Cakupan Materi - tb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id

Start

2

Cakupan Materi

• Persamaan Regresi :

1. Regresi Linier Sederhana

1. Regresi Linier Sederhana

2. Korelasi Linier

3. Regresi Berganda

4. Korelasi Berganda

— Model regresi adalah persamaan matematik yang memungkinkan

dalam peramalan nilai variabel tak bebas dari satu atau lebih

variabel bebas

x (Independent Variable)

y

y = a + bx

Dependent Variable) — Study tentang pengaruh 1

variabel bebas thd variabel

tak bebas → regresi

sederhana

— Sedangkan jika ada 2 atau

lebih variabel bebas → regresi berganda

3

— Dua variabel yang berhubungan (bivariat) diplotkan dalam grafik

yaitu „diagram pencar‟, yang menyatakan berbagai pola hubungan

tertentu :

a. Hubungan positif linier

b. Hubungan negatif linier

c. Hubungan non-linier (eksponential)

d. Tidak ada hubungan

• Analisis Regresi :

Dua kegunaan pokok analisis regresi, yaitu :

1. Memperoleh suatu persamaan dan garis yang menyatakan

hubungan antara 2 variabel

2. Pendugaan nilai „dependent variable‟, y, dengan nilai tertentu

„dependent variable‟, x, yang diketahui berdasarkan hubungan

dalam persamaan regresi

y = a + bx → y = dependent variable x = independent variable a, b = parameter / konstanta

regresi linier sederhana

4

− Mengukur keeratan hubungan antara 2 variabel yang didasarkan

pada persamaan regresi

− Bukan meramalkan nilai variabel y

− Kekuatan hubungan antara 2 variabel dinyatakan dalam suatu

bilangan yang disebut „koefesien korelasi‟, yang dilambangkan

dengan r2

− Pola hubungan, antara lain :

• Analisis Korelasi :

a. Korelasi positif → tinggi, rendah

b. Korelasi negatif → tinggi, rendah

c. Korelasi nol

− Regresi sederhana hanya memiliki 2 variabel, yaitu 1 dependent

dan independent variable

− Linier → terdapat hubungan garis lurus antara kedua variabel

− Persamaan hubungan linier 2 variabel x dan y :

• Persamaan dan Garis Regresi

y = a + bx → y = dependent variable a = konstanta / y-intercept x = independent variable b = konstanta / slope

5

Diketahui persamaan regresi y = 50 + 5x

Jika x = 0, maka y = 50

x = 10, maka y = 100

• Contoh :

• Analisis Regresi Linier Sederhana :

— Model regresi linier sederhana :

y = A+ Bx → deterministic model

→ tiap satu nilai x memiliki satu nilai y (exact

relationship)

— Dalam kenyataannya, hubungan x dan y → not exact

y = A + Bx + є → dimana є (=baca epsilon) adalah random error

→ A dan B merupakan parameter populasi maka garis regresi

yang dihasilkan disebut „garis regresi populasi‟

→ Selalu digunakan sampel data dlm penentuan model regresi

ŷ = a + bx + e → dimana a & b adalah nilai penduga bagi A & B

50

x

y y = 50 + 5x

150

100

5 10 15

1 5 → perubahan y

perubahan x

Perpotongan garis y

6

— Analisis regresi dengan sampel data akan menghasilkan galat e

e = y – ŷ → e = random error atau galat untuk sampel data

Σe = Σ(y – ŷ) → ŷ = nilai prediksi untuk y

— Untuk menentukan garis regresi yang baik, digunakan metode

“Least Square” atau “jumlah kuadrat terkecil”

Dalam hal ini dihasilkan garis “Least Square”, dimana a dan b

menghasilkan jumlah kuadrat galat minimum

x

y

Garis regresi e = galat

SSE = Σe2 = Σ(y – ŷ)2

SSE = Error Sum of Square

7

— Untuk garis regresi “Least Square” dimana ŷ = a + bx

;

xxSS b xySS

n

y)( x)( -xy SSxy

n

x)( - x SS 2

xx

2a = ў - bx ˉ

SS = Sum of Square ; ў dan x = rata-rata ˉ

— Contoh :

Tentukan garis regresi “Least Square” dari data income dan

belanja ($/hari) untuk 7 keluarga pada tabel berikut :

Income (x) 35 49 21 39 15 28 25

Belanja (y) 9 15 7 11 5 8 9

Jawab :

y = a + bx

Step untuk menghitung a dan b :

Step 1. Menghitung Σx, Σy, x, ў

Σx = 212 → x = Σx/n = 212/7 = 30.29

Σy = 64 → ў = Σy/n = 64/7 = 9.14

ˉ

ˉ

dimana

8

211.71 7

(64) (212) - 2150

n

y)( x)( -xy SSxy

801.43 7

(212) - 7222

n

x)( - x SS

22

xx

2

0.26 801.43

211.71

SS b

xx

xySS

→ a = ў – bx = 9.14 – (0.26) (30.29) = 1.14 ˉ

ˉ

Step 2. Menghitung Σxy dan Σx2

Σxy = 2150 dan Σx2 = 7222

Step 3. Menghitung SSxy dan SSxx

Step 4. Menghitung a dan b

Sehingga model regresi pendugaan ŷ = a + bx adalah :

ŷ = 1.14 + 0.26 x

— Garis yang dihasilkan disebut garis regresi “Least Square”, yang

memberikan regresi belanja atas income.

— Dengan model regresi pendugaan bisa memprediksi nilai y pada

nilai x tertentu

— Contoh :

Berapa biaya belanja yang dikeluarkan suatu sampel keluarga

yang memiliki income $35/hari.

9 ˉ

Jawab :

ŷ = 1.14 + (0.26)(35) = $10.39

→ ŷ = $10.39

y = $9

e = -1.39 → nilai pendugaan y lebih besar dari nilai y yang sebenarnya

e = galat = y – ŷ

= 9 – 10.39 = -1.39

4

x

y ŷ = 1.14 + 0.26 x

12

8

10 20 30

e = galat

y aktual = 9

40

Titik penduga

10

• Interpretasi Nilai a dan b

— ŷ = 1.14 + 0.26 x

→ Diperoleh dari data sampel dimana nilai x → 15 ≤ x ≤ 49

→ Hanya pada selang nilai x tsb, persamaan ŷ = 1.14 + 0.26 x, dapat diaplikasikan dan menghasilkan nilai y yang valid

→ ŷ yang dihasilkan adalah nilai rata-rata pendugaan, µy|x

→ Nilai b, bisa positif atau negatif

b positif → hubungan x dan y linier positif

b negatif → hubungan x dan y linier negatif

x

y

b > 0

Linier Positif

x

y

b < 0

Linier Negatif

11

• Simpangan Baku Galat

— Simpangan baku galat suatu populasi, σe, mengukur sebaran error di sekitar garis regresi populasi

— σe biasanya unknown, sehingga nilainya diduga dari nilai Se, yaitu

simpangan baku galat dari sampel data

dimana 2 - n

SSE Se SSE = Σe2 = Σ(y – ŷ)2

• Koefesien Determinasi

— Suatu model regresi dianggap baik, dapat dinilai dari koefesien

determinasi, yang dinotasikan :

ρ2 → dihitung untuk data populasi

r2 → dihitung untuk data sampel

Nilai r2 → 0 ≤ r2 ≤1

n

y)( - y SS dimana

SS b. r

22

yy

xy2

yySS

— Makin besar nilai r2, makin baik suatu model regresi, dimana

variabel y sangat berhubungan dengan variabel x

— n - 2 adalah derajat bebas df

12

• Korelasi linier mengukur keeratan hubungan atau asosiasi linier

antara 2 variabel

• Koefesien korelasi linier mengukur bagaimana dekat titik-titik

dalam diagram pencar tersebar di sekitar garis regresi

• Koefesien korelasi linier merupakan akar dari koefesien

determinasi dinotasikan :

ρ → dihitung untuk data populasi

r → dihitung untuk data sampel

Nilai ρ dan r → -1 ≤ ρ ≤ 1 dan -1 ≤ r ≤ 1

2. Korelasi Linier

Korelasi Linier Positif Korelasi Linier Negatif Tidak Korelasi Linier

x

y r = 1

x

y r = -1

x

y r = 0

13

Korelasi Linier positif kuat ( r mendekati 1)

• Korelasi linier sederhana, dinotasikan r, dihitung dengan rumus :

n

y)( - y SS dimana

SS r

22

yy

xy

yyxx SSSS n

y)( x)( -xy SSxy

n

x)( - x SS 2

xx

2

x

y

x

y

x

y

x

y

Korelasi Linier positif lemah ( r + mendekati 0)

Korelasi Linier negatif kuat ( r mendekati -1)

Korelasi Linier negatif lemah ( r - mendekati 0)

14

• Latihan :

1. Nilai kuis (x) dan ujian akhir semester (y) dari 9 mahasiswa adalah

sebagai berikut :

x 77 50 71 72 81 94 96 99 67

y 82 66 78 34 47 85 99 99 68

a. Tentukan persamaan garis regresinya

b. Dugalah nilai ujian akhir dari seorang mahasiswa yang nilai

kuisnya adalah 85

2. Tabel berikut menunjukkan besarnya income per minggu (dalam

dolar) dan biaya telepon untuk 10 keluarga sebagai sampel yang

diambil acak.

Income 55 45 36 32 30 13 41 15 36 40

Phone Bill 35 78 102 56 75 26 130 42 59 85

a. Tentukan SSxx, SSyy, SSxy

b. Tentukan SSE

c. Tentukan simpangan baku galat

d. Tentukan koefesien determinasi

e. Tentukan koefesien korelasi

15

• Dalam regresi berganda dinyatakan hubungan antara sebuah

variabel dependen (y) dengan 2 atau lebih variabel independen (x)

• If ada n variable independen, maka variabel tersebut → x1, x2, x3 …. xn

Regresi bergada kemudian menentukan nilai a, b1, b2, b3 …. bn untuk

mendapatkan persamaan regresinya

y = a + b1x1 + b2x2 + b3x3 + ... + bnxn

b1 = koefisien x1 , b2 koefisien x2 , dst.

3. Regresi Linier Berganda

• Untuk menentukan nilai a, b1, b2, b3 …. bn maka digunakan persamaan

normal :

→ a.n + b1 . Σx1 + b2 . Σx2 + b3 . Σx3 = Σy

→ a. Σx1 + b1 . Σ(x1 . x1) + b2 . Σ(x2 . x1) + b3 . Σ(x3 . x1) = Σ(y.x1 )

→ a. Σx2 + b1 . Σ(x1 . x2) + b2 . Σ(x2 . x2) + b3 . Σ(x3 . x2) = Σ(y.x2 )

→ a. Σx3 + b1 . Σ(x1 . x3) + b2 . Σ(x2 . x3) + b3 . Σ(x3 . x3) = Σ(y.x3 )

→ ………………..

→ a. Σxn + b1 . Σ(x1 . xn) + b2 . Σ(x2 . xn) + b3 . Σ(x3 . xn) = Σ(y.xn)

16

• Contoh :

Tabel berikut menunjukkan jumlah penjualan (y) dalam

hubungannya dengan lamanya pengalaman sebagai sales (x1) dan

nilai test iq (x2) dari 8 orang sales dalam suatu periode tertentu.

Tentukan persamaan garis regresinya

Sales A B C D E F G H

y 9 6 4 3 3 5 8 2

x1 6 5 3 1 4 3 6 2

x2 3 2 2 1 1 3 3 1

Jawab :

Sales y x1 x2 y2 x12 x2

2 x1. x2 y. x1 y. x2

A 9 6 3 81 36 9 18 54 27

B 6 5 2 36 25 4 10 30 12

C 4 3 2 16 9 4 6 12 8

D 3 1 1 9 1 1 1 3 3

E 3 4 1 9 16 1 4 12 3

F 5 3 3 25 9 9 9 15 15

G 8 6 3 64 36 9 18 48 24

H 2 2 1 4 4 1 2 4 2

Total Σy =

40

Σ x1 =

30

Σ x2 =

16

Σ y2 =

224

Σ x12=

136

Σ x22=

38

Σx1. x2=

68

Σ y.x1=

178

Σ y.x2=

94

17

• Didapatkan 3 persamaan normal :

→ a.n + b1 . Σx1 + b2 . Σx2 = Σy

8 a + 30 b1 + 16 b2 = 40 …………………………………………….… (1)

→ a. Σx1 + b1 . Σ(x1 . x1) + b2 . Σ(x2 . x1) = Σ(y.x1 )

30 a + 136 b1 + 68 b2 = 178 ………………………………………..... (2)

→ a. Σx2 + b1 . Σ(x1 . x2) + b2 . Σ(x2 . x2) = Σ(y.x2 )

16 a + 68 b1 +38 b2 = 94 ……………………….……………….…….. (3)

Dengan cara eliminasi ketiga persamaan tersebut didapatkan :

a = -0.4545 ; b1 = 0.7273 ; b2 = 1.3636

Maka persamaan regresi yang dihasilkan ŷ = -0.4545 + 0.7273 x1 + 1.3636 x2

• Simpangan Baku

Simpangan baku regresi berganda dapat dihitung dengan formula

sebagai berikut :

n

SSE

n

)(y.xb - ...... - )(y.xb - )(y.x b -y a.- y S nn2211

2

y.12..n ...

Dari contoh di atas, maka simpangan bakunya adalah :

0.75 8

(94) 1.3636 -(178) 0.7273 -(40) (-0.4545) - 244 Sy.12

18

• Untuk contoh acak {(x1, x2, y)}, koefesien determinasi berganda

contoh dilambangkan dengan r2y.12

4. Korelasi dan determinasi Berganda

2

y

y.12

S 1) - (n

SSE - 1 r 2 )(y.xb - )(y.x b -y a.- y S dimana 2211

2 ..SE

nny)(

- y y agam

2

y

2

RS

2

• Untuk contoh diatas, maka :

0.9 (6.29) (7)

4.5422 - 1

S 1) - (n

SSE - 1 r

2

y

y.12 2

Dengan koefesien determinasi 0.9, artinya bahwa bidang regresi :

ŷ = -0.4545 + 0.7273 x1 + 1.3636 x2

dapat menjelaskan 90% keragaman dalam y berhubungan dengan

variabel x1 dan x2

• Koefesien korelasi, r adalah akar dari koefesien determinasi.

Sehingga :

0.95 0.9 ry.12