NOMBRE: ........................................................................... C ´ ALCULO Examen parcial Cuestiones (1h 10 min.) 25 de Enero de 2011 Nota 1: El ejercicio se resolver´ a en esta hoja. Nota 2: Se recuerda que est´ a prohibido el uso de calculadoras. 1.– Expresar como uni´ on de intervalos el subconjunto de IR formado por los elementos x que verifican: 2x - 5 x < 3,x 6=0 (1 punto) 2.– Completa la siguiente expresi´ on: A = ◦ A ∪..... (1 punto) 3.– Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: Sea B un subconjunto de un conjunto compacto A ∈ IR 2 . Se puede asegurar que: a) B es cerrado. b) B es compacto. c) B es acotado. (1 punto) 4.– Calcular el l´ ımite de la siguiente sucesi´ on l´ ım n→∞ n sen(nπ) (1 punto) 5.– Demostrar aplicando el principio de inducci´ on la siguiente relaci´ on, con n ≥ 4 2 n ≤ n! (1 punto)
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CALCULO Examen parcial
Cuestiones (1h 10 min.) 25 de Enero de 2011
Nota 1: El ejercicio se resolvera en esta hoja.Nota 2: Se recuerda que esta prohibido el uso de calculadoras.
1.– Expresar como union de intervalos el subconjunto de IR formado por los elementos xque verifican:
2x− 5
x< 3, x 6= 0
(1 punto)
2.– Completa la siguiente expresion:
A =◦A ∪.....
(1 punto)
3.– Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
Sea B un subconjunto de un conjunto compacto A ∈ IR2. Se puede asegurar que:
a) B es cerrado.
b) B es compacto.
c) B es acotado.
(1 punto)
4.– Calcular el lımite de la siguiente sucesion
lımn→∞
n sen(nπ)
(1 punto)
5.– Demostrar aplicando el principio de induccion la siguiente relacion, con n ≥ 4
2n ≤ n!
(1 punto)
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Nota 1: El ejercicio se resolvera en esta hoja.Nota 2: Se recuerda que esta prohibido el uso de calculadoras.
6.– Utilizando equivalencias, calcular el lımite de la sucesion lımn→∞
n(
n√a− 1
), con a > 0.
Indica las equivalencias que utilizas.
(1 punto)
7.– Dada la ecuacion x3 − cosx =π
2, obtener un intervalo en el que podamos asegurar la
existencia de una y solo una solucion. Justificar la respuesta e indicar claramente losteoremas utilizados, justificando su uso.
(1 punto)
8.– Calcular la derivada de las siguientes funciones, simplificando la expresion final lomaximo posible:
a) f(x) = sen(x senx) + sen(senx2)
b) f(x) = arctan
(a+ x
1− ax
)c) Calcular los extremos de la funcion del apartado b) en el intervalo [2, 10], con a = 1
(1 punto)
9.– Determinar el dominio de h(a) = ln(
ln(a
2
)).
(1 punto)
10.– Demostrar que toda funcion diferenciable en un punto es continua en dicho punto.
(1 punto)
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CALCULO Examen parcial
Problemas (1h 20 min.) 25 de Enero de 2011
Nota 1: El ejercicio se resolvera en esta hoja.Nota 2: Se recuerda que esta prohibido el uso de calculadoras.
1.– Se considera la funcion:
f(x) =
senx
1 + e1/ senx, x 6= 0
0, x = 0
a)Hallar el dominio de definicion de f(x).
b)Estudiar la continuidad de f(x) en x = 0 y en x = π.
c)Estudiar la derivabilidad de f(x) en x = 0 y en x = π.
(2.5 puntos)
2.– Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 centrado en x = 1 de f(x) = ln(x), yobtener una cota del error cometido al calcular ln(1.1).
(2.5 puntos)
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Nota 1: El ejercicio se resolvera en esta hoja.Nota 2: Se recuerda que esta prohibido el uso de calculadoras.
3.– Calcular el lımite de la siguiente sucesion
lımn→∞
(−1)n
nsen
[(n3 + 3n2 + log n
n!
)n]
(1.5 puntos)
4.– Se define el conjunto
A = {(x, y) ∈ IQ2/x2 + y2 < 1, y ≥ x}
Se pide:
a) Dibujar el conjunto A.
b) Determinar◦A, A, A′, ∂A, Ais(A).
(2 puntos)
5.– Calcula el modulo del siguiente numero complejo
(2 + i√
5)(1 + i√
3)3
(√
5 + i√
3)
(1.5 puntos)
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