-
Capitolul
Elemente de Identificarea Sistemelor
Acest capitol constituie o trecere n revist a elementelor de baz
din domeniul Identificrii (experimentale a) Sistemelor. Este
evideniat importana etapelor de achiziie a datelor, alegerea
modelului de identificare i a metodei pentru estimarea parametrilor
acestuia. Discuia este focalizat pe o serie de metode de
identificare bazate pe tehnici recursive, nrudite cu Metoda Celor
Mai Mici Ptrate. Aceste metode sunt utilizate pentru identificarea
att n bucl deschis, ct i nchis i se bazeaz pe principiul adaptrii
parametrice n manier recursiv. Sunt evideniate performanele i
limitrile acestor metode, precum i mijloacele statistice de
validare ale modelelor identificate. Capitolul se ncheie cu
prezentarea unor tehnici de identificare n bucl nchis, utilizate cu
prioritate n controlul adaptiv.
3.1 Principiul adaptrii parametrice Posibilitile recente oferite
de calculul numeric permit dezvoltarea i implementarea algoritmilor
de identificare a modelelor discrete ale proceselor [14], [18],
[52], [55]. Identificarea modelelor parametrice prin tehnici
recursive de prelucrare [26] ofer numeroase avantaje raportat la
alte proceduri de identificare cunoscute. Algoritmi de identificare
performani, avnd o exprimare recursiv convenabil calcului numeric,
au fost dezvoltai cu prioritate n ultima perioad. Principiul de
estimare a parametrilor unui modelul discret cu ajutorul unei
proceduri recursive este ilustrat n Figura 3.1. Un model parametric
discret este implementat pe un calculator. Diferena ntre ieirea
procesului y i ieirea predictat cu ajutorul modelului, y , diferen
numit eroare de predicie, este folosit de o procedur de adaptare
recursiv, care, la fiecare moment de eantionare, va modifica
parametrii modelului pentru a minimiza un criteriu de optimizare
ptratic exprimat n funcie de eroarea de predicie. Intrarea u
folosit n experimentul de identificare ca semnal de stimul al
procesului, este n general o secven binar pseudo-aleatoare (SPAB),
generat de calculator (succesiune de impulsuri rectangulare de
durat variabil, cu amplitudinea determinat de caracteristicile
procesului). Odat
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 70
modelul identificat, o validare obiectiv poate fi efectuat cu
ajutorul unor teste statistice aplicate erorii de predicie y y = i
ieirii predictate y . Testul de validare permite ca, pentru un
proces dat, s se aleag cel mai bun algoritm, respectiv cel mai bun
model ca structur pentru estimarea parametrilor.
Figura 3.1. Principiul estimrii parametrice adaptive.
Aceast abordare modern de identificare elimin toate defectele
metodelor clasice i ofer n plus alte posibiliti, cum ar fi:
urmrirea variaiilor parametrilor procesului n timp real,
identificarea modelelor de perturbaie, validarea rezultatelor
experimentului de identificare, etc. Elementul cheie pentru
abordarea prin recuren a mecanismului de identificare a modelelor
dinamice discrete, este algoritmul de adaptare parametric (aap),
care ajusteaz parametrii modelului de predicie pe baza informaiilor
primite din proces, la fiecare pas de eantionare. Acest algoritm
are o structur recursiv, adic noua valoare a parametrilor se obine
din valoarea precedent la care se adaug un termen de corecie
dependent de ultimele msuratori, dup urmtorul principiu
general:
(3.1) n (3.1), vectorul care conine mrimile msurate la intrarea
i ieirea procesului, se numete vector al regresorilor
(observaiilor). Reamintim c exist algoritmi nerecursivi de
identificare parametric, care trateaza n bloc fiierele de date I/O
obinute pe o perioad de timp. Raportat la aceste tehnici,
identificarea recursiv ofer avantajele urmtoare: obinerea unei
Proces discretizat
CNA +
EOZ PROCES CAN
Model discret ajustabil
Algoritm de adaptare parametric
Parametrii modelului
u y
y ^
Parametrii estimai urmtori (vector)
Parametrii estimai cureni (vector)
= +
Amplificare de
adaptare (matrice)
Mrimi msurate regresate (vector)
Eroare de
predicie (scalar)
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 71
estimri a modelului pe msur ce procesul evolueaz, o compresie
important de date, deoarece algoritmii recursivi nu trateaz n
fiecare moment dect o pereche I/O, necesitatea unei memorii i a
unei puteri de calcul sensibil mai reduse, posibilitatea realizrii
unei identificri n bucl nchis, posibilitatea de identificare a
sistemelor cu parametri variabili n timp. Paragraful urmtor este
dedicat prezentrii algoritmilor de identificare bazai pe mecanismul
de adaptare parametric.
3.2 Algoritmi de identificare recursiv pe baz de gradient
Algoritmul de adaptare parametric poate fi proiectat cu ajutorul
unor tehnici de optimizare de tip gradient, mpreun cu un criteriu
ptratic exprimat n funcie de eroarea de predicie. Obiectivul const
n determinarea parametrilor optimali prin minimizarea acestui
criteriu. Considerm un proces cu parametri necunoscui. Modelul
discret al procesului este de tip ARX i poate fi exprimat prin
ecuaiile (1.12) (detaliat) sau (1.15)-(1.16) (n form polinomial),
da pentru k N n loc de 1k + . Dac se introduc notaiile:
1 2 1 2
T
nA nBa a a b b b = i
( ) [ ( 1) ( 2) ( )( 1) ( 2) ( ) ,
T
T
k y k y k y k nA
u k d u k d u k d nB
=
(3.2)
unde este vectorul parametrilor necunoscui ai modelului ARX, iar
este vectorul regresorilor (format din date I/O msurate), modelul
ARX se poate exprima simplu sub forma:
( ) ( ) Ty k k= , k N . (3.3) Plecnd de la exprimarea (3.3), n
care se consider c i vectorul parametrilor variaz n timp, se poate
construi un model de predicie ajustabil ca n ecuaiile (1.12) sau
(1.13). Mai precis:
( )
01
1
( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)
( ) ( ) ( ) ( 1)1 ( ), .
nA
nB
T
y k a k y k a k y k nA
b k u k d b k y k nB d
k k k
+ = + +
+ + + + =
= +
N
(3.4)
De notat c ( )1k + depinde de valori I/O msurate pn la momentul
k , dar nu i la momentul 1k + (a se vedea definiia (3.2)). Se
consider c expresia (3.4) reprezint un predictor a priori. Se poate
arta c acesta este optimal [52], [55], n sensul c minimizeaz
eroarea de predicie a priori, definit prin:
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 72
( ) 0 0( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( )Tk y k y k y k k k + = + + = + +
, k N . (3.5) n mod similar, se poate defini eroarea de predicie a
posteriori, folosind vectorul de parametri estimai la pasul urmtor
(i nu la pasul curent, ca n definiia (3.5)): ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) (
1) 1 ( 1)Tk y k y k y k k k + = + + = + + + , k N . (3.6) Plecnd de
la aceste definiii, se caut un algoritm de adaptare parametric
recursiv, cu memorie. Structura general a unui astfel de algoritm
este urmtoarea (n concordan cu principiul general (3.1)):
( )0 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ), ( ), ( 1)k k k k k k k+ = + + = + +
f , k N , (3.7) unde funcia f care definete corecia aditiv depinde
de informaiile disponibile la momentul 1k + , cel mult. Pentru e
deduce expresia termenului de corecie, se poate rezolva o problem
de minimizare a ptratului erorii de predicie a priori, la fiecare
pas de eantionare:
( )0
20
( )( )
( 1) arg min ( 1)k
k
k k + = +
J
, k N . (3.8)
Soluia problemei (3.8) se poate obine printr-o procedur iterativ
de tip gradient. n acest caz, algoritmul de adaptare parametric are
forma: ( )0( ) ( 1) ( ) ( )kk k k+ = P J , k N , (3.9) unde 0>P
este matricea de adaptare parametric (strict pozitiv definit). De
exemplu, 2= P I , cu R (matrice diagonal constant). Prin derivarea
definiiei (3.5), se obine:
( )0 0
( )0
( 1) ( ) 2 ( 1) ( 1)( ) 2 1 ( 1), .
kk k k k
k k k k
+ = + + = = + + +
P
P N (3.10)
Algoritmul de adaptare parametric exprimat de ecuaia (3.10)
prezint riscul de oscilaie, dac amplificarea de adaptare este mare.
Pentru a evita acest risc, folosim aceeai abordare a gradientului,
dar considerm varianta care folosete un criteriu exprimat n funcie
de eroarea de predicie a posteriori. Cu alte cuvinte, se poate
rezolva o problem de minimizare aletrnativ:
( )1
21
( 1)( 1)
( 1) arg min ( 1)k
k
k k+
+
+ = +
J
, k N . (3.11)
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 73
Soluia problemei (3.11) are aceeai form ca i soluia problemei de
optimizare (3.8), dar adaptat la noul criteriu de optimizare (cu
definiia (3.6)): ( ) ( )1 1( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ) 2 1 ( 1)kk k k k
k k++ = + = + + + P PJ , k N . (3.12) Pentru a compara cele dou
metode de gradient (exprimate de relaiile recursive (3.10),
respectiv (3.12)), poate fi pus n eviden o corelaie ntre cele dou
erori de predicie. Prin combinarea definiiei (3.6) cu relaia
recursiv (3.12), se obine: ( ) ( ) ( )
0
1 1
( 1)
( 1) ( 1) 1 ( ) 2 1 1 ( 1)T Tk
k y k k k k k k +
+ = + + + + + P
,
k N , (3.13) de unde rezult:
( ) ( )0
1 ( 1)( 1)1 2 1 1T
kkk k
+ + =
+ + + P, k N . (3.14)
nlocuind ecuaia (3.14) n relaia recursiv (3.12), se obine:
( )( ) ( )
02 1 ( 1) ( 1) ( )
1 2 1 1Tk k
k kk k+ +
+ = ++ + +
P
P, k N . (3.15)
Algoritmul de gradient (3.15) este mai stabil dect (3.10),
pentru orice matrice de amplificare strict pozitiv definit, datorit
factorului de normare care nsoete corecia.
3.3 Metoda Celor Mai Mici Ptrate n variant recursiv (MCMMP-R)
Folosind algoritmii pe baz de gradient, se minimizeaz ptratul
erorii de predicie la fiecare moment de eantionare. Aceasta se
realizeaz printr-o deplasare dup cea mai rapid direcie de
descretere a oricruia dintre criteriile 0J sau 1J , cu un pas
dependent de matricea de adaptare P . Cu toate acestea, deoarece
pasul de naintare ctre optim este constant, viteza de convergen
este modest. Ar trebui gsit o manier de a opera cu pas variabil. O
posibilitate este dat de reeta general a algoritmilor de gradient
cu pas variabil pentru criterii ptratice, cum este cea a
Algoritmului Gauss-Newton [52], [55]. Complexitatea acestei metode
este ns relativ ridicat. Pentru a obine un pas variabil cu efort
sczut de calcul, se poate considera problema minimizrii erorii
ptratice de predicie globale, evaluate pe ntregul orizont de msur
curent. Aceasta se formueaz nsumnd ptratele erorilor de predicie a
priori pe orizontul de msur, calculate cu ajutorul vectorului
curent de parametri:
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 74
( )( )
2
( ) 0( )
( 1) arg min ( 1) 1 ( )k
T
k n
k
k y n n k=
+ = + +
J
, k N . (3.16)
Soluia problemei (3.16) este oferit de Metoda Celor mai Mici
Ptrate n variant recursiv (MCMMP-R). Exist dou strategii de
determinare a soluiei: fie utiliznd o metoda de gradient (ca n
seiunea precedent), fie printr-o abordare matricial, ingenioas. Vom
descrie a doua strategie (prima menionat putnd constitui un
exerciiu util pentru cititor). Pentru a deduce relaiile recursive
ale algoritmului aferent MCMMP-R (care concur la determinarea
vectorului corector ( 1)k + din (3.7)), se pleac de la expresia
estimaiei parametrilor necunoscui n variant nerecursiv [52], [55].
Aceasta poate fi exprimat astfel nct s fie pus n eviden pasul
curent de eantionare:
1
0 0
( ) ) ( ) ) ( )k k
T
n n
k n n n y n
= =
= ( (( (( (( ( , k N . (3.17)
Teorema fundamental a MCMMP ofer, printre altele, posibilitatea
de a determina matricea de auto-covarian a erorii de estimare
relative la vectorul parametrilor din (3.17), tradiional notat prin
( )( )kP . Astfel, conform teoremei, ea este proporional chiar cu
matricea inversat din ecuaia (3.17). Aceasta sugereaz notarea
matricii inversate din (3.17) prin ( )kP . Aadar, prin
definiie:
1
0( ) ) ( )
kT
n
k n n
=
= P ( ( ( ( , k N . (3.18)
De notat c matricile ( )kP sunt toate simetrice i (strict)
pozitiv definite, deoarece matricile care au fost inversate au i
ele aceast proprietate. Un prim pas n calea deducerii unei relaii
recursive ntre vectorii parametrilor l constituie utilizarea unei
recurene evidente pe care o verific matricile 1( )kP :
11
0 01
( ) ) ( ) ) ( ) ) ( )
( 1) ) ( ), ,
k kT T T
n n
T
k n n n n k k
k k k k
= =
= = + =
= +
P
P N
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
( ( ( ( (3.19)
unde (0)P este o matrice iniial arbitrar aleas, cu condiia s fie
simetric i (strict) pozitiv definit. Folosind recurena (3.19) (i
acelai artificiu ca n deducerea acestei recurene) egalitatea (3.17)
devine (pentru k N ):
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 75
( )( )
( )
1
0 0
1
1
1
( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ) ( )
( 1) ( 1)( ) ( 1) ( 1) ) ( )
( ) ( ) ) ( ) ( 1) ) ( ) ( 1) ( ) ) ( ) ( ) ( 1) .
k k
n n
T
T
k k n y n k n y n k y k
k k
k k k k y k
k k k k k k y k
k k k y k k k
= =
= = + =
= + =
= + =
= +
P P
P
P P
P P
P
( ( (( ( (( ( (( ( (
((((( (( (( (( (
( ( ( (
(3.20)
n relaia recurent (3.20), este remarcabil faptul c estimaia
curent a vectorului parametrilor necunoscui se exprim prin simpla
adugare a unui vector corector. Procesul recursiv pleac de la o
valoare iniial (0) oarecare. Rezult c vectorul corector este
definit prin:
( )( ) ( ) ) ( ) ( ) ( 1)Tk k k y k k k= P ( ( ( ( , k N (3.21)
i pune n eviden doi factori remarcabili. Primul dintre ei este
chiar eroarea de predicie a priori a modelului de regresie de la
pasul anterior (a se vedea definiia (3.5)):
0 ( ) ( ) ( ) ( 1)Tk y k k k = , k N . (3.22) Pentru a
reactualiza parametrii este aadar necesar prognozarea ieirii
procesului furnizor de date folosind istoria valorilor acesteia pn
la pasul curent. Al doilea factor este un vector definit prin:
( ) ( ) )k k k= P (((( , k N . (3.23) i se numete ctig (de
senzitivitate). Rolul su este de a pondera eroarea de predicie
pentru fiecare component a vectorului parametrilor estimai. Nu toi
parametrii sunt la fel de sensibili la reactualizare, acest lucru
justificnd prezena ctigului n expresia vectorului corector. Cu
definiiile (3.22) i (3.23), ecuaia recurent (3.20) devine:
0 ( ) ( 1) ( ) ( )k k k k= + , k N . (3.24)
n acest moment, ecuaiile (3.22)-(3.24) ar putea constitui esena
algoritmului aferent al MCMMP-R. Acest algoritm sufer ns de un
inconvenient major: pentru evaluarea ctigului cu definiia (3.23)
este necesar inversarea unei matrici la fiecare pas de
reactualizare. Aa cum se tie, efortul de calcul necesar acestei
operaii este proporional cu puterea a treia a dimensiunii matricii
, adic a lungimii vectorului parametrilor modelului de
identificare. Chiar dac se exploateaz
Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt
Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt
Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt
Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 76
proprietile de simetrie ale acestor matricilor, efortul de
calcul nu se reduce semnificativ. n anumite situaii (de exemplu cnd
perioada de eantionare are valori mici, iar numrul de parametri are
valori mari), este posibil ca urmtorul set de date achiziionate s
fie disponibil nainte de ncheierea calculelor pentru reactualizarea
vectorului de parametri, din cauza operaiei de inversare, care este
mare consumatoare de timp. Din acest motiv, algoritmul trebuie
optimizat, n sensul evitrii operaiei de inversare, dac este
posibil. Din fericire, un rezultat remarcabil din Teoria Matricilor
permite optimizarea algoritmului n sensul dorit. Este vorba despre
lema de inversare matricial exprimat prin:
( ) 1 11 1 11T
TT
+ = +
A bb AA bb Ab A b
, (3.25)
pentru orice matrice inversabil A i orice vector b cu dimensiune
corespunztoare acesteia. Astfel, relaia de recuren (3.19) poate fi
exprimat cu ajutorul lemei (3.25), n mod echivalent, astfel:
11 ( 1) ) ( ) ( 1)( ) ( ) ) ( ) ( 1)1 ( ) ( 1) )
TT
T
k k k kk k k k kk k k
= + = +
P PP P PP
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ,
k N . (3.26) Matricea ( 1)k P fiind (strict) pozitiv definit,
numitorul fraciei din ecuaia (3.26) este ntotdeauna strict pozitiv,
deci inversabil. Relaia de recuren (3.26) ilustreaz un aspect
remarcabil: la fiecare pas de reactualizare, efortul depus pentru
inversarea matricii la pasul anterior este conservat, fiind necesar
doar o corecie n care nu se mai inverseaz o matrice, ci un scalar.
Se poate observa cu uurin c, datorit simetriei matricii ( 1)k P ,
efortul de calcul implicat de relaia (3.26) este acum proporional
cu ptratul lungimii vectorului parametrilor, ceea ce poate conduce
la o mbuntire semnificativ (n special n cazul modelelor complexe).
Algoritmul aferent MCMMP-R poate fi i mai mult optimizat, dac
relaia recurent (3.26) este folosit n evaluarea ctigului (3.23).
Astfel, se constat verificarea urmtoarei proprieti remarcabile
(pentru k N ):
( 1) ) ( ) ( 1) )( ) ( ) ) ( 1) )1 ( ) ( 1) )
( 1) ) ( 1) ) ( ) ( 1) )
T
T
T
k k k k kk k k k kk k k
k k k k k k k
= = =
+
+ =
P P P P
P
P P P
( (( (( (( (( (( (( (( ( ( ( ( (
( ( (( ( (( ( (( ( (1 ( ) ( 1) )
( 1) ) ( ) ( 1) )
T
T
k k k
k k k k k
+
P
P P
( ( ( (( (( (( (( (
1 ( ) ( 1) )( 1) )
.
1 ( ) ( 1) )
T
T
k k kk kk k k
=
+
=
+
PP
P
( ( ( (((((
( ( ( (
(3.27)
Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 77
Rezult c relaia recursiv a matricilor inverse (3.26) poate fi
simplificat: ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1)Tk k k k k= P P P , k N . (3.28)
Varianta de baz a algoritmului aferent MCMMP-R este aadar
constituit din relaiile (n aceast ordine): (3.22) (eroarea de
predicie a priori), (3.27) (ctigul de senzitivitate), (3.28)
(matricile de auto-covarian a erorii de estimare) i (3.24)
(vectorul urmtor al parametrilor estimai). Pentru iniializarea
algoritmului, exist dou strategii. Dac nu sunt disponibile
informaii referitoare la procesul furnizor de date nainte de
iniierea calculului recursiv, se apeleaz la o iniializare neutr,
care const n:
(0) ales arbitrar (eventual nul) i 0(0) = P I , cu 0 + R .
(3.29) Altfel, se apeleaz la o iniializare personalizat. Astfel,
mai nti, se iniiaz achiziia datelor furnizate de proces n manier
off-line, pe un orizont de msur redus (cel mult de ordinul zecilor
de date aciziionate). Apoi, se apeleaz la una dintre metodele de
identificare nerecurente, de preferin din clasa MCMMP, pentru a
evalua matricea (0)P i vectorul (0) . De notat c matricea se obine
prin inversare, de aceast dat. Operaia de inversare se execut ns
numai o singur dat, n etapa de iniializare. De exemplu, n cazul
utilizrii MCMMP, iniializarea personalizat const n:
11
0(0) ) ( )
NT
n
n n
=
= P ( ( ( ( i
1
0
(0) (0) ) ( )N
n
n y n
=
=
P (((( . (3.30)
De regul, iniializrile personalizate conduc la timpi tranzitorii
mai mici n procesul recursiv de adaptare a parametrilor dect
iniializrile neutre, numai c ele necesit un set de date
achiziionate a priori. Dei nu se specific explicit, dac este
disponibil, setul redus de date achiziionate trebuie centrat pe
medie, pentru evitarea pierderii consistenei din cauza erorilor
sistematice de msur. De notat totui c iniializarea acestui algoritm
este important doar n stabilirea timpului tranzitoriu necesar
pentru ca parametrii estimai s nceap s i urmreasca pe cei adevrai,
dar, aa cum s-a demonstrat, ea nu are influen asupra consistenei
estimaiei [55]. Cu toate acestea, este recomandat ca matricea
iniial (0)P s fie (strict) pozitiv definit i simetric. Dac ea nu
verific aceste proprieti, algoritmul continu s funcioneze, dar
rezultatele sale pot fi extrem de eronate n zona tranzitorie.
MCMMP-R este folosit n numeroase aplicaii, de exemplu de reglare
adaptiv sau de filtrare adaptiv. (Alte versiuni ale acestei metode
sunt descrise n [55].) Algoritmul de identificare aferent arat c
ecuaia de reactualizare (3.24) are o form similar ecuaiei (3.15)
obinut prin Metoda Gradientului. Cu toate acestea, matricea de
amplificare este acum variabil n timp i corecteaz automat att
direcia gradientului, ct i lungimea pasului de avans.
Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 78
Mai mult, acest n cadrul acestui algoritm, amplificarea de
adaptare este descresctoare, n sensul c matricea ( 1) ( )k k P P
este pozitiv semi-definit la orice pas de adaptare k N (a se vedea
relaia (3.26)). Aceasta implic faptul c, n cursul reatualizrii
parametrilor, este acordat din ce n ce mai puin pondere noilor
erori de predicie, deci noilor msurtori. Alte tipuri de ponderare a
erorilor de predicie n vederea evalurii coreciei pot fi de asemenea
considerate.
3.4 Variante ale MCMMP-R utilizate n comanda numeric Formula de
reprezentare a inversei amplificrii de adaptare (3.19) se
generalizeaz prin introducerea a dou ponderi 1 i 2 care variaz n
intervalul (0,1] , aa cum este indicat n continuare:
1 11 2( ) ( 1) ( 1) ( 1) ) ( )Tk k k k k k = + P P ( ( ( ( , k N
. (3.31)
Cele dou ponderi din ecuaia (3.31) au efecte opuse: creterea lui
1 provoac o cretere a amplificrii de adaptare, n timp ce creerea
lui 2 conduce la diminuarea acesteia. Pentru fiecare alegere a
ponderilor se produce un profil de variaie a amplificrii de
adaptare i o interpretare difereniat n termenii criteriului ptratic
de eroare. Prin aplicarea lemei de inversare matricial (3.25)
asupra relaiei recursive (3.31), se obine o relaie recursiv
generalizat verificat chiar de amplifcarea de adaptare:
11
2
1 ( 1) ) ( ) ( 1)( ) ( 1) ( 1)( 1) ( ) ( 1) )( 1)
T
T
k k k kk k kk k k kk
= +
P PP PP
( ( ( ( ( ( ( (
,
k N . (3.32) Criteriul de minimizare trebuie de asemenea
generalizat, astfel nct s se in cont de ponderile 1 i 2 . O
generalizare frecvent utilizat n aplicaii conduce la urmtoarea
problem de minimizare:
( )( ),1 2
21 2
( ) 0( )
( 1) arg min ( ) ( ) ( 1) 1 ( )k
k n n T
k n
k
k k k y n n k
=
+ = + +
J
,
k N . (3.33) Practic, asupra erorilor de predicie acioneaz acum
dou ferestre exponeniale alunectoare: una, cu baza 1 , care
amplific datele recente, depondernd datele
Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt
Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt
Formatted: Font: 11 pt, Romanian(Romania), Lowered by 5 pt
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 79
nvechite i alta, cu baza 2 , care, din contr, amplific datele
mai vechi, depondernd datele recente. n continuare, vor fi
precizate cteva alegeri posibile pentru cele dou ponderi, alegeri
nsoite de interpretri corespunztoare, referitoare la
aplicabilitatea algoritmului asociat MCMMP-R generalizate
(MCMMP-RG). 3.4.1 MCMMP-RG cu amplificare descresctoare n acest
caz: 1 2( ) ( ) 1k k = = , k N . (3.34) Acesta este cazul
particular care conduce la MCMMP-R n varianta de baz. Amplificarea
de adaptare are un profil descresctor, recomandat n identificarea
proceselor (cvasi-)staionare. 3.4.2 MCMMP-RG cu factor de uitare
constant n acest caz: 1( ) (0,1)k = & 2( ) 1k = , k N , (3.35)
Valorile tipice ale constantei (numit i factor de uitare) sunt:
[0.95,0.999] . Criteriul de minimizare trebuie de asemenea
adaptat profilului amplificrii de adaptare prin ponderarea
ptratelor erorilor de predicie cu o fereastr alunectoare de tip
exponenial, avnd baza egal cu factorul de uitare:
( )( )
2
( ) 0( )
( 1) arg min ( 1) 1 ( )k
k n T
k n
k
k y n n k
=
+ = + +
J
, k N . (3.36)
Efectul premeditat al factorului de uitare este acela de a
introduce o atenuare din ce n ce mai puternic asupra datelor
nvechite, care trebuie s fie din ce n ce mai repede uitate.
Ponderea maxim este deinut de ultimul termen al sumei din definiia
criteriului J , adic de ultima eroare de predicie. Acest profil al
amplificrii de adaptare este recomandat n identificarea proceselor
cu parametri lent variabili n timp.
3.4.3 MCMMP-RG cu factor de uitare variabil n acest caz: 1 1 2(
) ( 1) (1 ) ( 1)k k k = + & 2( ) 1k = , k N . (3.37) unde
[0.95,0.999] este un factor de compromis. Procesul recursiv al
ponderii
1 (factorul de uitare variabil) debuteaz cu o valoare iniial
aleas tot n
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 80
intervalul [0.95,0.999] . Se observ c irul factorilor de uitare
este cresctor, limita sa fiind egal cu 1. n acest context, problema
de optimizare se reformuleaz astfel:
( )( )( )
2
( ) 0( )
( 1) arg min ( ) ( 1) 1 ( )
k
kk n T
k n
k
k k y n n k
=
+ = + +
J
, k N . (3.38)
Cum factorul de uitare tinde asimptotic la 1, rezult c efectul
de uitare este mai pronunat pentru datele iniiale dect pentru
datele ndeprtate de momentul iniierii adaptrii. Profilul
amplificrii de adaptare tinde spre un comportament descresctor.
Acest tip de algoritm este recomandat n identificarea proceselor cu
parametri care se stabilizeaz la valori staionare, dup o anumit
durat de timp.
3.4.4 MCMMP-RG cu urm constant n acest caz, ponderile sunt alese
automat la fiecare pas de adaptare, astfel nct s se asigure o
valoare constant a urmei matricii de amplificare (suma termenilor
diagonali ai acesteia trebuie s fie constant): [ ] [ ] 0Tr ( ) Tr
(0)k n= = P P , k N . (3.39) n ecuaia (3.35), n este numrul de
parametri ai vectorilor ( )k , iar 0 1,4 este ctigul iniial. Pentru
deducerea restriciei verificate de cele dou ponderi, se poate
aplica operatorul Tr (urm = trace, n limba englez) asupra recurenei
(3.32):
[ ] [ ]011
2
2
011
2
Tr ( 1) ) ( ) ( 1)1Tr ( ) Tr ( 1) ( 1)( 1) ( ) ( 1) )( 1)
1 ( ) ( 1)) ), .( 1)( 1) ( ) ( 1) )( 1)
T
T
T
T
k k k kk n k kk k k k
k
k k kn kkk k k k
k
= = = +
= +
P PP P
P
P
PN
( ( ( ( ( ( ( (
( ( ( ( ( ( ( (
(3.40) Relaia (3.40) s-a obinut innd cont de cteva proprieti
elementare ale operatorului Tr , cum ar fi: liniaritate, urma unui
scalar este egal cu acel scalar i
[ ] [ ]Tr Tr=AB BA , chiar dac produsul matricilor nu este
comutabil (n general, AB BA ). Dup cteva calcule algebrice
elementare, din (3.40) rezult restricia:
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 81
[ ]2
0 12
0 1
1 ( )( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 1)Tn k
kk k n k k k
=+ + +P I P ( ( ( ( , k N . (3.41)
Evident, n (3.39), numitorul nu se poate anula, fiind strict
pozitiv. De aceast dat, ambele ponderi intervin n exprimarea
criteriului de minimizare (de exemplu, ca n ecuaia (3.33)), ntre
ele existnd corelaia (3.41). Acest profil asigur o vitez de
convergen suficient de mare, cu pstratea unei amplificri de
adaptare aproximativ constante (mai ales dac se pleac de la o
matrice diagonal). Metoda este recomandat n identificarea
proceselor ai cror parametri prezint o variabilitate medie sau
rapid n timp.
3.4.5 MCMMP-RG cu amplificare descresctoare i urm mrginit n
acest caz, se realizeaz o combinaie ntre condiiile (3.34) i (3.39),
cu nlocuirea celei din urm prin:
[ ] 0Tr ( )k n P , k N . (3.42) Profilul de atenuare rezutat
este recomandat n identificarea proceselor cu parametri variabili n
timp, atunci cnd lipsesc informaiile cu ajutorul crora s-ar putea
construi o iniializare a algoritmului de adaptare.
3.4.6 MCMMP-RG cu factor de uitare variabil i urm mrginit n
acest caz, se realizeaz o combinaie ntre condiiile (3.37) i (3.42),
eventual, cu eliminarea condiiei ca 2 s fie unitar. Dac s-ar impune
condiia de urm constant (adic inegalitatea (3.42) s-ar verifica la
limit, pentru fiecare pas de adaptare), atunci ecuaiile (3.37) i
(3.41) ar constitui un sistem cu dou necunoscute (cele dou
ponderi). Dac sistemul este compatibil, cu cel puin o soluie valid
(ambele ponderi subunitare), atunci MCMMP-RG rezultat este cu
factor de uitare variabil i urm constant. Ambele variante sunt
recomandate n identificarea proceselor cu varibilitate medie sau
rdicat, srace n informaii preliminare capabile s conduc la o
iniializare personalizat a procedurii de adaptare parametric.
3.4.7 MCMMP-RG cu amplificare constant n acest caz: 1( ) 1k =
& 2( ) 0k = , k N , (3.43) ceea ce, mpreun cu (3.32), produce
imediat: ( ) (0)k =P P , k N , (3.44) de unde i numele metodei. De
fapt, am revenit la algoritmul rezultat prin aplicarea Metodei de
Gradient i cercul se nchide. Acest algoritm este recomandat n
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 82
identificarea proceselor staionare sau variabile n timp, dar cu
puini parametri i n prezena unui nivel sczut de zgomot.
Performanele sunt eident inferioare celor oferite de cazurile
anterioare, dar complexitatea este mai mic.
Din prezentarea anterioar, rezult c matricea de amplificare (
)kP (sau urma acesteia) constituie o msur a vitezei de convergen.
Acest fapt era de ateptat, deoarece matricea de auto-covarian a
erorii de estimare joac acelai rol. Practic, ambele matrici msoar
gradul de grupare a parametrilor estimai n jurul valorilor
adevrate. Cu ct ele se grupeaz mai rapid, cu att matricile descresc
mai rapid (la fel ca i urmele lor). Dac descreterea matricilor (
)kP este nesemnificativ, atunci fie s-a ajuns la valori staionare
ale parametrilor, fie identificarea a euat (n special din cauza
semnalelor de stimul alese inadecvat). Oricum, dac iniializarea
procedurii de reactualizare nu poate fi dect neutr, se recomand
alegerea unui ctig iniial 0 suficient de mare (de ordinul miilor).
Pentru iniializrile personalizate, chiar dac (0)P este produs
automat (de exemplu, ca n (3.30)), uneori se prefer nlocuirea
acesteia cu o matrice diagonal constant, ca n cazul iniializrii
neutre, dar alegnd un ctig iniial subunitar.
3.5 Validarea modelelor de identificare Adecvana unui model de
identificare trebuie testat n finalul experimentului de
identificare. Nu este suficient ca modelul s fie corect determinat
att ca structur ct i ca parametri. El poate s nu fie un model
valid, n special din cauza caracterului su particular pronunat, n
raport cu datele achiziionate. Inadecvana sa se manifest n special
atunci cnd datele simulate sunt foarte diferite de datele
achiziionate de la procesul furnizor de date ntr-un nou experiment
econometric, altul dect cel n urma cruia au rezultat datele de
identificare, dar efectuat n aceleai condiii. Aadar, odat
determinat, orice model de identificare trebuie validat. Validarea
const practic n comparaia dintre un set de date achiziionate i
setul de date simulate cu ajutorul modelului, ambele fiind generate
prin stimularea cu acelai semnal de intrare. Setul de date trebuie
s fie produs ntr-un experiment econometric diferit de cel n urma
cruia au rezultat datele utilizate pentru determinarea modelului,
dar ambele experimente se desfoar n aceleai condiii sau foarte
asemntoare. n aceast seciune, va fi prezentat una dintre metodele
cele mai cunoscute de validare, corespunztoare MCMMP, numit i test
de albire. Presupunerea de la care se pleac n definirea testului de
albire este c datele achiziionate din proces au o distribuie
Gaussian. Dac testul de albire este trecut cu succes, atunci se
consider c:
modelele de sistem util (filtru raional cu poli i zerouri) i de
perturbaie (filtru raional avnd aceiai poli ca i sistemul util)
sunt adecvate i valide, adic reprezentative pentru procesul de
identificat;
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 83
metoda de identificare corespunde modelului de identificare
propus; structura polinoamelor A i B (gradele lor), precum i
valoarea ntrzierii
pure d au fost corect specificate. Principiul care st la baza
testului de albire este urmtorul: dac modelul determinat este
adecvat, eroarea de predicie dintre datele simulate i cele
achiziionate tinde s fie un zgomot alb Gaussian pe msur ce
orizontul de msur crete (de unde i numele de test de albire).
Proprietatea de necorelare se exprim prin:
( ) ( ){ }0 0 lim , , 0N NN E n n k = , ,n k N , (3.45) unde 0
este eroarea de predicie a priori definit n (3.5), iar N
(specificat acum explicit ca variabil de care depinde 0 ) reprezint
estimaia vectorului parametrilor pe un orizont de msur de
dimensiune N . Condiia (3.45) are dou dezavantaje majore. n primul
rnd, ea este greu (dac nu imposibil) de verificat n practic. n al
doilea rnd, nu se face referire la tipul de distribuie a erorii de
predicie. De aceea, o form practic a Testului de albire se bazeaz
pe proprietile distribuiei Gaussiene de medie nul i deschidere
0 /N N = (adaptiv, n funcie de dimensiunea orizontului de msur).
Parametrul 0 este determinat de gradul de corelaie existent ntre
valorile variabilelor aleatoare avnd aceast distribuie. Orice
astfel de variabil aleatoare produce valori ntr-un interval
oarecare [ , ] + cu un nivel de ncredere ( )N . Nivelul de ncredere
exprim de fapt probabilitatea ca variabila aleatoare s produc
valori n intervalul specificat, deci este egal cu aria de sub
graficul distribuiei peste acel interval. Zgomotului alb Gaussian i
corespund intervalele i nivelele de ncredere tipice asociate din
Tabelul 3.1.
Tabelul 3.1. Intervale i nivele de ncredere tipice pentru
validarea modelelor.
[ , ] + 2.17 2.17,N N
+
1.96 1.96,
N N +
1.808 1.808,
N N +
( )N 97% 95% 93%
Informaia din tabel poate fi fructificat n proiectarea versiunii
practice a testului de albire. Pentru aceasta, se evalueaz mai nti
un numr de valori ale secvenei de auto-corelaie asociate erorii de
predicie:
( ) ( )1
1 ( ) , ,
N
N Nn k
r k n n kN k
= +
=
, 0, 4Nk
(auto-covarian);
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 84
( )( ) (0)r kkr
= ,
4,0 Nk (auto-corelaie). (3.46)
Evaluarea din (3.46) se oprete la aproximativ un sfert din
dimensiunea orizontului de msur, deoarece, dincolo de acest prag,
erorile de calcul acumulate devin importante. (n suma de definiie a
funciei de auto-covarian rmn din ce n ce mai puini termeni.) La
pasul urmtor trebuie contorizat numrul de valori ale secvenei de
auto-corelaie ce aparin fiecruia din intervalele de ncredere ale
tabelului anterior. Acestea se normalizeaz apoi cu numrul total de
valori calculate ale lui (adic / 4 1N + ) i se exprim n procente. n
final, se compar procentajele obinute cu nivelele de ncredere ale
tabelului. Pentru un interval de ncredere ales, Testul de albire
este pozitiv (adic modelul este validat) dac procentul de valori
ale lui din interval este cel puin egal cu nivelul de ncredere
corespunztor. Astfel, criteriul ofer 4 nivele de validare:
Nivelul 0: nici unul dintre cele 3 teste de albire nu este
pozitiv (model i/sau metod de identificare invalide).
Nivelul 1: doar unul dintre cele 3 teste de albire este pozitiv
(model i/sau metod de identificare la limita de validitate).
Nivelul 2: dou dintre cele 3 teste de albire sunt pozitive
(model i/sau metod de identificare valide, dar cu validitate
limitat; pentru anumite tipuri de intrri, modelul s-ar putea s nu
funcioneze corect).
Nivelul 3: toate cele 3 teste de albire sunt pozitive (model
i/sau metod de identificare valide, cu validitate extins la
majoritatea covritoare a tipurilor de intrri, dac procesul furnizor
de date a fost stimulat cu semnale din clasa SPAB).
Dac testul de albire a fost trecut cu succes de ctre mai multe
modele de identificare, se va alege modelul de complexitate minim
(conform Principiului parsimoniei [52], [55]). Subliniem nc o dat o
validare complet i corect a modelului de identificare se efectueaz
utiliznd o nou secven de I/O achiziionat din proces, diferit de cea
care a servit pentru identificare. Exist un alt aspect al validrii
care trebuie considerat. Dac raportul dintre energia erorilor de
predicie rezidual i cea a datelor de ieire este foarte sczut (de
exemplu, sub -60 dB), testul de albire devine inutil. Aceasta, pe
de o parte, pentru c nivelul de zgomot este att de mic nct efectul
asupra estimaiilor parametrilor determinai cu ajutorul MCMMP este
neglijabil i, pe de alt parte, pentru c zgomotul rezidual poate s
conin, n acest caz, o component semnificativ care nu este gausian
(de exemplu, zgomotul provocat de propagarea erorii de rotunjire).
Aceast situaie apare, de exemplu, la identificarea pornind de la
fiiere de date I/O utilizate n simulri ale modelelor fr zgomot.
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 85
3.6 Algoritmi de identificare n bucl nchis n practic, exist
multe situaii n care identificarea n bucl deschis este dificil sau
imposibil de realizat (de exemplu, un proces cu un comportament
integrator sau instabil n bucl deschis, etc.). Exist de asemenea
sisteme automate n care procesul are parametri variabili n timp i
prezena unui regulator pentru controlul unui astfel de proces este
obligatorie; n acest caz se impune, n mod evident, utilizarea
identificrii n bucl nchis pentru configuraii de sisteme adaptive de
reglare. Importana practic a identificrii n bucl nchis este
recunoscut n literatura de specialitate i dovedit prin apariia i
dezvoltarea unor metode specifice [26]. Ideea central este de a
utiliza, pe ct posibil, aceleai tehnici de identificare folosite n
bucl deschis (spre exemplu, algoritmii afereni MCMMP), n timpul
exploatrii sistemului n bucl nchis, cu precauii suplimentare. Dou
puncte de vedere pot fi evideniate. n primul, se ncearc reducerea
problemei identificrii n bucl nchis la proceduri aferente MCMMP-R
pentru bucl deschis, din motive de ordin practic, algoritmii i
metodele de identificare n bucl deschis fiind bine cunoscute i
validate la ora actual. Acest punct de vedere a condus la apariia
metodelor CLOE (closed-loop output-error) care, n locul erorii de
predicie din algoritmul de adaptare bazat pe MCMMP-R, utilizeaz
eroarea de ieire CL pentru ajustarea parametrilor modelului de
predicie, n cazul sistemelor n bucl nchis. Aceste metode furnizeaz
ns estimri nedeviate numai pentru anumite tipuri de perturbaii. Al
doilea punct de vedere poate fi considerat o extensie a primului i
se bazeaz pe observaia conform creia, ntr-o configuraie de sistem n
bucl nchis, comanda i perturbaia sunt corelate. Metodele prezentate
au la baz aceeai utilizare a algoritmilor n bucl deschis, ns n
cadrul unor scheme particulare, care permit o decuplare virtual a
comenzii de perturbaie. Aceste metode sunt cunoscute sub denumirea
de metode directe i metode indirecte de identificare n bucl nchis.
Vom trata cele dou abordri i vom acorda o atenie mai mare primului
caz, deoarece algoritmii cu care se opereaz sunt prezentai n
formula cunoscut de la identificarea n bucl deschis i n consecin
sunt mai simplu de implementat.
3.6.1 Principiul algoritmilor de identificare n bucl nchis
Algoritmii prezentai n aceast seciune funcioneaz dup principiul
adaptrii parametrice, bazat pe eroarea de predicie de la
identificarea n bucl deschis. Aceti algoritmi prelucreaz, de fapt,
eroarea de ieire, ca diferen ntre ieirea sistemului de calcul, cu
modelul ajustabil inclus, i ieirea sistemului fizic de reglare care
include procesul. O schem de principiu pentru identificarea n bucl
nchis este prezentat n Figura 3.2, unde regulatorul numeric este de
tip RST.
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 86
Figura 3.2. O schem de identificare n bucl nchis.
Obiectivul identificrii este de a minimiza un criteriu exprimat
n funcie de eroarea dintre ieirea procesului i cea a modelului
adaptiv (AAP = algoritm de adaptare parametric), obinnd estimri mai
bune pentru noile modele, care sunt utilizate eventual la
algoritmul de reglare. n aceast schem putem evidenia dou tipuri de
algoritmi de identificare n bucl nchis:
1. Algoritmi recursivi de identificare n bucl nchis de tip
eroare de ieire, unde parametrii modelului sunt ajustai printr-un
AAP care utilizeaz eroarea CL n locul erorii de predicie
standard
0 . Aa cum ilustreaz i Figurile 3.1 i 3.2, cele dou erori nu
sunt formal diferite (se definesc la fel), ns ieirea modelului y se
evalueaz cu intrri diferite. n bucl deschis (Figura 3.1), procesul
i modelul funcioneaz cu aceeai intrare u , de aceea ieirea
modelului y este o valoare predictat a ieirii procesului. n bucl
nchis (Figura 3.2), intrarea modelului u este fabricat de ctre
regulatorul RST plecnd de la ieirea modelului y i nu a procesului y
, de aceea ea este doar o ieire simulat.
2. Algoritmi recursivi de identificare n bucl nchis cu date
filtrate. Ecuaiile predictorului se pot exprima utiliznd mrimile de
comand u , de ieire y
PROCES
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 87
i eroarea de ieire CL . Acest fapt conduce la o exprimare a
erorii de predicie utilizat de algoritmul aferent MCMMP-R pentru
identificarea n bucl deschis, calculat cu date filtrate.
Pentru ambele categorii de algoritmi, scopul este acelai:
estimarea parametrilor procesului, exprimat ca i modelul, dar cu
parametrii adevrai n locul parametrilor necunoscui sau estimai.
Spre deosebire de cazul buclei deschise, procesul este acum un
model de tip eroare de ieire (OE output error) i nu de tip ARX. Dac
se noteaz prin A i B cele dou polinoame ale funciei de sistem care
descrie procesul (definite ca n (1.16), dar cu simbolul adugat n
notaia coeficienilor), atunci, conform Figurii 3.2, ecuaia ieirii
se poate exprima ca mai jos:
( ) ( )( ) ( )* 1
* 1( )d B qy k q u k w k
A q
= + , k N (3.47)
unde w reprezint perturbaiile care afecteaz procesul.
Echivalent, ecuaia (3.47) se poate exprima prin:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
* 1 * 1 * 1
* 1
1
, .T
y k A q y k B q u k d A q w k
k A q w k k
= + + =
= + N (3.48)
Vectorul regresorilor din (3.48) este definit prin: ( ) ( ) ( )
( ) ( )1 ... 1 ...T k y k y k nA u k d u k d nB = , k N . (3.49)
Comanda procesului este produs de regulatorul RST (exprimat prin
cele 3 polinoame din definiia (1.25)):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
11 1
1 1
1 ( ) ( ) uR q
u k T q r k R q y k r k y kS q S q
= = , k N , (3.50)
unde r este mrimea de referin, iar cu ur este un semnal de
excitaie extern aplicat aditiv la ieirea regulatorului. n acest
context, ecuaia modelului de predicie cu parametri variabili n timp
este:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
1 1 1 1
1 ( ) , ,
k k
T
y k A q y k B q u k d
k k k
+ = + + + =
= + N (3.51)
cu notaii naturale.
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 88
Comanda modelului de predicie este fabricat de ctre acelai
regulator RST, dar opernd cu ieirea predictat n locul celei msurate
din proces:
( ) ( ) ( )( ) ( )1
1
u
R qu k r k y k
S q
= , k N . (3.52)
Eroarea de predicie/ieire este definit atunci n mod natural
exact ca n (3.5): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ( )TCL k y k y k y
k k k + = + + = + + , k N . (3.53) Diferena dintre definiiile (3.5)
i (3.53) este dat de maniera n care se evalueaz ieirea predictat.
Se observ c, pentru valori constante ale parametrilor estimai,
vectorul curent al regresorilor modelului, ( )k , depinde
(implicit) numai de semnalele de referin extern ( r sau ur ). Dac
acestea nu sunt corelate cu perturbaia w , nici vectorul
regresorilor nu este curelat cu aceasta. Pentru toate metodele de
identificare n bucl nchis, algoritmul de adaptare parametric are
aceeai form general de exprimare, obinut prin combinarea Metodei de
Gradient cu MCMMP-RG, pentru orice k N :
1 11 2 ( 1) ( ) ( ) ( ) 1) ( 1)Tk k k k k k + = + + +P P ( ( ( (
; (3.54)
11
2
1 ( ) 1) ( 1) ( )( 1) ( ) ( )( ) ( 1) ( ) 1)( )
T
T
k k k kk k kk k k kk
+ +
+ = + + +
P PP PP
( ( ( ( ( ( ( (
; (3.55)
( ) ( )0
1 ( 1)( 1) 1 1 ( ) 1T
kkk k k
+ + =
+ + +P ; (3.56)
1 ( 1) ( ) ( 1) 1) ( 1)k k k k k+ = + + + + P (((( . (3.57)
n grupul de ecuaii recursive (3.54)-(3.57), dei 0 este tot
eroarea de predicie a priori i 1 tot eroarea de predicie a
posteriori, ele se evalueaz diferit fa de cazul proceselor n bucl
deschis. Ceilali parametri ai reetei recursive (ponderile
1 , 2 i iniializrile) sunt precizai ns n aceeai manier ca n
cazul proceselor funcionnd n bucl deschis (dei, uneori, 2 (0,2) ).
De altfel rolul lor este acelai, precizat n cadrul seciunilor
precedente. Pentru fiecare metod de identificare n bucl nchis se va
preciza maniera de calcul a celor dou erori de predicie i a
parametrilor algoritmului.
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 89
De notat c, pentru acest algoritm, este necesar ca regulatorul
RST s fie cunoscut. Aceasta nu constituie o restricie, avnd n
vedere strategia prezentat n primul capitol, sumarizat de diagrama
logic din Figura 1.2. Pe baza modelului de identificare rezultat,
se va proiecta ulterior o variant mbuntit a regulatorului RST,
urmat de o nou identificare, apoi de o nou mbuntire a
regulatorului, etc. n paragrafele care urmeaz, sunt descrii o serie
de algoritmi particulari, n care se precizeaz maniera de calcul a
erorii de predicie a priori, 0 (de regul, n funcie de eroarea de
ieire CL sau de o estimaie a acesteia). De altfel, uneori se
apeleaz la urmtoarea terminologie natural. Astfel, se pot defini
doi predictori cu ajutorul vectorilor estimai ai regresorilor i
parametrilor. Primul este predictorul a priori, definit prin:
( ) ( )( ) ( ) ( )0 1 1 1Ty k y k k k k + = + = + , k N , (3.58)
iar al doilea este predictorul a posteriori, definit prin:
( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1Ty k y k k k k + = + + = + + , k N
. (3.59) Acestora le corespund eroarea de ieire (predicie) a
priori: ( ) ( ) ( )0 0 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1TCL k y k y k y k k k + =
+ + = + + , k N , (3.60) (definit ca n (3.53)) i eroarea de ieire
(predicie) a posteriori: ( ) ( ) ( )1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 1TCL k y
k y k y k k k + = + + = + + + , k N . (3.61) 3.6.2 Algoritmul CLOE
n varianta de baz Aa cum am menionat deja, numele algoritmului
descris n acest paragraf provine din limba englez: CLOE = Closed
Loop Output Eror (model de tip eroare de ieire integrat n bucl
nchis). Pentru construcia acestui tip de algoritm, se pleac de la
faptul c ieirea sistemului n bucl nchis (3.48) poate fi exprimat n
funcie de eroarea de ieire (3.53). Astfel, prin combinarea
ecuaiilor (3.48), (3.50) i (3.53), se obine:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
* 1 1* 1
1
* 1 * 1
* 1
( 1) ( 1) ( 1)
1 ( 1)
( 1) ( 1)( 1), .
CL
dCL
d
k y k y k
B q R qA q q k
S q
A q y k q B q u k
A q w k k
+ = + + =
= +
+ + + +
+ + N
(3.62)
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 90
Grupnd termenii care conin eroarea de ieire din (3.62) i invocnd
ecuaia (3.51), n care vectorul parametrilor este cel adevrat i nu
cel estimat, se obine:
( ) ( ) ( )( )( )
* 1 1* 1 *
1
* 1
( 1) ( 1) ( 1)
( 1), .
d TCL
B q R qA q q k k y k
S q
A q w k k
+ + = + + +
+ +
N
(3.63) Operatorul raional care se aplic erorii de ieire poate fi
exprimat mai simplu prin:
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
* 1 1 * 1 1 * 1 1 * 1* 1
1 1 1
dd B q R q A q S q q B q R q P qA q q
S q S q S q
++ = = ,
(3.64) unde polinomul de la numrtor are simbolul specific
polinoamelor cu parametri adevrai deoarece acestea intr n componena
sa. Folosind notaia (3.64) i (nc o dat) ecuaia (3.51), o exprimare
echivalent a relaiei (3.63) este urmtoarea:
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
1 1 * 1*
* 1 * 1
1* * 1
* 1
( 1) ( 1) ( ) ( 1)
( 1) ( 1) ( 1) ( ) , .
TCL
T T
S q S q A qk k k w k
P q P q
S qk A q w k k k k
P q
+ = + + + =
= + + + +
N
(3.65) Dac n primul termen al sumei vectorul regresorilor ar fi
cel din definiia (3.49) i nu cel estimat, acesta, mpreun cu
termenul de zgomot ar produce chiar ieirea msurat a ieirii
procesului la momentul urmtor, caz n care polinoamele P i S ar fi
identice. Aadar, s-ar putea spune c eroarea de ieire n bucl nchis
se obine prin filtrarea unei pseudo-erori de predicie. Filtrul
utilizat are polii definii de numrtorul operatorului raional
(3.64). Ecuaia (3.65) sugereaz maniera n care ar putea fi definit
eroarea de predicie a priori n algoritmul general (prin estimarea
erorii de ieire):
( )( )
10
1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( )
TCL
k
S qk k y k k k
P q
+ = + = + + , k N . (3.66)
Polii filtrului estimat din (3.66) sunt rdcini ale polinomului
(de asemenea estimat): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 dk k kP q A q S
q q B q R q = + , k N . (3.67)
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 91
Cu aceast precizare, se obine varianta de baz a algoritmului
CLOE, constituit, n ordine, din ecuaiile (3.67), (3.66) i grupul de
relaii recursive (3.54)-(3.57). Convergena acestui algoritm
(exprimat prin anularea asimptotic a erorii de ieire a priori) este
asigurat dac referina i perturbaiile nu sunt corelate. Perturbaiile
intervin indirect n algoritm, prin ecuaia (3.66), care opereaz cu
valorile msurate la ieirea procesului. Pentru alegerea ponderii 2 ,
se impune unerori restricia ca filtrul din (3.66) s poat fi
exprimat prin:
( )( ) ( )
11 2
1 2S q
H qP q
= + , k N . (3.68)
unde H este o funcie de sistem precizat. Restricia (3.68) poate
contribui la creterea vitezei de convergen a algoritmului. De
altfel, acest filtru joac un rol important i n exprimarea funciei
de sistem n bucl nchis (pentru structura din Figura 3.2). Dup cteva
calcule elementare, se poate ajunge la expresia ieirii y , n funcie
de cea a referinei filtrate ur i perturbaiei w :
( )( ) ( ) ( )
11 1
1( ) ( ) ( )d u
S qy k q B q r k A q w k
P q
= + , k N . (3.69)
3.6.3 Algoritmul CLOE filtrat Pentru a mbunti precizia
Algoritmului CLOE de baz, vectorul estimat al regresorilor se poate
nlocui cu versiune a sa filtrat. Astfel, plecnd de la expresia
(3.65) a erorii de ieire n bucl nchis, primul factor poate fi
exprimat echivalent prin:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 1 1 1
* 1 * 1 * 11
( 1) ( 1) ( 1)
T T Tf
S q Q q S q Q qk k k
P q P q P qQ q
+ = + = + ,
k N , (3.70)
unde polinomul Q este definit prin: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1
dQ q A q S q q B q R q = + , (3.71) cu polinoamele A i B estimate n
manier off-line, eventual pe sistemul n bucl deschid, naintea
iniierii procedurii de adaptare parametric. Dac estimaia off-line
este suficient de precis, polinoamele Q i P au coeficieni apropiai
ca valoare.
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 92
Folosind identitatea (3.70), ecuaia (3.65) devine:
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
1 1 * 1*
* 1 * 1
1* * 1
* 1
( 1) ( 1) ( ) ( 1)
( 1) ( 1) ( 1) ( ) ,
TCL f
T Tf f f
Q q S q A qk k k w k
P q P q
Q qk A q w k k k
P q
+ = + + + =
= + + + +
k N , (3.72) unde fw este versiunea filtrat a zgomotului
(folosind) tot filtrul cu zerourile S i polii Q . Practic, dac
locul vectorului estimat filtrat al regresorilor ar fi luat chiar
de vectorul filtrat al regresorilor, n (3.72) ar apare o eroare de
predicie a priori, filtrat. n aceste condiii, eroarea de predicie a
priori definit n (3.66) poate fi nlocuit de:
( )( )
10
1
( 1) ( 1) ( 1) ( )
Tf f
k
Q qk y k k k
P q
+ = + + , k N , (3.73)
unde:
( )( )
1
1( ) ( )
fS q
y k y kQ q
= & ( )( )
1
1 ( ) ( )
T Tf
S qk kQ q
= , k N . (3.74)
3.6.4 Algoritmul CLOE extins (X-CLOE) De regul, perturbaia w
este asimilat ca un zgomot colorat produs prin filtrarea unui
zgomot alb Gaussian e . Se poate chiar considera c filtrul de
zgomot are polii dai de polinomul A , iar zerourile de un polinom C
, cu aceeai form ca i A (termen liber unitar), stabil. Aadar:
( )( )
1
1( ) ( )C q
w k e kA q
= , k N . (3.75)
Filtrul adaug un set de parametri care trebuie de asemenea
estimai (coeficenii polinomului C ). Ecuaia (3.63), care exprim
eroarea de ieire, poate fi rescris lund n considerare modelul de
zgomot (3.75) (i definiia (3.64)):
( )( ) ( )
* 1* * 1
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)TCL
P qk k y k C q e k
S q
+ = + + + + , k N .
(3.76)
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 93
Adugnd termenul ( )* 1 ( 1)CLC q k + n ambii membri ai ecuaiei
(3.76), se obine:
( )( ) ( )( ) ( )
* 1 *
* 1* 1 * 1
1
( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1),
TCL
CL
C q k k y k
P qC q k C q e k
S q
+ = + + +
+ + + +
k N (3.77) Ecuaia (3.77) pune n eviden un nou filtru aplicat
erorii de ieire:
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )
* 1 * 1 * 1 1 * 1* 1
1 1 1
H q P q C q S q P qC q
S q S q S q
= = . (3.78)
Polinomul *H din definiia (3.78) poate fi exprimat detaliat ca
mai jos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* 1 * 1 1 * 1 1 * 1 11 2
1 2 ,
d
nHnH
H q C q S q A q S q q B q R q
h q h q h q
= =
= + + + (3.79)
termenul liber fiind anulat de diferena ( ) ( )* 1 * 1C q A q
(unde fiecare polinom are termenul liber unitar). Cu definiia
(3.78), expresia (3.77) devine:
( ) ( )( )( )
* 1* 1 *
1
* 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( 1), .
TCL CL
H qC q k k y k k
S q
C q e k k
+ = + + + + +
+ +
N
(3.80)
Noua expresie, (3.80), sugereaz considerarea urmtorului model
extins de predicie (n locul modelului (3.51)), cu notaii
naturale:
( )( )
1
1
( 1) ( 1) ( ) ( 1)kT CL
H qy k k k k
S q
+ = + + + , k N . (3.81)
Coeficienii polinomului estimat kH pot extinde vectorul curent
estimat al parametrilor modelului de predicie. n acelai timp,
vectorul estimat al regresorilor poate fi extins cu valori
regresate ale erorii de ieire filtrate cu ( )11/ S q , notate
prin
,CL f . Mai precis, cu extensiile:
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 94
1 2
, , ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)
T Te nH
T Te CL f CL f CL f
k k h k h k h k
k k k k k nH
=
+ = + +
,
k N , (3.82) modelul de predicie se poate exprima din nou ca n
definiia (3.51), dar cu vectori extini:
( 1) ( 1) ( )Te ey k k k+ = + , k N . (3.83)
Vectorul parametrilor adevrai poate fi extins ntr-o manier
similar, astfel c din combinaia ecuaiilor (3.80) cu (3.83),
rezult:
( ) ( )* 1 * 1( 1) ( 1) ( ) ( 1)TCL e e eC q k k k C q e k + = +
+ + , k N . (3.84) Noua exprimare a erorii de ieire este acum:
( )* 11
( 1) ( 1) ( ) ( 1)TCL e e ek k k e kC q
+ = + + +
, k N . (3.85)
Se poate arta cu uurin c ieirea msurat a procesului are
urmtoarea exprimare remarcabil (n care intervin vectorii extini i
eroarea de ieire): ( ) ( )* 1 * 1( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)Te e CLy k k
C q k C q e k + = + + + + + , k N . (3.86) Din (3.86), rezult:
( ) ( )( )
( )* 1
* 1 * 1 * 1
11 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)Te e CL
C qk e k y k k
C q C q C q
+ + + = + + +
,
k N , (3.87) care, nlocuit n (3.85), permite nlturarea
zgomotului alb (nemsurabil!) din expresia erorii de ieire i
simplificarea evalurii:
( 1) ( 1) ( 1) ( )TCL e ek y k k k + = + + , k N . (3.88)
Nu mai rmne dect s fie precizat eroarea de predicie a priori
pentru algoritmul geeral, plecnd de la (3.88):
0
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( )TCL e ek k y k k k + = + = + + , k N .
(3.89) Algoritmul X-CLOE const n ecuaiile: (3.89), (3.54)-(3.57),
cu evaluarea coeficienilor polinomului ( )1kC q dintr-o identitate
polinomial similar lui
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 95
(3.79) (n care, practic, se nlocuiesc valorile adevrate ale
parametrilor cu valorile curent estimate). De notat c procedura
(3.54)-(3.57) funcioneaz acum cu vectorul parametrilor extini e n
locul celui tradiional.
3.6.5 Algoritmul CLOE generalizat (G-CLOE) Generalizarea pleac
de la introducerea unui set suplimentari de poli n filtrul de
zgomot, diferi de cei dai de polinomul A . Mai precis, ipoteza
(3.75) se generalizeaz prin:
( )( ) ( )
1
1 1( ) ( )C q
w k e kA q D q
= , k N , (3.90)
unde polinomul D este de asemenea stabil i are aceeai exprimare
ca polinoamele A i C (termenul liber este unitar). Raionamentul
pentru deducerea expresiei erorii de predicie a priori este similar
celui din paragraful precedent. Astfel, ecuaia (3.63) poate fi
rescris echivalent, lund n considerare modelul de zgomot (3.75) (i
definiia (3.64)):
( )( )
( )( )
* 1 * 1*
1 * 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)TCL
P q C qk k y k e k
S q D q
+ = + + + + , k N .
(3.91) Adugnd termenul ( ) ( )* 1 * 1/ ( 1)CLC q D q k + n ambii
membri ai ecuaiei (3.91), se obine:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
* 1*
* 1
* 1 * 1 * 1
* 1 1 * 1
( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1),
TCL
CL
C qk k y k
D q
C q P q C qk e k
D q S q D q
+ = + + +
+ + + +
k N (3.92)
Predictorul care va fi utilizat poate fi exprimat cu ajutorul
unui semnal de eroare definit prin:
( ) ( )1 1 ( 1) ( 1) ( 1)dk kv k A q y k q B q u k + = + + , k N
. (3.93) Folosind (3.93), dup o serie de calcule elementare, se
poate arta c ieirea msurat poate fi exprimat n aa fel nct polinomul
D s nu mai apar la numitor. Expresia care urmeaz pare complicat, ns
realizeaz acest efect:
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 96
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
* 1 * 1
* 1 1 1 * 1* 1
1
* 1
* 1 * 1 1
* 1 * 1 1
1 1 1 1
11 1
+ 1 1
1 1
1 1 , ,
d
CL
k
dk
y k A q y k q B q u k
H q S q S q C qk C q e k
S q
D q v k
D q A q A q y k
q D q B q B q u k k
+ = + + + +
+ + + + + +
+
+ +
+ + N
(3.94) unde:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 11 2
1
1
1 ,
d
nHnH
H q C q S q D q P q
C q A q D q S q
q B q D q R q
h q h q h q
= + =
= + +
+ =
= + + + +
. (3.95)
avnd n vedere c termenul liber al polinomului C A D este nul.
Polinomul (3.95) este utilizat alturi de semnalul de eroare (3.93)
pentru a defini predictorul generalizat:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
1 1
11
1
1 1 1 1
1
1 1 1 , .
dk k
kk CL
y k A q y k q B q u k
H qD q v k k k
S q
+ = + + + +
+ + + + N (3.96)
Combinnd ecuaiile (3.92), (3.94) i (3.96), se obine o nou
expresie a erorii de ieire:
( )( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
* 1
* 1
* 1 1
* 1 1
* 1 1
* 1
( 1) ( 1) ( )
( 1)
( 1) ( 1), .
TCL
kCL
k
D qk k k
C q
H q H qk
C q S q
D q D qv k e k k
C q
+ = + +
+ +
+ + + +
N
(3.97)
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 97
Pentru a putea defini eroarea de predicie a priori, trebuie
eliminat zgomotul alb din expresia (3.97). Aceasta se poate realiza
cu ajutorul ecuaiei originale a ieirii msurate (3.48), n care
zgomotul colorat este exprimat prin (3.90). Rezult:
( )( )
( )( )
* 1 * 1
* 1 * 1 ( 1) ( 1) ( 1)TD q D qk e k y k
C q C q
+ + + = +
, k N , (3.98)
expresie care, introdus n (3.97) produce:
( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
* 1 * 1
* 1 * 1
* 1 1
* 1 1
* 1 1
* 1
( 1) ( 1) ( 1) ( )
( 1)
( 1), .
TCL
kCL
k
D q D qk y k k k
C q C q
H q H qk
C q S q
D q D qv k k
C q
+ = + + +
+ +
+ +
N
(3.99)
Introducnd vectorii extini:
]
1 2 1 2
, , ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)
( ) ( 1) ( 1)
T Te nH nD
T Te CL f CL f CL f
k k h k h k h k d k d k d k
k k k k k nH
v k v k v k nD
=
+ = + +
+
k N (3.100) (unde eroarea de ieire filtrat
,CL f este produs cu ajutorul filtrului ( )11/ S q ), din (3.99)
rezult chiar ecuaia (3.88), adic:
( 1) ( 1) ( 1) ( )TCL e ek y k k k + = + + , k N (3.101)
(dar cu vectorii extini definii ca n (3.100)). Evident, eroarea
de predicie a priori are tot forma (3.89), iar algoritmul G-CLOE
este format din ecuaiile (3.89), (3.54)-(3.57). Cum parametrii
polinoamelor H i D sunt estimai explicit (aa cum arat vectorul
extins e definit n (3.100)), rezult c parametrii polinomului C se
pot identifica folosind identitatea (3.95), n care se folosesc
parametrii estimai n locul celor adevrai. 3.6.6 Algoritmul CLOE cu
date filtrate Posibilitatea utilizrii algoritmului de identificare
n bucl deschis pentru identificarea n bucl nchis este determinat de
faptul c expresia predictorului, dat de (3.51), poate fi rescris
sub forma:
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 98
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
1
1
1 11
1
1 1 ( ) 1 ( ) ( 1)
1 ( ) ( 1), ,
kT TCL
dkT
k CL
P qy k k k k k k
S q
q B q R qk k A q k k
S q
+ = + = + + + =
= + + + +
N
(3.102) unde expresia polinomului estimat kP rezult direct din
definiia (3.64). Pentru deducerea egalitii (3.102) s-au utilizat
ecuaiile (3.50), (3.52) i (3.53), care pot fi exprimate compact dup
cum urmeaz:
( )( ) [ ]
1
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)CL
S qk y k y k u k u k
R q
+ = + + = + + , k N .
(3.103) Scznd ecuaia (3.102) din ecuaia (3.48), exprimat pentru
1k + , se obine o nou expresie a erorii de ieire:
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1
1
1 1
1* * 1
1 1
( 1) ( 1) ( 1) ( )
( 1)
( 1) ( ) ( 1) ,
TCL
k
OLk
T
k
S qk y k k k
S q P q
S qk
S q P q
S qk k A q w k
S q P q
+ = + + = +
= + =+
= + + + +
,
k N , (3.103) n care diferena ( 1) ( 1) ( 1) ( )TOL k y k k k +
= + + joac rol de eroare de predicie n bucl deschis (OL = open
loop, n limba englez), deoarece din valoarea msurat se scade
valoarea simulat cu aceeai intrare ca a procesului i parametrii
curent estimai. Aadar, o prim semnificaie a ecuaiei (3.103) este
aceea c eroarea de ieire n bucl nchis poate fi evaluat prin
filtrarea erorii de ieire n bucl deschis (evaluat cu ajutorul unei
metode de identificare n bucl deschis, cum ar fi MCMMP-R). O alt
semnificaie rezult din ultima expresie, care poate fi rescris
astfel:
( ) ( ) ( )( ) ( )1 * 1
*
1 1( 1) ( 1) ( ) ( 1)
TCL f
k
S q A qk k k w k
S q P q
+ = + + ++
, k N , (3.104)
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 99
unde ( 1)f k + este vectorul regresorilor filtrat:
( )( ) ( )
1
1 1( 1) ( 1)
fk
S qk k
S q P q
+ = ++
, k N . (3.105)
Cu alte cuvinte, pentru evaluarea erorii de ieire, este posibil
utilizarea unei metode de identificare n bucl deschis (de exemplu,
MCMMP-R), care s opereze cu un vector filtrat al regresorilor.
Filtrul trebuie ns reactualizat la fiecare pas de adaptare,
deoarece polii si depind de polinomul kP . Acest filtru are o
caracteristic interesant: sunt atenuate semnalele de frecven nalt
care depesc lrgimea de band a modelului estimat al buclei nchise.
Dac regulatorul conine un integrator (de exemplu, ( ) ( ) ( )1 1
101S q q S q = ), atunci componentele continue vor fi de asemenea
filtrate. Estimaii consistente ale parametrilor modelului pot fi
obinute pentru anumite tipuri de zgomote i filtre. De exemplu,
consistena este asigurat dac zgomotul colorat este produs prin
filtrarea unui zgomot alb sub forma:
( ) ( )( ) ( )
1 1
1 * 1( ) ( )S q P q
w k e kS q A q
+= , k N . (3.106)
Pentru observarea efectului zgomotului asupra estimrilor
parametrilor, putem utiliza alte metode recursive de identificare
cunoscute, n bucl nchis: Metoda Celor Mai Mici Patrate Extins,
Metoda Erorii de Ieire cu Model de Predicie Extins, Metoda
Verosibilitii Maxime, Metoda Minimizrii Erorii de Predicie, etc.
[52], [55]. Ecuaia (3.104) sugereaz de asemenea maniera n care se
poate defini eroarea de predicie a priori. Astfel, o posibilitate
este de a opera n bucl nchis cu:
0( 1) ( 1) ( 1) ( )Tf fk y k k k + = + + , k N , (3.107)
unde fy sunt datele de ieire filtrate:
( )( ) ( )
1
1 1( 1) ( 1)
fk
S qy k y k
S q P q
+ = ++
, k N . (3.108)
n acest caz, ecuaiile algoritmului sunt (n ordine): (3.64)
(pentru reactualizarea polinomului kP ), (3.108), (3.105), (3.107),
(3.54)-(3.57). O alt posibilitate este de a apela la un algoritm de
identificare n bucl deschis. n urma unui astfel de algoritm, se
poate evalua eroarea de predicie OL , astfel c eroarea de predicie
a priori (n bucl nchis) se determin prin filtrare:
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 100
( )( ) ( )
10
1 1( 1) ( 1)
OLk
S qk k
S q P q
+ = ++
, k N . (3.109)
Algoritmul de adaptare este constituit n acest caz din procedura
de identificare n bucl deschis, urmat de evaluarea erorii de
predicie OL i de ecuaiile (3.109), (3.54)-(3.57). Consistena
estimaiilor astfel determinate este asigurat dac regulatorul RST
ajunge s realizeze o rejecie performant a perturbaiilor. 3.6.7
Validarea modelelor de identificare n bucl nchis Spre deosebire de
cazul modelelor identificate n bucl deschis, testul de validare a
unui model de bucl nchis depinde i de regulatorul integrat n
sistemul global. De aceea, scopul validrii este, n acest caz, acela
de a determina acel model care ofer o predicie mai bun pentru
procesul integrat n sistemul n bucl nchis, deci n prezena
regulatorului implicat n operaiunea de identificare. Testul de
validare se desfoar ntr-o manier similar cu testul pentru
identificarea n bucl deschis, dar eroarea de predicie este obinut
cu ajutorul unui model de predicie al buclei nchise. Cea mai
natural alegere este eroarea de predicie a priori, 0 . Poate fi ns
utilizat i eroarea de predicie a posteriori 1 , determinat de
ecuaia (3.56) din cadrul algoritmului de adaptare parametric.
Indiferent de tipul de eroare de predicie ales, testul de validare
este cel descris n seciunea 3.5. Acesta se poate desfura la sfritul
procesului de adaptare parametric pentru un regulator dat, nainte
de a propune modelul obinut etapei urmtoare de adaptare, focalizat
pe regulator. Practic, pentru a opri procesul de adaptare
parametric, se impune un prag de precizie 0 > i se testeaz norma
diferenei dintre doi vectori succesivi ai parametrilor estimai: (
1) ( )k k+ . Dac aceasta este inferioar pragului , procesul de
adaptare parametric nceteaz. n acel moment, exist K valori ale
erorii de predicie a priori ( K fiind egal cu numrul de iteraii
efectuale pn la stoparea procedurii de adaptare). Aceste valori
(care trebuie memorate n prealabil) se introduc n testul de
validare al modelului.
3.6.8 Algoritmi van der Hof O alt abordare a problemei de
identificare n bucl nchis, a fost propus de Paul Van den Hof i a
generat dou categorii de metode de identificare: directe i
indirecte [20]. Abordarea se sprijin pe schema de proces n bucl
nchis, reprezentat n Figura 3.3, unde 0G este filtrul util al
procesului, 0H este filtrul de zgomot exogen, C este un compensator
(de regul, un sistem raional), u este mrimea de comand, y este
mrimea de ieire, w este un zgomot colorat obinut prin filtrarea
zgomotului alb e (de regul, Gaussian), 1r este semnalul exogen de
comand i 2r este referina de ieire.
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 101
Figura 3.3. Structura van der Hof de identificare n bucl
nchis.
Ecuaiile de baz care caracterizeaz funcionarea sistemului din
Figura 3.3 sunt urmtoarele:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
12 1
10
10
u n C q r n y n r n
y n G q u n w n
w n H q e n
= +
= +
=
, n N . (3.110)
Din (3.110), rezult cu uurin expresiile funciilor de sistem
asociate, n raport cu fiecare pereche de semnale intrare-ieire:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
11 10
1 1 10
21 1 1 10 0
10
11 10
1 1 10 0
21 1 1 10 0
11
1 1
1
1 1
u n r nC q G q
C q C q H qr n e n
C q G q C q G q
G qy n r n
C q G q
C q G q H qr n e n
C q G q C q G q
= + +
+ + +
= + +
+ + + +
,
n N . (3.111) Dac se introduce funcia de sensibilitate:
( ) ( ) ( )1
0 1 10
11
S qC q G q
=
+, (3.112)
ecuaiile (3.111) pot fi scrise sub forma compact:
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 102
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 10 1 0 2 0 0
1 1 1 1 10 0 1 0 0 2
1 10 0
u n S q r n C q S q r n C q H q S q e n
y n G q S q r n C q G q S q r n
H q S q e n
= +
= + +
+
,
n N . (3.113) Lund ca punct de plecare ecuaii le (3.113), avem
dou tipuri de metode de identificare n bucl nchis:
identificarea direct, care utilizeaz perechea de semnale msurate
{ , }u y i identific modelul ca i n cazul identificrii n bucl
deschis;
dentificarea indirect, care estimeaz modelul sistemului n bucl
nchis i apoi utilizeaz modelul cunoscut al regulatorului pentru
calculul modelului procesului.
Pentru operaia de identificare n bucl nchis, aceste metode
dispun de informaii despre:
comanda u i ieirea (msurabil) y ; resursele de caracterizare
pentru semnalele 1r i 2r i valorile lor msurate; structura
regulatorului C .
Obiectivul procedurii de identificare n bucl nchis, este n acest
caz determinarea modelelor pentru funciile de sistem 0G i 0H .
3.6.8.1. Tehnici directe de identificare Aceste tehnici
utilizeaz semnale msurate u i y pentru a identifica modelul
procesului, fr s se fac apel la informaiile asupra regulatorului.
Modelul de identificare are n acest caz, forma general tradiional
[SoSt89], [SCS05]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, , ,y n G q u n H q n = +
, n N , (3.114) unde ( ),n exprim eroarea dintre procesul furnizor
de date i model, exprimat prin:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, , ,n H q y n G q u n = , n N . (3.115)
Vectorul parametrilor necunoscui, a fost specificat intenionat n
notaiile funciilor de sistem, el nglobnd coeficienii modelului
parametric. O estimare parametric poate s fie obinut prin
minimizarea unui criteriu ptratic uzual:
( )21
1 argmin ,
n
N
Nn
nN =
=
R
. (3.116)
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 103
innd cont de expresiile (3.313), eroarea dintre proces i model
(3.115) poate fi exprimat n aa fel nct s fie pus n eviden corelaia
care exist cu semnalele de intrare 1r , 2r i zgomotul alb e :
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0
1 21 1 1
1 1 1 1 10 0
1 21 1
1 1 1 10 0
1
1 1 10 0
11
1 1 1 10 0
,
, , ,
, ,
, ,
,
,
,
,
,
G q S q C q G q S q H q S qn r n r n e n
H q H q H q
G q S q G q C q S qr n r n
H q H q
G q C q H q S qe n
H q
S q G q G qr n
H q
C q S q G q G q
= + +
+
+ =
= +
+
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
21
1 1 1 10 0
1
,
1 ,, .
,
r nH q
H q S q G q C qe n n
H q
+
+ +
N
n N . (3.117) Problema este relativ complex, dat fiind
exprimarea (3.117) a erorii de model, dar ea poate fi simplificat
prin specificarea unor modele particulare. n general mrimea exogen
este nul n abordrile directe, fapt care produce simplificare
important. O abordare direct interesant este descris n [55], unde,
dac regulatorul i procesul se exprim prin funcii de sistem
raionale, cele 4 polinoame (deci i cele dou ale regulatorului) pot
fi identificate separat cu ajutorul unui model global cu 2 intrri i
2 ieiri, folosind MCMMP multi-dimensional.
3.6.8.2. Tehnici indirecte de identificare Principala diferen
ntre metodele indirecte i cele directe de identificare n bucl nchis
este dat de faptul c metodele indirecte utilizeaz un semnal
exogen
1r , suficient de persistent pentru identificarea dinamicii
procesului, avnd n vedere c principalul obstacol de identificare n
bucl nchis este c u i w sunt mrimi corelate. n acest caz, spre
deosebire de abordarea din paragraful precedent, 1r devine una
dintre intrrile principale ale sistemului global. Funcia de sistem
corespunztoare acestei intrri este exprimat de modelul urmtor:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11, , ,y n R q r n K q n = + , n N ,
(3.118)
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 104
unde ( ),n exprim tot eroarea dintre procesul furnizor de date i
model (ca n abordarea direct). Cele dou funcii de sistem din
modelul (3.118) corespund urmtoarelor funcii de sistem din cadrul
schemei de bucl nchis (a se vedea Figura 3.3 i ecuaiile
(3.111)):
( ) ( )( ) ( )1
010 1 1
01G q
R qC q G q
=
+ & ( ) ( )( ) ( )
101
0 1 101
H qK q
C q G q
=
+. (3.119)
Atunci se poate construi un model n bulc deschis care s reflecte
ecuaiile (3.119). Mai precis:
( ) ( )( ) ( )1
11 1
,
,
1 ,G q
R qC q G q
=
+
& ( ) ( )( ) ( )
11
1 1
,
,
1 ,H q
K qC q G q
=
+
. (3.120)
O metod de estimare n bucl deschis poate conduce la
identificarea cu o anumit precizie a perechii { , }R K . Folosind
informaiile despre regulatorul C , din (3.120) (cu R i K estimate n
bucl deschis) se pot determina estimaiile funciilor de sistem 0G i
0H (prin rezolvarea unui sistem de dou ecuaii cu dou
necunoscute):
( ) ( )( ) ( )1
10 1 1
1R q
G qC q R q
=
& ( ) ( )( ) ( )1
10 1 1
1K q
H qC q R q
=
. (3.121)
Astfel, folosind un semnal exogen aplicat ntre regulator i
proces, se ajunge la o identificare n bucl deschis, pentru c
intrarea i zgomotul sunt acum necorelate. n cazul n care referina
2r este nul, pot fi puse n eviden dou metode indirecte remarcabile,
descrise succint n continuare: Metoda pasului dublu i Metoda
factorilor coprimi. A. Metoda pasului dublu Ecuaiile (3.113) se pot
particulariza n noile condiii prin:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 10 1 0 0
1 1 1 10 0 1 0 0
u n S q r n C q H q S q e n
y n G q S q r n H q S q e n
=
= +, n N . (3.122)
Mrimea exogen filtrat ( )10 1S q r se poate nota prin 1u ,
astfel c ecuaiile (3.122) se exprim simplificat ca mai jos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 11 0 0
1 1 10 1 0 0
u n u n C q H q S q e n
y n G q u n H q S q e n
=
= +, n N . (3.123)
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 105
Pentru identificarea funciilor de sistem 0G i 0H se adopt o
strategie compus din doi pai. La primul pas, se efectueaz dou
operaii, dup cum urmeaz.
a) Se caut o conexiune n structura sistemului nchis pentru care
intrarea este necorelat cu zgomotul. Pentru aceasta, se identific
ansamblul care asigur transferul de la semnalul exogen 1r , la
comanda u . Avnd n vedere expresia lui u din (3.123), se poate
considera modelul de ideintificare n bucl deschis:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11, , ,u n S q r n T q n = + , n N ,
(3.124) unde u este ieirea i 1r este intrarea. n urma identificrii
cu o metod de bucl deschis, se poate astfel estima sensibilitatea
0S (modelul ei estimat fiind notat prin 0S ).
b) Se utilizeaz sensibilitatea estimat pentru evaluarea mrimii
exogene estimate:
( )11 0 1 ( ) ( )u n S q r n= , n N , (3.125) La pasul al
doilea, se efectueaz alte dou operaii:
a) Se stabilete un nou model de identificare n bucl nchis, n
care intrarea este 1u , iar ieirea este y . Avnd n vedere a doua
ecuaie din (3.123), i ecuaia (3.118), modelul este exprimat
prin:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11, , ,y n G q u n K q n = + , n N .
(3.126) n urma identificrii cu o metod de bucl deschis, se poate
astfel estima funcia de sistem 0G (modelul ei estimat fiind notat
prin 0G ). De notat c sensibilitatea estimat 0S nu servete
deocamdat dect la evaluarea intrrii
1u , n vederea identificrii lui 0G .
b) Pentru estimarea celei de-a doua funcii de sistem, 0H , se va
utiliza estimaia lui K din (3.126), avnd n vedere similitudinea
acesteia cu (3.118). Astfel, conform rezultatului din (3.121), ar
trebui s se obin:
( ) ( )( ) ( )1
10 1 1
0
1K q
H qC q G q
=
. (3.127)
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 106
Cu toate acestea, dac regulatorul C este necunoscut, ecuaia
(3.127) nu poate fi implementat. Din fericire, dac revedem definiia
(3.112) a sensibilitii, se poate considera c factorul care nmulete
estimaia lui K este chiar sensibilitatea estimat 0S . Astfel, o
estimaie implementabil a lui
0H este urmtoarea:
( ) ( ) ( )1 1 10 0 H q K q S q = . (3.128) Mai mult, tot din
definiia sensibilitii, se poate determina chiar i o estimaie a
funciei de sistem a regulatorului:
( ) ( )( ) ( )1
011 1
0 0
1
S qC q
G q S q
= , (3.129)
B. Metoda factorilor coprimi n ecuaiile (3.122) , se introduc
urmtoarele notaii: ( ) ( ) ( )1 1 10 0 0N q G q S q = & ( ) (
)1 10 0D q S q = , (3.130) care pun n eviden perechea de funcii de
sistem ce acioneaz asupra intrrii 1r . Dac s-ar opera cu polinoame,
atunci 0D (care continu s joace rolul de sensibilitate) l-ar divide
pe 0N , adic ar fi constituit dintr-un ansamblu de factori primi ai
acestuia. Cu noile notaii, ecuaiile de baz ale sistemului n bucl
nchis (3.122) se pot exprima echivalent prin:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 10 1 0 0
1 10 1 0 0
u n D q r n C q H q S q e n
y n N r n H q S q e n
=
= +, n N . (3.131)
n cazul n care 0N i 0D nu prezint zerouri instabile, ele ar
putea fi estimate prin metode de identificare n bucl deschis,
utiliznd mrimile 1r , u i y . Modelele de identificare sunt de
forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11, , ,yy n N q r n K q n = + , n N ,
(3.132) pentru 0N , respectiv:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11, , ,uu n D q r n T q n = + , n N ,
(3.133) pentru 0D .
-
3. ELEMENTE DE IDENTIFICAREA SISTEMELOR 107
Odat 0N i 0D identificate, se obine imediat:
( ) ( )( )1
010 1
0
N qG q
D q
= . (3.134)
Pentru a identifica i cea de-a doua funcie de sistem, 0H , se
apeleaz din nou la reeta dat de (3.118) (similar lui (3.132)) i
(3.121). Astfel, rezult imediat:
( ) ( )( ) ( )1
10 1 1
0
1K q
H qC q N q
=
. (3.135)
Implementabilitatea soluiei (3.135) depinde de cunoaterea
regulatorului C . n cazul n care acesta nu este cunoscut, el poate
fi estimat folosind estimaia factorului 0D (care, de fapt este o
estimaie a sensibilitii, conform definiiilor (3.130)). Mai precis,
funcia de sistem a regulatorului poate fi estimat cu ajutorul
definiiei (3.112):
( ) ( )( ) ( )( )
( )1 1
0 011 1 1
0 0 0
1 1
D q D qC q
G q D q N q
= = . (3.136)
Din (3.135) i (3.136), rezult o soluie implementabil pentru
estimaia funciei de sistem 0H :
( ) ( )( ) ( )( )( )
1 11
0 1 1 10 0
1K q K q
H qC q N q D q
= =
. (3.137)
Ecuaiile (3.134) i (3.137) arat c inversa sensibilitii estimate
constituie un factor comun al estimaiilor funciilor de sistem util
0G i parazit 0H . Acest tip de identificare n bucl nchis permite
accesul la factorii procesului prin utilizarea semnalului exogen 1r
, al referinei 2r (creia i se poate atribui alt rol dect cel de
referin) i al transferului ur 1 , respectiv yr 2 . Identificarea
acestor factori poate s fie fcut cu ajutorul metodelor de
identificare n bucl deschis. Semnalul 1r poate fi uor calculat dac
se cunoate regulatorul C , cu ajutorul relaiei: ( ) ( ) ( ) ( )11r
k u k C q y k= + , n N . (3.138)
-
AUTOMATIC INDUSTRIAL 108
Cele mai performante dintre metodele prezentate pentru
identificarea n bucl deschis i nchis sunt implementate sub forma
unor produse software dedicate sau integrate n alte produse
standard, existente pe pia, larg utilizate n unele aplicaii
industriale.