C ál c ulo elás t ic o y c álcul o plás tico de vi gas de ac er o soli c it adas a flexión. Apellidos, nombre Arianna Guardiola Víllora ([email protected])Departamento Mec áni ca del Medio Continuo y T eor í a de Es truc turas Centro Esc uela T éc nica S upe r ior de A r quit ec tur a de Valencia
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1 Resumen de las ideas c laveEn este d oc umento se mue stra e l proceso d e d imensionado de una viga d e a cero
solicitada a flexión, considerando un comportamiento de la sección, primero
elástico y luego plástico para comparar los resultados obtenidos en ambos casos.
Seg uidamente se realiza e l aná lisis glob al de la m isma viga m ed iante e l mé todo
plástico con el objeto de mostrar dicho proceso y comparar los resultados
ob tenidos con e l análisis glob a l en régimen elástico .
Por último se hace referencia a la clasificación de las clases de secciones
transversa les de a cero esta b lec ida en e l Doc umento Básico , Seg uridad Estructural,Ac ero de l Código Téc nico d e la Edificac ión, de aho ra en a de lante DB-SE-A del
CTE, direc tam ente relac iona da c on la utilizac ión d e uno u otro métod o d e a nálisisglobal de la estructura y cálculo de la resistencia de las secciones.
2 IntroducciónEl dimensiona do de las sec c iones de ac ero se ha lleva do a c ab o trad ic iona lmente
en régimen elástico, de modo que, una vez obtenidos los esfuerzos que solicitan a
cada barra, se calculaba la máxima tensión que dichos esfuerzos generaban
sob re la sec c ión m ás solic itada y se c ompa rab an con la tensión m áxima ad misible.
Si las má xima s tensiones en la sec c ión má s solic itad a de la barra no superab an las
tensiones admisibles, el dimensionado se daba por válido. En caso contrario, seredimensionaba el perfil (disminuían las tensiones en la sección) o se mejoraba la
calida d del a cero (aumentab a la tensión m áxima ad misible)
Este e s el métod o recomend ado por la Norma Básica de Ed ificac ión, Estructuras de
Ac ero, c onoc ida como NBE-EA 95, norma de ob liga do cump limiento ha sta ma rzode 2006, fecha en q ue se p ublica e l Código Téc nico d e la Edificac ión y se d eroga n
las Normas Básicas de Edificación.
Para p od er comp arar los resultad os ob tenidos c on e l métod o e lástico y plástico de
cálculo de secciones de acero y de Análisis Global de la Estructura, se considera
una viga em pot rad a ap oyad a, de longitud L con c arga uniformeme nte d istribuida
de valor q d, tal y como indica la figura 1. Los diagramas de solicitaciones –
momentos flectores y esfuerzos cortantes- correspondientes a dicho esquema decargas, se obt ienen c on a yuda de un prontuario, y se representa n en la figura 2.
Si se p retende dimensiona r la viga, es nec esario c onoc er el valor de la carga que
gravita sobre ella y la longitud de la misma, de modo que, conocido el máximo
momento que la solic ita , se b usca un p erfil de a cero que sea cap az de sop ortarlo.
Otra forma de plantear el problema consiste en, conocido el perfil de acero y su
longitud, ob tener la má xima carga que ad mite la viga. Es lo q ue se c onoc e c omo
pe ritac ión d e una estruc tura construida .
En los epígrafes siguientes se va calcular la máxima capacidad de carga de laviga de la figura 1, supon iendo q ue e s un p erfil IPE 300 de acero S 275 y 8 me tros de
long itud, c onside rand o en p rimer luga r un co mp ortamiento e lástico de la sec c ión,
a continuación un comportamiento plástico para finalmente realizar el análisis
global de la e struc tura siguiendo el método plástico.
3 ObjetivosUna ve z que el alumno finalice la lectura d e este d oc umento será cap az de:
Dimensionar una viga de acero considerando un comportamiento elástico
de la sec c ión.
Dimensionar una viga de acero considerando un comportamiento plástico
de la sec c ión.
Entender y aplicar el método plástico de análisis global de la estructura.
Entender la necesidad de clasificar las secciones transversales de acero en
clases y su aplicación directa en el cálculo de la estructura y el
4 Obtención de la máxima capacidad de carga dela v iga ob jeto d e estudio para los d istintos c asos.Dada la viga de la figura 3, se va a calcular la máxima carga de agotamiento
considerando un comportamiento elástico y un comportamiento plástico de la
sección.
A
q
8 m
B
d
IPE 300
figura 3
4.1 Dimensionado de la sec c ión en rég imen elástic o.Se obtiene la d istribuc ión de tensiones norma les de la figura 4, ob tenida para e l IPE
300 a p artir de la ley de Navier-Bernoulli (ec uac ion 1)
En dicha figura se puede observar que la tensión máxima (ecuación 2)
correspo nde a la fibra m ás alejada (zma x)
ma x
F.N.
ma xz
z
y
figura 4
Ed,y
y
M z
I
σ = ⋅ (ecuac ión 1)
Ed,y
max max
y
M z
I σ = ⋅ (ecua c ión 2)
Si se d efine el mód ulo resistente elástico
respec to a l eje y c omo:
y
el,y
max
I W
z = ⋅
La ec uac ión 2 será igual a:
Ed,y
max
el,y
M
W σ = (ecuac ión 3)
El valor del módulo resistente elástico d e los distintos perfiles lam inad os se
enc uentra en c ualquier prontuario d e p erfiles de ac ero. Para e l perfil del ejemp lo,el IPE 300, su valor es de 557 · 103 mm3
En el límite, cuando la tensión máxima en la fibra más alejada es igual al límite
elástico minorado del acero del perfil, tendremos la siguiente expresión (resultado
Se d efine e l mome nto resistente elástico de un pe rfil, como a que l que g enera una
tensión máxima en la fibra má s alejada de la sec c ión igual a fyd . Se rep resenta porMRd, el, y y su valor se obt iene d espe jand o e l momento solic itac ión en la e cuac ión 4.
Rd ,el ,y yd el ,y M f W = ⋅
para el perfil ob jeto de estud io, un IPE 300 de ac ero S 275, el Momento resistente
elástico respe c to e l eje y será igua l a:
3
Rd,el,y
275 M 557 10 145.880.952 N·mm
1,05 = ⋅ ⋅ =
Es dec ir, el máximo mome nto que a gua nta el IPE 300 de ac ero S 275, en rég imen
elástico es de a proxima da mente 145 kN·m
Conside rand o el diag ram a d e flecto res de la figura 1, y teniendo en c uenta que lalongitud de la viga son 8 metros, el máximo momento en la viga se produce en elempotram iento, y su va lor es igua l a :
2 2
d d Ed,y
q L q 8 M
8 8
⋅ ⋅= =
Igua land o el má ximo mom ento solic itac ión c on el mom ento resistente e lástico d el
pe rfil, se obtiene la m áxima carga que es cap az de sop ortar la viga conside rand oun comp ortam iento elástico de la sec c ión.
2
d d
q 8 145,8 kN·m q 18,225 kN / m
8
⋅= → =
Es dec ir, la m áxima carga que a gua nta el IPE 300 de a cero S 275 co nsiderand o un
compo rtamiento e lástico es de 18,225 kN/m lo q ue eq uiva le a 1882 kg/ m.
4.2 Dimensionado de la sec c ión en rég imen p lástic o.La distribución de tensiones normales en régimen plástico supone que todas las
fibras de la sec c ión (no sólo la más alejada) a lcanzan el limite elástico de cálculo,
de modo que el diagrama de tensiones es birrectangular, tal y como muestra la
figura 5
z
y
ydf
ydf
figura 5
Se de fine el mo me nto resistente p lásticode un perfil de acero como aquel que
es capaz de plastificar todas y cada
una d e las fibras de la sec c ión.
Su va lor es igua l a Rd ,pl ,y yd pl ,y M f W = ⋅
Siend o Wpl,y el mód ulo resistente p lástico
de la sec c ión.
El módulo resistente plástico se calcula
considerando que la sección solicitada
a flexión ha plastificado, estando una
parte de la misma comprimida y otratrac cionada, de mod o que pa ra q ue la
Esta viga biarticulada es capaz de soportar nuevas cargas, aumentando el
momento en el centro de vano y permaneciendo constante y con valor igual aMpl,y,Rd el momento en la sec c ión B.
Para obtener la cantidad de carga adicional que puede aguantar hay que tener
en c uenta que la sec c ión m ás solic itad a a flexión p ositiva es la C, con un m ome nto
solicitación igual 92,47 kN·m de m odo que el máximo m omento q ue pod rá solic itara dicha sec c ión, consec uencia d el incremento d e c arga, será igual al mom ento
resistente d el pe rfil me nos el mom ento que ya lo está solic ita ndo.
Es dec ir, Ed,max ,admis ible Rd,pl ,y M M 92,47 kN·m 71,93 kN m = − = ⋅
Con el valor del máximo momento admisible calculado, se obtiene el incrementode carga q ue resiste la viga m ode lizad a como biapo yada , siendo el diagram a de
flec tores c orrespo ndiente el de la figura 9
A
8 m
BIPE 300
qd
MEd,max
figura 9
siendo
2
d Ed,max
q LM
8
∆ ⋅=
Para el ca so q ue nos oc upa ,
2
d Ed ,max
q 8 M
8
∆ ⋅= , valor del momento q ue deb emos
igualar con el máximo admisible para obtener el incremento de carga admisible
po r el IPE mode lizad o c omo una viga biap oya da .
2
d Ed ,max,admisible d
q 8 M 71,93 kN m q 8,99 kN / m
8
∆∆
⋅= ⋅ = → =
De modo que si se añaden 8,99 kN/m a los 20,55 kN/m de la figura 7 se produce la
plastificación de la sección del centro de vano de la viga, convirtiéndola en un
mecanismo (figura 10)
A
8 m
IPE 300
29,54 kN/m
B
figura 10
Por tanto, la carga de agotamiento de la viga de la figura 3 obtenida con unaná lisis p lástico de la e structura es de 20,55 + 8,99 = 29,54 kN/m
Del mismo modo se ha realizado un análisis global de la estructura con el método
plástico (epígrafe 4.3) sin comprobar previamente que la sección delemp otram iento p od ía comp ortarse c omo una rótula.
Considerando la capacidad de deformación y de desarrollo de la resistencia
plástica de los elementos planos comprimidos de una sección, el artículo 5.2.4 del
DB SE Ac ero del CTE c lasifica las sec c iones transversa les en cua tro c lases:
Clase 1: Plástica : Permiten la forma c ión de la rótula plástica c on la ca pa c ida d d e
rota c ión sufic iente pa ra la red istribuc ión de momento s.
Clase 2: Compacta: Permiten el desarrollo del momento plástico con una
ca pac ida d d e rotac ión limitad a.
Clase 3: Semicompa c ta o Elástica : En la fibra más comp rimida se puede alcanzar
el límite elástico del acero pero la abolladura impide el desarrollo del momento
plástico.
Clase 4: Esbelta . Los elementos tota l o p arc ialmente c omprimidos de las sec c iones
esbe ltas se a bollan entes de a lca nzar el límite e lástico en la fibra m ás com primida .
Siend o nec esario emp lea r uno d e los métod os de cálculo d efinido s en la ta bla
siguiente para la verificación de la seguridad estructural teniendo en cuenta la
c lase d e las sec c iones transversales.
MÉTODOS DE CÁLCULO
Clase
de sec c ión
Métod o pa ra la determinac iónde las solic ita c iones
Métod o pa ra la dete rminac iónde la resistenc ia de las
secciones
Clase 1 Plástico o Elástico Plástico o Elástico
Cla se 2 Elástic o Plástico o Elástico
Cla se 3 Elástic o Elástico
Clase 4 Elástico con posible red ucc ión
de rigidez
Elástico con resistenc ia
reducida
De mod o q ue, habría que hab er verificad o q ue la sec c ión3 IPE 300 de acero S 275solicitado a flexión era al menos clase 3, para cálculo de la sección en régimen
elástico (epígrafe 4.1) era clase 1 ó 2 para el cálculo de la sección en régimen
plástico (epígrafe 4.2) y que era clase 1 para el Análisis plástico de la estructura(ep ígrafe 4.3)
6 Bibliografía[1] Normativa Básica d e la Ed ificac ión NBE EA-95. Consejo Superior de los Co leg ios
de Arquitec tos de Espa ña.
[2] MINISTERIO de la VIVIENDA: “ Doc umento Básico Seg uridad Estructura l, Acero” ,
Cód igo Téc nico de Edificac ión Dispo nible e n: http://www.codigotecnico.org
3 EL IPE 300 de a cero S 275 solicitad o a flexión es clase 1, de m od o q ue tod os los cá lculos rea lizado s son