DETERMINANTES
DETERMINANTES
DETERMINANTES Determinante é um número real associado a
uma matriz quadrada.
Notação: det A ou |A|. Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem:
Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o
próprio elemento a11.
Exemplo:
A = ( 3 ) , logo | A | = 3
Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem:
Seja a matriz de 2ª ordem:
|A| =
a11 a12
a21 a22
O determinante associado à matriz A é o
número real obtido pela diferença entre o
produto dos elementos da diagonal
principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária.
a11 a12
a21 a22
= a11 · a22 – a12 · a21
53
27A det A = 7 ·5 – 2 ·3 = 29
Exemplo:
Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem:
Neste caso utilizamos um processo prático chamado Regra de Sarrus.
Seja A uma matriz quadrada de ordem 3:
1º) Repetimos a 1ª e a 2ª colunas à direita da matriz.
2º) Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e
associando o sinal indicado dos produtos, temos:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Sendo uma matriz quadrada de ordem n 2, dizemos que o cofator de é o produto de pelo determinante da matriz que se obtém de A, com a supressão da linha i e da coluna j.
Determinante de uma Matriz Quadrada de ordem n 2 :
Teorema de Laplace
O determinante de matriz quadrada de ordem n 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou
coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.
Dessa forma, para calcularmos o determinante usando a regra de Laplace, escolhemos uma linha ou coluna e o
determinante será a soma do produto dos elementos desta linha ou coluna pelos respectivos cofatores.
)( jiaA
)( jia ji )1(
Exemplo: Calcule o determinante da matriz ,
usando o teorema de Laplace.
125
410
312
A
Solução:
Primeiro devemos escolher uma linha, por exemplo, a 1ª :
det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
det A = 2 . ( -1)1+1 . 1 2
4 1
+ (-1) . ( -1)1+2 .
1
4 0
5 + 3 . ( -1)1+3 .
2-
1 0
5
det A = 2 . 1. (1+8) + (-1).(-1).(0-20) + 3 . 1 . ( 0 –5)
det A = 18 – 20 – 15
det A = - 17
Propriedades dos determinantes
1. Um determinante será nulo quando possuir uma fila
formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou
proporcionais
det A = 0 0
3 5 = (0) (5) – (0) (3)0 = = 0 – 0
1 3 5
3 0 –5
1 3 5
det A =
det A = 0 det A = – ( 0 + 45 – 15 ) ( 15 – 45 + 0 )
2. Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas,
o determinante mudará o sinal.
1 3 5
3 0 –5
2 1 2
det A =
det A = – ( 0 – 5 + 18 ) ( 30 – 15 + 0 )
det A = –28 (– 15 ) det A = – ( 13 )
2 1 2
3 0 –5
1 3 5
det A = ( 0 + 18 – 5 )( 15 + 30 – 0 ) – =
det A = 28 ( 13 )( 15– ) –
3. Se multiplicarmos uma das filas de uma matriz
quadrada por um número k, o seu determinante ficará
multiplicado por k.
det A = 2 4
3 5 = (10) – (12) = –2
det B = 6 12
3 5 = (30) – (36) = –6
k = 3
det B = kdet A
det B = 3(–2) = –6
4. Da propriedade 3, decorre que: det ( kAn ) = kndet An.
A2 = 2 4
3 5 3A2 =
6 12
9 15
det ( 3A2) = 6 12
9 15 = (90) – (108) = –18
det ( 3A2 ) = 32det A2 = 9(–2) = –18
k = 3
5. det A = det AT
1 3 5
3 0 –5
2 1 2
det A =
det A = – ( 0 – 5 + 18 ) ( 30 – 15 + 0 )
det A = –28 (– 15 ) det A = – ( 13 )
1 3 2
3 0 1
5 –5 2
det AT =
det AT = – ( 0 – 5 + 18 ) ( 15 + 30 – 0 )
det AT = –28 (– 15 ) det AT = – ( 13 )
Matriz Transposta de A
6. det ( A B ) = det A det B
A = 2 4
3 5 B =
3 10
1 2
A B = 2 4
3 5
3 10
1 2
;
= 10 28
14 40
det ( A B ) = 400 – 392 = 8
det A det B = (–2) (–4) = 8
7. det In = 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
det I3 = det I3 = 1
8. O determinante de matrizes triangulares e de matrizes
diagonais se resume ao produto dos elementos da
diagonal principal.
5 3 2
0 –2 1
0 0 3
det A = det A = 5 (–2) 3 = –30
Matriz Identidade de Ordem n
Cálculo do determinante através da triangulação
de uma matriz
Propriedade 8: O determinante de matrizes triangulares e de matrizes
diagonais se resume ao produto dos elementos da diagonal principal.
Propriedade 9: Teorema de Jacobi
Seja A uma matriz quadrada, se multiplicarmos todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) por um mesmo número, e somarmos os resultados dos elementos aos seus correspondentes de outra fila (linha ou coluna), obteremos outra matriz B. Entretanto, podemos afirmar que o det A = det B. Isto é, o determinante não se altera.
Matriz inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Essa matriz possuirá
inversa (A–1) se, e somente se, seu determinante for diferente de
zero.
A–1 A = A A–1 = I det A 0.
1. det A–1 = 1
det A , det A 0
2. Se A possuir inversa, essa será única.
Observações: