Page 1
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Építészmérnöki Kar
Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék
Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
Tézisfüzet
Tamás Ther
Oklevele építészmérnök (2010)
Témavezető:
Kollár László Péter
Budapest, 2017.
Page 2
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
1
Tartalomjegyzék
1 Bevezetés ..........................................................................................................2
2 Problémafelvetés ..............................................................................................3
3 Módszer és modellezés .....................................................................................6
Housner ütközési modelljének pontosítása............................................................6
Többelemű oszlopok modellezése .........................................................................9
4 Egyetlen gerjesztett elem felborulása ............................................................. 17
5 Többelemű oszlopok felborulási gyorsulási spektruma .................................. 20
6 Tervezési eljárás billegő oszlopok méretezéséhez .......................................... 21
7 Kitekintés ........................................................................................................ 26
8 Főbb publikációk ............................................................................................ 27
Köszönetnyilvánítás ................................................................................................ 28
Irodalmak ................................................................................................................ 29
Page 3
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
2
1 Bevezetés
A történeti falazott szerkezetek sérülékenyek földrengési hatásra. Magyarországon
a 12-19. század között épült templomok falazott falakkal, ívekkel és oszlopokkal
épültek. Több közülük súlyos károkat szenvedett valamely mérsékelt földrengés
során. Példaként említhető az 1956. januárjában megsérült taksonyi Szent Anna
templom, melynek boltozatai beszakadtak az 5,6 magnitúdós dunaharaszti
földrengés során (Szeidovitz 1984). A korabeli képeken jól látható (1. ábra), hogy a
harántívek mozgása olyan nagy volt a rengés során, hogy a boltozati felületek
beszakadtak, az ívek azonban, − bár súlyos sérülések árán, − de állva maradtak.
Ezért falazott szerkezetek földrengésre való vizsgálata esetén mind a szerkezet
állékonysága, mind a gerjesztés közben lajátszódó mozgás vizsgálata szükséges.
Fontos megjegyezni, hogy ezen történeti szerkezeteket nem tervezték földrengésre,
azonban manapság vizsgálni kell őket a várható szeizmikus eseményre.
1. ábra Az összedőlt Szent Anna templom az 1956. január 12-én kipattant
Dunaharaszti földrengés után (Historia Domus 1956)
A kő vagy tégla szerkezetek vizsgálata széleskörben kutatott téma, amelynek alapja
legtöbb esetben a nyomásvonal analízis (lásd Heyman (1966) alapvető írását a
témában). Földrengésre való tervezés esetén azonban az eltolásvizsgálat (Pushover)
nem alkalmazható falazott szerkezeteknél, mivel ezek dinamikai terhelésre
mérethatást mutatnak: minél kisebb a szerkezet, annál sérülékenyebb. Ezt a hatást a
statikai vizsgálat nem tudja figyelembe venni (Housner 1963).
Page 4
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
3
Közismert, hogy a rugalmas-képlékeny szerkezetek esetén alkalmazott
válaszspektrum analízis, sem a szerkezet időtörténeti vizsgálata nem alkalmazható
falazott szerkezeteknél, ahol az elemek billegése (az elemek közötti repedések
nyílása és záródása) fontos szerepet játszik a szerkezet nemlineáris mozgása során
(Makris and Konstantinidis 2003), így a szerkezetnek nincs jellemző periódusideje.
Megállapíthatjuk, hogy nincs általánosan elfogadott módszer falazott szerkezetek
dinamikai vizsgálatához.
Értekezésemben három fontos lépést tettem, hogy tervezési eljárást alkossak:
- egyetlen elem billegésének modellezése földrengésre,
- többelemű, merev blokkokból álló oszlop modellezése földrengésre és
- tervezési eljárás fejlesztése billegő szerkezetek vizsgálatához.
2 Problémafelvetés
Egyetlen billegő elem vizsgálata
Housner (1963) több mint fél évszázaddal ezelőtt publikálta klasszikus modelljét
billegő blokk mozgásának modellezésével kapcsolatban. (2. ábra). Meghatározta az
ütközés utáni szögsebesség értékét, ωa-t (2.c ábra) a geometria és az ütközés előtti
szögsebesség értékének, ωb-nek alapján (2.a ábra):
𝜔a = 𝜇Hous𝜔b, 𝜇Hous =2ℎ2 − 𝑏2
2ℎ2 + 2𝑏2
(1)
ahol h és b a vizsgált blokk magasságának és szélességének a fele (2. ábra), μHous a
szögsebességek aránya.
2. ábra Housner billegő blokk modellje
Az egyetlen billegő elem viselkedését számos kutató vizsgálta kísérletek során
(Aslam et al. 1980; Lipscombe and Pellegrino 1993; Anooshehpoor and Brune
2002; Prieto-Castrillo 2007; Ma 2010). Jószerivel minden esetben azt találták, hogy
a kísérletek során az elem kevesebb energiát emészt el az ütközések közben, mint
azt Housner modellje jósolta (2. ábra). Egy saját eredményt mutat be a 3. ábra.
Page 5
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
4
3. ábra A billegő elem egy jellemző idő-elfordulás görbéje. A szaggatott jel a
Housner által jósolt mozgás, a folytonos egy kísérleti eredmény.
A fent bemutatott pontatlanság ellenére Housner ütközési modelljét széles körben
alkalmazzák, mivel egyszerű és fizikailag tiszta megoldás. Az ütközési modell
fontos eleme lehet összetettebb szerkezetek földrengési vizsgálatának, ahol a
repedések megnyílhatnak és ütközhetnek a gerjesztés során. Ilyen összetettebb
szerkezetek például a téglából vagy kőből falazott oszlopok, falak és ívek.
Kutatók eltérő magyarázatokat adtak a kísérleti és elméleti eredmények közötti
eltérésre, azonban ésszerű fizikai magyarázat nem született.
Célunk, hogy fizikai magyarázatot adjunk arra, miért becsüli túl Housner modellje
az energiadisszipáció mértékét, valamint, hogy javasoljunk egy új fizikai modellt,
amely jobban igazodik a kísérleti eredményekhez.
Többelemű, merev blokkokból álló oszlop modellezése
A falazott oszlopok fontos szerkezeti elemei a történeti épületeknek. Modellezésük
során figyelembe kell venni a blokkok között lévő hézagok (repedések)
megnyílását és záródását, amelyhez ütközési modell alkalmazása szükséges.
Többelemű oszlopok ütközéséhez az irodalomban csak kevés mechanikai modell
található. Housner bemutatja az egyetlen elem billegését, Psycharis (1990) ezt
kiterjesztve egy kételemű rendszer mozgását írja le. Azonban több mint két
blokkból álló rendszer vizsgálatára vonatkozó modell az irodalomban nem
található.
A többelemű merev blokkokból álló rendszer mozgásának leírására alkalmazható a
Diszkrét elemes módszer (DEM) (Winkler et al. 1995; Psycharis et al. 2000;
Komodromos et al. 2008; DeJong 2009; Tóth et al. 2009; Dimitri et al. 2011;
Lengyel and Bagi 2015). Ez képes kezelni az elemek közötti megnyílást és az
ütközés hatását a felülethez rendelt csillapítási és súrlódási paraméterek megfelelő
beállítása esetén. Ezen módszer alkalmazásával azt a megfigyelést tették, hogy
többelemű oszlopok kevésbé sérülékenyek felborulással szemben, mint az egyetlen
elemből álló oszlopok (Psycharis et al. 2000; Dimitri et al. 2011).
Page 6
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
5
Az elérhető végeselemes programok (pl. ANSYS, OpenSees, stb.) alkalmasak
lehetnek a mozgás számítására a deformációk és a nagy geometriai nemlinearitás
figyelembevételével is, azonban ezekhez nem érhető el ütközési és megnyílási
modell.
Célunk, hogy fejlesszünk egy, a merev elemeket kevés szabadságfokkal leíró, stabil
számítási modellt, amely többelemű oszlopok mozgását számolja földrengési
gerjesztés esetén.
Tervezési eljárás billegő szerkezetek vizsgálatához
Adott elem felborulással szembeni biztonságának értékeléséhez a felborulási görbét
(Overturning Curve – OC) Housner (1963) mutatta be egy fél szinusz és egyetlen
négyszögjelre. Később további kutatók további jelek esetére (Ishiyama 1982;
Augusti and Sinopoli 1992; Anooshehpoor et al. 1999; Makris and Vassiliou 2012;
Dimitrakopoulos and DeJong 2012; Voyagaki et al. 2013) valamint harmonikus
gerjesztésre (Spanos and Koh 1985; Hogan 1992) is meghatározták a felborulási
görbéket. Vizsgálták az elemek felborulását földrengési gerjesztés esetén is
(Ishiyama 1982; Makris and Konstantinidis 2003; Peña et al. 2006; Peña et al.
2007; DeJong 2012; Makris and Vassiliou 2012; Voyagaki et al. 2013). Makris és
Vassiliou (2012) megmutatta, hogy a törésvonalhoz közeli (Near Field – NF)
földrengések hatása helyettesíthető egy megfelelő hosszúságú impulzusjellel. Ther
és Kollár (2017a) megmutatta, hogy a gerjesztő jel kitöltöttsége és a fő impulzust
követő jelnek nagy szrepe van a felborulási görbe alakjában.
4. ábra A billegő elem geometriája (az elem karcsúsága: H/B=cotδ, az elem
tehetetlenségi nyomatéka a sarokpont körül 𝛩 =4
3𝑅2𝑚, ahol m a teljes tömeg)
Adott elemre és adott gerjesztő jelre (pl. fél szinusz jel) a felborulási görbe úgy
definiálható, mint a biztonságos és nem biztonságos területek határának görbéje az
ap, tp koordináta rendszerben, ahol ap a gyorsulási jel maximális amplitúdója, tp a jel
időtartama (5.a ábra). Ha ap<ap,min az elem nem mozdul meg, ahol (4. ábra)
𝑎p,min = 𝑔 tan 𝛿 (2)
Page 7
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
6
és g a nehézségi gyorsulás. Teljes szinusz jel esetére és három fél szinuszból álló
jel esetére mutat példát az 5.b-c ábra (tp a fél szinusz időtartama).Mindhárom ábrán
látható, hogy adott elemnél mind a rövid, de nagy intenzitású, mind a hosszú és
kicsiny intenzitású jel okozhat felborulást.
5. ábra Egyetlen elem felborulási görbéi fél szinusz jel (a), teljes szinusz jel (b) és három
fél szinusz jel esetén (c).
Tervezési eljárást kívánunk alkotni billegő oszlopok földrengési biztonságának
meghatározásához. Meg szeretnénk határozni azokat a tervezési paramétereket
(vagy görbéket) amelyek segítségével a billegő oszlop felborulása vagy állva
maradása megjósolható. Javaslatot szeretnénk adni a földrengés hatásának kevés
paraméterrel való jellemzésére billegő szerkezetek esetén olyan módon, hogy a
billegő oszlop időtörténeti vizsgálatának eredménye és a javasolt módszer
egymással jó egyezést adjon a biztonság javára.
3 Módszer és modellezés
Housner ütközési modelljének pontosítása
Első lépésként Housner ütközési modelljén egy egyszerű változtatást hajtunk végre.
Feltételezve, hogy a blokk vagy az alap felülete nem tökéletesen sima, egy
közbenső ütközési pontot (egy közbenső szemcsét) tételezünk fel a záródó felületek
között (6.a ábra). Ebben az esetben a billenés során két egymást követő ütközés
játszódik le. Az A pont körül forduló elem először C pontban, majd egy második
ütközésként az ellentétes sarokponton (B) ütközik.
Amennyiben a felület kiszögellése (a szemcse) kicsiny, a két ütközés között eltelt
idő is kicsi, azonban az ütközések után az elem szögsebessége nagyobb, mint amit
Housner modellje jósol.
Page 8
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
7
Amennyiben két közbenső kiszögellés van (6.b ábra), a billenés során három
ütközés történik, ha n kiszögellés (amelyek konvex felületet adnak), a billenés
során n+1 ütközés zajlik le (6.c ábra). Amennyiben a kiszögellések száma végtelen,
az elem „gördül” és a billenés közben elemésztett energia nulla.
6. ábra Billegő elemek: egyetlen kiszögellés középen (a), két kiszögellés (b),
számos kiszögellés (c)
Azt feltételezzük, hogy Housner modellje azért jósol nagyobb energiaveszteséget,
mert a valóságban a billegő elem nem tisztán a sarkain ütközik (7.b ábra), hanem a
felület egyenetlenségei miatt közbenső kiszögelléseken is (7.c ábra).
7. ábra Housner modelljének és a feltételezett viselkedés modelljének
összehasonlítása.
Hogy a fenti feltételezést igazoljuk, laborkísérleteket hajtottunk végre. Két
különböző karcsúságú gránit hasábot készíttettünk, ahogy a 8. ábra mutatja.
Mindkét hasáb billegő mozgását vizsgáltuk négy különböző kísérleti beállításban.
Az egyszerű billegő mozgáson túl (9.a ábra), a hasábokhoz erősített drótokon való
billegést is vizsgáltuk (9.b-d ábra).
A b és d beállításban két ütközés játszódik le a billenés során, míg a c beállításban a
drótok biztosítják, hogy pontosan egyetlen ütközés történhessen.
Page 9
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
8
8. ábra A kísérleti hasábok képe és méretei
9. ábra Az alkalmazott kísérleti beállítások
A kísérleti eredmények egy jellemző eredménye látható a 10. ábrán. Az a
beállításnál látható, hogy az eredeti Housner modell túlbecsüli az ütközések során
elnyelt energiát, míg egy közbenső ütközési pontot feltételezve a megoldás a
biztonság javára tévedve alábecsüli azt (10. ábra).
10. ábra Egy kísérleti eredmény az a beállítás esetén. A blokk karcsúsága 3.7
A feltételezést az irodalomban fellelhető egyéb kísérleti eredményekkel is
összevetettük (Ogawa (1977); Aslam et al. (1980) and Prieto-Castrillo (2007)). A
11. ábra mutatja ezen eredményeket: a szaggatott vonal az általunk javasolt
modellhez tartozó görbe, amikor egy plusz ütközés játszódik le a felület közepén.
Page 10
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
9
11. ábra Az irodalomban megtalálható kísérleti eredmények összehasonlítása a
klasszikus Housner modellel és az általunk javasolt modellel.
1. Tézis Fizikai magyarázatot adtam a Housner által közölt modell és
a kísérleti eredmények ellentmondására: az ütközés nem tisztán az
elem sarkain történik, hanem a felületi egyenetlenségekből
következően több ütközésként játszódik le. [1,2,3]
1.1 A feltételezést gránit blokkokon elvégzett kísérletekkel
igazoltam. Abban az esetben, amikor az elemre ragasztott két
drót meghatározta az ütközések helyét, a kísérleti eredmények jó
egyezést adtak Housner modelljével, és kisebb disszipációt
eredményeztek három drót esetén, vagy drótok nélkül. [2]
1.2 Számításokhoz javasoltam az ütközési modell módosítását két
egymást követő ütközés figyelembevételével, ahol az első
ütközés a keresztmetszet közepén, a második a keresztmetszet
szélén következik be. Ez a modell jó egyezést mutat az
irodalomban közölt kísérleti eredményekkel (Ogawa 1977;
Aslam et al. 1980; Prieto-Castrillo 2007). [2]
Többelemű oszlopok modellezése
Feltételezzük, hogy az oszlop merev blokkokból áll és a rendszer mozgását az
egyes hézagoknál létrejövő elfordulások adják. A következőkben új ütközési és
megnyílási modellt mutatunk be.
Page 11
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
10
A mechanikai modell
A merev blokkokból álló oszlop mozgása a hézagoknál létrejövő elfordulásokból
adódik. Két szomszédos elem közötti hézag lehet zárt (12.a ábra, a blokkok együtt
mozognak), vagy lehet nyitott az óramutató járásával megegyező (12.b ábra) és
azzal ellentétes irányban (12.c ábra).
12. ábra Egy hézag lehetséges állapotai (zárt (a), nyitva az óramutató járásával
megegyező (b) és azzal ellentétes irányban (c))
Mivel az állapotok közül egyszerre csak az egyik jöhet létre, a rendszer minden
lehetséges állapotát figyelembe kell venni. Modellünk egyik kulcs eleme, hogy a
két elem közötti zárt repedéseknél mind az óramutató járásával megegyező, mind
az azzal ellentétes elfordulások figyelembe vannak véve, ugyanakkor a következő
geometriai kényszereknek teljesülniük kell:
�̌�i ≤ 0, �̂�i ≥ 0.
(3)
Ütközések és megnyílások között a mozgás során a három lehetséges állapot közül
(12. ábra) minden hézag csak az egyik állapotban lehet, így minden �̌�i – �̂�i pár
közül legfeljebb az egyik lehet nemnulla (13.c ábra).
A rendszer mozgási egyenletei a következő módon írható fel:
𝐌c�̈� = 𝐦, (4)
ahol �̈� az elfordulások vektorának idő szerinti második deriváltja, m a tehervektor
Mc a rendszer tömegmátrixa.
A többelemű rendszer földrengési válaszának meghatározásához a következő
három feladatot kell megoldani:
1) (4) egyenlet megoldása adott megnyílási alakra,
2) egy repedés záródásakor az ütközés figyelembevétele és
3) a rendszer megnyílásainak meghatározása.
Page 12
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
11
13. ábra A rendszer szabadságfokai. Egy három elemű oszlop lehetséges
megnyílási alakja (a), az elvileg lehetséges megnyílások (b) és a nulla és nemnulla
elfordulások (c)
Az ütközési modell
Amikor egy repedés záródik, ütközés következik be. Egy példát mutat be a 14.
ábra, ahol az ütközés a harmadik hézagnál jön létre. Tegyük fel, hogy az első
repedés zárva marad az ütközés után, míg a harmadik és negyedik megnyílik. A
repedések szögsebesség-változása a következő módon írható fel:
{
∆�̇̌�2�̇̌�3�̇̂�4∆�̇̂�5}
= [
𝑚2,2 𝑚2,3 𝑚2,9 𝑚2,10
𝑚3,2 𝑚3,3 𝑚3,9 𝑚3,10
𝑚9,2 𝑚9,3 𝑚9,9 𝑚8,10
𝑚10,2 𝑚10,3 𝑚10,9 𝑚10,10
]
−1
{
𝑚2,8
𝑚3,8
𝑚9,8
𝑚10,8
} (−)�̇̂�3. (5)
ahol mij az Mc tömegmátrix elemei.
14. ábra A rendszer megnyílási alakja az ütközés előtt (a), az ütközés során (b) és
az ütközést követően (c).
Page 13
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
12
A 3. és a 4. repedés újként nyílik meg, így ezeknél a szögsebesség változása az új
szögsebességgel lesz egyenlő, míg a 2. és 5. repedések - amelyek az ütközés előtt
és után is nyitva vannak - szögsebességeinek változását az (5) egyenlet adja meg.
A valóban létrejövő megnyílási alak meghatározása nem egyszerű feladat. Több
esetben azt találtuk, hogy a triviálisnak tűnő megnyílási alak fizikailag lehetetlen
megoldást ad. Ezért az összes lehetséges megnyílási alak vizsgálatát el kell
végezni.
Feltételezzük, hogy a rendszerben a zárt repedések száma az ütközés előtt nzárt.
Közülük mindegyik maradhat zárt, vagy megnyílhat az óramutató járásával
megegyező vagy ellentétes irányba az ütközés pillanata után. Ez alapján az összes
lehetséges megnyílási alak száma
2 × 3𝑛zárt . (6)
15. ábra Egy rendszer lehetséges megnyílási alakjai ütközés után (nzárt=1)
A következő megoldási stratégiát javasoljuk:
- minden lehetséges megnyílási alak esetében meg kell határozni az ütközés utáni
szögsebesség-változásokat,
- kidobni azokat a megnyílási alakokat, ahol az elmozdulások fizikailag
lehetetlen megoldást adnak ((3) egyenlet),
- amennyiben több, mint egy fizikailag lehetséges megoldás van, azt választjuk,
ahol a rendszer mozgási energiája a legnagyobb (𝐸kin =1
2�̇�T𝐌c�̇�), vagyis,
ahol az ütközés során elemésztett energia a legkisebb.
Page 14
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
13
Az ütközési modellünket Psycharis (1990) kételemű modelljének eredményeivel
verifikáltuk.
Megnyílási modell
Amikor egy, vagy több hézagnál az erő külpontossága eléri a keresztmetszet szélét,
a repedés megnyílik. A megnyílt repedéssel megváltozik a rendszer megnyílási
alakja, így az új geometriával kell a rendszer mozgásait számolni ((4) egyenlet).
Jó stratégiának tűnhet, hogy azt a repedést nyitjuk meg, ahol a külpontosság a
legnagyobb, vagy minden olyan repedést megnyitunk, ahol a külpontosság eléri a
keresztmetszet szélét. Numerikus vizsgálataink közben azt találtuk, hogy ez a
stratégia hibás eredményre vezethet. A 16. ábra egy megnyílási probléma 8
lehetséges kimenetelét ábrázolja, amelyek közül azonban a 16.e ábra szerinti
megnyílás jön létre.
16. ábra Egy kételemű oszlop lehetséges megnyílásai.
Amikor a zárt repedések száma (nzárt) nem nagy, a megnyílási probléma
megoldására a következő stratégiát alkalmazzuk:
- meghatározzuk az összes lehetséges megnyílási módot (3𝑛zárt − 1),
- kiválasztjuk azokat, amelyeknél az elmozdulások az első időlépésben a
geometriával kompatibilisek és
- amennyiben több kinematikailag lehetséges megoldás adódik, azt választjuk,
ahol a mozgási energia a legnagyobb.
Többelemű oszlop dinamikai modellje
Számos megbízható numerikus módszer van a (4) egyenlet megoldására, itt a
Wilson-féle módszert alkalmazzuk (Chopra 1995). Az időtörténeti vizsgálat
minden egyes időlépésében három feltételt vizsgálunk:
Page 15
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
14
- minden zárt repedésnél a normálerő külpontossága a keresztmetszeten belül
kell, hogy legyen,
- minden megnyílt repedésnél teljesülnie kell a (3) feltételeknek,
- minden repedésnél az N normálerő nyomás kell, hogy legyen és 𝜇𝑁 ≥ |𝑉|, ahol
𝜇 a tapadási súrlódási együttható és V a fellépő nyíróerő.
Ha ezek közül bármelyik nem teljesül, az időtörténeti vizsgálat leáll. Első esetben
egy (vagy több) zárt repedésnek kell megnyílnia, a második esetben ütközés
következik be, míg a harmadik esetben az oszlop elemei szétválnak és a teljes
számítás leáll.
Az ütközési és megnyílási modell kísérleti igazolása
Két gránitból készült hasábot helyeztünk egymásra (17. ábra). A felső elemet egy
kilendített nyugalmi helyzetből elindítottuk és az egyes elemek elfordulásait x-IMU
szenzorokkal rögzítettük. A mért és szimulált elfordulásokat mutatja a 18. ábra.
17. ábra A kilendített kísérleti rendszer
Page 16
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
15
18. ábra A kételemű rendszer mért (a) és szimulált (b) elfordulásai.
A mért és a számított elfordulások igen közel vannak egymáshoz. Továbbá a
megfigyelt és szimulált megnyílási alakok és ütközési kimenetelek egymással
megegyeznek a mozgás során.
Gerjesztett többelemű rendszer
Egy három gránit hasábból álló oszlop gerjesztett mozgását vizsgáltuk (19. ábra).
A rendszert a rázóasztalon egy 0.6 s periódusidejű és 45 mm amlitúdójú sinus jellel
gerjesztettük. Az egyes elemek és a rázóasztal mozgását Full HD kamerával
rögzítettük. Az elemek elfordulásait és a gerjesztő gyorsulást egy általunk
fejlesztett képfelismerő algoritmus segítségével határoztuk meg. Egy jellemző
kísérleti eredményt mutat a 20.a ábra.
A 20.b ábra mutatja a háromelemű rendszer számított elfordulásait. A kísérletivel
egyező megnyílási alakokat figyelhetünk meg a mozgások során. A kísérleti és
numerikus eredmények elfogadható egyezést mutatnak.
Page 17
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
16
19. ábra Háromelemű kísérleti elrendezés
20. ábra A gerjesztett rendszer kísérleti (a) és numerikus (b) eredményei
Page 18
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
17
2. Tézis Új ütközési modellt fejlesztettem, amelynek segítségével
számítható 2D-s, többelemű oszlopok ütközése során az elemek
szögsebességének változása. A probléma felírásának kulcsa, hogy a két
elem közötti zárt repedéseknél mind az óramutató járásával
megegyező, mind az azzal ellentétes elfordulások figyelembe vannak
véve, annak ellenére, hogy ezen mozgások kizárják egymást. Egy és
két elem esetén a modell visszaadja Housner (1963) és Psycharis
(1990) modelljeit. [1,4]
3. Tézis Modellt alkottam ütközés során lehetségesen létrejövő
megnyílási módok vizsgálatára. A kinematikailag lehetséges
megnyílási mód kiválasztása az ütközés utáni szögsebességek előjele
alapján történik. Több lehetséges megnyílási mód esetén azt a módot
választjuk, ahol az ütközés utáni mozgási energia a legmagasabb (az
energiaveszteség a legkisebb). A modell helyességét kísérletekkel
igazoltam. [4]
4. Tézis Megmutattam, hogy ha az alapján nyitjuk meg a repedést, ahol
a nyomásvonal kilóg a keresztmetszetből, numerikusan instabil
megoldást is kaphatunk. Modellt alkottam, amely megvizsgálja a
többelemű oszlop egyes megnyílási módjait. A kinematikailag
lehetséges megnyílási mód a megnyílás utáni szögsebességek előjele
alapján történik. A modell helyességét kísérletekkel igazoltam. [4]
5. Tézis Új modellt fejlesztettem többelemű, billegő mozgást végző,
merev blokkokból álló oszlopok számítására, amely tartalmazza az új
ütközési és megnyílási modellt, valamint az 1.2 altézisben ismertetett
továbbfejlesztett Housner modellt. [1,4]
5.1 A modell helyességét kísérletekkel igazoltam.
4 Egyetlen gerjesztett elem felborulása
Felborulási gyorsulási spektrum
Egyetlen fél szinusz jellel gerjesztett, adott karcsúságú elem normált felborulási
görbéjét (Housner 1963) mutatja a 21.a ábra. Mindkét tengely dimenziótlan: a
függőleges tengelyt ap,min-nel ((2) egyenlet), míg a vízszintes tengelyt az un.
frekvencia paraméterrel, amelyet Housner (1963) a következő módon definiált:
Page 19
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
18
𝑝 = √𝑚𝑅𝑔
𝛩= √
𝑔
𝛼𝑅, 𝛼 =
4
3,
(7)
ahol Θ a blokk tehetetlenségi nyomatéka egy sarokpontja körül (4. ábra), m az elem
teljes tömege, R a forgópont és a tömegközéppont távolsága és g a nehézségi
gyorsulás.
21. ábra Egyetlen elem fél sinussal való gerjesztéséhez tartozó normált
felborulási görbe (a). A felborulási görbe (b) mutatja a jel hosszának hatását, míg
a felborulási gyorsulási spektrum mutatja az elem méretének hatását (c).
A 21.c ábra elnevezése felborulási gyorsulási spektrum (Overturning Acceleration
Spectra - OAS), ahol a vízszintes tengelyen csak az elem méretének hatása jelenik
meg, a gerjesztő jel periódusideje nem.
Egyetlen elem felborulási gyorsulási spektruma földrengési gerjesztés esetén
Földrengési jelekre a felborulási gyorsulási spektrum az a görbe, amely elválasztja
egymástól a biztonságos és nem biztonságos területeket az 𝑎p/𝑎p,min, p
koordinátarendszerben (adott csúcsgyorsulású földrengésre adott méretű elem
felborul-e, vagy sem). Egy példát mutat a 22.a ábra. A földrengési jelek
összetettsége számos „öblöt” és „félszigetet” eredményez a spektrumon a nem
biztonságos zónán belül. A vízszintes tengely dimenziója 1/sec.
A transzformált OAS-t úgy definiáljuk, hogy a felborulási gyorsulási spektrum
(23.a ábra) vízszintes koordinátáit ap/ap,min-nel megszorozzuk. Egy földrengési jel
esetén az eredményt a 23.b ábra mutatja, ahol
Page 20
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
19
𝑓 = 𝑝
𝑎𝑝
𝑎𝑝,min . (8)
22. ábra Egyetlen elem felborulási gyorsulási spektruma (a felborulást pöttyök
jelölik) (a) az 1994-es Northridge-i földrengés NORTHR/MUL009 rekordjára (b)
23. ábra Az OAS (a) és a transzformált OAS (b) egy földrengési jel esetén
(Northridge – 1994, North/MUL009 komponens)
Page 21
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
20
5 Többelemű oszlopok felborulási gyorsulási spektruma
A fentebb ismertetett dinamikai program segítségével vizsgáltuk 2 és 3 elemű
oszlopok viselkedését is. Egy H=12 m magas, B=1 m széles, szinusz jellel
gerjesztett oszlop eredményeit mutatja a 24. ábra. Az ábrákon a szerkezet
felborulását az ap-tp síkon ábrázoltuk. Látható, hogy a többelemű oszlopok jó
közelítéssel kevésbé sérülékenyek, mint az egyetlen elemből álló oszlop.
24. ábra Az 1, 2 és 3 elemből álló oszlop (H=12 m, B=1 m) felborulási térképe teljes sinus
jellel való gerjesztés esetén. A felborulást pöttyök jelölik.
Földrengési gerjesztés esetén az energiaelnyelés hatását mutatja a 25. ábra. Három
eltérő esetet vizsgálunk:
1) 1 ütközés, amely azonos a Housner által javasolt modellel (7.b ábra),
2) 2 ütközés a záródás közben, amely az általunk javasolt modell (7.c ábra),
3) 10 ütközés a záródás közben, amely praktikusan nem jár energiaveszteséggel,
így az elemek „gördülnek” egymáson.
Fontos megjegyezni, hogy az 1, 2 és 10 ütközés is pillanatszerűen játszódik le.
Page 22
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
21
25. ábra Az 1, 2 és 3 elemű oszlopok felborulási gyorsulási spektruma eltérő
energiaelnyelés esetén. A gerjesztő jel az 1992-es Erzican földrengés NS
komponense.
Megállapíthatjuk, hogy minél kisebb az energiaveszteség, annál sérülékenyebb a
szerkezet.
Megfigyelhetjük, hogy minél több elemből áll a szerkezet, az energiaelnyelés
mértékének annál nagyobb hatása van. Ennek magyarázata, hogy a zömökebb
alkotóelemek energiavesztesége az ütközések során nagyobb, mint a karcsúbb
elemeké (Housner 1963). Az is világosan látható, hogy az energiadisszipáció hatása
földrengési jeleknél sokkal nagyobb jelentőséggel bír, mint egyszerű jelekkel való
gerjesztés esetén. A földrengési gerjesztés ugyanis jóval hosszabb, így több
ütközést eredményez, mint az egyszerű jelek.
5.2 Oszlopok impulzus-szerű jelekre és földrengési gerjesztésre való
vizsgálata alapján megállapítottam, hogy a monolitikus (egy
elemből álló) oszlopok sérülékenyebbek a felborulási
tönkremenetellel szemben, mint a többelemű oszlopok. [4]
5.3 Úgy találtam, hogy monolitikus oszlopokkal szemben a
többelemű oszlopok esetén az ütközések során elemésztett energia
mértéke még karcsú oszlopok esetén is fontos hatásként
jelentkezik. [4]
6 Tervezési eljárás billegő oszlopok méretezéséhez
Egyetlen elemből álló (monolitikus) oszlopot vizsgálunk, mivel a fentiekben
ismertetett módon a többelemű oszlopok kevésbé sérülékenyek felborulással
szemben.
Page 23
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
22
A módszerünk alkalmazhatóságát numerikus időtörténeti vizsgálatokkal
támasztottuk alá. Gerjesztő jelként 56 törésvonalhoz közeli (Near Field - NF) és 44
törésvonaltól távoli (Far Field - FF) rekordot használtunk a FEMA P695 (2009)
ajánlása alapján. Összesen négy eltérő karcsúságú elemet vizsgáltunk (H/B=3, 5, 8
és 12), 80 különböző mértékű csúcsgyorsulású jelre (ap,min-től az ap,min tízszereséig)
és 120 különböző elemméretre (Rmax=1000 m-től Rmin=0.1 m-ig). A vizsgálatok
során a legnagyobb, még állva maradó elemméretet kerestük adott
csúcsgyorsuláshoz.
Karakterisztikus felborulási gyorsulási spektrum
Adott földrajzi helyen meghatározhatunk tetszőleges számú földrengési rekordból
származó OAS-t (26. ábra) és a görbesereg statisztikai kiértékeléséből adott
túllépési valószínűséghez meghatározható a karakterisztikus OAS. Ezen görbe
meghatározása nem témája a dolgozatnak, csak elméleti görbét ábrázol a 26. ábra.
Itt, és a későbbiekben is megfelelően nagy karcsúságú elemek (H/B=12)
földrengési válaszából határozzuk meg a görbéket, így az eredmények a zömökebb
elemekre is alkalmazhatók.
26. ábra Adott helyen meghatározott OAS-ok és a karakterisztikus OAS
Egyszerűsített felborulási gyorsulási spektrum
Page 24
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
23
Célunk olyan OAS előállítása, amely kevés paraméterrel meghatározható. Ehhez
tekintsük a transzformált OAS-t (23.b ábra). Valós földrengésekhez a vizsgált
esetekben egy fmin-nél meghúzott függőleges vonal jó közelítésnek bizonyul. Ezt
mutatja a 23.b ábra.
Javaslatunk szerint a transzformált OAS jól helyettesíthető egy függőleges és egy
vízszintes egyenessel, ezt nevezzük egyszerűsített transzformált OAS-nak. (27.b
ábra, piros szaggatott vonal). A függőleges egyenes helyét a normált kritikus
impulzus függvényeként kapjuk:
𝑓𝑚𝑖𝑛 =𝑖cr𝑡I=1
𝑡I√
2
1 + cos 𝛿≈1
𝑡I,
(9)
ahol tI a helyettesítő impulzus időtartam. Értékét minden egyes földrengéhez
numerikusan kell meghatározni.
27. ábra A Northridge földrengéshez tartozó OAS (a) és a transzformált OAS (b)
összehasonlítása a javasolt egyszerűsített görbékkel (tI=0.27, tI' =0.40, β=2.39)
Közelíthetjük a transzformált OAS-t függőleges egyenes helyett egy ferde
egyenessel, amely definiálásához két paraméter szükséges: tI' és az egyenes
meredeksége, β.
tI alkalmazásával az egyszerűsített OAS a következő módon számítható (Eq. (8)):
𝑎𝑝
𝑎𝑝,min= max {
𝑖cr𝑡I
1
𝑝, 1} ≈ max {
1
𝑡I
1
𝑝, 1}. (10)
Page 25
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
24
Jobb burkoláshoz alkalmazhatjuk a függőleges egyenes és a ferde egyenes
burkolóját:
𝑎𝑝
𝑎𝑝,𝑚𝑖𝑛= max {
1
𝑡I
1
𝑝;1
𝑡′I
1
𝑝 − 1/𝛽; 1}. (11)
Javaslatunk szerint billegő oszlopok vizsgálatánál a földrengések két paraméterrel
jellemezhetők: ap és tI.
A vizsgált 100 földrengés esetére meghatároztuk tI, tI’ és β értékeit.
A helyettesítő impulzus időtartam
Érdemes a fent ismertetett helyettesítő impulzus időtartam értékét összevetni a
földrengési jel fő impulzusának időtartamával. Ehhez a földrengések gyorsulási
rekordjait vizsgáltuk meg az alábbiak szerint.
A felborulást vagy a nagy gyorsulás (amax) vagy nagy impulzus okozza (Imax). A
földrengési rekord maximális értékekhez tartozó impulzusait a 28.a ábra kitöltött
részei mutatják. (A két maximális értékhez tartozó rész egybeeshet.) Hogy mindkét
hatást figyelembe tudjuk venni, meghatározunk egy fél sinus jelet ezen amax és Imax
alapján (28.b ábra). A jel kitöltöttsége legyen F=0.64, és időtartama:
28. ábra Egy földrengési gyorsulás rekordnál az amax és Imax értelme (a), és a
származtatott fél sinus jel (b). A rekord: 1979, Imperial Valley – Bonds
Corner/140 (NF-3)
Megvizsgáltuk a tI és tp közötti korrelációt (29. ábra), és magas korrelációt találtunk
mind NF, mind FF rekordok esetén. Érdekes módon lineáris regresszió becslése
során 𝑡I ≈ (0.8 ÷ 1)𝑡𝑝.
𝑡𝑝 =
𝐼𝑚𝑎𝑥𝐹𝑎𝑚𝑎𝑥
. (12)
Page 26
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
25
29. ábra Az összetartozó tI és tp értékek FF (a) és NF (b) rekordoknál. A
korrelációs együtthatók 0.72 és 0.90
6. Tézis A felborulási görbét kiterjesztettem földrengési jelek esetére
és bevezettem a felborulási gyorsulási spektrumot. Adott földrajzi
helyre, billegő szerkezetek számos földrengési jelre végrehajtott
időtörténeti vizsgálata alapján statisztikailag meghatározható egy
karakterisztikus felborulási-gyorsulási spektrum. [3,5]
6.1 100 eltérő földrengési jel vizsgálata alapján azt találtam, hogy a
földrengések felborulási-gyorsulási spektruma jól jellemezhető
egyetlen paraméterrel, a helyettesítő impulzus időtartammal.
Megmutattam, hogy a helyettesítő impulzus időtartam és a
földrengési jel legnagyobb impulzusának időtartama közötti
korreláció magas. [5]
6.2 Egyszerű tervezési egyenletet ajánlottam földrengéssel gerjesztett
billegő szerkezetek felborulással szembeni biztonságának
meghatározására. [5]
Page 27
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
26
7 Kitekintés
Modellünk kiterjesztéseként többelemű, 2D ívek vizsgálatát szeretnénk elvégezni.
Az irodalomban az ív viselkedését jellemzően négycsuklós mechanizmusként
(egyszabadságfokú rendszerként) vizsgálják impulzus szerű jelekre és földrengési
rekordokra (De Lorenzis 2007; DeJong et al. 2008; DeJong 2009).
Előszámításaink alapján ugyanakkor ívek földrengési gerjesztése során mozgó
ívnél a megnyíló repedések helye változik, és ez nagyban befolyásolja a szerkezet
válaszát. Ezt a kérdést szeretnénk a továbbiakban körül járni és ívek esetében is
meghatározni a felborulási gyorsulási spektrumokat.
Page 28
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
27
8 Főbb publikációk
A tézisek témájában íródott publikációk
[1] Ther T, Kollár LP. Response of Masonry Columns and Arches Subjected
To Base Excitation. In: Ansal A, editor. Second European Conference on
Earthquake Engineering and Seismology, Istanbul: 2014. DOI:
10.13140/2.1.3314.2086.
[2] Ther T, Kollár LP. Refinement of Housner’s model on rocking blocks.
Bulletin of Earthquake Engineering 2017; 15(5): 2305–2319. DOI:
10.1007/s10518-016-0048-8.
[3] Ther T, Kollár LP. Refinement of Housner’s model and its application for
the overturning acceleration spectra. 16th World Conference on Earthquake
Engineering, Santiago, Chile: 2017.
[4] Ther T, Kollár LP. Model for Multi-Block Columns Subjected to Base
Excitation. Earthquake Engineering & Structural Dynamics 2017. DOI:
10.1002/eqe.2957 (megjelenés alatt)
[5] Ther T, Kollár LP. Overturning of rigid blocks for earthquake excitation.
Bulletin of Earthquake Engineering 2017. (bírálat alatt)
Egyéb publikációk
[6] Ther T, Sajtos I, Armuth M, Strommer L. Ribbed vaults of the
Nagyvázsony monastery church – Geometrical factor of safety highlights the
secret. Periodica Polytechnica Architecture 2010; 41(1): 3. DOI:
10.3311/pp.ar.2010-1.01.
[7] Ther T, Sajtos I. Horizontal Load Resistance of Ruined Walls, Case Study
of a Hungarian Castle with the Aid of Laser Scanning Technology. CAADence in
Architecture, Back to command, 2016. DOI: 10.3311/CAADence.1639.
[8] Kollár LP, Csuka B, Ther T. Simplified design of concentrically loaded
reinforced concrete columns. Structural Engineer 2014; 92(7): 48–58.
[9] Ther T, Kollár LP. Ívhatás vasbeton gerendákban (in Hungarian),
Vasbetonépítés: A FIB Magyar Tagozat Lapja 2011; 13(3): 69–71.
[10] Visnovitz G, Erdélyi T, Ther T. Földrengés vagy szélvihar: melyik a
mértékadó? (in Hungarian), Vasbetonépítés: A FIB Magyar Tagozat Lapja 2009;
11(4): 124–128.
Page 29
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
28
Köszönetnyilvánítás
Hálásan köszönöm témavezetőm, Kollár László kitartó, türelmes és higgadt
vezetését, hogy a zsákutcákból mindig kijutottunk és mindig megtaláltuk a közös
hangot a folytatáshoz.
Köszönöm feleségemnek, Zsuzsinak, hogy támogatott, bátorított és elviselt, mikor
már inkább hagytam volna az egészet. Ugyanígy köszönöm szüleimnek, és
testvéreimnek is a mellettem állást.
Köszönöm tanszéki munkatársaimnak, különösen is Sipos Andrásnak, Sajtos
Istvánnak, Várkonyi Péternek és Baranyai Tamásnak, hogy mindig fordulhattam
Hozzájuk, akár ostoba kérdésekkel is.
Köszönöm az OTKA-s kutatócsoportunk tagjainak, Pap Zsuzsinak, Joó Attilának és
Zsarnóczay Ádámnak az építő kritikát és támogatást. Ádámnak külön köszönöm a
türelmes okítást, amellyel segített belepillantanom valamelyest az OpenSees
programozásába és Superman világába, valamint sok segítségét az elkészült cikkek
átnézésében.
Köszönöm Sebestyén Ottó sokszori segítségét, hogy közösen életet leheltünk a
rázóasztalba és Juhász Károly Péternek a laborkísérletek végrehajtásához nyújtott
támogatását.
Köszönöm Barsi Árpád segítségét a képfelismerő algoritmus megalkotásához.
Végül, de nem utolsó sorban, köszönöm Armuth Miklósnak és Hegyi Dezsőnek,
hogy a hosszúra nyúlt doktorandusz lét ideje alatt szakértési és tervezési feladatok
révén segítettek, hogy családomat eltarthattam.
A szerző hálásan köszöni az Országos Tudományos Kutatási Alapprogramok -
OTKA 115673 pályázat - támogatását és a TÁMOP - 4.2.2.B-10/1- 2010-0009
projekt támogatását a BME Szuperszámítógépének használatáért.
Page 30
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
29
Irodalmak
Anooshehpoor A, Brune JN (2002) Verification of precarious rock methodology using shake
table tests of rock models. Soil Dyn Earthq Eng 22:917–922. doi: 10.1016/S0267-
7261(02)00115-X
Anooshehpoor A, Heaton TH, Shi B, Brune JN (1999) Estimates of the ground accelerations
at Point Reyes Station during the 1906 San Francisco earthquake. Bull Seismol Soc
Am 89:845–853.
Aslam M, Godden WG, Scalise DT (1980) Earthquake Rocking Response of Rigid Bodies. J
Struct Div 106:377–392.
Augusti G, Sinopoli A (1992) Modelling the dynamics of large block structures. Meccanica
27:195–211. doi: 10.1007/BF00430045
Chopra AK (1995) Dynamics of Structures. „Theory and applications to earthquake
engeneering”. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey
De Lorenzis L (2007) Failure of masonry arches under impulse base motion. Earthq Eng
Struct Dyn 36:2119–2136. doi: 10.1002/eqe
DeJong M (2009) Seismic assessment strategies for masonry structures.
MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY
DeJong MJ (2012) Amplification of Rocking Due to Horizontal Ground Motion. Earthq
Spectra 28:1405–1421. doi: 10.1193/1.4000085
DeJong MJ, De Lorenzis L, Adams S, Ochsendorf JA (2008) Rocking stability of masonry
arches in seismic regions. Earthq Spectra 24:847–865. doi: 10.1193/1.2985763
Dimitrakopoulos EG, DeJong MJ (2012) Revisiting the rocking block: closed-form solutions
and similarity laws. Proc R Soc A Math Phys Eng Sci 468:2294–2318. doi:
10.1098/rspa.2012.0026
Dimitri R, Lorenzis L De, Zavarise G (2011) Numerical study on the dynamic behavior of
masonry columns and arches on buttresses with the discrete element method. Eng
Struct 33:3172–3188. doi: 10.1016/j.engstruct.2011.08.018
Elgawady M, Ma Q, Butterworth JW, Ingham J (2011) Effects of interface material on the
performance of free rocking blocks. Earthq Eng Struct Dyn 40:375–392. doi:
10.1002/eqe.1025
FEMA (2009) Quantification of building seismic performance factors. Federal Emergency
Management Agency
Heyman J (1966) The stone skeleton. Int J Solids Struct 2:249–279. doi: 10.1016/0020-
7683(66)90018-7
Hogan SJ (1992) On the Motion of a Rigid Block, Tethered at One Corner, under Harmonic
Forcing. Proc R Soc A Math Phys Eng Sci 439:35–45. doi: 10.1098/rspa.1992.0132
Housner G (1963) The behavior of inverted pendulum structures during earthquakes. Bull
Seismol Soc Am 53:403–417.
Ishiyama Y (1982) Motions of Rigid Bodies and Criteria for Overturning By Earthquake
Excitations. Earthq Eng Struct Dyn 10:635–650. doi: 10.1002/eqe.4290100502
Komodromos P, Papaloizou L, Polycarpou P (2008) Simulation of the response of ancient
columns under harmonic and earthquake excitations. Eng Struct 30:2154–2164. doi:
10.1016/j.engstruct.2007.11.004
Kounadis AN (2015) On the rocking-sliding instability of rigid blocks under ground
excitation: some new findings. Soil Dyn Earthq Eng 75:246–258. doi:
Page 31
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
30
10.1016/j.soildyn.2015.03.026
Lengyel G, Bagi K (2015) Numerical analysis of the mechanical role of the ribs in groin
vaults. Comput Struct 158:42–60. doi: 10.1016/j.compstruc.2015.05.032
Lipscombe PR, Pellegrino S (1993) Free Rocking of Prismatic Blocks. J Eng Mech
119:1387–1410. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1993)119:7(1387)
Ma QTM (2010) The mechanics of rocking structures subjected to ground motion. The
University of Auckland, New Zealand
Makris N, Konstantinidis D (2003) The rocking spectrum and the limitations of practical
design methodologies. Earthq Eng Struct Dyn 32:265–289. doi: 10.1002/eqe.223
Makris N, Vassiliou MF (2012) Sizing the slenderness of free-standing rocking columns to
withstand earthquake shaking. Arch Appl Mech 82:1497–1511. doi: 10.1007/s00419-
012-0681-x
Ogawa N (1977) A study on Rocking and Overturning of Rectangular Column." Report of
the National Research Center for disaster Prevention(18), 14.
Peña F, Prieto F, Lourenço PB, et al (2007) On the dynamics of rocking motion of single
rigid-block structures. Earthq Eng Struct Dyn 36:2383–2399. doi: 10.1002/eqe.739
Peña F, Prieto F, Lourenço PB, Campos-Costa A (2006) Dynamical Behaviour of Rigid
Block Structures Subjected to Earthquake Motion. Struct Anal Hist Constr 707–714.
doi: 10.13140/2.1.2648.4166
Priestley MJN, Evision RJ, Carr a. J (1978) Seismic response of structures free to rock on
their foundations. Bull New Zeal Soc Earthq Eng 11:141–150.
Prieto-Castrillo F (2007) On the dynamics of rigid-block structures applications to SDOF
masonry collapse mechanisms. GUIMARÃES. Portugal: University of Minho
Prieto F, Lourenço PB, Oliveira CS (2004) Impulsive Dirac-delta forces in the rocking
motion. Earthq Eng Struct Dyn 33:839–857. doi: 10.1002/eqe.381
Psycharis IN (1990) Dynamic behaviour of rocking two-block assemblies. Earthq Eng Struct
Dyn 19:555–575. doi: 10.1002/eqe.4290190407
Psycharis IN, Papastamatiou DY, Alexandris AP (2000) Parametric investigation of the
stability of classic al columns under harmonic and earthquake excitations. Earthq Eng
Struct Dyn 29:1093–1109. doi: 10.1002/1096-9845(200008)29:8<1093::AID-
EQE953>3.0.CO;2-S
Spanos PD, Koh A-S (1985) Rocking of Rigid Blocks Due to Harmonic Shaking. J Eng
Mech 110:1627–1642. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1984)110:11(1627)
Spanos PD, Roussis PC, Politis NP a. (2001) Dynamic analysis of stacked rigid blocks. Soil
Dyn Earthq Eng 21:559–578. doi: 10.1016/S0267-7261(01)00038-0
Szeidovitz G (1984) The Dunaharaszti Earthquake January 12, 1956. Acta Geod Geophys
Mont Hung 21:109–125.
Ther T, Kollár LP (2017) Refinement of Housner’s model and its application for the
overturning acceleration spectra. In: 16th World Conference on Earthquake
Engineering,. Santiago, Chile,
Tóth A, Orbán Z, Bagi K (2009) Discrete element analysis of a stone masonry arch. Mech
Res Commun 36:469–480. doi: 10.1016/j.mechrescom.2009.01.001
Voyagaki E, Psycharis IN, Mylonakis G (2013) Complex Response of a Rocking Block to a
Full-Cycle Pulse. J Eng Mech 4014024. doi: 10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0000712
Winkler T, Meguro K, Yamazaki F (1995) RESPONSE OF RIGID-BODY ASSEMBLIES
Page 32
Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése
31
TO DYNAMIC EXCITATION. Earthq Eng Struct Dyn 24:1389–1408. doi:
10.1002/eqe.4290241008
Yim C-S, Chopra AK, Penzien J (1980) Rocking Response of Rigid Blocks to Earthquakes.
Earthq. Eng. Struct. Dyn. 8:565–587.
(1956) Historia Domus, Taksony.