Beispiel: Anreicherung um rek. Definition Append = enrich List with functions . + . : list × list → list; axioms [] + l = l; (a + l) + l’ = a + (l + l’); end enrich Append ist hierarchiepersistent und eindeutig (+ ist überladen: sowohl Element vor Liste hängen (rot und schwarz), als auch 2 Listen zusammenhängen (blau)) 146
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Beispiel: Anreicherung um rek. Definition fileend generic specification • wie Anreicherung (von , , ..., ), nur wird von explizit
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Beispiel: Anreicherung um rek. Definition
Append =enrich List withfunctions . + . : list × list → list;axioms[] + l = l;(a + l) + l’ = a + (l + l’);end enrich
Append ist hierarchiepersistent und eindeutig(+ ist überladen: sowohl Element vor Liste hängen (rot und schwarz),als auch 2 Listen zusammenhängen (blau))
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Beispiel: Anreicherung um rek. Prädikat (FU)
Sorted =enrich List withpredicates sorted : listaxiomsordered([]),ordered(a + []),ordered(a + b + l) ↔ a < b ∧ ordered(b + l)end enrich
Ordered ist hierarchiepersistent und eindeutig,
da die FU vollständig ist (jede Liste ist entweder = [], a+ [], a+ b+ l)
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Strukturierte Spezifikationen:
Umbenennung und Parameter
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Strukturierte Spezifikationen:Umbenennung
Umbenennung:
• benennt die Operationen einer Spezifikation um
• nützlich um 2 Kopien zu erhalten
• Syntax: rename <SPEC> by morphism<renaming1>;...<renamingn>;
end rename
• renaming = <sort/op/var> → <sort/op/var>;
• identische Umbenennungen weglassen(werden beim Ansehen der Spezifikation aber angezeigt)
• Nicht 2 Symbole auf dasselbe abbilden: injektiv umbenennen
• entweder alle Variablen oder keine umbenennen
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Beispiel Umbenennung:Listen zu Stacks
rename List by morphismlist → stack;[] → empty;(: Typangabe f ur uberladenes Symbol :)+ :: (elem × list → list) → push;(: pop nicht mehr postfix, Schreibweise stattdessen pop(x) ,
default ist in/prae/postfix uebernehmen :).rest → pop prio 0;(: top soll nun praefix sein :).first → top .;(: eigentlich keine Stack-Operation,
nur um Overloading zu zeigen :)+ :: (list × list → list) → concat prio 0;x → st;y → st0;z → st1;end rename 150
eine Sorte auf ein Tupel von Sorten abzubilden⋆ (später bei ASMs)
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Aktualisierung: Beispiel (1)
Order =specificationsorts elem;constants d : elem;predicates ≪ : elem × elem;variables a, b, c : elem;axioms¬ a ≪ a; a ≪ b ∧ b ≪ c → a ≪ c;¬ a ≪ d; (: d ist minimal :)end specification
List-Ord =generic data specificationparameter Orderusing Natlist = [] | . + . (. .first : elem; . .rest : list);size functions length : list → nat;end generic data specification
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Aktualisierung: Beispiel (2)
NatList =actualize List-Ord with Natby morphismlist → natlist;elem → nat;≪ → <;d → 0;a → n; b → n0; c → n1;end actualize
Die instanzierten Axiome (u.a. ¬ n < 0) sind(modulo Umbenennung) in Nat vorhanden.
Die Listenoperationen (+, .rest etc.) werden nicht umbenannt(sie bekommen nur die neuen Sorten als Argumente)
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Strukturierte Spezifikation:
Nichtfreie Datentypen
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Nichtfreie Datentypen: der typische Fehler
Orderedlist =enrich List3 withpredicates
. < . : elem × elem ;ordered : list ;
axioms¬ a < a; a < b ∨ a = b ∨ b < a;a < b ∧ b < c → a < c;ordered([]); ordered(a + []);ordered(a + b + l) ↔ a < b ∧ ordered (b + l);
end enrich
NICHT ∀ l. ordered(l) addieren!!! Das wäre INKONSISTENT!!!
Allgemein: Ein generierter Datentyp enthält immer alle Konstruktorterme.Man kann nicht nachträglich welche ausschliessen. Man kann nur einennichtfreien Datentyp bilden, der Terme identifiziert
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Spezifikation nichtfreier Datentypen
• Spezifikationen nichtfreier Datentypen werden sehr leicht inkonsistentoder uneindeutig
• Konstruiere nichtfreien Datentyp durch Zusammenfassung von denTermen, die die gleichen Elemente repräsentieren sollen, in Klassen
• Deshalb als erstes nach der Bestimmung der Konstruktoren:Definiere Gleichheit durch Extensionalitätsaxiom: x = y ↔ ϕ(x, y)
• Dann: die in ϕ definierten Operationen werden rekursiv definiert
• damit: monomorph: höchstens ein Datentyp spezifiziert
axioms¬ a < a; a < b ∨ a = b ∨ b < a;a < b ∧ b < c → a < c;
l = l′ ↔ l = [] ∧ l’ = []∨ l 6= [] ∧ l’ 6= []
∧ min(l) = min(l′)∧ butmin(l) = butmin(l′);
min(a + []) = a;a < b → min(a + b + l) = min(a + l);¬ a < b → min(a + b + l) = min(b + l);
butmin(a + []) = [];a < b → butmin(a + b + l) = b + butmin(a + l);¬ a < b → butmin(a + b + l) = a + butmin(b + l);
end specification
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Noethersche Induktion
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Noethersche Induktion (1)
Definition (noethersche Relationen)Sei ≪ ⊆ A×A. Die Relation ≪ heißt noethersch (oder wohlfundiert, engl.well-founded) wenn es keine unendlichen ≪-Ketten gibt:
. . .≪ a3 ≪ a2 ≪ a1 ≪ a0
Satz (Ordnungsprädikate)Ordnungsprädikate von Datendefinitionen sind noethersch in jedem Modellder Spezifikation.
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Noethersche Induktion (2)
Satz (noethersche Induktion)Für noethersche Relationen ≪ gilt:Wenn für jedes a aus E(a′) für alle Elemente a′ ≪ a die Aussage E(a)gefolgert werden kann, so gilt E für alle Elemente:
(∀ a. (∀ a′. a′ ≪ a⇒ E(a′)) ⇒ E(a)) ⇒ ∀ b. E(b)
Definition (noethersche Induktionsregel)Sei y := free(Γ ⊢ ∆) \ {x} und ≪ noethersch. Induktion über x:
IND(≪)
∀ y.∀ x′. x′ ≪ x→ (∧
Γ →∨
∆)x′
x ,Γ ⊢ ∆
Γ ⊢ ∆
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Noethersche Induktion (Beispiele)
Beispiel: Natürliche Zahlen
∀ n0. n0 < n→ ϕ(n0) ⊢ ϕ(n)
⊢ ∀ n. ϕ(n)
Beispiel: Listen
∀ l0. (l0 ≪ l) → ϕ(l0) ⊢ ϕ(l)
⊢ ∀ l. ϕ(l)
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Noethersche Induktion (Beispielprädikate)
Größenordnung:Sei size : s→ nat . Dann ist ≪ noethersch mit
x≪ y :↔ size(x) < size(y).
Lexikalische Ordnung:Betrachte Spezifikation Pair2 von vorher. Seien <1 : elem1 × elem1 und <2 :elem2 × elem2 noethersch. Dann auch ≪ mit
mkpair(a, b) ≪ mkpair(a′, b′) :⇔ a <1 a′ ∨ (a = a′ ∧ b <2 b
′).
Untermengenordnung:Seien s, s′ zwei endliche Mengen (Spezifikation später). Dann ist