Instituto Tecnolgico Superior de Coatzacoalcos
Ingeniera Mecnica
Prez Triana Eder JoelNombre del
Alumno:____________________________________________________Apellido
Paterno Apellido MaternoNombre(s)
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Asignatura
Nombre de la Asignatura: Calculo IntegralPeriodo: FEBRERO JUNIO
2015
No. Control:14080827Semestre:SEGUNDOGrupo:D
COATZACOALCOS VER A
Unidad 4. Series4.1 Definicin de serie. 4.1.1 serie Finita.
4.1.2 serie Infinita. 4.2 Serie numrica y convergencia Prueba de la
razn (criterio de DAlembert) y Prueba de la raz (criterio de
Cauchy). 4.3 Serie de potencias. 4.4 Radio de convergencia. 4.5
Serie de Taylor. 4.6 Representacin de funciones mediante la serie
de Taylor. 4.7 Calculo de Integrales de funciones expresadas como
serie de Taylor
4.1 Definicin de serie Una serie aritmtica es la suma de una
sucesin de trminos. Por ejemplo, una serie algo interesante que
aparece en muchos problemas es la serie geomtrica donde indica que
la serie continua indefinidamente Donde n es el nmero de trminos a1
es el primer trmino y r es la relacin comn Carcter de una serie.
Convergente: Cuando la suma es un nmero real Divergente: Cuando la
suma da + o infinito Oscilante: Cuando no es ninguna de las
anteriores
4.1.1 Serie FinitaEn matemticas, una serie es la suma de los
trminos de una sucesin. Se representa una seria con trminos como
donde n es el ndice final de la serie. Las series infintas son
aquellas donde i toma el de valor de absolutamente todos los nmeros
naturales.Las series finitas son las que constan de un determinado
o finito nmero de trminos, cuya suma extrae exactamente el valor de
una cantidad.
Sea f la funcin definida por f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4}f(1)=
2x1=2f(2)= 2x2=4f(3)= 2x3=6f(4)= 2x4=8(2,4,6,8)
4.1.2 Series InfinitasLas series infinitas son aquellas donde i
toma el valor de absolutamente todos los nmeros naturales, es
decir, i = 1, 2,3.Son series de la forma S an (x - x0)n; los nmeros
reales a0, a1,...., an,... son los coeficientes de la serie. Si x0
= 0 se obtiene la serie S an. xn.Como toda serie S an (x - x0)n
puede llevarse a la forma S an .x n haciendo x = x - x0;.Se
presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente
para x = 0; series que convergen para cualquier nmero real x y
series que convergen para algunos valores de x y divergen para
otros.Podemos comprender la nocin de serie infinita si pensamos en
ciertas series numricas. Tomemos el caso de la serie numrica
compuesta por los nmeros mltiplos de 2. Dicha serie es una serie
infinita ya que los nmeros mltiplos de 2 son infinitos: 0, 2, 4, 6,
8, 10, 12
4.2 Serie numrica y convergencia Prueba de la razn (criterio de
DAlembert) y Prueba de la raz (criterio de Cauchy).Una secuencia es
una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que
contiene los miembros (tambin llamados elementos o trminos), y el
nmero de trminos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la
secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y
exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en
diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una
discreta funcin. Por ejemplo, (C, R, Y) es una secuencia de letras
que difiere de (Y, C, R), como las cuestiones de pedido. Las
secuencias pueden ser finitos, como en este ejemplo, o infinita,
como la secuencia de todos, incluso positivos enteros (2, 4, 6,).
Secuencias finitas se conocen como cadenas o palabras y secuencias
infinitas como los arroyos. La secuencia vaca () se incluye en la
mayora de las nociones de secuencia, pero pueden ser excluidos en
funcin del contexto.Convergencia: considere las cuatro sucesiones
recin definidas. Cada una tiene valores que se aplican cerca de 1.
Para que una sucesin converja a 1, primero debe ocurrir que los
valores e la sucesin se acerquen a 1. Pero eben de hacer algo ms
que estar cerca; deben permanecer cerca, para toda n ms all e
cierto valor. Esto descarta la sucesin {cn}. Adems cerca significa
arbitrariamente cerca, es decir, entro de cualquier distancia no
nuladaa con respecto a 1, lo cual incluye a {dn}. Aunque la sucesin
{dn} no converge; decimos que diverge.Definicin: La sucesin {an} se
ice que converge a L y escribimos:Lim n->, an=LSi para cada
nmero positivo existe un nmero positivo correspondiente a N tal
quen>= N -> |an-L|< Si no hay un nmero finito L al que
converja una sucesin, se ice que este diverge, o que es
divergente.
Criterio de D'Alembert (Criterio de la Razn) El Criterio de
d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia
de una serie de trminos positivos cualquiera, y por tanto, hacer
una clasificacin de la misma.Definiendo con n a la variable
independiente de la sucesin, dicho criterio establece que si
llamamos L al lmite para n tendiendo a infinito de {A_ {n+1} \over
A_n} se obtiene un nmero L, con los siguientes casos:Sea una serie
k=1(ak), tal que ak > 0 (serie de trminos positivos).Si
existe
on {L [0,+ )} , el Criterio de D'Alembert establece que:si L
< 1, la serie converge.si L > 1, entonces la serie diverge.si
L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la
serie.En este caso, es necesario probar otro criterio, como el
criterio de Raabe.
Criterio de Cauchy (raz ensima)En matemtica, el criterio de la
raz o criterio de Cauchy es un mtodo para determinar la
convergencia de una serie usando la cantidad.
Dondeson los trminos de la serie. El criterio dice que la serie
converge absolutamente si esta cantidad es menor que la unidad y
que diverge si es mayor que la unidad. Es particularmente til en
relacin con lasseries de potencias.SeaCel lmite de arriba, entonces
el criterio de la raz establece que: SiC< 1, entonces la
serieconvergeabsolutamente SiC> 1, entonces la seriediverge,
SiC= 1 yde ciertoen adelante, entonces la serie diverge. En otros
casos el criterio no lleva a ninguna conclusin.Hay algunas series
en queC= 1 y la serie converge, por ejemplo,, y hay otros para los
queC= 1 y la serie diverge, por ejemplo,.Aplicacin a series de
potencias.Este criterio se puede utilizar con unaserie de
potencias
Donde los coeficientescn, y el centropsonnmeros complejos, y el
argumentozes una variable compleja.Los trminos de esta serie
vendran dados poran=cn(zp)n. Entonces se aplica el criterio de la
raz aancomo se vio ms arriba. Tenga en cuenta que a veces una serie
como esta se llama una serie de potencias "alrededor dep", ya que
el radio de convergencia es el radioRdel mayor intervalo o disco
centrado enpde manera que el serie converge para todos los
puntoszestrictamente en el interior del intervalo o disco. Como
corolario del criterio de la raz se obtiene que el radio de
convergencia es exactamente, teniendo cuidado de que es si el
denominador es 0.
4.3 Serie De PotenciasUna serie de potencias puede ser
interpretada como una funcin de x:
Cuyo dominio es el conjunto de los x 2 R para los que la serie
es convergente y el valor de f(x) es, precisamente, la suma de la
serie en ese punto x.Las series de potencias, vistas como
funciones, tienen un comportamiento bueno, en el sentido de que son
funciones continuas y derivables de cualquier orden. Ms aun, su
funcin derivada es, otra vez, una serie de potencias.
Cuyo dominio es el conjunto de todas las para las cuales la
serie es convergente. Observe que es parecida a un polinomio. La
nica diferencia es que tiene una cantidad infinita de trminos.Se
llama serie de potencias en (x-a), o serie de potencias centrada en
a o serie de potencia alrededor de a.Ejemplo: Para qu valores de la
serie es convergente?
Al aplicar la regla de comparacin. Si denota con como se
acostumbra, el n-simo trmino de la serie, despus S.
Segn la regla de comparacin, la serie es divergente cuando. En
estos trminos, la serie dada converge cuando x=0
Considere la serie de potencias.
El radio de convergencia se determina aplicando el criterio de
la razn.
En consecuencia, la serie de potencias es convergente cuando; de
modo que su radio de convergencia es R = 1.La serie que se obtiene
al diferenciar trmino a trmino la serie anterior es:
Si se aplica el criterio de la razn a esta serie de potencias se
tiene
sta serie es convergente cuando< 1, as, su radio de
convergencia es R = 1. Como R = R, se ha verificado este teorema
para esta serie.
4.4 Radio de convergenciaEnmatemticas, segn elteorema de
Cauchy-Hadamard, elradio de convergenciade unaseriede la forma,
con, viene dado por la expresin:
Si nos limitamos al conjunto de losnmeros reales, una serie de
la forma, con, recibe el nombre deserie de potenciascentrada en. La
serieconverge absolutamentepara un conjunto de valores deque
verifica que, donderes un nmero realradio de convergenciade la
serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores
depertenecientes al intervalo, ya que la convergencia para los
extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo
real de convergencia puede ser tambin semiabierto o cerrado. Si la
serie converge solo para,. Si lo hace para cualquier valor
de,EJEMPLOSMostraremos el radio de convergencia de algunos
desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de
convergencia sin justificar por qu el radio de convergencia es el
dado.Radio de convergencia finitoLa funcinen su desarrollo con
centro 0, o sea, enseries de potencias, tiene el siguiente
aspecto:.(Para el clculo de la serie veaserie de Taylor). Su radio
de convergencia es. Eso significa que para calcular si tomo
cualquier valor cuya distancia ales menor que, por ejemplo el,
entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la
serie ser el mismo que remplazarlo en la funcin, de hecho.(La
cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado.Pero
si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo
el, al remplazarlo en la serie, sta ser divergente (por eso el
nombre de radio de convergencia). Efectivamente:.Distancia a la
singularidadEl clculo del radio de convergencia no es simple.
Veamos una funcin con dos desarrollos en serie con distintos
centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma funcinen
su desarrollo con centrotiene la forma:.Pero en este caso su radio
de convergencia es. Notemos que la funcintiene una singularidad en
el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia
coincide con la distancia del centro a la singularidad:y. Esto ser
siempre verdadero para sta funcin, pero, no puede generalizarse,
como veremos en el siguiente ejemplo:
Como no hay singularidades reales podra suponerse que el radio
es infinito, sin embargo su radio de convergencia es. Este radio
parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la
funcin a dominio complejo, existe una singularidad en el
denominador.
Radio de convergencia infinitoPor ejemplo, lafuncin
exponencialpuede desarrollarse en series de potencia de, de hecho.Y
esto vale para todo realpor eso el radio de convergencia ser
infinito.4.5 SERIE DE TAYLOREnmatemticas, unaserie de Taylores una
aproximacin defuncionesmediante unaserie de potenciaso suma de
potencias enteras de polinomios comollamados trminos de la serie,
dicha suma se calcula a partir de lasderivadasde la funcin para un
determinado valor o puntosuficientemente derivable sobre la funcin
y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie est
centrada sobre el punto cero,, se le denominaserie de McLaurin.Esta
aproximacin tiene tres ventajas importantes: la derivacin e
integracin de una de estas series se puede realizar trmino a
trmino, que resultan operaciones triviales; se puede utilizar para
calcular valores aproximados de funciones; es posible calcular la
optimidad de la aproximacin.Algunas funciones no se pueden escribir
como serie de Taylor porque tienen algunasingularidad. En estos
casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie
utilizando potencias negativas dex(vaseSerie de Laurent). Por
ejemplof(x) = exp(1/x) se puede desarrollar como serie de
Laurent.DEFINICIONLa serie de Taylor de
unafuncinfrealocompleja(x)infinitamente diferenciableen elentornode
un nmerorealocomplejoaes la siguienteserie de potencias:
Que puede ser escrito de una manera ms compacta como la
siguientesuma:,Donde: n!es elfactorialden f(n)(a) denota la
n-simaderivadadefpara el valorade la variable respecto de la cual
se deriva.La derivada de orden cero defes definida como la propiafy
tanto(xa)0comoson ambos definidos como 1 (= 1). En caso de sera= 0,
como ya se mencion, la serie se denomina tambin de MacLaurin.Cabe
destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada enade la
formasiempre se puede hacer el cambio de variable(con lo queen la
funcin a desarrollar original) para expresarla comocentrada en 0.
Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se
quiere desarrollar la funcinalrededor dea= 1 se puede tomar, de
manera que se desarrollaracentrada en 0.
4.6 Representacin de funciones mediante serie de TaylorLa serie
de Taylor de una funcinfdenmeros realesocomplejosque
esinfinitamente diferenciableen unentornode nmeros reales o
complejosa, es la serie de potencias:
que puede ser escrito de una manera ms compacta como
Donden!es elfactorialdenyf(n)(a) denota la n-simaderivadadefen
el puntoa; la derivada cero defes definida como la
propiafy(xa)0y0!son ambos definidos como uno.Si esta serie converge
para todo xperteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual
a f(x), entonces la funcin f(x) se llama analtica. Para comprobar
si la serie converge a f(x), suele usar una estimacin del resto
delTeorema de Taylor. Una funcin es analtica si y solo si se puede
representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa
serie son necesariamente los determinados en la frmula de la serie
de Taylor.
Continuacin se enumeran algunas series de Taylor de funciones
bsicas. Todos los desarrollos son tambin vlidos para valores
complejos.Funcin exponencial y logaritmo natural:
Serie geomtrica:
Teorema del binomio:
Funciones trigonomtricas:
4.7 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie
Taylor.En matemticas, unaserie de Taylorde una
funcinf(x)infinitamente derivable (real o compleja) definida en un
intervalo abierto(a-r,a+r) se define como la siguiente suma:
Aqu,n! es elfactorialdenyf(n)(a) indica la n-simaderivadadefen
el puntoa.Si esta serie converge para todoxperteneciente al
intervalo (a-r,a+r) y la suma es igual af(x), entonces la
funcinf(x) se llamaanaltica. Para comprobar si la serie converge
af(x), se suele utilizar una estimacin del resto delteorema de
Taylor. Una funcin es analtica si y solo si se puede representar
con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son
necesariamente los determinados en la frmula de la serie de
Taylor.Sia= 0, a la serie se le llamaserie de Maclaurin.Esta
representacin tiene tres ventajas importantes:La derivacin e
integracin de una de estas series se puede realizar trmino a
trmino, que resultan operaciones triviales.Se puede utilizar para
calcular valores aproximados de la funcin.Es posible demostrar que,
si es viable la transformacin de una funcin a una serie de Taylor,
es la ptima aproximacin posible.Algunas funciones no se pueden
escribir como serie de Taylor porque tienen algunasingularidad. En
estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie
utilizando potencias negativas dex(vaseSerie de Laurent. Por
ejemplof(x) = exp(1/x) se puede desarrollar como serie de
Laurent.
sin(x)y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios
de grado1,3,5,7,9,11y13.La funcin exponencial (en azul), y la suma
de los primerosn+1 trminos de su serie de Taylor en torno a cero
(en rojo).