Hacia un nuevo encuentro de religión, ciencia y ... · LIMITES DE FUNCIONES DE MAS DE UNA ... puntos en Rn pero se diferencian en que en la bola abierta los puntos de la frontera

Notas Sobre Varias Variables Reales

Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

32

UNIDAD 2

LIMITES DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE

CONTENIDOS:

Norma de un vector. Distancia en Rn. Bola abierta, bola cerrada. Límite cuando la variable

toma valores en un conjunto de puntos de S. Límite cuando se aproxima a través de dos

conjuntos diferentes de puntos. Aplicaciones económicas: alternativas presupuestarias,

alternativas de producción. Continuidad

COMENTARIOS:

“Hacia un nuevo encuentro de religión, ciencia y espiritualidad Para La Nación por Ana

María Llamazares…..Desde 1974, se celebran en Inglaterra los Congresos Internacionales

de Místicos y Científicos. Entre las declaraciones que el encuentro señala: “La mente

científica puede atravesar la puerta de lo infinitesimal hacia lo infinito. El místico,

adentrándose en él y entrando en un estado de percepción liberada de los sentidos, puede

descubrir que forma parte de todo lo que existe. El físico subatómico, utilizando métodos

de observación que van más allá de la percepción ordinaria, experimenta la realidad como

una totalidad orgánica armoniosa¨. También señala que “nunca podrá subrayarse bastante la

importancia de este avance científico hacia un modelo de realidad que es esencialmente

espiritual”… En medio de la caída de las instituciones y la crisis de paradigmas, no es

casual este resurgimiento de la espiritualidad. La realidad nos muestra que está llegando la

hora del reencuentro. Y estos dos campos históricamente enfrentados –la ciencia y la

religión-, estas dos vías de conocimiento que aprendimos a pensar como irreconciliables,

pueden hoy tender nuevos puentes hacia una ampliación de la conciencia individual y

colectiva” LA NACIÓN 2/8/2013

LA “OBSESIÓN INFINITA” DE YAYOI KUSAMA

Obsesión Infinita, más que una instalación, es una muestra de sus obras cuyo estilo

conquistó, en 1957, a los críticos de arte en Nueva York; fue entonces cuando la artista

japonesa tuvo la oportunidad de conocer a diversas personalidades artísticas de la época:

Andy Warhol, Donal Judd, Claes Oldenburg y Joseph Cornell. Se dice que su visita a la

Gran Manzana fue definitiva no sólo en su arte, pues ahora es considerada como una de las

artistas que innovaron el Pop Art. www.culturacolectiva.com

http://www.culturacolectiva.com/


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33

DESARROLLO:

Norma de un vector:

Sea P= (x1 ; x2 ; x3 ;........ ; xn-1 ; xn) perteneciente a Rn

, la norma del vector P está dada por:

n

i

ixP1

2

Nótese que es el producto escalar del vector P con el mismo vector P.

Ejemplo:

Sea 83213;2;1222 PP

Distancia –no dirigida- entre dos puntos:

Sean P=(x1 ; x2 ; x3 ;........ ; xn-1 ; xn) y Q=(y1 ; y2 ; y3 ;........ ; yn-1 ; yn) ambos pertenecientes a

Rn

, la distancia entre ambos está dada por:


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34

n

i

ii yxQP1

2

Nótese que mide la longitud del segmento de recta que queda determinado por dichos

puntos.

Definición: Si A es un punto en Rn y r es un número positivo, entonces la bola abierta

B(A;r) se define como el conjunto de todos los puntos de P en Rn tales que AP <r

A(x0; y0)

r

Definición: Si A es un punto en Rn y r es un número positivo, entonces la bola cerrada

B[A;r] se define como el conjunto de todos los puntos de P en Rn tales que AP r

A(x0; y0)

r

Cuál es la similitud y cuál es la diferencia entre ambas Ambas consisten en un conjunto de

puntos en Rn pero se diferencian en que en la bola abierta los puntos de la frontera no

pertenecen a dicho conjunto y sí pertenecen a la bola cerrada. O sea si estamos en R2, la

frontera es una circunferencia con centro en A, si estamos en R3 la frontera es una esfera

con centro A, y así sucesivamnte.

Nota: Téngase presente, que los pares (x1, y1) pertenecientes al círculo de Centro (x0, y0) y

radio r, verifican la siguiente condición:


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35

22

01

2

01 ryyxx

1°) Analice cuál de los siguientes pares se encuentran a una distancia menor a 4 unidades

del par (1; 2):

1°.1) (1 ; 0)

1°.2) (3 ; 2)

1°-3) (-1 ; 0)

1°.4) ( 0.5 ; 3)

1°.5) (-2 ; 10)

1°.6) Qué similitudes encuentra entre los dos primeros pares y qué diferencias entre

éstos y los restantes –respecto de su posición en un sistema cartesiano-

1°.7) Enumere por lo menos tres pares que disten 4 unidades del par (1; 2) –todos

ellos pertenecen a la frontera de la bola cerrada B[(1; 2); 4]-.

1°.8) Cuántos pares cumplen con esta condición

Solución:

Para ello debemos analizar la distancia que existe entre los pares citados y el par (1;2);

recuerde que la distancia entre P y Q se mide a partir de:

2

21

2

21 yyxxPQ

1°.1) Analice si el par (1 ; 0) se encuentra a una distancia menor a 4 unidades del par (1; 2):

242011210122

);)(;(

O sea la distancia entre ambos pares no es menor a 2 unidades.

1°.3) Analice si el par (-1 ; 0) se encuentra a una distancia menor a 4 unidades del par (1;

2):

2242442011210122

*);)(;(

O sea la distancia entre ambos pares no es menor a 2 unidades.

2°) A continuación se adjunta un plano de la ubicación de los countries del Gran Buenos

Aires.


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36


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37

Debido a la poca legibilidad del plano, la tarea que se propone –inicialmente era sobre

countries- es:

2°.1) Cuáles son las ciudades más alejadas de la Capital Federal En qué zona se

encuentran y cómo fueron graficados por el periódico para mayor comprensión por

parte de los lectores

2°.2) Liste las ciudades que están a una distancia de la Capital Federal, menor que la

distancia existente entre Cañuelas y la Capital Federal. Qué método implementó

para realizar la tarea

2°.3) Cómo puede asociar esta tarea con los conceptos de distancia desarrollados en

la materia

2°.4) Cuántos caminos indicados en el mapa concurren en Cañuelas Pueden existir

más caminos Cuántos caminos más pueden existir

2°.5) Señale todos las ciudades que distan aproximadamente, menos de 20 Kms. de

la Capital Federal, sabiendo que Adrogué dista aproximadamente 20 Kms. de la

Capital Federal.

3°) Suponga usted, que tiene que calcular aproximadamente el consumo de nafta de un

vehículo que debe recorrer un camino para la distribución de su mercadería. Para realizar el

trabajo, desprecie tiempos de espera, suponga que existen caminos que describen líneas

rectas entre todos los puntos que debe unir y que existe relación directa entre distancia y

consumo de nafta. El camino está dado por el orden de la lista

Ciudad Coordenadas con respecto a la Capital (0;0)

1-San Isidrito (inicio) (22; -5)

2-Floridita (10; 2)

3-San Martincinto (5; 6)

4-San Justito (-2; 15)

5-Lomitas del Zar (-16; 12)

6-Congresito (fin) (0; 0)

DEFINICIÓN DE LÍMITE DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE REAL:

* - Sea f una función de n variables definida en alguna bola abierta B(A;r), excepto

posiblemente en el punto A mismo. Entonces, el límite de f(P) cuando P tiende a A es L y

se expresa como

LPflímAP

)(

si para cualquier ε>0, no importa cuán pequeña sea, existe una δ>0 tal que

si LPfAP )(0


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38

* - Sea f una función de dos variables definida en algún disco abierto B((x0;y0) ;r), excepto

posiblemente en el punto (x0;y0) mismo. Entonces, el límite de f(x;y) cuando (x;y) tiende

a (x0;y0) es L y se expresa como

Lf(P)límAP

si para cualquier ε>0, no importa cuán pequeña sea, existe una δ>0 tal que

si εLf(P)δ)y(y)x(x0 2

0

2

0

ENUNCIADOS DE TEOREMAS DE LOS LIMITES DE FUNCIONES

* - Si m, n y p son constantes cualesquiera

pnbma

pnymxlímb)(a;y)(x;

*- Si L

f(x)límb)(a;y)(x;

y si M

g(x)límb)(a;y)(x;

, entonces:

ML

g(x)f(x)límb)(a;y)(x;

ML**


Si n>0 y n entero

nnL

f(x)lím

b)(a;y)(x;

Si 0M

ML //


Si n>0 y n entero

L

f(x)límb)(a;y)(x;

Con la restricción de que si n es par L>0.

En los ejercicios 4 a 10; evalúe el límite dado mediante el empleo de los teoremas límites:

4°) 22

(1;2)y)(x;2yxy3xlím

92*22*11*3

2ylímxylím3xlím2yxy3xlím

22

2

(1;2)y)(x;(1;2)y)(x;

2

(1;2)y)(x;

22

(1;2)y)(x;


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39

5°) 22

(2;-3)y)(x;y2y6xlím

Respuesta.:39

6°) 4yx

4y6xlím

2)(2;y)(x;

Respuesta: 3

10

7°) 12y4x*3y*2xlím 2

(1;2)y)(x;

Respuesta: -9

8°)

2

πxsen*eelím

yx

(0;0)y)(x;

Respuesta: 2

9°) 22yxlnlím;1)(e;y)(x;

*

Respuesta: 9

10°)

yx

1-yxlím

2

)(1;y)(x;

2

1

Respuesta: 2

1

En los ejercicios 11 a 15 establezca el límite determinando una δ>0 para cualquier ε>0 tal

que se cumpla la definición respectiva.

11°) 5221

yxlímyx );();(

22122142141252 yxyxyxyxyx )()(

Observe que se agrupa en términos del par en estudio, en este caso el (1;2).

Pero:


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40

222

222

2122

2111

yxyy

yxxx

Por lo tanto:

52

32221

21022

yx

yx

yx

Con lo cual podemos afirmar que 5 es el límite de la función; o sea, los resultados que

arrojará la función para cualquier par que diste del par (1;2) menos de δ ó 1 –la distancia

que resulte menor- serán valores que distarán de 5 menos de ε.

12°) 184631

yxlímyx );();(

Respuesta: 10

13°) 522

21

yxlím

yx );/);(

221122142141252 2222 yxx)y()x(yxyxyx

Si:

22

210 yx

222

222

2122

2111

yxyy

yxxx

Y si δ<1, se tiene:

31

3113

311

212121

111

11

x

x

x

x

x

x

Aquí se intenta encontrar una cota para el valor absoluto de la suma entre x y 1; pues dicha

expresión se encuentra en la expresión general inicial.

Por lo tanto:


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41

52

51

55232211

yx

mínSi

yxx

);(,

14°) 222

11

yxlím

yx );();(

Respuesta: );(6

1

mín

15°) 422

42

yxxlím

yx );();(

Respuesta: );(8

1

mín

16°) Determine el límite, por definición, de:

xyy2x3)y;x(f para x1 e y2

Solución:

Como la función está definida para todo par perteneciente a R2, podemos obtener el valor resultante de aplicar dicha relación al par (1;2):

52*12(2)3(1)f(1;2)

Ahora bien debemos aplicar la definición de límite doble; si el límite existe –en este caso

debe ser igual a 5- se tendrá que para toda distancia mayor a cero (denotada por ) existe

una distancia también mayor a cero(denotada por ) de manera tal, que si se toman pares

que disten del par (1;2) menos de , los resultados que arroja la función en dichos pares

distan del límite –en nuestro caso 5- menos de .

O sea:

222xyy21x35xyy2x3 )(

Si se saca factor común convenientemente, y si se suma cero de la forma:-2+2.

Se tiene que:

2xy2y21x3222xyy21x3 )()()(

Si se saca factor común nuevamente y de manera conveniente.


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42

Ahora bien, se debe lograr obtener todos los sumandos medidos respecto del par (1;2), por

lo tanto -xy debe reemplazarse por la forma -(x-1)*(y-2), pero para ello, como se debe

mantener la igualdad es necesario realizar las operaciones que generen el neutro para cada

caso.

Se tiene que:

2yx2xy2y1x ))((

Con lo que es evidente que si sustituimos –x*y por –(x-1)*(y-2) deberemos sumar el

opuesto de 2x, el opuesto de y y el opuesto de –2; por lo tanto se llega a:

)()()(*)()()(

)(*)()()()()(

2y1x22y1x2y21x3

2yx222y1x2y21x32xy2y21x3

Nuevamente factorizando convenientemente. Y por último se tiene que:

22222

22222222

222222

822312212

1221122213

212212213

212212213

212212213

*)()()()(

)()(*)()()()()()(

)()()(*)()()(

)()()(*)()()(

)()()(*)()()(

xyyx

xyyxxyyx

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

Ahora bien, ya se ha logrado la relación general, vea que es una relación cuadrática, que

tiene dos raíces, pero como una de ellas es negativa se deshecha pues estamos hablando de

soluciones referidas a distancias (>0), por lo tanto se tiene:

0164 ;

Pero si se tiene en cuenta que 9

εδε9δ8δδ δδ1δ 22

Y de ambas maneras queda demostrado que el límite efectivamente es 5.

Y se denota:

5xy2y3xlímy)f(x;lím(1;2)y)(x;(1;2)y)(x;

Sea ε=0.1, se tiene que δ=0.012480529.....

Si se toma el par (1.001;2) que dista del par (1;2) menos de δ indicado, se tiene:

ε0.10.0015-5.001

5.0012*1.0012(2)3(1.001)f(1.001;2)



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43

ε0.10.015-5.01

5.012*1.012(2)3(1.01)f(1.01;2)

Si se toma el par (1;2.001) que dista del para (1;2) menos de δ indicado, se tiene:

ε0.10.0015-5.001

5.0012.001*12(2.001)3(1))f(1.;2.001

17°) Determine el límite, por definición, de:

xy5y3xy)f(x; para x1 e y2

Solución:

Como la función está definida para todo par perteneciente a R2, podemos obtener el valor resultante de aplicar dicha relación al par (1;2):

92*15(2)3(1)f(1;2)

Ahora bien debemos aplicar la definición de límite doble; si el límite existe –en este caso

debe ser igual a 9- se tendrá que para toda distancia mayor a cero (denotada por ) existe

una distancia también mayor a cero(denotada por ) de manera tal, que si se toman pares

que disten del par (1;2) menos de , los resultados que arroja la función en dichos pares

distan del límite –en nuestro caso 9- menos de .

O sea:

11053953 xyyxxyyx

Si se saca factor común convenientemente, y si se suma cero de la forma: 3-3

Se tiene que:

2251311053 xyyxxyyx )()(

Si se saca factor común nuevamente y de manera conveniente.

Ahora bien, se debe lograr obtener todos los sumandos medidos respecto del par (1;2), por

lo tanto xy debe reemplazarse por la forma (x-1)*(y-2), pero para ello, como se debe

mantener la igualdad es necesario realizar las operaciones que generen el neutro para cada

caso.

Se tiene que:

2221 yxxyyx ))((

Con lo que es evidente que si sustituimos x*y por (x-1)*(y-2) deberemos sumar el opuesto

de -2x, el opuesto de -y y el opuesto de 2; por lo tanto se llega a:


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

44

222251322513 yxxyyxxyyx )()()()(

Por último, factorizando convenientemente, se tiene que:

22222

22222222

222222

825312212

1221125213

212212513

212212513

*)()()()(

)()(*)()()()()()(

)()()(*)()()(

)()()(*)()()(

xyyx

xyyxxyyx

yxyxyx

yxyxyx

082

Ahora bien, ya se ha logrado la relación general, vea que es una relación cuadrática, que

tiene dos raíces, pero como una de ellas es negativa se deshecha pues estamos hablando de

soluciones referidas a distancias (>0), por lo tanto se tiene:

0164 ;

Pero si se tiene en cuenta que 9

εδε9δ8δδ δδ1δ 22

Y de ambas maneras queda demostrado que el límite efectivamente es 9.

Y se denota:

9xy5y3x-límy)f(x;lím(1;2)y)(x;(1;2)y)(x;

Sea ε=0.1, se tiene que δ=0.012480529.....


92*1.015(2)3(1.01)f(1.01;2)

ε0.10.029-8.98


9.012*0.995(2)3(0.99)f(0.99;2)

ε0.10.019-9.01

APLICACIONES ECONOMICAS

18°) El costo de un producto viene dado por los costos de los insumos que intervienen en su

producción.

La relación del costo del producto viene dada por la regla:

y*4xy)C(x;C(P)

donde:


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Daniela Parada

45

x: es el costo de uno de los insumos e

y: es el costo del otro insumo.

Qué posibilidades alternativas de costos de insumos encuentra para que el costo del

producto no difiera en más de 0,1 u.m. del costo 400 u.m. correspondiente a los costos

(x=10; y=10)

Solución:

Analicemos cuál es el valor para la función de costos, cuando los costos de los insumos son

10 u.m. para cada uno de ellos.

40010*10*4C(10;10)C(P)

Veamos si el límite de la función dada es 400, cuando el par (x;y) tiende al par (10;10).

Para ello realicemos las siguientes operaciones:

ε80δ4δ40δ40δ4δ10)-40(y10)-40(x10)(y*10)4(x

80040y40x10)(y*10)4(x400-y*4x

22

Ahora bien, Si 84

848041 22

Con lo cual queda demostrado que el límite de la función –cuando tomamos pares (x;y)

cercanos al par tiende al par (10;10) - existe y que su valor es 400, lo cual se denota por:

400

y*4xy)C(x;(10;10)y)(x;(10;10)y)(x;

límlím

Por lo tanto existen ilimitadas combinaciones de costos para ambos insumos que arrojan

costos del producto cercanos 400; y tan cercanos a éste valor como uno quiera siempre y

cuando el par correspondiente a los costos de insumos se encuentre del par (10;10) a una

distancia menor que δ, con 84

Por ejemplo si ε=0,1, 0,00119

O sea si toma el par correspondiente a los costos de insumos: (10,001;10), el costo del

producto diferirá de 400 u.m. en menos de 0.1 u.m

Pruebe usted con otras alternativas de costos para ambos insumos.

19°) El costo de un producto viene dado por los costos de los insumos que intervienen en su

producción.

La relación del costo del producto viene dada por la regla:

y*0.5xy)C(x;C(P) 2

donde:

x: es el costo de uno de los insumos e


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46

y: es el costo del otro insumo.

Qué posibilidades alternativas de costos de insumos encuentra para que el costo del

producto no difiera en más de 0,1 u.m. del costo 500 u.m. correspondiente a los costos

(x=10; y=10)

Solución:

Analicemos cuál es el valor para la función de costos, cuando los costos de los insumos son

10 u.m. para cada uno de ellos.

50010*10*0.5C(10;10)C(P) 2

Veamos si el límite de la función dada es 500, cuando el par (x;y) tiende al par (10;10).

Para ello realicemos las siguientes operaciones:

50050y100x10xy5x0.5x10)(y*10)0.5(x 222 y

Por lo tanto:

0y100x10xy5x10)(y*10)0.5(x500-y*0.5x 222 5

Y:

1000100y-100x-10xy10)-10)(y-10(x

500100x5x10)5(x 22

Por lo tanto:

150δ15δ0.5δ

10)-50(y10)-100(x10)-10)(y-10(x10)-5(x10)(y*10)0.5(x

500-1000-50y100x10)-10)(y-10(x10)-5(x10)(y*10)0.5(x

0y100x1000-100y100x10)-10)(y-10(x500100x10)-5(x10)(y*10)0.5(x

500-y*0.5x

23

22

22

22

2

5

Pero:

165.6165.5150δ15δ0.5δ1 Si 23

Por lo tanto 500 u.m. es el límite, o sea, se pueden encontrar ilimitadas alternativas de

costos para los insumos, de manera tal que el costo del producto no difiera de 500 u.m. en

más de 0.1 u.m.


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47

Es claro que el costo para el insumo de x puede variar menos que el costo para el insumo de

y, ya que aquél influye potenciándose en forma cuadrática en tanto que el costo de y influye

potenciándose linealmente.

Y se denota:

500y*0.5xlímy)C(x;lím 2

(10;10)y)(x;(10;10)y)(x;

Por ejemplo:

05500,01000010*10.0001*0.510)C(10.0001;C(P) 2

499.959.999*10*0.5C(10;9.99)C(P) 2

20°) Las cantidades producidas de un producto vienen dadas por las cantidades de los

insumos que intervienen en su producción.

La relación de las cantidades producidas del producto viene dada por la regla:

2y5x y)Q(x;Q(P)

donde:

x: es la cantidad de uno de los insumos e

y: es la cantidad del otro insumo.

Qué posibilidades alternativas de cantidades de insumos encuentra para que la cantidad

producida del producto no difiera en más de 0,1 u.m. de la 700 u.m. correspondiente a las

cantidades de insumos: (x=100; y=100)

TEOREMA:

Si la función f tiene diferentes límites cuando (x;y) se aproxima a (x0;y0) a través de dos

conjuntos diferentes de puntos que tiene a (x0;y0) como punto de acumulación, entonces

y)f(x;lím)x;(xy)(x; 00

no existe

En los ejercicios 21 a 23 demuestre que para la función dada, y)f(x;lím(0;0)y)(x;

no existe.

21°)22

22

yx

y3xy)f(x;

2

Sea S1, el conjunto de todos los pares de la forma (x;0)

Sea S2, el conjunto de todos los pares de la forma (0;y)

33

2

32

2

022

22

00

1

x

xlím

yx

yxlím

x

SP

P );(

2

1

22

32

2

022

22

00

2

y

ylím

yx

yxlím

x

SP

P );(


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48

Ya que

f(P)lím

1SP

(0;0)(P)f(P)lím

SP

(0;0)(P)

y)f(x;lím

(0;0)y)(x; no

22°) 342

44

yx

yxy)f(x;

*

00

0

2

1

six)x;x(six)x;x/()y;x(S

);x/()y;x(S

Respuesta: no coinciden los límites los cuales toman valor: 0 y 8

1 respectivamente.

23°) 226

9

yx

yxy)f(x;

*

);/();(

);/();(

3

2

1 0

xxyxS

xyxS

Respuesta: no coinciden los límites los cuales toman valor: 0 y 4

1 respectivamente.

En los ejercicios 24 a 25 demuestre que y)f(x;lím(0;0)y)(x;

existe.

24°)22

22

yx

x*yyxy)f(x;

*

02x

2xlím

yx

xxlímy)f(x;lím

2

3

x)(x;

(0;0)y)(x;22

33

x)(x;

(0;0)y)(x;

x)(x;

(0;0)y)(x;

Por lo tanto si existe el límite debe ser cero.

22

22

222222

22

22

22

22

yx

yx

yyxyxx

yx

yxyx

yx

x*yyx *


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

49

A continuación se muestran distintas visiones de la ley, generadas con planilla de cálculo

25°)22

yx

y3xy)f(x;

*

Respuesta: 3

Series1

Series4

Series7

-1

-0,5

0

0,5

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,5-1

0-0,5

-0,5-0

-1--0,5Series1

Series2

Series3

Series4

Series5

Series6

Series7

Series8

Series9

-1

-0,5

0

0,5

1

1 2 3 4 56

78

9

0,5-1

0-0,5

-0,5-0

-1--0,5


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

50

26°) Determine si existe el límite de f(x;y) cuando (x;y) tiende al par (0;0) siendo

22

22

yx

yxy)f(x;

*

0límyx

xxlímy)f(x;lím

22

22

SP

(0;0)y)(x;

SP

(0;0)y)(x;

11

0

0x

*

Por lo tanto si existe el límite debe ser cero.

222

22

2222

22

22

yxyx

yxyx

yx

yx *

Series1

Series4

Series7

-3

-2

-1

0

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2-3

1-2

0-1

-1-0

-2--1

-3--2


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

51

27°) En una empresa se tiene que la función de costos de producción de una unidad viene

dada por la ley:

321321 47,12,225,0);;( vvvvvvC

27°.1) Determinar el límite del costo de producción, para el caso que el valor del insumo

uno (v1) sea 10 u.m.; el valor del insumo dos (v2) sea 8 u.m. y para el valor del insumo

tres (v3) sea 3,5 u.m.:

1;92,3

92,347,12,225,0)8(10)5,3(47,1

)5,3(10)8(2,2)5,3()8(1025,0

)5,3(47,1)8(2,21025,05,347,182,21025,0

)5,3(47,1)8(2,2)10(25,0)5,3(47,1)8(2,2)10(25,047,12,225,0

145,56,175,247,12,225,0245,2547,12,225,0245,25:;

2

2

2

1

2

3

2

3

2

1

2

2

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1321

321321

321321321

mínvvv

vvvvvv

vvvvvv

vvvvvv

vvvvvvvvvC

Por lo tanto queda demostrado que :

245,25);;( 321)5,3;8;10();;( 321

vvvClímvvv

Se presenta un ejemplo en ecxel para profundizar desde lo numérico el concepto de límite.

Series1

Series7

Series13

Series19

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

0,4-0,5

0,3-0,4

0,2-0,3

0,1-0,2

0-0,1


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

52

v1 v2 v3 C(v1;v2;v3)

Distancia

entre el

Costo en la

Tríada y

elLímite,

(ε)

Distancia entre la

Tríada y

(10;8;3,5), (δ) ε/3,92

9,999718 7,9079 3,5002 25,0426035 0,2023965 0,092100649 0,051632

10,00003 8,00003 3,44956 25,1709277 0,0740723 0,05044002 0,018896

10,0023 7,9821 3,4923 25,194876 0,050124 0,019621162 0,012787

9,999 7,99023 3,49012 25,2087324 0,0362676 0,013930804 0,009252

10 7,99 3,5 25,223 0,022 0,01 0,005612

10 8,01 3,5 25,267 0,022 0,01 0,005612

10 8 3,49 25,2303 0,0147 0,01 0,00375

10 8 3,51 25,2597 0,0147 0,01 0,00375

10,00003 8,00003 3,50546 25,2531007 0,0081007 0,005460188 0,002067

9,99 8 3,5 25,2425 0,0025 0,01 0,000638

10,01 8 3,5 25,2475 0,0025 0,01 0,000638

10 7,999 3,5 25,2428 0,0022 0,001 0,000561

10 8,001 3,5 25,2472 0,0022 0,001 0,000561

9,9939 8,00034 3,49945 25,2434145 0,0015855 0,006134175 0,000404

10 8 3,499 25,24353 0,00147 0,001 0,000375

10 8 3,501 25,24647 0,00147 0,001 0,000375

9,999708 8,000069 3,500762 25,2461989 0,00119894 0,000818944 0,000306

9,999 8 3,5 25,24475 0,00025 0,001 6,38E-05

10,001 8 3,5 25,24525 0,00025 0,001 6,38E-05

10 7,9999 3,5 25,24478 0,00022 1E-04 5,61E-05

10 8,0001 3,5 25,24522 0,00022 1E-04 5,61E-05

10 8 3,4999 25,244853 0,000147 0,0001 3,75E-05

10 8 3,5001 25,245147 0,000147 0,0001 3,75E-05

10,00006 7,999932 3,500027 25,2449056 9,4351E-05 9,71231E-05 2,41E-05

9,9999 8 3,5 25,244975 2,5E-05 1E-04 6,38E-06

10,0001 8 3,5 25,245025 2,5E-05 1E-04 6,38E-06

27°.2 )Explicar qué indica la siguiente expresión:

245,25);;( 321)5,3;8;10();;( 321

vvvClímvvv

Si se toma una tríada que diste de (10;8;3,5) en menos de ε/3,92, seguro que el costo dista

de 25,245 en menos de ε.


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

53

Por ejemplo la tríada (10,00001;7,999999;3,5) dista de (10;8;3,5): 1,00504E-05<0,00375

=ε/3,92 y el costo en dicha tríada del costo en la tríada referente 4,47E-07 que resulta ser

menor a 0,0147= ε

27°.3) Y; si ε≥0,5 La empresa revisará el proceso productivo:

Cuándo revisará la empresa el proceso productivo?

Cuando las tríadas de valores de insumos difieran de (10;8;3,5) en por lo menos

0,127551=0,5/3,92, ya que el costo diferirá en por los menos 0,5 u.m.

28°) a) Calcular y probar por definición 𝑙𝑖𝑚(𝑥,𝑦)→(1,2) 5𝑥 + 𝑦2

Si existe, debería ser:

95lim 2

)2;1();(

yx

yx

Series1

Series4

Series7

0

5

10

15

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

15-20

10-15

5-10

0-5


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

54

Para probar, se tiene que:

0

5

10

15

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

15-20

10-15

5-10

0-5


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

55

}1 ;10

{

:

*105*5)2(

:)2(

52y

:queasegurar puede se Entonces

542y4-35-

:drigurosiday acidadperder versin pero

542y4-3

:semejante ddesigualda una obtiene se ddesigualda la a 2)yobtener (para 4 suma se si

12-y-1-

:

12

:

2

:

)2(2*5)1(

:

2122

2111

)1(2*21545545595

222

222

222

mín

Entonces

enretomando

queafirmarpuedeSe

y

implica

y

Pero

y

Entonces

yxyy

yxxx

Pero

yyxyxyxyx

b) Sea 휀 = 0,2 Dar un par ordenado que diste del par (1,2) en menos del 𝛿 correspondiente

al 휀 dado.

Cualquier par de la forma:


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

56

0}1;10

2,0min{ 210/;

2;0}1;10

2,0min{1

0}1;10

2,0min{2;1

22

yxyxo

o

c) Si la función dada en a) fuera la función 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 de producción de un producto, siendo 𝑥

el costo de uno de los insumos que interviene en su producción e 𝑦 el costo de otro de los

insumos que interviene en su producción. ¿Qué interpretación le da a lo contestado en b)?

Si se desea un costo que difiera de 9 u.m. en una diferencia menor, ya sea en más o en

menos, de 0,2 u.m:

c.1) el costo del insumo x, si el costo del insumo y es 2 debe diferir de 1 en menos del

min{δ;1}

c.2) el costo del insumo y, si el costo del insumo x es 1 debe diferir de 2 en menos del

min{δ;1}

c.3)la suma de las diferencias de los cuadrados de cada uno de los costos respecto de los

costos dados por el par: (1,2) debe ser menor al cuadrado de δ

TEOREMA:

Si la función g es una función de dos variables y by)f(x;lím)x;(xy)(x; 00

, f es una función de

una sola variable continua en b, entonces:

y)g(x;límfy)g(x;flímb)fy)(x;gflím)x;(xy)x;)x;(xy)(x;)x;(xy)(x; 000000

(

En los ejercicios 27 a 30 muestre la aplicación del teorema referido al límite de

composición de funciones, donde una de ellas es una función de una sola variable para

obtener el límite.

29°) yx

ln2)(ln4;y)(x;elím

Si se define: f(x;y)=x+y, se tiene que

ln2ln4yxlímln2)(ln4;y)(x;

como ex+y

es continua en ln4+ln2, entonces:


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

57

8242424

** lnlnlnln eeeyx

ln2)(ln4;y)(x;elím

30°)y

xlímyx

1

22

tan

);();(

Si se define:y

xyxf ),( ;

122

y

xlímyx );();(

Como tan-1

(x) es continua en 1, entonces:

4111

22

)(tantan

);();( y

xlím

yx

31°)2

33

210

yxlím

yx

);();(

Donde ║x║ denota parte entera de x.

Respuesta: -17

32°)2211 5

16

yxlím

yx );();(

Respuesta: 2

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE

DEFINICIÓN:

Supóngase que f es una función de n variables y A es un punto en Rn. Entonces se dice que f

es continua en el punto A si y solo si se cumplen las tres siguientes condiciones:

1º - f(A) existe

2º - f(P)límAP

; existe

3º - f(A)f(P)límAP


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

58

Si la función f es discontinua en (x0;y0), pero y)f(x;lím)y;(xy)(x; 00

existe, se dice que f tiene

una discontinuidad eliminable en (x0;y0). Si la discontinuidad no es eliminable se llama

discontinuidad esencial.

En los ejercicios 33 a 39 determine los puntos en los que la función es continua.

33°) 12

3 2

y

xyxf );(

);();/();(/);();(2

1012 xyxyxyyxyxDomf

Por lo tanto f(x;y) es continua para todo par (x;y) tal que (x;y)≠(x;0.5).

34°) x

yyxf cos);(

Respuesta: (x;y)≠(0;y)

35°) )ln();( 229 yxyxf

Respuesta: Continua en todo par (x;y) interior a la C((0;0);3).

36°)

f(x;y)

);();(;

);();(;**

000

003

22

yxsi

yxsiyx

yx

Sugerencia: tenga en cuenta el ejercicio 25.


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

59

1º - f(0;0) existe

2º - f(P)lím(0;0)P

; existe

3º - f(0;0)f(P)límP

);( 00

Por lo tanto f(x;y) es continua.

37°)

f(x;y)

);();(;

);();(;

000

0022

yxsi

yxsiyx

yx

1º - f(0;0) existe

2º - f(P)lím(0;0)P

; no existe pues:

0x;x

1lím

x

xlím

0x;x

1lím

x

xlím

x2x

x2x

00

00

Entonces f(x;y) es continua para todo par (x;y)єR2, salvo (x;y)≠ (0;0).

38°)

Series1

Series3

Series5

Series7

Series9

-4

-2

0

2

4

1 2 3 4 5 6 7 89

2-4

0-2

-2-0

-4--2


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

60

f(x;y)

);();(;

);();(;

000

0022

22

yxsi

yxsiyx

yx

Respuesta: Entonces f(x;y) es continua para todo par (x;y)єR2, salvo (x;y)≠ (0;0).

39°) 2216 yx

yxyxf

*);(

Respuesta: Entonces f(x;y) es continua para todo par (x;y)єR2, que cumpla: 1622 yx

En los ejercicios 40 a 42, la función es discontinua en el origen debido a que f(0;0) no

existe; determine si la discontinuidad es eliminable o esencial. Si es eliminable, redefina

f(0;0) para que la nueva función sea continua en (0;0).

40°) 22 yyxx

yxyxf

*

*);(

Es evidente que f(0;0) no existe.

Veamos qué sucede si analizamos el límite por diversos caminos de acercamiento al par

(0;0).

Sea el camino: primeramente variando la segunda coordenada y luego variando la primera

coordenada

0002200

xyxlím

yyxx

yxlímíml

*

*

Sea el camino: (x;mx)

)()(*

*

***

**2022

2

02200 11 mm

mlím

mmx

xmlím

xmxmxx

xmxlímíml

xxmxx

O sea el límite depende del valor de m, o sea depende de la pendiente de la recta elegida;

por lo tanto depende del camino elegido y entonces podemos afirmar que y)f(x;lím(0;0)y)(x;

no existe.

Estamos ante un caso de discontinuidad esencial.

41°) 22

23 4

yx

yxxyxf

**);(


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

61

Respuesta: f(0;0) no existe; pero 5

0;y)f(x;lím(0;0)y)(x;

Estamos ante un caso de

discontinuidad eliminable.

42°) 46

3

yx

yxyxf

);(

Es evidente que f(0;0) no existe.

Veamos qué sucede si analizamos el límite por diversos caminos de acercamiento al par

(0;0).

Sea el camino: primeramente variando la segunda coordenada y luego variando la primera

coordenada

00046

3

00

xyxlím

yx

yxlímíml

*

Sea el camino: (x;x3)

1

1

160126

6

0436

33

00 3

)(

*

xlím

xx

xlím

xx

xxlímíml

xxxx

O sea el límite depende del camino elegido y entonces podemos afirmar que y)f(x;lím(0;0)y)(x;

no existe. Estamos ante un caso de discontinuidad esencial.


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

62

43°) Sea:

22 yx

yxyxf

);(

43°.a) Estudiar si es continua la función dada en (1;1), de no serlo defina el tipo de

discontinuidad.

43°.b ) Si fuera posible defina una nueva función que sea continua en (1;1).

43°.c ) Analice en qué otros pares (x;y)εR2, se presentan situaciones semejantes.

Respuesta:

43°.a) La discontinuidad es eliminable.

43°.b)

f(x; y)

);();(;

);();(;

112

1

1122

yxsi

yxsiyx

yx

-50

0

50

-50

0

50


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

63

43°.c) Para todo par (x;y)εR2, tal que yx

APLICACIONES ECONOMICAS:

44°) El precio de dos productos viene dado por la siguiente regla:

y200y x100 si

200)100)(y3(x200)3(y100)-2(x140600

200y0y 100x0 6xy si3y2x y)f(x;

0y0,x Si0

2

2

a) analice si es continua cuando se trata del par (100;200)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,85

0,925

1

1,075

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

0 #¡DIV/0! 5 2,5 1,666667 1,25 1 0,833333 0,714286 0,625 0,555556 0,5

0,2 5 #¡DIV/0! 1,666667 1,25 1 0,833333 0,714286 0,625 0,555556 0,5 0,454545

0,4 2,5 1,666667 #¡DIV/0! 1 0,833333 0,714286 0,625 0,555556 0,5 0,454545 0,416667

0,6 1,666667 1,25 1 #¡DIV/0! 0,714286 0,625 0,555556 0,5 0,454545 0,416667 0,384615

0,8 1,25 1 0,833333 0,714286 #¡DIV/0! 0,555556 0,5 0,454545 0,416667 0,384615 0,357143

1 1 0,833333 0,714286 0,625 0,555556 #¡DIV/0! 0,454545 0,416667 0,384615 0,357143 0,333333

1,2 0,833333 0,714286 0,625 0,555556 0,5 0,454545 #¡DIV/0! 0,384615 0,357143 0,333333 0,3125

1,4 0,714286 0,625 0,555556 0,5 0,454545 0,416667 0,384615 #¡DIV/0! 0,333333 0,3125 0,294118

1,6 0,625 0,555556 0,5 0,454545 0,416667 0,384615 0,357143 0,333333 #¡DIV/0! 0,294118 0,277778

1,8 0,555556 0,5 0,454545 0,416667 0,384615 0,357143 0,333333 0,3125 0,294118 #¡DIV/0! 0,263158

2 0,5 0,454545 0,416667 0,384615 0,357143 0,333333 0,3125 0,294118 0,277778 0,263158 #¡DIV/0!


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

64

b) Qué sucede si, para las ventas por grandes cantidades se decide realizar una

bonificación que termina generando una regla de acuerdo a la expresada a

continuación:

y200y x100 2xy si-6xy3y

200y0y 100x0 6xy si3y2x y)f(x;

0y0,x Si0

2

22x

Respuesta:

a) la regla es continua, por lo tanto no alienta al cliente a comprar más de la cantidad

que necesita, pues el costo se incrementaría para él.

b) La regla no es continua. Observe que:

140600200100 );(f y que

101400200101 );(f ;

con lo cual alienta al cliente a realizar compras por mayores volúmenes, generando

consecuentemente, para el oferente ingresos menores por mayores cantidades

vendidas.

Hacia un nuevo encuentro de religión, ciencia y ... · LIMITES DE FUNCIONES DE MAS DE UNA ... puntos en Rn pero se diferencian en que en la bola abierta los puntos de la frontera

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