Calculus2 6 All-Chula

เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 2 เจษฎา ห่อไพศาล (พีแ่บงค)์ www.clipvidva.com

1

แบบฝึกหัด 6.1

1. จงหาผลเฉลยทัว่ไปของสมการเชิงอนุพนัธ์ต่อไปน้ี

1.1. dy 2xy 4xdx

วธิีท า dy 2xy dx 4x

dy dx 4x 2xy dy dx 2x(2 y)

dy 2 y 2xdx dy2xdx y 2

0 dy2 xdx y 2 1 c

2x ln|y 2| c เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2x ln|y 2| c

1.2. 4(y y)y sin x cos x

วธิีท ำ 4 dy(y y) dx sin x cos x

4(y y)dy (sin x cos x)dx 4(y y)dy (cos x sin x)dx 0

4(y y)dy (cos x sin x)dx 1 c 5 2y y sin x cos x 5 2 c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 5 2y y sin x cos x c5 2

1.3. 3 2 2 2dyx x x ydx เม่ือ x > 0

วธิีท า 3x dy 2 x 1 y dx

2

dy 1 y

2

dx x

22dy dx

x1 y

0

22dy dx

x1 y

1 c

1arcsin y x c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 1arcsin y cx

1.4. 23(2y 1)dx y(x 1)dy


2

วธิีท า 23(2y 1)dx y(x 1)dy

3dx x 1 2y dy

2y 1

2y dy3dx x 1 2y 1

0

2y dy3dx x 1 2y 1

1 c

2

2dy3dx 1 x 1 2 2y 1

1 c

2

2d(2y 13dx 1 x 1 4 2y 1

)

1 c

213ln x 1 ln 2y 1 4 2 c 212ln x 1 ln 2y 1 3 c

12

2(x 1)ln 2y 1

3 c

12

2(x 1) 2y 1

3c e

12(x 1) 2 c(2y 1) เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 12 2(x 1) c(2y 1)

1.5. x

x yy

1 e dy e dx 01 e

วธิีท า x

x yy

1 e dy e dx 1 e

0

y x

y xe edy dx

1 e 1 e

0

y x

y xe edy dx

1 e 1 e

1 c y x

y xde de

1 e 1 e

1 c y x

y xd(1 e ) de

1 e 1 e

1 c

y xln 1 e ln 1 e 2 c y xln (1 e )(1 e ) 2 c

y x(1 e )(1 e ) 2c e y x(1 e )(1 e ) c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ y x(1 e )(1 e ) c

1.6. 2 2 2 2(x y x )dx (xy y )dy

วธิีท า 2 2(x y x )dx 2 2 (xy y )dy

2x (y 1)dx 2 y (x 1)dy


3

2x dx x 1 2y dy y 1

22 y dyx dx x 1 y 1

0

1 1(x 1 )dx (y 1 )dy x 1 y 1

0 1 1(x 1 )dx (y 1 )dy x 1 y 1 1 c

22 yx x ln x 1 y ln y 1 2 2 2 c 2 2x y 2(x y) 2ln x 1 2ln y 1 c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2 2x y 2(x y) 2ln x 1 2ln y 1 c

1.7. 2 2(x 1)y y 1 0

วธิีท า 2 2dy(x 1) y 1 dx 0

2 2dy dx

y 1 x 1

0

2 2dy dx

y 1 x 1

1 c

arctan y arctan x c เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ arctan y arctan x c

1.8. 2 2 2 3(x y sec x tan x xy sec x)dx xy dy 0

วธิีท า 2 2 2 3(x y sec x tan x xy sec x)dx xy dy 0

(x sec x tan x sec x)dx ydy 0 (x sec x tan x sec x)dx ydy 1 c

(x sec x tan x)dx (sec x)dx ydy 1 c

x dsec x (sec x)dx ydy 1 c

x secx (sec x)dx (sec x)dx ydy 2 c

x secx ydy 2 c 2yx secx 2 3 c

22x secx y c เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 22x secx y c

2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพนัธ์ต่อไปน้ี

2.1. 2 2dycos x sin y 0dx เม่ือ y(0) 2

วธิีท า 2 2dycos x sin y dx 0

2 2dy dx

sin y cos x 0

2 2cosec y dy sec x dx 0


4

2 2cosec y dy sec x dx 1 c

tan x cot y c เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ tan x cot y c

แทนค่า y(0) 2

นัน่คือ y = 2 และ x = 0 ลงในผลเฉลยทัว่ไป

จะได ้ tan 0 cot 2

c

c 0 เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ tan x cot y 0

2.2. 2 dy xx 1 dx y เม่ือ y( 3) 2

วธิีท า 2 dyx 1 dx x y

y dy 2x dx x 1

2x dx y dy x 1

0

2x dx y dy x 1

1 c 2

21 d(x 1) y dy 2 x 1

1 c

22 yx 1 2 2 c

2 22 x 1 y c เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2 22 x 1 y c

แทนค่า y( 3) 2 นัน่คือ y = 2 และ x = 3 ลงในผลเฉลยทัว่ไป

จะได ้ 2 3 1 4 c

c 0

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 2 2y 2 x 1

2.3. x

2 2 21 edy dx9 ey y e

เม่ือ y(1) 3

วธิีท า 1 dy 9 x

2 2 2e dx

ey y e

21 y dy 9 x

2e dx

e e

2 x2

1 1y dy e dx 9 e e 1 c

3 x

2y e 27 e e 2 c

2 3 x(e e )y 27e c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2 3 x(e e )y 27e c


5

แทนค่า y(1) 3 นัน่คือ y = 3 และ x = 1 ลงในผลเฉลยทัว่ไป

จะได ้ 2(e e )27 27e c

c 2 27e เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 2 3 x 2(e e )y 27e 27e

หรือ 2

3 x 2e e( )y e e27

2.4. 3dy yx dx x x

เม่ือ y(2) 2

วธิีท า dyx dx 3y

x x

dy y 2 2dx

x (1 x )

2 2dy dx y x (1 x )

0

2 2dy 1 1( )dx y x 1 x

1 c

2dy 1 1 1 1( )dx dx y 2 x 1 x 1 x

1 c

1 x 1 1ln y ln 2 x 1 x

c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 1 x 1 1ln y ln c2 x 1 x

แทนค่า y(2) 2 นัน่คือ y = –2 และ x = 2 ลงในผลเฉลยทัว่ไป

จะได ้ 1 2 1 1ln 2 ln 2 2 1 2

c

c 1 4 1 ln2 3 2

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ x 1 2 42ln y ln ln 1x 1 x 3

หรือ 2y (x 1) 2 4ln ln 1x 1 x 3


6


1. จงหาผลเฉลยทัว่ไปของสมาชิกเชิงอนุพนัธ์ต่อไปน้ี

1.1. 2

2dy y 2xydx x

วธิีท า จดัรูปใหม่ไดเ้ป็น 2 2(y 2xy)dx x dy 0

ในท่ีน้ี M(x, y) = 2y 2xy และ N(x, y) = 2x

ส าหรับจ านวนจริงบวก k ใดๆ จะไดว้่า M(kx, ky) = 2(ky) 2(kx)(ky) = 2 2k (y 2xy) = 2k M(x, y)

N(kx, ky) = 2(kx) = 2 2k x = 2k N(x, y)

เพราะฉะนั้น M(x, y) และ N(x, y) เป็นฟังกช์นัเอกพนัธุ์ดีกรี 2

แสดงว่าสมการเชิงอนุพนัธ์น้ีเป็นสมการเอกพนัธุ์ ให้ y = vx จะไดว้่า dy = v dx + x dv

2 2((vx) 2x(vx))dx x (v dx xdv) 0

2 2 2 3(vx) dx 2vx dx x v dx x dv 0 2 2 2 3(v x vx )dx x dv 0

dx dv x v(v 1)

0 dx 1 1( )dv x v v 1

1 c

vln x ln v 1

2 c

yln x ln y x 2 c

(y x)xln y

2 c (y x)x y

3 c y

cx(y x)

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ y cx(y x)

1.2. yxdy (x tan y)dx 0x

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = y(x tan y)x และ N(x, y) = x

ส าหรับจ านวนจริงบวก k ใดๆ จะไดว้่า M(kx, ky) = ky(kx tan ky)kx = yk(x tan y)x = kM(x, y)

N(kx, ky) = kx = kN(x, y)


แสดงว่าสมการเชิงอนุพนัธ์น้ีเป็นสมการเอกพนัธุ์ ให้ y = vx จะไดว้่า dy = v dx + x dv vxx(v dx x dv) (x tan vx)dx x 0

2xv dx x dv x(tan v)dx vx dx 0 2x dv x(tan v)dx 0


7

dv dx tan v x 0 dx(cot v)dv x 1 c

ln sin v ln x 2 c yln sin ln x x

2 c y1ln sin x x 2 c ysin x cx

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ ysin cxx

1.3. 2 3 3(x y y )dx x dy 0

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = 2 3(x y y ) และ N(x, y) = 3x

ส าหรับจ านวนจริงบวก k ใดๆ จะไดว้่า M(kx, ky) = 2 3((kx) (ky) (ky) ) = 3 2 3k (x y y ) = 3k M(x, y)

N(kx, ky) = 3(kx) = 3 3k x = 3k N(x, y)



2 3 3(x (vx) (vx) )dx x (x dv v dx) 0

3 3 4 3vx dx (vx) dx x dv x v dx 0 3 3 4((vx) 2vx )dx x dv 0

2dx dv x v(v 2) 0

2

2

dx 2sec d x 22tan ( )cos

0

cot dx 1 d x 2 1 c

1ln x ln sin 2 2 c

2v2ln x ln

v 2

3 c

2

2 2yxln

y 2x 3 c

2 4

2 2y xln

y 2x 4 c

2 4

2 2y x

y 2x c

2 4y x

2 2 c(y 2x ) เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2 4 2 2y x c(y 2x )

1.4. 2 22xydx (x y )dy 0


8

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = 2xy และ N(x, y) = 2 2x y

ส าหรับจ านวนจริงบวก k ใดๆ จะไดว้่า M(kx, ky) = 2(kx)(ky) = 2k (2xy) = 2k M(x, y)

N(kx, ky) = 2 2(kx) (ky) = 2 2 2k (x y ) = 2k N(x, y)


แสดงว่าสมการเชิงอนุพนัธ์น้ีเป็นสมการเอกพนัธุ์ ให้ y = vx จะไดว้่า dy = v dx + x dv 2 22x(vx)dx (x (vx) )(v dx x dv) 0

2 2 3 3 2 2 32vx dx vx dx x dv v x dx v x dv 0 2 3 2 3 2 3(3vx v x )dx (x v x )dv 0

2

3dx (1 v )dv x v 3v

0

2 2dx dv vdv x v(v 3) v 3

0

2 2dx dv vdv x v(v 3) v 3

1 c 2 2

22

dx 3sec d 1 d(v 3) x 3 2 v 33tan ( )cos

1 c

2

2 dx 1 1 d(v 3)cot d x 3 2 v 3

1 c

21 1ln x ln sin ln v 3 3 2 2 c

2 2

22y 3xv6ln x 2ln 3ln

xv 3

3 c

36 2 2 2

2 2 2x y y 3xln

y 3x x

3 c

2 2 2 2y (y 3x )

4 c 2 2y(y 3x )

c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2 2y(y 3x ) c

1.5. xy x y วธิีท า จดัรูปใหม่ไดเ้ป็น (x y)dx xdy 0

ในท่ีน้ี M(x, y) = x y และ N(x, y) = x

ส าหรับจ านวนจริงบวก k ใดๆ จะไดว้่า M(kx, ky) = kx ky = k(x y) = kM(x, y)

N(kx, ky) = (kx) = kN(x, y)



(x vx)dx x(v dx x dv) 0 2x dx vx dx xv dx x dv 0

2x dx x dv 0 dx dv x 0


9

dx dv x 1 c

ln x v c yln x x

c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ yln x cx

1.6. yx(1 ln )y yx

วธิีท า จดัรูปใหม่ไดเ้ป็น yydx x(1 ln )dy 0x

ในท่ีน้ี M(x, y) = y และ N(x, y) = yx(1 ln )x

ส าหรับจ านวนจริงบวก k ใดๆ จะไดว้่า M(kx, ky) = ky = kM(x, y)

N(kx, ky) = kykx(1 ln )kx = ykx(1 ln )x = kN(x, y)


แสดงว่าสมการเชิงอนุพนัธ์น้ีเป็นสมการเอกพนัธุ์ ให้ y = vx จะไดว้่า dy = v dx + x dv vxvx dx x(1 ln )(x dv v dx) x 0

2 2vx dx x dv xv dx x (ln v)dv xv(ln v)dx 0 2 2(x x (ln v))dv xv(ln v)dx 0

1 (ln v) dxdv v(ln v) x

0 1 1 dxdv dv v ln v v x 0

1 1 dxdv dv v ln v v x 1 c

d ln v 1 dxdv ln v v x 1 c ln x ln v ln(ln v )

2 c

ln xvln v 2 c

yy ln x c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ yy ln cx

1.7. 2 22x dy 2y dx x 4y dx

วธิีท า จดัรูปใหม่ไดเ้ป็น 2 2( x 4y 2y)dx 2x dy 0

ในท่ีน้ี M(x, y) = 2 2x 4y 2y และ N(x, y) = 2x

ส าหรับจ านวนจริงบวก k ใดๆ จะไดว้่า M(kx, ky) = 2 2(kx) 4(ky) 2 yk = 2 2k( x 4y 2y) = kM(x, y)

N(kx, ky) = 2kx = kN(x, y)




10

2 2( x 4(vx) 2vx)dx 2x(v dx x dv) 0 2 2 2( x 4(vx) 2vx)dx 2xv dx 2x dv 0

2 2 2x 4(vx) dx 2x dv 0 21 4v dx 2xdv 0

2dx dv2 x 1 (2v)

0

2dx dv2 x 1 (2v)

1 c

dx sec d x 1 c ln x ln sec tan

2 c 24v 1 2vln x

3 c

2 2

24y x 2yln

x

3 c

2 2x 4y 2y

2 cx เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2 2 24y x 2y cx

1.8. x xy y2ye dx (2xe y)dy

วธิีท า จดัรูปใหม่ไดเ้ป็น x xy y2ye dx (2xe y)dy 0

ในท่ีน้ี M(x, y) = xy2ye และ N(x, y) =

xy(2xe y)

ส าหรับจ านวนจริงบวก k ใดๆ จะไดว้่า M(kx, ky) = kxky2kye =

xy2kye = kM(x, y)

N(kx, ky) = kxky(2kxe ky) =

xyk(2xe y) = kN(x, y)


แสดงว่าสมการเชิงอนุพนัธ์น้ีเป็นสมการเอกพนัธุ์ ให้ y = vx จะไดว้่า dy = v dx + x dv x xvx vx2vxe dx (2xe vx)(v dx x dv) 0

1 1 1

2 2 2v v v2vxe dx 2xve dx 2x e dv xv dx vx dv 0 1

2 2 2v(vx 2x e )dv xv dx 0 1v

21 2e dx( )dv v xv 0

1v

21 2e dxdv dv v xv

1 c

1v1 1 dxdv 2 e d( ) v v x 1 c

1vln x ln v 2e

c


11

xyln y 2e

c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ xyln y 2e c


2.1. dy y xdx y x

เม่ือ y(–1) = 0

วธิีท า จดัรูปใหม่ไดเ้ป็น (x y)dx (x y)dy 0

ในท่ีน้ี M(x, y) = x y และ N(x, y) = x y

ส าหรับจ านวนจริงบวก k ใดๆ จะไดว้่า M(kx, ky) = kx ky = k(x y) = kM(x, y)

N(kx, ky) = kx ky = k(x y) = kN(x, y)



(x vx)dx (x vx)(v dx x dv) 0 2 2 2x dx vx dx xv dx x dv v x dx vx dv 0

2 2 2(x 2vx v x)dx (x vx )dv 0

2dx v 1 dv x v 2v 1

0

2dx v 1 dv x v 2v 1

1 c

2

2dx 1 d(v 2v 1) x 2 v 2v 1

1 c 21ln x ln v 2v 1 2

2 c 2 2y 2yx x

3 c 2 2y 2yx x c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2 2y 2yx x c

แทนค่า y(–1) = 0 นัน่คือ y = 0 และ x = –1 ลงในผลเฉลยทัว่ไป

จะได ้ 20 2(0)( 1) ( 1) c

c 1 เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 2 2y 2yx x 1 หรือ

2 2x 2yx y 1

2.2. 2 3 3x ydx (x y )dy 0 เม่ือ y(1) = 1

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = 2x y และ N(x, y) = 3 3y x

ส าหรับจ านวนจริงบวก k ใดๆ จะไดว้่า M(kx, ky) = 2(kx) (ky) = 3k (xy) = 3k M(x, y)

N(kx, ky) = 3 3(ky ) (kx ) = 3 3 3k (y x ) = 3k N(x, y)


แสดงว่าสมการเชิงอนุพนัธ์น้ีเป็นสมการเอกพนัธุ์ ให้ y = vx จะไดว้่า dy = v dx + x dv 2 3 3x (vx)dx (x (vx) )(x dv v dx) 0


12

3 4 3 3 4 4 3vx dx x dv vx dx v x dv v x dx 0 4 3 3 4 4v x dx (v x x )dv 0

3

4dx v 1 dv x v

0

3

4dx v 1 dv x v

1 c

4dx 1 1dv dv x v v 1 c

31ln x ln v

3v

2 c 3

3xln y

3y

c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 3

3xln y c

3y

แทนค่า y(1) = 1 นัน่คือ y = 1 และ x = 1 ลงในผลเฉลยทัว่ไป

จะได ้ 3

31ln 1

3(1) c

c 1 3

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 3

3x 1ln y 33y

หรือ 3

3x3ln y 1y

2.3. 2 214xyy 6x 7y เม่ือ y(–2) = 1

วธิีท า จดัรูปใหม่ไดเ้ป็น 2 2(6x 7y )dx 14xydy 0

ในท่ีน้ี M(x, y) = 2 26x 7y และ N(x, y) = 14xy

ส าหรับจ านวนจริงบวก k ใดๆ จะไดว้่า M(kx, ky) = 2 26(kx) 7(ky) = 2 2 2k (6x 7y ) = 2k M(x, y)

N(kx, ky) = 14(kx)(ky) = 2k 14xy = 2k N(x, y)


แสดงว่าสมการเชิงอนุพนัธ์น้ีเป็นสมการเอกพนัธุ์ ให้ y = vx จะไดว้่า dy = v dx + x dv 2 2(6x 7(vx) )dx 14x(vx)(x dv v dx) 0

2 2 3 2 26x dx 7(vx) dx 14vx dv 14v x dx 0 2 2 3(6x 21(vx) )dx 14vx dv 0

2dx 14v dv x 21v 6

0

2

2dx dv7 x 21v 6

1 c 2

2dx 1 d(21v 6) x 3 21v 6

1 c 21ln x ln 21v 6 3

2 c 2 2

32

21y 6xln x x

3 c


13

2 23

221y 6xx

x

4 c 2 2x(21y 6x ) 4 c 2 37xy 2x c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2 37xy 2x c

แทนค่า y(–2) = 1 นัน่คือ y = 1 และ x = –2 ลงในผลเฉลยทัว่ไป

จะได ้ 2 37( 2)1 2( 2) c c 2

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 2 37xy 2x 2 หรือ 3 22x 7xy 2 0

2.4. 2 2 2x y 3x 2xy y เม่ือ y(1) = 32

วธิีท า จดัรูปใหม่ไดเ้ป็น 2 2 2(3x 2xy y )dx x dy 0

ในท่ีน้ี M(x, y) = 2 23x 2xy y และ N(x, y) = 2x

ส าหรับจ านวนจริงบวก k ใดๆ จะไดว้่า M(kx, ky) = 2 23(kx) 2(kx)(ky) (ky) = 2 2 2k (3x 2xy y ) = 2k M(x, y)

N(kx, ky) = 2(kx) = 2 2k x = 2k N(x, y)


แสดงว่าสมการเชิงอนุพนัธ์น้ีเป็นสมการเอกพนัธุ์ ให้ y = vx จะไดว้่า dy = v dx + x dv 2 2 2(3x 2x(vx) (vx) )dx x (v dx xdv) 0

2 2 2 2 33x dx 2vx dx (vx) dx x v dx x dv 0 2 2 2 3(3x 3vx (vx) )dx x dv 0

2dx dv x v 3v 3

0

2

dx dv x 9 3v 3v 4 4

0

2

dx 4 dv x 3 2 3{ (v )} 123

0

2

dx 4 dv x 3 2 3{ (v )} 123

1 c

2

2 3d (v )2dx 4 3 3 x 3 2 2 31 { (v )}23

1 c

2 2 3ln x arctan{ (v ) 23 3} c

y2 2 3ln x arctan{ ( ) x 23 3} c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ y2 2 3ln x arctan{ ( )} cx 23 3

แทนค่า y(1) = 32 นัน่คือ y = 3

2 และ x = 1 ลงในผลเฉลยทัว่ไป


14

จะได ้ 2 2 3 3ln 1 arctan{ ( )} 2 23 3 c

c 0

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ y2 2 3ln x arctan{ ( )} 0x 23 3


15



1.1. 3 2 dy2x y 3xy 0dx

วธิีท า จดัรูปสมการ 3 2(2x y )dx 3xy dy 0

ในท่ีน้ี M(x, y) = 32x y และ N(x, y) = 23xy

จะไดว้่า M (x, y)y

= 23y และ N (x, y)x

= 23y

ดงันั้น M (x, y)y

= N (x, y)x

แสดงว่าสมการเชิงอนุพนัธ์น้ีเป็นสมการแม่นตรง

จาก F (x, y)x

= M(x, y)

= 32x y

จะไดว้่า F(x, y) = 3(2x y )dx

= 2 3x xy C(y) … (1)

แต่ F (x, y)y

= N(x, y)

= 23xy

ดงันั้น 23xy C (y) = 23xy

จะไดว้่า C (y) = 0

เพราะฉะนั้น C(y) = C1

แทน C(y) ใน (1) จะไดว้่า

F(x, y) = 2 31x xy C

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2 3x xy C

1.2. (2x 5y)y 6x 2y วธิีท า จดัรูปสมการ (6x 2y)dx (2x 5y)dy 0

ในท่ีน้ี M(x, y) = (6x 2y) และ N(x, y) = 2x 5y


= 2 และ N (x, y)x

= 2


= N (x, y)x


จาก F (x, y)x

= M(x, y)

= 2y 6x

จะไดว้่า F(x, y) = (2y 6x)dx


16

= 22xy 3x C(y) … (2)

แต่ F (x, y)y

= N(x, y)

= 2x 5y

ดงันั้น 2x C (y) = 2x 5y

จะไดว้่า C (y) = –5y

เพราะฉะนั้น C(y) = 21

5 y C2


F(x, y) = 2 21

52xy 3x y C2

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2 253x y 2xy C2

1.3. 2 2 2x(x cos(x y) 2y)y 2xy cos(x y) y วธิีท า จดัรูปสมการ 2 2 2x(x cos(x y) 2y)y 2xy cos(x y) y 0

2 2 2(2xy cos(x y) y )dx x(x cos(x y) 2y)dy 0 ในท่ีน้ี M(x, y) = 2 22xy cos(x y) y และ N(x, y) = 2 2x cos(x y) 2xy


= 2 2 22x{cos(x y) x y sin(x y)} 2y

และ N (x, y)x

= 3 2 22x y sin(x y) 2x cos(x y) 2y


= N (x, y)x


จาก F (x, y)x

= M(x, y)

= 2 22xy cos(x y) y

จะไดว้่า F(x, y) = 2 2(2xy cos(x y) y )dx

= 2 22xy cos(x y)dx y dx

= 2 2 2cos(x y)d(x y) y dx

= 2 2sin(x y) xy C(y) … (3)

แต่ F (x, y)y

= N(x, y)

= 2 2x cos(x y) 2xy

ดงันั้น 2 2x cos(x y) 2xy C (y) = 2 2x cos(x y) 2xy


เพราะฉะนั้น C(y) = 1C


F(x, y) = 2 21sin(x y) xy C


17

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2 2sin(x y) xy C

1.4. 2dy(sin(xy) xy cos(xy)) y cos(xy) 0dx

วธิีท า จดัรูปสมการ 2(sin(xy) xy cos(xy))dy y cos(xy)dx 0

ในท่ีน้ี M(x, y) = 2y cos(xy) และ N(x, y) = sin(xy) xy cos(xy)


= 2xy sin(xy) 2ycos(xy)

และ N (x, y)x

= 2y cos(xy) xy sin(xy) y cos(xy) = 2xy sin(xy) 2y cos(xy)


= N (x, y)x


จาก F (x, y)x

= M(x, y)

= 2y cos(xy)

จะไดว้่า F(x, y) = 2(y cos(xy))dx

= y cos(xy) d(xy)

= y sin(xy) C(y) … (4)

แต่ F (x, y)y

= N(x, y)

= sin(xy) xy cos(xy)

ดงันั้น sin(xy) xy cos(xy) C (y) = sin(xy) xy cos(xy)




F(x, y) = 1y sin(xy) C

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ y sin(xy) C

1.5. 2

3xy 1 2y x( )dx ( )dy 0y y

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = 3xy 1y และ N(x, y) = 2

2y xy


= 2

1y และ N (x, y)x

= 2

1y


= N (x, y)x


จาก F (x, y)x

= M(x, y)

= 3xy 1y


18

จะไดว้่า F(x, y) = 1(3x )dxy

= 23 xx C(y)2 y … (5)

แต่ F (x, y)y

= N(x, y)

= 2

2y xy

ดงันั้น 2

x C (y)y = 2

2y xy

จะไดว้่า C (y) = 2y

เพราะฉะนั้น C(y) = 12ln y C


F(x, y) = 21

3 xx 2ln y C2 y

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 23 xx 2ln y C2 y

1.6. dyy ( x arcsin y) sin xdx

วธิีท า จดัรูปสมการ ( y sin x)dx ( x arcsin y)dy 0

ในท่ีน้ี M(x, y) = y sin x และ N(x, y) = x arcsin y


= และ N (x, y)x

=


= N (x, y)x


จาก F (x, y)x

= M(x, y)

= y sin x

จะไดว้่า F(x, y) = ( y sin x)dx

= xy cos x C(y) … (6)

แต่ F (x, y)y

= N(x, y)

= x arcsin y

ดงันั้น x C (y) = x arcsin y

จะไดว้่า C (y) = arcsin y

เพราะฉะนั้น C(y) = 21y arcsin y 1 y C


F(x, y) = 21xy cos x y arcsin y 1 y C

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2xy cos x y arcsin y 1 y C


19

1.7. ln y ln xdx ( sin y)dy 0x y

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = ln yx และ N(x, y) = ln x sin yy


= 1xy และ N (x, y)x

= 1xy


= N (x, y)x


จาก F (x, y)x

= M(x, y)

= ln yx

จะไดว้่า F(x, y) = ln y( )dxx

= (ln y)(ln x) C(y) … (7)

แต่ F (x, y)y

= N(x, y)

= ln x sin yy

ดงันั้น ln x C (y)y = ln x sin yy

จะไดว้่า C (y) = sin y

เพราะฉะนั้น C(y) = 1cos y C


F(x, y) = 1(ln y)(ln x) cos y C

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ (ln y)(ln x) cos y C

1.8. 2 22x y x y(2xye sin y)dx (x e x cos y y)dy 0 วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = 2x y2xye sin y และ N(x, y) = 22 x yx e x cos y y


= 2 23x y x y2xe 2x ye cos y

และ N (x, y)x

= 2 23x y x y2xe 2x ye cos y


= N (x, y)x


จาก F (x, y)x

= M(x, y)

= 2x y2xye sin y

จะไดว้่า F(x, y) = 2x y(2xye sin y)dx

= 2x y2xye dx sin y dx


20

= 2 2x ye d(x y) sin y dx

= 2x ye x sin y C(y) … (8)

แต่ F (x, y)y

= N(x, y)

= 22 x yx e x cos y y

ดงันั้น 22 x yx e x cos y C (y) = 22 x yx e x cos y y

จะไดว้่า C (y) = y

เพราะฉะนั้น C(y) = 121 y C2


F(x, y) = 2

1x y 21e x sin y y C2

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2x y 21e x sin y y C2


2.1. 2 3 2(3x y 2xy)dx (x x 2y)dy 0 เม่ือ y(1) = 2

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = 23x y 2xy และ N(x, y) = 3 2x x 2y


= 23x 2x และ N (x, y)x

= 23x 2x


= N (x, y)x


จาก F (x, y)x

= M(x, y)

= 23x y 2xy

จะไดว้่า F(x, y) = 2(3x y 2xy)dx

= 3 2x y x y C(y) … (9)

แต่ F (x, y)y

= N(x, y)

= 3 2x x 2y

ดงันั้น 3 2x x C (y) = 3 2x x 2y


เพราะฉะนั้น C(y) = 21y C


F(x, y) = 3 2 21x y x y y C

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 3 2 2x y x y y C

จาก y(1) = 2 เราจะได ้x = 1, y = 2

โดยการแทนค่า จะไดว้่า C 8

ผลเฉลยเฉพาะ คือ 3 2 2x y x y y 8


21

2.2. y x x y(e ye )dx (e xe )dy 0 เม่ือ y(1) = 0

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = y xe ye และ N(x, y) = x ye xe


= x ye e และ N (x, y)x

= x ye e


= N (x, y)x


จาก F (x, y)x

= M(x, y)

= y xe ye

จะไดว้่า F(x, y) = y x(e ye )dx

= y xxe ye C(y) … (10)

แต่ F (x, y)y

= N(x, y)

= x ye xe

ดงันั้น y xxe e C (y) = x ye xe




F(x, y) = 1y xxe ye C

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ y xxe ye C

จาก y(1) = 0 เราจะได ้x = 1, y = 0


ผลเฉลยเฉพาะ คือ y xxe ye 1

2.3. 2 2(sin x 2y cos x)y 2y sin x cos x y sin x 0 เม่ือ y(0) = –2

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ 2 2(sin x 2y cos x)dy (y sin2x y sin x)dx 0

ในท่ีน้ี M(x, y) = 2y sin2x y sin x

และ N(x, y) = 2sin x 2y cos x


= sin2x 2y sin x และ N (x, y)x

= sin2x 2y sin x


= N (x, y)x


จาก F (x, y)x

= M(x, y)

= 2y sin2x y sin x

จะไดว้่า F(x, y) = 2(y sin2x y sin x)dx

= 21 y cos2x y cos x C(y)2 … (11)

แต่ F (x, y)y

= N(x, y)


22

= 2sin x 2y cos x

ดงันั้น 1 cos2x 2y cos x C (y)2 = 2sin x 2y cos x

จะไดว้่า C (y) = 2 1sin x cos2x2

C (y) = 2 21sin x sin x2

C (y) = 12


1 y C2


F(x, y) = 21

1 1y cos2x y cos x y C2 2

= 21

1 y(1 cos2x) y cos x C2

= 21

2y sin x y cos x C

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 22y sin x y cos x C

จาก y(0) = –2 เราจะได ้x = 0, y = –2


ผลเฉลยเฉพาะ คือ 22y sin x y cos x 4 0

2.4. 2

2

2xy dy1ln(1 y ) ( )y dx1 y

เม่ือ y(2) = e 1

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ 2

2

2xy1ln(1 y )dx ( )dy 0y 1 y

ในท่ีน้ี M(x, y) = 2ln(1 y ) และ N(x, y) = 2

2xy1y 1 y


= 2

2y1 y

และ N (x, y)x

= 2

2y1 y


= N (x, y)x


จาก F (x, y)x

= M(x, y)

= 2ln(1 y )

จะไดว้่า F(x, y) = 2ln(1 y )dx

= 2x ln(1 y ) C(y) … (12)

แต่ F (x, y)y

= N(x, y)

= 2

2xy1y 1 y


2xy C (y)1 y

= 2

2xy1y 1 y


23


เพราะฉะนั้น C(y) = 1ln y C


F(x, y) = 21x ln(1 y ) ln y C

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2ln y x ln(1 y ) C

จาก y(2) = e 1 เราจะได ้x = 2, y = e 1

โดยการแทนค่า จะไดว้่า 1C ln(e 1) 22

ผลเฉลยเฉพาะ คือ 2 1ln y x ln(1 y ) 2 ln(e 1)2


24

แบบฝึกหัด 6.3.1


1.1. 2 32x ydx (x 2xy)dy 0 วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = 22x y และ N(x, y) = 3x 2xy


= 22x และ N (x, y)x

= 23x 2y

จะเห็นว่า 2 2

31 M N 1( ) (2x 3x 2y)N y x x 2xy

2

2x 2y

x(x 2y)

1 x

ดงันั้น ตวัประกอบอินทิเกรตคือ 1 dxx 1e x

คูณสมการท่ีก าหนดให้ดว้ย จะไดว้่า

22xydx (x 2y)dy = 0 เพราะฉะนั้น 2 2d(x y) dy = 0 นัน่คือ 2 2x y y = c

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2 2x y y c

1.2. 2 2(4xy 3x 3x )dy (2xy y y)dx 0

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = 2y y 2xy และ N(x, y) = 24xy 3x 3x


= 2y 1 2x และ N (x, y)x

= 4y 3 6x

จะเห็นว่า 21 N M 1( ) (4y 3 6x 2y 1 2x)M x y y y 2xy

2y 2 4x y y 1 2x)(

2 y

ดงันั้น ตวัประกอบอินทิเกรตคือ 2 dx 2ye y


3 2 2 2 3 4 3(4xy 3xy 3x y )dy (2xy y y )dx = 0 เพราะฉะนั้น 4 3 2 3 2 3 4 3d(xy xy x y ) d(x y xy xy ) = 0 4 3 2 3 2 3 4 3d(xy xy x y x y xy xy ) = c1

4 3 2 3d(2xy 2xy 2x y ) = c1 นัน่คือ 4 3 2 3xy xy x y = c ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 4 3 2 3xy xy x y c

1.3. (xy y 1)dx xdy 0 วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = xy y 1 และ N(x, y) = x


25


= x 1 และ N (x, y)x

= 1

จะเห็นว่า 1 M N 1( ) (x 1 1)N y x x

1

ดงันั้น ตวัประกอบอินทิเกรตคือ

1dx xe e


x xe (xy y 1)dx e xdy = 0 x x x xe xydx e ydx e dx e xdy = 0 x x x xy(e xdx e dx) e xdy e dx = 0

เพราะฉะนั้น x xd(e xy) de = 0 x xd(e xy) de = 0

นัน่คือ x xe xy e = c ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ xe (xy 1) c

1.4. 3 3y(x y )dx x(y x)dy 0

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = 4xy y และ N(x, y) = 3 2xy x


= 3x 4y และ N (x, y)x

= 3y 2x

จะเห็นว่า 3 3

41 N M 1( ) (y 2x x 4y )M x y xy y

3

3y x 3

y(x y )

3 y

ดงันั้น ตวัประกอบอินทิเกรตคือ 3 dxy

31ey


2

2 3x xdx ydx xdy dy

y y = 0

เพราะฉะนั้น 2 2

2 21 x 1 xd 2d(xy) d 2 2y y

= 0

นัน่คือ 2

2xd 2d(xy) y = 0

2

2x 2xy y = c

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2

2x 2xy cy

1.5. 2(xy x )y xy 1 0 วธิีท า จดัรูปสมการได ้ 2(xy x )dy (xy 1)dx 0


26

ในท่ีน้ี M(x, y) = 1 xy และ N(x, y) = 2xy x


= x และ N (x, y)x

= y 2x

จะเห็นว่า 21 M N 1( ) ( x 2x y)N y x xy x

x y x(y x)

1 x

ดงันั้น ตวัประกอบอินทิเกรตคือ 1 dxx 1e x


1(y x)dy (y )dx x = 0

เพราะฉะนั้น 1ydy xdy ydx dx x = 0

นัน่คือ 21 dy d(xy) d(ln x) 2 = 0

21 y xy ln x 2 = c1

2y 2xy 2ln x = c ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2y 2xy 2ln x c


2.1. 2y(1 x y)dx xdy 0 เม่ือ y(1) 1

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = 2 2y x y และ N(x, y) = x


= 21 2x y และ N (x, y)x

= 1

จะเห็นว่า 2

2 21 N M 1( ) ( 1 1 2x y)M x y y x y

2

21 x y 2

y(1 x y)

2 y

ดงันั้น ตวัประกอบอินทิเกรตคือ 2

2 dxy 1e y


22

1 xdx x dx dy y y = 0

เพราะฉะนั้น 3x 1 xd dx d y 3 y = 0

นัน่คือ 3x 1 x y 3 = c

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 3x 1 x cy 3


27

จาก y(1) = –1 จะไดว้่า y = – 1 เม่ือ x = 1

โดยการแทนค่า จะไดว้่า 2c 3

ดงันั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 3x 1 2x 0y 3 3

หรือ 33x yx 2 0y

2.2. 2 2(x y)dx (x cos y x)dy 0 เม่ือ y(2) 0

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = 2x y และ N(x, y) = 2x cos y x



= 2x cos y 1

จะเห็นว่า 21 M N 1( ) (1 2x cos y 1)N y x x cos y x

1 x cos y 2 x x cos y 1)(

2 x

ดงันั้น ตวัประกอบอินทิเกรตคือ 2

2 dxx 1e x


2y 1dx dx cos y dy dy xx

= 0

เพราะฉะนั้น ydx d d(sin y) x = 0

นัน่คือ yx sin y x = c

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ yx sin y cx

จาก y(2) = 0 จะไดว้่า y = 0 เม่ือ x = 2

โดยการแทนค่า จะไดว้่า c 2

ดงันั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 2x y 2x x sin y 0 2.3. 1 (x tan y 2sec y)y 0 เม่ือ y( 1)

วธิีท า จดัรูปสมการไดว้่า dx (x tan y 2sec y)dy 0

ในท่ีน้ี M(x, y) = 1 และ N(x, y) = x tan y 2sec y



= tan y

จะเห็นว่า 1 N M( ) tan y 0M x y

tan y

ดงันั้น ตวัประกอบอินทิเกรตคือ

tan y dxe sec y


2sec y dx x sec y tan y dy 2sec y dy = 0


28

เพราะฉะนั้น d(xsec y) 2d(tan y) = 0 นัน่คือ x sec y 2tan y = c ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ x sec y 2tan y c จาก y(–1) = จะไดว้่า y = เม่ือ x = –1 โดยการแทนค่า จะไดว้่า c = 1

ดงันั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ x sec y 2tan y 1


29



1.1. cos xdy y cot x 5edx

วธิีท า ในท่ีน้ี P(x) = cot x และ Q(x) = cos x5e

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ cotx dx ln sinxe e sin x

เพราะฉะนั้นผลเฉลยทัว่ไป คือ y = 11 ( Q(x)dx c )

= cos x1

1 (5 sin x(e )dx c )sin x

= cos x1

1 ( 5 e dcos x c )sin x

= cos x1 ( 5e c)sin x

นัน่คือ cos xy sin x 5e c

1.2. 2 5x y 3xy 2x 0

วธิีท า ในท่ีน้ี P(x) = 3x และ Q(x) = 32x

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 3dx 3lnx 3xe e x


= 3

3

31

1 ( 2 x (x )dx c )x

= 3

61

1 ( 2 x dx c )x

= 3

71 2( x c)7x

นัน่คือ 4 32y x cx7

1.3. (2y 4)dx dy 0 วธิีท า ในท่ีน้ี P(x) = 2 และ Q(x) = 4

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 2dx 2xe e


= 2x12x

1 ( e (4)dx c )e

= 2x12x

1 (2 e d(2x) c )e

= 2x2x1 (2e c)

e

นัน่คือ 2xy 2 ce


30

1.4. 2dy sinxx 3ydx x

วธิีท า ในท่ีน้ี P(x) = 3x และ Q(x) = 3

sinxx

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 3xdx 3ln x 3e e x


= 313 3

1 sin x( x ( )dx c )x x

= 31 ( cos x c)x

นัน่คือ 3x y cos x c

1.5. x1y y 1 e

วธิีท า ในท่ีน้ี P(x) = 1 และ Q(x) = x1

1 e

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 1dx xe e


= xx x 1

1 1( e dx c )e 1 e

= x

x x 11 de( c )e 1 e

= x

x x 11 d(1 e )( c )e 1 e

= x xe (ln(1 e ) c)

นัน่คือ x x xy e ln(1 e ) ce

1.6. 2dy y xdx x ln x

วธิีท า ในท่ีน้ี P(x) = 1x ln x และ Q(x) = 2x

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 1

x ln xdx ln(ln x)e e ln x


= 21

1 ( x ln xdx c )ln x

= 31

1 1( ln xdx c )ln x 3

= 3 21

1 1( (x lnx x dx) c )ln x 3

= 3 31 1 1( (x lnx x ) c)ln x 3 3


31 1 xy x c3 9 ln x


31

1.7. 2(3xy 4y 3x)dx (x 3x 2)dy 0

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ 2 2dy 3x 4 3xydx x 3x 2 x 3x 2

ในท่ีน้ี P(x) = 23x 4

x 3x 2

และ Q(x) = 2

3xx 3x 2

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 23x 4 dxx 3x 2e

พิจารณา 23x 4 3x 4dx dx(x 2)(x 1)x 3x 2

1 2 ( )dxx 1 x 2

ln(x 1) 2 ln(x 2) C

2 ln{(x 1)(x 2) } C

ดงันั้น 2ln{(x 1)(x 2) } 2e (x 1)(x 2)


= 212 2

1 3x( (x 1)(x 2) dx c )(x 1)(x 2) x 3x 2

= 121 ( 3x(x 2)dx c )

(x 1)(x 2)

= 2

123 ( (x 2x)dx c )

(x 1)(x 2)

= 3

2

23 x( x C)3(x 1)(x 2)

นัน่คือ 3 22y(x 1)(x 2) x 3x c

1.8. 2(y 3sin x)cos x dx sin x dy 0

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ dy 2(cot x)y 6cos xdx

ในท่ีน้ี P(x) = 2cot x และ Q(x) = 6cos x

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 222cot xdx ln(sin x)e e sin x


= 212

1 ( (sin x)(6cos x)dx c )sin x

= 212

1 (6 sin x dsin x c )sin x

= 32

1 (2sin x c)sin x

นัน่คือ 2 3ysin x 2sin x c

1.9. 2(y xy )dx dy 0

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ 2 1dyy y xdx


32

ก าหนดให้ z = 1y

dzdx = 2

dy1dxy

ดงันั้นจะไดว้่า dz z xdx

ในท่ีน้ี P(x) = 1 และ Q(x) = x


เพราะฉะนั้นผลเฉลยทัว่ไป คือ z = 11 ( Q(x)dx c )

= x1x

1 ( (e )(x)dx c )e

= x1x

1 ( xde c )e

= x x1x

1 ( xe e dx c )e

= x xx

1 ( xe e c)e

แทนตวัแปรกลบัดงัเดิม จะได ้ y = 1x x xe (e xe c) นัน่คือ 1x x xy e (e xe c)

1.10. 2 2(x y )dx 2xy dy 0

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ 2dy 1 xy ydx 2x 2


dzdx = dy2y dx

ดงันั้นจะไดว้่า dz 1 z xdx x

ในท่ีน้ี P(x) = 1x และ Q(x) = x

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 1dxx 1e x


= 11x( ( )(x)dx c )x

= 1x( 1 dx c )

= x(x c)

แทนตวัแปรกลบัดงัเดิม จะได ้ y2 = 2x cx นัน่คือ 2 2y x cx


33


2.1. 3 2dy(x 1) 4(x 1) y x 1dx เม่ือ y(3) = 12

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ 3dy 4 x 1ydx x 1 (x 1)

ในท่ีน้ี P(x) = 4x 1 และ Q(x) = 3

x 1(x 1)


4 dx 4ln(x 1)x 1e e (x 1)


= 4

4 131 x 1( (x 1) dx c )(x 1) (x 1)

= 4 11 ( (x 1)(x 1)dx c )(x 1)

= 2

4 11 ( (x 1)dx c )(x 1)

= 3

4

1 1( x x c)3(x 1)

นัน่คือ 4 31y(x 1) x x c3

จาก y(3) = 12 จะไดว้่า 1y 2 และ x = 3

โดยการแทนค่า จะได ้ 4 31 1(3 1) 3 3 c2 3

จะได ้ c 2

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 4 31y(x 1) x x 23

2.2. x(y e sin x)dx dy 0 เม่ือ y(0) = –1

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ xdy y e sin xdx

ในท่ีน้ี P(x) = 1 และ Q(x) = xe sin x



= 2xx 1

1 ( e sin x dx c )e พิจารณา 2xe sin x dx = 2xe dcos x

= 2x 2xe cos x cos x de

= 2x 2xe cos x 2 e cos x dx

= 2x 2xe cos x 2 e dsin x

= 2x 2x 2xe cos x 2e sin x 4 e sin x dx


34

เพราะฉะนั้น 2xe sin x dx = 2x 2x2 1e sin x e cos x5 5

จะไดว้่า y = 2x 2xx

1 2 1( e sin x e cos x c)e 5 5

นัน่คือ x 2x 2x2 1ye e sin x e cos x c5 5

จาก y(0) = 1 จะไดว้่า y 1 และ x = 0

โดยการแทนค่า จะได ้ 0 0 02 1e e sin 0 e cos 0 c5 5

จะได ้ 4c 5

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ x 2x 2x2 1 4ye e sin x e cos x5 5 5

2.3. dycos x y 1dx เม่ือ y( ) 22

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ dy 1 1ydx cos x cos x

ในท่ีน้ี P(x) = 1cos x และ Q(x) = 1

cos x

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 1 dx ln(sec x tan x)cos xe e sec x tan x


= 11 1( (sec x tan x) dx c )sec x tan x cos x

= 2

2 1cos x sin x( (sec x )dx c )1 sin x cos x

= 2

2 1cos x dcos x( sec x dx c )1 sin x cos x

= cos x 1(tan x c)1 sin x cos x

= 1 (sin x 1 c)1 sin x

= 11 c(1 sin x)

นัน่คือ 1y 1 c(1 sin x)

จาก y( ) 22

จะไดว้่า y 2 เม่ือ x = 2

โดยการแทนค่า จะได ้ 12 1 c(1 sin )2

จะได ้ c 2

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 2y 1 1 sin x

2.4. 3

74

dy x y xdx x 1

เม่ือ y(0) = 1

วธิีท า จดัรูปสมการได ้3

74

dy x y xdx x 1

ในท่ีน้ี P(x) = 3

4x

x 1 และ Q(x) = 7x


35


41x dx 4x 1 4e (x 1)


= 1

4 7411

4 4

1 ( (x 1) x dx c )(x 1)

= 1

4 4 4411

4 4

1 1( (x 1) x d(x 1) c )4(x 1)

ก าหนดให้ z = 4x 1

dzdx = 34x

dz = 34x dx

เพราะฉะนั้น y = 14

114 4

1 1( (z) (z 1)dz c )4(x 1)

= 5 14 4

114 4

1 1( (z z )dz c )4(x 1)

= 9 54 4

14 4

1 1 4 4( ( z z ) c)4 9 5(x 1)

= 9 54 4

14 4

1 1 1( z z c)9 5(x 1)

= 5 1 1

4 4 44 4 41 1(x 1) (x 1) c(x 1)9 5

นัน่คือ 5 1 1

4 4 44 4 41 1y (x 1) (x 1) c(x 1)9 5

จาก y(0) = 1 จะไดว้่า y 1 เม่ือ x = 0

โดยการแทนค่า จะได ้ 49c 45

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 5 1 1

4 4 44 4 41 1 49y (x 1) (x 1) (x 1)9 5 45

2.5. 2 2 xdyx y x y edx เม่ือ y(1) = e

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ 2 1 xdy 1y y xedx x


dzdx = 2

dy1dxy

ดงันั้นจะไดว้่า xdz 1 z xedx x

ในท่ีน้ี P(x) = 1x และ Q(x) = xxe


36

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 1dxx 1e x


= x1

1x( ( )( xe )dx c )x

= x1x( e dx c )

= xx( e c)

แทนตวัแปรกลบัดงัเดิม จะได ้ 1y = xx( e c)

นัน่คือ xxy( e c) 1 จาก y(1) = e จะไดว้่า y e และ x = 1 โดยการแทนค่า จะได ้ e( e c) 1

จะได ้

21 ec e

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 2

x 1 exy( e ) 1e

หรือ x1 1e exy e

2.6. 3 3dyx y 3 x (y 3)dx เม่ือ 1y( ) 12

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ 3 2 2dy 1(y 3) (y 3) xdx x

ก าหนดให้ z = 2(y 3)

dzdx = 3

dy2dx(y 3)

ดงันั้นจะไดว้่า 2dz 2 z 2xdx x

ในท่ีน้ี P(x) = 2x และ Q(x) = 22x

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 2dxx

21e

x


= 2 212

1x ( ( )( 2x )dx c )x

= 21x ( 2 1dx c )

= 2x ( 2x c)

แทนตวัแปรกลบัดงัเดิม จะได ้ 2(y 3) = 3 22x cx นัน่คือ 2 3 2(y 3) ( 2x cx ) 1 จาก 1y( ) 12 จะไดว้่า y 1 และ x = 1

2

โดยการแทนค่า จะได ้ 2 1 c( 1 3) ( ) 14 4


37

จะได ้ c 0 เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 3 22x (y 3) 1

หรือ 3 21 2x (y 3) 0


38

แบบฝึกหัดระคน

จงหาผลเฉลยทัว่ไปของสมการเชิงอนุพนัธ์ต่อไปน้ี

1. 2 2 3x (y 1)dx y x 1dy 0

วธิีท า 2 2 3x (y 1)dx y x 1dy 0

2

23yx dx dy

y 1x 1

0

2

23yx dx dy

y 1x 1

1 c

23

23d(y 1)1 d(x 1) 1

3 2 y 1x 1

1 c

3 22 1x 1 ln(y 1)3 2 c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 3 22 1x 1 ln(y 1) c3 2

2. 22

xy(x y 1)dx (y )dy 0y 1

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = 2x y 1 และ N(x, y) = 2

xy yy 1


= 2y

y 1 และ N (x, y)x

= 2y

y 1


= N (x, y)x


จาก F (x, y)x

= M(x, y)

= 2x y 1

จะไดว้่า F(x, y) = 2(x y 1)dx

= 2 21 x x y 1 C(y)2 … (1)

แต่ F (x, y)y

= N(x, y)

= 2

xy yy 1


xy C (y)y 1

= 2

xy yy 1

จะไดว้่า C (y) = y


11 y c2


F(x, y) = 22 21

1 1x x y 1 y c2 2


39

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 22 2x y 2x y 1 C

3. yx(xe y)dx x dy 0

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = yxxe y และ N(x, y) = x

ส าหรับจ านวนจริงบวก k ใดๆ จะไดว้่า M(kx, ky) = kykxkxe ky =

yxk(xe y) = kM(x, y)

N(kx, ky) = kx = k( x) = kN(x, y)


แสดงว่าสมการเชิงอนุพนัธ์น้ีเป็นสมการเอกพนัธุ์ ให้ y = vx จะไดว้่า dy = v dx + x dv vxx(xe vx)dx x(vdx xdv) 0

2vxe dx vx dx xvdx x dv 0 2vxe dx x dv 0

vdx dv x e 0 vdx (e )dv x

1 c vln x e c yxln x e

c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ yxln x e c

4. 3dy 2y ydx x

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ 3 2dy 2y y 1dx x


dzdx = 3

dy2dxy

ดงันั้นจะไดว้่า dz 4 z 2dx x

ในท่ีน้ี P(x) = 4x และ Q(x) = 2

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 4dx 4xe x


= 4 41x ( 2 x dx c )

= 4 32x ( x c)3

= 42 x cx3

แทนตวัแปรกลบั จะได ้ 21

y = 42 x cx3


40

นัน่คือ 2 42y ( x cx ) 13

5. 2 dyx y (1 x)cosec ydx

วธิีท า 2 dyx y (1 x)cosec ydx 0

21 x(y sin y)dy ( )dx

x

0

21 x(y sin y)dy ( )dx

x

1 c

21 1y dcosy ( )dxxx

1 c

1(y cosy) cos y dy ln xx 2 c 1y cosy sin y ln xx c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 1sin y y cosy ln x cx

6. y sin xdy dx 0x

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ dy 1 sin xydx x x

ในท่ีน้ี P(x) = 1x และ Q(x) = sin x

x

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 1dx ln(x)xe e x


= 11 sin x( (x)( )dx c )x x

= 11 ( sin x dx c )x

= 1 ( cos x c)x

นัน่คือ xy cos x c

7. 2 3 3(2y 3x y x )dx x dy 0

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ 2

3dy 2 3x y 1dx x

ในท่ีน้ี P(x) = 2

32 3x

x และ Q(x) = 1


32 3x dxx

123 x

1ex e


= 1

23 x11

23 x

1x e ( dx c )x e


41

= 1 1

2 23 x x12

1 1x e ( e d c )2 x

= 11

2 23 x x1x e ( e c)2


23 3 x1y x cx e2

8. x y x(e ln y )dx ( ln x sin y)dy 0x y

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = x ye ln y x และ N(x, y) = x ln x sin yy


= 1 1y x และ N (x, y)x

= 1 1y x


= N (x, y)x


จาก F (x, y)x

= M(x, y)

= x ye ln y x

จะไดว้่า F(x, y) = x y(e ln y )dxx

= xe x ln y y ln x C(y) … (1)

แต่ F (x, y)y

= N(x, y)

= x ln x sin yy

ดงันั้น x ln x C (y)y = x ln x sin yy

จะไดว้่า C (y) = sin y

เพราะฉะนั้น C(y) = –cos y + C1


F(x, y) = x1e x ln y y ln x cos y C

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ xe x ln y y ln x cos y C

9. 2 2 2(x y )dy y dx 0

วธิีท า ในท่ีน้ี M(x, y) = 2y และ N(x, y) = 2 2x y

ส าหรับจ านวนจริงบวก k ใดๆ จะไดว้่า M(kx, ky) = 2 2k y = 2k M(x, y)

N(kx, ky) = 2 2 2 2k x k y = 2 2 2k (x y ) = 2k N(x, y)



2 2 2(x (vx) )(vdx xdv) (vx) dx 0


42

2 3 2 3 2 3 2x vdx v x dx x dv v x dv (vx) dx 0 2 3 2 2 2 3 2 3(x v v x v x )dx (x v x )dv 0

2 2 3 3 2x (v v v )dx x (1 v )dv 0 2

2 3dx 1 v dv x v v v

0

2dx 1 1( )dv x vv v 1

0

2dx 1 1( )dv x vv v 1

1 c

21ln x ln v dv

v v 1

2 c

2

1ln xv dv 1 1 3v 2( )v2 4 4

2 c

2

1ln xv dv 1 3(v )2 4

2 c

2

4 1ln xv dv 3 2 1( (v )) 123

2 c

2

2 1 2 1ln xv d( (v )) 2 1 23 3( (v )) 123

2 c

2 2 1ln xv arctan( (v )) 23 3 c

y2 2 1ln y arctan( ( )) x 23 3 c

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2y x2 2ln y arctan( ( )) c2x3 3

หรือ 2y x2ln y arctan( ) c

3 3x

10. (2x cot2x 2cosec 2x 2y cot2x 1)dx dy 0

วธิีท า จดัสมการใหม่จะได ้ dy 2(cot2x)y 1 2x cot2x 2cosec 2xdx

ในท่ีน้ี P(x) = 2(cot2x) และ Q(x) = 1 2x cot2x 2cosec 2x

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 2 cot2x dx 1e cosec2xsin2x


= 1sin2x( cosec2x(1 2x cot2x 2cosec 2x)dx c )

= 2

1sin2x( (cosec2x 2x(cosec2x)cot2x 2cosec 2x)dx c )

= 2sin2x( cosec2x dx cot2x xdcosec2x c ) พิจารณา x dcosec2x = x cosec2x cosec2x dx เพราะฉะนั้น y = sin2x( cosec2x dx cot2x x cosec2x cosec2x dx c)


43

= sin2x(cot2x x cosec2x c)

= cos2x x c sin2x

นัน่คือ y cos2x x c sin2x

11. 2x dy y dx xy dx

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ 12 dy 1y y 1dx x


dzdx = 2

dy1dxy

ดงันั้นจะไดว้่า dz 1 z 1dx x

ในท่ีน้ี P(x) = 1x และ Q(x) = 1

จะไดว้่าตวัประกอบอินทิเกรต คือ 1dxxe x


= 11 ( x dx c )x

= 21 x( c)x 2

= 11 x cx2

แทนตวัแปรกลบัดงัเดิม จะได ้ 1

y = 11 x cx2

นัน่คือ 1 11 y(cx x)2

12. 3dy2 y (x 1)ydx

วธิีท า จดัรูปสมการได ้ 3 2dy 1 x 1y ydx 2 2


dzdx = 3

dy2dxy

ดงันั้นจะไดว้่า dz z 1 xdx

ในท่ีน้ี P(x) = –1 และ Q(x) = 1 x



= x x1e ( (e )(1 x)dx c )

= x x x1e ( (e xe )dx c )

= x x x1e ( e x de c )


44

= x x x x1e ( e xe e dx c )

= x x x xe ( e xe e c)

= x xe (xe c)

= xx ce

แทนตวัแปรกลบัดงัเดิม จะได ้ 2

1y = xx ce

นัน่คือ 2 xy (x ce ) 1


45

แบบฝึกหัด 6.4.1


1.1. y 3y 4y 0 วธิีท า สมการช่วย คือ 2 r 3r 4 0

(r 4)(r 1) 0 รากของสมการช่วยเป็นจ านวนจริง ซ่ึงมีค่าไม่ซ ้ ากนั คือ r = {–4, 1}

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 4x x1 2y k e k e เม่ือ k1, k2 เป็นค่าคงตวั


2 (r 3) 0 รากของสมการช่วยเป็นจ านวนจริง ซ่ึงมีค่าซ ้ ากนั คือ r = {–3, –3}

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 3x 3x1 2y k e k xe เม่ือ k1, k2 เป็นค่าคงตวั




1.4. y y 2y 0 วธิีท า สมการช่วย คือ 2 r r 2 0

(r 2)(r 1) 0 รากของสมการช่วยเป็นจ านวนจริง ซ่ึงมีค่าไม่ซ ้ ากนั คือ r = {1, 2}

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ x 2x1 2y k e k e เม่ือ k1, k2 เป็นค่าคงตวั

1.5. 2y 3y y 0 วธิีท า สมการช่วย คือ 2 2r 3r 1 0

(2r 1)(r 1) 0

รากของสมการช่วยเป็นจ านวนจริง ซ่ึงมีค่าไม่ซ ้ ากนั คือ r = { 12 , 1}

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2x

x1 2y k e k e เม่ือ k1, k2 เป็นค่าคงตวั





46


(r 2)(r 4) 0 รากของสมการช่วยเป็นจ านวนจริง ซ่ึงมีค่าไม่ซ ้ ากนั คือ r = {–4, –2}

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 2x 4x1 2y k e k e เม่ือ k1, k2 เป็นค่าคงตวั

1.8. 2y y 4y 0 วธิีท า สมการช่วย คือ 2 2r r 4 0

จาก quadratic formula 1 1 4(2)(4)r 2(2)

1 1 32 1 1 32r 4 4,

1 i 31 1 i 31r 4 4,

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 41 2

x 31 31y e (K cos( x) K sin( x))4 4

เม่ือ K1, K2 เป็นค่าคงตวั


2.1. y y 2y 0 เม่ือ y (0) 1 และ y(0) 1

วธิีท า สมการช่วย คือ 2 r r 2 0



และจะไดว้่า 2x x1 2y 2k e k e

เพราะว่า y(0) = –1, y (0) 1 เพราะฉะนั้น 1 2k k 1

1 22k k 1

เพราะฉะนั้น 1 22 1k k3 3,

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 2x x2 1y e e3 3

2.2. y 16y 64y 0 เม่ือ y (0) 4 และ y(0) 2

วธิีท า สมการช่วย คือ 2 r 16r 64 0



และจะไดว้่า 8x 8x 8x1 2y 8k e k ( 8xe e )

เพราะว่า y(0) = 2, y (0) 4 เพราะฉะนั้น 1 2k 2 k 12,


47

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 8x 8xy 2e 12xe

2.3. y 8y 0 เม่ือ y (1) 4 และ y(1) 2

วธิีท า สมการช่วย คือ 2 r 8r 0

r(r 8) 0 รากของสมการช่วยเป็นจ านวนจริง ซ่ึงมีค่าไม่ซ ้ ากนั คือ r = {–8, 0}

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 8x1 2y k e k เม่ือ k1, k2 เป็นค่าคงตวั

และจะไดว้่า 8x1y 8k e

เพราะว่า y(1) = 2, y (1) 4 เพราะฉะนั้น 8

1 2k e k 2

818k e 4

เพราะฉะนั้น 8

1 2e 3k k2 2,

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 8 8x1 3y e2 2

2.4. y 4y 5y 0 เม่ือ y (0) 0 และ y(0) 1



4 16 20 4 16 20r 2 2,

r 2 i 2 i,

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 21 2

xy e (K cos(x) K sin(x)) เม่ือ K1, K2 เป็นค่าคงตวั

และจะไดว้่า 2 2 2 21 2

x x x xy K { e sin(x) 2e cos(x)} K {e cos(x) 2e sin(x)} เพราะว่า y(0) = 1, y (0) 0 เพราะฉะนั้น 1K 1 1 22K K 0 เพราะฉะนั้น 1 2K 1 K 2, เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 2xy e (cos x 2sin x)

2.5. y 5y 6y 0 เม่ือ y (1) 2 และ y(1) 1




และจะไดว้่า 6x x1 2y 6k e k e

เพราะว่า y(1) = 1, y (1) 2 เพราะฉะนั้น 6

1 2k e k e 1

61 26k e k e 2


48


1 2e 8k k7 7e,

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 6 6x x 11 8y e e7 7

2.6. y 2y 10y 0 เม่ือ y (0) 0 และ y(0) 2



2 4 40 2 4 40r 2 2,

r 1 3i 1 3i,

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 1 2xy e (K cos(3x) K sin(3x)) เม่ือ K1, K2 เป็นค่าคงตวั

และจะไดว้่า 1 2x x x xy K ( 3e sin(3x) e cos(3x)) K (3e cos(3x) e sin(3x))

เพราะว่า y(0) = 2, y (0) 0

เพราะฉะนั้น 1K 2 1 2K 3K 0

เพราะฉะนั้น 1 22k 2 k 3,

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ x 2y e (2cos(3x) sin(3x))3

2.7. y 16y 0 เม่ือ y (2) 4 และ y(2) 2

วธิีท า สมการช่วย คือ 2 r 16 0


ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 4x 4x1 2y k e k e เม่ือ k1, k2 เป็นค่าคงตวั

และจะไดว้่า 4x 4x1 2y 4k e 4k e

เพราะว่า y(2) 2 , y (2) 4 เพราะฉะนั้น 8 8

1 2k e k e 2

8 81 2k e k e 1


81 2e 3k k2 2e,

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ 8 4x 4x 81 3y e e2 2

2.8. y 2y 6y 0 เม่ือ y (0) 0 และ y(0) 1



2 4 24 2 4 24r 2 2,

r 1 5i 1 5i,


49

ดงันั้น ผลเฉลยทัว่ไป คือ 1 2xy e (K cos( 5x) K sin( 5x)) เม่ือ K1, K2 เป็นค่าคงตวั

และจะไดว้่า 1 2x x x xy K ( 5e sin( 5x) e cos( 5x)) K ( 5e cos( 5x) e sin( 5x))

เพราะว่า y(0) = 1, y (0) 0

เพราะฉะนั้น 1K 1 1 2K 5K 0

เพราะฉะนั้น 1 21K 1 K5

,

เพราะฉะนั้น ผลเฉลยเฉพาะ คือ x 1y e (cos( 5x) sin( 5x))5

3. จงพิสูจนสู์ตรออยเลอร์ xie cos x sin xi ทุกจ านวนจริง x

วธิีท ำ จากอนุกรม 2 4 6 81 1 1 1cos x 1 x x x x2 4! 6! 8! ... ... (1)

3 5 7 91 1 1 1sin x x x x x x3! 5! 7! 9! ... ...(2)

และ x 2 3 4 51 1 1 1e 1 x x x x x2! 3! 4! 5! ... ...(3)

แทนค่า x = ix ใน (3) จะไดว้่า

x 2 3 4 51 1 1 1e 1 x x x x x2! 3! 4! 5! ...i i i i

2 4 3 51 1 1 1 (1 x x ) (x x x )2! 4! 3! 5!... ...i ...(4) แทน (1) และ (2) ใน (4) เพราะฉะนั้น xe cos x sin xi i ส าหรับทุกจ านวนจริง x

Calculus2 6 All-Chula

Documents