Bolcmanova jednaˇ cina Neravnotežni procesi Bolcmanova jednaˇ cina i H-teorema: od kinetiˇ cke teorije gasova do neravnotežne termodinamike Srboljub Simi´ c Departman za mehaniku, Fakultet tehniˇ ckih nauka, Novi Sad Seminar iz fizike/astrofizike Departman za fiziku, 19. februar 2016. S. Simi´ c Bolcmanova jednaˇ cina i H-teorema
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Bolcmanova jednacina i H-teorema:od kineticke teorije gasova do neravnotežne termodinamike
Srboljub Simic
Departman za mehaniku, Fakultet tehnickih nauka, Novi Sad
Seminar iz fizike/astrofizikeDepartman za fiziku, 19. februar 2016.
Stanje atoma (molekula) u trenutku t odredjeno je njegovimpoložajem x i njegovom brzinom ξ, (t,x, ξ).
Interakcija cestica
Gas je razredjen – podrazumevaju se samo binarne interakcije(sudari) izmedju cestica.Vreme trajanja interakcije je mnogo krace od srednjeg vremenaslobodnog leta cestice.Sudari su elasticni.Promena stanja cestica je odredjena zakonima održanja kolicinekretanja i energije.
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Funkcija raspodeleBolcmanova jednacinaH-teorema
Funkcija raspodele
Koliziona transformacija
(ξ, ξ∗) brzine čestica posle sudara(ξ′, ξ′∗) brzine čestica pre sudara
Sudari cestica su (mikro)reverzibilni.Produkcija entropije je nenegativna⇒ ireverzibilnost.Kako reverzibilnost na mikro skali implicira ireverzibilnost namakro skali?
Hipoteza o molekularnom haosu
Brzine cestica pre sudara nisu ni u kakvoj korelaciji. Zbog velikogbroja sudara pretpostavlja se da brzine cestica ni posle sudara nisu niu kakvoj korelaciji.
Q(f, f) =
∫R3
∫S2
(f ′f ′∗ − ff∗)B(ξ − ξ∗,σ)dσdξ∗
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Funkcija raspodeleBolcmanova jednacinaH-teorema
H-teorema
Ireverzibilnost
Sudari cestica su (mikro)reverzibilni.Produkcija entropije je nenegativna⇒ ireverzibilnost.Kako reverzibilnost na mikro skali implicira ireverzibilnost namakro skali?
Hipoteza o molekularnom haosu
Brzine cestica pre sudara nisu ni u kakvoj korelaciji. Zbog velikogbroja sudara pretpostavlja se da brzine cestica ni posle sudara nisu niu kakvoj korelaciji.
Q(f, f) =
∫R3
∫S2
(f ′f ′∗ − ff∗)B(ξ − ξ∗,σ)dσdξ∗
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Funkcija raspodeleBolcmanova jednacinaH-teorema
H-teorema
Ireverzibilnost
Sudari cestica su (mikro)reverzibilni.Produkcija entropije je nenegativna⇒ ireverzibilnost.Kako reverzibilnost na mikro skali implicira ireverzibilnost namakro skali?
Hipoteza o molekularnom haosu
Brzine cestica pre sudara nisu ni u kakvoj korelaciji. Zbog velikogbroja sudara pretpostavlja se da brzine cestica ni posle sudara nisu niu kakvoj korelaciji.
Q(f, f) =
∫R3
∫S2
(f ′f ′∗ − ff∗)B(ξ − ξ∗,σ)dσdξ∗
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Funkcija raspodeleBolcmanova jednacinaH-teorema
H-teorema
Funkcional produkcije entropije
D(f) =
∫R3
log f Q(f, f) dξ≤ 0
H-teoremaNeka je kolizioni presek B pozitivan skoro svuda i neka je f ≥ 0 takvafunkcija da su Q(f, f) i D(f) dobro definisani. Tada važi:
Produkcija entropije je nepozitivna, D(f) ≤ 0.Sledeca tvrdjenja su ekvivalentna:
1 Za ma koje ξ ∈ R3, Q(f, f) = 0;2 Produkcija entropije je jednaka nuli, D(f) = 0;3 Postoje ρ > 0, T > 0 and v ∈ R3 takve da je:
f =ρ
m
(m
2πkBT
)3/2
exp
{− |ξ − v|2
2(kB/m)T
}.
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Funkcija raspodeleBolcmanova jednacinaH-teorema
H-teorema
Funkcional produkcije entropije
D(f) =
∫R3
log f Q(f, f) dξ≤ 0
H-teoremaNeka je kolizioni presek B pozitivan skoro svuda i neka je f ≥ 0 takvafunkcija da su Q(f, f) i D(f) dobro definisani. Tada važi:
Produkcija entropije je nepozitivna, D(f) ≤ 0.Sledeca tvrdjenja su ekvivalentna:
1 Za ma koje ξ ∈ R3, Q(f, f) = 0;2 Produkcija entropije je jednaka nuli, D(f) = 0;3 Postoje ρ > 0, T > 0 and v ∈ R3 takve da je:
f =ρ
m
(m
2πkBT
)3/2
exp
{− |ξ − v|2
2(kB/m)T
}.
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Funkcija raspodeleBolcmanova jednacinaH-teorema
H-teorema
Lokalno ravnotežna raspodela
f locM (t,x, ξ) =ρ(t,x)
m
(m
2πkBT (t,x)
)3/2
exp
{− |ξ − v(t,x)|2
2(kB/m)T (t,x)
}Svojstva fMloc
Q(f locM , f locM ) = 0
D(f locM ) = 0
f locM ne zadovoljava Bolcmanovu jednacinu!
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Funkcija raspodeleBolcmanova jednacinaH-teorema
H-teorema
Lokalno ravnotežna raspodela
f locM (t,x, ξ) =ρ(t,x)
m
(m
2πkBT (t,x)
)3/2
exp
{− |ξ − v(t,x)|2
2(kB/m)T (t,x)
}Svojstva fMloc
Q(f locM , f locM ) = 0
D(f locM ) = 0
f locM ne zadovoljava Bolcmanovu jednacinu!
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Funkcija raspodeleBolcmanova jednacinaH-teorema
H-teorema
Tenzor pritiska i toplotni protok u lokalnoj ravnoteži
Makroskopske velicine van ravnotežeStruktura udarnog talasaT. Ohwada, Structure of normal shock waves: Direct numerical analysis of ofthe Boltzmann equation for hard-sphere molecules, Phys. Fluids A, 5 (1),217–234 (1993)M = 3.0 – funkcija raspodele u razlicitim tackama
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Makroskopske velicineHidrodinamicka aproksimacija
Makroskopske velicine van ravnotežeStruktura udarnog talasaT. Ohwada, Structure of normal shock waves: Direct numerical analysis of ofthe Boltzmann equation for hard-sphere molecules, Phys. Fluids A, 5 (1),217–234 (1993)M = 3.0 – funkcija raspodele u razlicitim tackama
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Makroskopske velicineHidrodinamicka aproksimacija
Makroskopske velicine van ravnotežeStruktura udarnog talasaT. Ohwada, Structure of normal shock waves: Direct numerical analysis of ofthe Boltzmann equation for hard-sphere molecules, Phys. Fluids A, 5 (1),217–234 (1993)M = 3.0 – funkcija raspodele u razlicitim tackama
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Makroskopske velicineHidrodinamicka aproksimacija
Makroskopske velicine van ravnotežeStruktura udarnog talasaT. Ohwada, Structure of normal shock waves: Direct numerical analysis of ofthe Boltzmann equation for hard-sphere molecules, Phys. Fluids A, 5 (1),217–234 (1993)M = 3.0 – funkcija raspodele u razlicitim tackama
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Makroskopske velicineHidrodinamicka aproksimacija
Makroskopske velicine van ravnotežeStruktura udarnog talasaT. Ohwada, Structure of normal shock waves: Direct numerical analysis of ofthe Boltzmann equation for hard-sphere molecules, Phys. Fluids A, 5 (1),217–234 (1993)M = 3.0 – funkcija raspodele u razlicitim tackama
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Makroskopske velicineHidrodinamicka aproksimacija
Makroskopske velicine van ravnoteže
Makroskopske velicine
Makroskopske velicine se odredjuju pomocu ekvivalentne lokalnoravnotežne raspodele ciji su momenti jednaki momentimaneravnotežne funkcije raspodele.∫
Skalirana Bolcmanova jednacinaJoš asimptotskog razvoja
Protoci
p〈ij〉 =
∫R3
mCiCjfε dξ =
∞∑k=1
εkp(k)〈ij〉
qi =
∫R3
m
2|C|2f ε dξ =
∞∑k=1
εkq(k)i
Materijalni izvod
Df ε +
3∑i=1
Ci∂f ε
∂xi=
1
εQ(f ε, f ε) D =
∂
∂t+
3∑i=1
vi∂
∂xi
D = D0 + εD1 + ε2D2 + · · · =∞∑k=0
εkDk
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Makroskopske velicineHidrodinamicka aproksimacija
Cepmen-Enskogov metod – formalni raazvoj
Asimptotski razvoj makroskopskih jednacina
D0ρ+ ∂ivi = 0 Dkρ = 0
ρD0vi + ∂ip = 0 ρDkvi + ∂jp(k)〈ij〉 = 0 ∀k ≥ 1
3
2ρkBmD0T + p∂ivi = 0
3
2ρkBmDkT + p
(k)〈ij〉∂jvi = 0
Asimptotski razvoj Bolcmanove jednacine
Q(f (0), f (0)) = 0
2Q(f (0), f (1)) = D0f(0) +
3∑i=1
Ci∂f (0)
∂xi
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Makroskopske velicineHidrodinamicka aproksimacija
Cepmen-Enskogov metod – formalni raazvoj
Asimptotski razvoj makroskopskih jednacina
D0ρ+ ∂ivi = 0 Dkρ = 0
ρD0vi + ∂ip = 0 ρDkvi + ∂jp(k)〈ij〉 = 0 ∀k ≥ 1
3
2ρkBmD0T + p∂ivi = 0
3
2ρkBmDkT + p
(k)〈ij〉∂jvi = 0
Asimptotski razvoj Bolcmanove jednacine
Q(f (0), f (0)) = 0
2Q(f (0), f (1)) = D0f(0) +
3∑i=1
Ci∂f (0)
∂xi
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Makroskopske velicineHidrodinamicka aproksimacija
Cepmen-Enskogov metod
Prva aproksimacija (Lokalno ravnotežna raspodela)
f (0) =ρ
m
(m
2πkBT
)3/2
exp
{− |ξ − v|2
2(kB/m)T
}= f locM
ρ = ρ(t,x) v = v(t,x) T = T (t,x)
pij = p δij p = ρkBmT ε =
3
2
p
ρqi = 0
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Makroskopske velicineHidrodinamicka aproksimacija
Druga aproksimacija
f (1) = f (0)φ = f (0){−ATCi∂T
∂xi− m
kBTBCiCj
∂v〈i
∂xj〉
}Protoci
p(1)〈ij〉 = −2µ
∂v〈i
∂xj〉q(1)i = −λ ∂T
∂xi
Hidrodinamicke jednacine su Navije-Stoks-Furijeovog tipa.
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Makroskopske velicineHidrodinamicka aproksimacija
Druga aproksimacija
f (1) = f (0)φ = f (0){−ATCi∂T
∂xi− m
kBTBCiCj
∂v〈i
∂xj〉
}Protoci
p(1)〈ij〉 = −2µ
∂v〈i
∂xj〉q(1)i = −λ ∂T
∂xi
Hidrodinamicke jednacine su Navije-Stoks-Furijeovog tipa.
S. Simic Bolcmanova jednacina i H-teorema
Bolcmanova jednacinaNeravnotežni procesi
Makroskopske velicineHidrodinamicka aproksimacija
Literatura
S. Chapman, T.G. Cowling, The mathematical theory of nonuniformgases, CUP 1991.
C. Cercignani, The Boltzmann Equation and its Applications, Springer1988.
W.G. Vincenti, C.H. Kruger, Introduction to physical gas dynamics, Wiley1965.
Y. Sone, Molecular Gas Dynamics, Birkhäuser, 2007.
H. Grad, On the kinetic theory of rarefied gases, Comm. Pure Appl.Math., 2(4), 1949.
S. de Groot, P. Mazur, Non-Equilibrium Thermodynamics, DoverPublications
B. Milic, Statisticka fizika
I. Živic, Statisticka mehanika
M. Pavic, Mathematical modelling and analysis of polyatomic gases andmixtures in the context of kinetic theory of gases and fluid mechanics,doktorska disertacija