Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Escuela de Mecánica Industrial Investigación de Operaciones 2, A+ Ing. Marco Vinicio Monzón CADENAS DE MARKOV Saúl Santiago Sandoval González. 2011-13834 Erick Alexander Velásquez de León. 2011-13856
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Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Escuela de Mecánica Industrial
Investigación de Operaciones 2, A+
Ing. Marco Vinicio Monzón
CADENAS DE
MARKOV
Saúl Santiago Sandoval González. 2011-13834
Erick Alexander Velásquez de León. 2011-13856
José Andrés Maldonado. 2011-13990
María Marcella Chávez Gutiérrez. 2011-22840
Guatemala de la Asunción, 11 de septiembre de 2013.
CADENAS DE MARKOV 2013
INTRODUCCIÓN
Las cadenas de Markov fueron creadas por el matemático ruso Andrei
Markov, las cuales se usan para estudiar ciertos comportamientos a largo y corto
plazo de sistemas estocásticos. Cabe mencionar que un sistema estocástico son
sucesiones de eventos gobernados por leyes probabilísticas que evolucionan a lo
largo del tiempo en un conjunto de estados.
Algunos ejemplos de sus aplicaciones es el análisis de mercados, predicción de
ventas, reparto de mercaderías, mantenimiento de maquinaria, etc. y que puede
ser aplicado en varios campos como la biología, finanzas, astrología, meteorología
y muchas más.
Las cadenas de Markov se utilizan, más que todo, para hacer aproximaciones y
previsiones de factores que puedan ser útiles en la gestión de una empresa, a
pesar de no ser un método exacto, sus resultados son útiles para hacer
previsiones a largo plazo.
En este documento se detalla brevemente lo que son cadenas de Markov, su
definición, aplicaciones y se muestra la manera de cómo se resuelven problemas
utilizando este método.
CADENAS DE MARKOV 2013
OBJETIVOS
General
Explicar que es una Cadena de Markov y como está estructurada.
Específicos
1. Conocer cómo debe estructurarse la matriz de transición de una cadena de
Markov.
2. Conocer los diferentes tipos de estado de una matriz
3. Conocer qué es un grafo asociado.
CADENAS DE MARKOV 2013
MARCO TEÓRICO
“CADENAS DE MARKOV”
Las cadenas de Markov, reciben su nombre en honor al matemático ruso
Andrei Markov (creador de la “Teoría de los números” y de la “Teoría de las
probabilidades”), son herramientas que sirven para analizar el comportamiento de
diferentes tipos de procesos estocásticos, los cuales son procesos en donde se
representan todos y cada uno de los estados, una sucesión de observaciones.
Estas cadenas representan un sistema que varía su estado a lo largo del tiempo,
siendo cada cambio una transición de dicho sistema. Solamente dependen del
estado actual, nunca de los anteriores.
MATRIZ DE TRANSICIÓN
En el instante que se utilizan las cadenas de Markov es conveniente hacer uso de
un sistema físico de planteamento donde se presenten las probabilidades de
transición estacionarias.
Se representa por medio de estados que ocurren en un lugar determinado que
puede ir desde 1 hasta k eventos.
La matriz de transición debe cumplir con ciertas restricciones para que funcione
como una cadena de Markon, estas son:
1. La suma de las probabilidades debe ser igual a 1.
2. Las probabilidades de cada estado debe estar entre 0 y 1.
3. La matriz debe ser cuadrada.
CADENAS DE MARKOV 2013
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA MATRIZ DE TRANSICIÓN
Es un arreglo sistemático donde se representan las probabilidades de pasar de un
estado a otro. Esto ayuda a tener una mejor visualización del panorama de la
situación y su comportamiento.
CADENAS DE MARKOV ABSORBENTES
Una matriz absorbente tiene la siguiente forma:
x Y
x Q Ry ceros I
Donde los estados X representan, estados transitorios y Y representa estados
absorbentes.
CADENAS DE MARKOV 2013
PROCESO ESTOCÁSTICO
Es la relación entre las variables aleatorias, es decir el proceso necesario de cierta
cantidad de eventos para cumplir con objetivo.
ESTADO TRANSITORIO
Un estado transitorio es aquel que después de haber entrado en este estado
jamás regresará a él.
ESTADO RECURRENTE
Estado donde después de haber entrado a él el proceso definitivamente regresará
al mismo.
EJEMPLOS
EJEMPLO 1
Cada familia norteamericana se puede clasificar como habitante de una zona
urbana, rural o suburbana. Durante un año determinado, el 15% de las familias
urbanas se cambiaron a la zona suburbana y el 5% a la zona rural. El 6% de las
familias suburbanas pasan a la zona urbana y el 4% a la rural, el 4% de las
familias rurales pasan a la zona urbana y el 6% a la suburbana.
Encontrar:
a) La matriz de transición.
b) Realizar el gráfico asociado.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia rural en 3 años viva en una
zona urbana?
d) La matriz estable.
SOLUCIÓN
CADENAS DE MARKOV 2013
ε 1=urbano
ε 2=suburbano
ε 3=rural
a) La matriz de transición para el orden ε 1, ε2 y ε 3 es:
P=(0.80 0.15 0.050.06 0.90 0.040.04 0.06 0.90)
b) Gráfico asociado
c) Probabilidad de que una familia rural en 3 años viva en una zona urbana.