Caos Caos y y Fractales Fractales Rafael Caballero Roldán
Caos Caos
y y
FractalesFractales
Rafael Caballero Roldán
Fractales ….. ¿qué es eso?Fractales ….. ¿qué es eso?
Definiciones imprecisas: Un fractal es una figura
• Auto-semejante
• Que contiene copias de si misma
• Definida de forma recursiva
Veamos algunos ejemplos
Ejemplo 1: Hoja de helechoEjemplo 1: Hoja de helecho
Ampliar y girar
Ejemplo 1: Hoja de helechoEjemplo 1: Hoja de helecho
En la naturaleza la autosemejanza se
pierde tras unas pocas iteraciones
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/selfsimilar/
Ejemplo 2: ÁrbolesEjemplo 2: Árboles
Desde luego parecen árboles …
Ejemplo 2: ÁrbolesEjemplo 2: Árboles
… pero son ramas …
Ejemplo 3: CostasEjemplo 3: Costas
Un pequeño trozo de costa aumentado resulta igual de “natural” que el trozo mayor
Ejemplo 4: SeñalesEjemplo 4: Señales
La teoría de fractales se aplica a la bolsa, a la previsión de seísmos, etc.
Y aún hay más …Y aún hay más …
Nubes Brécol
Grietas ¡Música!
PeroPero, , ¿todo esto qué tiene que ver con la ¿todo esto qué tiene que ver con la Informática ?Informática ?
Los fractales son fáciles de modelizar mediante la geometría fractal
Esto permite simular en un ordenador sistemas de naturaleza fractal
Aplicaciones:
• Generación de gráficos para representar árboles, montañas, nubes, etc.
• Simulación de evolución de sistemas complejos(terremotos, movimiento de fluidos)
• Otras aplicaciones: algoritmos de compresión …
Geometría FractalGeometría Fractal
Dentro de la geometría fractal podemos distinguir dos tipos de fractales:
• Objetos construidos a partir de copias exactas (escaladas) de si mismos à fractales regulares
• Objetos auto-semejantes, pero que no están construidos sólo a partir de copias exactas de si mismos à fractales no regulares
Fractales RegularesFractales Regulares
Se definen generalmente de la siguiente manera:
• Se parte de una figura inicial
• Se aplican unas reglas de transformación, que generan varias nuevas figuras a partir de la inicial
• A cada una de las nuevas figuras se le aplica de nuevo las reglas de transformación ….. y así hasta el infinito
• Sólo podemos dibujar aproximaciones finitas(unas cuantas iteraciones)
Ejemplo: conjunto de CantorEjemplo: conjunto de Cantor
Definido por Georg Cantor en 1877
Construcción:
El conjunto se obtendría tras infinitas iteraciones
TransformaciónFigura Inicial
1 1/3 1/3
Iteración IteraciónIteración
Reglas de transformación: • Tomar cada segmento actualmente el conjunto
• Dividir el segmento en 3 y eliminar la parte central
Ejemplo: conjunto de CantorEjemplo: conjunto de Cantor
Definición más precisa del conjunto:• Sean c1(x) = x/3, c2(x)=x/3 + 2/3, c(A) = c1(A) U c2(A), p.t. conjunto A
• Definimos C0 = [0,1], Ck+1 = c(Ck) para k=0
• Entonces el conjunto de Cantor es límite de la sucesión {Ck} kà∞
El conjunto está construido a partir de 2 (o 4, o 8 o 16) copias exactas de sí mismo:
x3 x3
Ejemplo: conjunto de CantorEjemplo: conjunto de CantorC0 = (segmento [0,1])
C1 = c(C0) = c1(C0) U c2(C0) = c1( ) U c2( )=
= ( ) U ( ) =
C2 = c(C1) = c( ) = .…. =
Pregunta: Sea C el conjunto de Cantor ¿Cuánto vale c(C) ?
c(C) = c1( ) U c2( ) =
= ( ) U ( ) = = C
El conjunto de Cantor es un punto fijo para la aplicación c
Ejemplo: triángulo de SierpinskiEjemplo: triángulo de Sierpinski
Definido por Waclaw Sierpinski (1882 – 1969)
Construcción:
Figura Inicial Transformación
Ejemplo: triángulo de SierpinskiEjemplo: triángulo de Sierpinski
Triángulo de SierpinskiTriángulo de Sierpinski
Cada triángulo está construido a partir de 3 copias de tamaño ½:
1
Triángulo de SierpinskiTriángulo de Sierpinski
Igual que en el conjunto de Cantor, el triángulo se Puede definir formalmente:
• s1(x,y) = (½ x, ½ y)• s2(x,y) = (½ x + ½ , ½ y)• s3(x,y) = (½ x + ¼ , ½ y + ½ )• s(A) = s1(A) U s2(A) U s3(A)• S0 = , Sk+1 = s(Sk) para k=0• El triángulo de Sierpinski es el límite de {Sk} kà∞
1
s1
s2s3
Triángulo de SierpinskiTriángulo de Sierpinski
Se cumple que:• S0 = • S1 =• S2 =
Si S es es triángulo de Sierpinski, se cumple que s(S) = S
El triángulo de Sierpinski es un punto fijo para la transformacion s
La familia SierpinskiLa familia Sierpinski
Alfombra de Sierpinski :
Cubo de Sierpinski :
Se utiliza en la construcción de circuitos:
Fractales No RegularesFractales No Regulares
Algunos se pueden definir, igual que los regulares como el límite de una sucesión de conjuntos:
• Se parte de una figura inicial (conjunto de puntos)
• A partir del conjunto inicial se genera uno nuevo aplicando un conjunto de funciones, generalmente transformaciones afines:
f(x,y) = +
• Ejemplos: hojas, árboles, etc.
Otros se definen como los puntos para los que una serie converge ( ej.: conjunto de Mandelbrot)
a bc d
x
y
e
f
Ejemplo: hojaEjemplo: hoja
Fractal no regular
Definido mediante 4 funciones
Ejemplo: hojaEjemplo: hoja
Funciones:• f1(x,y) = (0, 0.2y+10 )
• f2(x,y) = (0.85x+0.04y, -0.04x+0.85y+100)
• f3(x,y) = (0.2x-0.26y, 0.23x+0.22y+100)
• f4(x,y) = (-0.15x+0.3y, 0.26x+0.24y+28)
El tallo se logra poniendo la x constante
f1
f2
f1
f3f4
¿Cómo dibujarlos?¿Cómo dibujarlos?
Formalmente, f contractiva si d(a,b) > d(f(a),f(b))para todo a,b (d es una distancia)
Teorema: Sea f una función contractiva en un espacio completo. Entonces:
• f tiene un único punto fijo p, tal que f(p)=p
• Dado un punto x cualquiera, la sucesión
s0 = x, si+1 = f(si), i=0
converge al punto fijo p
¿Cómo dibujarlos?¿Cómo dibujarlos?
El teorema dice que no importa la figura inicial; aplicando las transformaciones acabamos siempre en el punto fijo
Método para dibujar un fractal definido por una serie de transformaciones {f1, f2, ..,fn}:
• Empezar por una figura cualquiera F
• F’ = f1(F) U f2(F) U ….. U fn(F)
• Repetir el paso anterior tomando F = F’
De está forma iremos viendo formarse el fractal, que es el punto fijo de {f1,…..,fn}
Ejemplo: Sierpinski a partir de MandelbrotEjemplo: Sierpinski a partir de Mandelbrot
s1(x,y) = (½ x, ½ y)s2(x,y) = (½ x + ½ , ½ y)s3(x,y) = (½ x + ¼ , ½ y + ½ )
Transformaciones del conjunto de Sierpinski:
Figura inicial: foto de B. Mandelbrot
…
El juego del caosEl juego del caos
El método anterior es válido pero costoso: Incluso si se parte de un solo punto pronto tenemos que trabajar con figuras formadas por muchos puntos
Alternativa propuesta por M. Barnsley: 1. Partir de un punto p cualquiera
2. Elegir una {f1,…,fn} al azar
3. Aplicarla para obtener un nuevo punto p
4. Dibujarlo y repetir el paso 2
Estadísticamente equivale a aplicar todas las funciones, pero es menos costoso
La dimensión de los fractalesLa dimensión de los fractales
La dimensión de los objetos fractales no es obvia:
.Dimensión 0 Dimensión 1 Dimensión 2 Dimensión
¿?
B. Mandelbrot propuso un método para conocer la dimensión de un fractal
La dimensión de los fractalesLa dimensión de los fractales
Idea: Si una figura de dimensión D se puede componer a partir de n copias de escala 1/s se tiene que sD = n . Ejemplos:
• Una línea de longitud 1 se puede componer a partir de 2 copias de longitud ½ (21 = 2 , dimensión 1)
• Un cuadrado de lado 1 se puede componer a partir de 4 cuadrados de longitud ½ (22 = 4, dimensión 2)
• Un cubo de lado 1 se puede componer a partir de 8
cubos de longitud ½ (23 = 8, dimensión 3)
• Un triángulo de Sierpinski de lado 1 se puede componer
a partir de 3 copias de lado ½ (2D=3 ) à D= log 3/log 2
D = 1,584… ¡dimensión fraccionaria! 1
El conjunto de Mandelbrot El conjunto de Mandelbrot
(ejemplo de fractal (ejemplo de fractal no regularno regular))Una charla sobre fractales tiene que mencionar por fuerza el conjunto de Mandelbrot:
¿De donde salen los colores?¿De donde salen los colores?
Normalmente se dibujan:
• Los puntos del conjunto en negro
• Para los que no son del conjunto se elige un color relacionado con el número de iteracionesen el que se ha tenido que |Zn| > 2
• Se trata de que a valores de n similares les correspondan colores similares
Conjunto de MandelbrotConjunto de Mandelbrot
También se pueden hacer representaciones 3D:
Sascha Ledinsky
¿Dónde está la auto¿Dónde está la auto--semejanza?semejanza?
Al aumentar áreas de cerca del borde se encuentran “pequeños” conjuntos de Mandelbrot y muchas maravillas
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/selfsimilar/index.html
CC aa oo s s
La palabra caos se utiliza para describir el comportamiento de sistemas no lineales
Característica de los sistemas no lineales:
Un pequeño cambio en un parámetro produce
un gran cambio en el resultado final
Suelen emplearse para modelar la evolución en el tiempo de procesos complejos: plagas, el clima, movimiento de fluidos, etc.
CC aa oo s s
Un caso: agrupación de partículas con movimiento browniano (ej. Partículas de hollín):
Aspecto fractal
CC aa oo s s
Otro ejemplo interesante: se ha comprobado que la molécula del glucógeno tiene naturaleza fractal:Biophys J, September 1999, p. 1327-1332, Vol. 77, No. 3
The Fractal Structure of Glycogen: A Clever Solution to Optimize Cell Metabolism
Ruth Meléndez, Enrique Meléndez-Hevia, and Enric I. Canela