UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA GEM 15 – DINÂMICA DAS MÁQUINAS PROF: ELIAS BITENCOURT TEODORO Mecanismo biela manivela: Estudo do movimento e dos esforços atuantes no sistema Nomes: Nº Antônio Ricardo Fernandes Zaiden 84961 Bruno Alexandre Roque 85732 Guilherme Augusto de Oliveira 85733 Thiago Silva Longo 84996 Welder Teixeira de Souza 84997 Uberlândia, 07 de julho de 2009
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
GEM 15 – DINÂMICA DAS MÁQUINAS PROF: ELIAS BITENCOURT TEODORO
Mecanismo biela manivela:
Estudo do movimento e dos esforços atuantes no sist ema
Nomes: Nº
Antônio Ricardo Fernandes Zaiden 84961
Bruno Alexandre Roque 85732
Guilherme Augusto de Oliveira 85733
Thiago Silva Longo 84996
Welder Teixeira de Souza 84997
Uberlândia, 07 de julho de 2009
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Resumo
Este relatório tem como objetivo a aplicação dos conhecimentos adquiridos através do estudo
da disciplina Dinâmica das Máquinas, na solução de um problema real de engenharia. O problema
em questão é um mecanismo biela-manivela, composto por quatro barras, que é maciçamente usado,
principalmente em máquinas e motores térmicos. Inicialmente, foi feita uma análise dinâmica do
problema, para facilitar no desenvolvimento matemático das equações do movimento. Optou-se pelo
uso do método dos números complexos, dada a sua simplicidade para proceder as derivações das
equações obtidas. Em posse destas equações, realizou-se a implementação computacional, através
de um programa desenvolvido na plataforma MatLab®.
Utilizando o código computacional na plataforma Matlab®, calcularam-se as posições,
velocidades, e acelerações das barras do mecanismo. Foi feito também o cálculo das forças e
torques de inércia, bem como das forças de atrito atuantes nas juntas das barras. Também se
determinou o torque de equilíbrio que deveria ser aplicado para “anular” o efeito de giro provocado
por uma força horizontal aplicada em uma das barras do mecanismo.
Com o intuito de facilitar o entendimento e a interpretação do problema, confeccionaram-se
vários gráficos, mostrando a variação das posições, velocidades, acelerações, forças e torques em
função da variação angular.
Através dos resultados obtidos, pode-se concluir que os movimentos das barras do
mecanismo se aproximam de funções harmônicas. Verificou-se que os maiores torques de equilíbrio
ocorrem quando o mecanismo não possui atrito nas juntas das barras, o que era esperado. Os
resultados obtidos serão explicitados no decorrer deste relatório
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Sumário
1. Introdução ............................................................. 0Erro! Indicador não definido.
2. Desenvolvimento Teórico .................................................................................... 05
3. Análise dos Resultados Obtidos .......................................................................... 10
Após o cálculo da aceleração dos centros de gravidade das barras, calcularam-se
primeiramente, os torques de inércia e de equilíbrio considerando que há atrito nas juntas das barras,
considerando os seguintes dados de entrada:
mi = 0.3; Coeficiente de atrito ns juntas das barras
r=0.0254; Raio de cada pino [m]
fi=atan(mi); Ângulo de atrito [rad]
rca=r*sin(fi); Raio do círculo de atrito [m]
p = 200; Força externa aplicada ao bloco, em [N]
m2 = 0.3;
m3 = 0.45; Massa das barras, concentradas no C.G [Kg]
m4 = 0.60;
Fazendo o D.C.L (Diagrama de corpo livre), das barras do mecanismo, encontram-se as
seguintes forças:
Força que a barra 3 faz na barra 4 (cursor) f34 = (p – m4 . a4)./(8ós(-θ3) –mi. Sin(-θ3). Sign(-v1)) (2.11) Força que a barra 2 faz na barra 3 f23 = (m3.ag3r + f34.*8ós(-θ3))/8ós(-θ3) (2.12) Força que a barra 3 faz na barra 2 f32 = -f23 (2.13) Força vertical que a barra 1 faz em 2 f12x = f23.cos(-θ3) + m2.( -θ3).(0.5 r2). 8ós(θ2) (2.14) Força horizontal da barra 1 na 2 f12y = -f23. Sin(ω2
2)+ m2.( ω22).(0.5 . r2 ). Sin(θ2) (2.15)
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Momento devido ao atrito nas juntas: c32 =mi. Rca. Sqrt((-f23. 9ós(-θ3))
2 + (-f23. Sin(-θ3))2).sign(ω3- ω2) (2.16)
c12=mi. rca.sqrt((f12x
2+ (f12y2)).sign(ω1- ω2) (2.17)
Considerando secção das barras quadradas e de lados iguais a l, tem-se:
l=0.04 [m]
I=(l^4)/12; [m4]
Onde I representa o momento de inércia de área da seção transversal das barras. Para
encontrar o torque de equilíbrio, faz-se o somatório de momentos no ponto inferior da barra 2:
6) Anexos Abaixo, consta o programa em MATLAB®: clc; clear all ; %Dados de entrada r2=0.150; %Manivela [m] r3=0.450; %Biela [m] Teta1=0; %Ângulo da barra fixa com a horizontal [radianos] w1=0; %Velocidade angular da barra fixa [rad/s] n=500; Teta2=linspace(0*(pi/180),720*(pi/180),n); %Ângulo da barra 2 com a horizontal [radianos] w2=6000*(2*pi/60); %Velocidade angular da barra 2 [rad/s] alfa2 = 10; %Aceleração angular da barra2 [rad/s²] gama = asin((r2/r3)*sin(Teta2)) ; %Ângulo auxiliar de construção [radianos] Teta3 = -gama; %Ângulo da barra 3 com a horizontal [radianos] Teta3g = (180/pi)*Teta3; Teta2g = (180/pi)*Teta2; %Posição das barras do mecanismo x3 = r3*cos(Teta3); %Posição cartesiana da barra 3 y3 = r3*sin(Teta3); x2=r2*cos(Teta2); %Posição cartesiana da barra 2 y2=r2*sin(Teta2); x1 = x2+x3; %Posição cartesiana da barra 1 y1 = y2+y3; %Análise da Velocidade das barras do mecanismo A = -r2*cos(Teta2)*w2; B = (r3*cos(Teta3)); w3 = (-w2*r2*cos(Teta2))./(r3*cos(Teta3)); %Velocidade angular da barra 3 [rad/s] C = -r2*sin(Teta2)*w2; D = -r3.*w3.*sin(Teta3);
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v1 = C+D %Velocidade linear da barra 1 [m/s] E = (1./(r3*cos(Teta3))); F = (r2*w2^2*sin(Teta2))./(r3.*cos(Teta3)); G = (-r2*alfa2*cos(Teta2))./(r3.*cos(Teta3)); H = (w3.*w3.*sin(Teta3))./(cos(Teta3)); alfa3 = F + G + H; %Aceleração angular da barra 3 %alfa3 (1./(r3.*cos(Teta3)))*(r2.*w2^2.*sin(Teta2)-r2.*alf a2.*cos(Teta2)+ 1/cos(Teta3).*(r3.*w3.^2.*sin(Teta3)); I = -r2*w2^2.*cos(Teta2); J = -r2*alfa2*sin(Teta2); %Aceleração linear da barra 1[m/s] K = -r3.*w3.*w3.*cos(Teta3); L = -r3.*alfa3.*sin(Teta3); a1 = I + J + K + L; %a1= -r2*(w2^2*cos(Teta2) + alfa2*sin(Teta2)) - r3*(w3^2*cos(Teta3)+alfa3*sin(T eta3)); % Acelerações dos C.Gs das barras, para o cálculo dos torques ag3r = I + 0.5*L + 0.5*K; %Aceleração centro de gravidade real %ag3r = (-r2*w2^2*cos(Teta2)-(r3/2)*alfa3*sin(Teta3)-(r3/2)*w3^2*cos(Teta3)); M = (r3/2)*alfa3.*cos(Teta3); N = -(r3/2)*w3.^2.*sin(Teta3); %Aceleração centro de gravidade imaginaria % ag3i = -F + M + N ag3i=(-r2*w2^2*sin(Teta2)+(r3/2)*alfa3.*cos(Teta3)- (r3/2)*w3.^2.*sin(Teta3)); ag2r = 0.5*I; %ag2r=-w2^2*(r2/2)*cos(Teta2); ag2i=-w2^2*(r2/2)*sin(Teta2); % Cálculo dos torques considerando atrito nas junta s das barrase mi = 0.3; %Coeficiente de atrito ns juntas das barras r=0.0254; %Raio de cada pino fi=atan(mi); %Ângulo de atrito rca=r*sin(fi); %Raio do circulo de atrito p = 200; %Força externa aplicada ao bloco, em [N] m2 = 0.3; m3 = 0.9; %Massa das barras, concentradas no C.G [Kg] m4 = 0.45;
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% Fazendo DCL das barras 4,3 e 2 encontramos: f34=(p-m4.*a1)./(cos(gama)-mi.*sin(gama).*sign(-v1) ) %Força da barra 3 na barra 4 f23=(m3.*ag3r + f34.*cos(gama))./cos(gama) %Força da barra 2 na barra 3 f32=-f23 %Força da barra 3 na barra 2 f12x=f23.*cos(gama) + m2*(w2^2)*(r2/2).*cos(Teta2) %Força horizontal da barra 1 na 2 f12y=-f23.*sin(gama)+ m2*(w2^2).*(r2/2).*sin(Teta2) %Força vertical da barra 1 na 2 c32=mi*rca.*sqrt((-f23.*cos(gama)).^2 + (-f23.*sin( gama)).^2).*sign(w3-w2) %Momento devido ao atrito nas juntas c12=mi*rca.*sqrt((f12x.^2)+ (f12y.^2)).*sign(w1-w2) % Considerando secção das barras quadradas e de lad os iguais a l l=0.04; %Lados da seção transversal quadrada das barras I=(l^4)/12; %Momento de inércia de área da barra % Encontrando torque de equilibrio, fazendo somator io de momento no ponto % inferior da barra2 %Torque de equilíbrio com atrito Teqca= +c32+c12 + m2.*ag2i.*cos(Teta2)*(r2/2) - m2. *ag2r.*sin(Teta2)*(r2/2) + I.*alfa2+ f23.*cos(gama).*sin(Teta2)*r2 + f23.*sin( gama).*cos(Teta2)*r2; %Torque de equilíbrio sem o atrito das juntas das b arras mis = 0; %Coeficiente de atrito ns juntas das barras = 0 r=0.0254; %Raio de cada pino fis=atan(mis); %Ângulo de atrito rcas=r*sin(fis); %Raio do circulo de atrito %Fazendo DCL das barras 4,3 e 2 encontramos: f34s=(p-m4.*a1)./(cos(gama)-mis.*sin(gama).*sign(-v 1)) f23s=(m3.*ag3r + f34s.*cos(gama))./cos(gama) f32s=-f23s f12xs=f23s.*cos(gama) + m2*(w2^2)*(r2/2).*cos(Teta2 ) f12ys=-f23s.*sin(gama)+ m2*(w2^2).*(r2/2).*sin(Teta 2) c32s=mis*rcas.*sqrt((-f23s.*cos(gama)).^2 + (-f23s. *sin(gama)).^2).*sign(w3-w2) c12s=mis*rcas.*sqrt((f12xs.^2)+ (f12ys.^2)).*sign(w 1-w2) %Encontrando torque de equilibrio, fazendo somatori o de momento no ponto inferior da barra2 Teqsa= +c32s+c12s+ m2.*ag2i.*cos(Teta2)*(r2/2) - m 2.*ag2r.*sin(Teta2)*(r2/2) + I.*alfa2+ f23s.*cos(gama).*sin(Teta2)*r2 + f23s.*si n(gama).*cos(Teta2)*r2;
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%Proporção dos torques de equilíbrio com e sem atri to para cada ângulo teta eficiencia = Teqca./Teqsa; rmax = max(eficiencia); rmin = min(eficiencia); [i,j]=find(eficiencia==rmax) %Localiza os pontos onde há o toque máximo e o mínimo [i,j]=find(eficiencia==rmin) Teqcamax = max(Teqca) Teqsamax = max(Teqsa) Teqcamin = min(Teqca) Teqsamin = min(Teqsa) % Gráficos das posições, velocidades, acelerações e torques em função dos ângulos (graus) figure(1) plot([Teta2g],[v1]) grid on; ylabel( 'Velocidade da barra 4 - bloco em [m/s]' ) xlabel( 'Ângulo - em graus' ) figure(2) plot([Teta2g],[a1]) grid on; ylabel( 'Aceleração da barra 4 - bloco em [m/s²]' ) xlabel( 'Ângulo - em graus' ) figure(3) plot([Teta2g],[x2]) grid on; ylabel( 'Posição horizontal da barra 2[m]' ) xlabel( 'Ângulo - em graus' ) figure(4) plot([Teta2g],[y2]) grid on; ylabel( 'Posição vertical da barra 2[m]' ) xlabel( 'Ângulo - em graus' ) figure(5) plot([Teta2g],[x3]) grid on; ylabel( 'Posição horizontal da barra 3[m]' ) xlabel( 'Ângulo - em graus' ) figure(6)
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plot([Teta2g],[y3]) grid on; ylabel( 'Posição vertical da barra 3[m]' ) xlabel( 'Ângulo - em graus' ) figure(7) hold on; plot([Teta2g],[Teqca], 'r' ) plot([Teta2g],[Teqsa]) grid on; ylabel( 'Torques de equilíbrio com e sem o atrito ' ) xlabel( 'Ângulo- em graus' ) hold off ; figure(8) plot([Teta2g],[x1]) grid on; ylabel( 'Posição da barra 4 - bloco em [m/s]' ) xlabel( 'Ângulo - em graus' )