Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia Mecânica - EMA-084N Cap. 2.- Matrizes e Sistemas Lineares 2.1. Definição Representações Matriz retangular A, m x n (eme por ene) linha = rows coluna = columns 2.2. Tipos Matriz linha Matriz coluna Matriz quadrada de ordem n Matriz unitária Matriz diagonal Matriz é um conjunto organizado de números dispostos em linhas e colunas. A= [ a 11 a 12 ⋯ a 1n a 21 a 2n ⋮ ⋮ a m1 a m2 ⋯ a mn ] A ou [ A ] ou Aou ∥A∥ a ij é o elemento da matriz localizado na linha i e na coluna j A = a ij para i = 1 me j = 1 n m = 1 n = 1 m = n Os elementos da diagonal principal são: a ij para i = j Os elementos da diagonal secundária são: a ij para i + j = n + 1 m = n = 1 Os elementos são: a ij = 0 para i ≠ j José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 1/24 A=[ 123 ] A= [ 1 2 3 ] A= [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] [ 159 ] [ 357 ] A=[ 3 ] A= [ 1 0 0 0 5 0 0 0 9 ]
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Cap. 2.- Matrizes e Sistemas Lineares - Site Pessoal ... · Matriz retangular A, m x n (eme por ene) linha = rows coluna = columns 2.2. Tipos Matriz linha Matriz coluna Matriz quadrada
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Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia Mecânica - EMA-084N
Cap. 2.- Matrizes e Sistemas Lineares
2.1. Definição
Representações
Matriz retangular A,m x n (eme por ene)
linha = rowscoluna = columns
2.2. Tipos
Matriz linha
Matriz coluna
Matriz quadrada de ordem n
Matriz unitária
Matriz diagonal
Matriz é um conjunto organizado de números dispostos em linhas e colunas.
A=[ a11 a12 ⋯ a1n
a21 a2n
⋮ ⋮a m1 am2 ⋯ amn
]A ou [ A] ou A ou ∥A∥
a ij é o elemento da matriz localizado na linha i e na coluna j
A = a ij para i = 1m e j = 1n
m = 1
n = 1
m = n
Os elementos da diagonal principal são: a ij para i = j
Os elementos da diagonal secundária são: a ij para i + j = n + 1
m = n = 1
Os elementos são: a ij = 0 para i≠ j
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 1/24
A=[ 123]
A=[123]
A=[1 2 34 5 67 8 9]
[159 ]
[357 ]A=[ 3]
A=[1 0 00 5 00 0 9]
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2.2. Tipos(cont.)
Matriz identidade
Matriz triangular superior (U)(“upper”)
Matriz triangular inferior (L)(“lower”)
Matriz nula
Matriz opostaA = -B
Matriz idênticaA = B
Matriz cheia
Matriz esparsa
Matriz de banda
Matriz tridiagonal
É a matriz diagonal onde: a ij = 1 para i= ja ij = 0 para i≠ j
Os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.
Os elementos acima da diagonal principal são nulos.
Todos os elementos são nulos: a ij = 0 V i e j
A é oposta de B se: a ij = −b ij V i e j
A é idêntica a B se: a ij = bij V i e j
São matrizes com a maior parte dos elementos não nulos.
São matrizes com a maior parte dos elementos nulos
São matrizes quadradas esparsas cuja diagonal principal e algumas diagonais paralelas a principal são compostas de elementos não nulos.
[1 1 0 01 2 2 00 2 3 30 0 3 4]
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 2/24
U =[1 2 30 8 50 0 2]
L=[2 0 03 5 01 2 1]
I 3=[1 0 00 1 00 0 1]
N =[0 00 0]
L=[2 0 03 5 01 2 1]L=[2 0 03 5 01 2 1]
A=[1 −37 2]
B=[−1 3−7 −2]
[a bc d ]=[1 2
5 7] a=1 ;b=2 ;c=5 ; d=7
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2.3. Operações
Adição
C = A + B
Propriedades
SubtraçãoC = A - B
Multiplicação por um número kC = k B
Propriedades
Obs: a e b podem ser números complexos
MultiplicaçãoC = A.B
Definição indicial
Obs: matrizes quadradas devem ter a mesma ordem para poderem ser multiplicadas
As matrizes são do mesmo tamanho m x n.
c ij = aij bij V i e j
A + B = B + A comutativaA + (B + C) = (A + B) +C associativaA + 0 = AA+(-A) = 0
C = A - B = A + (-B)
c ij =k b ij V i e j
a (b A) = (a b) Aa (A + B) = a A + a B(a +b) A = a A + b A1.A = A
A = a ij m× p
B = b jk p×n
C = cik m×nonde cik = a i1 b1k ai2 b2k a i3 b3k aip b pk
c ik = ∑j=1
p
aij b jk
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 3/24
[1 21 3][4 7
5 8]=[5 96 11]
[2 3 0 1 ][7 2 5 3 ]=[ 9 5 5 4]
[4 72 30 5]−[7 1
3 27 0]=[−3 6
−1 1−7 5]
3[2 31 −4]=[6 9
3 −12] 2[235]4[ 1
1−2]=[ 8
102 ]
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2.3. Operações (cont.)
MultiplicaçãoC = A.B
Definição esquemática
Wikipédia, 2009
Propriedades
Matriz TranspostaAt
Propriedades
Matriz simétrica
Matriz anti-simétrica
c ik = ∑j=1
p
a ij b jk
A.B ≠ B.A não é comutativaA.B = 0 ≠ > A = 0 ou B = 0
(A.B).C = A.(B.C) associativa(A+B).C = A.C+B.C distributiva a direitaC.(A+B) = C.A+C.B distributiva a esquerda(k.A).B = A.(k.B) = k.(A.B) k = constante real ou imagináriaA.In = Im.A = A A é uma matriz m x n
At = (bji) , tipo m x n, é a matriz transposta de A = (aij), tipo m x n onde,
bij = aij V i e j
(A+B)t = At + Bt
(kA)t = kAt
(A.B)t = Bt.At
É a matriz quadrada cuja transposta é igual a matriz original:At = A ou seja, aij = aji V i e j
É a matriz quadrada cuja transposta é igual a oposta da matriz original:At = -A ou seja, aij = -aji V i e j
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 4/24
a i1 a i2 a i3 a ip ⋅
b1k
b2k
b3k
...bpk
c ik
i−ésima linha de A k−ésima linha de B elementoik de C
[1 1 22 3 1].[4
05]=[14
13]2 x3 3 x1 2 x1
A.B=[1 23 5].[4 6
7 8]=[−18 2247 58]
B.A=[4 67 8].[1 2
3 5]=[22 3831 54]
[1 01 0].[0 0
1 1]=[0 00 0]
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2.4. Determinantes
Propriedades
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 5/24
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2.5. Matrizes inversíveis
Gabriel Cramer1704-1752
Matriz Inversa (A-1)
Matriz de Cofatores (A')
Matriz Adjunta (Ᾱ)
2.6. Matrizes no SciLab
A−1 = 1D
A
pois,
A A=A A=D I n
D A−1 = AD A A−1 = A AD I n = A A
D A−1 = AD A−1 A = A AD I n = A A
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 6/24
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2.7.5. Aplicações
Diagrama de corpo livre
Força de uma mola
K é a constante da mola
Força da gravidade
g é aceleração da gravidade
A matriz de coeficientes K é chamada de matriz de rigidez do sistema e é simétrica.
Modelo de um sistema mecânico
2a Lei de Newton no equilíbrio
∑ F ext=0
Massa 1: ∑ F x=2F 1−P1−2F2−W 1
Massa 2: ∑ F x=2F 2− P2−2F 3−W 3
Massa 3: ∑ F x=2F 3−P3−W 3
F 1=K1 x1F 2=K 2 x2−x1F 3=K 3 x3−x 2
W 1=m1 gW 2=m2 gW 3=m3 g
O sistema de equações lineares que modelam o problema é:
2 K1K 2 x1−2K2 x2=P1m1 g−2K2 x12K 2K 3 x2−2K3 x3=P2m2 g−2K3 x22K3 X 3= P3m3 g
2[ K1K 2 −K 2 0−K 2 K 2 K3 −K 3
0 −K 3 K 3][ x1
x2
x3]=[ P1
P2
P3][m1 g
m2 gm3 g ]
2 K X =P W
● para P = 0 o sistema está em equilíbrio devido ao peso próprio;● para uma dada carga P os decolamentos X são únicos;● para uma carga cíclica P os deslocamentos X também são cíclicos.
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 8/24
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2.7.5. Aplicações (cont.)
Ponte de Wheatstone
Ao longo de qualquer circuito envolvendo a fonte.
Nós do circuito = pontos A, B, C e D na figura
Nó DNó B
Circuito ADCCircuito ABC
Circuito ADBC
Usar substituição progressiva!
Instrumentação:
Uma Ponte de Wheatstone (ao lado) é um circuito elétrico usado para medição de sinais de vários tipos de sensores (de termistores a células de carga). O medidor de tensão, de resistência Rg, fica entre os terminais D e B da ponte. A fonte fornece uma força eletromotriz E ao circuito.
Vamos mostrar que para uma condição de equilíbrio na ponte, temos:
I g=0 ⇒R4
R3=
R1
R2
As leis que regem o fenômeno físico são:
Lei de Ohm V =R.I
Lei de Kirchhoff ∑ I nó=0
O sistema de equações lineares que modelam o sistema é:
I 1−I 2− I g=0I 3−I 4I g=0R1 I 1R2 I 2= ER3 I 3 R4 I 4=E
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2.7.6. Métodos Numéricos de Solução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Exemplos de métodos diretos
Métodos Indiretos
Exemplos de métodos indiretos
(SOR = successive over relaxation)
2.7.6.1.. Métodos Diretos
A solução é encontrada por métodos algébricos com um número fixos de operações. A solução é exata.
Recomendados para:
• Sistemas lineares pequenos (n<=1000).• Matriz de coeficientes do tipo matriz cheia, onde a maioria dos
elementos são não nulos (aij ≠ 0).
• Método da Eliminação de Gauss• Método da Eliminação de Gauss-Jordan• Método da Inversão da Matriz de Coeficientes• Método da Decomposição LU
A solução é encontrada por tentativa e erro, através de um processo iterativo. Uma solução é assumida e substituída no sistema de equações para o cálculo do erro. Este erro é usado para melhorar a estimativa. O procedimento é repetido até que o erro calculado seja menor que um valor pré-definido. A solução final é aproximada.
Recomendados para:
• Sistemas lineares grandes (n>1000).• Matriz de coeficientes do tipo matriz esparsa , onde a maioria dos
elementos são nulos (aij =0).
• Método de Iteração de Jacobi• Método de Iteração de Gauss-Siedel• Método da Relaxação• Método da Super-Relaxação Sucessiva (SOR)
Serão discutidos os Métodos de Gauss e o da Decomposição LU.
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 10/24
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2.7.6.11.. Método de Gauss
Método da Eliminação de Gauss
Método da Triangularização de Gauss
Carl Friedrich Gauss1777-1855
Fórmula generalizada de transformação:
Lik=mik
k−1 Lkk −1 Li
k −1
k = índice de iteração;i = índice da linha.
Obs.: nenhum elemento da diagonal principal pode ser nulo.
É um método direto de solução de sistemas lineares.
Consiste em transformar um sistema de equações lineares em um outro sistema triangular superior, equivalente ao primeiro, e de solução direta por substituição retroativa.
[a11 a12 ⋯ a1n b1
a21 a22 ⋯ a2n b2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮an1 ⋯ ⋯ ann bn
] [1 c12 ⋯ c1n d 1
0 1 ⋯ c2n d 2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 ⋯ 1 d n
]Etapas:
1) Escrever a matriz aumentada C0= [A : B]
2) Pivotamento
• Escolher o pivô (elemento da diagonal principal) a011
• Encontrar os multiplicadores para eliminar os termos a021 e a0
31
m210 =−a21 /a11
m310 =−a31 /a11
3) Transformar as linhas para obter a nova matriz aumentada C1
L11=L1
0
L21=m 21
0 L10L2
0
L31=m31
0 L10 L3
0
4) Repetir as operações de pivotamento e transformação para o novo pivô até chegar a última linha da matriz aumentada.
L12= L1
1
L22= L2
1
m321 =−a32 /a22 L3
2=m321 L2
1L31
5) Resolver o sistema triangular superior por substituição retroativa.
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 11/24
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Exercício: Obter uma equação para calcular o número de operações aritméticas necessárias para a solução de um sistema linear de ordem n pelo método de eliminação de Gauss.
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 13/24
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2.7.6.1.1. Método de Gauss (cont.)
No SciLab:
function x = GaussElim(n,a,b)
// Matriz aumentada
c = [a b];
// Triangularização da matriz// aumentada
for k=1:n-1 for i=k+1:n mik=c(i,k)/c(k,k); c(i,k) = 0; for j = k+1:n+1 c(i,j)=c(i,j)-mik*c(k,j); end end end
// Substituição retroativa
x=zeros(n,1);x(n)=c(n,n+1)/c(n,n);for i=n-1:-1:1 soma = 0; for j=i+1:n soma = soma +c(i,j)*x(j); end x(i)=(c(i,n+1)-soma)/c(i,i);end
endfunction
Algorítimo de Triangularização de Gauss para Sistema Lineares
Entradas:Ordem do sistema linear nMatriz de coeficientes a[n,n]Matriz de termos independentes b[n,1]
Saída:Matriz de incógnitas x[n,1]
Início
// Definir os termos da matriz aumentadac[n,n+1]= a[n,n]:b[n,1];
// Triangularização da Matriz aumentada
Para k=1 até n-1 faça início Para i=k+1 até n faça início mik=c(i,k)/c(k,k); c(i,k) = 0; Para j = k+1 até n+1 faça início c(i,j)=c(i,j)-mik*c(k,j); fim; fim; fim;
// Substituição retroativa
x(n)=c(n,n+1)/c(n,n);Para i=n-1 até 1 faça início soma = 0; Para j=i+1 até n faça início soma = soma +c(i,j)*x(j); fim; x(i)=(c(i,n+1)-soma)/c(i,i); fim;Mostre a matriz x[n,1];
fim.
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 14/24
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2.7.6.1.2. Método de Decomposição LU
A matriz U é única!
Método de solução
l ij=1 se i= jl ij=0 se i j
u ij=0 se i j
Decomposição usando a igualdade LU = A
Forma indicial
Substituição progressiva
Substituiçãoretroativa
Solução
AX =B
A=[2 3 −11 0 20 3 −1] X =[ x1
x2
x3] B=[4
32]
A=LULUX =BLY =BUX =Y
LY =B Y UX =Y X
A=LU
L=[1 0 0l 21 1 0l 31 l 32 1] U =[u11 u12 u13
0 u22 u23
0 0 u33] A=[2 3 −1
1 0 20 3 −1]
u11=a11 u12=a12 u13=a13
l 21 u11=a21 ⇒ l 21=a21 /u11
l 21 u12u22=a22 ⇒ u22=a22−l 21u12
l 21 u13u23=a23 ⇒ u23=a23−l 21 u13
l 31u11=a31 ⇒ l 31=a31 /u11
l 31u12l 32 u22=a32 ⇒ l 32=a32−l 31u12/u22
l 31u13l 32u23u33=a33 ⇒ u33=a33−l 31u13−l32 u23
para i j u ij=aij se j=1 e u ij=a ij−∑k=1
j −1
l ik ukj se j1
para i j l ij=aij
u jjse j=1 e l ij=a ij−∑
k=1
j−1
l ik ukj/u jj se j1
LY =B
L=[1 0 01/2 1 00 −2 1 ] Y =[ y1
y2
y3] B=[4
32]
UX =Y
U =[2 3 −10 −3/2 5/20 0 4 ] X =[x1
x2
x3] Y =[4
14]
X t=[1 1 1 ]
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 15/24
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2.7.6.1.2. Método de Decomposição LU (cont.)
Rotina de Decomposição LU em código do SciLab
//Rotina de Decomposição LU para Sistema Lineares//entrada Ordem do sistema linear n// Matriz de coeficientes a[n,n] // Matriz de termos independentes b[n,1] //saída Matriz de incógnitas x[n,1]
function x = DecoLU(n,a,b)
// Decomposição de A em L(matriz triangular inferior) e U(matriz triangular superior)// LU=A
l = zeros(n,n); // zerar matrizes L e Uu = zeros(n,n);
for i=1:n // diagonal de L igual a 1 l(i,i)=1;end
j=1; // cálculo dos elementos de L e U para j=1for i=1:n if i<=j then u(i,j)=a(i,j); else l(i,j)=a(i,j)/u(j,j); endend
for i=1:n // cálculo dos elementos de L e U para j>1 for j=2:n SumLU=0; for k=1:j-1 SumLU=SumLU+l(i,k)*u(k,j); end if i<=j then u(i,j)=a(i,j)-SumLU; else l(i,j)=(a(i,j)-SumLU)/u(j,j); end endend // Substituição progressiva LY=B
y=zeros(n,1);y(1)=b(1); for i=2:n SumLY=0; for j=1:i-1 SumLY = SumLY + l(i,j)*y(j); end y(i)=b(i)-SumLY; end // Substituição retroativa UX=Y
x=zeros(n,1);x(n)=y(n)/u(n,n);for i=n-1:-1:1 SumUX = 0; for j=i+1:n SumUX = SumUX +u(i,j)*x(j); end x(i)=(y(i)-SumUX)/u(i,i);end
endfunction// Jose Eduardo Mautone Barros 22/04/2010
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 16/24
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2.7.6.2. Métodos Iterativos
Exemplo:
AX =BAX −B=0AX IX −B= IXX = AI X −B
2.7.6.2.1. Método de Jacobi
Carl Gustav Jakob Jacobi 1804-1851
Obs: aii ≠ 0 V iSenão é necessário reagrupar as equações do sistema original.
Os métodos iterativos consistem em transformar o sistema de equações lineares original para uma outra forma que permita obter novas estimativas de valores do vetor de incógnitas X a partir de uma estimativa anterior de valores do vetor X.
A X =BparaX =F X D
A partir de uma aproximação inicial:
X 0 t=[ x10 x2
0 x30 ... xn
0 ]
obtemos a nova estimativa ,
X 1=F X 0 De repete-se até que,
máx∣x ik 1− x i
k∣≤oukM
onde, ε = tolerância na soluçãoM = número máximo de iterações
Seja o sistema de equações lineares (LES),
a11 x1a12 x2a13 x3 ...a1n xn=b1
a21 x1a22 x2a23 x3 ...a2n xn=b2
...an1 x1an2 x2an3 x3 ...ann xn=bn
explicita-se as incógnitas x da seguinte forma:
x1=b1−a12 x2a13 x3 ...a1n xn
a11
x2=b2− a21 x1a23 x3 ...a2n xn
a22
...
xn=bn− an1 x1an2 x2...an n−1 xn−1
ann
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 17/24
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2.7.6.2.1. Método de Jacobi (cont.)
Método do Resíduo Ri
(k)
É mais atual!
O método iterativo de Jacobi consiste em:
a) Partindo-se de uma aproximação inicial
X 0=x10 , x2
0 , x30 , , xn
0t
b) Calcula-se a sequência de aproximações
X1,X2, X3, ..., Xk
utilizando as equações:
x1k1= 1
a11b1−a12 x2
k −a13 x3k −a14 x4
k −−a1n xnk
x2k1= 1
a22b2−a21 x1
k −a23 x3k−a2 x4
k−−a2n xnk
x3k1= 1
a33b3−a31 x1
k −a32 x2k−a34 x4
k−−a3n xnk
xnk1= 1
annbn−an1 x1
k −an2 x2k−−an n−1 xn−1
k
c) Continuar a gerar aproximações até que uma das seguintes condições for satisfeita:
máx∣x ik 1− x i
k∣≤oukM
onde,
ε = tolerânciaM = número máximo de iterações
x ik1=x i
kRi
k
a iii=1..n
Rik=bi−∑
j =1
n
a ij x jk i=1..n
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 18/24
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2.7.6.2.2. Método de Gauss-Siedel
Método do Resíduo Ri
(k)
É mais atual!
Seja o sistema:
A X = B
O método iterativo de Gauss-Siedel consiste em:
a) Partindo-se de uma aproximação inicial
X 0=x10 , x2
0 , x30 , , xn
0t
b) Calcula-se a sequência de aproximações
X1,X2, X3, ..., Xk
utilizando as equações:
x1k1= 1
a11b1−a12 x2
k −a13 x3k −a14 x4
k −−a1n xnk
x2k1= 1
a22b2−a21 x1
k 1−a23 x3k−a2 x4
k−−a2n xnk
x3k1= 1
a33b3−a31 x1
k 1−a32 x2k1−a34 x4
k −−a3n xnk
xnk1= 1
annbn−an1 x1
k1−an2 x 2k1−−ann−1 xn−1
k 1
c) Continuar a gerar aproximações até que uma das seguintes condições for satisfeita:
máx∣x ik 1− x i
k∣≤oukM
onde,
ε = tolerânciaM = número máximo de iterações
x ik1=x i
kRi
k
a iii=1..n
Rik=bi−∑
j =1
i −1
a ij x jk1−∑
j =i
n
a ij x jk i=1..n
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 19/24
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2.7.6.2.3. Super-relaxação Sucessiva (SOR)
SOR = successive over-relaxation
Método do Resíduo Ri
(k)
w< 1 sub-relaxadow> 1 super-relaxado
Alteração do método de Gauss-Siedel para acelerar a convergência.
x ik1= xi
k Ri
k
a iii=1..n
Rik=bi−∑
j =1
i −1
a ij x jk1−∑
j =i
n
a ij x jk i=1..n
Fator de relaxação (ω)
0 < w < 2
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 20/24
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2.8. Problemas de Autovalor
Exemplo
ϖ = freqüência naturalϕ = ângulo de faseXi = amplitude da oscilação da massa i
Seja o sistema de equações lineares:
A X = B
● Se det A ≠ 0○ Ele admite solução única
● Se: det A = 0○ Ele pode não admitir solução○ Ele pode admitir um número infinito de soluções○ Ele pode admitir ao menos a solução trivial, X = 0, se o
sistema for homogêneo, A X= 0
Para sistemas homogêneos, com det A = 0, só existe a solução trivial se os coeficientes aij forem fixos. Se alguns destes coeficientes for função de uma variável, tal como lambda (λ), existem outras soluções diferentes da trivial. Neste caso, a matriz X é chamada de autovetor e os valores de lambda são chamados de autovalores do sistema de equações lineares.
O sistema da figura acima é constituído de duas massas e duas molas idênticas. As equações diferenciais que descrevem o seu estado (posições das massas) são obtidas a partir do balanço de forças em cada massa do sistema. Do seguinte modo,
Md 2 x1
d t 2 = K x 2−x1−K x1=K x2−2 K x1
Md 2 x2
d t 2 =−K x2−x1=K x1− K x2
As solução isoladas dos sistemas massa-mola são:
x1= X 1 sen t x1= X 1 cos t x1=− X 1 2 sen t
x2= X 2 sen t x2= X 2 cos t x2=−X 2 2 sen t
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 21/24
KK
M
x
x1x2
M
x1
x2
x1
x2
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2.8. Problemas de Autovalor (cont.)
Definição arbitrária
Problema de Autovalor
Equação característica
Solução Numérica do Exemplo
Autovalores
Substituindo as soluções nas equações diferenciais, temos,
2− X 1− X 2=0−X 11− X 2=0
onde, lambda foi definido como,
= 2 MK
Na forma matricial,
[2− −1−1 1−][ X 1
X 2]=0
ou,
A− I X =0
Esta é a forma clássica do Problema de Autovalor.
A equação característica do problema de autovalor é obtida pela condição de múltiplas soluções, não triviais, para o sistema de equações lineares.
det A− I =0
A solução gera um polinômio da mesma ordem do número de equações do sistema e cujas raízes são os autovalores do sistema de equações lineares homogêneo.
∣2− −1−1 1−∣=0
2−1−−1=0
2−31=0
Assim,
1=2,6180 2=0,3820
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 22/24
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2.8. Problemas de Autovalor (cont.)
Autovetores
Significado físico
Para calcular os autovetores, usamos cada um dos autovalores,
Para λ1 = 2,6180
[−0,6180 −1−1 −1,6180 ][ X 1
X 2]=0
X 2=−0,6180 X 1
Para λ2 = 0,3820
[1,6180 −1−1 0,6180 ][ X 1
X 2]=0
X 2=1,6180 X 1
Considerando X1 = 1 , temos,
X1 = 1 e X2 = -0,6180 para λ1 X1= 1 e X2 = 1,6180 para λ2
● Para λ1 as massas estão se movendo em direções opostas e a amplitude da oscilação da segunda massa é 61,8 % da amplitude de oscilação da primeira massa. A freqüência de oscilação é dada por:
1=1 KM
● Para λ2 as massas estão se movendo na mesma direção e a amplitude da oscilação da segunda massa é 161,8 % da amplitude de oscilação da primeira massa. A freqüência de oscilação é dada por:
2=2 KM
José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 23/24
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Métodos de solução
Solução do problema de autovalor em programas simbólicos
Matlab
Scilab
Obs
O problema é achar os autovalores quando o polinômio gerado é de elevado grau, por exemplo, de ordem 300. Ou seja, possui 300 raízes.
A solução do problema de achar os autovalores pode ser feita através dos seguintes métodos:
● Diretos – solução pela definição ou usando uma modificação da equação característica;
● Indiretos – solução iterativa ou outro método de busca de raízes, tais como,○ Método da potência○ Método do inverso da potência○ Método do deslocamento de autovalores.
eig(A,X)
[erots,X] = spec(A)
Existem problemas de autovalor que não são lineares: