Cap 3. VC Limites - Puntos Singulares.doc

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEAnálisis de Variable Compleja

Luis Alberto Cadogan – Prof. Ingeniero Capítulo 3: Límites - Continuidad

1. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.........................................................................22. LÍMITES..............................................................................................................................................................22.1. Propiedades de los limites.....................................................................................................................................22.2. Cálculo de Límites diversos...................................................................................................................................33. DEFINICIÓN RIGUROSA DE LÍMITE..........................................................................................................64. CONTINUIDAD DE UN FUNCIÓN.................................................................................................................94.1. Condiciones para que F(Z) sea continua...............................................................................................................95. PUNTOS SINGULARES DE UNA FUNCIÓN................................................................................................95.1. Singularidad Removible......................................................................................................................................105.2. Singularidad Esencial..........................................................................................................................................105.3. Ceros y Polos de una función..............................................................................................................................115.4. Orden de un polo.................................................................................................................................................115.5. Cancelación de Ceros y Polos..............................................................................................................................125.6. Repetición de polos y ceros.................................................................................................................................125.7. Singularidad en el infinito...................................................................................................................................14

Cap. 3 - 1



ANÁLISIS DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.

1. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.

Es la rama de las matemáticas que investiga el comportamiento de las funciones

holomorfas, funciones definidas en alguna región del plano complejo que toman valores

complejos y son diferenciables.

Toda función holomorfa se puede representar como una serie de potencias en cada disco

abierto del dominio de definición, y por tanto es analítica. Las funciones holomorfas son

infinitamente diferenciables, un hecho que es diferente de lo que ocurre en las funciones

reales diferenciables. La mayoría de las funciones elementales: Polinomios, Funciones

Exponenciales, Funciones Trigonométricas, son holomorfas.

LÍMITE DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.

2. LÍMITES.

2.1. Propiedades de los limites.

Dadas dos funciones F(Z) y G(Z): .

.

.

.

.

.

Límite de la función exponencial: .

Límite de la función potencial: .

Cap. 3 - 2



2.2. Cálculo de Límites diversos.

Cap 3-Ejerc.1. Calcular el límite:

1.1. .

1.2. .

1.3. .

1.4. .

. Existen dos caminos para calcular: .

Camino I: Fijamos X = 0 y hacemos . .

Camino II: Fijamos Y = 0 y hacemos . .

Calcular límite de F(Z) en el Plano C no tiene que depender de la trayectoria seguida.

Dado que ambos límites son diferentes No existe.

Cap 3-Ejerc.2. Verificar que: .

Hacemos la sustitución directa:

Raíces del numerador:

1 -1 1 - i1 + i -1 + i

1 + i 1 i 0

Para el denominador: Z1 = 1 + i. Z2 = 1 – i

.

Cap 3-Ejerc.3. Calcular: .

Cap. 3 - 3



escribimos numerador y denominador en función de sus

raíces:

.

.

.

Cap 3-Ejerc.4. Calcular:

.


.

Cap. 3 - 4




Si X = 0 Y tiende a 0:

Si Y = 0 X tiende a 0: . Los límites son diferentes y F(Z) no tiene límite en

el origen.

6.1. Investigar si tiene límite en el origen.

Camino I: X = 0 ; Camino II: Y = 0

Los límites son diferentes U(X; Y) no tiene límite en el origen.

6.2. Investigar si: tiene límite en el origen.

Camino I: X = 0 V(0; Y) = 0. Camino II: Y = 0 V(X; 0) = 0. Tiene límite en el

origen.

Cap 3-Ejerc.7. Calcular: .

Camino I: X = 0:

Camino II: Y = 0: .

Ambos límites son diferentes No existe. Para que exista el limite el

resultado del cálculo no debe depender del camino seguido.

Cap 3-Ejerc.8. Verificar que:


Cap. 3 - 5



escribimos numerador y denominador en función de sus raíces.

1 0 0 0 0 0 0 0 0 -ii -1 -i 1 i -1 -i 1 i

i 1 i -1 -i 1 i -1 -i 1 0

1 0 0 0 0 -ii -1 -i 1 i

i 1 i -1 -i 1 0

.

3. DEFINICIÓN RIGUROSA DE LÍMITE.

En el Plano Z tenemos Z0; a través de F(Z) es trasladado al Plano :

El límite: existe si (adoptado) tenemos que:

con la restricción de que y deben ser positivos y pequeños.

Cap. 3 - 6

u

v

Plano Z X

Y

Plano w

Z0

ZF(Z)

L



Cap 3-Ejerc.10. Usando la Definición Rigurosa de Límite probar que:

10.1.

Z + i – 2i < si Z – i < . Z < iSustituimos Z:

i + i – 2i < < ; cumplen con los requisitos, i2 es el límite de F(Z).

10.2. .

Z + i – i3 < si Z – i < . Z < iSustituimos Z:

i + i – i3 < . i < . Aplicamos la Desigualdad Triangular y

tenemos: i i < . Para que sea

positivo debe ser mayor que 1, lo cual es ABSURDO. El valor dado no es el límite de

F(Z).

10.3.

Z2 – (Z0)2 < . Z – Z0 < Z < Z0 Sustituimos Z:

( Z0)2 – (Z0)2 < . 2 + 2.Z0 Z02 – (Z0)2 < . 2 + 2.Z0 < .

Aplicamos la Desigualdad Triangular: 2 + 2.Z0 < 2 + 2 Z0

2 + 2Z0 < . Análisis si: < 1 2 < Aproximamos: 2 .

(1 + 2Z0 )< . El valor dado es el límite de F(Z) en el punto.

10.4. .

Z2 – 5Z + 10 – 5 + i3 < Si Z – (1+ i) < Z < i)

{i)}2 –5{i)} + 5 + i3 = 2i) + i)2 – 55i5 +

5 + i3 < .

2i. < . Aplicamos Desigualdad Triangular: < 23 i

2 < . Análisis si: < 1 2 < Aproximamos: 2 .

Cap. 3 - 7



6 . El valor dado es el limite de la función en ese punto.

Cap 3-Ejerc.11. Usando la definición rigurosa de límite probar que:

Método I: Z + iZ + iZ* – 1 – i < Z – 1 + i < . Z < i

iii + i(i) – 1 – i <

iii + 1 + ii1 <

i2 < Aplicamos la desigualdad triangular

i < . Se verifica que tomando cualquier valor de >

0 y pequeño podremos encontrar un valor de > 0 y pequeño.

Método II: Z0 = (1 – i) L = (1 + i) = (Z0)*

Z + iZ + iZ* – (Z0)* < Z – Z0 < . Z < Z0

Z0 + i( Z0) + i( Z0)* – (Z0)* <

Z0 + ii Z0 + i ( Z0*) – (Z0)* <

i i Z0 i Z0 iZ0* – (Z0)* <

i i 1 – i i (1 – i ) i(1 + i) – (1 + i) <

i i 1 – i i + 1 i – 1 – 1 – i <

i i < Aplicamos la desigualdad triangular

i i < i = 1 =

. Se verifica que tomando cualquier valor de > 0 y pequeño

podremos encontrar un valor de > 0 y pequeño.

Cap. 3 - 8



4. CONTINUIDAD DE UN FUNCIÓN.

4.1. Condiciones para que F(Z) sea continua.

Una F(Z) es continua en un punto si se cumplen las tres condiciones:

(I) F(Z) = F(Z0) La función existe en el punto.

(II) Existe el limite de F(Z).

(III) . El valor del limite es igual al valor de la función.

En caso contrario F(Z) es discontinua.

Cap 3-Ejerc.12. Probar que F(Z) = Z2, Zes continua en Z0.

(I) F(Z0) = (Z0)2, La F(Z) existe en el punto.

(II) El límite de F(Z) existe en el punto.

(III) El valor del límite es igual al valor de F(Z) en el punto.

Se cumplen las tres condiciones de continuidad, F(Z) es continua en el punto dado.

Cap 3-Ejerc.13. Determinar si F(X; Y) = XY2 + i(2X – Y) es continua en en el Plano Complejo.

F(X; Y) está formada por polinomios en X e Y que son funciones continuas para todo X

e Y, por lo tanto F(X; Y) será contínua en todo el Plano complejo en todo punto (X; Y).

5. PUNTOS SINGULARES DE UNA FUNCIÓN.

En un punto singular Z0, la función F(Z) deja de ser continua, y por lo tanto deja de ser

analítica. Un punto singular puede ser:

Punto Singular Aislado: Z = Z0 es un Punto de Singularidad Aislada si en la

vecindad: no existen otros Puntos Singulares.

Punto Singular No Aislado: Si en la vecindad existen varios puntos singulares se

define la Singularidad no Aislada.

Se define el Punto Ordinario de F(Z) si Z0 no es un Punto Singular y Z –Z0 = no

encierra ningún Punto Singular.

Cap. 3 - 9



5.1. Singularidad Removible.

Si: la discontinuidad puede ser evitada redefiniendo F(Z).

5.2. Singularidad Esencial.

Si: no existe o En Z0 existe una singularidad esencial.

Cap 3-Ejerc.14. Analizar la discontinuidad de:

14.1. en Z = i.

F(i) = 0. . . Existe Discontinuidad

Removible (evitable) en Z = i. La misma puede ser removida redefiniendo la función,

asignándole el valor del cálculo del límite en el punto analizado.

14.2. , en Z = 0.

(Límite fundamental). En Z = 0 hay una Singularidad removible.

Redefinimos F(Z): y .

Cap 3-Ejerc.15. Para ,

15.1. Determinar si existe singularidad en Z = 0.

; Límite Fundamental En Z = 0 existe una singularidad removible.

15.2. Verificar si Z = 0 es un punto de ramificación de F(Z).

para 0 2 . Luego de un giro completo para Z:

; sen(– X) = – senX F. Impar.

; igual que la función original existe una sola rama para F(Z) y el

punto Z = 0 no es un punto de ramificación.

Cap 3-Ejerc.16. Determinar los puntos singulares de: .

Cap. 3 - 10



Para determinar Puntos Singulares

n 0 1 2 3 – 1 – 2 – 3

Z 2/ 2/3 2/5 2/7 –2/ – 2/3 – 2/5

(1/Z) 2 32 5 7 – – 3 – 5

Todos estos puntos Z son Puntos de Singularidad Aislada.

F(0) No . Z = 0 es un Punto de Singularidad esencial.

5.3. Ceros y Polos de una función.

Cero es cualquier valor de Z para el cual F(Z) = 0; valor de Z donde el numerador de

F(Z) es igual a cero. Polo es cualquier valor de Z para el cual F(Z) = ; el valor de Z

donde el denominador de F(Z) es igual a cero

Cap 3-Ejerc.17. Determinar los ceros y polos de la función:

N(Z) = 0 Para encontrar Ceros de F(Z).

N(Z) = (Z + 2)(Z + 4) Ceros de F(Z): Z1 = – 2 y Z2 = – 4.

D(Z) = 0 Polos de F(Z). .

Los ceros se representan en el plano complejo

con un cero y los polos con una X.

5.4. Orden de un polo.Si Z0 es un punto singular (polo) de:

; Para determinar

el orden de un polo calculamos:

. Z = Z0 Polo de orden n. Polo simple si n = 1.

Cap. 3 - 11

–2–400

X

X

1,41

–1,41

1

,

4

1



5.5. Cancelación de Ceros y Polos.

La función: podemos reescribirla como: .

Matemáticamente será igual a F(Z) = (Z + 3) debido a que la función tiene un cero y un

polo en Z = 1 que se cancelan mutuamente (cancelación de polos y ceros). Desde el

punto de vista físico ambas funciones pueden no ser equivalentes, por ejemplo si F(Z)

fuese la función de transferencia de un sistema eléctrico en este caso, no es común que el

polo y el cero permanezcan en un mismo lugar; un cambio de temperatura, podría causar

que ellos se movieran de forma diferente y en ese caso no es correcto cancelar los polos y

ceros que se encuentran en el mismo lugar.

5.6. Repetición de polos y ceros.

F(Z) puede tener más de un polo o más de un cero en un mismo punto. F(Z) = Z2 tendrá

dos ceros en el origen y , tendrá cuatro polos en el origen.

Cap 3-Ejerc.18. Determinar el polo y su orden para: .

Polo en Z = 2: Polo de orden 3 en Z0 = 2.

Cap 3-Ejerc.19. Localizar y clasificar Puntos Singulares de:

19.1. .

3Z – 2 = 0 Z = 2/3. Cero de orden simple; n = 1.

Z = 1 Polo de orden 2; Z = – 1 Polo simple; Z = 4 Polo simple.

19.2. .

; Z = 0 Cero de orden 1. Z = i2 y Z = – i2 Polos de orden 2.

19.3. G(Z) = (Z – Z0)nF(Z) y F(Z0) 0.

Z0 es un Cero de la Función G(Z) y es un Polo de la Función 1/G(Z).

Cap 3-Ejerc.20. El Punto de Ramificación de una función F(Z) multívoca es un Punto Singular.

Cap. 3 - 12



20.1. . Z = 0 es un Punto de Ramificación y es un Punto Singular.

20.2. . Z = 3 es un Punto de Ramificación y es un Punto Singular.

20.3. w = Ln(Z2 + Z – 2). Z = 1 y Z = – 2 son Punto de Ramificación, donde: Z2 + Z – 2 = 0.

Cap 3-Ejerc.21. Determinar la continuidad de:

21.1. en Z = i2.

F(Z) no es contínua en Z = i2, pero si

la redefinimos asignándole el valor del límite en Z = i2 será contínua. Redefinimos F(Z)

para que sea continua en Z = i2:

21.2. en Z = i.

F(i) = 3i, . Limite no coincide con F(Z), la misma no es continua.

21.3. en Z = i.

3 -2 8 -2 53i - 3 - 2i 2 + 5i - 5

i 3 - 2 + 3i 5 - 2i 5i 0

. Redefinimos F(Z) asignándole el

valor obtenido al calcular el límite en Z = i, donde existe una singularidad removible.

Cap 3-Ejerc.22. Analizar la singularidad de , en Z = 2.

En Z = 2 existe una singularidad esencial.

Cap. 3 - 13



Si F(Z) unívoca tiene un Punto Singular (polo) Z0, puede ser punto singular evitable. O

punto de singularidad esencial, si no podemos encontrar un entero n > 0 tal que:

.

5.7. Singularidad en el infinito.

El tipo de singularidad de F(Z) en Z = es el mismo como el de en w = 0.

Cap 3-Ejerc.23. Determinar los ceros y polos de:

23.1. F(Z) = Z3. Si Z = 0 es un Cero de F(Z); Z = Polo de orden 3.

23.2. . Z = 0 Polo de orden 3 en

23.3. . Z = 1 es un cero de F(Z). Z = –1 es un polo de F(Z).

Cap 3-Ejerc.24. Determinar Ceros y verificar que son reales para:

24.1. F(Z) = senZ

k = 0; 1; 2;……

i2Z = i2k Z = k. Los ceros de F(Z) = senZ serán: Z = 0; ; 2;……

24.2. F(Z) = cosZ.

k = 0; 1; 2;…

i2Z = i(2k+1) Z = (k + 1/2). Los ceros cosZ serán: Z = ; 3;

5……

Cap. 3 - 14



Cap 3-Ejerc.25. Encontrar los puntos singulares de:

25.1.

Los ceros de senZ son: Z = 0; ; 2;…… Puntos de discontinuidad de F(Z).

25.2. .

Los ceros de cosZ son: Z = ; 3; 5Puntos de discontinuidad de

F(Z).

25.3.

puntos de discontinuidad. Z = i. Polos de orden 1.

25.4. .

; . Z = 2i Punto de singularidad removible.

25.5. .

Ceros de F(Z) N(Z) = 0 . Z = 3/2 es un cero de orden 1.

Polos de F(Z) D(Z) = 0 . Z1 = –1 + i; Z2 = –1 – i. Polos de orden 1.

Singularidad Esencial

25.6. .

Ceros de F(Z) N(Z) = 0 ; Z1 = i1,15; Z2 = – i1,15.

Polos de F(Z) D(Z) = 0 ; Z1;2 = 2; Z3;4 = 2i

25.7. .

Puntos de discontinuidad: senZ = 0 Z = 0; ; 2;…… Z = k

25.8. .

Ceros: Z1 = i Z2 = – i.

Polos: Z1 = – 2,08 Z2 = 1,04 + i 1,801 Z3 = 1,04 – i1,801.

Son Puntos de discontinuidad esencial.

Cap. 3 - 15

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puntos de

en el plano

para el cual

valor de gt

pequeo podremos

punto de ramificacin

determinar

cancelacin