CALCULO Hoja 9. Integrales dobles. - dma.aq.upm.esdma.aq.upm.es/profesor/patino_e/Docencia/Calculo/H9-INTEGRALES... · Integrales dobles. 1. Evaluar cada una de las siguientes integrales

Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S. Arquitectura. U.P.M. [email protected]

CALCULO

Hoja 9. Integrales dobles.

1. Evaluar cada una de las siguientes integrales siendo R = [0, 1]× [0, 1]:

a)

∫∫R(x3 + y2)dxdy d)

∫∫R(x2 + y)dxdy (:= 5

6)

b)

∫∫Ryexydxdy f)

∫∫Rxydxdy (:= log 2)

c)

∫∫R(xy)2 cosx3dxdy g)

∫∫Ry(x3 − 12x)dxdy, con R = [−2, 1]× [0, 1] (:= 57

8 )

2. En las siguientes integrales, cambiar el orden de integracion, esbozar las regiones corre-spondientes y obtener el valor de la integral:

a)

∫ 1

0

∫ 1

xxydydx (:=

1

8) d)

∫ 1

−1

∫ 1

|y|(x+ y)2dxdy (:=

2

3)

b)

∫ π/2

0

∫ cos θ

0cos θdrdθ (:=

1

4π) f)

∫ 1

0

∫ 1

√xey

3dydx (:=

1

3e− 1

3)

c)

∫ 1

0

∫ 2−y

1(x+ y)2dxdy (:=

17

12) g)

∫ 2

1

∫ log y

0e−xdxdy (:= 1− log 2)

3. Hallar el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 y y−x+ z = 1.(Solucion: 1

6).

4. Calcular

∫∫D(x2−y)dxdy siendo D la region comprendida entre las graficas de las curvas

y = x2, y = −x2 y las rectas x = −1 y x = 1. (Solucion: 45).

5. Hallar

∫∫Dxydxdy siendo D

a) el cuadrado de vertices (−1, 0), (0,−1), (1, 0) y (0, 1);

b) el trapecio de vertices (−1, 0), (0, 0), (1, 1) y (−1, 1);

c){(x, y) ∈ R2 : 0≤x≤3, y≥0, 4x2 + 9y2≤36

}∪{(x, y) ∈ R2 : −2≤x≤0, y≥0, x+ 2− y≥0

}.

Solucion: 236 .

6. Se considera la funcion f(x, y) = xy definida sobre el conjunto

D = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ y ≤ ex, x ≤ 1, x ≥ 1− y2}

Se pide:

(a) Representar graficamente el conjunto D.

(b) Expresar mediante una integral iterada la integral doble∫ ∫

D f(x, y)dxdy y cambiarel orden de integracion.

(c) Calcular∫ ∫

D f(x, y)dxdy.

(Sol.: 18e

2 + 124)

7. Hallar

∫∫Dxydxdy siendo D la region del primer cuadrante encerrada entre las parabolas

y = x2 e y = x4. (Solucion: 115).

1

Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S. Arquitectura. U.P.M. [email protected]

8. Hallar

∫ 4

0

(∫ 2

√x

dy

(x+ y2)12

)dx. (Indicacion: se recomienda cambiar el orden de inte-

gracion. (Sol.: −4 + 4√2).

9. Dada la funcion f : R2 → R definida por f(x, y) = e(x2−y2)−(x+y)(x + y) y el recinto

D = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0, y ≥ 0, 1 ≤ x2 − y2 ≤ 4, 2 ≤ x+ y ≤ 3}.

(a) Plantear en coordenadas cartesianas, con sus lımites de integracion correspondientesy en el orden indicado la integral

∫ ∫D f(x, y)dydx.

(b) Hallar∫ ∫

D e(x2−y2)−(x+y)(x+ y)dxdy tomando para ello el cambio de variable:

u = x2 − y2, v = x+ y.

(Sol.: 12

(−e− e−1 + e2 + e−2

))

10. Calculese

∫∫De(y−x)/(y+x)dxdy donde D =

{(x, y) ∈ R2 : 0≤x, 0≤y, x+ y≤2

}. Tomese

para ello el cambio de variable y − x = u, y + x = v. Solucion: e− 1e

11. Hallar la integral

∫∫D(y2 − x2)xy(x2 + y2)dxdy donde

D ={(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0, a≤xy≤b, y2 − x2≤1, x≤y

}con 0 < a < b. Se recomienda utilizar el cambio de variable u = y2−x2, v = xy. Solucion:12 log

1+b1+a .

12. Hallar

∫∫Dxydxdy siendo D la region del primer cuadrante delimitada por las curvas

x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 9, x2 − y2 = 4 y x2 − y2 = 1. Utilizar el cambio de variableu = x2 + y2, v = x2 − y2. Solucion: 15

8 .

13. Dada la integral I =∫ ∫

D(x+ y)dxdy, siendo D el recinto limitado en el primer cuadrante

por las curvas y = x− 3, y = x+ 3, y =4

xe y =

10

x,

(a) escribir D como union de regiones del tipo {(x, y) ≤ x ≤ , (x) ≤ y ≤ (x)} , y ex-presar I en coordenadas cartesianas;

(b) escribir el nuevo dominio, D∗, que resulta al hacer el cambio de variables u = y −x, v = xy;

(c) calcular la integral con estas nuevas variables. (Sol.: 36).

14. Se considera la region plana D delimitada por las curvas y2−2 = x, x = y2+1 y las rectasy = 1, y = −1. Se pide:

(a) Hallar el area de la region D. (Sol.: 6)

(b) Utilizar el cambio de variable {u = x− y2

v = 3y.

para calcular la integral doble ∫ ∫Dex−y2dxdy.

Sol.: 2

(e− 1

e2

)2

Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S. Arquitectura. U.P.M. [email protected]

15. Hallar∫ ∫

D e

y

x+ y dxdy, siendo D el recinto limitado por x = 0, y = 0, x + y = 1.

Sugerencia: utilizar el cambio de variable

{x+ y = uy = v

. Sea la integral I =∫∫

D y2dxdy

donde D es la region del primer cuadrante delimitada por las curvas xy = 1, xy = 4. y = xy y = 4x,

(a) Representar graficamente el recinto D.

(b) Representar graficamente el nuevo dominio que resulta al aplicar el cambio de variableu = xy, v = y

x .

(c) Calcular la integral con estas nuevas variables. (Sol.: 454 )

16. Calcular

∫∫Dex/ydxdy siendo D =

{(x, y) ∈ R2 : y3≤x≤y2

}. Solucion: 3−e

2 .

17. Calcular el volumen comprendido entre el cilindro de ecuacion x2 + y2 = 1 y el cono de

ecuacion x2 + y2 − z2 = 0. (Sol.:4π

3).

18. Calcular la integral de f(x, y) = x2y sobre el recinto situado en el primer cuadrante ylimitado por las circunferencias de radios 1 y 2 respectivamente y centro el origen. (Sol.:31/15).

19. Calcular el volumen comprendido entre el cilindro elıptico x2 + 4y2 = 1 y el paraboloidex2 + y2 = z, y limitado por z = 0.(Sol.:5π32 ).

20. Calcular el volumen del solido interior al semiespacio z ≥ 0 y limitado por el elipsoidex2 + y2 + 2z2 ≤ 8 y el cono x2 + y2 ≤ 2z2.(Sol.: 20π

3 ).

21. Calcular el volumen del solido cubierto por la superficie

z = 1 +x(y + 1)

5

sobre el rectangulo R = [0, 3]× [−1, 4].

22. Sea σ la curva cerrada positivamente orientada formada por el arco de la circunferenciax2 + y2 = 1, el arco de la elipse x2 + 4y2 = 16 y los segmentos representados en la figura

Hallar el volumen del solido que tiene por base el recinto delimitado por la curva σ y como

cubierta el paraboloide z = x2 + 4y2. (Sol.:251π

16)

23. Calcular el volumen comprendido entre el cono de revolucion x2 + y2 = z2 (z ≥ 0), elparaboloide de revolucion x2 + y2 + 3z = 4 y el plano z = 0,

(a) para el caso x2 + y2 ≥ z2 y x2 + y2 + 3z ≤ 4 (Sol.: 13π6 )

(b) para el caso x2 + y2 ≤ z2 y x2 + y2 + 3z ≤ 4

3

Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S. Arquitectura. U.P.M. [email protected]

24. Sea el solido limitado por x2 +y2

4≤ z2

4, x2 +

y2

4+

z2

4≤ 1 con z ≥ 0.Se pide su

volumen. (Sol.: 2π(4−2√2

3 )).

25. Calcular el volumen del solido

s = {(x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 ≤ 4, x2 + y2 ≥ 3z, z ≥ 0}.

26. Evaluar

∫∫Dy3(x2 + y2)−

32dxdy, donde D es la region determinada por las condiciones

12≤y≤1 y x2 + y2≤1. (Solucion:

√3/4 ).

27. Hallar el area limitada por las circunferencias x2 + y2 = 2x y x2 + y2 = 4x y las rectasy = x e y = 0. Solucion: 3π

4 + 32 .

28. Hallar el volumen de los siguientes conjuntos de R3 :

(a) A ={(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ 42, x2 + y2 ≤ z2

}(Sol.: 4−2

√2

3 π43)

(b) B ={(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ x, 0 ≤ z

}(Sol.: π

3 − 49)

29. Expresar mediante las integrales iteradas, la siguiente integral∫∫

D f(x, y)dxdy siendo D el

conjunto definido por las inecuaciones 0≤y≤1,√y≤x≤1+

√1− y2. Calcular

∫∫Dydxdy.

Solucion: 1330 .

30. Calcular el volumen cubierto por la superficie z =√x sobre el recinto limitado, en el plano

OXY, por la curva x2 + y2 − x = 0. (Sol.:. 815).

31. Calcular∫∫

D(x2+y2)−3/2dxdy siendoD =

{(x, y) ∈ R2 : x ≤ y, x+ y ≥ 1, x2 + y2 ≤ 1

}.

(Sol.: 1− π4 ).

32. Calcular∫∫

D ydxdy siendoD ={(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 1, x2 + y2 ≥ 2x

}.

(Sol.: 1/8).

33. Calcular

∫∫D(x2+y2)dxdy siendoD =

{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ 2y, x ≥ 0

}.

(Resolverlo con Maple).

34. Hallar el volumen limitado por la cubierta interseccion de dos cilindros parabolicos deecuaciones C1 ≡ z = 36−y2 y C2 ≡ z = 36−x2 y la planta z = 0. (Resolverlo con Maple).

4

Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S. Arquitectura. U.P.M. [email protected]

35. Dada la funcion f(x, y) = (x2 + y2)−3/2 en la region D caracterizada por x − y ≥ 0,x+ y ≥ 2 y x2 + y2 ≤ 4. Se pide:

(a) Escribir D como union de regiones y plantear la integral en coordenadas cartesianas.

(b) Efectuar un cambio de variable a coordenadas polares y calcular la integral en lasnuevas coordenadas.

(Sol.: −π/8 + 1/2)

36. Calcular el volumen de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 interior al cilindro (x− 12)

2 + y2 = 14 en

el semiespacio {(x, y, z) ∈ R3, z ≥ 0}. (Sol.: 13π − 4

9)

37. Calcular la siguiente integral∫∫

D1

(x2+y2)3/2dxdy, siendo el recinto de integracion D =

{(x, y) : x2 + y2 ≤ 1, y ≥ x+ 1}. (Sol.: 2− π2 )

38. Dado el conjunto

D ={(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, x2 + y2 ≥ 2y, x2 + y2 ≤ 6y

},

se pide calcular∫∫

D

x

x2 + y2dxdy. (Sol.: 2)

39. Calcular el volumen del solido limitado por el hiperboloide x2 + 4y2 − z2 + 4 = 0 y elcilindrox2 + 4y2 − 9 = 0.

40. Hallar el volumen del solido acotado superiormente por el paraboloide z = 5− x2 − y2, einferiormente por el paraboloide z = 4x2 + 4y2.

41. Se considera el solido

S = {(x, y, z) ∈ R3 : (x− 1)2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y, 0 ≤ z ≤ 2}.

Hallar su volumen.

42. El recinto A = {(x, y) ∈ R2|x2+y2−2y ≤ 5 esta cubierto por la superficie z = x(y−2)+6.Calcular el volumen que queda bajo la cubierta en A.

5