8.0 STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆ MAŠINSKI FAKULTET NIŠ Predavanje - 8 DINAMIKA NOSEĆIH STRUKTURA Generacija 2010/2011 Male oscilacije mehaničkih sistema Materijalni mašinski sistemi, izloženi promenljivim spoljašnjim uticajima, osciluju. Oscilatorni procesi su jedan od oblika dinamičkog ponašanja mehaničkog sistema. Dinamičko ponašanje opisuje radna stanja mehaničkih sistema pogonskih mehanizama ili noseće konstrukcije . Izučavanje oscilatornih dinamičkih procesa je osnov projektovanja najvećeg broja mašinskih sistema. Osnovna teorijska podloga za dinamičku analizu je u klasičnoj mehanici . Materijalni sistemi se postupcima mehanike svode (diskretizuju) na mehaničke sisteme sa konačnim brojem stepeni slobode oscilovanja. Takvi mehanički sistemi se dalje tretiraju Teorijom malih oscilacija sa konačnim brojem stepeni slobode, koja predstavlja osnov najvećeg broja univerzalnih softvera za dinamičku analizu. Zavisno od namene komercijalnih programa za računare, dinamička analiza se može izvršiti i sa znatno većom širinom. Teorija malih oscilacija sa konačnim brojem stepeni slobode kretanja pogodna je za analizu oscilacija nosećih struktura različitih tipova mašina. Ova teorija opisuje dinamičko ponašanje konstrukcije, talasnim parcijalnim diferencijalnim jednačinama sa odgovarajućim graničnim i početnim uslovima. Polazeći od pretpostavke o solidifikaciji pojedinih elemenata, zanemarivanjem elastičnih deformacija i inercionih svojstava nekih elemenata, zadržavajući se samo na elastičnim osobinama konstrukcije , prelazimo na ekvivalentni model. Na bazi energije ekvivalentnog modela, primenom nekog od principa mehanike (Lagrange-II), formiraju se obične diferencijalne jednačine kretanja. Matematički modeli, koji uzimaju i elastične deformacije u obzir, vode nelinearnim diferencijalnim jednačinama koje se ne mogu tačno analitički rešiti, pa se rešavaju aproksimativno. Ponekad je moguće izvršiti linearizaciju jednačina, čime se ubrzava post upak traženja rešenja. Očigledno da su ovako dobijena rešenja malih oscilacija približna, ali su osnovna dinamička karakteristika, dobijena primenom nelinearne analize. Posmatrajmo mehaničku strukturu, diskretno predstavljenu sa n materijalnih tačaka, pojedinačnih koncentrisanih masa m i . Kretanje - oscilovanje sistema se opisuje generalisanim koordinatama kretanja q i . Da bi diferencijalne jednačine sistema bile linearne, pojedine energije struktura (kinetička, potencijalna i disipativna) moraju imati homogenu, kvadratnu formu generalisanih koor dinata, koja u indeksnoj i matričnoj notaciji izgleda: q a q 2 1 q q a 2 1 E T j n 1 i n 1 j i ij K q c q 2 1 q q c 2 1 E T j i n 1 i n 1 j ij P (3.3.4) q b q 2 1 q q b 2 1 T j n 1 i n 1 j i ij gde je [a] - inerciona matrica sa a ij - inercionim koeficijentima materijalnog sistema (mase ili aksijalni momenti inercije masa), [c] - kvazielastična matrica sa c ij - koeficijentima krutosti i [b] - matrica koeficijenata otpornih sila b ij . Inerciona matrica [a], kvazielastična matrica [c] i matrica otpornih sila [b] su oblika (3.3.5): nn 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11 nn 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11 nn 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11 c c c c c c c c c c , b b b b b b b b b b , a a a a a a a a a a (3.3.5) Posmatrajmo osnovni zadatak analize materijalnog sistema koji slobodno osciluje (bez spoljašnje pobude Q i *) i bez prigušnih sila. Ovaj idealiziran zadatak daje osnovne podatke o karakteristikama oscilatornog sistema i primenjuje se za traženje sopst venih frekvencija (rezonantnih brzina), amplituda dinamičkih procesa a time i naponskih svojstava konstrukcije. Primenom Lagrange-ovih jednačina druge vrste (3.3.6), može se formirati sistem diferencijalnih jednačina koji opisuje dinamičko ponašanje sistema (3 .3.7): i i P i K i K Q q E q E q E dt d (3.3.6)
5
Embed
Ć Male oscilacije mehaničkih sistema - ttl.masfak.ni.ac.rsttl.masfak.ni.ac.rs/MS-SA/PREDAVANJE-8 2011 DINAMIKA - MALE... · Male oscilacije mehaničkih sistema Materijalni mašinski
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
8.0 STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆ MAŠINSKI FAKULTET NIŠ
Predavanje - 8
DINAMIKA NOSEĆIH STRUKTURA
Generacija 2010/2011
Male oscilacije mehaničkih sistema
Materijalni mašinski sistemi, izloženi promenljivim spoljašnjim uticajima, osciluju. Oscilatorni procesi su jedan od oblika
dinamičkog ponašanja mehaničkog sistema. Dinamičko ponašanje opisuje radna stanja mehaničkih sistema pogonskih mehanizama ili
noseće konstrukcije. Izučavanje oscilatornih dinamičkih procesa je osnov projektovanja najvećeg broja mašinskih sistema. Osnovna
teorijska podloga za dinamičku analizu je u klasičnoj mehanici. Materijalni sistemi se postupcima mehanike svode (diskretizuju) na
mehaničke sisteme sa konačnim brojem stepeni slobode oscilovanja. Takvi mehanički sistemi se dalje tretiraju Teorijom malih oscilacija
sa konačnim brojem stepeni slobode, koja predstavlja osnov najvećeg broja univerzalnih softvera za dinamičku analizu. Zavisno od
namene komercijalnih programa za računare, dinamička analiza se može izvršiti i sa znatno većom širinom.
Teorija malih oscilacija sa konačnim brojem stepeni slobode kretanja pogodna je za analizu oscilacija nosećih struktura
različitih tipova mašina. Ova teorija opisuje dinamičko ponašanje konstrukcije, talasnim parcijalnim diferencijalnim jednačinama sa
odgovarajućim graničnim i početnim uslovima. Polazeći od pretpostavke o solidifikaciji pojedinih elemenata, zanemarivanjem elastičnih
deformacija i inercionih svojstava nekih elemenata, zadržavajući se samo na elastičnim osobinama konstrukcije, prelazimo na
ekvivalentni model. Na bazi energije ekvivalentnog modela, primenom nekog od principa mehanike (Lagrange-II), formiraju se obične
diferencijalne jednačine kretanja.
Matematički modeli, koji uzimaju i elastične deformacije u obzir, vode nelinearnim diferencijalnim jednačinama koje se ne
mogu tačno analitički rešiti, pa se rešavaju aproksimativno. Ponekad je moguće izvršiti linearizaciju jednačina, čime se ubrzava postupak
traženja rešenja. Očigledno da su ovako dobijena rešenja malih oscilacija približna, ali su osnovna dinamička karakteristika, dobijena
primenom nelinearne analize.
Posmatrajmo mehaničku strukturu, diskretno predstavljenu sa n materijalnih tačaka, pojedinačnih koncentrisanih masa mi. Kretanje - oscilovanje sistema se opisuje generalisanim koordinatama kretanja qi. Da bi diferencijalne jednačine sistema bile linearne,
pojedine energije struktura (kinetička, potencijalna i disipativna) moraju imati homogenu, kvadratnu formu generalisanih koordinata,
koja u indeksnoj i matričnoj notaciji izgleda:
qaq21qqa
21E T
j
n
1i
n
1j
iijK
qcq21qq c
21E T
ji
n
1i
n
1j
ijP
(3.3.4)
qbq21qqb
21 T
j
n
1i
n
1j
iij
gde je [a] - inerciona matrica sa aij - inercionim koeficijentima materijalnog sistema (mase ili aksijalni momenti inercije masa), [c] -
kvazielastična matrica sa cij - koeficijentima krutosti i [b] - matrica koeficijenata otpornih sila bij. Inerciona matrica [a],
kvazielastična matrica [c] i matrica otpornih sila [b] su oblika (3.3.5):
nn2n1n
n22221
n11211
nn2n1n
n22221
n11211
nn2n1n
n22221
n11211
ccc
ccc
ccc
c ,
bbb
bbb
bbb
b ,
aaa
aaa
aaa
a
(3.3.5)
Posmatrajmo osnovni zadatak analize materijalnog sistema koji slobodno osciluje (bez spoljašnje pobude Qi*) i bez prigušnih
sila. Ovaj idealiziran zadatak daje osnovne podatke o karakteristikama oscilatornog sistema i primenjuje se za traženje sopstvenih
frekvencija (rezonantnih brzina), amplituda dinamičkih procesa a time i naponskih svojstava konstrukcije. Primenom Lagrange-ovih
jednačina druge vrste (3.3.6), može se formirati sistem diferencijalnih jednačina koji opisuje dinamičko ponašanje sistema (3.3.7):
i
i
P
i
K
i
K Qq
E
q
E
q
E
dt
d
(3.3.6)
0qcqcqcqaqaqa
0qcqcqcqaqaqa
0qcqcqcqaqaqa
nnn22n11nnnn22n11n
nn2222121nn2222121
nn1212111nn1212111
(3.3.7a)
Ovaj sistem jednačina u matričnoj formi ima oblik:
0qcqa (3.3.7b)
Rešenje se prema tipu diferencijalnih jednačina i oscilatornom karakteru problema, može potražiti u trigonometrijskom obliku, forme:
)tsin(Aq ii (3.3.8)
gde su iii i ,A (i=1n), karakteristike oscilovanja sistema (amplituda, kružna frekvencija oscilovanja i fazna pomeranja).
Ova forma rešenja u diferencijalnim jednačinama daje oblik:
0A)ac(A)ac(A)ac(
0A)ac(A)ac(A)ac(
0A)ac(A)ac(A)ac(
n2
nnnn22
2n2n12
1n1n
n2
n2n222
222212
2121
n2
n1n122
121212
1111
(3.3.9a)
Ili matrično: 0AH (3.3.9b)
Uvedena matrica [H] je karakteristična matrica sistema. Pomoću nje se formira frekventna jednačina (3.3.10) njenim
izjednačavanjem sa nulom. Rešenja frekventne jednačine daju sopstvene frekvencije posmatranog sistema. Zato je ova jednačina poznata
pod imenom frekventna ili karakteristična jednačina sistema.
0ac
acacac
acacac
acacac
HHdet 2
2nnnn
22n2n
21n1n
2n2n2
22222
22121
2n1n1
21111
21111
(3.3.10)
Rešenja frekventne jednačine se mogu poredjati po veličini (3.3.11) i predstavljaju kvadrate sopstvenih kružnih frekvencija sistema:
0 , (1)2
)n(2
)3(2
)2(2
)1(
(3.3.11)
Rešenja polinoma frekventne jednačine se traže nekom od numeričkih metoda (postupak Bairstowa). Najniža kružna frekvencija ovog
polinoma ω(1), naziva se osnovnom frekvencijom. Ona je jedan od osnovnih dinamičkih svojstava konstrukcije i na osnovu nje se
može birati prinudna frekvencija mašine tako da je izvan oblasti sopstvenih frekvencija.
Amplitude oscilovanja se ne mogu analitički direktno odrediti u zatvorenom obliku, već samo njihovi odnosi. Ovi odnosi se
traže za svaku sopstvenu frekvenciju konstrukcije ω (r). Da bi sistem homogenih algebarskih jednačina imao n-1 nezavisno rešenje,
obično se izostavlja jedna jednačina (prva). Deljenjem sa A1 i prebacivanjem slobodnog člana na desnu stranu sledi:
)ac(A
A)ac(
A
A)ac(
)ac(A
A)ac(
A
A)ac(
)ac(A
A)ac(
A
A)ac(
21n1n
1
n2nnnn
1
222n2n
22121
1
n2n2n2
1
222222
21111
1
n2n1n1
1
221111
(3.3.12)
Nepoznati količnici amplituda mogu se označiti sa ik
i odredjuju se pomoću kofaktora k(r)ik determinante matrice H, za svaku r-tu
sopstvenu frekvenciju:
)r(
11
)r(n1
)r(1
)r(n)r(
1n)r(11
)r(13
)r(1
)r(3)r(
31)r(11
)r(12
)r(1
)r(2)r(
21k
k
A
A ......,
k
k
A
A ,
k
k
A
A
(3.3.13)
8.0 STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆ MAŠINSKI FAKULTET NIŠ
Kofaktori k(r)11, k(r)
12, k(r)1n se odredjuju iz determinante matrice H izostavljanjem odgovarajuće vrste i odgovarajuće
kolone. Tako, recimo, imamo kofaktore:
,
acacac
acacac
acacac
)1(k
2)r(nnnn
2)r(3n3n
2)r(2n2n
2)r(n3n3
2)r(3333
2)r(3232
2)r(n2n2
2)r(2323
2)r(2222
11)r(11
(3.3.14a)
,
acacac
acacac
acacac
)1(k
2)r(nnnn
2)r(3n3n
2)r(1n1n
2)r(n3n3
2)r(3333
2)r(3131
2)r(n2n2
2)r(2323
2)r(2121
21)r(12
(3.3.14b)
2)r(nnnn
2)r(2n2n
2)r(1n1n
2)r(n3n3
2)r(3232
2)r(3131
2)r(n2n2
2)r(2222
2)r(2121
31)r(13
acacac
acacac
acacac
)1(k
(3.3.14c)
Na ovaj način se mogu naći koeficijenti (r)ik za svaku r-tu sopstvenu frekvenciju i oni se nazivaju koeficijentima oblika oscilovanja.
Kako fizički ovi koeficijenti pokazuju načine, oblike, kako diskretne mase zauzimaju medjusobno položaje, ovi oblici se nazivaju i
modovi oscilovanja ili harmonici. Jasno je da modova ima onoliko koliko i sopstvenih frekvencija. Preostalo je još da se definišu zakoni,
generalisane koordinate kretanja. Podjimo od partikularnih integrala rešenja:
)tsin(Aq )r()r()r()r(
(3.3.15)
Opšta rešenja problema (opšti integrali diferencijalnih jednačina) se, prema teoriji diferencijalnih jednačina, traže kao zbir partikularnih
rešenja, (3.3.16a), (3.3.16b), (3.3.16c):
n
1r
)n(n
)2(n
)1(n
)r(nn
n
1r
)n(2
)2(2
)1(2
)r(22
n
1r
)n(1
)2(1
)1(1
)r(11
qqqqq
qqqqq
qqqqq
(3.3.16a)
)n()2()1( qqqq (3.3.16b)
)tsin(Aq )r()r()r(
1
n
1r
)r(1
(3.3.16c)
Konstante A1(1), A1
(2), A1(3), ... , A1
(n), 1, 2, .... , n, se dobijaju iz početnih uslova: