 1 constante y se sostiene me-diante la pared fija en B y la barra AC . Si la barra tiene unárea A2 en su sección transversal y el material tiene un mó-dulo de elasticidad E2, determine la fuerza en la barra.

12-131. La viga se sostiene mediante soportes atornillados

en sus extremos. Cuando están cargados, estos soportes noactúan como una conexión fija real, sino que permiten unaligera rotación a antes de volverse fijos. Determine el mo-mento en las conexiones y la deflexión máxima de la viga.

*12-132. La viga se sostiene mediante un pasador en A, unresorte que tiene una rigidez k en B y un rodillo en C . De-termine la fuerza que ejerce el resorte sobre la viga. EI esconstante.

A C

D

P

B

L

2

L

2

Prob. 12-127

P

L

A

C B

L

Prob. 12-128

A

L2

L1

B

C

w

Prob. 12-129

L–2

L–2

A B

P

Prob. 12-130

P

L—2

L—2

Prob. 12-131

A

B

L L

k

w

C

Prob. 12-132




•12-133. La viga está fabricada de un material suave elás-tico lineal que tiene una EI constante. Si en un inicio se en-cuentra a una distancia ¢ de la superficie de su soporte ex-tremo, determine la distancia a sobre la que descansa en estesoporte cuando está sometida a la carga uniforme w0, que eslo suficientemente grande como para hacer que esto suceda.

12-135. El eje de acero A-36 con un diámetro de 1 pulg, sostiene mediante cojinetes rígidos en A y C . El cojinete eB descansa sobre una viga I de ala ancha de acero simplmente apoyada, que tiene un momento de inercia I = 50pulg4. Si cada una de las cargas de la banda sobre la polea ede 400 lb, determine las reacciones verticales en A, B y C .

12-134. Antes de que la carga uniformemente distribui-da se aplique sobre la viga, hay un pequeño espacio de 0.2mm entre la viga y el poste en B. Determine las reaccionesen los soportes A, B y C . El poste en B tiene un diáme-tro de 40 mm y el momento de inercia de la viga es I = 875(106) mm4. El poste y la viga son de un material que tieneun módulo de elasticidad E = 200 GPa.

*12-136. Si la temperatura del poste CD de 75 mm de dimetro se incrementa en 60°C, determine la fuerza desarrllada en el poste. El poste y la viga están fabricados de aceA-36 y el momento de inercia de la viga es I = 255(106) mm

Prob. 12-136

A

C

D

B

3 m

3 m

3 m

�

L

a

w0

Prob. 12-133

A

B

C

6 m

1 m

6 m

0.2 mm

30 kN/ m

Prob. 12-134

400

lb400lb

2 pies

3 pies

5 pies

5 pies

5 pies

A

B

C

Prob. 12-135




2

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

REPASO DE CAPÍTULO

La curva elástica representa la deflexión de la línea central

de una viga o eje. Su forma puede determinarse mediante

el diagrama de momento. Los momentos positivos causan

que la curva elástica sea cóncava hacia arriba y los mo-

mentos negativos ocasionan que sea cóncava hacia abajo.

El radio de curvatura en cualquier punto se determina a

partir de

1

r =

M

EI

M

x

Diagrama de momento

Punto de inflexión

Curva elástica

La ecuación de la curva elástica y su pendiente pueden

obtenerse al encontrar primero el momento interno en

el elemento como una función de x. Si hay varias cargas

que actúan sobre el elemento, entonces deben determi-

narse funciones de momento separadas entre cada una

de las cargas. Al integrar estas funciones una vez usando

EI (d 2y>dx2) = M ( x) se obtiene la ecuación para la pen-

diente de la curva elástica, y al integrar de nuevo resulta la

ecuación para la deflexión. Las constantes de integración

se determinan a partir de las condiciones de frontera en

los soportes o, en los casos donde hay varias funciones de

momento involucradas, debe satisfacerse la continuidadde la pendiente y la deflexión en los puntos donde estas

funciones se unen.

u � 0

v � 0

P

x1

x2

v1 � v2

v � 0

dv2

dx2

dv1

dx1

�

Condiciones de frontera

Condiciones de continuidad

Las funciones de discontinuidad permiten expresar la

ecuación de la curva elástica como una función conti-

nua, sin importar el número de cargas sobre el elemento.

Este método elimina la necesidad de utilizar condiciones

de continuidad, ya que las dos constantes de integración

pueden determinarse sólo a partir de las dos condiciones

de frontera.



REPASO DE CAPÍTULO 65

El método del momento de área es una técnica semigráficapara determinar la pendiente de las tangentes o la distan-cia vertical entre las tangentes en puntos específicos sobrela curva elástica. Se requiere encontrar segmentos de áreabajo el diagrama M >EI , o el momento de estos segmentos

sobre los puntos de la curva elástica. El método funcionabien para los diagramas M >EI compuestos de formas sim-ples, como los que se producen mediante fuerzas concen-tradas y momentos de par.

A B

tan B tan AuB/ A B A x

M

EI uB/ A � Área

tanB

tan A

A B

B A xt B/ A

M

EI

_ x¿

t B/ A �_ x ¿(Área)

La deflexión o la pendiente en un punto de un elementosometido a combinaciones de cargas puede determinarsemediante el método de superposición. La tabla en el apén-dice C está disponible para este fin.

Las vigas y los ejes estáticamente indeterminados tienenmás reacciones desconocidas en los soportes que ecuacio-nes de equilibrio disponibles. Para resolverlas, primeroidentifique las reacciones redundantes. Para determinarl d d t d id d l ét d d

cap12 hibbeler

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