Caos, Fractales y Cosas Raras - Eliezer Braun

Durante el último cuarto desiglo se ha venidogenerando una revoluciónen el mundo de las ideascientíficas: el estudio delos fractales y el caos. Lasaplicaciones de talesteorías sonverdaderamente enormese incluyen la física, lasmatemáticas, la biología ,

la medicina, la economía lalingüística y otras muchasgamas del saber humano.En todas ellas se dansituaciones que, tratadascon los procedimientos enuso, no pueden serexplicadassatisfactoriamente. Elpropósito del presente libroes ofrecer una explicaciónsomera, accesible a todos,

de los antecedentes dedicha revolución científica.Se tratará en un principioel concepto de fractal sólopara descubrir que lamayoría de las figuras queexisten a nuestroalrededor son fractales yque la excepción son lasfiguras geométricas.Después, tras hacer unarevisión de la mecánica

clásica de Newton y de lasecuaciones que ladescriben, pasaremos aestudiar el concepto delcaos. El comportamientode un cuerpo puede serestable o caóticodependiendo de susparámetros iniciales.Creencia común de loscientíficos es que unateoría que describe los

fenómenos de lanaturaleza pueda predecirel desarrollo futuro delsistema que trata, cosaque, veremos, no es tanexacta como se pensaba yesto tiene numerosasaplicaciones en laastronomía y aun en lamedicina, el estudiar elcomportamiento dinámicode un órgano tan

importante como elcorazón.

La relación estrecha entrelos fractales y el caospuede ser empleada,asimismo, para tratar deexplicar el movimiento dela Bolsa de Valores, laelaboración de mapas, laestabilidad del SistemaSolar y en fin una gama defenómenos muy vasta. La

última palabra sobre estostemas aún no ha sidodicha y queda muchocamino por recorrer.

Eliezer Braun

Caos,fractales y

cosas raras

ePub r1.0lhache16.12.13

Títulooriginal:Caos,fractalesycosasrarasEliezerBraun,1996Diseñodeportada:LauraEsponda

Editordigital:lhacheePubbaser1.0

I.INTRODUCCIÓNHacealrededorde20añosseha estado produciendo unarevolución en el mundo delas ideas científicas que noha sido conocida por elpúblico en general. Hansurgido ideas nuevas muyútiles para describir y

entender la multitud defenómenos que se da endiversas ramas delconocimiento.Nos referimosa los fractales y al caos.Como verá el lector, lasaplicaciones se han dado enlos campos de la física, lasmatemáticas, la biología, lamedicina, la economía, lalingüística, por mencionarsólo algunos. Se podrá

apreciar la gran amplitud detemas que es posible tratarcon estos novedososconceptos.

En todos los campos delconocimiento que hemosmencionado se han dadosituaciones que al sertratadas con losprocedimientosenusonohanpodido ser explicadassatisfactoriamente. Sólo con

el advenimiento de las ideasnuevasesquehasidoposibleprogresarenelconocimientode fenómenos antes nocomprendidos.

En vista de lo antesdicho, consideraremos unagran variedad de fenómenosy situaciones. El propósitodel presente libro es dar unaexplicación somera,accesible al público no

especialista, de losantecedentes de nuestrosujeto de estudio. Seránecesario utilizar algunasoperacionesmatemáticasqueno van más allá de laaritmética; sin embargo, ellector no debe espantarse yaque se le llevará de lamanoenformagradual.

El tratamiento formal delosfractalesydelcaosseha

convertido enuna ramamuycomplejadelasmatemáticas.Por supuesto que noentraremos en estosespinosos temas. Así, en elcaso del caos no trataremosde hablar en términos delespaciofase.Enestelibrolosconceptos detrás de estosformalismosmatemáticoslostrataremos de maneraaccesible.

En el capítuloII serepasan algunos conceptoselementales de la geometríaquenosonconocidos.

En los capítulosIII yIVpresentamos algunos hechosraros que, a pesar de quemucha gente los habíaconocido, no fueron tratadosadecuadamente. La posiciónque asumieron muchoscientíficos fuenohacer caso

a los hechos que no seajustaban con la forma depensar preponderante en suépoca. Una vez que en 1975Benoit Mandelbrot losconsideró a fondo, se inicióla era de los fractales. Estoscasos ilustran una situaciónquehaocurridoenlahistoriade la ciencia muchas veces:setienelaevidenciadealgúnfenómeno,peroéstanoseve

ysesoslayasutratamiento.EnloscapítulosVyVIse

presenta el concepto defractalydesimilitud.Laideade fractal nos puede parecermuy extraña, máxime siempezamos a ver algunasdesuscaracterísticas:haylíneascon longitud y cosassemejantes. Sin embargo,esta extrañeza se debe a quenos hemos limitado

mentalmente a considerarsituaciones que sonrealmente ideales, como lasfiguras geométricas. En lanaturaleza estas figuras sonlaexcepción,mientrasquelamayoría de las figuras quehay a nuestro alrededor sonfractales. Aunque parezcaincreíble, ¡este hecho tancontundente no había sidoconsiderado en serio durante

muchos siglos por lahumanidad!

En el capítuloVII sepresenta el concepto de lascondiciones iniciales, crucialen la descripción defenómenos físicos. Esteconcepto lo descubrió IsaacNewton al resolver lasecuaciones que describen lasleyes que llevan su nombre.Él ya se había percatado de

algunos puntos finos quemencionaremos en estecapítulo.

En los capítulosVIII yIXpresentamos en forma muyelemental, y utilizandoprincipalmente operacionesaritméticas tales comosumas, restas ymultiplicaciones,elconceptode caos.Aquí descubriremoshechos cruciales, como las

bifurcaciones que, con eltiempo, llevan al caos. Nosdaremos cuenta de que elcomportamiento de unfenómeno dado puede serestable o caótico,dependiendo de los valoresde los parámetros que lodescriben.

Una creencia muyimportante en la ciencia esque una teoría que describe

los fenómenos de lanaturaleza debe poder hacerpredicciones acerca deldesarrollo futuro del sistemaque se esté tratando. En elcapítuloX se profundiza loque significa lapredictibilidad. A estoquedan asociados losconceptosdedeterminismoeindeterminismo. Estosconceptos se puntualizan en

ese capítulo y la relaciónentre el caos y los fractalesseilustraenelcapítuloXI.

Los antecedentes que sehan presentado hasta estemomento nos servirán paraaplicarlos en el resto dellibro a una serie desituaciones de grandiversidad y así, en elcapítuloXII presentamos unejemplo de aritmética, la

secuencia de Fibonacci, quesepodríacreerqueessólountemadivertido.Sinembargo,comoseilustraenelcapítuloXIII, su aplicación a laciencia de los materiales,para entender undescubrimiento hecho en1984, es crucial; nosreferimosaunnuevotipodearreglo de la materia que sellamacuasicristal.

En el capítuloXIV seintroduce el conceptomatemático de la ley depotencias,yhacemosverquetiene propiedades fractales.Lasaplicacionesde las leyesde potencias se producen envarios campos, aun en lamúsica,hechoqueseexplicaen el capítuloXV al estudiarla estructura de famosasobras de grandes

compositores.Las características de los

fenómenos caóticos que setrataronenelcapítuloVIII seaplican a varias situaciones.La primera de ellas es laturbulencia, tratada en elcapítuloXV.Desdemediadosdel siglo pasado se habíaintentado sin éxitocomprender este fenómeno.Sóloapartirde ladécadade

1990, con ayuda de losnovedosos conceptos delcaos,sehapodidoempezaravislumbrar lamanera enquese puede entender estefenómeno,cuyacomprensiónes determinante en muchasaplicaciones prácticas como,porejemplo,laaviación.

Otro empleo de las ideasdel caos se hace en labiologíayenparticularenla

medicina, como se puedeapreciar en el capítuloXVII.Fenómenos cardiológicos sehan empezado a ver desdeotras perspectivas que hanpodido dar un entendimientomás profundo delcomportamiento dinámicodel corazón y queposiblemente puedan teneraplicaciones prácticas en eltratamiento de varias

enfermedades.Enlanaturalezabiológica

se han encontrado muchasestructuras fractales.Apesarde que estas estructuras,como por ejemplo la de losbronquios,lashaconocidoelhombre desde tiemposinmemoriales, sucomprensióncomo fractal esmuy reciente. Este tema lotratamosenelcapítuloXVIII.

La aplicación de losfractales y el caos al campode la ingeniería se presentaenloscapítulosXIXyXX.Unproblema importante en laingeniería civil es ladeterminación de estructurasqueporunladoseanligerasyque por el otro puedansoportar cargas pesadas. Pormedio de estructurasfractales es posible alcanzar

tales requerimientos que, enapariencia, soncontradictorios. Por otrolado, el análisis delcomportamiento de sistemascomplejos, como los de unaredeléctrica,porejemplo,haempezado a llevarse a caboenlosúltimosaños,desdelaperspectivaampliatratadaenelcapítuloVIII.Deestemodose ha podido entender que

unapequeñavariaciónenlosvaloresdelosparámetrosquerigen al sistema puedecambiar dramáticamente sucomportamiento. Éste puedepasar de un comportamientoestableaunocaótico.

En el capítuloXXI sepresenta una aplicación delos temas tratados al campodelalingüística,mientrasqueenelXXIIsereseñanalgunos

elementos de la economía.Aquí hablaremos delinteresante caso de lacompañíaque seha formadoen los Estados Unidos, ThePrediction Company, que sededica a predecir elcomportamiento de la Bolsade Valores. El éxitofinanciero de esta empresa,formada por científicos quehan desarrollado el tema del

caos,esalgosorprendente.En el capítuloXXIII

presentamos una maneranovedosa de dibujar mapasgeográficos, basada en lasoperaciones para construirfractales.

El resto del libro sededica a estudiar laestabilidaddelSistemaSolar(capítuloXXIV.)ydealgunosde sus elementos, como los

asteroides (capítuloXXV);deHiperión, que es un satélitede Saturno (capítuloXXVI)yfinalmente de los planetas( cap í t u l oXXVII). Se hadescubiertoenañosrecientesque, desde un punto de vistaque comprende intervalos demillones de años, dentro delSistema Solar sí haycomportamientos caóticos.¿Quéleocurrirá?Éstaesuna

cuestióntodavíanoresuelta.Como podrá apreciar el

lector, la gama de temas esen realidad muy vasta. Unode los puntos interesantes esque todos estos temas, ymuchosotrosqueporfaltadeespacionohemos tratado, serigen por el mismo tipo deleyes. Éste es un grandescubrimiento, hecho enépocamuyreciente,queenel

momentoactualsiguesiendouncapítuloabiertoatrabajosde investigaciónmuy activa,realizados por muchísimoscientíficosentodoelmundo,incluyendo mexicanos. Laúltima palabra sobre estostemas no ha sido dichatodavía; de hecho aún faltamuchoterrenoporrecorrer.

Iniciemos, pues, nuestroviaje por el camino de los

fractalesydelcaos.

II.LAGEOMETRÍAEUCLIDIANA.LOQUENOSENSEÑARON

ENLAESCUELA

El matemático griego

Euclides,quevivióalrededordelaño300a.C.,escribiólosElementos, una de las obrasmás conocidas de laliteraturamundial.Enellasepresentademaneraformalelestudiodelaspropiedadesdelíneas y planos, círculos yesferas, triángulos y conos,etc.; es decir, de las formasregulares. Los teoremas quenos enseña Euclides son los

que generalmenteaprendemos en la escuela.Por citar algunos de losmásconocidos:

a. La suma de los ángulosdecualquiertriánguloes180°;

b. En un triángulorectángulo el cuadradodelahipotenusaesiguala la suma de los

cuadradosdeloscatetos,que es el famosoteoremadePitágoras.

LageometríadeEuclides,además de ser un poderosoinstrumentoderazonamientodeductivo ha sidoextremadamente útil enmuchos campos delconocimiento, por ejemploenlafísica,laastronomía,la

química y diversasingenierías. Desde luego esmuyútilenlasmatemáticas.

Inspiradosporlaarmoníade la presentación deEuclides, en el sigloII seformuló la teoría ptolemaicadelUniverso,segúnlacuallaTierra es el centro delUniverso, y los planetas, laLunayelSoldanvueltasasualrededorenlíneasperfectas,

o sea círculos ycombinacionesdecírculos.

Sinembargo,lasideasdeEuclides constituyen unaconsiderable abstracción dela realidad. Por ejemplo,suponequeunpuntonotienetamaño; que una línea es unconjunto de puntos que notienen ni ancho ni grueso,solamente longitud; que unasuperficie no tiene ancho,

etcétera.Envistadeque el punto,

de acuerdo con Euclides, notiene tamaño, se le asignauna dimensión nula o decero. Una línea tienesolamente longitud, por loque adquiere una dimensiónigual a uno. Una superficieno tiene ancho, por lo quetiene dimensión dos.Finalmente,uncuerposólido,

como un cubo, tienedimensióntres.Dehecho,enla geometría euclidiana lasúnicas dimensiones posiblesson las que corresponden alosnúmerosenteros:0,1,2y3.

En el transcurso deldesarrollo de este libro nosestaremos refiriendo adiversascaracterísticasdelasfigurasacercadelasquetrata

lageometríadeEuclides.

III.EJEMPLOSDEALGUNASCOSASRARASUnasituaciónquenosparececomún es medir algunalongitud; como la de unacosta,entredospuntosAyB(figura1).

Figura1.¿CuáleslalongituddelacostaentrelospuntosAyB?

Una manera de hacerlosería medir la longitud deunalínearectaqueuneAconB(figura2).Sinembargo,la

costa es, en general,irregular,por loqueesclaroque su longitud será mayorque lade la línea rectaentresus dos puntos extremos.PodríamosahoratomarcomounidadunabarraarbitrariadelongitudH,porejemplo.Paramedir la longitudde lacostallevaríamos esta barra a lolargodelacosta(figura3)ycontaríamos las veces que la

barra cabe a lo largo de lacostadesdeAhastaB.Aestenúmero, denotado por L1, lellamamos la longitud de lacosta.

Nos damos cuentainmediatamente de que talnúmero en realidad no es elvalor de la longitud de lacosta, ya que por ejemplo,entrelospuntosAyCdondecayó labarra laprimeravez,

la longitud de ese tramo decostanoesladelabarra.

Para mejorar nuestramedición tomamos otrabarra, de menor longitud,digamos de la décima partede la anterior, H/10, yrepetimos el procedimientoobteniendo para la longitudde la costa el número L2.Nuevamente podemosafirmar, por el mismo

argumento que dimos arriba,que no es exactamente lalongituddelacosta.

Podemos continuarindefinidamente de estamanera, tomando unidadescada vez más y máspequeñas. Intuitivamenteesperaríamosquelasucesiónde valores que se obtenganpara las longitudes de lacosta, medidas de esta

manera, tendería a alcanzarun valor bien definido queseríala«verdadera»longituddelacosta.Sinembargo,estono ocurre. De hecho, lo quesucede es que esta sucesiónde longitudes aumenta cadavez más y más. Es decir, alseguir el procedimientoindefinidamente, la longituddelacostaquesemidesevahaciendocadavezmásymás

grande, esto es, ¡la longituddelacostaentreAyBtiendeaunvalorinfinito!

Este resultado sorpresivose puede explicar comosigue:siprimeroobservamoslacostaenunmapadeescala1/100 000 nos daremoscuenta de que tiene algunasbahías y penínsulas. Si enseguidavolvemosaexaminarlamismacosta,peroahoraen

unmapa que tenga la escalade1/10000,esdecir,enunaescala más amplia,aparecerán característicasque no se veían en el mapaanterior. Así, ahora se vennuevas bahías y nuevaspenínsulas. Si se sigueexaminandolacosta,peroenun mapa que esté a unaescala todavía más grande,digamos de 1/1 000,

aparecerán nuevas bahías ypenínsulasquenoseveíanenninguno de los mapasanteriores. Así podemoscontinuarindefinidamente.

Figura2.Ladistanciarecta

entreAyBnoeslalongituddela

costa.

Figura3.ConlabarradelongitudHsemidecuántasveceséstacabeentreAyB.

En consecuencia, al ircambiando de escala, comovan apareciendo más y másbahías y penínsulaspequeñas,éstascontribuyenala longitud que se estámidiendo.Pormuychicaquesea la nueva bahía openínsula, al ir aumentandola escala, en algúnmomentoaparecerá en el mapa ycontribuiráalalongituddela

costa.Si uno cambiara el

método de medición de lalongitud, también se llegaríaalamismaconclusión.

Otroejemplodeestetipode situación ocurre al tratardemedirlafronteraentredospaíses. Se puede dar unargumento análogo al quepresentamos arriba para labahía y se llega a la misma

conclusión:¡lafronteraentredos países tiene, en rigor,longitudinfinita!

En 1961 el inglés L. F.Richardson presentó unaserie de las medicionesexperimentales que hizo devarias costas, fronteras ycuerpos geométricosregulares. En cada caso fuecambiando el valor de launidaddemedidaH;de esta

forma obtuvo elcorrespondiente valor de lalongitud L que denotamoscomoL(H),puesdependedelaunidadH.Enlafigura4semuestran algunos de susresultados.Sepuedeapreciarque al ir disminuyendo elvalor de H la longitud L vaaumentando.Sinembargo,sepuedeverquelavariacióndeL en ciertos intervalos de H

noesmuypronunciada.Podemos ahora

preguntarnoslosiguiente:¿siaplicamos estas ideas a lamedición del perímetro deunafiguracomouncuadradoo un círculo, no pasará lomismo? La línea (d) de lafigura 4(d) muestra el valorde L para un círculo; se vequeLessiempreelmismo(eigual al valor del perímetro

del círculo, tal como seenseña en los cursos degeometría) en todo elintervalo de valores deH enque se hicieron lasmediciones.Loqueocurreesque en las figurasgeométricas, al iraumentando la escala de laobservaciónNO aparecenestructurasdeltipodebahíaso de penínsulas, que eran

invisibles en la escalaanterior, ya que pordefinición, la línea quedelimitaalafiguracarecedeestas estructuras. Porejemplo, el círculo se definecomo el conjunto de puntosque dista una longitudconstante del centro. Por lotanto, en el círculonopuedehaber algo análogo a unapenínsula,comoenelcasode

lacosta.

Figura4.Lalongituddevariascurvasdependedelalongitudde

medidaH.a)Fronteraentre

PortugalyEspaña.b)CostaoccidentaldeGranBretaña.c)Fronteraterrestrealemana(1900).d)Perímetrodeun

círculo.

Aquí vemos con claridadlo que significa laabstraccióndelarealidadquehizo Euclides, quien no

consideró figuras tales comolas de una costa, sino quesupuso que sus líneas notenían estructuras que eraninvisibles en una escala yvisiblesenotra.Sinembargo,enlarealidad,muchaslíneasque se presentan en lanaturaleza sí tienen estaúltimacaracterística.

En este punto esperamosque el lector se sienta

incómodo. ¿Cómoesposibleque, por ejemplo, la fronteraentre dos países no estéperfectamente determinada?Pues, efectivamente, en loquerespectaasulongitudnoloestá.Richardsonmencionaque cada país da un valordiferente a la longitud de sufronteracomún.Porejemplo,España dice que su fronteracon Portugal mide 987 km,

mientrasquePortugalafirmaque son 1214 km; segúnHolanda su frontera conBélgica mide 380 km,mientrasqueBélgicareclamaque son 449 km. Lo quesucede es que, al hacer lasmediciones,cadapaísutilizó,de hecho, otro valor de launidadH,yportantoobtuvootrovalordelalongitud.

Ladiscusiónanteriornos

lleva a la conclusióninesperadadequelalongituddeciertotipodeobjetos,quemás adelante llamaremosfractales, no tiene un valorbien determinado. Sulongitud depende de launidad H que se escoja. Sidos observadores eligen dosunidades distintas obtendrándos resultados distintos. ¡Yambos observadores tendrán

razón! Es decir, este tipo demediciones no escompletamente «objetivo».Es claro que, en lasrelaciones entre países, sedebe reconocer el carácterespecial de las cantidadesquesevanamediryllegaraun convenio mutuo sobrecuál deberá ser la unidad delongitud que se debeseleccionar.Deestaformase

evitaránambigüedades.

IV.AVECESSEESTÁMIRANDOALGOPERONOSEVE.ALGUNOSCASOS

HISTÓRICOS

Sisesueltaungranodepolenen un vaso de agua seobserva que realiza unmovimiento desordenado eirregular. Se muevesiguiendo una trayectoria enforma de zigzag (figura 5).En un cine, en el haz de luzque envía el proyector hacialapantalla, sepuedeverquelas partículas de polvo queflotan en el aire realizan

también un movimiento enzigzag.

Ambos movimientosreciben en física el nombrede movimiento browniano,que fue descrito por primeravez por el botánico inglésRobert Brown en 1828. Noentraremos en la historia deeste fenómeno. Sólopresentaremos algunascaracterísticas de él que nos

seránútiles.Las líneas de la

trayectoria de una partículabrowniana (figura 5) notienen en rigor ningunarealidad física. La forma enquesetrazaronlaslíneasdeldibujo es imaginando quecada30 segundos se observalaposicióndelapartículadepolen y se marca con unpunto; luego estos puntos se

unen sucesivamente conlíneas rectas. Por tanto, loúnico que tiene realidad sonlos puntos, que indican lasposiciones de la partículabrowniana al final de cadaintervalo. Si ahora, en lugarde marcar las posiciones encada intervalo de 30segundos se marcan en cadaintervalo de 3 segundos y seunieranlospuntosconlíneas

rectas, cada línea recta de lafigura 5 quedaríareemplazada por unasucesión de líneas quebradasde menor tamaño, pero deigual complejidad. Así, porejemplo, si nos fijamos endospuntossucesivos,AyB,de la figura 5, se obtendránentre ellos los puntosmostrados en la figura 6. Siahora unimos estos puntos

con líneas rectasobtendremos las líneasquebradasdelamismafigura6. Concluimos que lasegunda figura que se formatiene el mismo tipo deestructuraquelaprimera.

Se podrían tomar ahoraintervalosmáspequeños,porejemplo, de 0.3 segundo yseguir el mismoprocedimiento; ocurriría lo

mismoqueantes.Nosdamoscuenta de que la trayectoriaque sigue una partículabrowniana es tal quemantiene una estructurasimilar al cambiar la escaladetiemposdelaobservación.Este tipo de línea fuedenominada fractal por elcientíficoBenoitMandelbroten1975.

Figura5.Trayectoria

irregularyazarosaquesigueuna

partículabrowniana.

Figura6.a)LospuntosAyBson

lasposicionesdelapartícula

Brownianaalinicioyalfinaldeun

intervalodetiempo.b)Posicionesdelamismapartículabrownianaalregistrarlaenintervalos

equivalentesaladécimapartedelintervaloanterior.

Es interesante mencionar

que ya en 1906 el físicofrancés Jean Perrin se habíadado cuenta de este tipo decomportamiento. Enparticular, había hecho notarquesiuno tomaunpuntodela trayectoria que sigue unapartícula brownianaentonces, en rigor, no sepuede trazar una líneatangente a ella, y apuntóentonces:

Usando lenguajegeométrico,lascurvasqueno tienen tangenteconstituyen la regla, ycurvas regulares, talescomo el círculo, soninteresantes peroespeciales.

A primera vista, laconsideración del casogeneral puede parecer unmero ejercicio intelectual,ingenioso pero artificial.Los que oyen hablar decurvas sin tangente

tienden a pensar que lanaturaleza no presentatales complicaciones, nisiquieralassugiere.

Sin embargo, locontrarioeslaverdad.Estaafirmación se puedeilustrar considerandociertos valoresexperimentales sinpreconcepción.

Considérese, porejemplo,unode loscoposblancosqueseobtienenalañadir sal a una solución

jabonosa. A ciertadistancia su contornopuede dar la sensación deestarnítidamentedefinido,pero a medida que nosacercarnos esta nitidezdesaparece. El ojo ya nopuede dibujar unatangente en cualquierpunto. Una línea que, aprimeravista,parecierasersatisfactoria, bajo unescrutinio detalladoresultaserperpendicularuoblicua.Elusodeunalupa

o de un microscopio aúnnos deja más en la duda,ya que aparecen nuevasirregularidades cada vezque aumentamos lamagnificación, y nuncalogramos conseguir unaimpresiónnítida,lisacomola dada, por ejemplo, porunaboladeacero…

… la característicaesencial de nuestro copoes que cualquier escalaincluye detalles queprohíbenabsolutamente la

fijacióndeunatangente.Quedaremos dentro de

losdominiosdelarealidadexperimental en elmomento en queobservemos bajo elmicroscopio elmovimiento brownianocon el que se agita unapartícula (browniana)suspendida en un fluido.Se descubre entonces quela dirección de la línearecta que une lasposiciones ocupadas por

una partícula en dosinstantesmuycercanosenel tiempo varíairregularmente en formaabsoluta a medida que elintervalo entre ambosinstantes se hace menor.Un observador sinprejuicios concluiría, enconsecuencia, que estátratandoconunacurvaalaquenoselepuededibujarunatangente.

Nadie hizo caso a los

comentariosdePerrin,yesteasunto quedó dormido hastafinales de la década 1960-1970, cuando Mandelbrot loretomó. Hablaremos alrespecto en el capítulosiguiente. Si se hubieraseguido investigando laobservaciónhechaporPerrina principios de siglo, lo quehoy llamamos fractalesposiblemente habrían sido

desarrollados60añosantes.Otrocasoquenosseráde

interésenestelibroeseldelcientífico francés HenriPoincaré. Para entender suproposición,olvidadadurantecerca de 70 años,recordaremos algunoshechos.

LasleyesdelmovimientodeIsaacNewton,expuestasafines del sigloXVII,

implicaban que si se conocela fuerzaque se aplica sobreuna partícula se puedeconocer la trayectoria queseguirá. Sin embargo, estaposibilidad contiene unacondición:quesedebepoderespecificar qué posición yqué velocidad tenía lapartícula en el instanteinicial.Esdecir,sisepuedenprecisar las condiciones

iniciales de la partícula, lasleyes de Newton permitenconocer completamente sufuturo, lo cual resultaráválidoparacualquiersistemaque tenga cualquier númerodepartículas.

Basado en estos hechos,elmatemático francés PierreSimon de Laplace (1749-1827)llegóajactarsedequesi se ledieran lasposiciones

y velocidades iniciales decadaunadelaspartículasquecomponen el Universo,podría predecir el futuro porel resto del tiempo. Estehecho conlleva un rigurosodeterminismoenlasleyesdelanaturaleza.Lasinferenciasde estas conclusiones acercade las leyes de Newton lastrataremos en un capítuloposterior.

En el año de 1903Poincaré escribió losiguiente:

… nosotros solamentepodemos conocer lasituacióninicialdemaneraaproximada. Si esto nospermitiera predecir lasituación que sigue en eltiempo conla mismaaproximación, es todo loque necesitaríamos, ypodríamos decir que el

fenómeno ha sidopredicho, que está regidopor leyes. Pero esto no essiempre así; puedeocurrirque pequeñas diferenciasen las condicionesiniciales produzcancondiciones muydiferentes en losfenómenos finales. Si unpequeño error en lascondiciones inicialesproduce un enorme errorenlascondicionesfinales,la predicción se vuelve

imposible y tenemos unfenómenofortuito.

En el capítuloVII seanalizará con mayor detalleestecomentario.

AligualqueenelcasodePerrin, las observaciones dePoincaré permanecieronolvidadas durante muchosaños; ningún científico lespuso atención. Si se hubiera

continuadotrabajandoenestecampo desde esa época, esposible que el caos comoteoría científica se hubieradesarrolladomuchasdécadasantes.

Éstos son dos ejemplosde situaciones que no sonmuyrarasenlahistoriadelaciencia. Algún científico seda cuenta de ciertofenómeno, pero por diversos

motivosnadieseocupadeély cae en el olvido, lo queilustra el hecho de que eldesarrollodelaciencianoestanobjetivocomosequisierapensar.

V.LOSFRACTALES.NUEVAS

DIMENSIONALIDADESEnlasúltimasdosdécadasseha desarrollado una línea deinvestigación, iniciada porBenoit Mandelbrot, cuyotema son los objetos

llamadosfractales.Se puede construir un

tipo de figuras fractalessiguiendo el siguienteejemplo. Tomemos untriángulo equiláterocualquiera (figura 7(a)) alque sedenominará iniciador.Divídase cada lado en trespartes iguales. En las partesintermedias de cada ladoañádanse dos lados de un

triángulo equilátero cuyolado sea igual a la terceraparte del lado original. Seobtiene así la figura 7(b).Enseguida, divídase otra vezcada uno de los lados de lafigura así formada en trespartes iguales, y en cadaparte intermedia añádansedos lados de un triánguloequilátero cuyo lado seaigualalalongitudresultante.

Se encuentra así la formamostradaenlafigura7(c).Sise continúa indefinidamenteeste procedimiento seencontrará una formaparecida a lamostrada en lafigura7(d).Estafiguraesunfractal y, como veremos acontinuación, su perímetrotienelongitudinfinita.

Analicemos con un pocode detalle el perímetro de

estas figuras. Supongamosque el lado del triánguloiniciadordelafigura7(a)seaigual a 1 (en cualquierunidad). El perímetro deltriángulo original, que esigual a la suma de laslongitudes de sus lados, esentoncesiguala8.

Por construcción, cadalínea recta de la figura 7(b)tiene longitud (1/3). Por

tanto,dadoquehay12líneasrectas de este tamaño, elperímetrodelafigura7(b)es12× (1/3)=4.El lectorse dará cuenta de que estenuevoperímetro(4)esmayorqueeloriginal(3).

Veamos ahora la figura7(c).Cadalínearectadeestafiguratiene(1/9)delongitud.En vista de que hay 48 deestas líneas, su perímetro es

48 × (1/9) = 5.333,mayor que los perímetros delasfiguras7(a)y7(b).

Vemos entonces que lasucesión de valores de losperímetros es: 3, 4, 5.333,…Esta sucesión va creciendo.La causa de que crezca esclara, ya que de un paso alotro el número de líneasrectas aumenta másrápidamente de lo que

disminuye la longitud decadalínearecta.Dehecho,encadapasode la construcciónel número de líneas semultiplica por el factor 4,mientras que la longitud decadalíneadisminuye3veces.Por lo tanto, el perímetro semultiplica, de un paso alotro,porelfactor4×(1/3)=1.333,queesunnúmeromayorque1.Sielnúmerode

pasos es infinito, elperímetro de la figura asíformada también resulta serinfinito.

Figura7.Pasosquesiguenpara

construirelfractalllamadocurvade

Koch.

Figura7.Pasosquesiguenpara

construirelfractalllamadocurvade

Koch(continuación).

Lacurvadelafigura7(d)sellamacurvadeKoch.

Nos debemos dar cuentade que si se comparan lasfigurasqueseformanendosconstrucciones sucesivas, se

verá que ambas tienen lamisma estructura. Serecordarádel capítuloIIIquelomismoocurreconlabahíacuandosecambialaescala.

Unobjetoquepresentalamisma estructura alcambiársele indefinidamentela escala de observaciónrecibe el nombre de fractal.Porlotanto,lacurvadeKochylabahíasonfractales.

Mandelbrot asegura queen la naturaleza existenmuchos fenómenos decarácter fractal, de hecho,muchos más de los quepodemos imaginar.Mencionaremos en formabrevealgunos.

La trayectoria que sigueuna partícula que realizamovimiento browniano,descrita en el capítuloIV es

unfractal.Enefecto,alpasarde una escala a otra, comopor ejemplo, cuando se pasade la figura 5 a la 6, lasestructurassonsimilares.

También los paisajesnaturales presentancaracterísticas de losfractales.Así,laformadelascadenas montañosas (figura8) da lugar a que si unointentaramedir su superficie

encontraría valores infinitos.Una manera de crear unpaisajefractaleslasiguiente.Tomemos el triángulo de lafigura 9(a). El punto mediode cada lado lo desplazamoscierta cantidad (figura 9(b)).AsíelpuntoAse trasladaalpuntoB;elpuntoGalD,yelEalF.UniendolospuntosB,D y F con los vértices deltriángulo se forman cuatro

triángulosmáspequeñosqueeloriginal,comoseveen lafigura 9(c). Si se sigue esteprocedimiento muchas vecescon cada uno de lostriángulosformados,selograobtener una figura que tienetodo el parecido a unamontaña (figura 8). Unprograma de computadorallena los triángulosresultantes con sombreados

apropiados que le dan untoqueenextremorealistaalafigura.

Figura8.Laformadeunacadenamontañosaesun

fractal.

Figura9.Pasosparaconstruirunpaisaje

fractal.

En la geometríaeuclidianaseenseñaquehayuna relación determinada

entre, por ejemplo, el áreaque ocupa una figura y lalongitud de la línea queencierra a dicha área. Así,por ejemplo, para uncuadrado, la longitud de superímetro elevada alcuadradoes iguala16vecesel área encerrada. En efecto,supongamos que el lado delcuadrado es de 3 cm.Entonceselperímetroes:

perímetro=4×3cm=12cm.

Siseelevaalcuadradoseobtiene:

perímetro²=(12cm)²=144cm².

Porotro lado, el áreadelcuadradodelado3cmes:

área=(3cm)²=9cm².

Pero:

144=16×9,

porloquevemosque:

perímetro²=16×área.(1)

En un cuadrado, elperímetro al cuadrado esigual a 16 veces el áreaencerrada.

Si se trata de un círculo,la longitud del perímetroelevada al cuadrado es iguala cuatro veces ¶ (la letragriega pi) por el áreaencerrada:

perímetro²=4¶×

área.(2)

Recuérdese que elnúmero ¶ (pi) es igual a3.14159…

De manera general, elcuadrado del perímetro deuna figura geométrica esigual al área encerrada,multiplicada por un número.Este número depende de laforma particular de la figura

que se esté tratando: para elcuadrado el número es 16 yparaelcírculo4¶.

Un tipo de relaciónanálogaseencuentraentreelvolumen de un cuerpo y elárea de la superficie que loencierra.Enefecto, sepuededemostrar que en una figuracúbica el cubo del área esiguala216veceselcuadradodel volumen encerrado. Por

ejemplo, si el lado de uncubomide2cm,entonceseláreatotaldelcuboes6vecesel área de cada cara, ya quetiene6caras.Peroeláreadecada cara es(2 cm)× (2cm)=4cm².Portanto:

áreatotaldelcubo=6×4cm²

=24cm².

Elevemos ahora estevaloralcubo:

área³=(24cm²)³=13824cm6.

Porotrolado,elvolumendelcuboseobtieneelevandoal cubo la longitud de sulado:

volumen=(2

cm)³=8cm³.

Elevandoalcuadradoestevalor:

volumen²=(8cm³)²=64cm6.

Pero:

13824=216×

64,

porloque:

área³=216×volumen².(3)

Paraotro tipode figuras,el factor que multiplica al(volumen)² no es 216, estecoeficiente depende de lafigura particular de que se

trate.En el caso de las figuras

que son fractales, lasrelaciones que obtuvimos nose satisfacen. Consideremos,por ejemplo, el caso delcerebrodelosmamíferos;sesabe que su corteza presentanumerosas circunvoluciones.De mediciones hechas conmucha precisión resulta quela relación entre el volumen

del cerebro y el área de lasuperficie que lo encierra nosigue el patrón mencionadoarriba para las figurasgeométricas regulares. Seencuentra ahora que el cubodel área ya no esproporcional al volumenelevado al cuadrado, sinoque:

área³=A×

volumena.(4)

donde A es un número,análogoal216delaecuación(3),peroelexponentea(alfa)no es igual a 2 como en laecuación (3) sino que tieneunvalorentre2.73y2.79.

Se puede demostrar quede esta relación puedeinferirse que la superficieque encierra al cerebro es

fractal. Este resultado se haexplicadoenrelaciónconlasnecesidadesque laevoluciónva creando para losmamíferos.

Dehecho, cuando enunafigurasesatisfacelarelación(3) entre su área y suvolumen, la figura eseuclidiana.Sino,comoenelcaso del cerebro que se estáconsiderando, entonces es

fractal.Otro ejemplo del campo

biológico se da en laestructura nasal de algunosanimales. La membrana quecubreelhuesode lanarizestal,quelarelaciónentreáreay volumen encerrado nosigue un patrón geométricoeuclidiano, sino fractal.Ciertos animales tienen esamembrana con un área muy

grande para el volumen queencierran. La membranapodría estar relacionada conel sentido del olfato y, porejemplo, en el caso de loscamellos su gran área lesayudaría a localizar;husmeando, el agua tanescasaeneldesierto.

Ladescargayelniveldelas crecidas de los ríos sonotro ejemplo de fractales.

Resultaqueestascantidades,tomadas anualmente, tienenvalores muy persistentes. Seha intentado dar,infructuosamente, diversasexplicaciones a este hecho.Aparentemente la únicaexplicación que tiene visosde conformarse con losresultados experimentales esque estas cantidades secomportancomofractales.

También se han aplicadolasideasdelosfractalesalaeconomía. Un análisisdetallado delcomportamiento en elcambio de precio de lasmercancías muestra que suestructura es análoga a la deunfractal.Estosedebeaqueal cambiar de escalastemporales la determinacióndeloscambios,seencuentran

estructurassimilares.En lingüística tambiénse

producen estructurasfractales.Sehaestudiadolasrelaciones que sigue en unidioma la frecuencia en eluso de las palabras. Puesresulta que estecomportamiento es fractal.Uno de los parámetros deeste fractal da la medida dequé tan rico es el uso del

vocabulario a través de lafrecuenciarelativadelusodepalabraspococomunes.

Se ha determinado quelos fractales también se danen la teoría de los circuitoseléctricosyenlateoríadelainformación, por mencionarsóloalgunoscampos.Sehanabiertodeestamaneravastoshorizontes de estudio yaplicación que apenas

empiezanaexplorarse.El hecho de que en las

figuras regulares, las quetratalageometríaeuclidiana,la relación entre el cuadradodel perímetro y el área(véanse las ecuaciones (1) y(2) de la página 28), o bien,entre el área al cubo y elcuadradodelvolumen(véasela ecuación (3) de la página29)sedéconexponentesque

son números enteros (porejemplo,el3deláreaalcuboy el 2 del cuadrado delvolumen) se debe a que seestá tratando con una, dos ytres dimensiones. Sinembargo, cuando se trata defractales (véase la ecuación(4) de la página 30),entonces,comovimosarriba,ya no se tienen estasrelaciones con números

enteros en los exponentes.Por tanto, los fractales sonfiguras que no correspondena una dimensionalidadentera.

Loqueestáocurriendoesque la geometría euclidiana,con susdimensiones enteras,no logra alcanzar la esenciade las formas irregulares.Considérese un ovillo decuerda.Siseleobservadesde

muylejos(figuralO(a))seleverácomounpunto,esdecir,unafiguradedimensiónnula.Si el observador se acercaverá que el ovillo ocupa unespacio parecido a unaesfera, o sea, de tresdimensiones (figura 10(b)).Si el observador se sigueacercando advertirá condetallelacuerdaqueformaelovillo y éste se transforma,

en realidad, de dimensiónuno (figura 10(c)). Siseguimos acercándonos, esdecir; nos disminuimosimaginariamente paraapreciar la estructuramicroscópicadelacuerda,lacuerda empieza a versenuevamente de tresdimensiones, porque seempezará a apreciar lasfibras que lo componen, que

podránversecomocolumnastridimensionales. Así sepuede continuar. De estamanera,seapreciaquenosepuede hablar de ladimensionalidaddelacuerdade una manera «objetiva».Todo depende de laperspectiva del observador,estoes,delaescalaenquesehagalaobservación.

Mandelbrot dio un paso

muyatrevidoalproponerquese asignara a los fractalesdimensiones que no fuerannúmeros enteros. Ladimensión fraccionariapropuesta constituyó unamanera de poder medir deotra forma características nodefinidas claramente. Porejemplo, el grado deirregularidad de una línea,como la bahía, o la aspereza

de una superficie.Mandelbrotpropusolaformade calcular la dimensión deun objeto fractal y demostróque el número que así seobtiene no depende de laescala en que se hacen lasobservaciones. Recuérdeseque si se asignandimensiones enteras,entonces,comoenelcasodelovillo de cuerda, la

dimensión va cambiando alcambiar la escala deobservación.

Figura10.a)Delejos,unovillose

vecomounpunto.Sudimensiónes0;b)másdecercavemoselovillo

comounaesfera.Sudimensiónes3;c)todavíamáscercavemoslacuerdadel

ovillo.Sudimensiónes1.

1

2

3

4

1-4.Sucesióndefotografíasquemuestranlacaída

deunagotadetintaenagua.Alcaerlagota,setransformaenunanillodevórtices,queseexpandehasta

volverseinestable,dandolugaraunnuevoanillodevórtices.Este

procesoserepitemuchísimasveces,esdecirseformaun

fractal.Enlasfotografíasseven

distintosestadosdelosfractalesasí

formados.

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

5-16.Diversosfractalesgeneradosporcomputadora.

Encadacasosehautilizadounprocedimiento

repetitivodiferente,comoseejemplifica

eneltexto.FotosdelDoctorJoséLuisdelRío,DepartamentodeFísica,Universidad

AutónomaMetropolitana-IztapalapaydeJorgeLodigianiRodriguez,

DivisióndeCienciasBiológicas

ydelasaludUniversidadAutónoma

Metropolitana-Iztapalapa.

Figura11.Laformadeunaramaes

fractal.

Figura12.Unrayotieneformade

fractal.

Por tanto, el grado deirregularidaddeunfractalesel mismo a medida que secambia de escala. Es decir;hayunairregularidadregular,valgalaexpresión.

Como ilustraciónmencionamosquelacurvadeKoch (figura 7(d)) tiene unadimensióniguala1.2618.

Unadelascaracterísticasdeunfractalesqueconserva

lamismaformasiseleveendistintas escalas, como en elcaso de las líneas asociadasal movimiento de unapartícula browniana (figuras5y6).Esta característicadelos fractales se llama autosimilitud.

Es posible construirfigurasfractalessiguiendounprocedimiento biendeterminado,ocomosedice

más técnicamente, unalgoritmo, por ejemplo, elprocedimiento para construirla curva de Koch. De lamisma manera se puedeconstruir una superficie queseparecemuchoalaterrestre(figura9).Este algoritmohasidoutilizadoenlafilmaciónde películas con el fin decrear superficies. Se hademostradoque la superficie

terrestretieneunadimensiónfractalde2.7,hechoquehanutilizado muyprovechosamente losgeólogos.

Otrosempleosson losdefabricar patrones semejantesa los del crecimiento de lasespecies biológicas (figura11) o las de una descargaeléctrica como un rayo(figura12).

En capítulos posteriorestrataremosendetallealgunosdeloscasosmencionados,enlos que aparecen objetosfractales.

VI.MÁSSOBRE

FRACTALES.SIMILITUD

Enelcapítuloanteriorsevioque un fractal es una figuraquemantiene su forma si sele cambia de escala. En elpresente capítulo

consideraremos con másdetalle esta importantepropiedad.

Las famosas muñecasrusasestánformadasporunamuñeca grande en cuyointeriorsehallaotramuñeca,similar a la grande, pero demenor tamaño. Dentro deestasegundamuñecahayotrasimilar, pero de tamaño aúnmenor.Unconjuntocontiene

cinco o seis muñecas, todassimilares, pero cada una demenores dimensiones. Alpasardeunamuñecaalaotrase está cambiando la escala.Al cambiar de escala, lasmuñecas en conjunto sonsimilares.Sisepudieratenerun conjunto muy grande,infinito, de muñecas, todasiguales pero una máspequeña que la anterior,

tendríamos un fractal. Sinembargo, no se puedeconstruir este conjuntoporque llegaunmomento enque resulta imposible tallaruna muñeca losuficientemente pequeña. Elconjunto, por lo tanto,constituye una aproximaciónaunfractal.

Otroejemplodesimilitudparcial es el caso de una

etiqueta colocada, porejemplo, en una caja dechocolates. En la etiquetaestá dibujada la misma cajaconsuetiquetaque,asuvez,muestralacajadechocolatescon la etiqueta, etc. Nóteseque al cambiar de escala, osea en el dibujo que está enuna etiqueta, lo que se ve essimilar al objeto original. Sise pudiera seguir así un

número muy, pero muygrande de veces, de hechoinfinito, entonces habríamosformado un fractal. Estasimilitud no se puede llevaral infinito, por razonesclaras.

Otro caso es el de unacaricaturaenlaqueunpezsecomeaotromáschico;ésteaotro todavíamás chico y asísucesivamente.

En el caso en que unobjeto tiene lamisma formaalcambiarlaescala,esdecir,que es similar al anterior, yse cambia la escala unnúmeroinfinitodevecesysesigue obteniendo una figurasimilar a las anteriores, sedice que el objeto esautosimilar.Un fractal es unobjeto autosimilar. Unejemplo, como ya se vio, es

la trayectoria de unapartícula browniana (figura5).

Otroejemplodesimilitudse da cuando una persona secoloca entre dos espejosparalelos y observa lasimágenes de su cuerpo. Peroestas imágenes no son todasiguales, sinoqueuna esmáspequeña que la otra. Si losespejos sehallan situadosen

forma perfectamenteparalela, entonces el númerode imágeneses infinitayasítenemos un conjuntoautosimilar.

La autosimilitud es unaidea que ya había sidosugerida en muchasocasiones a lo largo de lahistoria. Por ejemplo, en els i g l oXVII, el pensadoralemán Gottfried Wilhelm

Leibniz (1646-1716)propusoque una gota de aguacontenía todo un universo,que a su vez contenía gotasde agua más pequeñas; cadauna de estas pequeñas gotasencerraba a su vez ununiverso que tenía en suinterior otras gotas de agua,todavíamáspequeñasycadaunadeellas…

Estaautosimilitudyotras

muchas que se sugirieronfueron desechadas con eltiempoyaquenosepudieroncomprobarexperimentalmente. En unagota de agua no hay ningúnuniverso en el sentidopropuestoporLeibniz.

Fue hasta la década de1960 y de 1970 queMandelbrot volvió aproponer esta idea, pero en

un contexto completamentedistinto de los anteriores. Seha demostrado que laautosimilitud se presenta engran variedad de fenómenosy situaciones muy diversas,como veremos en loscapítulossiguientes.

VII.CONDICIONESINICIALESY

SUIMPORTANCIAEn el capítuloIV citamos aPoincaré cuando aludía a lascondiciones iniciales. En elpresente capítulo

analizaremos en detalle esacuestión.

Consideremos unfenómeno físico bienconocido, la caída de loscuerpos. Una piedra cae alsoltarla debido a queexperimentaunafuerza,ladegravedad, que está dirigidahacia el centro de la Tierra.Con base en las leyes deNewton se puede encontrar

que la trayectoria que siguela piedra es una línea rectavertical.

Sin embargo, la mismapiedra sujeta a la mismafuerza (su peso) tambiénpuedemoverse a lo largo deotratrayectoria.Porejemplo,si la lanzamos hacia arribaformando cierto ángulo conla horizontal, entonces semoverá a lo largo de la

trayectoria mostrada en lafigura13,queresultaserunaparábola.

Nos podemos hacer lasiguiente pregunta: si en losdos casos la misma piedraestuvo sujeta a la mismafuerza, ¿por qué en un casose movió a lo largo de unalínea recta vertical y en elotro a lo largo de unaparábola? Como podemos

apreciar, a pesar de ser lamisma piedra y la mismafuerza,hubounadiferencia.

· En el primer caso sesoltó la piedra, lo quesignifica que en el instanteinicialsuvelocidadfuenula.

En el segundo caso se ledioalapiedra,enelinstanteinicial, una velocidaddirigidahaciaarriba,comosemuestraenlafigura13.

Por tanto, en los doscasos hubo condicionesiniciales diferentes y, enconsecuencia,lastrayectoriasseguidas fueron distintas, apesardequeenamboscasosla piedra estuvo sujeta a lamismafuerza,lagravedad.

Este ejemplo nos ilustraun hecho muy importante:para conocer el tipo deevolución que sigue un

sistema se necesita conocer,además de las leyes que lorigen(enloscasosdearriba,lasdeNewtony la fuerzadelagravedad), lascondicionesinicialesdelsistema.Bajolasmismas leyes, diferentescondiciones inicialesproducen distintasevolucioneseneltiempo.

La cuestión a que serefirióPoincarétienequever

con lo siguiente. Tomemosdospiedrasiguales.Soltemosla primera piedra desdecierto punto, digamos el A,sobreel suelo (figura14(a)).Almismotiemposoltemoslasegunda piedra desde elpunto B, que está muycercano al A. Nos damoscuenta de que, no obstanteque en ambos casos lasvelocidades iniciales de las

piedras son iguales (cero),sus posiciones iniciales noson iguales ya que lassoltamos desde dos puntosdistintos, aunque difierenmuy poco. Decimos que lascondiciones iniciales deambas piedras no son lasmismas, aunque sí muyparecidas.

Figura13.Unapiedralanzadahaciaarriba,formandounánguloconla

horizontal,describeunatrayectoriaparabólica.

Figura14.Cuandodoscuerposcaenapartirdelreposoydesdeposiciones

muycercanas,noseseparanmuchoensustrayectorias.

Veamosquépasacon lasposicionesquevanocupandolasdospiedrasensuscaídas.Si nos fijamos mediosegundo después de habersoltado las piedras veríamos

(figura 14(b)) que están enlas posiciones C y D,respectivamente. Nos damoscuenta de que la distanciaentre los puntos C y Dtambién esmuypequeña (dehecho es igual a la de lospuntos iniciales A y B). Enconsecuencia,siladiferenciade condiciones iniciales esmuy pequeña, entonces altranscurrir el tiempo la

diferencia entre lasposicionesdelasdospiedrassigue siendo muy pequeña.Es decir, en este caso, lastrayectorias que siguen sonmuycercanas.

Veamos ahora otrasituación. Supongamos quesoltamos las dos piedrasiguales desde puntoscercanos a la cima de unamontaña (figura 15). La

primera en la cima C, y laotra desde el puntoA de lafigura,esdecir,unlugarqueno es ya la cima, pero muycercano a ella. ¿Qué ocurreahora con las trayectorias delas piedras? Pues la primerase quedará en la cimamientras que la segundarodará por la ladera de lamontaña. En consecuencia,después de cierto intervalo,

digamos 3 segundos, laseparación entre lasposiciones de ambas piedrasserá muy grande: una en lacimay laotraabajo.Enestecaso, nuevamente lascondiciones iniciales de lasdos piedras son muyparecidas pero ahora susposiciones, al transcurrir eltiempo, difierenmarcadamente.Es decir, con

elpasotemporalenestecasono se conservan lasposiciones muy cercanasunasdeotras.

Figura15.Dospiedrasquecaendesdepuntos

distintosdeunamontañayapartirdeposicionesmuy

cercanas,seseparanmuchoalo

largodesustrayectorias.

Otroejemploseilustraenla figura 16, en que seobserva dos bolas de billarque inciden sobre una mesaque tiene varios botadoresfijos.Lasposicionesiniciales

de las bolas son ligeramentedistintas. Vemos que auncuando las velocidadesinicialesdelasbolasseanlasmismas, las trayectorias quesiguen son completamentediferentes.

Figura16.Ilustracióndeque

variacionespequeñasenlas

posicionesinicialesproducen

trayectoriasmuyseparadas.

De los casos que hemosconsideradopodemosafirmarque hay dos tipos desituaciones: 1)>Condicionesiniciales muy parecidasproducen condiciones finalestambiénmuy parecidas, y 2)condiciones iniciales muy

parecidas producencondiciones finalescompletamentediferentes.

Ahora bien, paradeterminar la evolución deun sistema cuando el tiempotranscurre debemos conocerlas leyes que lo rigen, asícomo sus condicionesiniciales. Si fuera posibledeterminar conTODAprecisión estas condiciones

iniciales entonces podríamossaber en cualquier instantelas características que tieneel sistema.A esto se referíaLaplace (véase capítuloIV)cuando decía que si se ledaban las condicionesinicialesdelUniversopodríadeterminarelfuturo.

Sin embargo, en unasituación real no podemosafirmar que se puedan

determinar conTODAprecisión las condicionesiniciales. Al medir estascantidades siempre secometerán errores, que soninevitables. Por lo tanto, lomás que se puede hacer esdar las condiciones inicialesen forma aproximada. Estascondiciones inicialesdiferirán de las verdaderascondiciones iniciales del

sistema en muy poco si loserrores cometidos sonpequeños. ¿Qué podemosdeciracercadelatrayectoriaque seguirá el sistema?,¿podemospredecirla?

De lo que se ha vistopuede ocurrir una de dosposibilidades: 1) Si estamosenuncasoenquediferenciasde condiciones inicialesproducen condiciones finales

muy parecidas, entoncespodremos predecir quéocurreconelsistema,coneltranscurso del tiempo,también con un errorpequeño. En este caso laseparación entre lastrayectorias es muy pequeñay la predicción que se hagaserá muy parecida a latrayectoria real.2)Siseestáen el caso en que pequeñas

diferencias en lascondiciones inicialesproducen condiciones finalesmuy distintas, entonces latrayectoria real que siga elsistema se separará muymarcadamente de latrayectoria que podamospredecir.Enestecasonuestrapredicción estámuy lejos delarealidad,porloquenohayposibilidad de hacer

predicciónválidaalguna.En la cita de Poincaré

mencionadaenelcapítuloIV,este científico se refirióprecisamente a estas dosposibles situaciones. En elpróximo capítulo seconsiderarán lasconsecuencias de estasposibilidades.

Los casos de las figuras15y16sonejemplos físicos

dedependenciamuysensibledelascondicionesiniciales.

VIII.CAOS.FENÓMENOSNOLINEALESA lo largo de muchos años,en el estudio que variasciencias han hecho dediferentes fenómenos se hanencontrado situaciones queno ha sido posible describirde manera satisfactoria. Por

ejemplo, en el caso de lameteorología un problemamuy importante es poderpredecir el clima queprevalecerá no sólo al díasiguiente, sino una semana,unmes, un año después. Sinembargo,apesardequeestaciencia se ha desarrolladobastante y mucha gente hatrabajadoenelladurantemásde un siglo, este tipo de

predicciones no ha podidollevarse a cabo de maneraefectiva.

En la física podemosmencionarelfenómenodelaturbulencia. Cuando unfluidosemuevealolargodeun tubo, en ciertascondicionesel fluido lohacede manera muy tranquila yregular; se dice que el flujoes laminarysuspropiedades

sí han podido serdeterminadas. Sin embargo,en otras circunstancias, elflujo se vuelve turbulento:empiezanaaparecerprimeropequeños remolinos, despuésremolinosmásymásgrandesyelmovimientodelfluidosevuelvemuyirregular.Sediceque el flujo ha entrado enturbulencia.Esteefectonosehabíapodidoentenderenmás

decienañosdeestudiodelahidrodinámica.

Enlaeconomíanosehanpodido entender los motivospor los cuales en ciertomomento el índice de laBolsa de Valores empieza asubir y luego desciende. Enmuchas ocasiones parece serunfenómenodelazar.

Los casos anterioresilustran algunos de los

problemas que habíanquedado sin solución. Sinembargo, con eladvenimientodelateoríadelcaos se han podido entenderdiferentes aspectos de estosfenómenos, antesincomprensibles.

Una cuestión muyimportante, común adiferentes fenómenos, es laposibilidad de que se pueda

hacer predicciones. Porejemplo, si se sabe que hoyestá lloviendo, se quisierapredecir si lloverámañana osi lloverápasadomañana.Esdecir, una cuestión es laposibilidaddepoderpredecirloqueocurriráenelfuturosisabemosenquésituaciónnosencontramosahora.

Enlosúltimos20añossehadesarrolladounanovedosa

formadeabordarestetipodesituaciones. Resulta quemuchos fenómenoscompletamente distintos,como la turbulencia, elclima, el índice de la bolsa,las señales electrónicas,ciertasreaccionesquímicasyotras más, tienencomportamientos que, vistosdesde perspectivasapropiadas, son muy

parecidos. Debido a estehecho, trataremos un casomuy especial para ilustrar elfenómeno del así llamadocaos. Consideraremos unproblema importante en laecología, a saber, cómoevoluciona en el transcursodel tiempo una poblacióndeterminada, por ejemplo delosinsectos.Siconocemoselnúmerode insectosesteaño,

nos podemos preguntar¿cuántos insectos habrá elaño próximo, el siguiente, yasísucesivamente?

Con el estudio que sehaga se quisiera poderencontrar una regla que nosdijeraquesiesteañohay,porejemplo, en un determinadolugar 10 500 insectos, elpróximoañohabrá12750.Sisepuededescubrirestaregla,

entonces aplicándola de añoen año se podrá conocer lapoblación en cualquier añofuturo. En matemáticas unaregla de este tipo se llamafunción. ¿De qué dependeésta?Puesdeberíahacerlodelas condiciones en que vivela población. No dará lomismosisetratadeunlugardesérticoodeunaselva;silapoblacióndisponedemuchos

alimentos o si más bien sonescasos. Es decir; de algunamanera en la función tieneque aparecer estainformación. Además, lapoblaciónquevayaahaberelañosiguientedependerádelapoblación que existe en esteaño. Encontrar esta funciónsellamahaceroconstruirunmodelo.

La función más sencilla

es la siguiente. Se supondráque la población crecerá elaño siguiente en unporcentaje fijo de lapoblacióndelañoactual.Porejemplo, si la poblacióncrece año con año 10%, setiene la siguiente situación:supongamos que en elpresente año hay 10 000insectos; entonces el añopróximo aumentará en 10%

este número, así, habrá unaumentode:

0.1×10000=1000,

y por tanto, el número deinsectos que habrá el añopróximoseráigualalnúmeroque hay en el presente año(10000)máselaumentoqueocurrió(1000),osea:

10000+1000=11000insectos.

Elsiguienteañohabráunaumentode10%de11000,oseaaumentaráen:

0.1×11000=1100,

yelnúmeroquehabráserá:

11000+1100=12100.

De estamanera se puedecalcular el número deinsectos del año que sequiera. Sin embargo, hacerloa un plazo de 150 años, porejemplo, sería muyengorroso. Pero puedeabreviarse esteprocedimiento como sigue.

Nos damos cuenta de que sepuedeencontrar lapoblacióndel año siguiente (11000 ennuestroejemplo)haciendo lasiguienteoperación:

11000=1.1×10000.

Aquí, 10 000 es lapoblación inicial. De lamisma forma, la población

enelsegundoaño(12100)sepuede obtener a partir de lapoblación en el primer año(11 000) haciendo lasiguientemultiplicación:

12100=1.1×11000

Vemos entonces que lapoblaciónencualquierañoseencuentra multiplicando 1.1

por la población del añoanterior.Oequivalentemente,la población del añosiguiente se puede encontrarmultiplicando 1.1 por lapoblacióndelañopresente:

Poblacióndelañopróximo=1.1×Poblacióndelaño

presente

La población de un añocualquieraseintroducecomodato para encontrar lapoblación del año siguiente.Repitiendo o iterando estaoperación tantas veces comose quiera, se encontrará lapoblación de cualquier añofuturo. La operación queacabamos de encontrar es lafunción a la que nosreferimosarriba.

De lo que acabamos deexplicarnosdamoscuentadequesiseconocelafunciónylapoblacióninicial,entonceses posible determinar conprecisión la población encualquierañofuturo.

Se puede abreviar elprocedimiento presentado delamanerasiguiente:laletraxserá la población en ciertoaño y la letray la población

delañosiguiente.Entonces:

y=1.1x

Para obtenery semultiplica 1.1 porx. El 1.1proviene del hecho que sesupuso que el crecimientosería de 10% anual. Sinembargo,nosiempreseráasí,podrá haber otrasposibilidades.Siasífuera,el

1.1 se sustituirá por otronúmero. De manera general,este otro número serepresentará con la letraq.Así, la función se puedeescribir:

y=qx.(5)

Poblacióndelañopróximo=q×

Poblacióndelañopresente

El valor numérico quetenga el factorqqueapareceen esta expresión dependeráde las condiciones en queocurra el aumento de lapoblación. En la forma enque se establece el modeloconsiderado, el valor deqvaríade0a4.

Se puede representar lainformación contenida enesta expresión de maneragráfica.Enunagráfica,eneleje horizontal (figura 17) semidenlosvaloresdexyeneleje vertical los valores dey.La expresión (5) quedarepresentada por una línearecta.Mientrasmayor sea elvalor deq, mayor será lainclinación de la recta.

Debidoaquelagráficadelaecuación (5) es una recta sedice que la expresión (5) eslineal.

Una consecuencia de laaplicacióndeesta funciónesque, al transcurrir el tiempo,la población crecerá demaneraindefinida;llegaráunmomento en que será tangrande que el número deindividuos de la especie no

cabríaenelplaneta.Esclaroque un modelo como el queacabamos de presentar nopuede describir de maneracorrecta las variacionesreales de una población. Siésta crecemucho, llegará unmomento en que losalimentos no alcancen paratodos y, por tanto, lapoblación empezará adescender. Este efecto debe

considerarse, por lo que lafuncióndadaporlaexpresión(5) se deberámodificar paraque tome en cuenta que unapoblación puede crecer, perohasta cierto punto; más alládeberá reducirse. Por otrolado, si la población espequeña, entonces tendrámuchoalimentodisponibleycrecerá.

Lo anterior significa que

la gráfica de la figura 17deberá ser reemplazada porotra en la que para valorespequeños dex, o sea de lapoblación, la curva suba,mientras que para valoresmuy grandes dex la curvadisminuya. Esta gráfica sedeberá ver como se muestraen la figura 18. Para que lacurva disminuya,necesariamente tendrá un

máximo; es decir, la curvadeberá tener la formadeunacampana invertida. El lectorse dará cuenta de que estacurva ya no es una línearecta. Por tanto, a estasituación se le llama nolineal.

Figura17.Gráficadelmodeloquemuestralapoblaciónde

insectosdelañopróximoy)

determinadaporlapoblacióndelañopresente(x).Enestemomentola

poblacióncrecesincesar.

Unaformamatemáticaderepresentar la curva de lafiguraeslasiguiente:

y=qx(1−x)(6)

y=poblacióndelañodelañopróximo;x=

poblacióndelañodelañopresente

Esta expresión implicaque, dado el valor de lapoblación en el presente año(valorrepresentadoporx),seobtendrá el valory de la

población del año siguiente.Por conveniencia se hant omadox yy como lafracción entre los valoresceroyuno,portanto0≤q≤y.Elvalorcerorepresentalaextincióndelapoblaciónyelvalor uno el máximo valorposibledelapoblación.

Lo que nos está diciendolaecuación(6)esquesisedax, para obtener el valor dey

las operaciones que hay quehacerson:

1. De1lerestamosx:[(1−x)],

2. el resultado lomultiplicamos porx:[x(1−x)]

3. este último resultado lomultiplicamos porq:[qx(1−x)].

Asíseobtieneelvalordey

Por ejemplo, siq=2.5y el valor dex es 0.7,obtenemos sucesivamenteque:

Figura18.Modificacióndelmodelodelafigura17paratomarencuentaelhechode

quellegaunmomentoenquelapoblaciónnopuede

crecerindefinidamente.

1. 1− x= 1− 0.7=0.3

2. x (1 − x) = 0.7 ×0.3=0.21

3. qx(1−x)=2.5×0.21=0.525

Elvalordelapoblaciónyalañosiguientees0.525.

Si ahora se usa comovalor inicial de la poblaciónel valor que acabamos deencontrar, o sea 0.525,

siguiendo el procedimientoseobtienequelapoblaciónaltercer año será 0.6234.Siguiendo esta iteración seencuentransucesivamentelossiguientes valores de lapoblación en años sucesivos(se deja al lector verificarque estos valoresefectivamenteseobtienen):

0.5869,0.6061,

0.5968,0.6016,0.5992,

0.6004,0.5998,0.6001,0.6000,

0.6000,

0.6000,0.6000,0.6000,0.6000,

…

Estos resultados nosindicanqueapartirdeciertomomentolapoblaciónllegaaun valor que ya no cambiacon el tiempo. En nuestrocaso, la población llega alvalor 0.6000.En el caso queacabamos de tratar, seempezó con la poblacióninicial dex = 0.7 y seterminó con la de 0.6000. Sien lugar de haber empezado

con0.7sehubieraempezadocon el valor inicial dex =0.25 (para el mismo valord eq de 2.5), siguiendo elmismo procedimientoiterativo se obtendrían lossiguientesvalores:

0.4688,0.6226,0.5874,0.6059,

0.5970,

0.6015,0.5992,0.6004,0.5998,

0.6001,

0.6000,0.6000,0.6000,0.6000,

…

¡Se llega almismo valorfinal de 0.6000!O sea, si seempieza con otra condición

inicial se llega al mismovalor final.Así se comiencecon el valor que sea, paraeste caso deq = 2.5,siempre se llegará al mismovalorfinalde0.6.

Este resultado nos indicavarias cosas acerca de laecuación (6). En primerlugar, la población no creceindefinidamente por másiteraciones que se hagan. En

segundo lugar, después dealgunos años se alcanza unvalor que NO depende decuál haya sido el valor de lapoblacióninicial.Esdecir,elvalor 0.6 no depende de lacondicióninicial.Selograasíuna población estacionaria:lamismaañoconaño.

Sisevuelvearepetiresteprocedimientoperoparaotrovalor deqen laecuación(6)

se obtendrá otro valor final.Porejemplo,siseusaparaqelvalorde2.7,elvalorfinalque se obtiene es 0.6296.Nótese que: paraq 2.5 seobtienecomovalorfinal0.6.pa r aq2.7 se obtiene comovalorfinal0.6296.

Amedida queq aumentade valor, el valor finaltambiénaumentasuvalor.

Vayamos ahora al otro

extremo, el de un valor deqpequeño,porejemplo0.4.Sise empieza con unapoblación de 0.3, entonceslos valores de la poblaciónquesevanobteniendosonlossiguientes:

0.0840,0.0308,0.0119,0.0047,0.0019,0.0007,

0.0003,0.0001,0.000,0.000,…

El valor final al que sellega es cero. ¡La poblaciónse extingue! De hecho, paralos valores deq menores oigualesque1,lapoblaciónseextingue con el tiempo, sinimportar cuál sea su valorinicial.

Ahora nos vamos al

extremo de valores grandesd eq. Por ejemplo, usemosparaq el valor de 3.3 y elinicialdelapoblaciónde0.6.Así se van obteniendo lossiguientesvalores:

0.7920,0.5436,

0.8187,0.4898,

0.8247,0.4772,

0.8233,0.4801,

0.8237,0.4779,

0.8236,0.4795,

0.8236,0.4794

0.8236,0.4794

0.8236,0.4794,…

Ahora no se obtiene unsolo valor final que se vayarepitiendo año con año, sinoque se va pasando del valor0.8236 al de 0.4794sucesivamente. Es decir,ahoralapoblaciónenunañotendráelvalorde0.4794yalañosiguienteelde0.8236;elaño siguiente se repetirá elvalor de 0.4794 y luego,nuevamente el de 0.8236, y

así sucesivamente. Estosignifica que ahora se tienendosvaloresfinalesposiblesyque el valor de 0.4794 sealcanza no cada año sinocada dos años. Lo mismoocurre con el otro valor de0.8236. Es decir, el cicloahora dobló su valor de unaño a dos; es decir, apareceahora una periodicidad de 2años.Nótese que los valores

0.8236y0.4794nodependendel valor inicial que seescogió.Sienlugarde0.6sehubiera tomado otro valor,llegaríamos a los mismosvalores finales (0.8236 y0.4794); esto siempre ycuando se mantenga elmismo valor deq o sea,3.3.Se dice que estamos encondicionesdeperiododos.

Paraelvalordeq=3.5,

con la condición inicial de0.6, se obtienen, después devarias iteraciones, no dosvalores finales sino cuatro,que son 0.3028, 0.8260,0.5001y0.8750.

Estos cuatro valores sevan repitiendo, en el ordendado.Ahoraestocorrespondealperíodo4.

Sisesigueaumentandoelvalor deq, se obtienen ocho

valores finales. Paraq=3.55 por ejemplo, éstosson:

0.3548,0.8127,0.5405,0.8817

0.3703,0.8278,0.5060,y0.8874

Esta situación

correspondealperiodo8.Pa r aq =3.651, ahora

los valores finales serán 16,que ya no escribiremos. Alseguir aumentandoq seobtienen, sucesivamente, 32,64,128,…valoresfinales.

Siahoraseescogeparaqel valor de 3.6, resulta quepor más iteraciones que sehagan no se llega a un valorfinal, en el sentido de que

este valor (o valores) serepita como en los casosmencionadosarriba.Ahoraseencuentra una sucesión denúmeros que no se repiten yque tienen toda laaparienciade una sucesión escogida alazar. Si se cambia lacondición inicial, pero semantieneelvalordeq3.6,seobtiene otra sucesión connúmeros distintos de los

anteriores y que tampocoadquiere valores finales queserepitenconstantemente.

Figura19.Gráficadelosvaloresfinalesqueseobtienenconreferenciaalapoblacióncomofuncióndel

parámetroqyquemuestradostiposderegímenes:elperiódico(estable)

yelcaótico.

Estos resultados puedenobservarse haciendo lasiguiente gráfica (figura 19).En el eje horizontalmediremos los valores deq;en el eje vertical semedirá(n) el(los) valor(es)

final(es) que se obtenga(n)paraelcorrespondientevalordeq.Así:

p a r aq = 2.5, cuyovalor final = 0.6000 lecorrespondeelpuntoA;p a r aq = 2.7, cuyovalor final = 0.6296 lecorrespondeelpuntoB;p a r aq =0.4, cuyovalor final = 0 le

correspondeelpuntoC;pa r aq = 3.3, cuyosvalores finales=0.8236y 0.4794 lecorresponden los puntosDyE;pa r aq = 3.5, cuyosvalores finales no losescribiremos, lecorresponden los puntosF,G,H,I,etcétera.

Los valores deqpara loscualesnoseobtienenvaloresfinales, se marcarán en lagráfica con una líneacompleta, ya que todos losvaloressonposibles.

De la gráfica se puedeobservar lo siguiente, amedidaquevaaumentandoelvalordeq:

Paraqmenoro igualque1, losvalores sonnulos; hay

extincióndelapoblación.P a r aq entre 1 y 3 ,

solamente hay un solo valorfinal, el del estadoestacionario, que vaaumentando a medida queqaumenta.EnesteintervalolagráficaeslalíneacurvaKL.

Al seguir aumentandoq,enLempiezaaaparecerunabifurcación que da dosvalores finales.Asíqentre3

y 3.45 tiene dos valoresfinales; estamosen la regióndel periodo 2. La gráfica enesteintervaloconsisteendoslíneascurvas,laLRylaLS.

S iq sigue aumentando,para el valor de 3.45(aproximadamente) aparecenotras dos bifurcaciones yahora se tendrán cuatrovalores finales. De hechoentre 3.45 y 3.54 estaremos

en la región del periodo 4 yla gráfica muestra cuatrolíneas curvas, que ya nonombraremos.

Al seguir aumentandoq,aparecen nuevasbifurcacionesynuevaslíneascurvashastaque,finalmente,cuandoqadquiereelvalorde3.5699 ya no hay valoresfinales fijos y se tiene unaregión con manchas que se

llamacaótica.Enestaregiónyadquierecualquiervalor.

Como se puede apreciaren la figura, dentro de laregión caótica aparecenregionesquesítienenvaloresfijos. Éstas son las regionesblancas de la figura. Enefecto, paraq alrededor delvalor3.84apareceunaregióncon valores finales biendeterminados. Ahora se

obtienentresvalores:0.1494,0.4879 y 0.9594. Al seguiraument andoq hay unabifurcación y por ejemplo,para q 3.846, ahora hay seisvalores finales. Al seguiraumentandoq siguen lasbifurcaciones, hasta que sellega a una nueva regióncaótica.

Podemos entoncesafirmarquealiraumentando

q, se pasa por los siguientesregímenes:extinción → un solo valorfinal → periódicos conperiodicidadesde2,4,8,16,… → caótico → periódicosconperiodicidadesde3,6,…→caótico,…

Estos resultados seobtuvieron con el estudio dela función dada por laecuación (6). Sin embargo,

hay muchas otras funciones,distintas de ésta, pero cuyasgráficas tienen la mismaforma cualitativa mostradaen la figura 19. Resulta quepara todas estas funcionesdistintas el comportamientode los valores finales es elmismoqueseexplicóenestecapítulo. Estecomportamiento escaracterístico de las

funcionesnolineales.En capítulos posteriores

analizaremos algunasconsecuencias de estecomportamiento.

IX.MÁSSOBREELCAOS

Enestecapítuloseexaminaráuna forma diversa deconsiderar al fenómenocaótico. Regresemos al caosde lapoblaciónque tratamosen el capítulo anterior.Vimos que si el valor del

parámetroq de la ecuación(6) es suficientementepequeño, entonces, sea cualsea el valor inicial de lapoblación, es decir, el valorinicialdex,despuésdeciertonúmero de iteraciones sellega a unvalor final queyanocambiaalseguiriterando.Recordando que cadaiteraciónnosdaelvalordelapoblación un año después,

concluimos que siq essuficientemente pequeño,después de cierto tiempo sellega a una población finalqueyanovaríaaltranscurrireltiempo.

Siq aumenta, ocurre quedespuésdeciertasiteracionesla cantidadx adquiere dosvalores. En una iteraciónadquiere el primero, y en lasiguiente,elsegundo,yestos

dos valores se vanalternando.Estosignificaquedespués de cierto tiempo, enun año la población tiene unvalor y al siguiente elsegundo valor. En el tercerolapoblaciónvuelveatenerelprimer valor, en el cuarto elsegundo valor, y asísucesivamente. Por lo tanto,el primer valor final loadquiere la población cada

dos años; lo mismo ocurrecon el segundo valor, lapoblación lo va adquiriendocada dos años. Éste era elrégimen que se llama deperiodicidaddos.

Al seguir aumentando elvalor deq se llega a unrégimen final en el que haycuatro posibles valoresfinales de la población, quese van alternando. Por tanto,

cada uno de estos valores seva adquiriendo cada cuatroaños. Estamos en el caso delaperiodicidadcuatro.

Podemos así continuar,hasta que se llegue alrégimencaótico,enquecadaaño la población vaadquiriendo cierto valor queyanoserepite.

Ahora bien, lo anteriorsignificaque,antesdeentrar

en el régimen caótico, elperiodo va aumentando de 1a2 años, a4 años, a8 años,etc.,amedidaqueelvalordeq va aumentando. Llegaciertomomentoenqueyanose puede hablar de periodo,se ha entrado en el régimencaótico.

Otra forma de presentarestos resultados es entérminos de la frecuencia y

no del periodo. Estas doscantidadesestáníntimamenterelacionadas.Elperiodoeseltiempo que tarda algúnfenómeno en volverse arepetir, por ejemplo, eltiempoenquetardalaTierraen dar una vuelta alrededordesuejeeselperiododesurotación.Comosabemosesteperiodo es de 24 horas. Esclaro que para poder hablar

deperiodoelfenómenodebeser repetitivo, esto es,periódico.

La frecuencia de unfenómeno periódico es elnúmero de veces que serepite en un segundo, en unminuto o en otra unidad detiempo. Si un tocadiscos da33 vueltas por minuto, estosignificaquesufrecuenciaesde 33 revoluciones por

minuto,abreviado33rpm.Unejemplode fenómeno

repetitivo es cuando uncuerposemuevealrededordeun círculo. Supongamos queelcuerpotarda5segundosendarunavuelta;superiodoesde 5 segundos. Por lo tanto,en un segundo el cuerpohabrádado(1/5)devuelta;sufrecuencia es(1/5) = 0.2.Deesteejemplovemosquesi

el periodo tiene cierto valor,llamémosle T, entonces sufrecuencia es igual a (1/T).La frecuencia es igual alinversodelperiodo.

Regresando al caso de lapoblación que estudiamosantes, llegamos a laconclusión de que al iraumentando el valor deq elperiodoaumentaa2,luegoa4, luego a 8, y así

sucesivamente, hasta llegaral régimen caótico.Expresando esto en términosde frecuencia, vemos que siparaunvalordeq solamentehayunperiodoestoequivaleaunvalordelafrecuencia.

Figura20.Gráficasquemuestranlasfrecuencias

característicasquegobiernanelfenómenopara

valoresrecientesdeq.Amedidaqueqcrece,aumentael

númerodefrecuencias.

Alaumentarelvalordeq,elperiodoaumentaaldobley

por tanto, la frecuenciadisminuye entonces a lamitad.

Al seguir aumentando elvalor deq, el periodoaumentacuatroveces,por loque la frecuencia disminuyecuatroveces.

Al continuar aumentandoel valor deq, el periodoaumenta ocho veces, por loque la frecuencia disminuye

ochoveces,etcétera.En consecuencia, si para

cadavalordeqsehicieraunagráfica de la frecuencia quecorresponde al fenómeno, seencontraría la sucesión degráficasdelafigura20.Cadagráfica de esta sucesióncorresponde a un valor deq.Vemos entonces que lospicos de las gráficas, amedida queq aumenta, van

apareciendo a la mitad delvalor de la frecuenciaanterior. Cuando se llega alrégimencaótico,entoncesyano hay ningún pico, ya queno hay periodo, y por tanto,no hay ninguna frecuenciacaracterística.

Una forma de obtenerresultados experimentales,como en el caso de laturbulencia, es pormedio de

análisis de frecuencias delfenómeno en cuestión. Éstees el motivo por el cualintrodujimos la explicaciónentérminosdeestacantidad.

X.¿DETERMINISMO

OINDETERMINISMO?PREDICTIBILIDADUna de las más grandesmetas de la ciencia es sercapazdepredecirfenómenos.Veamos con un poco de

detalleloqueestosignifica.Después de investigar a

fondo un fenómenoespecífico, se han podidoestablecer los mecanismosquerigenestefenómeno.Porejemplo, el caso delmovimiento de los planetasalrededor del Sol fueestudiado porNewton, quiendemostró que, si hay unafuerza entre cuerpos que

tienenmasa, dada por la leyde la gravitación universalque propuso, entonces, deacuerdo con sus leyes demovimiento los planetasdeberían girar alrededor delSol en elipses. Newtonestableció ciertas ecuacionesmatemáticasquedescribenelfenómeno y, a partir de lasolución de sus ecuaciones,encontrólaselipses.Esdecir,

Newton pudo hacer unapredicción. Esta forma deproceder se llama en físicaconstruir un modelo. Dealguna forma este modelorefleja matemáticamente lascaracterísticas físicas delsistema: en este caso, de larelación entre los planetas yelSol.

Peroestonoes todo.Pormedio de sus resultados

Newton pudo considerar losiguiente: si se llega a saberdónde se encuentra unplaneta en determinadomomento, se podrá saberdónde estará en cualquierotro instante de tiempo. Esdecir, si se conocen lascondiciones iniciales delplaneta se puede determinarsu trayectoria en el futuro.Aplicadas estas ideas al

movimiento del cometaHalley, este científico ingléspredijo enel sigloXVIII,queel cometa debería regresarcada 76 años, hecho que enefecto ha ocurrido; las dosúltimasaparicionesfueronen1910yen1986.

Sin embargo, para poderespecificar las condicionesiniciales es necesariomedirlas con algún aparato.

Como resultado de lamedición de cualquiercantidad se obtiene unnúmero. Pero este númerocontiene incertidumbres, yaque en el proceso demedición en que loobtenemos hay factores que,en general, no se puedencontrolar. Por ejemplo, si semide el peso de un cuerpocon una balanza, pueden

ocurrir errores en la lecturade la aguja, debido a algunavibración que produzca elpaso de un vehículo, o acausa de alguna corriente deaire, etc. Es decir, siemprequesemidealgohayerrores.Por tanto, como resultadodeunamedición se debe dar elnúmero obtenido así comoloslímitesdeloserroresquesepuedancometer.

Así, por ejemplo, comoresultadodeunamedicióndepeso se dirá que el peso delcuerpo de interés seencuentra entre 54.5 kg y54.8kg.El«verdadero»valordel peso está dentro de esteintervalo.Elintervalo:

54.8kg−54.5kg=0.3kg

es un cálculo del errorcometido al hacer lamedición.

Por supuesto quemientras menores sean loserrores que se cometan,mejor será el resultadode lamedición. Lo más que sepuede hacer es lograr que elintervalodentrodelcualcaenlas mediciones disminuya,peronosepuedeeliminar.

En general, podemosafirmar que no se puedehacer una medición conprecisión absoluta. Siemprese tendrá un intervalo deerror dentro del cual cae el«verdadero» valor. Loslímitesdeerrorexperimentalson estimacionescuantitativas de laimportancia de lasperturbaciones que muchos

factores externos,prácticamente imposibles decontrolar, provocan en lamedición. La determinacióndel intervalo de errorexperimental es parte deltrabajo cotidiano de uncientífico experimental.Mientras menor sea elintervalo de error, másprecisa será la mediciónefectuada.

Como consecuencia delhecho de que una medicióncontiene errores, ocurre losiguiente:supongamosqueselanza hacia abajo una piedradesde7mde altura sobre elsuelo (figura 21(a)) yqueremos predecir dóndeestará lapiedradespuésde2segundos. Si tenemos unmodelo necesitaremosintroducir las condiciones

iniciales;enestecaso,unaesla altura sobre el suelo.Supóngase que al medir laposición inicial de la piedrase encuentra que los erroresexperimentales la sitúanentre lospuntosAyBde lafigura, con un intervalo de0.12cm. El modelo que setienepuedeentoncespredecirquedespuésde2segundos,lapiedra se encontrará a una

altura de 1.5 m sobre elsuelo. Ahora supondremosqueseproduceunadelasdossituacionessiguientes:

1. La piedra deberá estaren un intervalo de 0.14cmentre lospuntosCyD(figura21b)

2. La piedra deberá estaren un intervalo de 2.15cmentre lospuntosCy

D(figura21c).

Si el modelo con el quese trabaja da lugar a losresultados del inciso (2)entonces no se puede hablarde que el modelo predicedónde estará la piedradespués de 2 segundos, yaque los límites de error semagnificaron: de 0.12 cm a2.15 cm. Este resultado casi

nosdiceque lapiedrapuedeestar,despuésde2segundos,en cualquier lugar.Claramenteestonoesloquellamaríamosunapredicción.

Figura21.Altranscurrireltiempo,elerrorinicialenla

determinacióndelaposicióndelapiedra(a)puede

quedardentrodeunintervaloanálogoalinicial(b)opuedecrecermucho(c).

Por otro lado, en el casodel inciso (1) vemos que los

errores se mantuvieron muyparecidos a los de ladeterminación inicial. Seconsideraqueenestecasoelmodelo ha predicho laposición de la piedra. No esposible hacer una mejorpredicción.

Si se hace unexperimento para determinarla posición de la piedra, loslímites de error deberán ser

análogos a los hechos en elmomento en que sedeterminólaposicióninicial.

En consecuencia, si losparámetros del sistema quese está considerando sontales que la propagación delos errores no se amplifica,entonceselmodelosíprediceelcomportamientofuturodelsistema(ésteseríaelcasodelinciso(1)).Siocurreque los

límitesdeerrorseamplifican(como en el caso del inciso(2)), entonces el modelo noes capaz de predecir elcomportamiento futuro delsistema.

Ahora trataremos estacuestión de la predicciónparaelcasoqueseconsideróen el capítuloVIII, es decir,la forma en que evolucionauna población dada por la

ecuación(6),esdecir,paraelcasonolineal.

Consideremos el caso deq = 2.5 y tratemos doscondiciones iniciales muycercanas: 0.25 y 0.27. Acontinuaciónpresentamoslasprimerasiteraciones:

En la última columna sepresenta el cálculo de ladiferencia entre los valoresdecadarenglón.

Sepuedeobservarque,en

primer lugar, la diferenciaentre los valores iniciales es0.27 - 0.25 = 0.02. Ensegundo lugar, si se observala columna de diferenciaspodemos afirmar que éstasnuncasonmayoresque0.02,la diferencia inicial (exceptoen el primer renglón, en queesde0.024,queesparecidoa0.02),sinoquedisminuyenamedida que progresamos en

la iteración hasta quefinalmentesonprácticamentenulas. Esto último es unamanifestacióndealgoqueyaconocemos. No importacuales sean las condicionesiniciales, para el casodeq=2.5,siempreseterminaráconel valor final de 0.6. Enconsecuencia,enestecasoelmodelo sí es capaz de haceruna predicción, ya que los

límites de error iniciales nose amplifican, sino queprácticamente se llega almismo resultado (0.6) sinimportar cuál haya sido elvalorinicialdelapoblación.

Por otro lado, supóngaseque el valor deq es igual a3.6 y se tratan doscondiciones iniciales, porejemplo, 0.60 y 0.63; si unose pregunta cuáles son las

poblaciones en lasiteraciones 98, 99 y 100, seobtienen los siguientesvalores:

En primer lugar, vemosque la diferencia entre losvalores iniciales es0.63 -0.60 = 0.03. En segundolugar observamos que para

estas iteraciones, lasdiferenciasnosondelmismotamaño que la inicial. Estasdiferencias llegan a sermucho mayores que 0.03 yademássonmuyvariables,laprimera es de 0.1154, luegoes 0.0838 y enseguida crecefuertemente a 0.2122.Podemos afirmar entoncesquesi la situaciónes talqueq =3.6, los límites de error

iniciales no nada más seamplifican, sino que sevuelven azarosos. Por tanto,enestecasoelmodelonoescapazdepredecirlasituaciónfuturadelapoblación.

Del análisis de estos doscasos concluimos que:a) elmodelo es capaz de hacerpredicciones, en el sentidoque arriba mencionamos, silos parámetros del sistema

(en nuestro caso el valor deq) son tales que ocurre uncomportamiento periódico, yb)queelmodelonoescapazde hacer predicciones si losparámetros son tales que seestáenlaregióncaótica.

Por otro lado nos damoscuentadeque,paracualquiervalor del parámetroq, laregla para hacer iteracionesestá completamente

determinada. Esto significaque el modelo esdeterminista. si uno da elvalor deq y la condicióninicialdex,siempreobtendráel mismo valor para laiteración 127, digamos. Enconsecuencia,estemodeloesdeterminista y presenta dostipos de regímenes: elperiódicoyelcaótico.Puedeparecer a primera vista que

hay una contradicción entreestos términos.Sinembargo,comosehailustrado,éstenoeselcaso.

En este punto convienehacer una aclaración muyimportante. El modeloconstituye la descripción deuna parte de la naturaleza:puede ser descrito entérminos matemáticos o no.Así el modelo dado en el

c a p í t u l oVIII trata derepresentar un fenómeno, elde la variación de lapoblación de insectos. Elmodelo es el que puede serdeterminista o no, puede sercaóticoono.Ennuestrocasoelmodelosíesdeterminista,porque se puede determinarcuantas veces se quiera elvalor de la población en elinstante que se quiera (o sea

la iteración que se quiera)habiendodadoelparámetroqylacondicióninicialdex.

No hay que confundirentre elmodelo que trata derepresentar a cierta realidadconlarealidadmisma.

Se ha ilustrado un hechomuy importante. Un modelodeterminista, como el de laecuación (6), en ciertascondicionesdelosvaloresde

los parámetros (por ejemploq) puede predecir elcomportamiento futuro y loserrores en las condicionesinicialesnoseamplifican.Enotras condiciones, para otrosvaloresde losparámetros, elmodelo no puede predecir elcomportamiento futuro;ahora los errores en lascondiciones iniciales seamplifican y además el

comportamiento se vuelveazaroso. En el primer caso(donde sí se pueden hacerpredicciones) el sistema estáen un régimen periódico. Enelsegundocaso(dondenosepuedenhacerpredicciones)elsistema está en un régimencaótico. Nótese que ambostiposdecomportamientos¡sedanenelmismosistema!

XI.SIMILITUDYCAOS

Enlafigura22(a)semuestraunaporciónamplificadadelagráfica de la figura 19.Considérese la regiónQPRTque corresponde al periodotres. Si se amplifica estaporción se obtiene la figura22(b).

AhoratomamoslaregiónKLMN de esta última figura,la amplificamos y seencuentralafigura22(c).

Seobservaráquelafigura22(c) se parece a la 22(b); asuvez,la22(b)separeceala22(a). Si se siguieranhaciendo amplificaciones aescalas cada vez más y másgrandes, se obtendríanfiguras que se parecerían

unasaotras.Por tanto, recordando lo

que se presentó en loscapítulosVyVI,vemosquela estructura geométrica delasgráficasdelafigura19esautosimilar, y por lo tantoformanunfractal.

Lo anterior ilustra elhecho de que hay unarelación entre caos yfractales.

Figura22.Variasamplificacionesdelagráficadela

figura19muestranqueéstaesautosimilar.

XII.ARITMÉTICA.

LASECUENCIA

DEFIBONACCI

Vamos a formar unasecuencia de números de la

siguiente forma.Empecemoscon el cero y el uno; si lossumamosnosda:

0+1=1.

Sumemosahorael1deladerechaconelanterior1delladoizquierdo:

1+1=2.

Ahora sumemos este 2con el 1 que está a laizquierda, antes del signoigual:

1+2=3

y seguimos formando lasecuencia, sumando elresultado con el últimonúmerodelladoizquierdo:

2+3=5

3+5=8

5+8=13,

yasísucesivamente.De estamanera se forma

la secuencia llamada deFibonacci,quees,

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

89,…

Esta secuencia tienecaracterísticas aritméticasmuy interesantes y, sinhaberse pretendido, tieneaplicaciones importantes,comoveremos.

En primer lugar,

multipliquemoscadanúmerodelasecuenciaporelnúmero1.6. Así se obtiene lasiguientesecuencia:

0,1.6,1.6,3.2,4.8,8.0,12.8,20.8,33.6,…

Si ahora redondeamoscadaunodeestosnúmerosalentero más cercano

encontramos:

0,2,2,3,5,8,13,21,34,…

queapartirdelsegundo2es¡precisamente la secuenciade Fibonacci! (a excepciónde unos términos iniciales yposiblemente algunosposteriores). Esto es, resultaquelasecuenciadeFibonacci

esautosimilar.Ahora vamos a construir

otra secuencia, a partir de lade Fibonacci, como sigue.Tomamos un número de lasecuencia de Fibonacci y lodividimos entre el siguiente.Si empezamos con elsegundo, que es 1, y lodividimos entre el tercero,quetambiénes1,nosda:

Ahora dividimos eltercero, que es 1, entre elcuarto,quees2,ynosda:

Al dividir el cuarto, quees2,entreelquinto,quees3,nosda:

Si seguimos asíobtenemos los siguientesnúmeros:

etc. Si seguimos así nosdaremoscuentadeque todoslos demás cocientes se vanacercando al número 0.618.Esteúltimorecibeelnombrede la media dorada. Otra

maneradeobtenerloescomosigue:

Sumemos 1 con 1, quenos da 2. Tomemos suinverso:

Sumemos 1 a estenúmero

Tomemossuinverso:

El lector se dará cuentaque lo que hizo es laoperaciónsiguiente:

Ahora repetimos elprocedimiento con 0.666. Le

sumamos1,quenosda1.666ytomamossuinverso:

Nótese que lo que se hahechohastaahoraes:

Continuando de estamanera se obtienen lassiguientes formas. Lesumamos 1 a 0.6 yobtenemos1.6.Suinversoes:

Este valor también sepuedeescribircomosigue:

Si se continúa con esteprocedimiento llega unmomentoenqueseobtieneelnúmero 0.618. Continuando,le sumamos 1 y obtenemos1.618.Suinversoes:

¡Otra vez 0.618! Portanto, al continuar con elprocedimiento obtendremostodo el tiempo 0.618. En lafigura23semuestralaformade encontrar este número0.618, que recibe el nombredelamediadorada.

A este tipo de quebrados

se les llama fraccionescontinuas. Por lo tanto, lamedia dorada se obtienetambién como una fraccióncontinua. En la figura 23vemos que esgeométricamenteautosimilar.

La secuencia deFibonacci fue obtenida porprimera vez en 1202 por elmatemático italiano

Leonardo de Pisa, hijo deBonacci (en italiano, figliode Bonacci, o Fibonacci,nombre que se le quedó), altratar la cuestión delcrecimientodeunapoblaciónde conejos. Se hizo lapregunta de cuántas parejasde conejos habrá después deciertonúmerodetemporadasde crianza, esto es, cómo semultiplican losconejos.Para

simplificar supuso losiguiente:

1. Se empieza con unaparejainmadura.

2. Los conejos maduranuna temporada despuésdehabernacido.

3. Las parejas de conejosmaduras producen unanueva pareja cadatemporadadecrianza.

4. Los conejos nuncamueren.

Figura23.Lasucesiónde

operacionesparaobtenerlamedia

doradaesautosimilar.

De acuerdo con estasreglas, el númerode conejosen una generación es igual ala suma de las parejas deconejos que hay en las dosgeneracionesanteriores.Siseempieza con una pareja,despuésdeunatemporadase

produce una nueva pareja.Por tanto, al final de latemporada hay1 + 1= 2parejas de conejos. Si sesigue de esta manera seencuentran los siguientesnúmeros de parejas en lassucesivastemporadas:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,…

que es precisamente lasecuenciadeFibonacci.

Otra manera de ver loanterior es como sigue:vamos a llamar con elnúmero 0 a una parejainmadura y con el 1 a unapareja madura. Por tanto,después de una temporadauna pareja inmadura (0)producirá una parejamadura(1),o sea,dondehayun0→

1. Además, una parejamadura (1) produce unaparejainmadura(0)y,porlotanto, después de estatemporadaexistiránlaparejamadura(1)ylainmadura(0).En consecuencia, después deuna temporadadondehayun1→ 10. Con esta regla detransformar unos y ceros,veamos qué se obtiene altranscurrirlastemporadas.

Si empezamos con 0 →1; este 1→ 10; el último 1→10,yel0setransformaen1, por lo que el 10 → 101.Transformando cada uno deestos números de acuerdoconlareglaquedimos:

101→10110

Este último número setransforma,asuvez,en:

10110→10110101

yésteasuvezen:

10110101→1011010110110,

y así seguimosindefinidamente. De estaformaseobtienelasecuencia

siguiente

0,1,10,101,10110,10110101,1011010110110,

…

llegando después de muchastemporadas,alnúmero:

1011010110110…

¿Es esta secuenciaautosimilar? En este númerovamosa subrayar lasparejas«10»:

1011010110110…

Sienlugardecadapareja«10» subrayada sustituimosahora un «1», y en lugar decada «1» no subrayado

sustituimos un «0»,encontramoslosiguiente:

10110101…

queeslasecuencia(A).Esta secuencia la

podemos ver gráficamentecomo sigue (figura 24).Dibujemos una parejainmadura en blanco, y unapareja madura en negro. Al

principiohaysólounaparejainmadura (renglón 1).Después de una temporada,estaparejallegaalamadurez(renglón 2) y, además deseguirviviendo,produceunapareja inmadura después deuna temporada.Por tanto, enlaterceratemporada(renglón3) hay una pareja madura yunainmadura.

Figura24.Unaparejainmadurase

muestraenblancoyotra,madura,ennegro.Sonlos

resultadosqueseobtienenencada

temporada.

Siguiendo con esterazonamiento,semuestranenla figura 24 las poblacionesen varias temporadasposteriores. Si ahorarepresentamos una pareja

inmadura (en blanco) con el«0» y a una madura (ennegro) con el «1», se vanobteniendo las siguientessecuencias

0

1

10

101

10110

10110101

que son precisamente lassecuencias que vimos arriba.El lector se dará cuenta deque una pareja inmadura (0)produce una pareja madura(1), o sea, 0 →1. Además,

después de una temporada,una pareja madura (1)produce una inmadura (0),por lo que al final de latemporadaquedan lamadura(1)ylainmadura(0),osea,1→ 10. Estastransformaciones sonprecisamente las que seusaronarriba.

XIII.CUASICRISTALESUnaconsecuenciaobtenidaalaplicar el concepto de laautosimilitud fue lograr laprediccióndelaexistenciadeunanuevafasedelamateria,a saber, los cuasicristales.Haremos una breve revisiónde algunos conceptos

referentesalestadosólido.Lamateriaseencuentraa

nuestro alrededor formandodiferentes fases: la gaseosa,lalíquidaylasólida.

En la fase gaseosa, losátomos o moléculas semuevenygirantotalmentealazar. Esto da comoconsecuencia que el gas notenganingunaestructura.

Enun líquido losátomos

también están desordenados.En un sólido se dan variasposibilidades. En un casoimportante los átomos seencuentransituadosalazar,osea desordenados; éste es unsólido amorfo. Un ejemplosonlosvidrios.

En otros sólidos, losátomos se encuentranformando redes periódicas,dando lugar a un cristal.

Muchas sustancias sólidasconocidassoncristales,comola sal de mesa, formada porátomos de cloro y de sodio(figura 25) o los diamantes.Enuncristallosarreglossonperiódicos, lo que significaque se repiten. Además, enun cristal hay simetrías, loque significa que si setraslada el cristal adeterminada distancia,

entonces el patrón se repite.Por ejemplo, en la figura 26semuestran redes cristalinasendosdimensiones(debidoaque se encuentran en unplano, el de la hoja). Si setraslada cualquiera de ellasadecuadamente, se vuelve arepetirlared.

Figura25.Esquemadeuncristal.

Nótesequecadaceldasevarepitiendo.

Figura26.Simetríasdeuncristalendosdimensiones:(a)

simetríade180°=360°/2;(b)

simetríade90°=360/4;(c)simetríade

120°=360°/3y(d)simetríade60°/6.Nohaysimetríade

360°/5=72°.

Figura27.Unaceldaenquelosátomosocupanlosvérticesdeun

hexágonotienesimetríade60°=360°/6.

Nosdamoscuentadequecadaunadeestasredestieneuna simetría. Esto quieredecirquesisegiralaredporciertoánguloalrededordeunpunto que esté en el centrodel «azulejo», se vuelve arecuperarlared.Porejemplo,enelcasodelafigura27,que

está formada de «azulejos»hexagonales, si se gira elpatrónalrededordelpuntoCenunángulode60°,elpuntoA cae en el punto B, que esun punto de la red. Si elánguloquesegirarafuerade45° digamos, entonces elpuntoAcaeríaenelpuntoD,que no es punto de la red, yésta no se reproduciría.Decimos que la red

hexagonal tiene simetría de60° = 360°/6. Para loscasosdelafigura26,algirarelpuntoAalrededordeCalángulo anotado acontinuación, llega al puntoB,queesunpuntodelared.Lassimetríassonentonces:

a. figura 26(a):180°=360°/2;

b. figura 26(b):90° =

360°/4;c. figura 26(c):120°=360°/3;

d. figura 26(d):60° =360°/6.

En la teoría del estadosólido se demuestra que, enel caso de dos dimensiones,éstas son las únicas posiblessimetrías.

Un caso prohibido es lasimetría de 5, o sea la queresultaría de un giro de360°/5 = 72°. Lademostracióneslasiguiente:supóngasequelospuntosAyBseanpuntosdeunared,enque la distancia AB sea lamínima en el cristal (figura28(a)). Los puntos A y Bestán entonces ocupados porátomos. Si hubiera simetría

de72°,estoquerríadecirquesi se gira el cristal, concentro en el puntoA, por unángulo de 72° (figura 28(b))entonceselpuntoBcaeríaenel punto C, que debería serocupadoporunátomo.Delamisma forma, al girar elcristal por un ángulo de 72°alrededordelpuntoB(figura28(c)), el puntoA caería enel punto D, que también

debería ser ocupado por unátomo. En consecuencia, lospuntosCyD tambiénseríanpuntos de la red cristalina(figura28(d)).Vemosque ladistanciaCDesmenorqueladistanciaAB. Pero se partiódel hecho de que la mínimadistanciaentredosátomosesladistanciaAB.Por lo tantose llega a una contradicción,hecho que indica que no

puede darse este tipo desimetría.

Lo que hemosmencionado para el caso dedos dimensiones, también seaplica en el de tresdimensiones. No todas lassimetríassonposibles.

Durantemuchos años asílo pensaron los científicos eingenieros. Sin embargo, en1984 se anunció el

descubrimientode la fase deuna aleación de aluminio-manganesoquetienesimetríade72°.Estosedescubriópormedio del patrón dedifracción de electronesmostradoen la figura29.Lamuestrasebombardeaconunhaz de electrones y seregistran en una película lasdirecciones de los electronesque salen de la muestra.

Solamente diremos que estepatrón refleja las simetríasque tiene la sustancia. Sepuedeverenlafigura29quesisegiraelpatrónalrededordel centro un ángulo de 72º,se vuelve a recuperar elpatrónoriginal.Esdecir,haysimetríade72°.

Figura28.Demostracióndequelasimetríade72°=360°/5noes

posible.

La pregunta queinmediatamente surgió fue:¿cómo es posible llenar elplano con cierta figura demanera completa? Si nosfijamos en la figura 26(b)vemos que con la celda

cuadrada es posible llenarcompletamenteunplano.Porestemotivo es que ocurre lasimetría 4. Es posible llenarel plano con cadaunade lasformadelafigura26.¿Cómosería posible llenar el planopara que se obtenga unasimetríade72°?

Unamanera de llenar unplanoconesta simetría es lamostrada en la figura 30.A

primera vista la figura da laimpresión de ser periódica.Sinembargo,adiferenciadeloquepasaconlasformasdela figura 26, si nos fijamoscon detenimiento, veremosque ahora ya no hayperiodicidad. A este tipo deestructura se le llamacuasicristal.

Se han descubiertotambiéncuasicristalesdetres

dimensiones, mas nohablaremosdeellos.

Figura29.Patróndedifraccióndeelectronesenuna

muestradealuminio-

manganesoquetienelasimetríade

72°=360°/5.

Figura30.Formaenquesepuedellenartodoelplanoconfigurasquetienelasimetríade72°.Nótesequeestaestructuranoes

periódica.

Pero ¿qué tiene que vertodo esto con laautosimilitud?Paracontestaresta pregunta vamos aconstruir, en primer lugar,

unareddeunadimensión,esdecir;alolargodeunalínearecta. Para este finconsideremos primero unaredcuadrada como laque semuestra en la figura 31(a).Ahora tracemos una línearecta (figura 31(b)) queforme con el eje horizontalun ángulo de 58.280. Estalíneaes laLK.Al lectorquesepa trigonometría le

diremos que este ángulo estalquesutangenteesiguala(1/0.618) = 1.618,donde 0.618 es la mediadoradadelaquesetratóenelcapítuloanterior.Esdecir,elángulo de 58.28° estárelacionado con la mediadorada.

Figura31.Procedimientodeconstruccióndeuncuasicristalalolargodeunalínearecta.Eneltextose

ilustralaimportanciadelamediadoradaparaestaconstrucción.

La línea recta LK cruzavarios cuadrados de la red,comoporejemplo,elABCD.

Ahora bien, cada vez que lalínea entre en un cuadrado,desde el vértice superiorizquierdosetrazaráunalíneaperpendicularalalínearecta.Así,enelcuadradoABCD,elvértice superior izquierdo esD; desde D se traza la líneaDQ, perpendicular a la líneaLKDeestamaneraseformanenlalínealospuntosQ,P,R,T, S,… y resulta que las

distancias QP, RT, TS sóloadquieren dos valores. Lasdistancias QP, RT, TS soniguales entre sí; asimismo,las distancias PR, SV, WX,…son también igualesentresí.De las dos distancias queseforman,unaesmásgrandeque la otra. Por ejemplo, PRes menor que QP. Resultaque la relación entre estasdos distancias diferentes que

asíseformanes:

¡iguala lamediadorada!Si llamamos longitudgrandeigual a «1» y a la pequeñaigual a «0», entonces laslongitudes en las que sedivide la línea transversal, apartir de Q, son (figura31(c)):

1011010110110…

que es precisamente lasecuencia de Fibonacci, quese trató en el capítuloanterior (véase (A) de lapágina 72). Si ahoraconsideramos la línea LK yen los puntos Q, P, R,… secolocanátomos, se formauncuasicristal en unadimensión.

Para los casos de dos ytres dimensiones se puedehacer algo análogo. Sinembargo, esto implicaconsideracionesenlasquenoentraremos y solamentediremos que se puede hacercon ayuda de unacomputadora.Paraelcasodedos dimensiones lo que seobtiene es el arreglomostrado en la figura 32. Si

uno se fija con cuidado, lospuntosdeestarednoformanuna red periódica. Resultaque estos puntoscorresponden a los vérticesde la red mostrada en lafigura30.Nótesequeestaredcubrecompletamente todoelplanoperonoesperiódica.

Porotrolado,elpatróndedifracción de electrones queproduce una red como la

mostrada en la figura 32 es¡precisamente el patrónmostradoenlafigura29!Enconsecuencia,elpatrónde lafigura 29 obtenidoexperimentalmente,corresponde a una red consimetríade72°.

Figura32.Cuasicristal

construidoendosdimensionessiguiendoelprocedimiento

correspondientea

lafigura31enunplano.

Podemos afirmar que lasredesqueseconstruyeronenlas figuras 31(c) y 32 soncuasicristales, en una y dosdimensiones,respectivamente.

De la manera en que seconstruyeron estoscuasicristales vemos quellevaninmersosdentrodesus

estructuras una característicade autosimilitud, que seencuentra en la secuencia deFibonacci.

XIV.LEYESDEPOTENCIAS.OTRAFUENTEDESIMILITUDUno de los notablesdescubrimientos de Newtonfue la ley de la gravitaciónuniversal, según la cual sidos cuerpos tienen masa,

cuando están cerca uno delotro hay una fuerza deatracciónentreellos.Así,porejemplo, la Tierra atrae a laLuna y el Sol a la Tierra.Para nuestros propósitos, loimportantedeestaleyesquenos indica, en primer lugar,que la fuerza entre loscuerpos depende de ladistanciaentreellos.Nodalomismo tener dos cuerpos

muy cercanos uno del otroquemuyseparados.Mientrasmayor sea la distancia entrelos cuerpos menor será lafuerza entre ellos, ya que amedidaqueladistanciaentredos cuerpos sea mayor,menorseráelefectoqueunoejerzasobreelotro.

En segundo lugar, la leyde la gravitación universalnos indica cómo depende la

fuerza de la distancia.Supongamosquedoscuerposestán a una distancia de unmetro y la fuerza tienedeterminado valor. Si ladistancia entre estosmismoscuerpos aumenta al doble, oseaa2m,entonceslafuerzadisminuye a la cuarta parte.Si la distancia aumenta altriple,o seaa3m, la fuerzadisminuyea lanovenaparte,

etcétera.La cuarta parte de la

fuerza es igual a 1/4; pero4= 2², o sea, 2 elevado a lapotencia 2; por lo que lacuartaparteesiguala1/2².

La novena parte de lafuerza es igual a 1/9; pero9= 3², o sea, 3 elevado a lapotencia 2; por lo que lanovena parte es igual a 1/3²,

etc. En consecuencia: si ladistanciaaumenta2veces,lafuerza disminuye 1/2² veces;si la distancia aumenta 3veces, la fuerza disminuye1/3² veces; si la distanciaaumenta 4 veces, la fuerzadisminuye 1/4² veces,etcétera.

Esto último se expresadiciendo que la disminucióndel valor de la fuerza es

como el cuadrado de ladistancia. En formaabreviada, usando lenguajematemático lo anterior seexpresa diciendo que lafuerza depende en formainversamenteproporcionalalcuadrado de la distancia.Inversamente quiere decirque al aumentar la distanciadisminuyelafuerza.

Ahorabien,sienlugarde

haber considerado ladistancia en la escala demetroslahubiéramostomadoenlaescaladekilómetros,laforma en que varía la fuerzacon la distancia no cambia,siguedisminuyendoenrazónal cuadrado de la distancia.Si se toma una escala enmiles o de millones dekilómetros (como ocurre enel caso del sistema

planetario), la dependenciade la fuerza con la distanciasigue siendo la misma. Portanto, como el mismocomportamiento ocurre sinimportar la escala, estefenómenoesautosimilar.

Existen otros fenómenosenlanaturalezaenlosqueladependencia de la distancianoes comoel cuadrado,queacabamosdeconsiderar,sino

que dependen de otrapotencia. Además, puedeocurrir que la fuerza nodisminuya al aumentar ladistancia, sino que aumente.Por ejemplo, podemosconsiderarun resorte: si éstese estira sabemos entoncesque ejerce una fuerza quetrata de regresarlo a suposición original (se dice deequilibrio). Mientras mayor

sealadistanciaqueseestire,mayor será la fuerza que elresorte ejerza. Lo mismoocurre cuando se comprime,mientras mayor sea ladistanciaqueselecomprima,mayor será la fuerza queejerza.

Además,resultaque:siladistanciaaumentaaldoble,lafuerzaaumentaaldoble;siladistanciaaumentaaltriple,la

fuerza aumenta al triple,etcétera.

O dicho de otra manera:si la distancia aumenta 2veces, la fuerza aumenta 2veces;siladistanciaaumenta3veces, la fuerza aumenta3veces,etcétera.

Vemos ahora que el 2, oel 3, son 21 y 31,respectivamente, cantidadeselevadasalapotencia1.

Enestecasovemosquelafuerza aumenta como ladistancia. Usando lenguajematemático se abrevia estainformación diciendo que lafuerza es proporcional a laprimera potencia de ladistancia.

Enestecaso,tambiénhayautosimilitud.

Hemos hablado derelación entre fuerzas y

distancias. Sin embargo, enmuchos fenómenos algunacantidad depende de unavariable (no necesariamenteladistancia),yasea:

inversamente, lo quequiere decir que alaumentar el valor de lavariable disminuye elvalor de la cantidad, obien

en forma proporcional,lo que quiere decir queal aumentar el valor dela variable aumenta elvalordelacantidad.

Además, la dependenciaentrelacantidadylavariablede la que depende puededarse por medio de algunapotencia, que nonecesariamente tiene que ser

siempreni2(comoenlaleyde la gravitación universal)ni 1 (como en el resorte).Puede ser con otro valornumérico,yaseaenteroono.

Cuandoladependenciadeuna cantidad de su variablees como laque acabamosdeexplicar se dice que elfenómenoestáregidoporunaley de potencias. En todosestos casos existe la

autosimilitud.

XV.LASIMILITUDENLAMÚSICA.CÓMOUSÓBACHLASLEYESDEPOTENCIASDELASQUE

JAMÁSOYÓHABLAR

Elanálisisdelaestructuradediferentesobrasmusicaleshademostrado que la selecciónde las notas que han hechodiferentes compositores, endistintas épocas, tienealgunos elementos comunes.Trátese de uno de los

ConciertosdeBrandemburgode Bach, delCuarteto decuerdas # 3 de Babbit, deobras de piano de ScottJoplin, todas estas obrastienen la misma forma si seconsidera la estructura entérminos de frecuencias.Explicaremos esto acontinuación.

Enelanálisisauditivodediversasobrasmusicalesuna

cantidadque se ha estudiadoes la potencia deaudiode lamúsica. Esta cantidad es, enesencia, la energía que seemite en forma de ondassonoras cada segundo,cuando se ejecuta la obramusical. Al analizar cómoestá estructurada estacantidad, en términos de lafrecuencia, se obtiene lo quesellamasuespectro.

¿Cómo dependen de lafrecuencia los espectros delas diferentes obrasmusicales?

Los análisis hechos dediferentes obras musicaleshan mostrado que susespectros dependen de lafrecuencia, que llamaremosconlaletraf,como(1/f).Sirecordamosloqueseanalizóenelcapítuloanteriorvemos

que este espectro es una leyde potencia que, en ellenguaje matemático,depende de la frecuencia enforma inversa a la primerapotencia de f (ya que elexponentedelafen(1/f)es1). Por lo tanto, como ya sedescribió, este espectro esautosimilar y enconsecuencia, contiene unaestructurafractal.

Un espectro del tipomencionado en el párrafoanterior recibe el nombre deespectrorosa.

¿Por quéBach ymuchosotros compositoresescogieron el espectro rosa?La realidad es que ningúnmúsico oyó hablar jamás deestas ideas, nimuchomenoslas escogió de maneradeliberada. Para entender lo

que sucede explicaremoscómo se haría música conotrotipodeespectro.

Una forma sería comosigue: cada nota que seescribeestalquesuposiciónyduraciónnodependenparanada de las notas anterioresni de su duración. En estecaso se dice que lacomposición escompletamente al azar o

estocástica. Un ejemplo deeste tipo de música sepresentaenlafigura33(a).Elespectro de la potencia deaudiodeeste tipodemúsicaes el mismo para cualquiervalordelafrecuencia,loquesignifica que el valor de lapotencia es el mismo paracualesquiera valores de lafrecuencia,osea,quesetratade una cantidad constante.

Matemáticamente, elespectro depende de lafrecuencia (1/f0), ya quef0= 1. A un espectro de estetiposelellamablanco.Sisetocaraestetipodemúsicaenun instrumento la oiríamossin estructura; además daríala impresión de que de unanota a otra siempre habríaunasorpresa.

Otro tipo de espectro,

yéndose al otro extremo, esel que depende de lafrecuencia (1/f²), espectrol l am a d obrown ocafé,nombreque se ledioporqueestá asociado al movimientobrownianoque se trató en elcapí tuloIV. En la figura33(b)sepresentamúsicaquetiene el espectrocafé. En lamúsica cada nota y suduración dependen en grado

considerable de las notasanteriores. Por lo tanto, lasensación que se tiene alescucharlaesquedespuésdehaber tocado unas notas lasquesiguensonprevisibles.

Figura33.(a)Ejemplodemúsicablanca.(b)Ejemplodemúsicacafé.(c)Ejemplodemúsica

rosa.

La música que tieneespectro rosa, o sea (1/f), seencuentra, por así decirlo,entre los casos demúsica alazar (espectro blanco) ymúsica determinista

(espectro café). En este casolas notas y su duración noson ni muy previsibles nimuy sorprendentes. Unejemplo de este tipo demúsica se muestra en lafigura33(c).

Regresandoa lapreguntaque se hizo arriba: ¿por quélos compositores usaronefectivamente espectrosrosas, o sea una ley de

potencias (1/f) paracomponer su música?, sepuede afirmar que loscompositores han intentado,ypor ciertomuchosde elloslogrado, componer músicainteresante. La cuestión sedeberíaplantear comosigue:¿por qué la músicainteresante tiene un espectrorosa?Larespuestapodríaserque la música con este tipo

de espectro resulta ser nimuy previsible (espectrocafé) ni muy sorprendente(espectro blanco). Elcientífico holandésBalthazaarvandePolafirmóenunaocasiónquelamúsicadeBach es grandiosaporquees inevitable y al mismotiempo sorprendente, lo quesignifica que su espectro esrosa.

Debido a que la músicaquetieneunespectrorosaesautosimilar, tiene estructurasimilar en diferentes escalasdefrecuencias.Loqueocurreen una escala de frecuenciasdebeocurrirencualquierotraescala de frecuencias. Si segrabara una composición deestetipoencintamagnéticaaciertavelocidadysetocaraadistintas velocidades, lo que

se oiría sería similar a lograbado. Esto contrasta conlo que ocurre con la vozhumana,puescuandosetocauna grabación a unavelocidad, por ejemplo aldoble de lo que debierahacerse,seoyemuychillona.Una forma de exhibir laautosimilitudesconayudadeun aparato electrónico quegenere sonidos de las

frecuenciasqueunodesea.Siseproduceunsonidoqueseala superposición de 2 notas,siendo cada nota una octava(de frecuencia doble) de laanterioryseempiezaconunanota de 10 Hertz (Hz), (1hertz = 1Hz = 1/seg),lassiguientes11notasseríandefrecuencias:

20=2×l0,40=

4×10,80=8×10,160=16×10,

320=32×10,640=64×10,1280=128×10,

2560=256×10,5120=5l2×l0,10240=1024×

10y

20480=2048×10,todasenunidadesHz.

Ahora cambiemos cadauna de estas notas por otrasque sean de frecuenciasmayores por un semitono(que corresponde a la

diferencia entre dos notassucesivas de un piano); lafrecuencia del semitono seobtiene de la nota anteriormultiplicando por 1.05946.Ahorasetocaráelsonidoquees la superposición de lasfrecuenciassiguientes:

10×1.0594=10.6,20×

1.05946=21.2,

40×1.05946=42.38,80×

1.05946=84.76,

160×1.05946=169.51,320×1.05946=339.03,

640×1.05946=

678.06,1280×1.05946=1356.11,

2560×1.05946=2712.22,5120×

1.05946=5424.44,

10240×1.05946

=10848.88y20480×1.05946=21697.74Hz

Estesonidoseoiráconuntonomásaltoqueelanterior.

Siseaumentaotravezlafrecuenciadecadaunadelasnotas en un semitono, lasuperposición de los nuevossonidos producirá un sonidode tono aún más alto. Si se

repite12veceselprocesodeaumentar en un semitonocadaunodeloscomponentesdel sonido, resulta que elsonido que se produce es¡indistinguible del original!Ésta es una demostraciónmusicaldelaautosimilitud.

XVI.LATURBULENCIA

DELOSFLUIDOS

El fenómeno de laturbulenciahasidoestudiadopor un buen número decientíficos a lo largodemásde 150 años.

Desafortunadamente durantecasitodoestetiemponoselepudo dar una explicaciónsatisfactoria. No fue sinohasta el decenio 1980-1990que finalmente se haempezado a entender elfenómeno de la turbulenciaentérminosdecaos.

Cuandoelaguadeunríofluye por su cauce sabemosqueexistendiferentesformas

de flujo. Si la velocidad delagua es pequeña, entonceseste flujo es regular; cuandoel agua pasa por algunapiedra que está en el río,simplemente la rodea y elflujo continúa de maneraregular. Se dice que el flujoes laminar, ya que sumovimiento ocurre como siun conjunto de láminas deaguafluyeraunasobreotra.

Sinembargo,alaumentarla velocidad del agua llegacierto momento en que elflujo se vuelve altamenteirregular. Nos damos cuentadequealbordearlapiedraseproducen remolinos. Si lavelocidaddelaguaesmuchomás alta todavía, aparecenremolinos dentro de losremolinos. En estascondicionesel flujodelagua

esturbulento.La descripción inicial de

estos fenómenos, quecorresponden a lahidrodinámica, fue hechaaplicando las leyes delmovimientodeNewtona losfluidos. De esta manera seencontró una ecuación queresultó ser no lineal. En labibliografía técnica estaecuaciónrecibeelnombrede

Navier-Stokes. Como haocurrido con la mayoría delasecuacionesnolineales, laecuacióndeNavier-Stokesnose ha podido resolver demaneraexacta.

En el caso en que lavelocidaddel líquidoesmuyreducida,eltérminonolinealde la ecuación de Navier-Stokes resulta serextraordinariamente pequeño

y es posible no tomarlo encuenta, obteniéndose así unaecuación lineal, que sí se hapodido resolver. Bajo estascondicionesnosencontramosen el régimen laminar. Laspropiedades de los flujoslaminares se han obtenido yseconocenbastantebien.Dehecho, gran parte de latecnología basada en lahidrodinámica se ha

desarrollado a partir de lassoluciones de la ecuación deNavier-Stokeslinealizada.

Un ejemplo deturbulencia ocurre cuando secalientaunpocillodeaguaenuna estufa.Como se sabe, sise deja calentar el agua untiempo suficiente, éstaaumenta su temperatura yempieza a verse unmovimiento en el agua, que

recibe el nombre deconvección. La causa de laconvección se debe a que laporcióndeaguamáscercanaa la flama se calienta y portanto su volumen aumenta.Al ocurrir esta dilatación,esta agua se vuelve másligeraqueelaguamásfríadearriba.Portanto,elaguafríaes más pesada y se muevehaciaabajo,desalojandoa la

caliente, que a su vez semueve hacia arriba. De estaforma se genera unmovimiento tipo circular deabajohaciaarribaydearribahaciaabajo.

A medida que continúaaumentando la temperatura,el movimiento se hace muyirregular y, cuando estosucede, se dice que haempezadolaturbulencia.

En la década de 1980-1990 se hicieron variostrabajos muy cuidadosossobre la turbulenciadebidaavariaciones de latemperatura. Para estudiarestefenómenoseencierraunlíquido en una cápsula muypequeña y se mantiene unadiferenciadetemperaturafijaentre las superficies superiore inferior de la cápsula. La

superficie inferior semantienemáscalientequelasuperior. Esta diferencia detemperatura causa que ellíquidoenlaparteinferiorseexpanda, volviéndose másligero que el de arriba. Ésteempiezaabajaryeldeabajosube, es decir, ocurre laconvección.Silaslongitudesdel recipiente tienen valoresbien determinados, el

movimiento del líquido serealiza alrededor detrayectorias cilíndricas(figura34).

Despuésdeciertotiempo,sinocambialadiferenciadetemperatura entre ambascaras,elmovimientosehaceestacionario, lo que quieredecir que el giro se vuelveperiódico; el líquido tardacierto tiempo en dar una

vuelta completa. En elexperimento se mide estetiempooperiododeflujo.

Elexperimentosellevaacabo cambiandogradualmenteladiferenciadetemperaturas entre las carasdelacápsula.Paracadavalordeestadiferenciaseesperaeltiemponecesariohastaquesellega a una situaciónestacionaria y se registra el

periododelmovimiento.

Figura34.Endeterminadas

circunstanciaselmovimientodeconvecciónsedaentrayectoriascilíndricas.

Loqueseencontróesqueal aumentar la diferencia detemperaturas llega unmomento en que aparecendos periodos, es decir, haydos tiempos de giro, y nonadamás esto, sino que unodelostiemposesigualalquehabíaanteriormente,yelotrotiene valordoble respecto alprimero. Esto significa quese presenta un fenómeno de

bifurcación(véaseelcapítuloVIII).

Al seguir aumentando ladiferencia de temperaturallega otro momento en queparecencuatrotiempos,oseacuatro periodos, es decir, seproduce otra bifurcación.Continuando de esta manerase encuentran lascaracterísticas queestudiamos en el capítulo

VIII,sobreelcaminoalcaos.Hemos de decir que en estecaso particular la diferenciade temperatura entre lascaras de la cápsula es elanálogo de la cantidadq conla que se trabajó en laecuación(6)delcapítuloVIII.Una mayor diferencia detemperaturacorrespondeaunvalor mayor de esteparámetro.

Figura35.Frecuencias

característicasqueaparecenalaumentar

continuamenteladiferenciade

temperaturas:(a)haydos

frecuencias;(b)haycuatrofrecuencias,y(c)Casoenquehayturbulencia.

Lasfrecuenciassonmuchísimas.Seha

llegadoalrégimencaótico.

Una forma—que resultóadecuada— de presentar losresultados fue haciendo unanálisis no de periodos sinode frecuencias. En la figura35 se muestra una sucesiónde las frecuencias queaparecenparacadavalorfijode la diferencia detemperatura, o sea, del valor

q.Enprimerlugar,cuandoelvalor de la diferencia essuficientemente pequeño,sólo hay una frecuencia (osea, un solo periodo); alaumentar esta diferencia,llega un momento en queaparecen dos frecuencias(figura35(a)),unaigualalaanterior y la otra igual a lamitad. Al aumentar todavíamás la diferencia de

temperatura aparecen cuatrofrecuencias, la inicial, unaigualalamitad,otradevalorigual a la cuartaparteyotramás igual a la octava partedelvalordelainicial(figura35(b)). Si la diferencia detemperatura continúaaumentando,vanapareciendomás y más frecuenciasprecisamentecon losvaloresasociados con las

bifurcaciones. Finalmente,llegaunmomentoenquehayfrecuencias de todos losvalores (figura 35(c)). Se hallegado al régimen caótico.En esta situación, dentro delfluido se inicia el régimenturbulento. Por tanto, se hademostrado que laturbulencia está asociadaprecisamente al caos quedescribirnos en el capítulo

VIII.Sehanrealizadodiversos

experimentos análogos, concondiciones que generanturbulencias. Los análisis delosresultadosobtenidos,bajoel punto de vista queacabamos de considerar,indican que al iniciarse laturbulencia es cuandoempieza el caos. La relaciónentre turbulencia y caos en

un fluido es tema deinvestigación activa en laactualidad.

XVII.ACERCADELOSCICLOS

BIOLÓGICOS.ELCASODELCORAZÓN.EL

CAOSSALUDABLE

En los sistemas biológicosexiste un variado número deritmos. Uno de los másconocidos es el latido delcorazón; otro es el ritmo desueño,quesepresentaenlosanimales y en el hombre.Ambos, en general, estánasociados a los llamadosrelojesbiológicos.

La forma acostumbradade estudiar este tipo de

fenómenoshasidoinvestigarel órgano biológico que loproduce y estudiar con tododetalle su comportamientobiológico, químico y físico.Así se han obtenido losconocimientos que hanpermitido el gran avance dela medicina. Sin embargo,estaformadeprocedernohasido suficiente. A partir delos años ochenta se ha dado

un nuevo enfoque en lainvestigación de losfenómenos biológicos, asaber,dirigirel estudioa laspropiedades globales de lossistemas considerándolos nolineales. El lector se darácuenta de que ésta esprecisamente la maneracomo se ha tratado otro tipode fenómenos, la turbulenciaporejemplo.

Entre lo primero que seinvestigó fue el movimientode los ojos de las personasafectadasdeesquizofrenia.Siuna persona normal observala oscilación del péndulo deun reloj de pared, porejemplo, sus ojos siguen elpéndulo continuamente,comosiestuvieranligadosalmovimiento. En contraste,cuando un esquizofrénico ve

laoscilacióndelpéndulo,susojos realizan una serie demovimientos erráticos cuyoorigenesdesconocido.

Sehacreídoquelacausade estas fluctuaciones sedebea lasvariacionesde lasseñales que provienen delsistemanerviosocentral,quees el que controla losmúsculos de los ojos. Se hasupuesto que estas

fluctuaciones se deben aperturbaciones al azar queafligen el cerebro de losesquizofrénicos. Si lasseñales de entrada tienenruido, se esperaría que losresultadostambiénmostraranruido.

Al estudiar estefenómeno usando lasnovedosas ideas del caos, seencontró que este tipo de

comportamiento se podríaentenderdeotraforma.

Resulta que elmovimiento del ojo puedeconsiderarseunfenómenonolineal. En el sistema del ojohay varios parámetros,análogos al parámetroq delcapítuloVIII,quesonlamasadel ojo, la viscosidad de loslíquidos dentro del ojo,etcétera.

Se ha descubierto que enel movimiento del ojo hayvarios regímenes, tanto deorden como de caos,dependiendo de los valoresde los parámetros. Paraalgunos valores de losparámetros (que equivalen avalores pequeños deq en elcapítuloVIII) el movimientodel ojo es regular. Alaumentarestosvalores,osea

elgradodenolinealidad(queequivale a aumentar el valord eq en el capítulo VIII),empieza una secuencia dedoblamiento de periodo ybifurcaciones,quefinalmentelleva a un régimen caótico,enelqueelojosemuevetalcomo se informa que ocurreconlosesquizofrénicos.

En consecuencia, elmovimiento irregular de los

ojos de los esquizofrénicosparece que no se debe aseñales enviadas al azar porel cerebro, sino que esconsecuencia inevitable deexcesiva no linealidad en susistema ocular; por supuestoque entonces la forma deevitarlo sería disminuirla.Sin embargo, todavía no seha podido hacerlo en lapráctica, y por tanto, la

cuestión sigue abierta. Lairregularidad en elmovimiento de los ojos sepresenta no sólo en losesquizofrénicossino tambiénen otros pacientes conenfermedadesneurológicas.

Laformadeprocederquehemosreseñado,enlaquelosdetalles particulares nodesempeñan el papelprincipal en el

comportamiento del sistema,sino en la que el puntocrucial es reconocer que elfenómeno está regido por elcomportamiento global, haempezadoadarfrutos.

El caso del corazónmerece atención especial,puesenélsedanvariostiposde ritmos, que se haninvestigado en forma aisladay han sido categorizados. Es

posible distinguirlos en loselectrocardiogramas. Susirregularidades han sidoreconocidas como signos dealguna enfermedad. Sinembargo, sólo recientementesehaempezadoaanalizarsudinámica.

Muy importante es lafibrilación, que causa milesdemuertessúbitasalaño.Enmuchoscasos,éstassedeben

albloqueodelasarterias,queasuvezcausanlamuertedelmúsculo que bombea lasangre. Sin embargo, no sesabeaquésedebe.

Enuncorazónnormallosmúsculos se contraen yrelajan de manera periódica,mientras que cuando ocurrela fibrilación los músculosdel corazón se contorsionansincoordinaciónalgunayno

pueden bombear sangre. Enun corazón normal lasseñales eléctricas viajan demaneracoordinadaalolargodel órgano. Cuando la señalllega,cadacélulasecontrae;enseguida la célula se relajadurante un intervalodeterminado, dentro del cualnopuedevolveracontraerse.En cambio, cuando hayfibrilaciónlaondaseesparce

sin coordinación con elresultado de que el corazónnuncaestádeltodocontraídonideltodorelajado.

Unaformadeayudaraunpaciente que ha sufrido unataque de fibrilación esaplicarle una corrienteeléctrica —un shockeléctrico—, con lo que amenudo su corazón vuelve atrabajarnormalmente.

En un corazón afectadodefibrilacióncadaunadesuspartes puede estarfuncionando normalmente.Lasautopsiasdelaspersonasque murieron por esta causamuestran que los músculosno están dañados y que, sinembargo, el conjunto delcorazónnofuncionó.

El corazón es un sistemacomplejo,quehaempezadoa

ser estudiado desde unángulo distinto: el del caos.Se ha encontrado que suactividad eléctrica presentasecuenciasdedoblamientodeperiodos hasta llegar a unrégimen caótico,comportamientosimilaraldeotros sistemas quedesarrollancaos.Resultaquecuando se presenta lafibrilación se está en un

régimen caótico, y al dar unshock eléctrico losparámetros del corazón semodificanyésteregresaaunrégimenqueyanoescaótico,por lo que sucomportamientovuelveaserregular.

Por lo tanto,seveque lamodificación de algúnparámetrorelacionadoconelfuncionamiento del corazón,

comoporejemplouncambioen la conductividad de losmúsculos o en el tiempo dellegada de alguna señal,puede alterar el régimen enque se encuentra el órgano.Esto correspondería amodificar el parámetroq delc a p í t u l oVIII. Laconsecuencia es que estecambio puede hacer que elórgano sano pase por una

bifurcaciónytengaunnuevocomportamiento cualitativo.Como sabemos, al pasar unabifurcación aparecen nuevosperiodosdeoscilaciónquenosiempre pueden ser sanos,pues dan otros dos ritmos alcorazón.

El comportamientocaótico de algún sistemabiológico no siempre estárelacionado con alguna

enfermedad. Aunque puedaparecer increíble, se haempezado a considerar elcaos como fuente de salud.Los sistemas no linealestienen la capacidad deregulación y de control. Si aun sistema que se comportalinealmenteseleproduceunapequeña perturbación,entonces se comportará demanera cercana a como lo

haría si no se le hubieraperturbado. Sin embargo, sise da lamisma perturbacióna un sistema no lineal, éstetiende a volver a sucondicióninicial.Recuérdeseque en el sistema no linealquesevioenelcapítuloVIIIlos valores finales queadquiría la variablex nodependían de sus valoresiniciales. Entonces, si el

sistema está en un instantedado en el valor final y a lasiguiente iteración, o sea alsiguiente instante de tiempo,se ledaunvalordistintodelfinal, después de variasiteraciones,esdecir,despuésde cierto tiempo, regresa alvalor que tenía, que es elvalorfinalcorrespondientealvalordeq.Portanto,paraunvalor fijo deq el sistema

siempre tenderá a tener unvalor finalde suvariable; sepuede decir que, pase lo quepase, está «condenado» aterminarconesevalor.

Ahorabien,siunsistemallegara siempre a un valorfinal de sus variables, sinimportar el valor de susparámetros(q,enelcasoquehemostratado),entoncesestesistemanopodríaajustarsea

cambios. Sin embargo, losseres vivientes deben poderadaptarse a los cambios. Portanto en un sistema como eltratado, si las circunstanciasexternas hacen que el valord eq se altere, entonces losvalores finales que adquirirála variablex serán distintosde los que tenía antes delcambio. Si el sistemabiológico es capaz de vivir

con los nuevos valoresfinales significa que se hapodido adaptar a las nuevascircunstancias. Si no,desaparecerá.

El hecho de que muchossistemas biológicos sean nolineales y se comportencaóticamentehapermitidolaposibilidad de adaptación.Algunos investigadores hansugerido que para que estos

sistemas sobrevivan bajonuevas circunstanciastendrán que desarrollarestructuras fractales. Porejemplo, las fibrasconductorasdelcorazónolasredes que forman losbronquios tienen estructurafractal que permite una granvariedadderitmos.

Por lo tanto, se puedellegar a la sorprendente

conclusión de que el caospermite la salud, mientrasque si un sistema fueratotalmente pronosticable, alocurrir cualquier cambio seenfermaría y poco despuésdesaparecería.

De estas consideracionesse obtiene una sugerenciamuy interesante: cuando unaenfermedad se debe a lainadaptabilidad del

organismo a los posiblesnuevos ritmos debidos alcambio de circunstancias, eltratamiento debería consistiren ampliar sus capacidadesparaqueestosnuevosritmosfuerancapacesdedarse.Estaidea puede abrir una nuevaforma de tratar ciertasenfermedades.

XVIII.ESTRUCTURASBIOLÓGICASRARAS.LASABIA

EVOLUCIÓNYLOS

FRACTALES

En el curso de biología delbachillerato se estudia elcerebro humano, y unacaracterística que deinmediato se percibe es quesu forma no es lisa sinoextremadamenteconvolucionada, con muchospliegues y arrugas. ¿Por quéel cerebro tiene esta formatanrara?

El volumen cerebral de

los mamíferos presenta granvariación,entre0.3mililitros(ml) y 3 000ml. La cortezacerebral de los animalesgrandes está muyconvolucionada,sin importarsuposiciónenlaescaladelaevolución. Resulta que laproporcióndemateriablancarespecto a lamateria gris escasi la misma en todos losmamíferos. A fin de

mantener esta proporción, elmaterial de un cerebrogrande necesariamente tieneque estar acomodado enpliegues, de otra manera nocabríaenelcráneo.

Delexamenmicroscópicodelcerebroseobservaque,amedida que aumenta laamplificación, se vaencontrando más y másdetalles, y las estructuras

más chicas se parecen a lasmás grandes. O, en otraspalabras, se produce lasimilitud al cambiar deescala. El cerebro tieneestructura fractal. Ladimensión fractal de lasuperficie del cerebro esmayor que 2, lo que implicaque esta superficie necesitamásespacioparallenarse;noes suficiente con la

dimensióniguala2.La característica de los

fractales, como la similitud,se encuentra en distintossistemas y órganosanatómicos, por ejemplo enla red vascular, las arterias,lasredesneurales,losductospancreáticos, la placenta, losbronquios, etc. Comoejemplo mencionaremos quelas arterias humanas tienen

una dimensión fractal de 2.7y en el sistema digestivo eltejido presenta ondulacionesdentro de ondulaciones, a lolargodemuchasescalas.

Losvasossanguíneosquevan desde la aorta hasta loscapilares se ramifican ydividen. Cada división sevuelve a ramificar y dividir.Esto continúa hasta que losconductos se vuelven tan

angostosquelascélulasdelasangre sólo pueden circular,por decirlo así, en fila, unadespués de la otra. Laestructura de este sistematiene carácter fractal. Pornecesidades fisiológicas, losvasos sanguíneos tienen queapretar y comprimir unalíneaextremadamentelargayhacerlacaberenunáreamuypequeña; a suvez el sistema

circulatorio debe comprimiruna superficie de área muygrande en un volumenlimitado. La sangre es unbien precioso para el cuerpoyelcuerponopuede«gastar»mucho en espacio. La únicaformaenquelasangrepuedecircular de tal forma queninguna célula esté separadade un vaso sanguíneo másallá de tres o cuatro células,

es que el sistema tengaestructura fractal. Estosignifica que el cuerpo tuvoque desarrollarse de talforma que una línea, unavena por ejemplo, puedacubrir casi completamenteuna superficie. La únicaforma en que esto puedeocurrir es mediante unaestructura fractal. Habrá quemencionar que, aunque los

vasos sanguíneosbarren ycasi cubren una superficierelativamente grande noocupan,contodoylasangre,más de 5% del cuerpo. Estaforma eficiente deestructurarse se debe a laevoluciónbiológica.

La estructura fractal tanexquisita que se forma en elcuerpo de las venas y de lasarterias no es única. El

cuerpo tiene muchos otrossistemas así de eficientes,que se deben a la evolución.Lospulmonesdebenempacarla máxima área posibledentro del mínimo volumen.Hay que mencionar que lacapacidad de cualquier servivo de absorber oxígenodepende del área de lasuperficie de sus pulmones;mientrasmayorseaestaárea,

mayor será la capacidad deabsorción. En el ser humanolospulmonesocupanunáreade alrededor ¡100 m²!(equivalente al área de uncuadradode10mde lado)yéstos ocupan un volumencorporal relativamentepequeño.

Laideadelosfractaleshaempezado a tener unaincidencia muy importante

enelestudiode laanatomía.De hecho, la forma en quetradicionalmente seclasificabandiferentespartesdel cuerpo, a pesar de sumucha utilidad, no explicacompletamente lo queocurría. Fue hasta que seempezóausar la ideade losfractales,oseadeestructurasque presentan similitud amuchas escalas, que se pudo

entendermejorcómoestabandiseñadas. La descripciónfractal pudo explicar lasobservacionesexperimentales. De estamanera se descubrió que elsistemaurinarioesfractal,elducto biliar en el hígado esfractal y la red de fibras delcorazón que conduce losimpulsos eléctricos a losmúsculos que se contraen

también es fractal. Con estared, que los cardiólogosdenominan red de His-Purkinje, se desarrolló unaimportante línea deinvestigación. Como se vioen el capítuloXVII, elespectro de frecuencias delcorazón presenta, en ciertascondiciones, uncomportamiento caótico, quesigue leyes fractales. La

única forma de explicar estecomportamiento fue suponerque la red de His-Purkinjetiene una estructura fractal:un laberinto que se ramificade tal forma que esautosimilar a escalas cadavezmásymáspequeñas.

¿Cómopudolanaturalezadesarrollarunaestructuratancomplicada? Mandelbrot hamencionado que si sólo

pensamosdentrodelcontextode la geometría de Euclidesque se nos enseña en laescuela(véaseelcapítuloII),entonces efectivamente lasestructuras anatómicas soncomplicadas. Pero comofractales es posibledescribirlas de maneraextremadamentesencilla,conmuy poca información.Recordemos, por ejemplo,

que las instrucciones paraconstruir la curva de Koch(véase el capítuloV), que esunfractal,sonunascuantasyademás sencillas. Se hadescubierto que lasinstrucciones para laformacióndecadaunodelosórganosyde los sistemasdenuestro cuerpo estáncodificadas en la moléculadelácidodesoxirribonucleico

(ADN), donde se encuentratoda la información genéticadelosseresvivos.Sienestamolécula se encontrara lainformación específica decada una de lasramificaciones, entoncesademás de ser una formamuy poco eficiente, lainformación de todas lasestructuras no cabría en lamolécula como la

conocemos. Una forma máseficiente sería tenercodificadasólolainstrucciónque se debe iterar paraformar un órgano como elpulmón, por ejemplo.Recuérdese que una manerade producir un fractal esdandounainstrucciónquesedebe repetir o iterar unnúmeromuygrandedeveces.De esta forma sencilla se

puedeentendercómoelADNcontiene la información queproduce sistemas y órganosfractales. Esta formaeficiente de guardarinformaciónsehaobtenidoatravés del proceso deevolución.

En la actualidad, elestudiodelaformaenqueseencuentran codificadas lasinstrucciones iterativas para

producir las diversas partesdel cuerpo es un tema deinvestigaciónenlabiología.

XIX.ELDISEÑODE

ESTRUCTURAENLA

INGENIERÍAVamos a construir un fractalde la siguiente forma.Tomemos una línea recta decierta longitud (figura36(a))

que supondremos que es devalor uno. Dividamos ahoraesta línea en tres partesiguales y quitemos la partecentral (figura 36(b)). Cadasegmento de los quequedaron tiene ahoralongitudiguala(1/3).

Enseguida repetimos elmismo procedimiento concada uno de los segmentosrestantes, obteniendo la

figura36(c).Cadaunodelossegmentostieneunalongitudde (1/9) (un tercio de untercio). Por tanto ahora setienen cuatro segmentos delongitud(1/9)cadauno.

Si se repite esteprocedimiento con cada unode los segmentos obtenidos,se encuentran sucesivamentelas líneas mostradas en lafigura36(d).Encadapasose

va encontrando un númeromayor de segmentos, perocadaunodemenorlongitud.

Si se llevara a cabo esteprocedimiento un númeromuy grande de veces, sellegaríaaobtenerun«polvo»formado de un númeroextraordinariamente grandede segmentos, cada uno delongitudpequeñísima.

Figura36.Procedimientopara

construirelpolvodeCantor.

Supongamos que lalongitud de la línea original,lade la figura36(a)es iguala1.Lalongituddecadalíneadelafigura36(b)esentoncesiguala(1/3).Portanto,comohay dos líneas, la longitudtotaldelaslíneasdelafigura36(b)es:

En la figura 36(c) hay 4líneas y cada una tiene delongitud:

Por tanto, la longitudtotaldelaslíneasdelafigura36(c)es:

En el primer renglón dela figura 36(d) hay ocholíneas y cada una con unalongitudiguala:

En consecuencia, lalongitudtotaldelaslíneasde

esterenglónes:

Continuandodelamismamanera vemos que en elsegundo renglónde la figura36(d)hay16líneas,cadaunaconunalongitudde:

Lalongitudtotales:

Eneltercerrenglóndelafigura 36(d) hay 32 líneas,cadaunatienedelongitud:

Lalongitudtotales:

En resumen, vemos quelas longitudes totales de laslíneas de las figuras 36(d)son,sucesivamente:

1,0.667,0.444,0.296,0.1975,0.132,…

Cadavezquepasamosdeuna figura a otra la longitudtotal va disminuyendo, peroel número de líneas vaaumentando(dela2a4a8al6a32a…).

Si así continuáramosindefinidamente, el númerodelíneascreceríasinlímiteyla longitud total sería cadavezmásymáspequeña.

Este conjunto de

segmentos se denominaelpolvo de Cantor. Ahoracomparemos los segmentosen el primer y segundorenglones de la figura 36(d).Nos damos cuenta de queambas figuras son similares;lomismosucedealcompararel segundo y el tercerrenglones. Esto nos indicaqueelpolvodeCantoresunfractal,conunadimensiónde

0.63, que es un númerocomprendido entre 0 y 1.Estadimensiónesmayorque0, ya que el polvo esmuchomásqueunpunto(dimensión0) y mucho menos que unalíneacontinua(dimensión1).

Figura37.Procedimientopara

construirunaempaquetadurade

Sierpinski.

Unosepuedepreguntarsiesposibleconstruirunfractalanálogo al polvo de Cantor,pero en lugar de que sea enunadimensión,queocurraendos dimensiones. Larespuestaespositiva.

Tomemos como base untriángulo con los tres lados

iguales, o sea equilátero(figura 37(a)). Enseguidadividimos cada lado en dospartes iguales y construimosotrostrestriángulosidénticosal anterior y los unimoscomosemuestraenlafigura37(b), dejando en blanco laporción central, que tiene laforma del mismo triángulocon el que iniciamos laconstrucción. Enseguida

eliminamos el triángulocentral.

En el siguiente pasodividimos cada lado de cadatriángulo en dos partesiguales y formarnos lostriángulos mostrados en lafigura 37(c). Asimismoquitamos los triángulosblancos.

Continuando de estamanera se llega a configurar

un objeto como el mostradoenlafigura37(d).Sisesigueasí indefinidamente seconstruirá un objeto querecibe el nombre deempaquetadura (gasket eninglés) deSierpinski. Nosdamos cuenta de que esteobjetotieneagujerosentodaslas escalas, y que esautosimilar,por loqueesunfractal. La dimensión fractal

que tiene la empaquetaduradeSierpinskies1.58.Nóteseque esta figura es más queunalínearecta(dimensión1)y menos que una superficie(dimensión2).

Supongamos que lalongitud del lado deltriángulo de la figura 37 (a)seaiguala1.Elperímetrodeeste triángulo es igual a lasumadesustreslados,osea:

3×1=3

Lalongituddecadalíneade la figura 37(b) es (1/2).Por tanto, cada triángulonegrotieneunperímetrode:

En vista de que hay trestriángulos negros, superímetrototales:

3×1.5=4.5.

Lalongituddecadalíneadelafigura37(c)es:

Cada triángulo negro deestafiguratieneunperímetrode:

Envistadequehaynuevetriángulos negros, superímetrototales:

9×0.75=6.75

En la figura 37(d), lalongituddecadalíneaes:

En consecuencia, cadatriángulo negro tiene unperímetrode:

Dado que hay 27triángulos negros, superímetroes:

27×0.375=10.125

De estos cálculosapreciamos que al pasar deuna figura a la siguiente, elperímetro de los triángulosnegros va aumentando: 3,4.5, 6.75, 10.125, … Sinembargo,tambiénvemosquede una figura a la otra, elnúmero de huecos también

aumenta, por lo que el áreatotaldelostriángulosnegrosva disminuyendo. Si sesiguiera este procedimientoindefinidamente,concluiríamos que laempaquetadura de Sierpinski¡tiene un perímetro infinitoperosuáreaesdecero!

Se puede, asimismo,iniciarlaconstrucciónendosdimensiones con un

cuadrado, en lugar deiniciarlaconuntriángulo.Alcuadradoselequitaalcentroun cuadrado de lado igual a(1/3) del lado original. Enseguida se remueven loscentros de los ochocuadrados que quedan y asísecontinúa.

También se puedeconstruir el análogo en tresdimensiones (figura 38). Su

construcciónseiniciaconuntetraedro regular (pirámidecuyas caras son cuatrotriángulos equiláteros).Unimos cuatro pirámides demodo que en el interiorquede en blanco unapirámideigualaellas;éstaseelimina.Continuandodeestamanera se obtiene la versióntridimensional de laempaquetaduradeSierpinski.

La dimensión de estaconstrucciónesiguala2,queesmenorque3en lacualseconstruyo. Resulta claro, yaque la generalizacióntridimensional no llenacompletamente el espacio.Este objeto, llamadoesponjade Menger tiene ¡áreasuperficial infinita yvolumennulo!

Nosdamoscuentadeque

lasconstruccionesdeCantor,Sierpinski y Menger sonobjetos muy calados, quetienenlongitud(Cantor),área(Sierpinski) y volumen(Menger) prácticamentenulos, ya que en el límiteinfinito casi no existen nisegmento, ni triángulo, nipirámide, respectivamente.Desde este punto de vistamatemático, tales

construcciones sonpatológicas.

Figura38.EsponjadeMenger.

Supongamosque lamasadel triángulo de la figura37(a) es igual a 1. Cadatriángulo de la figura 37(b)tiene entonces una masaigual a (1/4). Comosolamente quedan tres deestostriángulos,lamasatotalenlefigura37(b)es:

La masa de cadatriángulo negro de la figura37(c)es lacuartapartede lade un triángulo negro de lafigura 37(b). Como la masade este último triángulo es(1/4), la masa de cadatriángulo negro de la figura37(c)es:

Dado que en la figura37(c) hay nueve triángulosnegros, cada uno de masaigual a (1/16), la masa totalenestafiguraes:

La masa de cadatriángulo negro de la figura37(d)es lacuartapartedelade un triángulo negro de la

figura37(c).Envistadequela masa de este últimotriánguloesiguala(1/16),lamasadecadatriángulonegrodelafigura37(d)es:

Enlafigura37(d)hay27triángulosnegrosycadaunode ellos tiene una masa de(1/64). Dado que hay 27 de

estos triángulos, en la figura37(d)hayunamasade:

Ahora bien, vemos quelostriángulosdecadaunadelas figuras incluidas en lafigura 37 están dentro delárea del triángulo original(figura 37(a)). Por tanto, lasucesión de triángulos de la

figura 37 va teniendo cadavezmenosymenosmasa(1,0.75, 0.5625, 0.4219, …) yéstas están encerradas en lamisma área. Enconsecuencia, la sucesión defiguras que da lugar a laempaquetadura de Sierpinskisevavolviendocadavezmásymás ligera.Enel límiteenque el número de pasos esextraordinariamente grande,

el número de triángulos estambién muy grande pero lamasa total encerrada esmuypequeña, ¡casi nula! Laempaquetadura de Sierpinskiesnotablementeligera.

Figura39.ElpuntoRsellamaramal.

Otra característicaimportante de estaconstrucción es la siguiente.Consideremos una curvacomolaquesemuestraenlafigura 39; al punto R se lellama punto ramal. Deacuerdo con el «sentidocomún» uno podría pensarque una curva no puedeconsistirsolamentedepuntos

ramales. Sin embargo, siconsideramoselperímetro,osea, la línea que encierra laempaquetaduradeSierpinski,ésta es una línea formadasolamente por puntosramales. Es decir, en cadapunto sale un ramal de lacurva. Por supuesto, estoocurreenelcasoenquesehaiterado un número muygrandedeveces.

Las empaquetaduras deSierpinski,tantoendoscomoen tres dimensiones, sonmodelos de muchasestructurasconstruidasporelhombre, así como de variosfenómenos naturales. Uncaso interesante se dio en laingeniería civil, cuandoGustave Eiffel construyó sufamosa torre en París,Francia, en1889 (figura40).

Esta construcción de 335 mdealturatienecuatroladosycada lado tiene la forma deuna letraA. Los cuerpos decada parte de laA no estánconstruidos con vigassólidas, llenas, sino conarmaduras gigantescas. Siuno se fija con detalle encadaunadeestasarmaduras,se dará cuenta de que estánformadas, a su vez, de otras

armaduras, que estánformadas de armaduras, queasuvezsonarmaduras,queasu vez…Así se obtiene unaestructura autosimilar queconstituye un fractal. Sicompararnosunaarmadurayuna viga cilíndrica llena conlamismacapacidaddecarga,la armadura resultarámuchísimomásligeraquelaviga. Eiffel sabía que las

armaduras, cuyos miembroslas integran a su vezarmaduras, son todavía másligeras. Así, vemos que laTorre Eiffel es unaaproximación a laempaquetadura de Sierpinskientresdimensiones.Además,se trata de una estructuramuy ligera, igual que en elcasodeSierpinski.

Figura40.LaestructuradelaTorreEiffelseacercaauna

esponjadeMenger.

Otro punto importante ycrucial con respecto a lacapacidad de carga de unaestructura es que, mientrasmás puntos ramales tengaunaestructura,mayorserálaresistencia que pueda

soportar.ResultaquelaTorreEiffel cuenta con muchospuntos ramales. El famosoarquitecto estadounidenseBuckminster Fuller,diseñador de los domosgeodésicosmuypopularesenla década 1960-1970, sabíaque la capacidad de cargaresidenoenlamasatotaldela estructura sino en lospuntos ramales que tenga.

Mientrasmáspuntosramalestenga una estructura más seacercará al ideal de unaempaquetadura de Sierpinskiy mayor será la carga quepuedasoportar.

De esta forma se puedenlograr estructuras muyligeras que son capaces desoportarcargasmuygrandes.Mientras más se acerquen auna empaquetadura de

SierpinskioaunaesponjadeMenger, mejor se lograráesteefecto.

XX.SEGURIDADYCATÁSTROFEEl comportamiento de unsistema complejo, al que engeneral rigen leyes nolineales, puede entenderse,como vimos, en términos deregiones periódicas y deregiones caóticas. En el

capítuloVIII estas regionesquedan delimitadas porvalores precisos de losparámetros característicosdel sistema. En el ejemplotratado en el capítuloVIII,elsistemaestárepresentadoporun solo parámetro,q. En lafigura19podríamoscolorearlosvaloresdeqquedanlugara un comportamientoperiódico con un color, rojo,

porejemplo,yconotro,azuldigamos,losvaloresdeqquedan un comportamientocaótico.

Sin embargo, en muchossistemas no es uno sinovarios los parámetros que loconforman. En este caso, elcomportamientoessimilaralqueestudiamos,perohayunadiferencia. El hecho de quehaya varios parámetros hace

que la frontera entre un tipode comportamiento,periódico,yotro,caótico,nosea tan fácil de definir. Paraaclarar lo que ocurre,supongamos que un sistemaestá regidopor una ecuaciónno lineal, similar a laecuación(6)delcapítuloVIII,que tenga dos parámetros,que llamaremosp yr.Procediendo de manera

análogaacomosehizoenelcapítuloVIII, dados valoresespecíficos dep yr, porejemplop2.1yr=0.43,seobtendría el tipo decomportamiento que sigueeste sistema. Si se cambianlosvalorespyr(equivalentea cambiar el valor deq) sevuelveaencontrarel tipodecomportamiento, y así secontinúa para todas las

posibilidadesdepyder.Podemos presentar los

resultados de esteprocedimiento de la formasiguiente: consideremos dosejes perpendiculares (figura41) en los que uno de losejes, el horizontal, marquelosvaloresdep,yelverticallos der.Paraunconjuntodevaloresdepyderdados(enlafigura,paraelvalorp=a

yr=b)marcamoselpuntoP.Ahorabien, si este par devalores de los parámetros dacomo resultado uncomportamiento periódicodel sistema, entonces elpunto P lo marcamos denegro, por ejemplo. Si elcomportamiento del sistemapara esta pareja de valoresresulta ser caótico, entoncesmarcamos el punto P con

otro tono, blanco, porejemplo. De esta manera seobtieneunafiguracomoladelafigura42.Observamosquelasregionesblancasynegrasestánentremezcladas.

Figura41:Gráficaparaelcasoenque

hayadosparámetrosquedescribanelsistema.

Si quisiéramos ver endetalle la frontera entre unaregión negra y una blancaadyacente, esto es, siamplificáramos la regiónencerrada en la figura 42,obtendríamosloqueseveenel figura 43; si ahoraamplificáramos cualquierregión de la figura 43, seencontraría una figura

similaralafigura43.Continuando de esta

manera,aliryendoaescalascada vez más pequeñas semuestra la gran complejidadde la separación entre dosregionesadyacentes,lanegray la blanca. De hecho, sepuedeunodar cuentadequeal cambiar de escala haysimilitud en las figuras quesevanobteniendo.Portanto,

estasfigurassonfractales.Si el sistema estuviera

regido por más de dosparámetros,larepresentaciónde lo que ocurre ya no lapodríamos hacer en dosdimensiones, sino en unnúmero mayor, cosa que noharemos.

Figura42.Lasregionesnegrascorrespondenavaloresdelos

parámetrosparaloscualeshayuncomportamientoestable.Las

regionesblancascorrespondenacomportamientos

caóticos.

Figura43.Amplificacióndelazonaencerradaen

lafigura42.

Consideremos comoejemplo de un sistemacomplejo la red eléctrica deuna región del país. Estesistema es oscilatorio y ungran problema es saber loque le ocurre si por algúnmotivo se presenta unaperturbación,comopuedeseralgunavariaciónenelvoltajeo la falla de una parte delsistema.

Cuando el sistema estáfuncionando en formaestable, los valores de losparámetros tendrán ciertosvalores a los quecorresponderá un punto enuna regióncomo lanegradelafigura42,quellamamosQ.Siocurrealgunaperturbaciónen la red, entonces losvalores de los parámetroscambianyportantoelpunto

Q ya no describe al sistemaperturbado,sinoqueseráotropunto el que lo represente,digamos el T. Si éste caedentro de una región negra,entonces bajo los efectos dela perturbación, el sistemaseguirá funcionando deformaperiódica,seráestable.Pero ¿qué ocurre si el puntoT cae en una región blanca?En este caso el

comportamiento del sistemaserá caótico y habráproblemas.

Sielcomportamientodelsistemaestárepresentadoporgráficasanálogasalasdelasfiguras42y43,entoncesunapequeña variación en losparámetrosp yrpuedepasaral sistema de una regiónnegra (estable) a otra blanca(caótica), que esté en su

vecindad. Nótese que lospuntos de una región negraestánmuycercanos,dehechoentremezclados, a los de lasregionesblancas.

Engeneral,eldominioenel cual un sistema complejose comporta de maneraestableseadivinaapartirdeun conjunto pequeño dedatos. En el funcionamientocotidiano de estos sistemas,

el comportamiento seextrapolademodoquecubrauna variación muy estrechadevaloresdelosparámetros.Sin embargo, estaextrapolación no estácompletamente justificada.¿Qué ocurre si al extrapolarse pasa de una región negra(estable) a una blanca(caótica)? Nótese que unapequeña variación puede

cambiar completamente elcomportamientodelsistema.

Un problema que debetratarse al considerar eldiseño de un sistema nolineal, como la red eléctrica,es poder conocer con detallela fronteraentre las regionesestables (negra) y caótica(blanca), la frontera entre lacalmaylacatástrofe.Dentrode los sistemas conocidos

esta frontera todavía no seconoce con exactitud. Esteproblemaesabierto.Esclaroque, una vez conocida estafrontera, se podrá saber aciencia cierta cuándo loscomportamientos seránsegurosysepodrántomarlasprovidencias necesarias paraevitar caer en una regióncaótica.

XXI.ELCAOSORDENALALINGÜÍSTICA.LALEYDE

ZIPFEn todo texto escrito haypalabras que se repiten. Porejemplo,lapreposición«de».Así, en un texto se puede

contar cuántas veces aparece«de» y se encuentra unnúmero. Si éste se divideentre el número total depalabrasdeltexto,seobtienesu frecuencia y, de estamanera,lafrecuenciadecadapalabra que aparece en unescrito.

Ahora se enlistan laspalabras del texto colocandoen primer lugar la palabra

que aparece con mayorfrecuencia; en segundo lapalabraconsegundovalordefrecuencia, y asísucesivamente.Al lugar queocupa una palabra en esetextosedenominarárangodela palabra. Supongamos queenuntextolapalabrademásfrecuenciaes«de»;enlalistaocuparáelprimerlugaryportanto tendráelprimer rango.

Si el artículo «el» tienesegundo valor de lafrecuencia ocupará elsegundo lugar en la lista ytendrárangodos,etcétera.

Del estudio de diferentestextos en varios idiomas seencuentra que existe unarelación entre la frecuenciadeunapalabraysurango.Enefecto,mientrasmayorseaelrango de una palabra,menor

será la frecuenciacon laqueaparece en el texto. Esto esclaro,yaquemientrasmayorsea su rango, más abajoestará la palabra en la lista,lo que significa que menorserá su frecuencia. ¿Cómodepende la frecuencia delrango? Pues resulta quedepende en forma inversa(porque disminuye a medidaque el rango aumenta) de la

primera potencia del rango.Sidenotamosconlaletraflafrecuenciaycon la letra r alrango, entonces la relaciónmatemáticaesquefdependede r como (1/r) (véanse loscapítulosXIV yXV). Esteresultado se llama la ley deZipf.

Nosdamoscuentadequeesta dependencia esprecisamente la misma que

se obtiene para otrosfenómenos que yaestudiamos y que recibe elnombrededependencia(1/f).Como ya se vio, estadependenciaes ladeuna leyde potencias; en este caso lapotencia -1,matemáticamente hablando.YyaSabemosqueestaleydepotencias implica uncomportamientoautosimilar.

LaleydeZipftambiéndala dependencia de lafrecuencia de ocurrencia deuna palabra con respecto alnúmero de palabras que seusen,osea,alaamplituddelvocabulario utilizado.Mientras menor sea elvocabulario, mayor será lafrecuenciade laspalabrasenlos primeros rangos.Así porejemplo, en un texto en

español con un vocabulariode alrededor de 10 000palabras, las frecuencias delaspalabrasdemayor rango,como «de», «el», «y», son0.11, 0.06, 0.33,respectivamente.

La dependencia queindica la ley de Zipf seencuentra no solamente enmuchos de los idiomasmodernos, sino también en

lenguajes especiales como lahagioantroponomía, queestudiaelempleodelnombrede los santos comosobrenombres o apodos depersonas; también lo estudiaen su uso relativo a losapellidosdefamilias.

La ley de Zipf tienevigencia no solamente en ellenguajeengeneralsinoenlaobra de escritores en

particular.Porejemplo,enelcasodeunbuenescritorcuyovocabulario activo sea de,digamos, unas 100 000palabras, las palabras queocupan los primeros 10lugares en la lista llenanalrededor de 25% del texto,es decir, la frecuencia totalde estas 10 palabras es de0.25. En contraste, en untexto en el que se usara una

décima parte de aquelvocabulario (unas 10 000palabras), como el de unperiódico, el porcentajeapenas crece a 30%. Esto sedebeprincipalmenteaqueelescritor no podría evitar eluso de palabras como «de»,«el», «y», «a», etc., las quegeneralmente ocupan losprimerosrangosencualquiertexto.

Una de las formas deentender el origen de la leyde Zipf ha sido consideradacon razonamientos como losque siguen: es ciertoque loslenguajes han sidoproducidos por el cerebrohumano que genera suestructura; se ha hecho elanálisis de modelosdinámicos de lingüísticaacerca de los cuales existe

mucho material que ha sidodescubiertopor lapsicologíacognoscitiva, lo que hapermitido hacerse algunasideas acerca de la formacomoprocesalainformaciónunagentebiológico,comoelcerebrohumano.

Se ha descubierto queesta dinámica presentacomportamientos caóticoscomolosquedescribimosen

el capítuloVIII. Esto nodebería extrañarnos ya que,como vimos, una de lascaracterísticasdeunrégimencaóticoesquepuedegenerarvariedad, mientras quecuando está dentro delrégimen periódico, o searegular, se produce laconfiabilidad, ambascaracterísticas necesarias enel lenguaje. La variedad

permitequehayainnovación,mientrasquelaconfiabilidadpermitequehayaorden.

Consecuencia deconstruirel lenguajeconunadinámica que produzca unrégimen caótico es que laestadística que resulta conrespecto a las palabras siguelaleydeZipf.

De hecho, este resultadose puede ver demaneramás

general. En vista de quemuchos tejidos, órganos ysistemas biológicos sonfractales, dan lugar acomportamientos caóticosque producen una ley, la deZipf en el caso lingüístico,quetieneestructurafractal.

XXII.ECONOMÍA¿ESPOSIBLEGANARENLABOLSADEVALORES?

Todos los días se ven en lasección financiera del

periódico gráficas quemuestran el comportamientodel índice de precios de labolsadevalores,comolaqueaparece en la figura 44, quemuestra alzas y bajasaparentemente sinregularidad,alazar.

Para mucha gente, enparticular las que inviertendineroenlabolsadevalores,es de interés poder predecir

la tendencia y, si fueraposible, el precio de lasacciones, ya que si tuvieranesta información podríancomprarovenderconventajayasíganardinero.

Desde hace muchotiempo los economistas hanintentado estudiar ycomprender losmovimientosde precios en la bolsa devalores.¿Dequédependeque

unaacciónsubaobaje?Los economistas han

supuesto, en general, que lavariación de los precios dealgún producto, por ejemploel algodón, tiene doscomponentes: una de largoalcance,enelquelospreciosse regirían por fuerzaseconómicas profundas comola apertura de rutascomerciales, inventos que

utilizaran el producto, unaguerra, alguna innovacióntecnológicaquemodificaraeluso del producto, unarevolución, etc. Estatendencia a largo alcance,meses, años o décadas,quedaría determinada demaneramuyclara.

La otra componente delprecioseríadecortoalcance:los precios variarían al azar,

debido a un número muygrandedecausas,muchasdelas cuales no se podríandeterminar con precisión.Estos vaivenes, llamadosfluctuaciones, sontransitorios. Se ha pensadoquecasinohayrelaciónentrelos dos ritmos de largo y decortoalcance.

Figura44.Gráficadelosíndicesdepreciosenlabolsadevaloresdeun

periododeterminado.

Parecequelasalzasybajasnotienen

regularidadalguna.

Figura45.Curvagaussiana.

Sehaconsideradoquelasvariaciones de los precios, alargoalcance,siguenunaleydeterminada, como la que semuestraenlafigura45yquegráfica la probabilidad delcambio en el precio de, porejemplo, el algodón. Estacurva, llamada curvagaussiana, tiene forma decampana y nos dice que lamayoría de los cambios

ocurrirácuandoelprecioestédentro de los límitesmarcadosentrelosvaloresAy B, alrededor de un valorpromedio. Así, por ejemplo,la probabilidad del valor C,muylejanodelintervaloAB,es muy pequeña. Ladistribución gaussiana seutilizaenmuchoscamposenlosquehayvariablesalazar.Por ejemplo, si semiden las

longitudes de los clavos deun paquete quenominalmentedeberían teneruna longitud de 20 cm, seencontraría que no todostienen efectivamente estalongitud. Resulta que, si elpaquete es grande, ladistribución de longitudestoma una forma gaussiana,centradaalrededorde20cm.Es decir, la mayoría de los

clavos tiene una longitud, sinode10cm,símuycercanaa20cm.Una longitudde45cm tiene una probabilidadextraordinariamente pequeñade ocurrencia. Éste es elsignificado que tiene ladistribucióngaussiana.

Sin embargo, en elintento de sobreponer losprecios que el algodónadquirió de 1880 a 1958 se

encontróquenoseajustabana una curva gaussiana. Sehicieron muchos intentos dehacer este ajuste, todos ellossinéxito.

El mismo fracaso sealcanza al analizar losprecios de diferentesacciones en la bolsa devalores,enlaquetambiénseha pensado que existen dostipos de ritmos casi

independientesentresí:largoycortoalcance.

Fue Mandelbrot elprimero que vio los valoresde los precios del algodóndesde otra perspectiva, y sepreguntó: ¿por qué deberíanlos precios del algodón, oparaelcasodecualquierotraentidadeconómica,tenerunadistribución gaussiana? Esmás, ¿por qué debería haber

una separación tan cortante,como lo que se proponía,entrelargoycortoalcance?

Una de las suposicionesimplícitas que loseconomistas hicieron altrabajar con la distribucióngaussiana es que los precioscambiancontinuamente.Estosignifica que si hay unavariaciónenelpreciodeunaacción de $100 a $40,

entonceselpreciodebepasarpor todos los valoresintermedios, o sea, la accióndebe adquirir los valores de$87.5, $55, $49.75, etc. Estodesde luego no es cierto.Mandelbrot hizo lasuposición de cambiosdiscontinuosenlospreciosyllegóasíalaprediccióndeladistribucióndepreciosquesemuestraenlafigura46,enla

cual se dibuja la gráfica, enel eje vertical, de unacantidad relacionada con lavariación de precios, y en elejehorizontal,delosprecios.La predicción hecha es lacurva continua y los valoresde los datos que tenía de lasvariacionesdelospreciosdelalgodón se muestran pormediodepuntos.Elconjuntode puntos marcados con 1

corresponde a cambiospositivos de los preciosdiarios del algodón. Elconjunto de puntos marcadocon2correspondeacambiospositivos de los preciosmensuales; el conjuntomarcadocon3correspondeacambios de los preciosanuales.Losconjuntos4,5y6 corresponden a cambiosnegativos en los precios

diarios,mensualesyanuales,respectivamente.

Figura46.Comparaciónentrelavariaciónde

preciosendistintascircunstancias

(conjuntosdepuntos)conlaspredicciones

(líneascontinuas).Cadalínea

correspondeaunaescaladetiempo

distinta.

Nótese que los distintosconjuntos de puntoscorresponden a escalas detiempomuydiferentes.Si secopiara esta gráfica en un

acetato transparente y setrasladara la curva predicha(línea continua), sesuperpondría en cada uno delos conjuntos empíricosformados por los puntos. Esdecir, la misma predicciónresulta ser válida a lo largode diferentes escalas: diaria,mensual y anual. No haydiferencias entre las escalastemporales como se ha

pensado. Esto significa quehay similitud y que laestructura de los precios esfractal. Si en lugar de haceruna gráfica como la de lafigura44,enquesemuestranlas fluctuaciones de lospreciosde las acciones en labolsadevaloresalolargodeundía,sehicieralagráficaalo largo de unmes, o de unaño, se encontrarían gráficas

quetienenlamismaforma,osea,sonsimilares.

Doyne Farmer, NormanPackard y James McGill enNuevo México,EUA, hanllevado este análisis de laeconomía mucho másadelante,considerandoqueladinámica que rige losfenómenoseconómicosesnolineal. Un efecto de ésta esqueunacausapequeñapuede

producir efectos muygrandes. Un ejemplo es laconocida fábula del camellomuycargadoalque,enciertomomento, se le añade unapajitayserompesuespalda.La paja es en extremoliviana, pero el peso extraque añade tiene unaconsecuencia fuera de todaproporción. Esto se debe aque su efecto NO queda

determinado por una simplerelación entre el peso de lapaja y el peso del camello,sino a una interacción muycomplicada entre todos losfactores que afectan alcamello, como los objetosque ya está cargando, sidurmió bien la nocheanterior, la temperatura deldesierto, etc. Es decir, unapequeña causa puede ejercer

ungranefecto.Si en un fenómeno hay

una relación directa entre lacausayelefecto,ysiocurreque al aumentar la causa aldoble el efecto aumenta aldoble,entonceslarelacióneslineal.Claramente,enelcasode la fábula la relaciónentreelpesodelapajayelefectosobreelcamellonoeslineal.

Si se considera el patrón

de tráfico de vehículos enuna ciudad grande y sequisiera poder hacerpredicciones, una manera deproceder sería aprender todolo que se pudiera sobre cadavehículoindividual,todassusvelocidades y todos lossentidosdelascalles,etc.Sinembargo, esta forma deproceder no permitiría hacerprediccionesdetráfico.Siun

conductor frena porque unniño se le atraviesa, podríandarse repercusiones a varioskilómetros de distancia. Esdecir, este fenómeno es nolineal.

Si, por otro lado, seobserva el tráfico desdeciertaaltura,pormediodeunhelicóptero,unosepodríadarcuentadequehayun flujoysería posible hacer

predicciones a futuro, por lomenosparaintervaloscortos.Nótesequeelobservadordelhelicóptero no necesitainformación detallada acercadelascaracterísticasdecadaunodelosvehículos.

Las personas quemanejan las acciones en labolsadevaloressonanálogasa los coches y pormedio derelaciones no lineales, como

las que consideramos en elc ap í t u l oVIII, se puedenentender tendencias a cortoalcance del comportamientodelospreciosdelasaccionesdelabolsadevalores.

Debidoaqueladinámicade los precios es no lineal,como ya sabemos, en estoscasos existe un régimencaótico. Entender este hechoha permitido a algunas

personashacerprediccionesacorto alcance, de unoscuantos días, sobre elcomportamiento de losprecios. Es más, en 1991,Farmer, Packard y McGillfundaron una compañía, ThePrediction Company(Compañía de Predicciones)que se dedica a analizar laevolucióneneltiempodelosprecios de diferentes

acciones de la bolsa devalores.Sebasanenlateoríadel caos, algunos de cuyoselementos se trataron en elcapítuloVIII.Soncapacesdehacer predicciones queabarquen unos cuantos díassobre el comportamiento deprecios, y los resultados selos proporcionan a susclientes.

Para tener una idea de

cómo trabajan, diremos quetoman como base losiguiente:regresandoaltematratado en el capítuloVIII,estudiaremos el caso en queq = 3.6 y como valorinicial dex tomemos 0.6.Comovimos, este valor deqcorresponde a la regióncaótica.Aliterarenlamismaforma que se hizo en elcapítuloVIII,losvaloresdex

que se obtienen, como lopuede comprobar el lectorson, sucesivamente: 0.6,0.756, 0.664, 0.803, 0.569,0.883,…0.437,0.886,0.364,0.834,0.499,0.900,…

Supongamos que se nosdiera el valor de 0.437, conéste podríamos predecir quelossiguientes tresvaloresdexson:0.886,0.364,0.834.Siporalgúnmotivo,comoeslo

que ocurre en el caso de laeconomía, no se conoce lafunción (6) con cuya ayudaencontramos estos números,entonces hay procedimientosmatemáticos máscomplicados para encontrarlos resultados, no de todas,pero sí de las iteracionesinmediatas.Conesteespírituproceden en The PredictionCompany.

La manera matemáticacompletacomosehanpodidohacer predicciones no estátodavía suficientementedesarrollada. Fundamentar ycompletar este trabajotodavía tomará tiempo. Sinembargo, llevan una grandelantera sobre quienesanalizan la evolución deprecios a la maneratradicional.

The Prediction Companymantiene en secreto losprocedimientosqueutilizaensus predicciones. Lo que sepuede decir es que hanganadomuchodinero—ellosy sus clientes— en la bolsadevalores.

Se podría pensar que sitodalagentequeparticipaenla bolsa de valores supieraque,porejemplo,eljuevesel

preciodeunaacciónvasubir,entonces el miércoles antesdel cierre todos comprarían,ypor tanto, el precio subiríano el jueves, sino elmiércoles, y por tanto, lapredicción no serviría. Esdecir, el comportamiento enlabolsadevaloresestal,quesiunoencuentraunpatrón,alactuar lo elimina. Esto noocurre en un fenómeno

físico.Sin embargo, la filosofía

de los miembros de lacompañía de la que estamoshablandoesotra.Loquepasaesquesisedicequesetieneuna nueva idea, lo prudentesería esperar a ver siefectivamente ocurre. Dejarpasar cierto tiempo y noactuar.Sitodofuncionabien,quien la emplee tendrá

buenas ganancias y, en elmomento en que los demásquieranaprovecharestaidea,deja de funcionar. Elresultado neto es que elprimero en idear y usar talsistemasíganódinero.

XXIII.LACOMPOSICIÓNDEMAPAS.RELIEVESY

LÍNEASCOSTERAS

EnelcapítuloVsemencionóelhechodequeconfractales

es posible imitar mapas. Aligual que con cualquierfractal,comoserecordará,sedaunareglayéstaseiteraunnúmeromuygrandedeveces.Así se logra con ciertosalgoritmos de manera muyrealistaeldibujodeunmapa,deunrelievegeográficoydelíneas costeras. Se puedeescoger la dimensión fractalque deba tener la figura.

Cuando esta dimensiónadquiere el valor mínimo,igual a 2, el relieve esextremadamente liso. Amedida que esta dimensiónaumenta, el relieve aparecemás y más «corrugado» yempiezaaaparecerunrelievenatural. Las iteraciones sehacen con un programa decomputadora, en el que seañadeunarutinaparasimular

la iluminación a partir decierta dirección si elobservadorestálocalizadoendeterminado punto fijo. Deesta forma se encuentranrelieves y líneas costerascomolasquesemuestranenlafigura47.

Una de las grandesventajasdelograrimitarestetipo de característicasgeográficas es la siguiente:

si, por ejemplo, se quisieratransmitir con ayuda de unaparato electrónico de unlugaraotroya travésdeunsatélite la imagen de unamontaña, lo que se haría deprimeraintenciónseríatomarunafotografíadelamontaña,dividirla en una serie depequeños cuadros (llamadospixeles) y luego transmitirlas tonalidades de cada uno.

Esto implica codificar yenviar una cantidad muygrandede información.Si sepuedelograrsuimitaciónpormediodeunfractal,entonceslo único que se debetransmitires la figura inicialoiniciadoryelalgoritmoquesedeberepetir.Delotroladode la línea de comunicaciónse harán las iteraciones y seobtendrá la figura de la

montaña. Se debe apreciarqueestanovedosamaneradetransmitir información esmuy práctica, ya que lo quese envía es mínimo encomparación con losresultados.

Figura47.Composicionesfractalesque

producenrelievesgeográficosylíneascosteras.

XXIV.¿DURARÁELSISTEMASOLAR?

Desde tiempos inmemorialesel hombre ha observado elcielo y los cuerpos celestesqueenélseencuentran,entreellos la Luna y el Sol.

Diversospensadoresllegarona la conclusión de que estoscuerpos celestes giranalrededor de la Tierra.Posteriormente, después deobservar durante muchotiempo, seguramente siglos,se descubrió que había otroscuerpos celestes, que ahorallamamos planetas, quetambién se mueven en elfirmamento.A diferencia de

los planetas, las estrellas,otro conjunto de cuerpos,parecenestarfijas.

No entraremos en lahistoriadecómosedescubrióque el Sol y los planetas nogiran alrededor de la Tierra,sino que junto con nuestroplaneta, todos lo hacenalrededordelSol.EnelsigloXVI, el astrónomo TychoBrahe construyó en

Dinamarca un observatorioconaparatosmuynovedosos,aunque todavía no sedisponía de telescopios. Lasobservaciones que hizoTycho fueron muy precisas.Así, compiló larguísimastablas numéricas de lasposiciones de los planetasentonces conocidos(Mercurio, Venus, Marte,Júpiter y Saturno). Su

ayudante Johannes Keplertrabajó durantemuchos añostratando de entender lo quesignificaban los númerosmedidos por Tycho, yfinalmente, después de 17años de intenso trabajonumérico pudo expresar demanerasucintaque:

a. Los planetas semuevenalrededor del Sol a lo

largo de órbitaselípticas.

b. Cuando un planeta daunavueltaalrededordelSol, su velocidad vacambiando.Descubriólaformaenqueseproduceesta variación de lavelocidad. De estamanera era posiblepredecirsuposición.

c. De dos planetas, el que

se encuentra más lejosdel Sol tarda mástiempoendarunavueltacompleta alrededor delastro. Dicho en otraspalabras, mientras máslejano esté el planeta,mayor será la duracióndesuaño.

Los resultados obtenidosde las observaciones hechas

por Tycho, son llamadas lastresleyesdeKepler.

Fue Isaac Newton quienpudoofrecerunaexplicaciónfundamentaldelastresleyesde Kepler. Con base en eltrabajo de Galileo Galilei,propuso sus famosas tresleyes de movimiento, asícomolaleydelagravitaciónuniversal. Esta últimadescribelaformaenquedos

partículas se atraen por elmero hecho de tener masa.Para poder extraer lasconsecuencias físicas de susleyes,Newtontuvonecesidadde inventar una herramientamatemática,quehoysellamacálculodiferencialeintegral.De esta manera el científicoinglés demostró que las tresleyes de Kepler son, dehecho, consecuencia de sus

leyes. Newton publicó estosdescubrimientos en sut r a t a d oPhilosophiaenaturalis principiamathematica («Losprincipiosmatemáticosde lafilosofía natural»), queconstituyeunadelashazañasintelectuales más excelsasdel pensamiento humano ybase fundamental yparadigma de la física

moderna y la ciencia engeneral.

Newton presentó susleyes en forma matemática,las llamadas ecuaciones deNewtonque, juntoconla leyde la gravitación universal,fueron suficientes paradescribir el movimiento delos cuerpos del SistemaSolar.

Después de Newton, un

buen número de científicosseocuparon endeducir otrasconsecuencias de susecuaciones. Sin embargo, loque efectivamente hizo elsabio inglés fue considerarsolamente el sistemacompuesto por el Sol y unsolo planeta. Es así quedescubrió, al resolver lasecuaciones que habíapropuesto, las tres leyes de

Kepler. De esta manera,demostró que cada planetagira alrededor del Solsiguiendo indefinidamenteunatrayectoriaelíptica.

Dehecho, loqueNewtonsuponía es que el efecto delos demás planetas sobre elque estaba estudiando eraínfimo. Se puede pensar queesta suposición es adecuadaya que la masa de cualquier

planeta esmuchísimomenorque la del Sol, cuyainfluencia es preponderantesobre cualquier planeta. Portanto, resolvió lo que sellama el sistema de doscuerpos: elSolyunplaneta,y demostró que este sistemadedoscuerposesunsistemaestable.

Si se añade un segundoplaneta al sistema bajo

estudiotendremosunsistemade tres cuerpos. Se tienenahora tres cuerposatrayéndose mutuamente. Eneste caso cada planeta ya nosigue rigurosamente unaórbita elíptica. Es cierto queelefectodeunplanetasobreel otro es mucho máspequeño que el del Sol,apenas una pequeñaperturbación. Cada planeta

continúa girando alrededordel Sol siguiendo su órbitamuyparecidaaunaelipse.Sutrayectoriaexactadependedesu distancia al otro planeta,pues resulta afectado endistintos instantes por unafuerza gravitacional distinta.Estas perturbacionesdistorsionan la trayectoriaelíptica que tendría si sóloexistieraelSol.

Las ecuaciones deNewton, al tomar en cuentalas fuerzas gravitacionalesentre tres cuerpos, no hanpodidoserresueltasenformaexacta hasta el día de hoy.Por tanto, no se puede deescribir y precisar latrayectoria que seguirá cadacuerpo, con precisiónilimitada y durante todo eltiempo.

El problema se vuelvemuchomáscomplicadosiseañade otro planeta más; ycadavezqueseañadeotroelasuntoseenredatodavíamás.Lo mejor que se ha podidohacer es calcular, en primerlugar, los efectos másimportantes, como el de lainfluencia preponderante delSol, y luego, paso a paso, irtomando en cuenta las

influencias, menosimportantes, de los demásplanetas. Se tiene laesperanzadequeestetipodeaproximaciones vayallevando gradualmente a lasolución exacta. Sinembargo, al aplicar esteprocedimiento al SistemaSolarresultaqueserequierencantidadesextraordinariasdecálculos, lo que limita su

utilidad como instrumentomatemático. Por ejemplo, sise desea saber qué ocurriríacon el Sistema Solar dentrodealgunosmilesdemillonesde años o mirar hacia atrás,para tratar de descubrir susorígenes.

Antes del advenimientode las calculadorasmecánicas y de lascomputadoras modernas, se

partía de suponeraproximaciones plausiblesquedabanlasprediccionesdelasposicionesplanetariasconun nivel de precisión dado.Sin embargo, si se queríalograr una mayor precisiónhabía que hacer un númeromayor de cálculos. En laactualidad,teniendoanuestradisposiciónunacapacidaddecálculo impresionante, se

pueden obtener resultadosantes imposibles. Esto hasido de importancia vitalpara, por ejemplo, lanzar alespacio y controlar lastrayectorias de los satélitesartificialesydelasnavesquehan visitado otros planetas,como elVoyager 2 . Lacalidad de las observacionesy de los cálculos es losuficientemente alta como

para poder conocer el futurocercano y el pasado recientedel Sistema Solar, con ungrado considerable deconfiabilidad. Se ha podidoobservar así la forma comolas trayectorias de losplanetas se desarrollan a lolargo de muchísimo tiempopara tratar de encontrarseñales de inestabilidad. Sehaestudiadolahistoriadela

órbita terrestre paraencontrar evidencias depequeñísimos tambaleos ycambios en su órbita quehayanpodidoafectarelclimay la historia geológica denuestroplaneta.

Sin embargo, estoscálculos han demostradotambién lo que Poincaré(véase el capítuloIV)entendió pero no pudo

probar: que las ecuacionesformuladas por Newtoncontienenunariquezatalqueel mismo Newton y loscientíficos que le siguieronnofueroncapacesdeextraer;se ha demostrado queengloban no sólo lopredecible sino tambiéncomportamientos caóticos.La naturaleza de lasecuacionesdeNewtonrefleja

el comportamiento de lossistemas físicos, en los quesepuedepasardeun tipodemovimiento aparentementeordenado, periódico ypredecible a uno irregular eimpredecible, esto es,caótico. Las ecuaciones querigen losmovimientos deunsistema de 3 cuerpos son nolineales. También lo son enelcasode4,5omáscuerpos.

Con ayuda de lainvestigaciónnuméricadelasecuaciones de Newtonaplicadasavarioscuerpos,seha descubierto que en elSistemaSolarhayregímenesde orden y de caos. Se haencontradoevidenciadecaosdinámicoenlasórbitasdelafaja de asteroides situadaentre Marte y Júpiter; en elmovimiento a tumbos que

efectúa Hiperión, uno de lossatélitesdeSaturno,yen losanillos de los planetasexteriores, entre otros. Lasúltimasevidenciasnuméricasde que se tienen informesmuestrantrazasdecaosenelmovimientodePlutón,yaunenlatrayectoriadelaTierra.Se calcula al Sistema Solaruna existencia deaproximadamente de 4 000

000000 años con una formamuyparecidaalaactual,masnose tratadeunsistema tantranquilo o pronosticable,como un buen reloj. Nadagarantizaqueelfuturodelosplanetas, incluida la Tierra,no traiga sorpresas. Lapregunta aún sin respuestasería: ¿es el Sistema Solarestable?

En los siguientes

capítulos analizaremos conalgo de detalle lascaracterísticas caóticas dealgunos de los cuerpos delSistemaSolar.

XXV.LOSASTEROIDES

Entre Marte y Júpiter selocaliza un cinturón deasteroides, integrado porrocas de dimensionesdiversas y que giranalrededor del Sol. Quizá loscomponentes de un planetaque no llegó a formarse. El

tamaño de estas rocas esmucho menor que el decualquiera de los planetasconocidos: un ejemplo esGaspra,fotografiadoen1991por la naveGalileo a unadistanciade5300km;mide19por12por11kilómetros.

Se considera que elcinturón de asteroidescontiene varios millones decuerpos y se podría pensar

que en el espacio que ocupalas rocas chocancontinuamente entre sí. Sinembargo, el volumen delcinturónestangrandequeladistancia común entre dosasteroides es de variosmillones de kilómetros, porlo que los acercamientos ylascolisionesentreellos sonmuyraros.

Debido a que el tamaño

de los asteroides es mínimoencomparaciónconeldelosplanetasvecinos,cadaunodeelloses,dehecho,unasondaque casi no ejerce fuerzaalguna sobre aquéllos peroque sí experimenta susefectos. Por eso son deinterés para el presenteestudio pues cosas extrañasocurren en los asteroides.Cadaunodeellosestásujeto,

ademásdelafuerzaatractivadel Sol, a las ejercidas porMarteyJúpiter,loquecausaque su trayectoria alrededordel Sol sea ondulada. Sepodría uno preguntar si, a lolargo de tiempos muygrandes,talesperturbaciones,que son relativamentepequeñas, se pudieranacumular y causar cambiosradicalesensusórbitas.

Figura48.Gráficadelnúmerodeasteroidesa

distintasdistanciasdelSol.

A mediados del siglopasado se empezó a estudiarla trayectoria de variosasteroides y se descubrió unhecho interesante. Al medirsu distancia al Sol seencontró que había algunasparalascualesprácticamentenohabíaasteroides.Conmásdetalle,sisehaceunagráficaen la que se enumere lacantidad de asteroides

situada a cada distancia(figura48)seencuentraqueaciertasdistanciasdelSolcasino hay asteroides sinobrechas. En la gráfica se hausado como unidad dedistancia la unidadastronómica (abreviadau.a.),que equivale a la distanciadelSola laTierra,unos150000 000 km. Así, porejemplo, a las distancias de

aproximadamente 2.5 u.a.,2.8u.a.,2.9u.a.,3.3u.a.,nohayasteroides.

Figura49.

MovimientodeunasteroidequetieneconJúpiteruna

resonanciade3:1.

Ahora bien, como se vioen el capítulo anterior, latercera ley de Kepler nosindica que hay una relaciónentre la distancia de uncuerpoalSoly el tiempoenque completa su órbita, estoes, su año, o su periodo

orbital.Portanto,tambiénsepuede contar el número deasteroides que tienendeterminado periodo orbital.En este caso conviene tomarcomo unidad el año deJúpiter (aproximadamente 4333días, el año joviano).Laescaladetiempossemuestraen la misma figura 48. Deéstavemosquealadistanciade 2.5 u. a., a la que le

corresponde un periodoorbitalde(1/3)queesiguala1444 días, casi no hayasteroides. De la mismagráfica vemos que tampocohay gran número deasteroides en los periodosorbitales de (2/5) (2.8 u. a.),(3/7) (2.9 u. a.), (1/2) (3.3 ua)deañosjovianos,etcétera.

Lo curioso de estedescubrimientoesque,como

se ve, las brechas se dan enperiodosquesoncocientesdenúmeros enteros: el periodode (1/3) es el cociente de 1entre3;elperiodode(2/7)esel cociente de2 entre 7, etc.Aestosperiodosselesllamaresonancias; a (1/3) se lellamalaresonanciade3:1;a(2/7), la resonanciade7:2,yasísucesivamente.

La figura 49 muestra lo

que ocurre a un asteroidecuyo periodo se halla en laresonancia 3:1 con Júpiter.En la figura (a) el planeta yel asteroide están a lamínimadistancia.En(b),(c)y(d)vemoslasposicionesdeJúpiter después de cadavuelta completa delasteroide. Después de 12añosestoscuerposvolveránaestar nuevamente a la

mínima distancia (figura49(d)). Queda claro que elasteroide y el planeta seacercan casi a las mismasposiciones en intervalosregulares. Al transcurrir eltiempo, durante millones deaños, estas coincidenciasacumulanefectosquepuedenser perceptibles y quepodríanmodificar el tamañode laórbitadelasteroide.La

cuestiónqueseplanteófuesiestas resonancias podríancausar inestabilidades en lasórbitas de los asteroides queestánenresonanciayque,enconsecuencia, sus órbitasaumentaran tanto quetomaran una nueva órbita enla que no hubiera ningunaresonancia. Quedaría claroentonces que si alguna vezhubo algún asteroide en

resonancia, después demucho tiempo habríacambiado de órbita y lapoblación de asteroides enresonanciadisminuiría.

Desde el siglo pasado setrató de resolver estacuestiónbuscandosolucionesa las ecuaciones de Newtonajustadas al sistemaasteroide, Marte y Júpiter.Sin embargo, por el motivo

que se mencionó en elcapítulo anterior, sólo sepudo hacer entonces paraintervalos de tiempo muypequeños, alrededor de 10000años,conelresultadodeque en estos intervalos detiempo no ocurría ningunamodificacióndelaórbitadelasteroide.

No fue sino hasta ladécada 1970-1980 que,

disponiéndose ya decomputadoras electrónicas,fue posible hacer cálculosque cubrieran intervalos detiempo mucho mayores. Sesupusoquesecolocaban300asteroides a las distanciascorrespondientes a laresonancia3:1.Cadaunocondiferente posición yvelocidad. Las diferenciasentre estas condiciones

iniciales eran tales quediversos asteroides teníanposicionesinicialesdistintas.Se inició el cálculo de lasórbitasqueseguiríacadaunode estos objetos durante dosmillones de años y se hallóque,para ciertas condicionesiniciales, las órbitas queseguían los asteroides nocambiaronde tamaño endosmillones de años. Es decir,

estascondicionesdabanlugara órbitas estables. Además,se descubrió que para otrotipodecondicionesiniciales,en ciertos instantes lasórbitas cambiabanabruptamente su tamaño.Estas condiciones inicialescorresponden a regionescaóticas.

En la figura 50 semuestralagráficadeltamaño

de la órbita de un asteroidede la región caótica en laresonancia 3:1, con eltranscurso del tiempo.Podemosapreciarque,enlosinstantes marcados por lasflechas, el tamaño de laórbita crecedesmesuradamente. Se veque un asteroide puedepermaneceralrededorde150000 años en una órbita

reducida y de prontocambiarla notablemente. Lanueva órbita es tan grandeque, al recorrerla, elasteroidecruzalasórbitasdeMarte y la Tierra. Con eltiempo, puede ocurrir que elasteroide y uno de estos dosplanetas choquen. De estamanera, los asteroides cuyasórbitas caen inicialmente enla zona caótica de la

resonancia3:1,gradualmentevan desapareciendocreándoseasí labrechaenelcinturón.

Figura50.Variacióneneltiempodelostamañosdelasórbitasde

asteroidesenlazonacaótica.

Lo anterior tambiénexplicaelhechodequesobrela Tierra han caídometeoritoscuyacomposiciónquímica es parecida a la delos del cinturón de

asteroides. Hasta épocasrecientes no se había podidoexplicar cómo éstos podríanllegar hasta nuestro planeta.Por tanto, se puede pensarque la zona del cinturón deasteroides,condistanciasquecorrespondena la resonancia3:1, es la fuente de algunosde los numerososmeteoritoscaídosennuestroplaneta.

En la misma figura 50

vemosque si el asteroidenoexperimenta ningunacolisión, después de ciertotiempo vuelve a alterarse eltamañodesuórbitaycambiaa otra órbita de tamañoparecido al que teníaoriginalmente. Al seguirtranscurriendo el tiempovuelve a recorrer una órbitamuy grande. Posteriormentecambia a una pequeña y así

sucesivamente.Lo interesante de este

descubrimiento es saber queen ciertas circunstancias ycon determinadascondiciones iniciales elcomportamiento de uncuerpo del Sistema Solarpuede ser caótico.Esto es loque había intuido Poincaré aprincipios de siglo sinhaberlo podido demostrar.

Las ecuaciones de Newtonincluyen este tipo dedinámica.

XXVI.LOSTROPIEZOSDEHIPERIONDesde tiempos inmemorialesloshombressedieroncuentadequelaLunacompletaunavueltaalrededordesuejeenelmismotiempoquelellevadarunavueltaalrededordelaTierra. Por este motivo

siempre vemos su mismacara; la cara oculta de laLuna fue conocida cuandonaves espaciales, alrededorde1975,lafotografiaron.Dehecho, todos los satélites delos planetas de nuestrosistemagiran sobre su eje almismo tiempo en que giranalrededor de su planeta.Hayuna excepción: el satéliteHiperión de Saturno, que da

unavueltaalrededordesuejeen 13 díasmientras que giraalrededor de Saturno en 21días.

NuestraLunasiemprenospresenta la misma caradebidoaque laTierraejerceuna fuerza gravitacional deatracciónsobreelsatélitequehace que éste se deforme,generandotensionesinternas.De esta manera, el giro del

satélite se modifica hastaadquirir elmismo ritmo queel que tiene para dar unavuelta alrededor del planeta.Lo que se dijo acerca de laLuna es válido para lossatélites de los demásplanetas, y así ocurre.Entonces surge la pregunta:¿por qué Hiperión no hasincronizado su rotación?Hay dos factores que lo han

impedido:suformaelongaday la influencia del satéliteTitán de Saturno.Considerémoslas.

Hiperión no tiene laforma casi esférica de losdemás satélites planetarios.Su forma es muy especial,con dimensiones de 380 kmpor 290 km por 230 km.Además, su superficiemuestramuchoscráteres.De

todoslossatélitesconocidos,Hiperióneselmásirregular.

Su orientación es pococomún, pues un satélite asíde elongado debería giraralrededor de su eje máscorto.Elmayor,AB,deberíaestar situado en el plano desuórbita(figura51).Deestamaneraelejedegirodeberíahallarse en posiciónperpendicular al plano de la

órbita; sin embargo, se hallainclinado.

LaórbitadeHiperiónestásituada lejos de los famososanillos de Saturno y muycercana a la órbita delgigantesco satélite Titán. Ladistancia de Hiperión aSaturno es deaproximadamente 1 500 000km. Titán, por susdimensiones y su cercanía a

Hiperión ejerce sobre ésteuna fuerza considerable yexperimenta, por tanto, dosfuerzas degranmagnitud: laejercidaporelplanetayladeTitán. Como resultado, porcadacuatrovueltasqueTitánda alrededor de Saturno,Hiperión da sólo tres, esdecir,hayunaresonancia4:3.La fuerza ejercida por Titánha forzado a Hiperión a

seguir y permanecer en unaórbita estable y, comoresultado de estasinfluencias,laorientacióndeleje de giro de Hiperión vacambiando,dandotumbos.

Figura51.Orientaciónqueelejedegirode

Hiperióndeberíatener.

Figura52.Ejedegiroque,

efectivamente,tieneHiperión.

Alresolver,conayudadeuna computadora, lasecuaciones de Newton delsistema de tres cuerpos:Hiperión,TitánySaturno,sehaencontradoquehayzonascaóticas, análogas a lasdescritas en el capítuloVIII.Las características delmovimiento caótico serefieren a la orientación deleje de giro. Lamás pequeña

desviación de éste, conrespecto de una posiciónperpendicular al plano de suórbita, puede crecer tanrápidamente que, en muypoco tiempo, puede quedarparaleloalplanodelaórbita(figura52)ydeésta,pasarauna nueva orientación. En elmomento presente, Hiperiónsehallaenunaregióncaóticacomoladescrita.

De lo anterior, podemosdecir que Hiperión sigue uncomportamiento queconstituye una mezcla demovimientos ordenados ycaóticos. La parte ordenadaessutrayectoriaalrededordeSaturno, mientras que lacaóticaes la relacionadaconel giro alrededor de su eje.De hecho ha sido posiblepredecir la posición de

Hiperión en su órbita porperíodos grandes de tiempo.Estoesdebidoalmovimientoordenado. Sin embargo, laprediccióndeladireccióndeleje de giro no se ha podidohacer con precisión, a causade lo caótico delmovimiento. Lasobservaciones de laorientación del satéliteindican, efectivamente, un

movimientocaótico.Con base en un análisis

matemático muy detallado,se ha encontrado que laregión de caoticidad en laqueseencuentraHiperiónesmuygrande,locualsignificaque, aunque se denvariacionesensuorientación,lo más probable es quetermine en otro punto de lamisma región caótica. Sin

embargo, Hiperión nosiempre estuvo en estaregión.Espocoprobablequecuandoelsatéliteseformósehaya encontrado en unaregión caótica. En el pasadodistante, el tiempo quetardaba Hiperión en rotarsobre su eje era muchomenor que el que tardaba endar una vuelta alrededor deSaturno.Esdecir,laduración

de su día era mucho máscorta que la de su año. Amedida que las fuerzas detensión internas fueronacumulando su influencia alolargodemillonesdeaños,la velocidad de rotación deHiperión alrededor de su ejeiba disminuyendo, es decir,su día iba siendo cada vezmás y más grande. De estaforma, llegó unmomento en

que adquirió una velocidaddegiroquecorrespondíaalazonacaótica.Enestecaso,lavelocidaddegirodesempeñael papel de la cantidadq delc a p í t u l oVIII. Antes deadquirir la velocidad que loenvió al caos, el eje de giroeraperpendicularasuórbita,como se ve en la figura 51.Sin embargo, una vez queHiperión entró a la zona

caótica, la estabilidad de sugiro se perdió e Hiperiónempezóadartumbos.

Es posible que otrossatélites de formasirregulares hayan estadoalgunavezenzonascaóticas.Sin embargo, en ciertomomento adquirieronvelocidades rotacionalestales que los sacaron deaquéllas y entraron en una

zona ordenada en la cual seencuentran hasta el día dehoy.

El estudio de lacaoticidad en los satélites esde gran importancia para eldesempeño de los satélitesartificiales. Como nuestroplaneta no constituye unaesfera perfecta ni tiene sumasa distribuidauniformemente, las órbitas

de los satélites artificialespueden ser afectadas demaneranotable,enparticularsientranenunazonacaótica.Paraevitarquedentropiezosensuejedegiroosedesvíende la órbita planeada, losingenieros deben estarcontrolando y ajustandoconstantemente laposiciónylaorientacióndelsatélite.Deotra forma, los efectos

gravitacionales noequilibrados harán que laórbitadelsatélitesedesvíeoque se produzca unmovimiento irregular de talmagnitud que impida quecumplasumisión.Paraevitarmovimientos no deseados seutilizan cohetes pequeños oráfagasdegasesquecorrigenlas velocidades del satélite.Sin embargo estos

dispositivos necesitancombustible y, una vez quese agota, ya no hay maneradehacerlascorreccionesylavida útil del satélite llega asufin.

Después de hacercálculos muy largos ycomplicados se hanencontrado las órbitas másadecuadas para los satélitesartificiales.Sesabecuálesde

ellas son ordenadas y cuálesse hallan en zonas caóticas.Una vez escogida la órbitaadecuada es problemade losingenieros determinar lascondiciones de lanzamientodel satélite para que entre,efectivamente, en la órbitaconlascondicionesprevistas.Porsupuesto,enestecasosetoman en cuenta lasperturbaciones que producen

alsatéliteelSolylaLuna.Hemos consideradohasta

este momento tipos demovimientos irregulares delos satélites debidos a quesus condiciones los colocanen zonas caóticas, pero ¿quépasaconlosplanetas?

XXVII.¿YQUÉOCURRECON

LOSPLANETAS?

En los dos capítulosanteriores vimos que losasteroidesyalgunossatélitesplanetarios muestran uncomportamientocaótico.

Viene ahora la siguientepregunta: ¿pueden tambiénlos planetas del SistemaSolar mostrar este tipo decomportamiento?

Como se dijo antes,Newton fue el primero quesentó las bases para estudiarelmovimientodeloscuerposcelestes, análisis que serealiza a partir de lasecuacionesdeNewtonydela

ley de la gravitaciónuniversal. En primerainstancia,Newtonresolvióunproblema imaginario: que elSistema Solar lo integrarasólo el Sol y un planeta.Usandolasleyesquepropusopudo resolver con exactitudel problema, obteniendocomoresultado las leyesqueKepler había descubierto apartirdelasobservacionesde

Tycho Brahe. Es decir,Newton pudo explicar loshechos observados yexpresados en forma sucintapor Kepler. El inglés estuvoconscientedequesu trabajo,queporciertoconstituyeunagran hazaña intelectual, noera suficiente, ya que enrealidad un planeta no estásujeto sólo a la fuerzagravitacional del Sol, sino

también a la de los demásplanetas, satélites yasteroides. Es claro que elefecto preponderante sobrecualquierplanetaeselquesedebe a la fuerza del Sol, yaque lamasa de este astro esmuchísimo más grande queladecualquierotrocuerpodenuestro sistema; el efectodelosdemásplanetasycuerposdel sistema es pequeño en

comparación. El planetagigante,eldemayormasa,esJúpiter, y lamasadelSol esunas1050vecesladeJúpiterque, a su vez, es 315 vecesmásqueladelaTierra.

Newton intentó tomar encuentaelefectodelosdemásplanetas sobre susrespectivos movimientos. Elconjunto de interaccionesgravitacionales de los

planetas y el Sol es tancomplejo que ni Newton ninadie hasta la fecha hapodido resolvermatemáticamenteydeformaexacta las ecuaciones demovimiento para esteconjuntodecuerpos.Newtonya se había dado cuenta deciertas irregularidadesen losmovimientos de los planetasquelehicieronsospecharque

sepodríaromperelordendelSistema Solar, a menos quesus órbitas fueran corregidasenmomentosdeterminadosyconcluyóque la intervencióndivina era necesaria paramantener el Sistema Solarcomoloconocemos.

Años más tarde Laplace,a quien ya nos referimos enun capítulo anterior, en unalarde de dominio de las

matemáticas, demostró queaun si hubiese algunasdesviaciones en losparámetros de las órbitasplanetarias, resultaba queeran pequeñas y seautocorregían, es decir, queexistía la tendencia a que seeliminaran.Laplaceconcluyóque estas perturbaciones nosepodíanacumularalolargodemillonesdeañosdemodo

que produjeran lasinestabilidades capaces dedesquiciar el Sistema Solar.Las posibles desviaciones delasórbitasde losplanetas sedan dentro de límites muyestrechos,por loquenuestrosistema,comoloconocemos,permanecerá casi igual parasiempre. Es dentro de estalínea que escribió el párrafoquecitamosenelcapítuloIV.

Figura53.Frecuenciasdelmovimientode

Júpiter.

Sin embargo, a pesar desu gran optimismo, Laplaceno pudo explicar todos losdetalles de los movimientosconocidos de la Luna, porejemplo. Sus cálculosmostraban discrepancias conlas observaciones que, apesar de ser pequeñas eransignificativas y no encontróformaderesolverlas.

En última instancia,

resulta que los cálculos deLaplace y sus conclusionessólo podían dar cuenta de loque ocurriría en el SistemaSolaralolargodeunosmilesdeaños.

Posteriormente, Poincaréfue el que se dio cuenta,comoyalomencionamos,deque podrían ocurrircomportamientos, que hoyllamamos caóticos, si se

consideraban intervalosmuchísimo más grandes.Como ya ejemplificamos envarios casos, a pesar de queel comportamiento de unsistema parezca regular yordenado en determinadointervalo de tiempo, puedeocurrirqueefectivamenteseacaóticoyde repentemuestrealgunas característicaserráticas. Poincaré llegó a la

conclusión de que, hasta suépoca, el problema de laestabilidaddelSistemaSolarno había sido resuelto. Elproblema concreto era quecalcularsuevoluciónapartirde lasecuacionesdeNewtonyde su leyde lagravitaciónuniversalporvariosmilesdemillonesdeaños requeríadeun esfuerzo imposible deconcretar a principios de

siglo. Una computadora losuficientemente poderosapuede sin embargo realizarestos cálculos por elmétodoque se llama integraciónnumérica. Sin embargo, serequieren tiemposextraordinariamente grandesdecálculo.Cualquiercálculodirecto debe proceder enincrementos de tiempo losuficientemente pequeños

como para poder seguir elcurso de cada uno de losplanetas.

Así,debetomarencuentaque Mercurio da una vueltaalrededordelSolen88días,mientras que Plutón lo haceen249años.Además,debidoaquenadaimportanteocurreen periodos de varios milesde años se debe seguir elcálculo de la evolución del

SistemaSolar durante variosmillones de años paraintentar encontrarcomportamientos de largoplazo.Almismo tiempo hayque considerar tiempospequeños y grandes. Paradesarrollar este programa sedebe trabajar en lacomputadora durantemuchísimotiempo.

No fue sino hasta 1984

que el astrónomoestadounidense GeraldSussman desarrolló unmétodo y construyó unsistema de computaciónespecial para lograr losrequerimientos necesarios.La máquina que construyópodíacalcularlasituacióndelos constituyentes delSistema Solar unos 100millones de años hacia el

futuro. En colaboración conotrocientífico,JackWisdom,trabajaron en el cálculonuméricodelaevolucióndelSistema Solar. DescubrieronqueelmovimientodeJúpitermuestra muchísimasfrecuencias,comoseobservaenlafigura53;sigiraenunórbita periódica pura sólomostraría una frecuenciaúnica y la gráfica se vería

con una sola línea vertical.Lasfrecuenciasqueaparecenenelmovimientodelplanetase deben a las interaccionesque sobre él ejercen losdemás cuerpos del SistemaSolar. Con el métodopropuesto por Laplace, estetipo de efectos no se logródescubrir.

Sussman y Wisdomhicieron dos corridas con el

planeta Plutón, en cada casoen posiciones ligeramentedistintas. En la primeraPlutón tenía determinadaposición y en la siguientecorrida una ligeramentedistinta.Enambas,losdemásplanetas y cuerpos delSistema Solar tenían lasmismas condicionesiniciales.Encontraronquelasdostrayectoriasestudiadasse

separaban muy rápidamente.Como ya sabemos, estoindicaunasituacióncaótica.

Lo anterior significa quelos astrónomos sólo podránpredecir dónde se encontraráPlutón dentro de unos milesde años con un pequeñoerror,peronodóndeestaráen50 000 000 de años. Esto sedebe a que para poderpredecir su posición en el

futuro hay que conocer suposición actual sin ningúnerror, cosa imposible. Elhechodequeseencuentreenunazonacaóticanosignificanecesariamente que en algúnmomento se vaya a separardelSistemaSolar,pueshacerpredicciones en estascondiciones no es posible.Resulta que Plutón haseguido su actual órbita

durante muchos millones deaños.

Otros cálculos, usandootrastécnicasnuméricas,hanposibilitadoremontarsea100000 000 000 de años en elfuturo. Nuevamente se haencontrado que Plutónefectivamentesehallaenunazonacaótica.

En los últimos años,Jacques Laskar, en Francia,

con ayuda de las técnicas decálculo más nuevas, realizólo que Sussman y Wisdomhicieron con Plutón, peroabarcando todo el SistemaSolar.Esdecir,considerandodossituacionesenlasquelosplanetas y el Sol diferíanmuypocoensusposicionesyvelocidades iniciales. Dichoen otras palabras hizo doscorridas; en una de ellas

consideró al Sol y a losplanetas en determinadasposiciones y velocidadesiniciales y calculó lasposiciones que cada cuerpotendría en los próximos 200000000de años.En seguidavolvió a repetir el cálculo,pero cambiando ligeramentelas posiciones y velocidadesiniciales del Sol y losplanetas. Encontró que las

órbitas que seguirían losplanetas en los dos casosempezaban a separarse cadavez más. Esto es unamanifestación de que elSistema Solar está tambiénenunaregióncaótica.

La conclusión de estosestudios es que más allá devarios miles de años no sepuedepredecirlasposicionesquetendránlosplanetas,yen

particular la Tierra. Estetema es de activainvestigación en laactualidad. Entre lascuestionesqueseestudiansehalla larelaciónentrecaosyestabilidad.Puedeserposibleque, a pesar de que no sepuedan hacer prediccionesprecisas para muchosmillones de años, lacaoticidad de los

movimientos de los cuerposdel Sistema Solar sealimitada. La cuestión de siéste seguirágrosso modo elcursoquehamantenidohastaahora, sin grandesalteraciones, sigue siendo unproblema abierto. Elsignificadodesumovimientocaótico, pese a los avancesque hemos reseñado, estodavíaunmisterioquenoha

sidoaclarado.

XXVIII.COMENTARIOS

FINALESHemospresentadounavisióndel desarrollo de nuevasideas, de los fractales y delcaos, que tienen aplicaciónen varios campos delconocimiento: la física, labiología, la ingeniería, la

música y la lingüística entreotros. Éstas han abierto laposibilidad de entenderfenómenos que conanterioridad no habían sidotratados satisfactoriamente.Esta gama de fenómenos secomporta en formasanálogas. Un hechointeresante es que hay unaaparente universalidad en ladescripción de fenómenos

que son de distintanaturaleza.Sehadescubiertoque los detalles particularesde los fenómenos no tienengranimportancia.

Un hecho interesante esquemuchosdeloselementosnecesarios para el desarrollodelasteoríasdelosfractalesydelcaosyaseteníandesdehacemás de un siglo por lomenos. Sin embargo, los

pocos científicos que algovislumbraronnotuvieronecoy sus ideas quedaron en elolvido.

Una característica comúna los fenómenos estudiados—provenientes de distintasramasdelconocimiento—esquesetratadefenómenosnolineales. Este parece ser elpunto crucial. Todos losfenómenosnolinealestienen

un comportamiento quemuestra, en ciertascircunstancias queanalizamos con detalle, elcaos. En consecuencia, unavez que se analiza un caso,sus resultados nos permitenconocer importantespropiedades cualitativas deotroscasos.

No hemos podidopresentar una revisión de

todosloscasosenquesehanaplicado las ideas defractales y de caos. Lavariedad de aplicaciones esconsiderable y crece día condía, de modo que no esposible incluirlas todas. Sinembargo, hemos tratado ungran número de situacionesmuydiferentesytodavíahaymucho por hacer en estecampo.

La manera novedosa detratar los fenómenos quehemos reseñado en el libroconsiste en estudiar suscaracterísticasentérminosdelos valores que puedenadquirir los parámetros delsistema. Esta forma deanálisis global ha permitidodescubrir que para ciertosvalores de estos parámetroselcomportamientoesestable

mientras que para otroconjunto de valores escaótico.

Las ideas desarrolladasacerca de los fractales y delcaostienengranimportancia,no sólo conceptual sino deaplicación práctica, porejemplo,enlahidrodinámicaylaaviación,enlaeconomíay la bolsa de valores, y enmuchosotroscasos.

Un elemento deimportancia vital para eldesarrollo que hemospresentado ha sido lamoderna computadoradigital.Con su ayuda es quese ha podido extraer elcontenido de fractales y decaos de las distintassituaciones.

Lacreacióndelosnuevosmétodos para tratar los

fenómenos que hemosconsiderado ha dadooportunidad de que se hayaproducido un trabajointerdisciplinario entrematemáticos, físicos,químicos, ingenieros,economistas, músicos,médicos, biólogos, que hanrealizado con granmotivación. De esta manerase han obtenido logros

considerables.Lautilizacióndelasideas

de fractales y de caos hatenidomucha repercusión enla descripción de fenómenosmuy complejos. Enparticular, la geometríafractalharesultadoserlaquedescribe, posiblemente, lamayoría de los objetos quehay a nuestro alrededor, encontradelaideaquesetenía

durante siglos de que lasformasmáscomunes son lasdescritas por la geometríaeuclidiana. ¡Estas hanresultado ser lasexcepciones!

De la misma manera, elcaos parece estar en todoslados: en la columna dehumo de un cigarrillo, en elclima, en el movimiento delos automóviles, en las

avenidas de alta velocidad,en los seguros, en la teoríapolítica, en astronomía. Elcaoshaeliminadobarrerasyfronterasentredisciplinas.Elcaos es una ciencia de lanaturaleza global de lossistemas.

Hemos considerado elanálisis de situaciones quepueden parecer raras o, másbien, poco familiares. Sin

embargo, viéndolas conmayor detenimiento resultanserdegransimplicidad.

Es así que hemospresentado una vistapanorámica de un tema queestácausandounarevoluciónen el pensamiento científicocontemporáneo: el de losfractalesydelcaos.

ELIEZERBRAUN.Autor devarios libros de la colección«La ciencia para todos», estambién uno de los quemayornúmerodeejemplaresha vendido. Estudió en la

Facultad de Física de laUNAM y obtuvo sudoctorado en la Universidadde Leyden, Holanda. Suactividad principal es laenseñanzatantoenlaUNAMcomoenlaUAMlztapalapa.