Bán Márton LY8UQH

Bán Márton ­ LY8UQH 

HÁLÓZATOK ÉS RENDSZEREK II

2. házi feladat : Diszkrét idejű hálózatok vizsgálata

Név : Bán Márton tk.: 3. törzsszám : LY8UQH Javító : Horváth Zoltán konzultációs idõ : ábra: 17. adatsor: 9. Beadási határidõk: 1.rész : elfogadta : 2.rész :

3.rész : 17.

s[k]

a

c

bD

+

D

+

D

d

y[k]+ + +

Erősítések:

a b c d 0,5 0,5 0,8 0,5

 Oldal 1   

1.4.:

F G p 3 0,9 -14/13

2.2.: S 0ϑ ρ 20 0,12π 4π/3

2.3. s[k] értékei: k 0 1 2 3 4 5

s[k] 0 5 0 3 2 2

Megjegyzések: Mindenkinek le kell töltenie a feladatlapot, a megadott hálózat ábráját, és a feladatlap fejlécét ki kell tölteni. Ha javítás ill.részfeladat megoldásának külön beadása miatt többször adja be a házi feladatot, minden alkalommal az elõzõ részeket is és a feladatlapot is (az ábrával) be kell adni. Javítás esetén a hibás részt nem szabad kicserélni még akkor sem, ha valamelyik pontot elölrõl kezdi. A javítást külön lapon kell mellékelni, megjelölve, hogy melyik pont korrekciójáról van szó. Ügyeljen az áttekinthetõ és világos külalakra és arra, hogy a teljes megoldást részletesen le kell írni, nem elegendõ csak az eredményeket közölni. A numerikus számításokra és az ábrák elkészítésére alkalmazhat számítógépes programokat ( ANDI, DERIVE, MATLAB stb), de a megoldás elvi lépéseit akkor is részletesen le kell írni!

Bán Márton ­ LY8UQH 

Vizsgálat az idõtartományban 1.1 Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját! A késleltetők mögé beírt állapotváltozókkal kiegészített hálózat:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

1 (1 )1 1 3

1 (2 )2 1 3

1 (2 ) (1 )3 1 3

(2 ) (2 )1 2 3

x k ac x k adx k as k

x k ac x k adx k as k

x k b ac x k bad x k bas k

y k b ac x k x k bad x k bas k

+ = + + +

+ = + + +

+ = + + + +

= + + + + +

 Oldal 2   

a b c d

0,5 0,5 0,8 0,5

Így az állapotváltozós leírás normál alakja:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

1 1.4 0.25 0.51 1 3

1 2.4 0.25 0.52 1 3

1 1.2 1.125 0.253 1 3

1.2 2.125 0.251 2 3

x k x k x k s k

x k x k x k s k

x k x k x k s k

y k x k x k x k s

+ = + +

+ = + +

+ = + +

= + + + k

1.2 Határozza meg a sajátértékeket! Döntse el, hogy stabilis-e a hálózat! Ha nem stabilis, változtasson meg erõsítést (esetleg többet) úgy, hogy a hálózat stabilis legyen, majd oldja meg újra az 1.1.feladatot! A hálózaton végzett módosítással nem csökkentheti a hálózat rendjét, nem teheti triviálissá a hálózatot, és nem vehet fel további komponenst! Minden további feladatot az így stabilissá tett hálózaton végezzen el! A stabilitás vizsgálatához felírom a rendszeregyenletet mátrixait: Először paraméteresen:

( )

1 02 02 0 1

ac adA ac ad

b ac bad

+⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

( ) (2 1 2TC b ac bad= + +⎡ ⎤⎣ ⎦

aB a

ba

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]D ba=

)

Bán Márton ­ LY8UQH 

Majd behelyettesítve az adott szorzók értékeit:

1.4 0 0.252.4 0 0.251.2 0 1.125

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]1.2 1 2.125TC =

0.50.50.25

B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]0.25D =

Ebből a sajátértékek kiszámolása:

 Oldal 3   

( )det 0A λ− ⋅Ε = 1.4 0 0.25

2.4 0.25 01.2 0 1.125

λλ

λ

−− =

−

( ) 21.4 ( 1.125 ) 0.25(1.2 ) 0λ λ λ λ− − + + =

3 22.525 1.225 0λ λ λ− + − =

( )2 2.525 1.225 0λ λ λ− + =

Így azt kapjuk a sajátértékekre, hogy:

01λ =

0.65512λ =

1.86993λ =

Látszik, hogy 3λ abszolút értéke nagyobb 1-nél, így a rendszer nem lehet asszimptótikusan stabilis. Hogy mi mégis stabilissá tegyük, meg kell változtatni valamelyik szorzó(k) értékét. Én a következőképp választom meg a szorzóim értékét:

a b c d -1 -0.1 0,5 -0,5

Így a hálózat stabilis jelleget mutat, teljesül a Jury kritérium is , az új mátrixok (1.1 feladat megoldása újra):

0.5 0 0.51.5 0 0.50.15 0 0.95

A⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

[ ]0.15 1 1.95TC = −

11

0.1B

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]0.1D=

Ebből a sajátértékek kiszámolása: ( )det 0A λ− ⋅Ε = 0.5 0 0.5

1.5 0.5 00.15 0 0.95

λλ

λ

−− =

− −

( ) ( )( )0.5 0.95 0.5 0.15 0λ λ λ λ− − − − ⋅ =

( )( )20.5 0.95 0.075 0λ λ λ λ− − − =

Bán

 Márton ­ LY8UQH 

2 3 20.5 0.475 0.95 0.075 0λ λ λ λ λ− − + − =

3 21.45 -0.55 0λ λ λ− + = ( )2 1.45 0.55 0λ λ λ− + =

Így azt kapjuk a javított rendszer sajátértékeire, hogy:

01λ = 0.725 - 0.1561j2λ = 0.725 + 0.1561j3λ =

xponenciális alakban: E

01λ = 0.2121=0.7416 e2jλ −⋅ 0.2121=0.7416 e3

jλ ⋅

átszik, hogy az eredmények az egysékörön belül esnek, így a rendszer aszimptotikusan stabilis.

.3

L 1

állapotváltozós leírás ismeretében számítsa ki és ábrázolja az impulzusválaszt a k = 0, 1, Az 2,...10.ütemre! Adja meg az impulzusválaszt analitikus alakban is! a, Az impulzusválasz numerikus alakban:

[ ] [ ] [ ] [ ]1 0.5 0.51 1 3x k x k x k s+ = + −

 Oldal 4   

k

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1.5 0.52 1 3x k x k x k s+ = + − k

[ ] [ ] [ ] [ ]1 0.15 0.95 0.13 1 3x k x k x k+ = − + + s k [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0.15 1.95 0.11 2 3y k x k x k x k s= − + + + k

zaz a következő táblázat írható fel a ”lépésről-lépésre” módszer segítségével: A

k [ ]kδ [ ]1x k [ ]2x k [ ]3x k [ ]w k 0 1 0 0 0 0.1 1 0 -1 -1 0.1 -0.655 2 0 -0.45 -1.45 0.245 -0.9047 3 0 -0.1025 -0.5525 0.3003 0.0485 4 0 0.0989 -0.0036 0.3006 0.5677 5 0 0.1997 0.2986 0.2708 0.7967 6 0 0.2352 0.4350 0.2273 0.8430 7 0 0.2313 0.4665 0.1806 0.7840 8 0 0.2059 0.4372 0.1369 0.6733 9 0 0.1714 0.3773 0.0992 0.5450

10 0 0.1353 0.3067 0.0685 0.4200 b, Az impulzusválasz analitikus alakban:

[ ]3

1kw k ci i

iλ= ∑

=; ha

01

2k ≥

= → [ ] 2 2 3 3k kw k c cλ λ λ= + Mivel példánkban

Bán Márton ­ LY8UQH 

(

 Oldal 5   

Ezt így is írhatjuk úgy is, hogy: [ ] )2 2( 2) 2 2 3 3kw k E k c cλ λk− −= − +

ől álló egyenletrendszer:

( azért hagyható el, mivel az impulzusválasz felírásánál a

Így felírható ez a kétismeretlenb

2k = 0.9048 2 3c c− = +

3=k 0.2121 0.21210.0485 0.7416 e 0.7416 e2 3j jc c= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

1c 01λ = miatt úgyis kiesne)

A kétismeretlenes egyenletrendszerünk, a Derive segítségével könnyen rendezni lehet:

-0.4524 + 2.2562j2c = -0.4524 - 2.2562j3c =

Exponenciális alakban:

1.76872.3011 je= ⋅ 2c 1.76872.30113jc e−= ⋅

Ezeket az eredményeket visszaírva kapjuk az impulzusválaszra, hogy:

) 2k

[ ] ( ) ( 1.7687 0.2121( 2) 2.3011 0.7416 e 2.3011 0.7416 e jE k e e2 1.7687 0.2121 kj j jw k

− − ⎞= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ − −

[ ] ( ) ( )2 1.7687 2 1.76870.2121 0.21212( 2) 2.3011 0.7416 e ek j k jj jkw k E k ⎛ ⎞− + − −⎛ ⎞−−= − ⋅ ⋅ +⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

[ ] ( )(0.2121 (0.21212.1929) 2.1929)2( 2) 2.3011 0.7416 e ej j kkkw k E k − − −⎛ ⎞−= − ⋅ ⋅ +⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Az Euler-formula segítségével az impulzusválasz felírható trigonometrikus alakban, imarginárius tagok

élkül a következőképpen: n

[ ] ( ) ( )( )2( 2) 4.6022 0.7416 cos 0.2121 2.1929kE k k−= − ⋅ ⋅ − w k

[ ] ( ) ( )( )( )2( 2) 4.6022 0.7416 cos 0.2121 2 1.7687kw k E k k−= − ⋅ ⋅ − − (ha k>2)

Az impulzusválasz formulájának érvényességét kiterjesszük k=1-re és k=0-ra, em ad helyes

rtékeket. Ezért most ”kijavítjuk” a függvényt: hozzáadunk egy k=0 és egy k=1 beli Dirac-deltát a helyes ahol az n

éérték beállítására. A ”lépésről-lépésre” módszerrel való megoldásánál megkaptuk, hogy k=0-ban [ ] 0.1w k = illetve k=1-ben [ ] 0.655w k = − . A MATLAB-ba beírva viszont látható, hogy a fenti képlet k ezen értékeire mást ad:

umns 1 through 7

85 0.5679 0.7968 0.8430

w = Col -4.8765 -2.4737 -0.9049 0.04

Bán Márton ­ LY8UQH 

Columns 8 through 12 0.7841 0.6733 0.5450 0.4200 0.3092

övetkezőképpen módosul:

)

Így az impulzusválaszra adódó képletünk így a k

[ ] [ ] [ ] ( ) (( ( ) )20.1 0.655 1 ( 2) 4.6022 0.7416 cos 0kw k k k E kδ δ −= ⋅ − ⋅ − + − ⋅ ⋅ .2121 2 1.7687k − −

(természetesen az értékek mind radiánban értendők) Ábrázolva:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Impulse response (k=0...10)

k

w[k]

.41 hálózat gerjesztése : s[k] = ε[k](F + Gpk). Határozza meg a választ az impulzusválasz ismeretében a k A

= 0, 1,...5 értékekre!

F G p

3 0,9 -14/13 Az adott táblázat alapján felírható a gerjesztés:

Oldal 6       

Bán Márton ­ LY8UQH 

[ ] [ ]( ) [ ] 14 kk ⎛ ⎞−⎛ ⎞3 0.913

E k F Gp E k ⎜ ⎟= + = + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

A hálózat válaszát a gerjesztés és az impulzusválasz konvolúciója adja, ami diszkrét esetben a következő

sszegzéssel számítható:

s k

ö

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]y k s k w k s n w k nn

= ∗ = −∑=−∞

; ∞

A gerjesztés belépő ezért az összegzés határai leszűkíthetők:

[ ] [ ] [ ]0

k

y k s n w k nn

= −∑=

;

Az impulzusválasz értékei adottak az előző feladatból, a gerjesztés értékeit pedig MATLAB-bal

gyszerűen számítható adott k értékeire:

9000 2.0308 4.0438 1.8759 4.2105 1.6963

k

e >> s=3+0.9*(((-14)/13).^k) s = 3.

[ ]s k [ ]w k 0 3.900 0.1 01 2.030 -0.655 82 4.0438 -0.9048 3 1.8759 0.0485 4 4.2105 0.5677 5 1.6963 0.7967

Ezeket az értékeket visszahelyette e a k s képletsítv onvolúció be: [ ] [ ] [ ]0 0 0y s w= ⋅

[ ]0 3.9000 0.1= 0.3900y = ⋅

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 0 1 1y s w s w= ⋅ + ⋅ 0

[ ] ( )1 3.9000 0.655 2.0308 0.1= 2.3514y = ⋅ − + ⋅ −

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 0 2 1 1 2y s w s w s w= ⋅ + ⋅ + ⋅ 0

[ ] ( ) ( )2 3.9000 0.9048 2.0308 0.655 4.0438 0.1= 4.4545y = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]3 0 3 1 2 2 1 3 0y s w s w s w s w= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

[ ] ( ) ( )

 Oldal 7   

3 3.9000 0.0485 2.0308 0.9048 4 438 0.655 1.8759 0.1= 4.1094y = ⋅ + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

[.0

] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]4 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0y s w s w s w s w s w= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

[ ] ( )4 3.9000 0.5677 2.0308 0.0485 4.0438 0.9048y = ⋅ + ⋅ + ⋅ −

Bán Márton ­ LY8UQH 

( )1.8759 0.655 4.2105 0.1= 2.1540+ ⋅ − + ⋅ −

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 0y s w s w s w s w s w s w= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 1

[ ]5 3.9000 0.7967 2.0308 0.5677 4.0438 0.0485y = ⋅ + ⋅ + ⋅ +

( ) ( )1.8759 0.9048 4.2105 0.655 1.6963 0.1= 0.1706⋅ − + ⋅ − + ⋅

y megkapjuk a választ az impulzusválasz és a gerjesztés ismeretében k = 0, 1,...5 értékekre:

k

Íg

[ ]y k 0 0.3900 1 -2.351 42 -4.4545 3 -4.1094 4 -2.1540 5 0.1705

.51 em kötelezõ). Ellenõrizze a numerikus eredményeket az ANDI programmal!(N

. Vizsgálat a frekvenciatartományban

2 2.1 Határozza meg a hálózat átviteli karakterisztikáját a hálózatra felírt frekvenciatartománybeli egyenletek alapján! Adja meg és ábrázolja az amplitúdó karakterisztikát a (-2π,+2π) tartományon!

gyenlet, ami már a Az állípotváltozós normálalaknak kapott egyenltek kis módosításával felírható 4 újabb e

frekvenciatartományra vonatkozik. Ahol je ϑ− egyszeres késleltetést jelent, így ennek ismeretébe írom át a fent kapott egyenleteket, ahol 4 ismeretlen szerepel: 1X , 3X , 2X , Y

S

 Oldal 8 

A hálózatról leolvasható három frekvenciatartománybeli egyenlet, ami alapján már kiszámolható az átvitelarakterisztika:

i k

Bán Márton ­ LY8UQH 

( )( )

0.5 0.51 1 2

0.12 2 1 1

1 1 2 2

j je X e S

j jX X e X X e

X X

 Oldal 9   

j j jY X X e e X X e

ϑ

ϑ ϑ

ϑ

ϑ ϑ ϑ

⎫−= + − ⎪⎪⎪− −= − + ⎬⎪⎪− − −= + ⋅ + + ⋅ ⎪⎭

Amiket kicsit egyszerűbb alakra hozva:

−

( ) ( )( )( )

( ) ( )

2

1

0.5 1je1

1 0.5 1 0.5

0.1 0.12

1

2 11 2

X X Sj je e

jeX X

je

j j jY e e X e X

ϑ ϑ

ϑ

ϑ

ϑ ϑ ϑ

⎫⎪= −

− − ⎪− −⎪⎪−+ ⎪⎪= ⎬− ⎪−⎪⎪− − −= +⋅ + +⋅ ⎪⎪⎪⎭

ϑ−

2X -t behelyettesítve az első egyenletbe, megkapjuk, hogy:

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) 1

11

0.5 0.1 0.1 1 0.5 1

1 1 0.1 1

1

jeX S

j j j je e e e

j j j je e e eY X

je

ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ

⎫− − ⎪= ⎪− − − − ⎪+ − − −

⎪⎬⎛ ⎞− − − −⎛ ⎞ ⎪+ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪= ⎜ ⎟ ⎪−⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

1X -t egyszerűbb alakra hozva:

( )11 21 1.45 0.55

jeX Sj je e

ϑ

ϑ ϑ

−= − −− +

Majd behelyettesítve a válasz képletébe:

−

( )( ) ( )( )

21 0.1 0.9j j je e eϑ ϑ ϑ 1

21 1.45 0.551

je

j jj e ee

ϑ

Y Sϑ ϑϑ

− −⎜ ⎟= ⎜ ⎟ − −− − +− +⎜ ⎟⎝ ⎠

− − −⎛ ⎞+ − +

Bán Márton ­ LY8UQH 

( )( )21 0.1 0.9

21 1.45 0.55

j je e eY Sj je e

ϑ ϑ

ϑ ϑ

− − −+ − += − −− +

jϑ

2 20.1 0.9 0.1 0.9

21 1.45 0.55

3j j j j je e e e eY Sj je e

ϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ

− − − − −− + + − += − −− +

ϑ

2 30.1 0.8 0.1

21 1.45 0.55

j j je e eY Sj je e

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ

− − −− + += − −− +

Amiből S -el leosztva kapjuk az átviteli karakterisztikát:

2 30.1 0.8 0.1( ) 21 1.45 0.55

j j jY e e ejW e j jS e e

ϑ ϑ ϑϑϑ ϑ

− − −− + += = − −− +

MATLAB-bal ellenőrizve: A=[0.5, 0, 0.5; 1.5, 0, 0.5; -0.15, 0, 0.95 ]; B=[-1;-1;0.1]; C=[-0.15, 1, 1.95]; D = 0.1; Ts = -1; % idővektor nem meghatározott Hs=ss(A,B,C,D, Ts); Hz = tf(Hs) %amire a válasz: Transfer function: 0.1 z^3 - 0.8 z^2 + 0.1 z + 1 ----------------------------- z^3 - 1.45 z^2 + 0.55 z Sampling time: unspecified

Mivel a rendszer stabil, az átviteli függvényből (fent Hz) egyszerű z je ϑ= helyettesítéssel kapjuk az átviteli karakterisztikát, amit fent már „kézzel-ceruzával” kiszámítottunk. Az amplitúdókarakterisztikát, az átviteli karakterisztika aboszolútértékeként számítjuk:

( ) ( )jK W e ϑϑ = ;

Enneka megadásához kicsit át kell alakítani az átviteli karakterisztikát:

3 2

3 2

0.1 0.8 0.1 1 0.1cos3 0.1 sin 3 0.8cos 2 0.8 sin 2 0.1cos 0.1 sin( )1.45 0.55 cos3 sin 3 1.45cos 2 1.45 sin 2 0.55cos 0.55 sin

j j jj

j j j

Y e e e j j jW ee e e j j jS

ϑ ϑ ϑϑ

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

− + + − − + + −ϑ+

= = =− + − − + + −

Különválasztva a képzetes és a valós részt:

Oldal10 

Bán Márton ­ LY8UQH 

( ) ( )( ) ( )

0.1cos3 0.8cos 2 0.1cos 1 0.1sin 3 0.8sin 2 0.1sin( )

cos3 1.45cos 2 0.55cos sin 3 1.45sin 2 0.55sinj j

W ej

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

− + + − − +=

− + − − +ϑ

ϑ

Ezzel az alakkal már könnyen elvégezhető az abszolútérték művelet:

( ) ( ) ( ) (( ) (

))

2 2

2 2

0.1cos3 0.8cos 2 0.1cos 1 0.1sin 3 0.8sin 2 0.1sin( )

cos3 1.45cos 2 0.55cos sin 3 1.45sin 2 0.55sinjjK W e W e ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ− + + + − +

= = =− + + − +

ϑ

Az amplitúdókarakterisztika ábrázolásához, szintén a MATLAB-ot használom, a következő parancssorral kirajzoltatom a fv-t: mintavetel = 10000; felbontas = 1/mintavetel; teta = -2*pi:felbontas:2*pi; Kteta = zeros(1, length(teta)); for i=1:length(teta) Kteta(1,i)=abs( ( 0.1*exp(3*j*teta(i))- 0.8*exp(2*j*teta(i))+0.1*exp(j*teta(i))+1)/(exp(3*j*teta(i))-1.45*exp(2*j*teta(i))+0.55*exp(j*teta(i)))); end; plot(teta, Kteta); Ami krajzolja, hogy:

Oldal11 

Bán Márton ­ LY8UQH 

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5Amplitúdó - karakterisztika

teta

K(teta)

2.2 Az s[k] = Scos(ϑok + ρ) gerjesztõjel esetére határozza meg a válasz gerjesztett összetevõjének idõfüggvényét! Ábrázolja az s[k] és az yg[k] jeleket a k = 0, 1, 2,...10 értékekre! Vizsgálja meg, hogy periodikusak-e a jelek, és ha igen, adja meg a periódust! Mi a feltétele annak, hogy az yg[k] jelnek legyen fizikai tartalma?

S 0ϑ ρ 20 0,12π 4π/3

A paramétereket behelyettesítve: [ ] 420cos 0.123

s k k ππ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

+

Ebből látszik a gerjesztés komplex amplitudója:

4320

jS e

π

= ⋅ Tudjuk, hogy: Y H S= ⋅

3 0,12 2 0,12 0,121.1 2.25 0.1 1( ) 3 0,12 2 0,12 0,121.45 0.4

j j jY e e ejW e j j jS e e e

π π πϑπ π

− ⋅ − ⋅ − ⋅− −= = − ⋅ − ⋅ − ⋅− + π

+

Amit leegyszerüsítve:

Oldal12 

Bán

 Márton ­ LY8UQH 

-1.3691j( ) 0.4812 - 2.3537·j=2.4024jW e eϑ = ⋅ Azaz:

4-1.3691j j 2.819732.4024 20 48.048

jY e e e

π⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

Ebből pedig megkapjuk a gerjesztett összetevőt:

[ ] ( )48.048cos 0.12 2.8197y k kπ= ⋅ +

A válasz fizikai tartalma a rendszer gerjesztés-válasz stabilitásától függ, jelen esetben a rendszer GV stabilis, így ez a feltétel teljesül. Ábrázolás a MATLAB-bal:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-5

0

5

10

15

20Gerjesztõjel (s[k])

k

s[k]

Oldal13 

Bán Márton ­ LY8UQH 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50Gerjesztett valsz( y[k])

k

y[k]

2.3 Egy 6 periódusú s[k] gerjesztõjel egy periódusának értékei a mellékelt táblázatban adottak. Határozza meg ezen gerjesztõjel Fourier sorának valós és komplex alakját, és ellenõrizze, hogy a Fourier sorral számított értékek valóban az adott s[k] értékeket szolgáltatják! A megadott gerjesztés egy periódusa (K=0...5 -> K=6):

k 0 1 2 3 4 5 s[k] 0 5 0 3 2 2

A Fourier-sor komplex alakja: [ ]1

0

K j p ks k F epp

ϑ− − ⋅ ⋅ ⋅= ∑=

ahol értékeit a következő képlet adja meg:

Si [ ]

11

0

K j p kF s k ep K k

ϑ− − ⋅ ⋅ ⋅= ∑=

ahol,

2 26 3K

π π πϑ = = =

A képletbe behelyettesítve:

Oldal14 

Bán Márton ­ LY8UQH 

( )1 0 5 0 3 2 2 20 6F = + + + + + =

2 4 51 3 3 3 3

j j j jjπ π π π

π⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟−0 5 0 3 2 2 -0.0833 - 0.1443j1 6

F e e e e e= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 4 8 101 23 3 3 30 5 0 3 2 2 0.2500 0.7217j2 6

j j j jjF e e e e e

π π π ππ

⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟−= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3 6 12 151 33 3 3 30 5 0 3 2 2 1.33333 6

j j j jjF e e e e e

π π π ππ

⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟−= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Továbbá:

0.2500 0.7217j4 2F F ∗= = − + 0.0833 0.1443j5 1F F ∗= = − +

A MATLAB-bal könnyen ellenőrizhetőek az adott k-hoz tartozó Fp komplex Fourier eggyütthatók értékei

a következő két soros utasítással: s = [0 5 0 3 2 2]; Fp = fft(s)/6; Amiből kapjuk a következő táblázatot:

k Fp Fp (exp. alak)

0 2.0000 2.0000 1 -0.0833 + 0.1443i j2.09430.1666 e⋅ 2 -0.2500 + 0.7217i j1.90430.7638 e⋅ 3 -1.3333 -1.3333 4 -0.2500 - 0.7217i -j1.90430.7638 e⋅ 5 -0.0833 - 0.1443i -j2.09430.1666 e⋅

Így meg kapom a gerjesztés Fourier sorának komplex alakjára, hogy:

[ ]1

0

L j i ks k S eii

ϑ− − ⋅ ⋅ ⋅= ∑=

[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

23 3

4 53 3

2 0.0833 + 0.1443j 0.2500 + 0.7217j

1.3333 0.2500 - 0.7217j 0.0833 - 0.1443j

j k j k

j k j kj k

s k e e

e e

π π

eπ π

π

− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅

= + − + −

+ − + − + −

Oldal15 

Bán Márton ­ LY8UQH 

[ ]-2.0943 2 -1.9043

3 32 0.1666 0.7638

4 +1.9043 5 +2.09433 31.3333 0.7638 0.1666

j k j ks k e e

j k j kj ke e e

π π

π ππ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + ⋅ + ⋅

⎛ ⎞ ⎛− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜− ⋅ ⋅ ⎝ ⎠ ⎝− + +

⎞⎟⎠

Az és a 0i =2Li = sorszámú Fourier együtthatók értékei szükségszerűen valósnak adódtak. A valós

Fourier-sor és AFiBFi értékeit a következő képen határozzuk meg a komplex együtthatókból:

0 0AF F= , 00

BF =

20

22

AF F Li i iBF Fi i

⎫= ℜ ⎪ ≤ <⎬⎪=− ℑ ⎭

2 2

AF FL L= , 02

BFL =

A gerjesztés Fourier-sorának valós alakja:

[ ] ( ) ( )( )2cos sin0 0

LA Bs k S S i k S i ki i

iϑ ϑ= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∑

=

Így a megadott gerjesztésre a következő valós és ASiBSi Fourier-együtthatókat kapjuk:

k ASi BSi

0 2.0000 0 1 -0.1666 0.2886 2 -0.5000 1.4434 3 -1.3333 0

Így kapjuk a gerjesztésre, hogy:

[ ]

( )

2 0.1666cos 0.2886sin3 3

0.5000cos 2 1.4434sin 2 1.3333cos3 3

s k k k

k k k

π π

π π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ellenőrzés: A valós és komplex inverz Fourier-transzformációk képleteibe behelyettesítve, könnyen leellenőrizhető, hogy valóban visszakapjuk a gerjesztésre megadott s[k] értékeket, De a MATLAB is visszaadja közelítőleg az adott értékeket: s=ones(1,6);

Oldal16 

Bán Márton ­ LY8UQH 

for i=1:6 %feltöltjük egy periódusnyi elemmel s(i)=2-0.1666*cos(pi*i/3)+0.2886*sin(pi*i/3)-0.5*cos(2*pi*i/3)+1.4434*sin(2*pi*i/3)-1.3333*cos(pi*i); end; stem(s); s %ábrázolunk egy periódust 1-6 ig, ahol a 6-nál lévő érték értelemszerűen %megegyezik a 0-nál lévő értékkel, mivel egy egész periódust nézünk, csak 1-el elcsúsztatva. s = 5.0000 -0.0001 2.9999 2.0001 2.0000 0.0001 >> Komplex alakra: >> s=2+0.1666*exp(i*2.0943)*exp(-i*k*pi/3)+0.7638*exp(i*1.9043)*exp(-i*k*pi*2/3)+(-1.3333)*exp(-i*k*pi)+0.7638*exp(-i*1.9043)*exp(-i*k*pi*4/3)+0.1666*exp(-i*2.0943)*exp(-i*k*pi*5/3) s = 0.0001 + 0.0000i 5.0000 + 0.0000i -0.0001 - 0.0000i 2.9998 + 0.0000i 2.0002 + 0.0000i 2.0001 + 0.0000i >> Ha ábrázoljuk akkor is látszik:

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6-1

0

1

2

3

4

5

Oldal17 

Bán Márton ­ LY8UQH 

2.4 Határozza meg a fenti periodikus gerjesztéshez tartozó válasz gerjesztett összetevőjének valós alakú Fourier sorát, adja meg és ábrázolja egy periódusának értékeit! Az azonos körfrekvenciájú tagok összevonása után(addíciós tétel):

[ ] ( )2 0.3332cos -1.0473+ +1.5275cos -1.2373+2 1.3333cos3 3

s k k k kπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A szögeket -ban írva:

[ ] ( )2 0.3332cos -60.0034 + +1.5275cos -70.8937 +2 1.3333cos3 3

s k k k kπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A hálózat linearitása miatt a választ a gerjesztés különböző körfrekvenciájú komponenseire adott válaszok szuperpozíciójaként kapjuk meg. A következő táblázat a hálózat átviteli karakterisztikájának értékeit tartalmazza, azokon a frekvenciákon, amelyeket a gerjesztés is tartalmaz:

k k ϑ⋅ ( )jkW e ϑ− (radián) ( )jkW e ϑ− (fok) 0 0 4 4 1

3π

0.10151.8987 e j⋅⋅ 5.81551.8987 e j⋅⋅

2 2

  Oldal 18 

3π

-2.47500.7288 e j⋅⋅ -141.80710.7288 e j⋅⋅

π 0 0 3

0.1 0.8 0.1 1( ) 41 1.45 0.550

kjW ek

ϑ − + += =

− +=

2 3 43 3 3 30.1 0.8 0.1 0.1015

j j j je e e ekj j( ) 1.8888 + 0.1925j 1.8987 e

1 23 31 1.45 0.55

W ek j j

e e

π π π π

ϑ− − − −

− + + ⋅⋅π π= = == − −

− +

2 2 2 22 3 43 3 3 30.1 0.8 0.1 -2.4750( ) -0.5728 - 0.4506j 0.7288 e2 2

j j j je e e ekj jW e

π

2 23 31 1.45 0.55

k j je e

π π π

ϑπ π

− − − −− + + ⋅= = = ⋅

= − −− +

2 3 40.1 0.8 0.1 0( ) 02 33 1 1.45 0.55

j j j je e e ekjW e j jk e e

π π π πϑπ π

− − − −− + += = =− −= − +

[ ]

A hálózat válasza ezek alapján közvetlenül felírható:

8 0.6326cos -54.1879 + +1.113242cos 147.2992 +23 3

k k kπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y

Bán Márton ­ LY8UQH 

Összefoglalva egy táblázatba, K=0…5 értékeire:

[ ]k s k [ ]y k 0 0 7.4334 1 5 7.6401 2 0 8.2067 3 3 8.5666 4 2 8.3599 5 2 7.7933

Ábrázolva:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10A válasz

k

y[k]

2.5 Az 1.3.-ban kiszámított impulzusválasz Fourier transzformálásával határozza meg az impulzusválasz komplex spektrumát, és hozza azt polinom/polinom alakra! Vesse az eredményt össze 2.1. eredményével! Az 1.3-asban kiszámított impulzusválasz: [ ] [ ] [ ] ( ) ( )( )( )20.1 0.655 1 ( 2) 4.6022 0.7416 cos 0.2121 2 1.7687kw k k k E k kδ δ −= ⋅ − ⋅ − + − ⋅ ⋅ − −

Az addíciós tétal felhasználásával átalakítjuk, úgy hogy a cosinusos tag argumentumából eltűnjön az eltolás:

  Oldal19 

[ ] [ ] [ ] ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

24.6022 0.7416 cos( 1.7687)cos 0.2121 20.1 0.655 1 2

24.6022 0.7416 sin( 1.7687)sin 0.2121 2

k kw k k k E k

k kδ δ

−⎛ ⎞⋅ ⋅ − −⎜ ⎟= ⋅ − ⋅ − + − ⎜ ⎟−⎜ ⎟− ⋅ ⋅ − −⎝ ⎠

Bán Márton ­ LY8UQH 

A konstansokat összevonva:

[ ] [ ] [ ] ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

20.9044 0.7416 cos 0.2121 20.1 0.655 1 2

2+4.5125 0.7416 sin 0.2121 2

k kw k k k E k

k kδ δ

−⎛ ⎞− ⋅ ⋅ −⎜ ⎟

= ⋅ − ⋅ − + − ⎜ ⎟−⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠−

[ ] ( ){ } ( )( )

1 cos 0cos 0 221 2 cos 0

ja ekF E k a k j ja e a e

ϑϑϑ ϑ ϑϑ

−− ⋅ ⋅⋅ ⋅ = − −− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

[ ] ( ){ } ( )( )sin 0sin 0 221 2 cos 0

ja ekF E k a k j ja e a e

ϑϑϑ ϑ ϑϑ

−⋅ ⋅⋅ ⋅ = − −− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

Alkalmazva az eltolási tételt, azt kapjuk, hogy:

[ ]{ }( ) ( )( ) ( )

( )

0.1 0.655

0.9044 1 0.7416 cos 0.2121 +4.5125 0.7416 sin 0.2121 2221 2 0.7416 cos 0.2121 0.7416

jF w k e

j je e jej je e

ϑ

ϑ ϑϑ

ϑ ϑ

−= −

− −⎛ ⎞− − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ −+ ⋅⎜ ⎟− −− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ]{ } 0.9044+0.6557 +0.7045 20.1 0.655 21 1.4500 0.5500j

j je e jF w k e ej je eϑ

ϑ ϑ ϑϑ ϑ

−− −⎛ ⎞− ⋅ ⋅ −⎜ ⎟= − + ⋅− −⎜ ⎟− ⋅ + ⋅⎝ ⎠

[ ]{ }( )( )2 20.1 0.655 1 1.4500 0.5500 0.9044 + 1.3602

21 1.4500 0.5500

3j j j je e e eF w k j je e

jeϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ

− − − −− − ⋅ + ⋅ − ⋅= − −− ⋅ + ⋅

ϑ−

( )( )2

2 2

0.1 0.655 1 1.4500 0.5500

0.1 0.655 -0.14500 0.9498 +0.05500 -0.36025

j j j

j j j j

e e e

e e e e

ϑ ϑ ϑ

3 jeϑ ϑ ϑ ϑ

− − −

− − − −

− − ⋅ + ⋅ =

− ⋅ + ⋅ ϑ−

Ebből adódik, hogy az impulzusválasz komplex spektruma:

( ) [ ]{ }2 30.1 0.8 0.1004 0.9999

21 1.4500 0.5500

j j je e ejW e F w k j je e

ϑ ϑ ϑϑϑ ϑ

− − −− ⋅ + +− = = − −− ⋅ + ⋅

A 2.1-ben kapott eredmény:

( ) 2 30.1 0.8 0.121 1.45 0.55

j j jY e e ejW e j jS e e

ϑ ϑ ϑϑϑ ϑ

− − −− + += = − −− +

Oldal20 

Bán Márton ­ LY8UQH 

Amiből látszik, hogy a két eredmény gyakorlatilag ugyanaz. 2.6 Az átviteli karakterisztika ismeretében írja fel a hálózat rendszeregyenletét! A hálózat rendszeregyenlete az átviteli karakterisztikából:

2 30.1 0.8 0.121 1.45 0.55

j j jY e e ej jS e e

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ

− − −− + += − −− +

( ) ( )2 21 1.45 0.55 0.1 0.8 0.1j j j j je e Y e e eϑ ϑ ϑ ϑ− − − − −− + = − + + 3 Sϑ

Tudjuk hogy, az je ϑ− kifejezés 1x-es késleltetést jelent (és ennek megfelelően 2 je ϑ− kétszerest, 3 je ϑ− háromszorost).

Ebből adódik, hogy a hálózat rendszeregyenlete:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1.45 1 0.55 2 0.1 0.8 1 0.1 2 3y k y k y k s k s k s k s k− − + − = − − + − + −

2.7 (Nem kötelező) Ellenőrizze a 2.1. és a 2.2. pont eredményeit az ANDI programmal! 3. Vizsgálat a komplex frekvenciatartományban 3.1. Határozza meg a hálózat átviteli függvényét a z-tartománybeli egyenletek felírása vagy az állapotváltozós leírás alapján! Vesse össze az eredményt az átviteli karakterisztika kifejezésével!

A megoldás gyakorlatilag analóg az 2.1 -es feladatban leírt megoldással:

Oldal21 

Bán Márton ­ LY8UQH 

( )( )

1 10.5 0.51 1 21 10.12 2 1 1

1 1 11 1 2

X z X z X S

X z X X z X

Y X z X z X z X

⎫− −= + − ⎪⎪⎪− −= − + ⎬⎪⎪− − −= + + + ⎪⎭2

Egyoldalra hozva az állapotváltozókat:

( ) ( )( )

( )( ) ( )

10.5 11 21 11 0.5 1 0.5

10.1 12 111

1 1 11 11 2

zX X Sz z

zX X

z

Y z z X z X

− ⎫− ⎪= +− − ⎪− −

⎪⎪−− + ⎪⎪= ⎬− ⎪−⎪⎪− − −= +⋅ + +⋅ ⎪⎪⎪⎭

2X -t behyettesítve a másik két egyenletbe:

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

10.1 110.5 11 11 1 11 0.5 1 1 0.5

10.1 11 1 11 11 111

zzX X Sz z z

zY z z X z X

z

− ⎫− +− − ⎪= + ⎪− − −− − − ⎪⎪⎬

− ⎪− +− − − ⎪= +⋅ + +⋅

⎪−− ⎪⎭

Ezt egyszerűsítve:

( )( )( ) ( )( )( ) ( )

( )

111 1 1 1 11 0.5 1 0.05 1

21 1 1 11 1 0.1 1111

zX S

z z z z

z z z zY X

z

− ⎫− − ⎪= ⎪− − − −− − + + ⎪⎪⎬⎛ ⎞− − − − ⎪+⋅ − +− +⎜ ⎟⎪⎜ ⎟=⎪−⎜ ⎟− ⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎭

1X -t behelyettesítve a másik egyenletbe:

Oldal22 

Bán Márton ­ LY8UQH 

( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )

21 1 1 1 1

1 1 1

1 1 0.1 1 1

1 1 0.5 1 0.05 1

z z z z zY S

z z z z

− − − − −

− − −

⎛ ⎞+ ⋅ − + − + − −⎜ ⎟=⎜ ⎟− − − +⎝ ⎠

1 1z− −+

Ezt egyszerűbb alakra hozva:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

21 1 1 1

1 1 1 1

1 1 0.1 1

1 0.5 1 0.05 1

z z z zY S

z z z z

− − − −

− − − −

− + ⋅ − + − +=

− − + +

Majd felbontva a zárójeleket:

1 3 1 2

1 1 2 1 2

0.1 0.2 0.11 0.5 0.5 0.05 0.05

z z z zY Sz z z z z

− − − −

− − − − −

− + + + +=

− − + + +

És a közös kitevőjű eggyütthatókat összvonva azt kapjuk, hogy a hálózat átviteli függvénye:

( )1 2

1 2

0.1 0.8 0.11 1.45 0.55

Y z zW zz zS

3z− − −

− −

− + += =

− +

Az átviteli karakterisztika fügvényével összevetve láthatjuk, hogy a két rendszer számlálójában illetve nevezőjében ugyanazok a kitevők állnak, ami érthető, hiszen ezt vártuk. 3.2 Határozza meg az átviteli függvény zérusait és pólusait! Ábrázolja a pólus - zérus elrendezést! Vizsgálja meg ennek alapján a hálózat gerjesztés- válasz stabilitását! Az átviteli függvény számlálójának gyökei a zérusok, nevezőjének gyökei a pólusok, ahhoz, hogy ezeket kiszámítsuk, használjuk a MATLAB-ot. Először bevisszük a számlálót és a nevezőt majd keressük külön- külön a gyököket: A=[0.5, 0, 0.5; 1.5, 0, 0.5; -0.15, 0, 0.95 ]; B=[-1;-1;0.1]; C=[-0.15, 1, 1.95]; D = 0.1; Ts = -1; Hs=ss(A,B,C,D, Ts); Hz = tf(Hs); >> [num,den]=tfdata(Hz, 'v'); >> roots(den) >> roots(num) Amire kapjuk, hogy: ans = 0 0.7250 + 0.1561i 0.7250 - 0.1561i ans =

Oldal23 

Bán Márton ­ LY8UQH 

7.7016 1.2984 -1.0000 Tehát az eredmény, hogy a pólusok:

1

2

3

00.7250 0.1561j0.7250 - 0.1561j

ppp

== +=

Illetve a zérusok:

1

2

3

7.70161.2984

1.0000

zzz

=== −

Stabilitásvizsgálat:

( )

1

2 22

223

0

0.7250 0.1561 0.7318

0.7250 + -0.1561 0.7318

p

p

p

⎫=⎪⎪= + = ⎬⎪

= = ⎭⎪

A pólus zérus ábrából lehet látni, hogy GV-stabilis a rendszer, ugyanis mindegyik pólus az egységkörön belül helyezkedik el, azaz abszolút értéke kisebb 1-nél. Ábrázolva:

Oldal24 

Bán Márton ­ LY8UQH 

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

A p=0 pólus nyilvánvaló a másik kettő pedig következik az 1.2-ben kiszámított sajátértékekkel. 3.3 Határozza meg az átviteli függvény alapján a hálózat impulzusválaszát analitikus alakban, és vesse össze az eredményt az 1.3.-ban kapottal! Ellenőrizze az eredményt k = 0, 1, ...5-re polinom-osztáson alapuló inverz transzformációval! Az átviteli függvény inverz Z transzformáltja az impulzusválasz. Ahhoz, hogy a transzformációt elvégezzük, legelőször valódi törtet kell csinálnunk az átviteli függvényből(ugyanis a , a számlálóban 1z−magasabb hatványon szerepel, mint a nevezőben), majd azt részlettörtekre kell bontani:

[ ] ( ){ }1 2

1 11 2

0.1 0.8 0.11 1.45 0.55

z z zw k Z W z Zz z

− − −− −

− −

⎧ ⎫− + += = ⎨ ⎬− +⎩ ⎭

3

Polinóm osztás:

Oldal25 

Bán Márton ­ LY8UQH 

( ) ( )( )

( )

1 2 3 1 2

1 2

1 2 3

1 2 3

2 3

0.1 0.8 0.1 : 1 1.45 0.55 0.1 0.655

0.1 0.145 0.055

0.655 0.045

0.655 0.94975 0.36025

-0.9047 0.6398

z z z z z

z z

z z z

z z z

z z

− − − − −

− −

− − −

− − −

− −

− + + − + = −

− − +

− + +

− − + −

+

1z−

Tehát:

1 2 31 1

1 2 2

0.1 0.8 0.1 -0.9047 1.36025( ) 0.1 0.6551 1.45 0.55 1.45 0.55

z z z zW z z zz z z z

− − −− −

− −

− + + += = − +

− + − +

Részlettörtekre bontás:

( )( ) ( )( )2

0.9047 1.36025 0.9047 1.360251.45 0.55 z 0.7250 + 0.1561j z 0.7250 0.1561j

z zz z

− + − +=

− + − − −

( )

( )( )

( )

0.9047 0.7250 + 0.1561j 1.36025-0.4524 - 2.2561j

0.7250 + 0.1561j -0.7250 + 0.1561j

0.9047 0.7250 - 0.1561j 1.36025-0.4524 + 2.2561j

0.7250 - 0.1561j -0.7250 - 0.1561j

− +=

− +=

( )( ) ( )( )2

0.04025 1.26025 -0.4524 - 0.0516j -0.4524 + 0.0516j1.45 0.55 z 0.7250 + 0.1561j z 0.7250 0.1561j

zz z

+= +

− + − − −

Visszahelyettesítve a kapott eredményt:

( )( )( )

( )( )( )

1 1

1-0.4524 - 0.0516jz- 0.7250 + 0.1561j

( ) 0.1 0.6551-0.4524 + 0.0516j

z- 0.7250 - 0.1561j

W z z z− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − + ⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

( )

1.76870.2121

1 2

j1.76870.2121

2.3010z-0.7416

( ) 0.1 0.6552.3010

z-0.7416

jj

j

zee

W z z zzee

−

− −

−

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟= − + ⎜ ⎟+ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ] [ ] [ ][ ] ( ) ( )( ) ( )( )( )0.2121 2 -1.7687 0.2121 2 -1.76872

0.1 0.655 1

2 2.3010 0.7416 e j k j kk

w k k k

E k e

δ δ− − −−

= − −

+ − ⋅ ⋅ +

Megkapjuk az impuzusválaszt analitikus alakban:

Oldal26 

Bán Márton ­ LY8UQH 

[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( )( )20.1 0.655 1 2 4.6020 0.7416 cos 0.2121 2 -1.7687kw k k k E k kδ δ −= − − + − ⋅ ⋅ −

Láthatjuk, hogy az eredmény teljes mértékben ekvivalens az 1.3 -as feladatban kapot eredménnyel. Az eredmény ellenőrzése k = 0, 1, ...5-re, polinom-osztáson alapuló inverz transzformációval:

( ) ( )( )

1 2 3 1 2 1 2 3

1 2 4 5

1

0.1 0.8 0.1 : 1 1.45 0.55 0.1 0.655 0.9047 0.04845

0.1 0.145 0.055 0.56785 0.7968

0.655 0.

z z z z z z z z

z z z

z

− − − − − − − −

− − − −

−

− + + − + = − − +

− − + + +

− +

( )

z

( )

( )

( )

2 3

1 2 3

2 3

2 3 4

3 4

3 4 5

4 5

4 5 6

045

0.655 0.94975 0.36025

-0.9047 1.36025

-0.9047 1.3118 -0.4976

0.04845 0.4976

0.04845 -0.070252 0.0266

0.56785 0.0266

0.56785 0.8234 0.3123

0.79

z z

z z z

z z

z z z

z z

z z z

z z

z z z

− −

− − −

− −

− − −

− −

− − −

− −

− − −

+

− − + −

+

+

+

+

−

− +

( )5 6

5 6 7

6 7

68 0.3123

0.7968 1.1554 0.4382

0.8431 0.4382

z z

z z z

z z

− −

− − −

− −

−

− +

−

[ ] 1 2 3 40...5

0.1 0.655 0.9047 0.04845 0.56785 0.7968k

W z z z z z z− − − −

== − − + + + 5−

Ezután elvégezhetjük az inverz transzformációt, minek eredményeképpen megkapjuk az 1.3-as táblázatbeli értékeket.

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

0...50.1 0.655 1 0.9047 2

0.04845 3 0.56785 4 0.7968 5k

w k k k k

k k k

δ δ δ

δ δ δ=

= ⋅ − ⋅ − − ⋅ − +

⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

3.4. Határozza meg a választ analitikus alakban, ha a gerjesztõ jel: s[k[ = ε[k] (F + Gpk) !

F G p 3 0,9 -14/13

Az adott táblázat alapján felírható a gerjesztés:

[ ] [ ]( ) [ ] 143 0.913

kks k k F Gp kε ε⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟= + = + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Oldal27 

    A gerjesztés Z-transzformáltja megszorozva a hálózat átviteli függvényével, megadja a válasz Z-

Bán Márton ­ LY8UQH 

transzformáltját. Ebből inverz Z-transzformációval kapjuk a válasz időfüggvényét:

{

  Oldal 28 

[ ] ( ){ } ( ) ( ){ } [ ]{ } ( )}1 1 1y k Z Y z Z S z W z Z Z s k W z− − −= = ⋅ = ⋅

( ) [ ]{ } 3 0.9 3 0.9 3 0.9 1314 13 141 1 1

13 13

z z z z zS z Z s kzz z zz

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = + = + = +

− +− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

13 14z

z+

A válasz transzformálását két részre lehet bontani:

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

3 2 3 2

2 2

0.1 0.8 0.1 1 0.1 0.8 0.1 13 0.91 21 1.07691.45 0.55 1.45 0.55

z z z z z zz zY z Y z Y zz zz z z z z z

− + + − + +⋅ ⋅= + =

− − −− + − ++

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

3 2

2

0.1 0.8 0.1 1 0.3 4 -2.2775 + 6.9091j -2.2775 - 6.9091j31 1 z- 0.7250 + 0.1561j z- 0.7250 - 0.1561j1.45 0.55 1

z z zY z

zz z z

⎛ ⎞− + += = + +⎜ ⎟⎜ ⎟−− + − ⎝ ⎠

A következő MATLAB utasítással lehet részlettörtekre bontani a kifejezést: szam1=[0.1 -0.8 0.1 1]; nev1=conv([1 -1],[1 -1.45 0.55]); [r1,p1,k1]=residue(szam1,nev1) >> r1 = 4.0000 -2.2775 + 6.9091i -2.2775 - 6.9091i p1 = 1.0000 0.7250 + 0.1561i 0.7250 - 0.1561i k1 = 0.1000

A Z-transzformációnál szűkségünk lesz egy z szorzóra, ezért megszorozzuk a törtet -vel: 1z z− ⋅

( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

-6.83 + 20.73j -6.83 - 20.73j12z11 1 z- 0.7250 + 0.1561j z- 0.7250 - 0.1561j

z zY z z

z⎛ ⎞−= + +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Letranszformálás után az egyenlet így néz ki:

[ ] [ ] ( )( )( ) ( )( )( )1 11 1.2+ -6.83 + 20.73j 0.7250 + 0.1561j -6.83 - 20.73j 0.7250 - 0.1561j1k ky k kε − −⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Bán Márton ­ LY8UQH 

Ugyanezt a műveletet elvégezzük a 2. részére is:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

3 2

2

0.1 0.8 0.1 1 0.9 -0.0490 -0.3568 - 1.2209j -0.3568 + 1.2209j0.92 1.0769 0.7250 + 0.1561j 0.7250 j 0.1561j1.45 0.55 1.0769

z z zY z

z z zz z z

⎛ ⎞− + += = + +⎜⎜ − − −− + − − ⎝ ⎠

( ) ( )( )( )

( )( )( )

-0.321 - 1.099j z -0.321 + 1.099j z-0.044z12 1.0769 0.7250 + 0.1561j 0.7250 - j 0.1561j

Y z zz z z

⎛ ⎞−= + +⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

Letranszformálás után a második egyenlet így néz ki:

[ ] [ ]

( )

( )( ( )

( )( ( )

1

1

1

-0.044 1.0769

1 -0.321 - 1.099j 0.7250 + 0.1561j2-0.321 + 1.099j 0.7250 - 0.1561j

k

k

k

y k kε

−

−

−

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

))

)

)

A két egyenletből összerakható a válasz:

[ ] [ ]

( )

( )( ( )

( )( ( )

112-0.044 1.076911 -6.83 + 20.73j-0.321 - 1.099j 0.7250 + 0.1561j

1-6.83 - 20.73j-0.321 + 1.099j 0.7250 - 0.1561j

k

ky k k

k

ε

−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟−= − +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟+⎝ ⎠

[ ] [ ]

( )

( )( )( )

( )( )( )

112-0.044 1.076911 -7.154 + 19.628j 0.7250 + 0.1561j

1-7.154 - 19.628j 0.7250 - 0.1561j

k

ky k k j

k

ε

−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟−= − +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟+⎝ ⎠

[ ] [ ]

( )

( ) ( )

( ) ( )

112-0.044 1.07691 0.2121 11.92031 20.891 0.7416

1 0.2121 11.920320.891 0.7416

k

k j kjy k k e ek j kje e

ε

−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟− −= − + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟− − −−⎜ ⎟+ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ] [ ]

( )

( )( )( )

( )( )

112-0.044 1.0769

0.2121 1 1.92031 120.891 0.74160.2121 1 1.9203

k

j ky k k ekj k

e

ε

−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞− += − ⎜ ⎟− ⎜ ⎟+ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

Így megkaptuk a választ analitikus alakban:

Oldal29 

Bán Márton ­ LY8UQH 

[ ] [ ] ( ) ( ) ( )( )1 11 12-0.044 1.0769 41.782 0.7416 cos 0.2121 1 1.9203k ky k k kε − −⎛ ⎞= − ⋅ + ⋅ ⋅ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

3.5 Adjon meg egy olyan kanonikus hálózatot, amelynek a vizsgálttal megegyező az átviteli függvénye, és adja meg a hálózat rendszeregyenletét! A hálózat függvényét megvalósító egy lehetséges kanonikus kapcsolást a következő ábra mutatja:

( )1 2

1 2

0.1 0.8 0.11 1.45 0.55

z z zW zz z

3− − −

− −

− + +=

− +

Látható, hogy a hálózat megkonstruálása semmilyen gondot nem jelent. A „létrát” addig folytatjuk lefelé, amíg el nem fogy a számláló és a nevező, az erősítőkre pedig ráírogatjuk a z‐hatványok együtthatóit. Ha valamilyen közbenső z‐hatvány nem szerepel a törtben, akkor a neki megfelel ˝o erősítőt kihagynánk. 

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1.45 1 0.55 2 0.1 0.8 1 0.1 2 3y k y k y k s k s k s k s k= − − − + − − + − + −

 Ebből a hálózat rendszeregyenlete:

Oldal30 

Bán Márton ­ LY8UQH 

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1.45 1 0.55 2 0.1 0.8 1 0.1 2 3y k y k y k s k s k s k s k− − + − = − − + − + −

Mint ahogy azt a 2.6-os feladatban egyszer már ki is jött. 3.6 A rendszeregyenlet alapján a fokozatos behelyettesítés módszerével ellenőrizze a 3.4. feladat megoldását a k = 0, 1, 2,...8 ütemre! A rendszeregyenlet alapján:

k [ ]s k [ ]y k 0 3.9 0.39 1 2.0308 -2.3514 2 4.0438 -4.4545 3 1.8759 -4.1101 4 4.2105 -2.1542 5 1.6963 0.16951 6 4.4039 2.8109 7 1.4881 4.9884 8 4.6282 7.0963

A táblázat MATLAB segítségével lett kitöltve: k = 0:8; sk = 3 + 0.9 * ((-14/13).^k); yk = zeros(1, length(k)); yk(1)=0.39; yk(2)=-2.3514; yk(3)=-4.4545; for i = 4:length(k) yk(i) = 0.1*sk(i) - 0.8*sk(i-1) + 0.1*sk(i-2) + sk(i-3) + 1.45*yk(i-1) - 0.55 * yk(i-2); end; A 3.4-es feladat megoldás:

[ ]k y k 0 0.39 1 -2.3515 2 -4.5485 3 -4.1084 4 -2.2624 5 0.1716 6 2.6850 7 4.9902 8 6.9495

Szintén a MATLAB-bal ellenőrzöm: k=1:10;

Oldal31 

Bán Márton ­ LY8UQH 

  Oldal 32 

y=12+-0.044.*(1.0769.^(k-1))+41.782.*(0.7416.^(k-1)).*cos(0.2121.*(k-1)+1.9203) y = Columns 1 through 6 -2.3515 -4.5485 -4.1084 -2.2624 0.1716 2.6850 Columns 7 through 10 4.9902 6.9495 8.5220 9.7237 Ugyanezt az eredményt kapjuk a 3.4. pontban kapott formulából, a rendszeregyenletbe és az állapotegyenletekbe való fokozatos behelyettesítésből, és az 1.4.pontban, ahol csak a k=0…_ 5 tartományt tekintettük, ugyanezt kaptuk diszkrét konvolúcióval is. 3.7 (Nem kötelező) Adjon meg egy olyan nem zérus gerjesztést, amelyhez tartozó válasz véges idejű! Adja meg a választ is! 3.8 (Nem kötelezõ) Az ANDI program felhasználásával ellenõrizze eredményeit! ________________________________________________________________________________ A javító megjegyzései: